7.3角的概念宇表示
初中数学知识归纳角的概念和性质
初中数学知识归纳角的概念和性质初中数学知识归纳：角的概念和性质数学是一门抽象而严谨的学科，角的概念和性质是初中数学中的基础知识。
掌握了角的概念和性质，可以帮助我们更好地理解几何形状和解决相关问题。
本文将对初中数学中关于角的概念和性质进行归纳总结。
一、角的概念角是两条射线共同起点的位置。
通常将射线的起点称为角的顶点，两条射线分别称为角的边。
用字母和顶点标示一个角，例如∠ABC表示以点B为顶点、以射线BA和射线BC为边的角。
角的大小可以用角的度数来表示，单位为度（°）或弧度（rad）。
二、角的分类按照角的大小，角可分为小于180°的锐角、等于180°的直角、大于180°小于360°的钝角和等于360°的周角。
按照角的形状，角可分为锐角、直角、钝角、平角和满角等几种常见类型。
锐角的度数小于90°，直角的度数等于90°，钝角的度数大于90°但小于180°，平角的度数等于180°，满角的度数等于360°。
三、角的性质1. 角的两个边同一个角的两个边可以分成两个部分，形成一个内角和一个外角。
内角的度数加上外角的度数等于180°，即内外角之和等于180°。
2. 角的补角和余角两个角互为补角当且仅当它们的角度和等于90°。
两个角互为余角当且仅当它们的角度和等于180°。
3. 角的对顶角两个角的对顶角是指它们的两条边互相重合。
对顶角的度数相等。
4. 角的同位角两个角互为同位角当且仅当它们的角度相等。
5. 角的相等关系若两个角互为对顶角、补角或同位角，则它们的度数相等。
6. 角的内部和外部以角的一条边为延长线可以将平面分为两个部分，即角的内部和角的外部。
一个角的内部包含了所有与角的顶点位于角的两条边之间的点。
四、常见角的性质1. 直角的两个补角都是直角。
2. 锐角的补角是钝角。
7.3角的概念与表示(作业)解析版
7.3角的概念与表示（作业）一、单选题1．如图所示，下列表示角的方法中，错误的是（ ）A ．1Ð与AOB Ð表示同一个角B ．AOC Ð也可用O Ð表示C ．图中共有三个角，分别是,,ÐÐÐAOB AOC BOCD ．b Ð表示BOCÐ【答案】B【分析】根据角的概念和角的表示方法进行分析判断，即可得出结论．【详解】解：A 、∠1与∠AOB 表示同一个角，表示角的方法正确，故本选项不符合题意；B 、∠AOC 不能用∠O 表示，表示角的方法错误，故本选项符合题意；C 、图中共有三个角：∠AOB ，∠AOC ，∠BOC ，表示角的方法正确，故本选项不符合题意；D 、∠β表示的是∠BOC ，表示角的方法正确，故本选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了角的表示方法， 掌握角的表示方法并能结合图形正确表示各角是解题的关键．2．如图所示，能用O Ð，AOB Ð，1Ð三种方法表示同一个角的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据角的四种表示方法和具体要求回答即可．【详解】解：A 、以O 为顶点的角不止一个，不能用∠O 表示，故A 选项不符合；B 、以O 为顶点的角不止一个，不能用∠O 表示，故B 选项不符合；C 、能用∠1，∠AOB ，∠O 三种方法表示同一个角，故C 选项符合；D 、以O 为顶点的角不止一个，不能用∠O 表示，故D 选项不符合；故选C ．【点睛】本题考查了角的表示方法的应用，掌握角的表示方法是解题的关键．3．计算：1800¢=（ ）A ．10°B ．18°C ．20°D ．30°【答案】D【分析】根据角的两种表示方法之间的互化，将'1800换成度应除以60，计算即可．【详解】∵()'180018006030=¸°=°故选：D ．【点睛】本题考查了角的互化，熟练掌握转化的方法，是解题的关键．4．如图所示，O 是直线AB 上一点，图中小于180°的角共有( )．A ．7个B ．9个C ．8个D ．10个【答案】B 【分析】根据平角的大小为180°结合图形即可写出进行求解.【详解】图中小于平角的角为∠AOC ，∠AOD ，∠AOE ，∠COD ，∠COE ，∠COB ，∠DOE ，∠DOB ，∠EOB ，共9个，故选B.【点睛】本题主要考查了角的判定，可以根据图形依次数出角的个数.5．如图所示,小于平角的角有( )A ．9个B ．8个C ．7个D ．6个【答案】C 【分析】分别根据以A ，B ，C ，D ，E 为顶点得出角的个数即可．【详解】解：符合条件的角中以A 为顶点的角有1个，以B 为顶点的角有2个，以C 为顶点的角有1个，以D 为顶点的角有1个，以E 为顶点的角有2个，故有1+2+1+1+2=7个角．故选C ．【点睛】此题主要考查了角的定义，根据已知分别得出角的个数是解题关键．6．如图，130Ð=°，则射线OA 表示为（ ）A．南偏西60B．南偏东60C．南偏西30D．南偏东30【答案】B【分析】根据方向角的定义，即可解答．【详解】解：∵90°-30°=60°，∴射线OA表示为南偏东60°．故选：B．【点睛】本题考查了方向角的定义，解决本题的关键是熟记方向角的定义．7．小亮在小明的北偏东60°方位，则小明在小亮的方位是（）A．南偏西60°B．南偏东60°C．北偏西30°D．北偏西60°【答案】A【分析】根据方位角可直接进行求解．【详解】解：由小亮在小明的北偏东60°方位，可得：小明在小亮的方位是南偏西60°；故选A．【点睛】本题主要考查方位角，熟练掌握方位角的表示是解题的关键．8．如图所示的四条射线中，表示南偏西60o的是（）．A．射线OA B．射线OB C．射线OC D．射线OD【答案】D【分析】结合题意，根据射线和角的性质分析，即可得到答案．【详解】根据题意，四条射线中，表示南偏西60o的是：射线OD故选：D．【点睛】本题考查了射线、角的知识；解题的关键是熟练掌握射线、角的性质，从而完成求解．二、填空题9．如果一个角是60°，用10倍的望远镜观察，这个角应是_____°．【答案】60【分析】用望远镜只能使角的边变粗，但是并不能改变角的大小．【详解】解：用10倍的望远镜观察，这个角应是60度．故答案是：60．【点睛】本题主要考查了角的概念，明确角的大小与边的长短、粗细无关是解题的关键．10．A 、B ，C 三个城市的位置如图所示，A 在C 的南偏西30°方向上，且145ACB Ð=°，则城市B 在城市C 的________方向上．【答案】北偏东65°【分析】根据方向角的表示方法可得答案．【详解】解：∵A 在C 的南偏西30°方向上，且∠ACB ＝145°，∴城市B 在城市C 的北偏东65°方向上，故答案为：北偏东65°．【点睛】本题考查了方向角，用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．11．361612¢¢¢°=______度．【答案】36.27°．【分析】把秒化成分，再把分化成度即可．【详解】∵12÷160¢=0.2¢，∴16.2÷°160=°0.27，∴361612¢¢¢°=36.27°．故答案为：36.27°．【点睛】本题考查了度，分，秒的转化计算，熟练掌握把秒化成分，再把分化成度是解题的关键．12．图中共有____________个小于平角的角，其中可用一个大写字母表示的角有__________个．【答案】7； 2．【分析】根据平角定义和角的表示方法，即可得出．【详解】图中小于平角的角，即小于180°的角有，B Ð，BAD Ð，CAD Ð，BAC Ð，ADB Ð，ADC Ð，C Ð，共7个，其中可以用一个大写字母表示的角有2个，它们是B Ð，C Ð，故答案为：7；2．【点睛】数角时，确定一个顶角，将此处的角都数出来，以免漏角．13．如图所示，射线OA 表示北偏东28°方向，射线OB 表示东南方向，则∠AOB =_________．【答案】107°【分析】先根据题意理清射线OA 表示北偏东28°方向，射线OB 表示东南方向所表示的含义，得出∠AOB =90°﹣28°+45°，计算即可得出结论．【详解】因为射线OA 表示北偏东28°方向，射线OB 表示东南方向，由图可知∠AOB =90°﹣28°+45°=107°，故答案是： 107°．【点睛】本题比较简单，主要考察了简单角的计算问题，正确理解题意，知道东南方向是表示45°为本题的解题关键．14．已知54AOB Ð=°，2AOC BOC Ð=Ð，OM 平分AOB Ð，则MOC Ð的度数为________．【答案】81°【分析】根据题意作图， 根据角度的计算及角平分线的性质即可求解．【详解】如图，∵54AOB Ð=°，2AOC BOC Ð=Ð，∴54BOC AOB Ð=Ð=°，∵OM 平分AOB Ð，∴1272BOM AOB Ð=Ð=°，∴MOC Ð=81BOM BOC Ð+Ð=°，故答案为：81°．．【点睛】此题主要考查角度的计算，解题的关键是根据题意画出图形进行求解．15．把16.42° 用度分秒表示为 ________________；把71°4′30″用度表示为____________度．【答案】16°25′12″ 71.075°【分析】根据角度的换算方法即可求解．【详解】16.42° =16°25.2′=16°25′12″71°4′30″=71°4.5′=71.075°故答案为16°25′12″；71.075°．【点睛】此题主要考查角度的换算，解题的关键是熟知角度的换算方法．16．1.25°=_________分，5400¢¢=_________度．【答案】75 1.5【分析】直接根据度分秒的换算公式进行换算即可．【详解】解： 根据度分秒的换算关系可得：1.2560°´分＝75分54005400=3600¢¢＝1.5度故答案为：75；1.5【点睛】本题主要考查度分秒的换算关系，解题的关键是掌握度分秒的换算公式，注意分秒之间的单位换算是60 进制．17．用度、分、秒表示:54.26=o _______________________．【答案】541536¢²o 【分析】根据度、分、秒之间的换算方法即可求解．【详解】54.26=o 541536¢²o 故答案为：541536¢²o ．【点睛】此题主要考查度数的换算，解题的关键是熟知度、分、秒的换算方法．18．如图，从点O 出发的五条射线，可以组成______个角．【答案】10【分析】由一条射线为边可以得到4个角，共5条射线，考虑重复计算即可求解．【详解】解：由一条射线为边可以得到4个角，共5条射线，∴共4×5÷2=10个角．故答案为：10【点睛】本题考查了如何求角的数量问题，可以根据详解计算，注意在计算过程中每个角计算了两次，故要除以2，本题也可以按照顺序依次写出来求解．三、解答题19．计算561712451621¢¢¢°+°-°．【答案】5241¢°【分析】根据角度的计算方法即可求解．【详解】解：561712451621¢¢¢°+°-°=()()561216174521¢¢¢°+°-°++-5241¢=°．【点睛】此题主要考查角度的加减，解题的关键是熟知角度的换算方法．20．下图是按照上北下南，左西右东的规定，画出的十字线，若O 点表示小明家，请在图中画出表示下列方向的射线并填空（1）商场在小明家北偏西30°；（2）公园在小明家东北方向；（3）学校在小明家南偏东60°；（4）若以学校为观测点，小明家在学校的．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）北偏西60°【分析】（1）（2）（3）根据方向角的定义画出射线即可；（4）根据学校在小明家南偏东60°，即可得以学校为观测点，小明家在学校的北偏西60°．【详解】解：（1）商场在小明家北偏西30°；（2）公园在小明家东北方向；（3）学校在小明家南偏东60°；如图：（4）∵学校在小明家南偏东60°，∴以学校为观测点，画出十字线，小明家在学校的北偏西60°．故答案为：北偏西60°．【点睛】本题考查方向角等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．21．如图，已知∠AOB＝75°，OC是∠AOB内部的一条射线，过点O作射线OD，使得∠COD＝∠AOB．（1）若∠AOD＝120°，则∠BOC＝ °；（2）若∠AOD＝5∠BOC，则∠BOD＝ °；（3）当∠COD绕着点O旋转时，∠AOD+∠BOC是否变化？若不变，求出其大小；若变化，说明理由．【答案】（1）30；（2）50；（3）不变，150°【分析】（1）根据等式的性质可得AOC＝∠BOD，根据∠AOD＝120°，∠AOB＝75°，求出∠AOC＝∠BOD＝45°，进而求出∠BOC即可；（2）设未知数，根据∠AOD＝5∠BOC列方程求解即可；（3）由题意可得∠AOD＋∠BOC＝∠AOB＋∠COD＝2∠AOB，故可求解．【详解】解：（1）∵∠COD＝∠AOB．即∠AOC+∠BOC＝∠BOC+∠BOD，∴∠AOC＝∠BOD，∵∠AOD＝120°，∠AOB＝75°，∴∠AOC＝∠BOD＝120°﹣75°＝45°，∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝75°﹣45°＝30°，故答案为：30；（2）设∠BOD＝x°，由（1）得∠AOC＝∠BOD＝x°，则∠BOC＝75°﹣x°由∠AOD＝5∠BOC得，75+x＝5（75﹣x），解得，x＝50，即：∠BOD＝50°，故答案为：50；（3）不变；∵∠COD＝∠AOB＝75°，∠AOC＝∠BOD，∴∠AOD+∠BOC＝∠AOC+∠BOC+∠BOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝75°×2＝150°，答：当∠COD绕着点O旋转时，∠AOD+∠BOC＝150°，其值不变．【点睛】考查角的相关计算，通过图形直观，得出各个角之间的和差关系，是解决问题的关键．22．如图，两条直线 AB，CD 交于点O ，射线 OM 是∠AOC 的平分线，若∠BOD=70°，求∠BOM 的值．【答案】145°【分析】先根据对顶角相等得出∠AOC＝70°，再根据角平分线的定义得出∠COM，最后解答即可．【详解】∵∠BOD＝70°，∴∠AOC＝70°，∠COB＝110°，∵射线OM是∠AOC的平分线，∴∠COM＝35°，∴∠BOM＝35°＋110°＝145°．【点睛】此题考查对顶角和角平分线的定义，关键是得出对顶角相等．。
7.3 复数的三角表示PPT课件(人教版)
＝2(cos 90°＋isin 90°)＝2i.
法二 ( 3＋i)(cos 60°＋isin 60°)
＝
3＋i12＋ 23i
＝ 23＋32i＋12i－ 23＝2i.
题型三 复数三角情势的除法运算
【例 4】 计算：12＋ 23i÷4cos 1π2＋sin 1π2.
解
12＋ 23i÷4cos
1π2＋isin
1.思考辨析，判断正误 (1)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个.( √ ) (2)复数0的辐角是任意的.( √ ) (3)复数的代数情势可以转化为三角情势，三角情势可以转化为代数情势.( √ )
2.复数 1＋i 的辐角的主值为( C )
π
π
A.6
B.3
π
π
C.4
D.2
解析 因为复数1＋i对应的点在第一象限，
数间的对应关系.
1.复数三角形式
课堂小结
(1)代数形式与三角形式的互化：
z＝a＋bi(a，b∈R)
z＝r(cos θ＋isin θ)(r≥0).
(2)复数三角形式的结构特征是：模非负，角相同，余弦前，加号连.
2.复数乘除运算三角形式的两个注意点：
(1)转化：把两个复数均转化为复数三角形式的标准形式.
题型一 复数的代数情势与三角情势的互化
《角的表示与度量》教案
《角的表示与度量》教案第一章：角的概念1.1 学习目标了解角的基本概念，理解角是由一点引出的两条射线所围成的图形。
掌握角的表示方法，包括用符号“∠”表示角，以及用度、分、秒表示角的度量。
1.2 教学内容角的概念：介绍角是由一点引出的两条射线所围成的图形，强调角的顶点和两条边的特点。
角的表示方法：讲解如何用符号“∠”表示角，以及如何用度、分、秒表示角的度量。
1.3 教学活动角的概念引入：通过实物演示或者图片展示，引导学生观察和描述角的特点。
角的表示方法讲解：通过示例讲解如何用符号“∠”表示角，以及如何用度、分、秒表示角的度量。
练习题：提供一些练习题，让学生练习用符号表示角，以及将角的度量转换为不同的单位。
第二章：角的度量2.1 学习目标学会使用量角器测量角的度量。
掌握角的度量单位，包括度、分、秒。
2.2 教学内容角的度量工具：介绍量角器的作用和使用方法，讲解如何通过量角器来测量角的度量。
角的度量单位：讲解角的度量单位，包括度、分、秒的定义和转换关系。
2.3 教学活动角的度量工具介绍：展示量角器，讲解其作用和使用方法。
角的度量单位讲解：讲解角的度量单位，包括度、分、秒的定义和转换关系。
实践操作：让学生分组进行实践操作，使用量角器测量不同角的度量，并进行记录和交流。
第三章：角的计算3.1 学习目标学会计算角的度量，包括加减乘除等运算。
能够解决实际问题，运用角的度量进行计算。
3.2 教学内容角的度量计算：讲解如何进行角的度量的加减乘除等运算，包括同单位之间的运算和不同单位之间的换算。
实际问题解决：讲解如何运用角的度量进行实际问题的计算，例如计算角度的变化、计算图形的面积等。
3.3 教学活动角的度量计算讲解：讲解如何进行角的度量的加减乘除等运算，以及同单位之间的运算和不同单位之间的换算。
实际问题解决讲解：讲解如何运用角的度量进行实际问题的计算。
练习题：提供一些练习题，让学生练习角的度量的计算和实际问题的解决。
7.3角的概念与表示(课件)-2020-2021学年六年级数学下册同步备课系列(沪教版)
练6.比较大小:38°15′___ 38. 15度(填“>”“=”或“<”).
答案：>
练7 . 51°28′30"=________度
【解析】51度28'30''= 51度28.5'=51度 +(28.5/600度=51度+0.475度=51.475度 答案：51.475
小结：
小结：
1、角的定义：有公共端点的两条射线组 成的图形叫做角。 2、角的表示法： 4 种 3、角的度量及换算。
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3角的概念与表示
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第七章 线段与角的画法
说说生活 中的角。
一、角的定义与表示
1.角的定义与表示方法
1.什么叫做角？
（1）角的定义：角的定义有两种，一种是静态的组成定义， 1一、 种是动态的形成定义。 角的组成定义：有______的两条射 线组成的图形叫做角，这个______是角的顶点，这两条射线是 角的两条边。
答案:C
练3如图，下列表示角的方法错误的是 （ ）
A.∠1与∠AOB表示同一个角
B.∠AOC
可用∠O来表示C.图中共有三个角∠AOB、
∠AOC、∠BOC D.∠β表示的是∠BOC
【解析】A同一个角的两种表示方法B一个端点 有多个点公用时，不可以用一个点来表示角。 C、D正确。答案：B
2. 角的度量与比较大小【例2】钟表在3
点40分时,它的时针和分针所成的钝角的
度数是
.用10倍的放大镜观察,
这个角应是
.
【解析】每小时分针转360°，时针 转动30°；每分钟分针旋转6°，时 针旋转0.5°答案：130° 130°总结： 角的大小与角画出的两边的长短无 关，只与构成角的两边的两条射线 张开的幅度大小有关。
7.3角的概念与表示
谈一谈：本节课你有何收获？
1. 角的两种定义； 2. 角的三种表示方法； 3. 方位角；
作边 顶点
B
终边
O
边
A
顶点
始边
1、角是由两条有公共端点的射线所组成的图形。 这个公共端点叫做这个角的顶点 这两条射线叫做这个角的边 2、角也可以看成是由一条射线绕着它的端点 旋转到另一个位置所成的图形。处于初始位 置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那 条射线叫做角的终边.
角用“∠”表示，读做“角”。角 A 的表示方法有下面几种： (1) 用三个大写字母表示：B 如：∠ABC（顶点字母写在中间）
2a C
1
E
∠2
∠BAC
∠β ∠BAD
∠B
∠ABC
分别说出∠ABC、∠EFG、∠MON的顶点和边.
角 顶点 边 ∠ABC ∠EFG ∠MON
思考：从图中你能说出中山公园在人民广场的什么方向上？
中山公园在人民广场的什么方向上？ 北
中山公园
北偏西70°
西
人民广场
东
南
上北下南左西右东
例2：已知上海市真如镇在人 民广场的西面偏北300,规范的数 学用语是真如镇在人民广场的” 北偏西600的方向”．如图,射线 ON,OE,OS,OW分别表示从O出 发北,东,南,西的四个方向.射线 OA表示北偏东300方向.如果用 点O表示人民广场,用点B表示真 如镇,画出从人民广场到真如镇 的射线. 南(北)偏东(西)X0
北 N B 西 W
60
0
30
0
A 东 E
O 南 S
例题2：一天放学后，小明从学校（A）先沿着 正东方向的马路走100米，然后走一段东北方向 的小路100米，最后又走了一段西北方向的小路 100米到家.（1）请画出小明这天回家的路线图 （比例尺为1∶5000）；（2）请测量出小明家 在学校的什么方向上？
7.3复数的三角表示
例3、已知z1
3 2
cos1
6
i sin
1
6
,
z2
2cos1
3
i sin
1
3
,
求z1z2，请把结果
化为代数形式，并作出几何解释。
解：z1z2
3 2
cos
6
i sin
6
2 cos
3
ir sin
3
3 2
2cos
6
3
i
sin
6
3
3 c os
2
i
sin
2
3i
首先作与z1, z2对应的向量OZ1,OZ2 ,然后把向量OZ1绕点O按
则cos 1,sin 0.对应的向量如右图所示 。 由a bi r cos ir sin得 cos i sin 1 0i 1
2根据a bi r cos ir sin可得，复数 6cos11 i sin 11 的r 6,一个辐角 11
6
6
6
则cos11 3 ,sin 11 1 .对应的向量如右图所示。
62
62
由a bi r cos ir sin得6cos11 i sin 11 6 3 i6 1 3 3 3i
6
6
2
2
知识探究（一）：复数的三角表示式 方法总结
将复数的三角形式转化为代数形式：
1根据r cos ir sin求出r和; 2根据r cos ir sin a bi求出复数对应的代数形 式。
逆时针方向旋转 ，,再将其长度伸长为原来的2倍，这样
3
得到一个长度为3，辐角为
2
的向量OZ，OZ即为积z1z2
3i
所对应的向量.
七年级数学角知识点总结
七年级数学角知识点总结在七年级的数学学习中，角是一个非常重要的知识点。
它既是其他几何概念的基础，也是后续学习的重要内容。
本文将对七年级数学角知识点作一总结。
一、角的概念角是由两条射线（即零点）共同确定的图形部分，其中一个射线是起始边（即始边），另一个射线是结束边（即终边）。
角的度数表示的是始边逆时针旋转到终边的度数大小。
二、角的分类1.锐角：度数小于90度的角。
2.直角：度数等于90度的角。
3.钝角：度数大于90度小于180度的角。
4.平角：度数等于180度的角。
三、角的要素1.零点：角的起始点。
2.始边：角的开始边。
3.终边：角的结束边。
4.内部点：位于角内部的点。
5.外部点：位于角外部的点。
四、角的度数计算1.弧度制：以单位圆的半径为一，圆心角所对的弧长为该角的弧度数。
即1弧度等于180度/π。
2.角度制：以90度为直角，180度为平角，360度为一周。
五、角的运算1.同角：具有相同终边的角。
2.补角：两个角的和为90度。
3.余角：两个角的和为180度。
4.对顶角：共享相同的零点，相互之间无直接关系的两个角，其度数相等。
5.相邻角：共享相同的零点和始边，终边指向各自角的两个角。
六、角的常用概念1.角平分线：将一个角平分成两个相等的角的射线，称为该角的平分线。
2.垂线：从一个点向一条直线竖直（垂直）地延伸出去的线段，称为该点到直线的垂线。
3.角平分线定理：在一个角内部，过角的顶点引一条角平分线，则该条角平分线所分割角的两个邻角为相等角。
4.垂线定理：在平面直角坐标系中，过一点作与坐标轴垂直的直线所截坐标轴成的两条线段的乘积相等，即一个点到直线的垂线上的两个线段长度乘积相等。
以上为七年级数学角知识点的主要内容，通过本文的阅读，相信同学们能够对角的概念、分类、要素、度数计算、运算等方面有了更深入的理解，为后续的几何学习打好基础。
高中数学新教材第二册第七章《7.3复数的三角表示》全套课件
(1)如果向量O→Z对应复数 4i，O→Z逆时针旋转 45°后再把模变为原来的 2 倍，得到向量O→Z1，那么与O→Z1对应的复数是________；
(2)计算(1＋ 3i)6. 答案 (1)－4＋4i (2)见解析
答案
解析 (1)O→Z＝4i＝4cosπ2＋isinπ2，
O→Z1＝4 2cosπ2＋4π＋isin2π＋π4
答案
核心素养形成
题型一 复数三角形式的乘法运算 例 1 计算下列各式： (1) 2cos1π2＋isin1π2· 3cos56π＋isin56π； (2)3cos6π＋isinπ6·7cos34π＋isin34π； (3)2cosπ3＋isinπ3－4.
[解] (1)原式＝ 6cos1π2＋56π＋isin1π2＋56π ＝ 6cos1112π＋isin1112π. (2)原式＝21cosπ6＋34π＋isinπ6＋34π ＝21cos1112π＋isin1112π.
□ ＝ 01 rr12[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)](z2≠0)
，
这就是说，两个复数相除，商的模等于
□02 被除数的模除以除数的模所得的商 □03 被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．
，商的辐角等于
几何意义：两个复数 z1，z2 相除，可以先画出 z1，z2 对应的向量O→Z1，O→Z2， 将向量O→Z1按顺时针方向旋转 θ2(若 θ2<0，则按逆时针方向旋转|θ2|)，再把模 变为原来的r12倍，所得向量O→Z就表示商zz12.
1＝ 3
33，即
θ＝π6，
∴ 3＋i＝2cosπ6＋isin6π.
答案
(2)r＝ 1＋1＝ 2. ∵1－i 对应的点在第四象限， 且 tanθ＝－11＝－1，∴θ＝74π， ∴1－i＝ 2cos74π＋isin74π.
人教版数学七年级上册-角的概念
人教版数学七年级上册-角的概念（精 品课件 ）
判断下面说法对不对：
A
(a) ∠1就是∠A；
(b) ∠2就是∠B；
1
２
３
BＤ
ＣＭ
(c) ∠3就是∠C .
人教版数学七年级上册-角的概念（精 品课件 ）
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图中以O点为顶点的角有几个？ 以D点为顶点的角有几个？ 试用适当的方法来表示这些角（不计平角）
Ａ
Ｎ
答:以O点为顶点的角有3个
1
Ｏ
2
3 Ｄ6
Ｂ 以D点为顶点的角有4个
45 Ｃ Ｍ
人教版数学七年级上册-角的概念（精 品课件 ）
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找出图中的所有角（不计平角） 并把它表示出来：
Ａ
Ｄ
Ｂ
Ｃ
人教版数学七年级上册-角的概念（精 品课件 ）
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说明：在不做特别说明的情况下，我们 说的角都指不大于平角的角.
人教版数学七年级上册-角的概念（精 品课件 ）
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判断正误： （1）两条射线组成的图形叫做角； （2）两条具有公共点的射线叫做角； （3）角是由一条射线旋转而成的；
人教版数学七年级上册-角的概念（精 品课件 ）
找出图中的所有角（不计平角） 并把它表示出来：
Ｍ
Ａ
Ｎ
Ｂ
Ｃ
人教版数学七年级上册-角的概念（精 品课件 ）
人教版数学七年级上册-角的概念（精 品课件 ）
找出图中的所有角（不计平角） 并把它表示出来：
Ｄ
Ｃ
Ｏ
人教版数学七年级上册角的概念
A D
射线 OA绕点O 旋转，当终点位置OC和起始位置OA 成一直线时，所成的角叫做平角; 继续旋转，回到起始位置OA时,所成的角叫做周角。
说明：在不做特别说明的情况下，我们 说的角都指不大于平角的角.
判断正误： （1）两条射线组成的图形叫做角； （2）两条具有公共点的射线叫做角； （3）角是由一条射线旋转而成的；
A
B
∠∠A1MA2 ∠A2MA1 ∠M
A1
∠FAC ∠CAF ∠A
C
图中有几个角？你能把它们表示出来吗？
A
312
O
C B
答：∠AOB、∠1 （ ∠ ）、 ∠2（ ∠ ）
把图中的角表示成下列情势，哪些正确，
哪些不正确？
C
A
P
MO
（1）∠MPC （2）∠AOP （3）APO （4）∠OAP （5）∠O （6） ∠P
Ａ
Ｄ
Ｂ
Ｃ
找出图中的所有角（不计平角） 并把它表示出来：
Ｍ
Ａ
Ｎ
Ｂ
Ｃ
找出图中的所有角（不计平角） 并把它表示出来：
Ｄ
Ｃ
Ｏ
Ａ
Ｂ
逛一逛
• 如图是江南长城的几 个景点。
• （1）请用字母分别表 示图中的每个景点；
• （2）请用字母表示以 每一个景点为中心的 另两个风景点之间的 夹角。
A 龙兴寺
B
崇和门
C揽胜门
念
概
的
角
角的定义
什么是角呢? 生活中有许多与角有关的实例,视察 下图,你能指出图中的角吗?
角是由两条具有公共端点的射线组成的图形。
射边线
公共端点
顶点
射边线
1.角的定义： 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角
上海市松江区六年级数学下册7.3角的概念与表示精选教学PPT课件沪教版五四制
复习回顾
O
B
想一想：
A
（1）你能指出所画角的边和顶点吗？
（2）角的两边是前面学过的什么图形，它们
的位置关系如何？
慧眼识金
判断下列哪些图形是角
(√)
（×）
(√)
(√)
判断
两条射线组成的图形叫角。
判断
角的大小与边的长短无关
√
角的表示方法：
1、角一般用三个大写英文字母表示。如∠AOB A
表示顶点的字母“O”写在三 个字母的中间。
冲关测试
2.如图 (1)用三个大写字母表示角:
∠1为 ∠EDB或∠ EDC ; ; ∠ABC ∠3为________ . (2)可以用一个大写字母表示的角是 ∠D ,∠A，∠C __________________________
D
1 2
∠2为 ∠DBE或∠DBA
A E
3
B
C
考考你
思考题：数一数下面一共有几个角
？
一共有 6个角
考考你
如图，以O为顶点的角有几个， 请分别把他们读出来。 解：共有10个角， 分别是： ∠AOB，∠AOC， ∠AOD，∠AOE， ∠BOC，∠BOD， ∠BOE，∠COD， ∠COE，∠DOE。
E D A C
B
O
考考你
（1）如图∠AOB内部画1条射 线，问图中一共有多少个角？ 如果是画2条、3条呢？
其中任何一个角都不能记作∠O， 而必须用三个大写英文字母表示。
角的表示方法：
（3）在角的内部标上一个数字， 如：1、2、3……。记作∠1、∠2、∠3。
（4）或者在角的内部标上一个小写的希腊字母，
如α、β 、γ 。
则记作∠α ，∠β ，∠γ ；
【人教A版】高中数学必修第二册：7.3复数的三角表示-同步讲义
【人教A 版】 7.3 复数的三角表示 同步讲义1、复数bi a z +=化为三角形式)sin (cos i r z θθ+=， 式中22b a r +=，是复数的模（即绝对值），θ是以x 轴的正半轴为始边，射线OZ 为终边的角，叫做复数的辐角，辐角的主值为],(ππθ-∈，通常记为Z arg 这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算2、复数三角形式的乘法法则：模数相乘，幅角相加复数三角形式的乘方法则：模数乘方，幅角n 倍复数三角形式的除法法则：模数相除，幅角相减题型一 复数的代数形式与三角形式互化例 1 复数的代数形式与三角形式互化：（1）13i -+；（2）552cos sin 66i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 【答案】（1）222cossin 33i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.（2）3i -+ 【分析】 （1）先求得模长，以及辐角主值，再写出三角形式即可；（2）将三角形式的复数进行化简整理即可.【详解】（1）()2132,arg 133r i i π=-+=-+=， 所以22132cos sin 33i i ππ⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭. （2）55312cos sin 236622i i i ππ⎛⎫⎛⎫+=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知识梳理知识典例所以552cos sin 66i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=3i -+. 复数的代数形式与三角形式互化： （1）33i -；（2）553cos isin 44ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 【答案】（1）111133i 23cosisin 66ππ+⎛⎫-= ⎪⎝⎭（2）3232i 22-- 【分析】（1）先根据模公式22r a b =+ 求出模来，再根据其对应的点是()3,3-在第四象限，求出()11arg 33i 6π-=，最后写成三角形式.（2）分别求出55cos,sin 44ππ 再整理为a bi + 的形式.【详解】（1）()223323r =+-=.因为与33i -对应的点在第四象限，所以()11arg 33i 6π-=， 所以111133i 23cos isin 66ππ+⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （2）55552232323cosisin 3cos 3sin i 33i i 44442222ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=⨯-+⨯-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭题型二 三角形式化简例 2 5(13)162cos sin 66i i +⎛- ⎪⎝⎭. 巩固练习【答案】6222i - 【分析】 利用复数的三角形式化简求解即可. 【详解】 原式=52cos sin 33162cos sin 66i i ππππ⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 555cos sin 3636162i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦11112cos sin 66i ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3162222i i ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎭已知i 为虚数单位，计算：132cos sin 2233i i ππ⎛⎫⎡⎤⎛⎫+÷-= ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭_________. 【答案】1344i -+ 【分析】先把132i +转化为cos sin 33i ππ+，再利用复数三角形式的除法运算法则即可求出答案. 【详解】解：原式cos sin 2cos sin 3333i i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+÷⨯- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos sin 2cos 3333i isin ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+÷-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1cos sin 23333i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1344i =-+. 巩固练习故答案为：1344i -+. 题型三 辐角主值 例 3 复数2021111i z i +⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭的辐角主值为________. 【答案】34π 【分析】先化简2021111i z i +⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭再根据辐角主值的定义求解即可.【详解】 因为11i i i +=-,所以2021202111i i i i +⎛⎫== ⎪-⎝⎭所以3312cos sin 44z i i ππ⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭,所以复数z 的辐角主值为34π. 故答案为：34π复数55sincos 1818z i ππ=-+的辐角主值为（ ） A ．518π B ．169π C ．29π D ．79π 【答案】D【分析】化简55sincos 1818z i ππ=-+利用诱导公式化成标准形式再判断即可. 【详解】 5577sincos cos sin 181899z i i ππππ=-+=+,故复数z 的辐角主值为79π. 故选：D 巩固练习题型四 向量旋转例 4 将复数13i +对应的向量ON 绕原点按顺时针方向旋转2π，得到的向量为1ON ，那么1ON 对应的复数是（ ） A ．3i -B ．3i +C ．3i --D ．3i -+ 【答案】A【分析】先将复数13i +写成三角形式,再根据三角形式的运算法则求解即可.【详解】复数13i +的三角形式是2cos sin 33i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,向量1ON 对应的复数是 2cos sin 332cos sin 366cos sin 22i i i ππππππ⎛⎫+ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦+ 故选：A在复平面内，把与复数22i -+对应的向量绕原点O 按逆时针方向旋转75︒，求与所得向量对应的复数（用代数形式表示）.【答案】62i --【分析】根据三角形式的复数乘法意义，应用乘法法则，计算即可.【详解】与所得向量对应的复数为()()22cos75sin75i i -+⨯︒+︒()()22cos135sin135cos75sin 75i i =︒+︒⨯︒+︒()()22cos 13575sin 13575i =︒+︒+︒+︒⎡⎤⎣⎦()22cos210sin 210i =︒+︒=312222i ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎭巩固练习=.1、将复数1i+对应的向量OM绕原点按逆时针方向旋转4π，得到的向量为1OM，那么1OM对应的复数是（）A．2i B C．22+D【答案】B【分析】根据复数的三角形式运算求解即可.【详解】复数1i+cos sin44iππ⎫+⎪⎭,向量1OM对应的复数cos sin cos sin4444iππππ⎫⎛⎫+⨯+⎪ ⎪⎭⎝⎭cos sin22iππ⎫=+=⎪⎭故选：B2、复数cos sin44z iππ=+的辐角主值是（）A．34πB．4πC．34π-D．4π-【答案】B【解析】【分析】根据辐角主值的定义，结合题目，即可求得.【详解】由辐角主值的定义，知复数cos sin44z iππ=+的辐角主值是4π.故选：B.3、将复数4cos sin22iππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦化成代数形式，正确的是（）巩固提升A ．4B ．-4C ．4iD ．4i -【答案】D【分析】 根据特殊角的三角函数值，化简即可.【详解】4cos sin 22i ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()401i =+-⎡⎤⎣⎦4i =-故选：D .4、复数3z i =-+化成三角形式为________.【答案】552cos sin 66i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【分析】 利用复数的几何意义分析即可.【详解】如图,2r ,3cos θ=-,56πθ=,5532cos sin 66i i ππ⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭故答案为：552cos sin 66i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭5、计算：()63cos135isin135÷︒+︒=______.【答案】22i -【分析】先将6转化三角形式()6cos0isin0︒+︒，再用复数的除法求解.()()()63cos135isin1356cos0isin03cos135isin135÷︒+︒=︒+︒÷︒+︒()()()()2cos 0135isin 01352cos 135isin 135=︒-︒+︒-︒=-︒+-︒⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=.故答案为：.6、复数3cossin 55z i ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的模是_____________. 【答案】3【分析】根据复数的三角形式的定义，即可得到复数的模.【详解】 复数3cossin 55z i ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是三角形式， 故z 的模是3.故答案为：3. 7、复数1cos sin 33i ππ+的代数形式是_____________.【答案】122- 【分析】根据复数的除法运算进行计算，即可化简为代数运算.【详解】11cos sin 3322cos isin 33i ππππ=-=-+.故答案为：122-. 8、计算：()82cos45sin 45i i ÷︒+︒=_______________.【答案】【分析】将8i 化为复数的三角形式，再利用除法法则，进行计算即可.()82cos45sin 45i i ÷︒+︒()()8cos90sin902cos45sin 45i i =︒+︒÷︒+︒()()4cos 9045sin 9045i =︒-︒+︒-︒⎡⎤⎣⎦()4cos45sin 45i =︒+︒=故答案为：.9、已知复数z 的模为2，求复数z 的代数形式和三角形式.【答案】z i =或z i =；2cos sin 66z i ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭或2cos sin 66z i ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.在复平面内，把与复数4+对应的向量绕原点O 按顺时针方向旋转15︒，求与所得向量对应的复数（用代数形式表示）.【答案】【分析】根据复数除法的意义，进行计算即可.【详解】与所得向量对应的复数为()()4cos15sin15i +÷︒+︒ ()()8cos60sin60cos15sin15i i =︒+︒÷︒+︒()()8cos 6015sin 6015i =︒-︒+︒-︒⎡⎤⎣⎦()8cos45sin 45i =︒+︒822⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭=.10、把复数1z 与2z 对应的向量OA ，OB 分别按逆时针方向旋转4π和53π后，与向量OM 重合且模相等，已知21z =-，求复数1z 的代数式和它的辐角主值.【答案】+,34π 【分析】 根据题意列出等式,再根据复数的三角形式运算求解即可.【详解】 由复数乘法的几何意义得1255cos sin cos sin 4433z i z i ππππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,又24412cos sin 33z i ππ⎛⎫=--=+ ⎪⎝⎭ 144552cos sin cos sin 3333cos sin 44i i z i ππππππ⎛⎫⎛⎫+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+2cos 3sin 344i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦= 1z 的辐角主值为34π。
七年级角的认识
七年级角的认识【知识要点】1.角的概念：①由两条具有公共端点的射线组成,两条射线的公共端点是这个角的顶点,这两条射线叫做角的边.②由一条射线绕着它的端点,从一个位置转到另一个位置所形成的图形叫做角.2.角的表示法①用角的顶点和两边上各一点的三个大写字母表示,如图 a 中的角,记作∠AOB 。
注：顶点字母写在中间。
②在角的顶点处只有一个角时,用一个字母表示,如∠AOB 也可记作∠O 。
③用希腊字母加弧线表示,如图b,∠ABC 记作∠α。
④用数字加弧线表示,如图b,∠ACB 记作∠1。
3.角的单位：角的度量单位是度、分、秒 ,单位换算：六十进制 061'=︒,061''=' 4.平角、周角、直角平角=180° 周角=360° 直角=90° 1周角=2平角=4直角5.方位角 :方位角是表示方向的角,具体表示时通常南北在前,再写偏东或偏西多少度.6.角的计数:由一个顶点引出n 条射线共有2)1(-n n 个角(小于或等于平角). 7.角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线.【经典例题】【例1】如图,在∠AOB 的内部有两条射线OC,OD,请问图中有几个角？ 思考：若在∠AOB 的内部有n 条射线时,有几个角？【例2】①3点45分时,时针与分针的夹角是________度。
BOAaOBC A1bαA 1A 3A nA 2...②某校七年级在下午3：00开展“阳光体育”活动．下午3：00这一时刻,时钟上分针与时针所夹的角等于__________度。
③换算单位：48°39′+67°31′= 41.2°=_____°_____′0.75°=′= ″ 2700″= ′ = °【例3】①如图,OC平分∠BOD,∠AOD=110°,∠COD=35°,求∠AOC的度数．②如图,OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线,∠EOD=60°,求∠AOB的度数．【例4】如图,货轮O在航行过程中,发现灯塔A在它南偏东60°的方向上,同时,在它北偏东40°,南偏西10°,西北（即北偏西45°）方向上又分别发现了客轮B,货轮C和海岛D,仿照表示灯塔方位的方法画出表示客轮B,货轮C和海岛D方向的射线并求出∠AOB的度数．O【例5】如图,三角板的直角顶点在直线l上,看∠1=40°,则∠2的度数是．【课堂练习】1.下列说法正确的是（ ）A.平角是一条直线B.已知OC 是∠AOB 的平分线,则∠AOB=21∠AOC C.周角是一条射线 D.上午9点整时,时针和分针的夹角是90° 2.下列说法正确的是（ ）A.若两个角的和为180°,则必有一个角是钝角B.平面上A,B 两点间的距离是线段ABC.若线段AC=BC,则点C 是线段AB 的中点D.平面上有三点A,B,C,过其中两点的直线有三条或一条 3.下列关于角的说法正确的个数是( )①角是由两条射线组成的图形；②角的边越长,角越大；③有公共端点的两条线段组成的图形叫做角；④∠AOB=90°,∠BOC=30°则∠AOC=120°； ⑤角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。
七年级上册数学角重要知识点
七年级上册数学角重要知识点数学角重要知识点
数学角是我们学习数学时需要掌握的重要概念之一，下面我们来一起学习一下七年级上册数学角的重要知识点。
一、角的定义
角是由两条射线共同端点所组成的图形，其中的射线称为角的边，共同的端点称为角的顶点。
角的大小通常用度数或弧度来表示。
二、角的分类
按角的大小，角可以分为三种类型：
1.锐角：小于90度的角称为锐角。
2.直角：等于90度的角称为直角。
3.钝角：大于90度小于180度的角称为钝角。
三、角的度数
角的大小用度数来表示，如一个圆的周长是360度，一个直角的角度是90度。
四、角的度分秒表示法
度数也可以用几度几分几秒的形式表示，例如一个角大小可以表示为67°28′36″。
五、角的度数计算
1.角大小的计算公式：角度数 = 弧度数× 180°/π
2.角度的加减：对于角α和角β，α+β和α-β的度数分别等于它们各自的度数之和和之差。
六、角平分线
在一个角内，连接角的顶点和角的边上一点，把角分成两个相
等的角的射线称为角的平分线。
七、垂线
垂线是指从一个点向另一条直线或曲线作的垂直于该直线或曲
线的直线段，在平面几何中具有重要的作用。
八、垂直和水平
垂直和水平是指二维平面上垂直于地面和水平于地面的方向。
在数学中，把垂直方向称为竖直方向，把水平方向称为横向。
以上就是七年级上册数学角的重要知识点，掌握好这些知识点，可以为以后的学习打下坚实的基础。
七年级上册数学角的知识点
七年级上册数学角的知识点在七年级上册的数学课程中，我们将开始学习关于角的知识，角的概念和基本性质对于数学学习尤为重要。
本文将从什么是角、角的种类、角的度数以及角的补角和余角这几个方面来介绍七年级上册数学角知识点。
什么是角角是由两条直线或线段在同一平面内共同围成的部分。
其中两条直线或线段称为角的边，它们的公共端点称为角的顶点。
角通常用大写字母表示，如∠ABC，其中顶点是B，边分别是BA和BC。
角的种类根据角的大小和位置，可以将角分为以下四种种类：直角、锐角、钝角、周角。
1. 直角：指两条直线相交而形成的角度为90度的角。
表示为∠ABC=90°。
其中A、B、C三点必须在同一平面内。
2. 锐角：指两条直线相交而形成的角度小于90度的角。
表示为∠ABC<90°。
3. 钝角：指两条直线相交而形成的角度大于90度小于180度的角。
表示为∠ABC>90°。
4. 周角：指一个角的度数等于360度。
周角可以看做由四个直角组成，因此任何一个角的度数不能大于360度。
角的度数角的度数是用角度制来表示的，角度制将一个圆分成360个等份，每一份为1度。
每一度又可以分为60份，每一份为1分。
每一分又可以分为60秒，每一秒为1秒。
因此，1个角度=60分=3600秒。
当角的大小小于1度时，通常使用度分秒方法表示。
例如：0度30分12秒的角用数学符号表示为0°30′12″。
角的补角和余角在平面直角坐标系中，两个角的和等于它们的补角和。
因此，如果角A和角B是补角，那么∠A+∠B=90度。
同样，两个角的和等于它们的余角和。
如果角A和角B是余角，那么∠A+∠B=180度。
补角和余角在解决一些几何问题时经常使用，下面举一个例子。
例题：已知∠ABC为钝角，∠CDE是∠ABC的补角，则∠CDE是什么角？解析：因为∠ABC是钝角，所以∠ABC>90°，因此∠CDE=180°-∠ABC<90°，因此∠CDE是锐角。
7.3两条直线的位置关系(到角与夹角)
3 例1：求直线 1：y=－2x+3, l2: y = x － ：求直线l － 2 的夹角。 的夹角。
例1
两条直线的斜率分别为k 解: 两条直线的斜率分别为 1= －2, k2=1 ,设l1与l2 设 夹角为θ 的 夹角为
l1 2
k2 − k1 1− (−2) 得： tgθ = = =3 1+ k2k1 1+1• (−2)
思考题
k3 − k2 k3 +1 tanθ2 = = 1+ k3k2 1− k3
因为L 因为L1、L2、L3所围成的三角形 是等腰三角形，所以θ 是等腰三角形，所以θ1=θ2
L2 θ2
y
L3 L1
k 3 + 1 ∴ = − 3 1 − k 3
∴tanθ2=tanθ1= －3
O θ1
x
解得 k3 =2 y=2 [ x－（－2）] 即2x－y+4 = 0 x－（－2 －（－ 2x－ ∴L3的方程是：2x－y+4 = 0 的方程是：2x－
因为
2 所以： 所以：θ=arc tg3 ≈710341
θ ∈(0， ）
π
课堂练习二
求下列两条直线的夹角： 求下列两条直线的夹角： y=3x－ y=－ ⑴y=3x－1，y=－x/3+4 （900） y=5；y=4， ⑵x－y=5；y=4， （450） ⑶y=2x+1 ; x=2 (π/2-arctan2)
平行、 1. 平行、相交 如果两条直线的斜率 都存在， 2. 如果两条直线的 斜率 k1 、 k2 都存在 ， 而且 斜率互为负倒数，两条直线互相垂直. 斜率互为负倒数，两条直线互相垂直. 如果一条直线的斜率不存在 斜率不存在， 如果一条直线的斜率不存在，则另一条直 线斜率为0 两直线垂直。 线斜率为0,两直线垂直。
七年级数学角的基本概念与性质
七年级数学角的基本概念与性质数学是一门精密而有趣的学科，而角是数学中的基本概念之一。
本文将重点介绍七年级数学中有关角的基本概念与性质，帮助读者对角有更深入的理解。
1. 角的定义角是由两条射线或线段的公共端点组成的图形。
射线或线段的公共端点称为角的顶点，而射线或线段称为角的两条边。
我们通常用大写字母来表示角，如∠ABC或∠P。
2. 角的度量单位角的度量单位通常有两种，即角度和弧度。
在初中数学中，我们主要使用角度来度量角。
一个完整的圆周分为360度，所以一个直角的度数为90度，一个平角的度数为180度。
3. 角的分类根据角的大小，我们可以将角分为不同的类型。
主要的类型有：- 钝角：大于90度但小于180度的角。
- 直角：正好为90度的角。
- 锐角：小于90度的角。
4. 角的性质在数学中，角具有一些重要的性质，它们对于解决各种几何问题非常重要。
下面是一些常见的角性质：- 互补角性质：两个角的度数相加等于90度。
如果∠ABC和∠BCD是互补角，那么∠ABC + ∠BCD = 90度。
- 补角性质：两个角的度数相加等于180度。
如果∠ABC和∠BCD 是补角，那么∠ABC + ∠BCD = 180度。
- 垂直角性质：两个互相垂直的角的度数相等。
如果∠ABC和∠CBD是垂直角，那么∠ABC = ∠CBD。
- 同位角性质：当两条直线被一条截线切割时，位于同一侧的内角或外角的度数之和等于180度。
5. 角的度数计算当我们需要计算一个角的度数时，可以利用一些基本的计算方法来求解。
下面是一些常见的计算方法：- 已知两条角的度数，可以通过相加或相减来计算第三角的度数。
例如，如果∠ABC = 50度，∠BCD = 80度，则∠ABD = ∠ABC +∠BCD = 50度 + 80度 = 130度。
- 已知一个角的补角或互补角，可以用对应结果来计算角的度数。
例如，如果∠ABC = 40度，那么它的补角∠DBC的度数为180度 - 40度 = 140度。
数学人教A版必修第二册7.3复数的三角表示课件(1)
特别注解
i2 1， (1)2 1的几何意义：
（1）设
z1
z2
i
cos
π 2
i sin
π 2
，作与
z1
，
z2
对应的向量 OZ1
， OZ2
，然
后把向量 OZ1 ，绕原点 O 按逆时针方向旋转，得到一个长度为 1，辐角为 π 的向
量 OZ ，则 OZ 即为积 z1 z2 1 所对应的向量.
（2）设 z3 z4 1 cos i sin , ，作与 z3 ， z4 对应的向量OZ3 ，OZ4 ，然
12
cos
210
i
sin
210
12
3 2
1 2
i
6
3 6i .故选 D.
D 4.
4(cos
π
i
sin
π)
2
cos
π 3
i
sin
π 3
(
)
A.1 3i
B.1 3i
C. 1 3i
D. 1 3i
解析：
4(cos
π
i
sin
π)
2
cos
π 3
i
sin
π 3
2
cos
π
π 3
i
sin
π
π 3
复数 z 由向量 OZ 的坐标 (a,b) 唯一确定.我们知道向量 也可以由它的大小和方向唯一确定，那么能否借助 向量的大小和方向这两个要素来表示复数呢？ 如何表示？
记向量的模 OZ a bi r ，由上图可以得到（由三角函数定义得），
a r cos , b r sin.
所以 a bi r cos ir sin r(cos isin ),
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∠1
(4)也可用一个希腊字母表示,
A
D
并在靠近顶点处画上弧线,写上希腊字母
C B
∠
O
A
试试看
将图中的角用不同的方法表示 出来，并填写下表 B
5 4 3
∠2 ∠3
∠BAC
2 C
D
∠1
∠BCE
A
1
∠5
E
∠4
∠DAB
外部 内部
内部 外部
涂颜色部分是角的外部，简称角外。
注：本书中，除了周角外，未加说 明的角是指小于平角的角。
学习新知
角用“∠”表示，读做“角”。
角的表示方法有下面四种：
(1)角可以用三个大写字母表示 但表示顶点的字母一定写在中间
C
P
(2) 用一个字母表示角,
O
学习新知
(3) 用一个数字表示角, 在靠近顶点处画上弧线,写上数字
∠ACB
∠ABC
学习新知
方向角：
OA方向为北偏东30° OB方向为南偏西60°
A 30°
北（N）
西（W） O 60° B 15° C
东（E）
南（S）
OC方向不能说成：“东 偏南15°”，而应该说 成“南偏东75°”
学习新知
请说出图中射线OA、OB、OC、OD所表示的方向。
北
30°
30° 48° O
A
OA方向为北偏东30° OB方向为南偏东 45° 东 OC方向为南偏西42°方向为北偏西60°
C
南
它们给我们怎样的图形印象
角的定义（1）
角是由两条具有公共端点的射线组成的图形。
射线 边
顶点
射线 边
复习回顾
O
B
想一想：
你能指出所画角的边和顶点吗？
A
角的定义（2）:
角也可以看做一条射线绕端点旋转所形 成的图形
角的始边转动到角的终边所经过 的平面部分，叫做角的内部，简称 角内。通常角的内部用不带箭头或 带箭头的弧线表示。