第七章线性离散系统

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7.3 Z变换与Z反变换 1. Z变换的定义 离散信号x*(t)表示为
作拉氏变换可得
令z=eTs，则得离散信号x*(t)的Z变换，并记为
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Z变换的定义：上式中的X(z)称为x*(t)的Z变换。 ① z=eTs， z是一个复变量；
② Z变换是对离散信号(采样脉冲序列)进行的一种变换；
③ X(z)=Z[x*(t)]=Z[x(t)] ，同一信号不同表示形式对应的脉冲 序列的Z变换。
7.3 Z变换与Z反变换
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2. Z变换的基本定理 在Z变换中有一些与拉氏变换类似的基本定理，应用这些
定理可使Z变换的运算变得简单方便。
设x1(z)=Z[x1(t)]，x2(z)=Z[x2(t)]，x (z)=Z[x(t)]。
1) 线性定理：离散信号线性组合的Z变换等于它 们的Z变换的线性组合。
控制工程基础 （第七章）
主讲：XZIT 2017
• 7.1 概述 • 7.2 信号采样和保持 • 7.3 Z变换与Z反变换 • 7.4 离散系统的数学模型 • 7.5 离散系统分析 • 7.6 离散系统分析的MATLAB方法
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7.1 概述
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1. 离散控制系统的特 点
r( t)
e( t)
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7.2 信号采样和保持
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2. 采样定理 采样周期的选择：
工程实践表明，根据表8.1给出的参考数据选择采样 周期T，可以取得满意的控制效果。
表 8.1 采样周期的T参考数据
控制过程
采样周期T
流量
1~3
压力
1~5
液位
5~10
温度
10~20
成分
10~20
7.2 信号采样和保持 2. 采样定理
7.2 信号采样和保持 3. 信号恢复
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① T取得越小，xh(t)与x(t)的差别越小； ② 相位滞后，xh(t)比x(t)平均滞后半个采样周期； ③ 时域特性(单位脉冲响应)为 gh(t)=1(t)-1(t-T)；
④ 零阶保持器的传递函数为
7.3 Z变换与Z反变换
1. Z变换的定义 2. Z变换的基本定理 3. 求Z变换 4. 求Z反变换
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采样周期的选择：
根据工程实践经验，随动系统的采样频率可近似取 为
即采样周期可按下式选取为
通过单位阶跃响应的上升时间tr或调节时间ts，按下 列经验公式选取：
或者
7.2 信号采样和保持
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3. 信号恢复
信号的恢复是指将采样信号恢复为连续信号的过程， 能够实现这一过程的装置称为保持器。
保持器是具有外推功能的元件，保持器的外推 作用，表现为现在时刻的输出信号取决于过去时刻离散 信 号的外推。
t
0
5T6T7T T 2T 3T4T
t
7.2 信号采样和保持
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1. 信号采样 离散信号x*(t)为一理想脉冲序列，脉冲仅在采样时
刻t=nT(n=0,1,2···)出现，而脉冲强度由nT时刻的连 续函数x (nT)值来确定。
数学描述：
在数字式仪表或计算机中，离散信号x*(t)为一数字 序列，而数字序列可以看作是以数字表示其幅值的脉冲 序列，它与上述脉冲序列并没有本质区别。
式中a1、a2为常数。 2) 滞后定理(负偏移定理、右偏移定理)
上式表明时域信号滞后k个采样周期，其Z变换需乘以z-k。
7.3 Z变换与Z反变换
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2. Z变换的基本定理
3) 超前定理(正偏移定理、左偏移定理)
k 1
A/D
数字 计算
u *(t) D/A
uk( t)
被控 对象
c( t)
b(
机
t)
测量元
图 8.1 (数字件)计算机控制系统方框图
数字控制系统是一种以数字计算机为控制器去控制具有连续 工作状态的被控对象的闭环控制系统。
A/D：经采样、量化、编码转换把模拟信号变成数字信 号。
D/A：经保持、解码(信号恢复)将数字信号转化成模拟 信号。
1. 离散控制系统的特点 8.1 概述
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(a) 连续信号
(b) 离散信号
(c) 数字信
图 8.2 A/D转换过程 号
A/D转换过程是A/D转换器每隔一个采样周期对输入的连续信
号采样一次，使其变为离散时间信号，再通过量化变成以（二进
制表示的）数字信号。通常，采用采样周期为常数即等速（单速）
采样的采样方式。
7.1 概述
1. 离散控制系统的 特点
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(a) 数字信
号
图 8.3
(b) 连续信号 D/A转换过程
D/A转换过程是将数字信号恢复成连续信号。
7.1 概述
➢ 数字控制系统的典型结构图
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图 8.4 与图 8.1 等效的离散系统结构图
Gc(s) Gh(s) Gp(s) H(s)
数字控制器的等效传递函数 信号恢复器的传递函数 被控对象的传递函数 测量元件的传递函数
离散控制系统的特点：从信号上看存在离散时间信号 (离散信号、采样信号、脉冲序列或数字序列)；从元件上看 有采样开关与信号恢复器。
7.1 概述 2. 离散控制系统的定义
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离散控制系统的定义：当系统中某处或多处的信号 为在时间上离散的脉冲序列或数码形式时，这种系统称 为离散控制系统或离散时间控制系统。
kT t (k 1)T 时， e(nT t) a0 a1t a2t 2 amt m
14
7.2 信号采样和保持
3. 信号恢工复程实践中普遍采用零阶保持器。 x*(t) 零阶保持器 xh(t)
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零阶保持器：将离散信号转换成在两个连续采样时刻 之间保持常量的信号。
常值外推 x(nT+τ)=x(nT) (0<τ<T)
7.2 信号采样和保持
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2. 采样定理
香农（Shannon）采样定理：如果采样器的输入信号x(t) 具有有限带宽，并且有直到ωmax的频率分量，如果采样 频率满足
则采样信号x*(t)可以完全复现连续信号x(t)。其中，ωs为采样 频率，T为采样周期，ωmax为连续信号中最高次谐波的角频率。
采样定理是从离散信号完全复现原连续信号的必要条件。 该定理给出了信号采样的最小采样频率。
7.2 信号采样和保持
1. 信号采样 2. 采样定理 3. 信号恢复
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7.2 信号采样和保持
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1. 信号采样
采样过程：通过采样开关将连续信号变为离散信号 (采样信号)的过程。
x(t)
x(t)
x*(t)
输入连续信号T
T 输出离散信号
–
采样周期
x*(t)
采样后
0பைடு நூலகம்
5T6T7T T 2T 3T4T