1.3.1函数的基本性质

求函数的最大(小)值的方法
1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值 2. 利用图象求函数的最大(小)值 3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值
课堂练习
1.函数f(x)=x2+4ax+2在区间(-∞，6]内递减，则a 的取值范围是( ) A、a≥3 B、a≤3 C、a≥-3 D、a≤-3
那么，称M是函数y=f(x)的最大值
2．最小值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存 在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M是函数y=f(x)的最小值
注意：
1.函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即 存在x0∈I，使得f(x0) = M； 2.函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小） 的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M （f(x)≥M）．
探究： 1 画出反比例函数 y 的图象。 x （1）这个函数的定义域I是什么？ （2）它在定义域I上的单调性是怎样的？证明你的结 论。
通过观察图象，先对函数是否具有某种性质做 出猜想，然后通过逻辑推理，证明这种猜想的正确 性，是研究函数性质的一种常用方法。
方法小结
用定义证明函数的单调性的步骤: (1).设x1＜x2, 并是某个区间上任意二值;取值 (2).作差f(x1)－f(x2) ; (3).判断 f(x1)－f(x2) 的符号: ① 分解因式, 得出因式(x1－x2） ② 配成非负实数和。 ③有理化。
1.3
函数的基本性质
观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了 相应函数的哪些变化规律：
1.观察这三个图象，你能说出图象的特征吗？ 2.随x的增大，y的值有什么变化？
1.3.1 单调性与最大（小）值
请观察函数y=x2与y=x3图象，回答下列问题：
1.当x∈[0，+∞)，x增大时，图（1）中的y 值 增大 ；图（2）中的y值 增大 。 2.当x∈(－∞，0)，x增大时，图（1）中的y 值 减小 ；图（2）中的y值 增大 。

f(x1)<f(x2) f(x1)>f(x2)
例题剖析 例1.下图是定义在 闭区间[-5,5]上的函数y=f(x)的 图象,根据图象说出y=f(x)的单调区间,以及在每个单 调区间上, y=f(x)是增函数还是减函数?
解:函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3), [3,5],其中y=f(x)在区间[-5,-2),[1,3)上是减函数, 在区间[-2,1),[3,5]上是增函数.
14.7 当t 1.5时，函数有最大值 2 (4.9) 4 (4.9) 18 14.7 2 h 29 4 (4.9)
于是，烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻,这 时距地面的高度为29 m.
2 例2.求函数 y 在区间[2，6]上的最大值和最小值． x 1
k 例2：物理学中的玻意耳定律 P （k为正常数）告 v
诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压 强p将增大。试用函数的单调性证明之。
分析：按题意，只要证明函数在区间上是减函数 即可。
例3：证明函数f(x)= x3在R上是增函数. 证明：设x1,x2是R上任意两实数， 取值 且x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=x13-x23 变形 2+x x +x 2 ) =(x1-x2)(x1 1 2 2 = (x1-x2)[(x1+ x2)2+x22] 因为x1<x2 ，则 x1-x2 <0 又 (x1+ x2)2 +x22>0 所以f(x1)-f(x2)<0 定号 即 f(x1)<f(x2) 故f(x)= x3在R上是增函数. 结论
变形
定号 结论
(4). 作结论.
同步练习
1 1.讨论函数f(x)= x + 在(0,+∞) 上的单调性. x
k 2.求函数f(x)=x+ （k>0）在x>0上的单调性 x
3.证明函数f(x)=-2x+1在R上是减函数
作业
习题1.3A组 2
函数最值
画出下列函数的草图，并根据图象解答下列问题： (1) f ( x) 2 x 3
解: (1)设烟花在t秒时距地面的高度为h m,则由物体 运动原理可知： h(t)= -4.9t2+14.7t+18
(2)作出函数h(t)= -4.9t2+14.7t+18的图象(如右 图).显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点， 顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是 这时距地面的高度. 由于二次函数的知识，对于 h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有:
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函 数,那么就说函数y=f(x)在这个区间具有(严格的) 单调性,这一区间叫做y=f(x)的单调区间.
y
请问:
在单调区间上增函数的图象是__________, 减函数的图象是__________. (填“上升的”或“下降的”) 想一想 ：如何从一个函数的图象来判断这个函数在定 义域内的某个单调区间上是增函数还是减函数？ 如果这个函数在某个单调区间上的图象是上升的， 那么它在这个单调区间上就是增函数；如果图象是 下降的，那么它在这个单调区间上就是减函数。
D
2.在已知函数f(x)=4x2-mx+1,在(-∞，-2]上递减， 在[-2,+∞)上递增，则f(x)在[1,2]上的值域 ____________.
[21,39]
3.设函数 f(x) =x2-2x-3.3在区间[t，t+1]上的 最小值为g(t)，求g(t)的解析式。 解：f(x)=(x-1)2-4.3，对称轴为x=1 (1)当t>1时，则g(t)=f(t)=t2-2t-3.3; (2)当0≤t ≤1时，则g(t)=f(1)=-4.3; (3)当t+1<1，即t<0时，则g(t)=f(t+1)=t2-4.3; 故 g(t)= (t<0) t2-4.3; -4.3; (0≤t ≤1) t2-2t-3.3; (t>1)
例题剖析
例1.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是 期望在它达到最高点(大约是在距地面高度25m到30m处) 时爆裂. 如果在距地面高度18m的地方点火，并且烟花 冲出的速度是14.7m/s. (1)写出烟花距地面的高度与 时间之间的关系式. (2) 烟花冲出后什么时候是它 爆裂的最佳时刻?这时距地面 的高度是多少(精确到1m).
4．求函数y
x 1 x 的最大值．
课堂小结
1.函数的最大（小）值及其几何意义． 2.利用函数的单调性求函数的最大（小）值．
作业
习题1.3A组 5
概念辨析
1.函数y＝f(x)，x ∈[0，3]的图象如图所示．
y
O
1
2
3
x
区间[0，3]是该函数的单调增区间吗？
增函数、减函数的三个特征：
（1）局部性：也就是说它肯定有一个区间。区间 可以是整个定义域，也可以是其真子集，因此， 我们说增函数、减函数时，必须指明它所在的区 间。如y=x+1 (X∈Z)不具有单调性 （2）任意性：它的取值是在区间上的任意两个 自变量，决不能理解为很多或无穷多个值。 （3）一致性 增函数：x1<x2 减函数：x1<x2
3.分别指出图(1)、图(2)中，当x ∈[0，+∞)和 x∈(－∞，0)时，函数图象是上升的还是下降的？ 4.通过前面的讨论，你发现了什么？
结论：若一个函数在某个区间内图象是上升的，则函 数值y随x的增大而增大； 若一个函数在某个区间内图象是下降的，则函 数值y随x的增大而减小。
基本概念 一.增函数
y
f(x1)
f(x2)
0
x1
x2
x
设函数f(x)的定义域为I: 如果对于属于定义域I内 某个区间上的任意两个自变量 的值x1,x2, 当x1＜x2时,都有 f(x1)＜ f(x2),那么就说f(x) 在这个区间上是增函数
二.减函数
设函数f(x)的定义域为I: 如果对于属于定义域I内某 个区间上的任意两个自变量 f(x1) f(x2) 的值x1,x2, 当x1＜x2时,都有 x f(x1)＞ f(x2),那么就说f(x) x2 0 x1 在这个区间上是减函数 三、单调性与单调区间
f ( x) x 2 2 x 1 (2)
1.说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调 性；
2.指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的 什么特征？
y
y -1 o
2

o
x
基本概念
1．最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存 在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M