苏州高三数学(正题)期中参考答案

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2021-2022学年江苏省苏州市高三(上)期中数学试卷(附答案详解)

2021-2022学年江苏省苏州市高三（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合M ={x|−2≤x ≤3}，N ={x|log 2x ≤1}，则M ∩N =( )A. [−2,3]B. [−2,2]C. (0,2]D. (0,3]2. 若a >0，b >0，则“ab <1”是“a +b <1”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 若tanα=34，则1+sin2α1−2sin 2α=( )A. −17B. −7C. 17D. 74. 函数f(x)=(3x −x 3)sinx 的部分图象大致为( )A.B.C.D.5. 已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE =2EF ，则AF⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A. −58B. 14C. 18D. 1186. 定义方程f(x)=f′(x)的实数根x.叫做函数f(x)的“躺平点”.若函数g(x)=lnx ，ℎ(x)=x 3−1的“躺平点”分别为α，β，则α，β的大小关系为( )A. α≥βB. a >βC. α≤βD. α<β7. 已知函数f(x)=Asin(ωx −π6)(A >0,ω>0)，直线y =1与f(x)的图象在y 轴右侧交点的横坐标依次为a 1，a 2，…，a k ，a k+1，…，(其中k ∈N ∗)，若a 2k+1−a 2ka 2k −a 2k−1=2，则A =( )B. 2C. √2D. 2√3A. 2√338.设数列{a m}(m∈N∗)，若存在公比为q的等比数列{b m+1}(m∈N∗)，使得b k<a k<b k+1，其中k=1，2，…，m，则称数列{b m+1}为数列{a m}的“等比分割数列”，则下列说法错误的是()A. 数列{b5}：2，4，8，16，32是数列{a4}：3，7，12，24的一个“等比分割数列”B. 若数列{a n}存在“等比分割数列”{b n+1}，则有a1<⋯<a k−1<a k<⋯<a n和b1<⋯<b k−1<b k<⋯<b n<b n+1成立，其中2≤k≤n，k∈N∗C. 数列{a3}：−3，−1，2存在“等比分割数列”{b4}D. 数列{a10}的通项公式为a n=2n(n=1,2,…,10)，若数列{a10}的“等比分割数列”{b11}的首项为1，则公比q∈(2,2109)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）=2−i(i为虚数单位)，设复数z=(a+1)+(a−1)i，则下列9.已知实数a满足3−ai1+i结论正确的是()A. z为纯虚数B. z2为虚数C. z+z−=0D. z⋅z−=410.已知不等式x2+2ax+b−1>0的解集是{x|x≠d}，则b的值可能是()A. −1B. 3C. 2D. 011.关于函数f(x)=sin|x|+|cosx|有下述四个结论，则()A. f(x)是偶函数B. f(x)的最小值为−1,π)单调递增C. f(x)在[−2π,2π]上有4个零点D. f(x)在区间(π212.如图，正方形ABCD与正方形DEFC边长均为1，平面ABCD与平面DEFC互相垂直，P是AE上的一个动点，则()A. CP的最小值为√32B. 当P在直线AE上运动时，三棱锥D−BPF的体积不变C. PD+PF的最小值为√2−√2D. 三棱锥A−DCE的外接球表面积为3π三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知曲线y =me x +xlnx 在x =1处的切线方程为y =3x +n ，则n =______． 14. 已知数列{a n }是等差数列，a 1>0，a 3+3a 7=0，则使S n >0的最大整数n 的值为______．15. 某区域规划建设扇形观景水池，同时紧贴水池周边建设一圈人行步道．要求总预算费用24万元，水池造价为每平方米400元，步道造价为每米1000元(不考虑宽度厚度等因素)，则水池面积最大值为______平方米．16. 已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(1−x)=f(x)，则f(x)的最小正周期为______；若对任意的x 1，x 2∈[0,12]，当x 1≠x 2时，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>π，则关于x 的不等式f(x)≤sinπx 在区间[−32,32]上的解集为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知向量a ⃗ =(2sinx,2sin(x +π4))，向量b ⃗ =(cosx,√62(cosx −sinx))，记f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ (x ∈R)． (1)求f(x)表达式；(2)解关于x 的不等式f(x)≥1．18. 在下列条件：①数列{a n }的任意相邻两项均不相等，且数列{a n 2−a n }为常数列，②S n =12(a n +n +1)(n ∈N ∗)，③a 3=2，S n+1=S n−1+1(n ≥2,n ∈N ∗)中，任选一个，补充在横线上，并回答下面问题．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=2，______． (1)求数列{a n }的通项公式a n 和前n 项和S n ； (2)设b k =1S 2k ⋅S 2k+1(k ∈N ∗)，数列{b n }的前n 项和记为T n ，证明：T n <34(n ∈N ∗)．19.在等腰直角三角形ABC中，已知∠ACB=90°，点D，E分别在边AB，BC上，CD=4．(1)若D为AB的中点，三角形CDE的面积为4，求证：E为CB的中点；(2)若BD=2AD，求△ABC的面积．20.如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC=2，BC=CD=1，∠CAD=30°，∠ACB=60°，M是PB上一点，且PB=3MB，N是PC中点．(1)求证：PC⊥BD；(2)若二面角P−BC−A大小为45°，求棱锥C−AMN的体积．−alnx(a>0)．21.已知函数f(x)=ax−1x(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有两个极值点x1，x2(x1<x2)，且不等式f(x1)+f(x2)2>f(x1+x22)+mx1x2恒成立，求实数m的取值范围．22.已知函数f(x)=lnx−x+2sinx，f′(x)为f(x)的导函数，求证：(1)f′(x)在(0,π)上存在唯一零点；(2)f(x)有且仅有两个不同的零点．答案和解析1.【答案】C【解析】解：集合M={x|−2≤x≤3}=[−2,3]，N={x|log2x≤1}=(0,2]，则M∩N= (0,2]．故选：C．先化简集合N，再根据交集的运算即可求出．本题考查描述法、区间的定义，以及对数不等式的解法和交集的运算，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：∵a>0，b>0，⇒∵ab<1，令a=4，b=18，则a+b>1，∴充分性不满足．⇐当a+b<1时，0<a<1且0<b<1，所以ab<1，∴a>0，b>0，ab<1a+b<1的必要不充分条件，故选：B．判断充分条件、必要条件时均可以列举出满足条件的数，或使之不成立的数．本题考查了充分、必要条件的判断，可以列举出满足条件的具体数进行判断，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：因为tanα=34，所以1+sin2α1−2sin2α=sin2α+cos2α+2sinαcosαsin2α+cos2α−2sin2α=tan 2α+1+2tanα1−tan 2α=(34)2+1+2×341−(34)2=7．故选：D ．由已知利用二倍角的正弦公式，同角三角函数基本关系式将1+sin2α1−2sin 2α用tanα表示，再求值即可．本题主要考查了二倍角的正弦公式，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：∵f(−x)=(−3x +x 3)sin(−x)=(3x −x 3)sinx =f(x)， ∴f(x)为偶函数，排除选项C ；当0<x <√3时，3x −x 3>0，sinx >0，∴f(x)>0，当√3<x <π时，3x −x 3<0，sinx >0，∴f(x)<0，故选：A ．根据函数奇偶性的概念可判断f(x)为偶函数，排除选项B ，再对比剩下选项，需考虑0<x <√3和√3<x <π时，f(x)与0的大小关系即可作出选择．本题考查函数的图象与性质，一般可从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手思考，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量加减法的三角形法则，是中档题．由题意画出图形，把AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 、BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 都用BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示，然后代入数量积公式得答案．【解答】解：如图，∵D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，且DE =2EF ，∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +32DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗=(−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −34BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗=(−54BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−54BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=−54|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos60°+34×12 =−54×1×1×12+34=18．故选：C ．6.【答案】D【解析】解：g(x)=lnx 定义域为(0,+∞)，g′(x)=1x ，由题意得：lnα=1α，令t(x)=lnx −1x ，x ∈(0,+∞)，则α为函数t(x)=lnx −1x 的零点，t′(x)=1x +1x 2>0，所以t(x)=lnx −1x 在x ∈(0,+∞)上单调递增，又t(1)=−1<0，t(e)=1−1e >0，由零点存在性定理，α∈(1,e)．另外ℎ(x)=x 3−1，ℎ′(x)=3x 2，由题意得：β3−1=3β2，令s(x)=x 3−1−3x 2，则β为函数s(x)=x 3−1−3x 2的零点，s′(x)=3x 2−6x ，令s′(x)>0得：x >2或x <0，令s′(x)<0得：0<x <2，所以s(x)=x 3−1−3x 2单调递增区间为(−∞,0)，(2,+∞)，单调递减区间为(0,2)， s(x)在x =0处取得极大值，s(0)=−1<0，在x =2处取得极小值，故s(x)在(−∞,2)上无零点，因为函数在(2,+∞)上单调递增，且s(3)=27−1−27<0，s(4)=64−1−48>0，由零点存在性定理：β∈(3,4) 所以α<β．故选：D ．对g(x)=lnx 求导，构造函数t(x)=lnx −1x ，研究其单调性和零点，利用零点存在性定理求出α∈(1,e)；同样的方法求出β∈(3,4)，得到答案．本题主要考查新定义的应用，利用导数研究函数的单调性的方法，函数零点存在定理及其应用等知识，属于中等题．7.【答案】B【解析】解：设函数周期为T ，由直线y =1与f(x)的图象在y 轴右侧交点的横坐标依次为a 1，a 2，…，a k ，a k+1，…，(其中k ∈N ∗)，易知a 2k+1−a 2k−1=T ，因为a 2k+1−a 2ka 2k −a 2k−1=2，所以a 2k −a 2k−1=13T ，令顶点为(m,A)，所以m −a 2k−1=T6，所以a 2k−1到左边零点的距离为T12，将y =sinx 与y =Asin(ωx −π6)相对比，确定1与A 两个最大值的比例，当x ∈[0,π2]时，π2×T 12T 6+T 12=π6，所以1A =sinπ6sin π2=12，所以A =2，故选：B ．由正弦型函数的图象易知a 2k+1−a 2k−1=T ，结合条件可得a 2k −a 2k−1=13T ，设出顶点坐标，结合图象找到对应比例可求得A ．本题考查了y =Asin(ωx +φ)的图象与性质，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：对于A ，数列{b 5}：2，4，8，16，32，数列{a 4}：3，7，12，24，因为2<3<4<7<8<12<16<24<32，所以{b5}是{A4}的一个“等比分割数列”，故A正确；对于B，因为数列{a n}存在“等比分割数列”{b n+1}，所以b k<a k<b k+1，k=1，2，…，n，则b k+1<a k+1<b k+2，所以b k<a k<b k+1<a k+1，故b k<b k+1，a k<a k+1，所以数列{a n}和数列{b n}均为单调递增数列，故B正确；对于C，假设存在{b4}是{a3}：−3，−1，2的“等比分割数列”，所以b1<−3<b2<−1<b3<2<b4，因为−3<b2<−1，b1<−3，故q=b2b1∈(0,1)，q=b3b2∈(0,1)，因为−3<b2<−1，所以−1<b3<0，因为b4<2，则q=b4b3<0，产生矛盾，故假设不成立，故C错误；对于D，{a10}的通项公式为a n=2n(n=1,2,...,10)，{b11}的首项为1，公比为q(q>1)，所以b n=q n−1，n=1，2， (11)因为b n<a n<b n+1，n=1，2， (10)则q n−1<2n<q n，n=1，2， (10)故2<q<2n n−1，n=2， (10)因为2n n−1=21+1n−1关于n单调递减，所以2<q<2109，即q∈(2,2109)，故D正确．故选：C．利用“等比分割数列”的定义，对四个选项逐一分析判断即可．本题考查了数列的综合应用，考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于难题．9.【答案】ACD【解析】解：∵3−ai1+i=2−i，∴3−ai=(2−i)(1+i)=3+i，∴a=−1，∴z=−2i，∴z为纯虚数，故选项A正确，∴z2=(−2i)2=−4，为实数，故选项B错误，∴z+z−=−2i+2i=0，故选项C正确，∴z⋅z−=(−2i)×2i=4，故选项D正确，故选：ACD．利用复数的四则运算求解．本题主要考查了复数的四则运算，是基础题．10.【答案】AD【解析】解：∵不等式x2+2ax+b−1>0的解集是{x|x≠d}，∴△=4a2+4(b−1)=0，即a2=1−b≥0，∴b≤1，故选：AD．由不等式x2+2ax+b−1>0的解集是{x|x≠d}，得到△=0，求出b的取值范围即可．本题主要考查了一元二次不等式的应用，属于基础题．11.【答案】ABC【解析】解：对于A，函数定义域为R，f(−x)=sin|−x|+|cos(−x)|=sin|x|+|cosx|=f(x)，所以f(x)为偶函数，故A正确；对于B，f(x+2π)=sin|x+2π|+|cos(x+2π)|=sin|x|+|cosx|=f(x)，所以2π是函数f(x)=sin|x|+|cosx|的一个周期，当x∈[0,π2]时，f(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π4)，此时f(x)的最小值为1，当x∈(π2,32π]时，f(x)=sinx−cosx=√2sin(x−π4)，此时f(x)的最小值为−1，当x ∈(3π2,2π]时，f(x)=sinx +cosx =√2sin(x +π4)，此时f(x)的最小值为−1，所以f(x)的最小值为−1，故B 正确；对于C ，当x ∈[0,π2]时，f(x)={sinx +cosx,0≤x ≤π2sinx −cosx,π2<x ≤3π2sinx +cosx,3π2<x ≤2π，令f(x)=0，可得x =5π4，7π4，又f(x)为偶函数，所以f(x)[−2π,2π]上有4个零点，故C 正确；对于D ，当x ∈(π2,π)时，sin|x|=sinx ，|cosx|=−cosx|，则f(x)=sinx −cosx =√2sin(x −π4)，当x ∈(π2,π),x −π4∈(π4,3π4)，所以函数f(x)在(π2,π)上不具备单调性，故D 错误；故选：ABC ．利用奇偶性定义可判断A ；由f(x +2π)=sin|x +2π|+|cos(x +2π)|=sin|x|+|cosx|=f(x)，确定2π为函数f(x)的一个周期，求出一个周期内函数的最小值，可判断B ；由于函数为偶函数，故研究x ∈[0,2π]时函数的零点情况，从而可得[−2π,2π]函数零点情况，可判断C ；确定(π2,π)上函数的解析式，可判断D ．本题考查了分段函数的奇偶性，单调性，周期性，最值等相关知识，属于中档题．12.【答案】BD【解析】解：对于A ，连接DP ，CP ，易得CP =√DP 2+CD 2=√DP 2+1≥√12+1=√62，故A 错误；对于B ，P 在直线AE 上运动时，△PBF 的面积不变，D 到平面PBF 的距离也不变，故三棱锥D −BPF 的体积不变，故B 正确；对于C ，如图，将△ADE 翻折到与平面ABFE 共面，则当D 、P 、F 三点共线时，PD +PF 取得最小值√(√22)2+(√22+1)2=√2+√2，故C 错误；对于D ，将该几何体补成正方体，则外接球半径为√32，外接球表面积为3π，故D 正确．故选：BD ．由题可知CP =√DP 2+CD 2，可判断A ；根据条件可知△PBF 的面积不变，D 到平面PBF 的距离也不变，可判断B ；将△ADE 翻折到与平面ABFE 共面，即可判断C ；由正方体的性质可判断D ．本题主要考查立体几何中的最值问题，锥体体积的计算，锥体的外接球问题等知识，属于中等题．13.【答案】−1【解析】解：由y =me x +xlnx ，得y′=me x +lnx +1，则y′|x=1=me +1=3，即me =2，又me =3+n ，∴3+n =2，即n =−1．故答案为：−1．求出原函数的导函数，再由函数在x=1处的导数值为3求得m值，然后利用函数在x=1时的函数值相等列式求解n．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．14.【答案】10【解析】解：数列{a n}是等差数列，a1>0，a3+3a7=0，∴a1+2d+3(a1+6d)=0，解得a1=−5d，d<0，∴S n=na1=n(n−1)2d=−5nd+n(n−1)2d=d2(n2−11n)，∵d<0，n>0，∴S n>0时，n<11，∴使S n>0的最大整数n的值为10．故答案为：10．由等差数列通项公式求出a1=−5d，d<0，从而S n=na1=n(n−1)2d=−5nd+n(n−1)2d=d2(n2−11n)，由此能求出使S n>0的最大整数n的值．本题考查等差数列的运算，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.【答案】400【解析】解：由题意，扇形的弧长AB为l=θr，扇形的面积为S=12θr²，由题意400×12θr²+1000(2r+θr)≤24×104；化简得θr2+5(2r+θr)≤1200(∗)；又θr+2r≥2√2θr2，所以θr2+10√2θr2≤1200；设t=√2θr2，t>0，则t 22+10t ≤1200，解得−60≤t ≤40，所以当θr =2r =40时，面积S =12θr²的最大值为400．故答案为：400．求出扇形的面积，得到关于θ，r 的不等式，利用基本不等式求出面积的最大值．本题考查了利用数学知识解决实际问题，考查了扇形的面积，考查了基本不等式运用以及最值的计算问题，是中档题．16.【答案】2 [−1,0]∪[1,32]【解析】解：因为f(1−x)=f(x)，且f(x)是定义在R 上的奇函数，所以f(−x)=−f(x)，则f(1−x)=−f(−x)，则f(2−x)=−f(1−x)=f(−x)，所以f(x)的最小正周期为2；因为对任意的x 1，x 2∈[0,12]，当x 1≠x 2时，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>π，不妨设x 1>x 2，则f(x 1)−f(x 2)>πx 1−πx 2，故f(x 1)−πx 1>f(x 2)−πx 2，故函数y =f(x)−πx 在[0,12]上为增函数，所以当x ∈[0,12]时，f(x)−πx ≥f(0)−π×0=0，令g(x)=sinπx ，则y =sinπx −πx ，因为y′=πcosπx −π≤0，所以y =sinπx −πx 是单调递减函数，当x ∈[0,12]时，g(x)−πx =sinπx −πx ≤g(0)−0=0，即当x ∈[0,12]时，f(x)−πx ≥g(x)−πx ，故f(x)≥g(x)，由对称性以及周期性作出函数f(x)和g(x)的图象，如图所示，所以f(x)≤sinπx在区间[−32,32]上的解集为[−1,0]∪[1,32]．利用奇函数的定义结合已知的恒等式，可得f(2−x)=f(−x)，利用周期的定义即可得到答案；将已知的不等式变形，利用函数单调性的定义得到函数y=f(x)−πx在[0,12]上为增函数，从而f(x)−πx≥0，令g(x)=sinπx，由y=sinπx−πx是单调递减函数，得到g(x)−πx≤0，从而f(x)≥g(x)，作出f(x)与g(x)的图像，即可得到答案．本题考查了函数性质的综合应用，函数的周期性以及奇偶性定义的理解与应用，函数单调性定义的应用，利用导数研究函数单调性的运用，考查了逻辑推理能力与数形结合法的应用，属于中档题．17.【答案】解：(1)因为a⃗=(2sinx,2sin(x+π4))，b⃗ =(cosx,√62(cosx−sinx))，f(x)=a⃗⋅b⃗ =(2sinx,2sin(x+π4))⋅(cosx,√62(cosx−sinx))=2sinxcosx+2×√6 2sin(x+π4)(cosx−sinx)=2sinxcosx+√3(cos2x−sin2x)=sin2x+√3cos2x=2sin(2x+π3)，所以f(x)=2sin(2x+π3)；(2)由(1)得2sin(2x+π3)≥1，所以sin(2x+π3)≥12，即π6+2kπ≤2x+π3≤5π6+2kπ,(k∈Z)，解得−π12+kπ≤x≤π4+kπ,(k∈Z)，所以不等式解集为[−π12+kπ,π4+kπ],(k∈Z)．【解析】(1)由向量的数量积运算以及三角恒等变换化简，得函数f(x)的表达式； (2)由正弦函数的性质，整体代换可得不等式的解集．本题考查了三角函数的恒等变换，解三角不等式，属于基础题．18.【答案】解：(1)选条件①时，数列{a n }的任意相邻两项均不相等，且数列{a n2−a n }为常数列，所以a n 2−a n =a 12−a 1=2，解得a n =2或a n =−1；所以数列{a n }为2，−1，2，−1，2，−1，.......，所以a n +a n−1=1(n ≥2)，即a n =−a n−1+1(n ≥2)，整理得a n −12=−(a n−1−12)(n ≥2)，所以a 1−12=32，故数列{a n −12}是以32为首项，−1为公比的等比数列；所以a n −12=32×(−1)n−1，整理得a n =12+32⋅(−1)n−1；故S n =12n +32×[(1−(−1)n ]1−(−1)=3+2n 4+34⋅(−1)n−1．选条件②时，S n =12(a n +n +1)，所以S n−1=12(a n−1+n −1+1)，上面两式相减得：a n =12a n −12a n−1+12，整理得a n =−a n−1+1(n ≥2)，整理得a n −12=−(a n−1−12)(n ≥2)，所以a 1−12=32，故数列{a n −12}是以32为首项，−1为公比的等比数列；所以a n −12=32×(−1)n−1，整理得a n =12+32⋅(−1)n−1；故S n =12n +32×[(1−(−1)n ]1−(−1)=3+2n 4+34⋅(−1)n−1．选条件③时，a 3=2，S n+1=S n−1+1(n ≥2,n ∈N ∗)中，转换为S n+1−S n−1=1(常数)，即a n+1+a n =1，所以所以a n +a n−1=1(n ≥2)，即a n =−a n−1+1(n ≥2)，整理得a n −12=−(a n−1−12)(n ≥2)，所以a 1−12=32，故数列{a n −12}是以32为首项，−1为公比的等比数列；所以a n −12=32×(−1)n−1，整理得a n =12+32⋅(−1)n−1；故S n =12n +32×[(1−(−1)n ]1−(−1)=3+2n 4+34⋅(−1)n−1．(2)由(1)得：S 2k =3+2×2k4+34⋅(−1)2k−1=k ，S 2k+1=3+2×(2k+1)4+34⋅(−1)2k+1−1=k +2，所以：b k =1S2k ⋅S 2k+1=1k(k+2)=12(1k −1k+2)，所以T n =12(1−13+12−14+13−15+...+1k −1k+2)=12(1+12−1k+1−1k+2)=34−12(1k+1+1k+2)<34．【解析】(1)选条件①时，利用数列的递推关系和数列的构造法求出数列的通项公式，进一步求出数列的和；选条件②时，利用数列的递推关系和数列的构造法求出数列的通项公式，进一步求出数列的和；选条件③时，利用数列的递推关系和数列的构造法求出数列的通项公式，进一步求出数列的和；(2)利用(1)的结论，进一步利用数列的求和及裂项相消法和放缩法的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法及应用，数列的求和，分组法的求和，裂项相消法和放缩法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．19.【答案】证明：(1)∵△ABC是等腰直角三角形，D是AB的中点，∴CD是△ABC的中线，角平分线，高线，∴CD⊥AB，CD=AD，∴S△BCD=12×4×4=8，又S△CDE=4=12S△BCD，∴E为CB中点．解：(2)作CF⊥AB于F，∴∠AFC=∠BCF=90°，又∵△ABC是等腰直角三角形，∴CF=BF=AF=12AB，在直角三角形CFD中，CD2=CF2+DF2=CF2+(AF−AD)2，设AD=x，∴BD=2AD=2x．∴AB=AD+BD=3x，∴CF=AF=BF=12AB=32x，∴CD2=CF2+(AF−AD)2，∴42=(32x)2+(32x−x)2，解得x=4√105，则AB=12√105，CF=6√105，∴S△ABC=12AB⋅CF=12×12√105×6√105=725．【解析】(1)由等腰三角形的性质证明即可，(2)设出AD的长，再在三角形CFD中应用勾股定理求解出AD，再求AB及面积即可．本题考察等腰三角形的性质的应用，及勾股定理，属于中档题．20.【答案】(1)证明：因为AC=2，BC=1，∠ACB=60°，AC=2，所以AB2=BC2+AC2−2⋅BC⋅AC⋅cos60°，整理得AC2=AB2+BC2，所以AB⊥BC，因为CD=1，∠CAD=30°，AC=2，所以CDsin30∘=ACsin∠ADC，所以sin∠ADC=1，所以∠ADC=90°，所以AD⊥CD，所以∠ACD=∠ACB=60°，所以BD⊥AC，因为PA⊥底面ABCD，所以PC在平面ABCD内投影是AC，所以PC⊥BD．(2)解：由(1)知BD⊥平面PAC，设点M到平面PAC距离为ℎ，因为BO=BC⋅sin60°=√32，又因为PB=3MB，所以ℎ=BO⋅23=√33，因为PB在平面ABCD内的投影是AB，BC⊥AB，所以BC⊥PB，所以∠PBA是二面角P−BC−A的平面角，所以∠PBA=45°，所以PA=AB=AC⋅sin60°=√3，V C−AMN=V M−ANC=13⋅S ANC⋅ℎ=13⋅12⋅S PAC⋅ℎ=13⋅12⋅12⋅AC⋅AP⋅ℎ=16．【解析】(1)只要证明BD垂直于PC在平面ABCD内的投影AC即可；(2)用等体积法求解．本题考查了直线与平面的位置关系，考查了四面体体积问题，属于中档题．21.【答案】解：(1)f′(x)=a+1x2−ax=ax2−ax+1x2，令f′(x)=0，则ax2−ax+1=0，①当△=a2−4a≤0，即0<a≤4时，f′(x)≥0恒成立，则f(x)在(0,+∞)上单调递增，无递减区间；②当△=a2−4a>0，即a>4时，方程ax2−ax+1=0的解为x=a±√a2−4a2a，且当0<x<a−√a2−4a2a 和x>a+√a2−4a2a时，f′(x)>0，f(x)递增，当a−√a2−4a2a<x<a+√a2−4a2a时，f′(x)<0，f(x)递减，综上，当0<a≤4时，f(x)的单调递增区间为(0,+∞)，无单调递减区间；当a>4时，f(x)的单调递增区间为(0,a−√a2−4a2a ),(a+√a2−4a2a)，单调递减区间为(a−√a2−4a2a ,a+√a2−4a2a)；(2)若f(x)有两个极值点，由(1)知，a>4，且x1，x2是方程ax2−ax+1=0的两个不等的实数根，∴x1+x2=1,x1x2=1a，∴不等式f(x1)+f(x2)2>f(x1+x22)+mx1x2即为ax1−1x1−alnx1+ax2−1x2−alnx22>12a−2−aln12+am，∴a(x1+x2)−x1+x2x1x2−aln(x1x2)>a−4+2aln2+2am，∴a−a−aln1a >a−4+2aln2+2am，即2m<lna+4a−2ln2−1，令ℎ(a)=lna+4a −2ln2−1，则ℎ′(a)=1a−4a2=a−4a2>0，∴ℎ(a)在(4,+∞)上单调递增，则ℎ(a)>ℎ(4)=0，∴m≤0，即实数m的取值范围为(−∞,0]．【解析】(1)对函数f(x)求导，令f′(x)=0，然后分0<a≤4及a>4讨论导函数与零的关系，进而得到单调性情况；(2)依题意，x1+x2=1,x1x2=1a ，则原不等式可转化为2m<lna+4a−2ln2−1，令ℎ(a)=lna+4a−2ln2−1，求出ℎ(a)的最小值即可得到实数m的取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查分离参数思想及分类讨论思想，考查运算求解能力，属于中档题．22.【答案】证明：(1)设g(x)=f′(x)=1x−1+2cosx，当x∈(0,π)时，g′(x)=−2sinx−1x2<0，所以g(x)在(0,π)上单调递减，又因为g(π3)=3π−1+1>0，g(π2)=2π−1<0，所以g(x)在(π3,π2)上有唯一的零点α，即f′(x)在(0,π)上存在唯一的零点α；(2)①由(1)可知，当x∈(0,α)时，f′(x)>0，则f(x)单调递增，当x∈(α,π)时，f′(x)<0，则f(x)单调递减，所以f(x)在x∈(0,π)上存在唯一的极大值点α，且α∈(π3,π2 )，所以f(α)>f(π2)=lnπ2−π2+2>2−π2>0，又因为f(1e2)=−2−1e2+2sin1e2<−2−1e2+2<0，所以f(x)在(0,α)上恰有一个零点，又因为f(π)=lnπ−π<2−π<0，所以f(x)在(α,π)上也恰有一个零点；②当x∈[π,2π)时，sinx≤0，f(x)≤lnx−x，设ℎ(x)=lnx−x，则ℎ′(x)=1x−1<0，故ℎ(x)在[π,2π)上单调递减，所以ℎ(x)≤ℎ(π)<0，故当x∈[π,2π)时，f(x)≤ℎ(x)≤ℎ(π)<0恒成立，所以ℎ(x)在[π,2π)上没有零点；③当x∈[2π,+∞)时，f(x)≤lnx−x+2，令m(x)=lnx−x+2，则m′(x)=1x−1<0，故m(x)在[2π,+∞)上单调递减，所以m(x)≤m(2π)<0，则当x∈[2π,+∞)时，f(x)≤m(x)≤m(2π)<0恒成立，所以f(x)在[2π,+∞)上没有零点．综上所述，f(x)有且仅有两个零点．【解析】(1)设g(x)=f′(x)，利用导数研究函数g(x)的单调性，然后由零点的存在性定理证明即可；(2)分x∈(0,π)，x∈[π,2π)，x∈[2π,+∞)三种情况，分别利用导数研究函数的单调性以及函数的取值情况，结合零点的存在性定理进行分析证明即可．本题考查了函数的零点与方程的根的综合应用，利用导数研究函数单调的运用，函数零点存在性定理的运用，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：(1)方程法(直接解方程得到函数的零点)；(2)图象法(直接画出函数的图象分析得解)；(3)方程+图象法(令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解).属于中档题．。

江苏省苏州市部分学校2024届高三上学期期中数学试题(含答案解析)

江苏省苏州市部分学校2024届高三上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题三、填空题四、双空题五、解答题（1）若矩形MNPQ 是正方形，求tan θ的值；（2）为方便市民观赏绿地景观，从P 点处向,OA OB 修建两条观赏通道不计），使PS OA ⊥，PT OB ⊥，其中PT 依PN 而建，为让市民有更多时间观赏，希望PS PT +最长，试问：此时点P 应在何处？说明你的理由.21．ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，32,sin 2B a b +=(1)求sin A ；(2)如图，点M 为边AC 上一点，π,2MB MC ABM =∠=，求ABC 22．已知二次函数()y f x =的图象与直线y =-6只有一个交点，满足(2)f x -是偶函数．()()f x g x x=（1）求二次函数()y f x =的解析式；（2）若对任意2[1,2],[4,4],()x t g x m tm ∈∈-≥-+恒成立，求实数m （3）若函数2(||3)11||3y g x k x =++⋅-+恰好三个零点，求k 的值及该函数的零点．参考答案：【详解】由余弦定理得2222BC AB BC AB =+-正确；0=.5，则()1,2AD AB AC =+∴ 正确；由图知函数()f x 有2个零点，故函数()f x 没有最值，故C 选项正确；函数()f x 在()0,1上单调递减，在由于方程()()21f x mf x --=令()t f x =则210t mt --=有因为2m 40∆=+>恒成立，设210t mt --=两个不等的实根为当13n =时，0x =；当24n =时，1;7x k =±∴=，函数的零点为0,1±。

江苏省苏州中学2023-2024学年高三上学期期初考试数学试题(含解析)

江苏省苏州中学2023-2024学年高三上学期期初考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．已知变量x，y之间的经验回归方程为 7.60.4=-，且变量x，y的数据如图所示，y x四、解答题参考答案：1．C【分析】根据对数函数的性质，以及二次函数的性质，分别求得集合{|1},{|0}A x x B x x =<=≥，结合集合交集的运算，即可求解.【详解】由集合()2{|lg 1}{|1},{|}{|0}A x y x x x B y y x y y ==-=<===≥，所以[0,1)A B = .故选：C.2．B【分析】根据题意，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】当1,4a b ==，此时满足4a b +>，但2a >且2b >不成立，所以充分性不成立；反之：若2a >且2b >，可得4a b +>成立，所以必要性成立，所以“4a b +>”是“2a >且2b >”必要不充分条件.故选：B.3．C【分析】利用正态分布的性质即可得出结果.【详解】因为随机变量ξ服从正态分布(0,4)N ，()0.3P ξ≥2=，所以(2)(2)0.3P P ξξ≤-=≥=，则()21(2)0.7P P ξξ≥-=-≤-=.故选：C.4．C【分析】根据对数函数的性质，结合复合函数的单调性的判定方法，即可求解.【详解】由函数()2ln(23)f x x x =--+，令2230x x --+>，即2230x x +-<，解得31x -<<，即函数()f x 的定义域为(3,1)-，令()223g x x x =--+，根据二次函数的性质，可得()g x 在(3,1)--单调递增，在(1,1)-上单调递减，结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数()f x 在(1,1)-上单调递减，即()f x 的递减区间为(1,1)-.故选：C.再证左半部分不等式：21e 1x x b ->+.设取曲线上两点11(,),(1,0)e eA B -，因为()0,0则用割线:OA y x =-，1:(1)e 1AB y x =--来限制综上可得213e2e123b x xb -+<-<++成立【点睛】方法点睛：导数证明不等式的方法常有：（1）最值法：移项构造函数，通过求解最值来证明；（2）放缩法：通过构造切线或割线，利用切线放缩或者割线放缩来证明。

江苏高三高中数学期中考试带答案解析

江苏高三高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.已知全集，集合，则．2.复数的实部是．3.“”是“”的条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一）4.若以连续掷两次骰子分别得到的点数作为点的横、纵坐标，则点在直线上的概率为 .5.如图是某学校学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前个小组的频率之比为，第小组的频数为，则抽取的学生人数是 .6.若样本的方差是2，则样本的方差是7.执行程序框图,若，则输出的 .8.已知函数则的值是 .9.等差数列中，若, ，则 .10.已知实数、满足，则的最小值为 .11.设向量，，其中，若，则 .12.若函数在上有意义，则实数的取值范围是_ ___．13.若函数的零点有且只有一个，则实数 .14.对于在区间[a，b]上有意义的两个函数，如果对于区间[a，b]中的任意x均有，则称在[a，b]上是“密切函数”， [a，b]称为“密切区间”，若函数与在区间[a，b]上是“密切函数”，则的最大值为 .二、解答题1.已知函数⑴求的最小正周期及对称中心；⑵若，求的最大值和最小值.2.如图，在中，已知为线段上的一点，（1）若，求，的值；（2）若，，，且与的夹角为60°时，求的值。

3.已知集合，（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围.4.扬州某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为平方米，且高度不低于米．记防洪堤横断面的腰长为（米），外周长（梯形的上底线段与两腰长的和）为（米）.⑴求关于的函数关系式，并指出其定义域；⑵要使防洪堤横断面的外周长不超过米，则其腰长应在什么范围内？⑶当防洪堤的腰长为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最小）？求此时外周长的值.5.已知函数在点处的切线方程为．⑴求函数的解析式；⑵若对于区间上任意两个自变量的值都有，求实数的最小值；⑶若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．6.设函数，数列满足．⑴求数列的通项公式；⑵设，若对恒成立，求实数的取值范围；⑶是否存在以为首项，公比为的数列，，使得数列中每一项都是数列中不同的项，若存在，求出所有满足条件的数列的通项公式；若不存在，说明理由．江苏高三高中数学期中考试答案及解析一、填空题1.已知全集，集合，则．【答案】【解析】，.【考点】集合的运算.2.复数的实部是．【答案】2【解析】由，得的实部为2.【考点】复数的概念和运算.3.“”是“”的条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一）【答案】充分不必要【解析】如果，那么，所以“”是“”的充分条件，如果，那么不一定有，例如还有等，所以“”是“”的不必要条件，综上所以“”是“”的充分不必要条件.【考点】充分条件和必要条件.4.若以连续掷两次骰子分别得到的点数作为点的横、纵坐标，则点在直线上的概率为 .【答案】【解析】以连续掷两次骰子分别得到的点数作为点的横、纵坐标，这样的结果共有36个，其中使的有共4个，根据古典概型的计算方法知，所求的概率为.【考点】古典概型.5.如图是某学校学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前个小组的频率之比为，第小组的频数为，则抽取的学生人数是 .【答案】40【解析】由从左到右的前个小组的频率之比为，第小组的频数为得前个小组的频数分别为5,10,15，其和为30，而后两个小组的频率之和为，所以前3个小组频率之和为，得所抽取学生人数为（人）.【考点】频率分布直方图.6.若样本的方差是2，则样本的方差是【答案】8【解析】设的平均数为，方差为，则的平均数为，方差为.【考点】样本平均数和方差.7.执行程序框图,若，则输出的 .【答案】5【解析】因为，所以当恰好不满足时，，此时还要执行才能退出循环，所以输出的值为5.【考点】循环结构.8.已知函数则的值是 .【答案】【解析】，.【考点】分段函数求值.9.等差数列中，若, ，则 .【答案】100【解析】根据等差数列的性质，把两条件式相加得，.【考点】等差数列.10.已知实数、满足，则的最小值为 .【答案】【解析】已知不等式表示的平面区域是以，，为顶点的三角形区域，当动直线经过点时，取得最大值为4，因为，所以此时取得最小值.【考点】简单的线性规划、指数函数的性质.11.设向量，，其中，若，则 .【答案】【解析】两边平方化简得，，又，是单位向量，所以即，又，所以.【考点】三角函数、平面向量.12.若函数在上有意义，则实数的取值范围是_ ___．【答案】【解析】由题意知即在恒成立，而在时取得最小值1，所以实数的取值范围是.【考点】不等式恒成立、指数函数的性质.13.若函数的零点有且只有一个，则实数 .【答案】【解析】函数是偶函数，所以要使其零点只有一个，这个零点只能是0，由得，当时，，它只有一个零点0，符合题意，当时，，它有3个零点，不符合题意，综上.【考点】函数的零点、偶函数的性质.14.对于在区间[a，b]上有意义的两个函数，如果对于区间[a，b]中的任意x均有，则称在[a，b]上是“密切函数”， [a，b]称为“密切区间”，若函数与在区间[a，b]上是“密切函数”，则的最大值为 .【答案】1【解析】由得，，这个不等式的解集为，由题意得，所以的最大值为.【考点】函数的综合运用.二、解答题1.已知函数⑴求的最小正周期及对称中心；⑵若，求的最大值和最小值.【答案】（1），；（2），.【解析】（1）此类三角函数问题的解决思路比较明显，就是将三角函数化为后求解，其中最小正周期为，函数与轴的交点就是其对称中心；（2）根据函数的图象判断它在所给区间的单调性，就可求出其最大值和最小值.试题解析：⑴∴的最小正周期为， 6分令，则，∴的对称中心为； 8分⑵∵∴∴∴∴当时，的最小值为；当时，的最大值为。

江苏省苏州市2023-2024学年高三上学期期中数学试题(解析版)

2023～2024学年第一学期高三期中调研试卷数学2023.11注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本卷包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第12题）、填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）．本卷满分150分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.下列条件中，使得“a b >”成立的充分不必要条件是（）A.a b >B.11a b> C.22a b > D.ln ln a b>【答案】D 【解析】【分析】逐个判断是否为a b >的充分不必要条件即可.【详解】对于A ：当3,2a b =-=时满足a b >，此时不满足a b >，所以A 错误；对于B ：当2,3a b ==时满足11a b>，此时不满足a b >，所以B 错误；对于C ：当3,2a b =-=时满足22a b >，此时不满足a b >，所以C 错误；对于D ：ln ln 0a b a b >⇒>>，所以ln ln a b >是a b >的充分不必要条件，故选：D2.已知集合2{650}A x x x =-+<，{}B x x a =<，且A B A = ，则实数a 的取值范围为（）A.(1,)+∞B.[3,)+∞C.[5,)+∞D.(5,)+∞【答案】C 【解析】【分析】先化简集合A ，再由A B A = ，则A B ⊆，应用集合间的包含关系即可.【详解】{}(,)A x x x =-+<=∣265015，且A B A = ，则A B ⊆，则5a ≥.故选：C3.已知π4cos 35α-（）=，则πsin 6α+（）的值为（）A.45-B.35-C.35D.45【答案】D 【解析】【分析】利用三角函数的诱导公式求解.【详解】解：因为π4cos35α-（）=，所以πππππ4sin cos cos cos 626335αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫++==-= ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭（）=-（）-，故选：D4.已知,a b 是两个单位向量，且,a b ︒=60 ，若2c a b =- ，则cos ,a c = （）A.12B.2C.13D.33【答案】B 【解析】【分析】先求a c ⋅，再求||c ，则cos ,||||a c a c a c ⋅=⋅即可求.【详解】已知,a b 是两个单位向量，11cos6012a b ︒⋅=⨯⨯= ，若2c a b =- ，则()a c a a b a a b ⋅=⋅-=-⋅=-=21322222，||c == ，故cos ,||||a c a c a c ⋅==⋅2.故选：B5.在ABC 中，π3A =，AB边上的高等于3AB ，则sin C =（）A.714 B.2114C.3714D.32114【答案】D 【解析】【分析】先利用AB 表示CA ，CB ，然后利用正弦定理求解即可.【详解】过C 作CE AB ⊥，垂足为E，则3CE AB =，因为π3A =，所以1π3tan 3CE AE AB ==，2π3sin 3CEAC AB ==，23BE AB AE AB =-=，3BC AB ===，所以在ABC 中由正弦定理可得sin sin AB BCC A=即3sin 2sin 14AB AB A C BC ⨯===，故选：D6.已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则A.,1a e b ==- B.,1a eb == C.1,1a eb -== D.1,1a eb -==-【答案】D 【解析】【分析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a ，将点的坐标代入直线方程，求得b ．【详解】详解：ln 1,x y ae x '=++1|12x k y ae ='==+=，1a e -∴=将(1,1)代入2y xb =+得21,1b b +==-，故选D ．【点睛】本题关键得到含有a ，b 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．7.满足2{}{,}x m x n y y x m x n ≤≤==≤≤的实数对m ，n 构成的点(,)m n 共有（）A.1个B.2个C.3个D.无数个【答案】C 【解析】【分析】结合集合相等及二次函数的单调性即可求.【详解】由2{}{,}x m x n y y x m x n ≤≤==≤≤，又20y x =≥，则0m ≥，所以2y x =在[,]m n 单调递增，故值域为[(),()]f m f n ，即,m n 是2x x =的两根，解得120,1x x ==，当0m n ==时，点(,)m n 为(0,0)，当1m n ==时，点(,)m n 为(1,1)，当0,1m n ==时，点(,)m n 为(0,1).故选：C 8.已知ππsin cos 1313a =+，114233b -=+，34log 2log 3c =+，则（）A.a b c <<B.a c b <<C.c b a <<D.c a b<<【答案】B 【解析】【分析】依题意分别根据各式特点，利用辅助角公式和三角函数单调性可得12a <<，利用近似值可得1.87b >，再利用对数函数单调性即可得522,415c ⎛⎫∈⎪⎝⎭，即可比较得出结论.【详解】根据题意可知，πππππππsincos 131********a ⎛⎫⎛⎫=+=++== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，πππ14134a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即可得12a <<；由114233b -=+可得)()1122 1.711.69 1.30.57 1.873b =++=+=，即 1.87b >；易知3223<，即2323<，所以23333log log 2log 3<，即312log 223<<；又4338164=>4=，即3434>，又5432434256==<，可得4534<；所以4544434log log 3log 44<<，可得45log 4433<<；可得341324log 2log 32435c +=++<<，所以522,415c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭显然2421.87254415a cb ==<<<<，即ac b <<.故选：B【点睛】关键点点睛：求解本题关键在于通过观察式子特征可知，三个式子各不相同，构造函数的方法失效，所以只能通过限定,,a b c 的取值范围使其落在不同的区间内即可得出结论.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．9.已知复数z满足i )i 2z +=-，则（）A.||1z =B.z 的虚部为32C.310z +=D.2z z =【答案】AD 【解析】【分析】先求出复数z ，再结合复数的运算即可.【详解】由i )i 2z =-，得13i 22z =--，||1z ==，A 正确；z 的虚部为2-，B 错误；331i)112(221z --=++==，C 错误；221313i)(i=2222z z =--=-+，D 正确；故选：AD10.函数π()tan(2)4f x x =-，则（）A.()f x 的一个周期为π2B.()f x 是增函数C.()f x 的图象关于点3(,0)8π对称D.将函数tan 2y x =的图象向右平移π4个单位长度可得到()f x 的图象【答案】AC 【解析】【分析】根据()f x 的周期性，单调区间，对称中心，及平移逐项判断.【详解】对A ：π()tan(2)4f x x =-的最小正周期为π2，故A 正确；对B ：()f x 的递增应满足：ππππ2π242k x k -<-<+，即增区间为πππ3π,,Z 2828k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，故B 错误.对C ：()f x 的对称中心满足：πππ2422k x -=+，即中心为3ππ,084k ⎛⎫+⎪⎝⎭，Z k ∈，故C 正确；对D ：将函数tan 2y x =的图象向右平移π4个单位长度可得到ππtan 2tan 244y x x ⎛⎫⎛⎫=-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 错误.故选：AC11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱AB ，1AA的中点，点P 在对角线1A B 上，则（）A.三棱锥P CEF -体积为16B.点P 到平面CEF 的距离为23C.1AP D P +的最小值为D.四面体BCEF 外接球的表面积为14π【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，根据正方体的性质，明确三棱锥的底面以及底面上的高，可得答案；对于B ，利用A 求得的三棱锥的体积，利用勾股定理求得CEF △的三边长，结合余弦定理以及面积公式，可得答案；对于C ，根据正方体的性质，将点1D 旋转使得1,,A P D 共面，利用三角形的余弦定理，可得答案；对于D ，根据三棱锥的性质，设出外接球的球心，利用勾股定理，建立方程，结合球的面积公式，可得答案.【详解】根据题意，可作图如下：对于A ，在正方体ABCD 中，CB AB ⊥，CB ⊥平面11ABB A ，在三棱锥P CEF -中，以PEF !为底面，则CB 为其高，因为1P A B ∈，易知1ABA △为等腰直角三角形，且,E F 分别为1,AA AB 的中点，所以1//EF A B ，且P 到EF 的距离为1112442A B AB ==，1111233223P CEF PEF V CB S -=⋅⋅=⨯⨯=V ，故A 错误；对于B ，在Rt BCE 中，易知1BE =，2BC =，则CE ==，在Rt AEF 中，易知1AE AF ==，则EF =，在Rt ACF中，易知AC =，1AF =，则3CF =，在CEF △中，由余弦定理，222cos 210CE EF CFCEF CE EF+-∠==-⋅⋅，则sin 10CEF ∠=，所以13sin 22CEF S EF CE CEF =⋅⋅⋅∠=V ，点P 到平面CEF 的距离为13323332P CEFCEFV S -⨯==V ，故B 正确；对于C ，在正方体ABCD 中，易知11A D ⊥平面11ABB A ，因为1A B ⊂平面11ABB A ，所以111A D B A ⊥，将1D 绕1A 旋转得到1D '，使得1,,A P D '共面，如下图：易知11D P D P '=，且11AP D P AD ''+≥，在11AA D 'V 中，易知11135AA D '∠=o ，由余弦定理，2221111111112cos AD AA A D AA A D AA D ''''=+-⋅⋅∠24422282⎛⎫=+-⨯⨯⨯-=+ ⎪⎝⎭，则1AD '=，故C 正确；对于D ，取EC 的中点M ，易知M 为Rt BCE 为外接圆圆心，连接AM ，作1//NM AA ，//FN AM ，取O MN ∈，连接,OE OF ，如下图：因为1MN AA //，所以MN ⊥平面BCE ，由M 为Rt BCE 为外接圆圆心，则可设O 为三棱锥F BCE -的外接球球心，即OE OF R ==，因为//FN AM ，所以易知四边形AMNF 为矩阵，则AM FN =，MN FN ⊥，在Rt BCE 中，5cos 5BE CEB CE ∠==，易知πAEC CEB ∠=-∠，则5cos 5AEC ∠=-，在AEM △中，由余弦定理，222132cos 4AMAE EM AE EM AEM =+-∠=，在Rt MOE △中，222OE ME MO =+，22254OM OE ME R =-=-在Rt FOM 中，222OFON FN =+，()2221OF FN OM=+-，则222135144R R ⎛=+-- ⎝，解得272R =，则球的表面积为24π14πR =，故D 正确.故选：BCD.12.对于数列{}n a ，若存在正数M ，使得对一切正整数n ，都有n a M ≤，则称数列{}n a 为有界数列；若这样的正数M 不存在，则称数列{}n a 为无界数列．下列说法正确的有（）A.等比数列{}n a 的公比为q ，若1q <，则{}n a 是有界数列B.若数列{}n a 的通项211==∑nk n a k ，则{}n a 是有界数列C.若正项数列{}n a 满足：12(3)3--=n n n a a n a ≥，则{}n a 是无界数列D.若数列{}n a 满足：12121111n na a a a a a +++= ，且()10,1a ∈，则{}n a 是有界数列【答案】ABD 【解析】【分析】根据新定义逐个判定是否正确，注重通项公式的求解过程中的技巧的应用.【详解】对于A ：不妨令首项为1a ，则11n n a a q -=，因为01q <<，则11111n n n a a q a q a --==<，所以此时{}n a 为有界数列，所以A 正确；对于B ：当2n ≥时，()2111111n n n n n<=---，又22211111111111211223112n a n n n n =+++<+-+-++-=-- ，所以02n a <<，当1n =时，112a =<，所以{}n a 是有界数列，B 正确；对于C ：不妨令()12,0,0a p a q p q ==>>，则23133a q a a p ==，342139a a a p==，453139a a a q ==，56433a pa a q==，6753a a p a ==，7863a a q a ==，所以数列{}n a 周期数列，所以数列{}n a 是有界数列，C 错误；对于D ：由12121111n n a a a a a a +++= ，得()12112111112n n n a a a a a a --+++=≥ ，两式相减得1211111n n n a a a a a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，化简可得1211n n a a a a -=- ，即1211n n a a a a -=- 用数学归纳法证明()0,1n a ∈，当1n =时由题知()10,1a ∈；假设n k =时结论成立，即()12110,1k k a a a a -=-∈ ，此时1211k k a a a a -=- ；则当1n k =+时()2211213111124k k k k kk k a a a a a a a a a +⎛⎫=-=--=-+=-+ ⎪⎝⎭ ，又因为()0,1k a ∈，所以()21130,124k k a a +⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭，所以1n k =+时成立，根据①和②可知，该结论成立，故()0,1n a ∈，所以{}n a 是有界数列，所以D 正确，故选：ABD【点睛】方法点睛：用数学归纳法可以很好的证明数列在某个区间的问题，但是要注意数学归纳法的书写格式和数学逻辑.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，655630S S -=，则10a =_______．【答案】20【解析】【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质求出公差d 即可得结果.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由655630S S -=，得15655()5()302a a S S +--=，即有635530a a -=，于是6336d a a -==，解得2d =，所以101920a a d =+=.故答案为：2014.如图，由3个全等的钝角三角形与中间一个小等边三角形DEF 拼成的一个较大的等边三角形ABC ，若3AF =，sin 14ACF ∠=，则DEF 的面积为________．【解析】【分析】利用正弦定理以及余弦定理求得钝角三角形的三边长，根据等边三角形的性质以及面积公式，可得答案.【详解】因为EFD △为等边三角形，所以60EFD ∠= ，则120EFA ∠= ，在AFC △中，由正弦定理，则sin sin AF AC ACF AFC=∠∠，解得3sin 7sin 214AF AC AFC ACF =⋅∠==∠，由余弦定理，则2222cos AC AF FC AF FC AFC =+-⋅⋅∠，整理可得：21499232FC FC ⎛⎫=+-⨯⋅⋅- ⎪⎝⎭，则23400FC FC +-=，解得5FC =或8-（舍去），等边EFD △边长为532-=，其面积为122sin 602⨯⨯⋅=o .15.如图，一个半径为3的半圆，C 、D 两点为直径AB 的三等分点，E 、F 两点为弧AB 上的三等分点，则CF DE ⋅=________.【答案】12##0.5【解析】【分析】以线段AB 的中点O 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，过点O 且垂直于AB 的直线为y 轴建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可求得⋅CF DE 的值.【详解】以线段AB 的中点O 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，过点O 且垂直于AB 的直线为y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，连接OE 、OF，由题意可知，60BOF ∠= ，120BOE ∠= ，则()1,0C -、()1,0D 、333,22E ⎛- ⎝⎭、333,22F ⎛ ⎝⎭，所以，5,22CF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，5,22DE ⎛=- ⎪⎝⎭，故25512222CF DE ⎛⎛⎫⋅=⨯-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭ .故答案为：12.16.已知函数2()33=--f x x ，若<m n ，且()()f m f n =，则m 的取值范围为____，mn 的取值范围为_________.【答案】①.(②.()3,3-【解析】【分析】画出函数图像，根据图像得到(m ∈，n ∈，确定2262m n mn +=≥，排除等号成立的条件，计算得到答案.【详解】()222,()336,,x x f x x x x ∞∞⎧⎡-∈⎣⎪=--=⎨-∈-⋃+⎪⎩，画出函数图像，如图所示：根据图像知：<m n 且()()f m f n =，故(m ∈，n ∈，故226m n -=-，即2262m n mn +=≥，33mn -≤≤，m n ≠，等号不成立，故33mn -<<，即),3(3mn ∈-.故答案为：(；()3,3-.四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数()2sin cos 442x x x f x =.（1）求()f x 的最小值及取得最小值时x 的取值集合；（2）若()f x 的图象向右平移m (0)m >个单位后得到的函数恰好为偶函数，求m 的最小值．【答案】（1）最小值为－2，此时5{|4,Z}3x x k k π=π-∈（2）min 53π=m ．【解析】【分析】（1）对三角函数合一后进行最小值得分析即可；（2）利用偶函数求出m 的值，再求出最小值即可.【小问1详解】因为()sin 2sin()2223π=+=+x x x f x ，所以当2,232ππ+=-+π∈x k k Z 即54,Z 3x k k π=π-∈时，()f x 取得最小值－2，所以()f x 的最小值为－2，此时x 的取值集合为5{|4,Z}3x x k k π=π-∈；【小问2详解】设()f x 的图象向右平移m (0)m >个单位后得到函数()g x ，则()2sin()23-π=+x m g x ，因为()g x 为偶函数，所以()()g x g x -=，即sin(sin(223223ππ-+=--+x m x m ，展开可得πsin cos 0223x m ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以sin cos()0223π-+=x m 恒成立，所以,Z 232m k k ππ-+=+π∈，所以2,Z 3m k k π=--π∈，又因为0m >，所以min 53π=m ．18.在①BAC ∠的平分线长为65；②D 为BC 中点，2AD =；③AH 为BC 边上的高，35719AH =这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．ABC 中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，已知2b =，2cos 3cos =-A a B .（1）求c ;（2）若，求BAC ∠的大小.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）3（2）2π3BAC ∠=.【解析】【分析】（1）根据题意由2b =，利用余弦定理即可求得3c =；（2）若选①：记2BAC θ∠=，利用等面积法即可求得1cos 2θ=，即可知2π3BAC ∠=；若选②：利用平面向量表示出()12AD AB AC =+ ，再根据2AD =利用数量积定义即可求得结果；若选③：分别在Rt BAH 和Rt CAH △中利用余弦定理即可求得BC =，再利用余弦定理可求得2π3BAC ∠=.【小问1详解】由2b =及2cos 3cos =-A a B 得cos 3cos b A a B =-，即cos cos 3b A a B +=，由余弦定理得222222322b c a a c b b a bc ac+-+-⋅+⋅=，所以3c =．【小问2详解】若选①：记2BAC θ∠=，BAC ∠的平分线交BC 于D ，则有ABC ABD ACD S S S =+ ，即111sin 2sin sin 222=⋅+⋅bc b AD c AD θθθ，即12186sin 2sin sin 55=+θθθ，即sin 2sin θθ=，所以2sin cos sin θθθ=，因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0θ≠，从而1cos 2θ=，即π3θ=，所以2π3BAC ∠=.若选②：由于D 为BC 中点，所以()12AD AB AC =+ ，即22242AD AB AC AB AC =++⋅，又因为72AD = ，3AB = ，2AC = ，所以3AB AC ⋅=- ，即cos 3⋅⋅∠=-AB AC BAC ，所以1cos 2BAC ∠=-，又因为()0,πBAC ∠∈，所以2π3BAC ∠=.若选③：由于AH 为BC 边上的高，在Rt BAH 中，2229571449191919⨯=-=-=⨯BH AB AH ，所以121919=BH ，在Rt CAH △中，222957494191919⨯=-=-=⨯CH AC AH ，所以71919=CH ，所以19=+=BC BH CH ，由余弦定理得22294191cos 22322+-+-∠===-⋅⨯⨯AB AC BC BAC AB AC ，又因为()0,πBAC ∠∈，所以2π3BAC ∠=.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ，2AD BC =，90DAB ∠= ，平面PDB ⊥平面ABCD ，AC BD ⊥，AB PD ⊥，1BC =，2PD =（1）求证：PD ⊥平面ABCD ；（2）求二面角D PC B --的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）66-.【解析】【分析】（1）根据面面垂直性质定理以及线面垂直判定定理，可得答案；（2）建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用面面角向量公式，可得答案.【小问1详解】因为平面PDB ⊥平面ABCD ，平面PDB 平面ABCD BD =，AC BD ⊥，AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥平面PDB ，又因为PD ⊂平面PDB ，所以AC PD ⊥，又因为AB PD ⊥，AC AB A ⋂=，AC ⊂平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥平面ABCD .【小问2详解】由（1）知PD ⊥平面ABCD ，又AD ⊂平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PD AD ⊥，PD AB ⊥，过A 引//AZ PD ，则有AZ AD ⊥，AZ AB ⊥，又因为90DAB ∠= ，即AB AD ⊥，以A 为原点，以AB 为x 轴，以AD 为y 轴，以AZ 为z 轴建立空间直角坐标系设(0)AB t t =>，则(0,0,0)A ，(,0,0)B t ，(,1,0)C t ，(0,2,0)D，(0,P ，所以(),1,0AC t =uuu r ，(),2,0BD t =-uu u r，DP = ，由于AC BD ⊥，所以0AC BD ⋅= ，所以22t =，即t =，从而C，则)1,0DC =-uuu r，2,PB =-uu r，1,PC =-uu u r ，设平面PDC 的一个法向量为(,,)n x y z = ，则有00n DP n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00y =-=，取1x =，解得0y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即(1,0)=n ，设平面PBC 的一个法向量为(),,m a b c = ，则有00m PB m PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即200b b ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，取1a =，解得01bc =⎧⎨=⎩，即(1,0,1)m = ，所以|cos ,||<>== m n设二面角D PC B --的平面角为θ，θ为钝角，所以二面角D PC B --的平面角余弦值为6-.20.已知函数()f x 满足2()e 2x f x x x =-+．（1）求()f x 的单调区间；（2）若关于x 的不等式()(2)1>-+f x a x 在(0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）单调递增区间为(,)-∞+∞，无单调递减区间（2）()2e,-+∞【解析】【分析】（1）先对函数()f x 求导，进而构造函数()e 22x m x x =-+，利用导数分析其单调性，进而可得min ()0m x >，进而得到()0f x '>恒成立，从而求解；（2）转化问题为1e x a x x x >+-在区间(0,)+∞上恒成立，令()1e xg x x x x =+-，,()0x ∈+∞，只需max ()a g x >，进而利用导数分析()g x 单调性进行求解即可.【小问1详解】因为2()e 2x f x x x =-+，所以()e 22x f x x '=-+，令()e 22x m x x =-+，则()e 2xm x '=-，当(,ln 2)x ∈-∞时，()0m x '<；当(ln 2,)x ∈+∞时，()0m x '>．所以()m x 在(,ln 2)-∞上单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增．所以min ()(ln 2)2(2ln 2)0==->m x m ，即()0f x '>恒成立，所以()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞，无单调递减区间．【小问2详解】由题意()(2)1>-+f x a x 在区间(0,)+∞上恒成立，即21e 22x x x x ax >-+-+恒成立，即1e xa x x x >+-在区间(0,)+∞上恒成立，令()1e x g x x x x=+-，,()0x ∈+∞，只需max ()a g x >，因为()()()22211e 1e e 1x x x x x x g x x x x-+-⋅-'=-+-=，令()1e x h x x =+-，()0,x ∈+∞，有()10e x h x '=-<，所以函数()h x 在()0,∞+上单调递减，所以()(0)0h x h <=，即1e 0x x +-<，所以当(0,1)x ∈时，()0g x '>；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，所以函数()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以()()max 12e g x g ==-，即2e a >-，所以实数a 的取值范围为()2e,-+∞．21.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11a =，21221++=++n n S S n n ．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若11b =，1(1)++-=n n n n b b a ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）21n a n =-（2）22111,21,N 2211,2,N 22n n n n k k T n n n k k **⎧-+=-∈⎪⎪=⎨⎪+=∈⎪⎩【解析】【分析】（1）法一：根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩得到14(2)++=n n a a n n ≥，从而得到114(2)n n a a n +--=≥，可得{}n a 的奇数项和偶数项分别为等差数列，求出奇数项和偶数项的通项公式，得到答案；法二：变形得到22211(1)()(1)(1)+-+=--==-- n n n S n S n S ，结合2110-=S ，得到2n S n =，利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出答案；（2）变形得到21212(1)+-+=k k b b k ≥，当n 为奇数时，1n b =，当n 为偶数时，1123122n n b a n n -=+=-+=-，分n 为奇数和偶数两种情况，求和，得到答案.【小问1详解】法一:当1n =时，215S S +=，即2125a a +=，由11a =，得23a =，由21221++=++n n S S n n ，得212(1)2(1)1n n S S n n -+=-+-+(2)n ≥，两式相减得：14(2)++=n n a a n n ≥．又214a a +=，满足上式．所以当*n ∈N 时，14n n a a n ++=，又当2n ≥时，14(1)n n a a n -+=-，两式相减得：114(2)n n a a n +--=≥，所以数列{}n a 的奇数项是以11a =为首项，4为公差的等差数列，所以11412(1)212-=+⨯=+-=-n n a a n n （n 为奇数），数列{}n a 的偶数项是以23a =为首项，4为公差的等差数列，所以11412(1)212-=+⨯=+-=-n n a a n n （n 为偶数），所以21n a n =-，即{}n a 的通项公式是21n a n =-．法二：因为21221++=++n n S S n n ，所以221(1)()n n S n S n +-+=--，同理可得()2211n n S n S n -⎡⎤-=---⎣⎦，故22211(1)()(1)(1)+-+=--==-- n n n S n S n S ，因为2110-=S ，所以20n S n -=，即2n S n =，当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，11a =适合上式，所以{}n a 的通项公式是21n a n =-.【小问2详解】因为1(1)++-=n n n n b b a ，故当()21N n k n *=-∈时，221212(21)143k k k b b a k k ---==--=-①，当()2N n k n *=∈时，212222141k k k b b a k k ++==⨯-=-②，①、②两式相减得：21212(1)+-+=k k b b k ≥，因为11b =，312b b +=，所以31b =，因为21212(1)+-+=k k b b k ≥，所以当n 为奇数时，1n b =，当n 为偶数时，112(1)123n n n b b a n n ---==--=-，所以1123122n n b a n n -=+=-+=-，所以1,21,N 22,2,Nn n k k b n n k k **⎧=-∈=⎨-=∈⎩；当n 为偶数时，213124(222)112()()12222-+-=+++++++=⨯+=+ n n n n n n T b b b b b b n n ,当n 为奇数时，2111111[(1)(1)][2(1)2]22++++=-=-=+++-+-n n n n n T T b T b n n n 211122n n =-+，综上，22111,21,N 2211,2,N 22n n n n k k T n n n k k **⎧-+=-∈⎪⎪=⎨⎪+=∈⎪⎩.22.已知函数2()+(2)ln =--f x ax a x x ．（1）若()f x 在区间(1,2)上有极值，求实数a 的取值范围；（2）当01a <<时，求证：()f x 有两个零点1x ，2x 12()x x ≠，且12()()0''+<f x f x ．【答案】（1）112a <<（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出导函数，分0a ≤以及0a >，根据导函数得出函数的单调性，进而得出函数极值情况；（2）先根据导函数以及零点存在定理，证明函数存在两个零点.代入求出()()12,f x f x ，作差然后推得112212122()ln()(1)-+=-++x x x x a x x x x .然后求出1()22f x ax a x '=-+-，代入化简11212212112ln )()(()(x x f x f x x x x x '+=-+-'.转化为证明12212102ln -+>x x x x x x ，换元令12,(0,1)x t t x =∈，证明12ln 0t t t -+>，(0,1)t ∈即可.【小问1详解】因为2()(2)ln f x ax a x x =+--，(1,2)x ∈，所以22(2)1(21)(1)1()22+--+-'=+--==ax a x x ax f x ax a x x x.①当0a ≤时，()0f x '<在(1,2)上恒成立，所以()f x 在(1,2)上单调递减，()f x 在(1,2)上无极值点；②当0a >时，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，所以()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．所以()f x 的极小值点为1a ，无极大值点.因为()f x 在(1,2)上有极值，所以1(1,2)∈a，所以112a <<.综上所述，当112a <<时，()f x 在区间(1,2)上有极值.【小问2详解】由已知，()f x 定义域为()0+∞，.当01a <<时，(21)(1)()+-'=x ax f x x，0x >由（1）知：()111()ln 1f x f a a a==--+极小，因为01a <<，所以11a>.令1t a =，1t >，则()ln 1f t t t =--+.因为1()10'=--<f t t在(1,)t ∈+∞上恒成立，所以()f t 在(1,)+∞上单调递减，所以()(1)0f t f <=，即()1()0f x f a =<极小.因为，221212ln 10e e e e e e ea a a a f -⎛⎫=+-=++-> ⎪⎝⎭，由（1）知：()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，且110e f f a ⎛⎫⎛⎫⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据零点存在定理，可知()f x 在11,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在唯一的零点1x ，使1()0f x =，.因为()3(2)39333ln 3ln a f a a a a a a-=+-=+-.令()ln 1g x x x =-+，0x >，则()111x g x x x-'=-=.当01x <<时，有()0g x '>，所以()g x 在()0,1上单调递增；当1x >时，有()0g x '<，所以()g x 在()1,+∞上单调递减.所以，()g x 在1x =处取得唯一极大值，也是最大值()10g =.因为01a <<，所以33a >，所以30g a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即33ln 10a a --<，所以33ln 10a a -+>，所以()33140f a>+=>.由（1）知()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，且()()130f f a a ⋅<，所以()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上存在唯一的零点2x ，使2()0f x =．所以()f x 有两个零点1x ，212()x x x ≠.下面证明12()()0''+<f x f x ：设120x x <<，则()()()()()()111111111111222222222ln 2ln 02ln 2ln 0f x ax a x x a x x x x f x ax a x x a x x x x ⎧=+--=+--=⎪⎨=+--=+--=⎪⎩．两式相减：2212121212[()()]2()(ln ln )0a x x x x x x x x -+-----=，即11212122()(1)2()ln 0-++---=x a x x x x x x x ，所以112212122()ln()(1)-+=-++x x x x a x x x x .因为22(2)11()22+--'==-+-ax a x f x ax a x x，所以12121212121111()()2()()2(2)2(1)()4''+=+-++-=++-+-f x f x a x x a a x x x x x x 1112221212112121222()ln2ln ()(1)(11112(1)()4())-+-++-=++-+-=-+x x x x x x x x x x x x x x x x x x .要证：12()()0''+<f x f x ，即证：1211212211(0()02()ln-+<<<-x x x x x x x x ，只要证：122211112ln(()0)--+>x x x x x x ，即证：12212102ln-+>x x x x x x .令12,(0,1)x t t x =∈，即证：12ln 0t t t -+>，(0,1)t ∈．令()2ln 1-=+m t t t t，(0,1)t ∈，则222(1)112(0)----='=<m t t t t t 在(0,1)t ∈上恒成立，所以()m t 在()0,1上单调递减，所以()(1)0m t m >=．即12212102ln -+>x x x x x x 成立，故()f x 有两个零点1x ，2x 12()x x ≠，且12()()0''+<f x f x .【点睛】关键点睛：求出()f x '，代入化简11212212112ln)()(()(x x f x f x x x x x '+=-+-'.转化为证明12212102ln -+>x x x x x x ，换元求导即可.。

苏州市2023-2024学年高三上学期期中调研数学试卷(含答案)

苏州市2023～2024学年第一学期高三期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．1．下列条件中，使得“>a b ”成立的充分不必要条件是A ．>a bB ．11>a bC ．22>a b D ．ln ln >a b2．已知集合2{650}=-+<A x x x ，{}=<B x x a ，且=A B A ，则实数a 的取值范围为A ．(1,)+∞B ．[3,)+∞C ．[5,)+∞D ．(5,)+∞3．已知4cos 35-πα（）=，则sin 6+πα（）的值为A ．45-B ．35-C ．35D ．455．在△ABC 中，3=A π，AB 边上的高等于3AB ，则sin =CA ．14B ．14C ．14D ．146．已知曲线e ln =+x y a x x 在点(1,e)a 处的切线方程为2=+y x b ，则7二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．10．函数()tan 4=-f x x （2，则A ．()f x 的一个周期为2πB ．()f x 是增函数C ．()f x 的图象关于点3π(,0)8对称D ．将函数tan 2=y x 的图象向右平移π4个单位长度可得到()f x 的图象11．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱AB ，1AA 的中点，点P 在对角线1A B 上，则A ．三棱锥-P CEF 体积为16B ．点P 到平面CEF 的距离为23C ．1APD P +的最小值为D ．四面体BCEF 外接球的表面积为14π12．对于数列{}n a ，若存在正数M ，使得对一切正整数n ，都有n a M ≤，则称数列{}n a 为有界数列；若这样的正数M 不存在，则称数列{}n a 为无界数列．下列说法正确的有三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．（第14（第15题图．如图，一个半径为3两点为直径AB 的三等分点，⋅DE=▲．已知函数()3=-f x x 且()()=f m f n ，则m 的取值范围为围为▲.（本小题第一空2分，第二空3分）四、解答题：本大题共6小题，共计70分．17．(本小题满分10分)已知函数()2sin cos 442=+x x xf x .（1）求()f x 的最小值及取得最小值时x 的取值集合；（2）若()f x 的图象向右平移m (0)>m 个单位后得到的函数恰好为偶函数，求m 的最小值．18．(本小题满分12分)在①∠BAC 的平分线长为65；②D 为BC 中点，AD ；③AH 为BC 边上的高，AH 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．△ABC 中，角A ,B ,C 的对边为a ,b ,c ，已知b =2，2cos 3cos =-A a B .（1）求c ;（2）若，求∠BAC 的大小.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．如图，在四棱锥-P ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AD BC ∥，2=AD BC ，090∠=DAB ，平面⊥PDB 平面ABCD ，⊥AC BD ，⊥AB PD ，1=BC ，2=PD .（1）求证：⊥PD 平面ABCD ；（2）求二面角--D PC B 的余弦值．20．(本小题满分12分)已知函数()f x 满足2()e 2=-+x f x x x ．（1）求()f x 的单调区间；（2）若关于x 的不等式()(2)1>-+f x a x 在(0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11=a ，21221++=++n n S S n n ．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若11=b ,1(1)++-=n n n n b b a ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．22．(本小题满分12分)已知函数2()+(2)ln =--f x ax a x x ．（1）若()f x 在区间(1,2)上有极值，求实数a 的取值范围；（2）当01<<a 时，求证：()f x 有两个零点1x ，2x 12()≠x x ，且12()()0''+<f x f x ．2023～2024学年第一学期高三期中调研试卷数学参考答案及评分建议2023.11一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．题号12345678答案DCDBDACB二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．题号9101112答案ADACBCDABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．13．20;;15．12;16．(，(3,3)-四、解答题：本大题共6小题，共计70分．17．（本小题满分10分）解：（1）因为()sin 2sin()2223π=+=+x x x f x ，……………………………………………2分当2,232ππ+=-+π∈x k k Z 即54,3π=π-∈x k k Z 时，f (x )取得最小值－2，………………4分所以f (x )的最小值为－2，此时x 的取值集合为5{|4,}3π=π-∈x x k k Z ．………………5分（2）设()f x 的图象向右平移m (0)>m 个单位后得到函数()g x ，则()2sin()23-π=+x m g x ，因为()g x 为偶函数，所以()()-=g x g x ，即sin()sin()223223ππ-+=--+x m x m ，所以sin cos()0223π-+=x m 恒成立，所以,232ππ-+=+π∈m k k Z ，………………………8分所以2,3π=--π∈m k k Z ，…………………………………………………………………9分又因为0>m ，所以min 53π=m ．……………………………………………………………10分18．(本小题满分12分)解：（1）由b =2及2cos 3cos =-A a B 得cos 3cos b A a B =-，即cos cos 3+=b A a B，………2分由余弦定理得222222322+-+-+=b c a a c b b a bc ac，……………………………………………4分所以3c =．……………………………………………………………………………………5分（2）若选①，记∠BAC=2θ，∠BAC 的平分线交BC 于D ，则有=+ABC ABD ACD S S S △△△，…………………………………………………………………………………………6分即111sin 2sin sin 222=⋅+⋅bc b AD c AD θθθ，…………………………………………………7分即12186sin 2sin sin 55=+θθθ即sin 2sin =θθ，所以2sin cos sin =θθθ，………………9分因为(0,)2∈πθ，所以sin 0≠θ从而1cos 2=θ即3=πθ，…………………………………11分所以23∠=BAC π.……………………………………………………………………………12分若选②，由于D 为BC 中点，所以1()2=+AD AB AC ，…………………………………6分z即22242=++⋅ADAB AC AB AC，…………………………………………………………7分又因为72= AD ，3=AB ，2=AC ，所以3⋅=-AB AC ，……………………………9分即cos 3⋅⋅∠=-AB AC BAC ，所以1cos 2∠=-BAC ，……………………………………11分又因为(0,)∠∈BAC π，所以23∠=BAC π.………………………………………………12分若选③，由于AH 为BC 边上的高，在t R BAH△中，2229571449191919⨯=-=-=⨯BH AB AH ，所以121919=BH ，……………7分在t R CAH △中，222957494191919⨯=-=-=⨯CH AC AH ，所以71919=CH ……………9分所以19=+=BC BH CH 由余弦定理得22294191cos 22322+-+-∠===-⋅⨯⨯AB AC BC BAC AB AC，…………………………11分又因为(0,)∠∈BAC π，所以23∠=BAC π.………………………………………………12分19．(本小题满分12分)解：（1）因为平面⊥PDB 平面ABCD ，平面PDB 平面ABCD =BD ，⊥AC BD ，⊂AC 平面ABCD所以AC ⊥平面PDB ，…………………………………………………………………………1分又因为⊂PD 平面PDB ，所以AC ⊥PD ，…………………………………………………2分又因为⊥AB PD ，=AC AB A ，⊂AC 平面ABCD ，⊂AB 平面ABCD ，所以PD ⊥平面ABCD ，………………………………………………………………………4分（2）由（1）知PD ⊥平面ABCD ，又AD⊂平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥AD ，PD ⊥AB ，过A 引AZ PD ∥，则有AZ ⊥AD ，AZ ⊥AB ，又因为090∠=DAB ，即AD AB ⊥，以A 为原点，以AB 为x 轴，以AD 为y 轴，以AZ 为z轴建立空间直角坐标系，……5分设(0)=>AB t t ，则)0,0,0(A ，)0,0,(t B ，)0,1,(t C ，(0,2,0)D ，(0,2)P ,所以)0,1,(t AC =，)0,2,(t BD -=，)2,0,0(=DP ,由于⊥AC BD ，所以⋅AC 0=BD ，所以22=t ，即2=t ，………………………………………………………………………7分从而)0,1,2(C ，则)0,1,2(-=DC ，………………………………………………………8分设平面PDC 的一个法向量为),,(z y x n =，则有00⎧⋅=⎨⋅=⎩n DP n DC ，，即2020⎧=⎨-=⎩y ，，取1=x ，解得2,⎧=⎨⎩y z 即20)=n，………………………………………………9分同理，可求得平面PBC 的一个法向量为)1,0,1(=m ，…………………………………10分所以|cos,||<>== m n …………………………………………………………11分设二面角B PC D --的平面角为θ，θ为钝角，所以二面角B PCD --的平面角余弦值为.…………………………………………12分20．(本小题满分12分)解：（1）因为2()2=-+x f x e x x ，所以()22'=-+x f x e x ，………………………………………1分()()22'==-+x m x f x e x 令，则()2'=-x m x e ，当(,ln 2)∈-∞x 时，()0'<m x ；当(ln 2,)∈+∞x 时，()0'>m x ．所以()m x 在(,ln 2)-∞上单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增．所以min ()(ln 2)2(2ln 2)0==->m x m ，…………………………………………………………3分即()0'>f x 恒成立，所以()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞，无单调递减区间．…………………………………5分（2）由题意()(2)1>-+f x a x 在区间(0,)+∞上恒成立，即2221-+>-+xe x x x ax 恒成立，即1e>+-xax xx 在区间(0,)+∞上恒成立，………………6分令1e ()=+-xg x x xx ，(0,)∈+∞x ，只需max ()>ag x ，……………………………………………7分有222(1)(1e )1e e ()1-+--'=-+-=x x x x x x g x x x x ，(0,)∈+∞x ，……………………………………8分令()1e =+-x h x x ，[0,)∈+∞x ，有()1e 0'=-x h x ≤，从而()(0)0=h x h ≤，…………………9分所以当(0,1)∈x 时，()0'>g x ；当(1,)∈+∞x 时，()0'<g x ，所以()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，……………………………………10分所以()(1)2e ==-g x g max ，…………………………………………………………………11分所以2>-ae .…………………………………………………………………………………12分21．(本小题满分12分)解：（1）法一:当1n =时，215S S +=，即2125a a +=，由11a =，得23a =，由21221n n S S n n ++=++，得212(1)2(1)1n n S S n n -+=-+-+(2)n ≥，两式相减得：14(2)++=n n a a n n ≥．又214a a +=，满足上式．所以当*n N ∈时，14n n a a n++=，…………………………………………………………1分又当2n ≥时，14(1)n n a a n -+=-，两式相减得：114(2)+--=n n a a n ≥，…………………………………………………………2分所以数列{}n a 的奇数项是以11a =为首项，4为公差的等差数列，所以11412(1)212-=+⨯=+-=-nn a a n n (n 为奇数)，……………………………………3分数列{}n a 的偶数项是以23a =为首项，4为公差的等差数列，所以11412(1)212-=+⨯=+-=-nn a a n n (n 为偶数)，……………………………………4分所以21=-n a n ，即{}n a 的通项公式是21n a n =-．…………………………………………5分法二：因为21221++=++n n S S n n ，所以22211(1)()(1)(1)+-+=--==-- n n n S n S n S ，………2分因为2110-=S ，所以20n S n -=，即2n S n =，………………………………………………3分当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，…………………………………………4分当1=n时，11a =适合上式，所以{}n a 的通项公式是21n a n =-.…………………………5分（2）因为1(1)n n n n b b a ++-=，所以：当*21()n k n N =-∈时，221212(21)143k k k b b a k k ---==--=-……①当*2()nk n N =∈时，212222141k k k b b a k k ++==⨯-=-……②①、②两式相减得：21212(1)+-+=k k b b k ≥，…………………………………………………6分因为11b =，312b b +=，所以31b =，因为21212(1)+-+=k k b b k ≥，所以当n 为奇数时，1n b =，…………………………………7分当n 为偶数时，112(1)123n n n b b a n n ---==--=-，所以1123122n n b a n n -=+=-+=-，…………………………………………………………8分所以1,22,nn b n n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，…………………………………………………………………9分(i)当n 为偶数时，213124(222)112()()12222-+-=+++++++=⨯+=+ n n n n n n T b b b b b b n n ．…………10分(ii)当n 为奇数时，2111111[(1)(1)][2(1)2]22++++=-=-=+++-+-n n n n n T T b T b n n n 211122=-+n n ．………11分综上,22111,221122⎧-+⎪=⎨+⎪⎩n n n n T n n n 为奇数，为偶数.………………………………………………………12分22．(本小题满分12分)解：（1）因为2()(2)ln f x ax a x x =+--，(1,2)x ∈所以22(2)1(21)(1)1()22+--+-'=+--==ax a x x ax f x ax a x x x，…………………………1分①当0a ≤时，()0f x '<所以()f x 在(1,2)上单调递减，所以()f x 在(1,2)上无极值点，…………………………2分②当0a>时，当1(0,)∈x a 时，()0f x '<；当1(,)∈+∞x a 时，()0g x '>，所以()f x 在1(0,a 上单调递减，在1(,)+∞a上单调递增．所以()f x 的极小值点为1a，无极大值点，因为()f x 在(1,2)上有极值，所以1(1,2)∈a，所以112<<a .……………………………………………………………………………4分（2）当01a <<时，(21)(1)()+-'=x ax f x x，0x >由(1)知：111()()ln 1==--+f x f a a a 极小，01a <<，11>a令1=t a，1t >，则()ln 1f t t t =--+因为1()10'=--<f t t ，(1,)t ∈+∞恒成立，所以()f t 在(1,)+∞上单调递减所以()(1)0f t f <=即1()(0=<f x f a极小，…………………………………………………5分因为221212(ln 10-=+-=++->a a a a f e e e e ee e ，由(1)知：()f x 在1(0,a上单调递减，且11(()0⋅<f f e a ，所以()f x 在1(0,a上存在唯一的零点1x ，使1()0f x =，……………………………………6分因为3(2)39333()ln 3ln -=+-=+-a f a a a a a a ，又33ln 1,01<-<<a a a，所以3(3140>+=>f a ，由(1)知()f x 在1(,)+∞a上单调递增，且13()()0⋅<f f a a ，所以()f x 在1(,)+∞a上存在唯一的零点2x ，使2()0f x =．所以()f x 有两个零点1x ，212()x x x ≠.………………………………………………………7分下面证明12()()0f x f x ''+<：设120x x <<，则22111111112222222222()(2)ln ()2ln 0()(2)ln ()2ln 0f x ax a x x a x x x x f x ax a x x a x x x x ⎧=+--=+--=⎨=+--=+--=⎩．两式相减：2212121212[()()]2()(ln ln )0-+-----=a x x x x x x x x 即11212122()(1)2()ln 0-++---=x a x x x x x x x 所以112212122()ln ()(1)-+=-++xx x x a x x x x ，………………………………………………………………8分因为22(2)11()22+--'==-+-ax a x f x ax a xx 所以12121212121111()()2()()2(2)2(1)(4''+=+-++-=++-+-f x f x a x x a a x x x x x x 1112221212112121222()ln 2ln ()(1)(11112(1)()4())-+-++-=++-+-=-+x x x x x x xx x x x x x x x x x x ，……………9分要证：12()()0f x f x ''+<，即证：1211212211()0()02()ln-+<<<-x x x x x x x x ，只要证：122211112ln (()0)--+>x x x x x x ，即证：12212102ln -+>xx x x x x .……………………10分令12,(0,1)=∈x t t x ，即证：1ln 02-+>t t t ，(0,1)t ∈．令()2ln 1-=+m t t t t ，(0,1)t ∈，则222(1)112(0)----='=<m t t t t t ，(0,1)t ∈恒成立所以()m t 在(0,1)上单调递减，所以()(1)0m t m >=．即12212102ln-+>x x x x x x 成立，故()f x 有两个零点1x ，2x 12()≠x x ，且12()()0''+<f x f x .……………………………12分。

苏州高中数学期中试题答案

苏州高中数学期中试题答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 若\( a \), \( b \), \( c \)是三角形的三边长，且满足\( a^2 + b^2 = c^2 \)，则此三角形是（）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形2. 函数\( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 \)的导数是（）A. \( 6x^2 - 6x + 1 \)B. \( 6x^2 - 6x - 1 \)C. \( 6x^2 + 6x - 1 \)D. \( 6x^2 + 6x + 1 \)3. 若\( \sin \theta = \frac{3}{5} \)，且\( \theta \)为锐角，则\( \cos \theta \)的值为（）A. \( \frac{4}{5} \)B. \( \frac{3}{4} \)C. \( \frac{1}{2} \)D. \( \frac{2}{3} \)4. 已知集合\( A = \{1, 2, 3\} \)，\( B = \{2, 3, 4\} \)，则\( A \cap B \)等于（）A. \( \{1\} \)B. \( \{2, 3\} \)C. \( \{4\} \)D. \( \{1, 2, 3\} \)5. 若\( x \)满足方程\( |x - 1| + |x - 3| = 2 \)，则\( x \)的取值范围是（）A. \( x \leq 1 \)B. \( 1 \leq x \leq 3 \)C. \( x \geq 3 \)D. \( x \in \mathbb{R} \)6. 函数\( y = \log_2 x \)的图像关于（）A. 直线\( x = 1 \)B. 直线\( y = 1 \)C. 点(1, 0)D. 点(0, 1)7. 已知\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{9} \)，\( a \)和\( b \)都大于0，求\( a + b \)的值（）A. 9B. 18C. 27D. 368. 已知\( \sin \alpha = \frac{2}{3} \)，求\( \cos 2\alpha \)的值（）A. \( \frac{1}{9} \)B. \( \frac{5}{9} \)C. \( -\frac{1}{9} \)D. \( -\frac{5}{9} \)9. 一个圆的半径为3，圆心到直线的距离为2，则直线与圆的位置关系是（）A. 相切B. 相离C. 相交D. 内切10. 若\( a \), \( b \), \( c \)为实数，且\( a^2 + b^2 = c^2 \)，\( a + b + c = 1 \)，求\( ab + bc + ac \)的值（）A. \( \frac{1}{2} \)B. \( -\frac{1}{2} \)C. \( -1 \)D. \( 0 \)二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知\( \tan \theta = 2 \)，求\( \sin 2\theta \)的值。

2025届苏州市高三数学上学期11月期中调研试卷分附答案解析

2024～2025学年第一学期高三期中调研试卷数学注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共6页，包含单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第11题）、填空题（第12题～第14题）、解答题（第15题～第19题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效，作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在复平面内，若i 是虚数单位，复数z 与21i -关于虚轴对称，则z =（）A. 1i +B. 1i-- C. 1i-+ D. 1i-【答案】C 【解析】【分析】利用复数的除法运算和几何意义求解即可.【详解】()221i 21i 1i 1i+==+--，复数z 与21i-关于虚轴对称，故1i z =-+.故选：C2. 若对于任意的实数R x ∈都有cos()sin cos cos sin x x x θθθ-=+成立，则θ的值可能是（）A.π4B. π2-C. π4-D. 0【答案】A 【解析】【分析】利用两角和差公式和诱导公式求解即可.【详解】cos()sin cos cos sin sin()sin(2)x x x x x θθθθθθ-=+=+=-+，故π22π,Z 2k k θ=+∈，即ππ,Z 4k k θ=+∈，当0k =时，π.4θ=故选：A3. 下列说法中不正确的是（）A. “1a >”是“2a >”的必要不充分条件B. 命题“R x ∀∈，2220x x ++>”的否定是“R x ∃∈，2220x x ++<”C. “若a ，R b ∈，8a b +<，则4a <且4b <”是假命题D. 设m ，R n ∈，则“0m =或0n =”是“0mn =”的充要条件【答案】B 【解析】【分析】利用充分性和必要性的定义即可判断选项AD ；利用命题的否定即可判断选项B ；利用赋值法即可判断选项C.【详解】对于A, “1a >”是“2a >”的必要不充分条件,故A 正确；对于B ，命题“R x ∀∈，2220x x ++>”的否定是“R x ∃∈，2220x x ++≤”，故B 错误；对于C ，当5,1a b ==时，满足8a b +<，不满足4a <且4b <，故“若a ，R b ∈，8a b +<，则4a <且4b <”是假命题，故C 正确；对于D ，“0m =或0n =”是“0mn =”的充要条件，故D 正确.故选：B4. 在数列{}n a 中，12n n a a n ++=，则数列{}n a 前24项和24S 的值为（）A. 144 B. 312C. 288D. 156【答案】C 【解析】【分析】根据题意，结合12n n a a n ++=，将{}n a 前24项和24S 转化为等差数列求和问题.【详解】因为12n n a a n ++=，所以()2412324122462610462882S a a a a ⨯+=++++=++++== ，故选：C.5. 已知实数0x y >>，则223x x y xy y +-的最小值为（）A. 12 B. 9C. 6D. 3【答案】B 【解析】【分析】将xy看成一个整体，然后利用换元法结合基本不等式求解即可.【详解】22233,1x y x x x x y xy y y y⎛⎫ ⎪⎝⎭+=+--设1xt y=-，0x y >>，故0t >，()()222131314559t x x t t y xy ytt ++=++=++≥=-，当且仅当14t t =，即12t =时，等号成立.故选：B6. 在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆柱的底面半径与圆锥的底面半径的比值为（）A.14B.C.12D.【答案】D 【解析】【分析】设圆柱和圆锥底面半径分别为r ，R ，由圆柱表面积等于圆锥侧面积建立方程，求半径比.【详解】设圆柱和圆锥底面半径分别为r ，R，设圆柱高为h ，则h R r R R-=，=-h R r ，由题，()2π2π2πR r r R r ⨯=+⨯-，得r R =.故选：D .7. 已知()()()2R,4sin f x x x ωω∈=-⋅，若存在常数R a ∈，使得()y f x a =+为偶函数，则ω的值可以为（）A.3π8B.π3C.π4D.π2【答案】A 【解析】【分析】求出()y f x a =+的解析式，得()24y x a =+-和()sin y x a ω⎡⎤=+⎣⎦都是偶函数，然后根据偶函数的定义分析求解．详解】由()()()2R,4sin f x x x ωω∈=-⋅，得()()()24sin x a x f a a x ω+-⋅=++⎡⎤⎣⎦是偶函数，因为()24y x a =+-不可能是奇函数，所以()24y x a =+-和()sin y x a ω⎡⎤=+⎣⎦都是偶函数，()()()2224244y x a x a x a =+-=+-+-为偶函数，则40a -=，即4a =，()()sin 4sin 4y x x ωωω⎡⎤=+=+⎣⎦为偶函数，则π4π2k ω=+，Z k ∈，ππ48k ω=+，Z k ∈，只有1k =时，3π8ω=，故选：A8. 已知函数()e e (0)x x f x x ax b ab a =--+>，若()0f x ≥，则1b a-最大值为（）A. 2e -B. 1e - C. eD. 2e 【答案】A 【解析】【分析】将()0f x ≥转化为函数y x b =-和e x y a =-的零点相同，然后利用ln b a =，构造函数()ln 1a g a a-=求最值即可.【详解】()()()e e e xxxf x x ax b ab x b a =--+=--，因为0a >，且函数y x b =-和e xy a =-都是增函数，故若()0f x ≥恒成立，则函数y x b =-和e xy a =-的零点相同，即ln b a =.故1ln 1b a aa--=，设()ln 1,a g a a -=则()22ln ,ag a a-'=【故在()20,e，()0g a '>，()g a 单调递增；在()2e ,∞+，()0g a '<，()g a 单调递减.故()()22max e e,g a g -==故1b a-最大值为2e -.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知向量(),2a x x =-，()1,b x =-- ，则下列说法中正确的是（）A. 若a b∥，则2x =-或1 B. 若a b ⊥，则0x =或-3C. 若a b =，则1x =或3D. 若1x =-，则向量a ，b【答案】AC 【解析】【分析】根据向量平行求参判断A 选项，根据向量垂直求参判断B 选项，应用模长相等计算判断C 选项，根据向量坐标的模长公式先求模长再根据夹角余弦公式计算判断D 选项.【详解】A 选项，若//a b，有()22x x --=-，解得1x =或2x =-，A 选项正确；B 选项，若a b ⊥，有()20x x x ---=，解得0x =或3，B 选项错误，；C 选项，若a b =，有=，解得1x =或3x =，C 选项正确；D 选项，当=1x -时，()1,3a =-，()1,1b =-，a =，b = ，4a b ⋅= ，向量a ，b 夹角的余=D 选项错误．故选：AC10. 已知ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列四个命题中正确的是（）A. 若ABC V 为锐角三角形，则sin cos B A >B. 若60B =︒，2b ac =，则ABC V 是直角三角形C. 若cos cos b C c B b +=，则ABC V 是等腰三角形.D. 若ABC V 为钝角三角形，且3AB =，5AC =，13cos 14C =，则ABC V 【答案】AC 【解析】【分析】利用正弦函数的单调性和诱导公式即可判断A 选项；利用余弦定理即可判断B 选项；利用正弦定理边化角即可判断C 选项；利用余弦定理求出7a =或167a =，再进行分类讨论即可判断D 选项.【详解】对于A, 若ABC V 为锐角三角形，则π,2A B +> 即ππ22B A >>-，故πsin sin cos 2B A A ⎛⎫>-=⎪⎝⎭，故A 正确；对于B ，若60B =︒，2b ac =，则222222cos b a c ac B a c ac ac =+-=+-=，即()22220,0a c ac a c +-=-=，故a c =，且60B =︒，故ABC V 是等边三角形，故B 错误；对于C ，若cos cos b C c B b +=，则sin cos sin cos sin ,B C C B B +=即()sin sin ,B C B +=即s s n n ,i i A B =故A B =，ABC V 是等腰三角形.故C 正确；对于D ，222225913cos 21014a b c a C ab a +-+-===，解得7a =或167a =，且sin C ==，当7a =时，cos 0A <，A 为钝角，故1sin 2ABC S ab C ==△，当167a =时，cos 0B <，B 为钝角，故1sin 2ABC S ab C ==V D 错误.故选：AC11. 已知α，()βαβ≠是函数32()1f x x ax bx =+++，(),a b ∈R 两个不同的零点，且1αβ⋅=，1x ，2x 是函数()f x 两个极值点，则（）A. a b =B. 3a >或2a <-C.22(2)a b +-值可能为11D. 使得()()1243f x f x +=的a 的值有且只有1个【答案】ACD【解析】【分析】由,αβ是()f x 的零点且1αβ=得()()()(1)f x x x x αβ=--+，展开后与已知比较可得1a b αβ==--，可判断A ，由2()()(1)10x x x a x αβ--=+-+=有两个不等实解，得a 的范围，可判断B ，直接解方程22(2)11a a +-=可判断C ，由韦达定理得出1212,x x x x +，代入124()()3f x f x +=，化为关于a 的方程，引入函数32()299g a a a =-+，由导数确定它的单调性，结合零点存在定理得零点范围，结合B 中范围可判断D ．【详解】由已知2()32f x x ax b '=++有两个零点，24120a b ∆=->，又α，()βαβ≠是函数32()1f x x ax bx =+++两个不同的零点且1αβ⋅=，所以()()()(1)f x x x x αβ=--+，即32()(1)()f x x x x αβαβαβαβ=+--+--+32(1)(1)1x x x αβαβ=+--+--+所以1a αβ=--，1b αβ=--，即a b =，A 正确；224124120a b a a ∆=-=->，解得3a >或0a <，(0)10=>f ，322()1(1)[(1)1]f x x ax ax x x a x =+++=++-+，由已知2(1)10x a x +-+=有两个不等实根,αβ，所以21(1)40a ∆=-->，解得3a >或1a <-，所以3a >或1a <-，B 错；222222(2)(2)2442(1)211a b a a a a a +-=+-=-+=-+=，解得1a =-或1a =+，满足3a >或1a <-，C 正确；由2()320f x x ax a '=++=，得1223a x x +=-，123ax x =，322212121212()()()()2f x f x x x a x x a x x +=++++++32121212121222()3()[()2]()2x x x x x x a x x x x a x x =+-+++-+++322282422()2273933a a a a a a =-++--+23422273a a =-+，由2342422733a a -+=整理得322990a a -+=，设32()299g a a a =-+，则2()6186(3)g a a a a a '=-=-，0a <或3a >时，()0g a '>，0<<3a 时，()0g a '<，()g a 在在(,0)-∞和(3,)+∞上递增，在(0,3)上递减，又(0)90,(3)180g g =>=-<，(1)20g -=-<，33(9)29990g =⨯-+>，所以()g a 在(1,0)-，(0,3)，(3,)+∞上各有一个零点，又1a <-或3a >，因此()0g a =只在(3,)+∞上在一个解，D 正确．故选：ACD ．【点睛】方法点睛：本题考查用导数研究函数的零点，极值，对计算要求较高，对多项式函数1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ ，如果α是它的一个零点，则121210()()()n n n n f x x b x b x b x b α----=-++++ ，因此本题中在已知()f x 有两个乘积为1的零点时，结合常数项可设()()()(1)f x x x x αβ=--+，展开后得出,a b 与,αβ的关系，从而使得问题可解．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知函数π()2sin (0)4f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间[]0,1上的值域为[],m n ，且3n m -=，则ω的值为______.【答案】11π12【解析】【分析】利用整体代入法，结合正弦函数的图像求解即可.【详解】[]0,1x ∈，故πππ,444x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，因为π()2sin 4f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间[0,1]上的值域为[],m n ，且3n m -=，故必有2,1,n m ==-，如图所示，则π7π,46ω+=故11π.12ω=故答案为：11π1213. 如图，边长为1的正ABC V ，P 是以A 为圆心，以AC 为半径的圆弧 BC上除点B 以外的任一点，记PAB 外接圆圆心为O ，则AO AB ⋅=______.【答案】12##0.5【解析】【分析】利用三角形外心的性质将AO AB ⋅转化为()AD DO AB +⋅ 即可.【详解】取AB 的中点D ，因为ABC V 为正三角形，故CD 为AB 的中垂线，则PAB 外接圆圆心O 一定在CD 上，如图所示，，故()21122AO AB AD DO AB AD AB AB ⋅=+⋅=⋅== .故答案为：1214. 若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足()()f x kx b g x ≥+≥恒成立，则称直线y kx b =+为()f x 和()g x 的“媒介直线”.已知函数2()(R)f x x x =∈，1()(0)g x x x=<，若()f x 和()g x 之间存在“媒介直线”y kx b =+，则实数b 的范围是______.【答案】[]4,0-【解析】【分析】结合函数图像，利用临界情况，y kx b =+同时与()f x 和()g x 均相切求解即可.【详解】()()f x kx b g x ≥+≥恒成立，即y kx b =+的图像一直在()f x 和()g x 之间，，当y kx b =+同时与()f x 和()g x 均相切时，方程2()f x x kx b ==+和方程1()g x kx b x==+均只有一个解，即20x kx b --=和210kx bx +-=均只有一个解，故224040k b b k ⎧+=⎨+=⎩或2400k b k ⎧+=⎨=⎩，解得0b =或4-，结合图像可知，“媒介直线”y kx b =+的截距[]4,0b ∈-.故答案为：[]4,0-【点睛】思路点睛：本题考查函数新定义，注意理解新定义，然后数形结合，利用临界情况求解即可.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知数列{}n a 是公差大于1的等差数列，23a =，且11a +，31a -，63a -成等比数列，若数列{}n b 前n 项和为n S ，并满足2n n S b n =+，*n N ∈.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式.（2）若()()11n n n c a b =--，求数列{}n c 前n 项的和n T .【答案】（1）21n a n =-；12nn b =-（2）()2228.n n T n +=--【解析】【分析】（1）利用等差数列的基本量可求出n a ；利用n S 和n b 的关系，构造出()1121n n b b --=-即可求出n b ；（2）利用错位相减法求解即可.【小问1详解】设等差数列{}n a 公差为d ，由23a =，且11a +，31a -，63a -成等比数列知：()()()12111315321a d a a d a d +=⎧⎪⎨++-=+-⎪⎩，整理得：251240d d -+=，即2=d 或者25d =，因为公差大于1，故2=d .且131a d =-=，故21n a n =-.数列{}n b 前n 项和n S ，并满足2n n S b n =+ ①，且11121b S b ==+，解得11b =-，故当2n ≥时，1121n n S b n --=+- ②，①式减②式得：11221n n n n n S S b b b ----==+，即()1121n n b b --=-，故{}1n b -是公比为2的等边数列，则()111122n n n b b --=-⨯=-，故12nn b =-【小问2详解】()()()()()11122212n n n n n c a b n n +=--=--=--，故()345102223212,n n T n +=--⨯-⨯---……则()4562202223212,n n T n +=--⨯-⨯---……故()()3234512222222221212,12n n n n n n T T n n ++++--=-----+-=-+--……故()2228,n n T n +-=-+则()2228.n n T n +=--的为16. 已知向量(sin ,cos )a x x =，,cos )b x x = ，()21f x a b =⋅-.（1）求函数()f x 解析式，写出函数()f x 的最小正周期、对称轴方程和对称中心坐标.（2）试用五点作图法作出函数()f x 在一个周期上的简图（要求列表，描点，连线画图）.（3）根据（2）中的图象写出函数()()y f x x =∈R 的单调增区间、最小值及取得最小值时相应x 值的集合.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）利用向量数量积的坐标公式和三角恒等变换求出()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后利用整体代入法求解即可；（2）利用五点作图法求解即可；（3）根据函数图像求解即可.【小问1详解】向量(sin ,cos )a x x =，,cos )b x x = ，则2ππ2T ==，)2π()212cos cos 12cos 22sin 26f x a b x x x x x x ⎛⎫=⋅-=+-=+=+ ⎪⎝⎭，故()f x 的最小正周期2ππ2T ==，当 ππ2=π,62x k k ++∈Z 时，ππ,62k x k =+∈Z ，当 π2=π,6x k k +∈Z 时，ππ,122k x k =-+∈Z ，故()f x 的对称轴方程为ππ,62k x k =+∈Z ，对称中心为ππ,0,122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z .【小问2详解】列表：π26x +π2π3π22πxπ12-π65π122π311π12π2sin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0202-0描点，连线，画图得：【小问3详解】由图可知，()f x 的单调增区间为πππ,π,36k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ；最小值为2-；取最小值时相应x 值的集合为：2ππ,3x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z .17. 如图①，在平面四边形ABCD 中，CB CD ==，tan CDB ∠=，O 为对角线BD 中点，F为BC 中点，E 为线段AD 上一点，且BE AO ⊥，CO AB =，AB BD ⊥.（1）求AE 的长.（2）从下面（i ）与（ii ）中选一个作答，如果两个都作答，则只按第一个解答计分.（i ）在平面四边形ABCD 中，以BD 为轴将BCD △向上折起，如图②，当面CBD ⊥面ABD 时，求异面直线OF 与BE 所成角余弦值.（ii ）在平面四边形ABCD 中，以BD 为轴将BCD △向上折起，如图③，当60COE ∠=︒时，求三棱锥C ABD -的体积.【答案】（1 （2）见解析【解析】的【分析】（1）利用勾股定理和正弦定理结合三角函数求解即可；（2）若选（i ），利用空间向量求解即可；若选（ii ），利用等体积法求解即可.【小问1详解】因为CB CD == O 为对角线BD 中点，故CO BD ⊥,因为tan CDB ∠=故sin CDB CDB ∠=∠=，即sin CO DO CDB CDB CD CD ∠==∠==，解得2CO DO ==,故24,BD DO AB CO ====,则AD ==，AO ==,因为AB BD ⊥，BE AO ⊥，则π2ABE EBO ∠+∠=，π2AOB EBO ∠+∠=,所以ABE AOB ∠=∠,所以sin sin AB ABE AOB AO ∠=∠==cos ABE ∠=且sin sin BD BAD ABE AD ∠===∠,故ABEBAD ∠=∠,则在等腰ABE 中，由正弦定理得：sin sin AB AEAEB ABE=∠∠，sin AEABE=∠，则AE ===.【小问2详解】若选（i ）：当面CBD ⊥面ABD 时，因为CO BD ⊥,面CBD ⋂面ABD BD =,CO ⊂面CBD ,故CO ⊥面ABD ，又AB BD ⊥，故以点B 为坐标原点，BD 为x 轴，BA 为y 轴，过点B 做CO 的平行线为z 轴，可以建如图所示空间直角坐标系，由（1）知，12AE AD ==,故E 为AD 中点，则易得()(())0,2,0,,0,0,0,2,0,O F B E则()0,,2,0,OF BE =-=设异面直线OF 与BE 所成角为θ，则cos cos ,OF θ= .若选（ii ）：由（1）知，12AE AD ==,故E 为AD 中点，故12OE BA ==,当60COE ∠=︒时，1sin 602COE S CO OE =⋅⋅= ，因为//OE BA ，BD BA ⊥,故BD OE ⊥，且BD CO ⊥，OE CO O ⋂=,故BD ⊥面COE ,因为E 为AD 中点，O 为BD 中点，故4ABD DOE S S = ,则三棱锥C ABD -的体积:14443C ABD C DOE D COE COE V V V S OD ---===⨯⨯= .18. 已知函数()ln(1)f x a x =-，2()2g x x x =-.（1）如果函数()f x 在(2,(2))f 处的切线，也是()g x 的切线，求实数a 的值.（2）若()()()F x g x f x =-在11,e 1e⎡⎤++⎢⎥⎣⎦存在极小值()0F x ，试求()0F x 的范围.（3）是否存在实数a ，使得函数2(1)G()(1)2(1)g x x f x x +=+-+有3个零点，若存在，求出所有实数a 的取值集合，若不存在，请说明理由.【答案】（1）2 （2）(2e 1,0⎤--⎦ （3）()0,1【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）利用极值点的定义，得出()2021a x =-，然后构造函数求出()0F x 的范围即可；（3）根据G()x 的单调性对a 进行分类讨论，注意1G(G()0x x+=，然后转化为G()x 在()1,+∞上有唯一零点求解即可.【小问1详解】(2)0f =，(),(2)1af x f a x ''==-，故()f x 在(2,(2))f 处的切线为()2y a x =-，()2y a x =-也是()g x 的切线，故方程()222x x a x -=-只有一个解，即()2220x a x a -++=只有一个解，()2280a a +-=，解得2a =.【小问2详解】()2()()()2ln 1F x g x f x x x a x =-=---，()221()2211x a a F x x x x --'=--=--，当0a ≤时，()0F x '>，()F x 无极值点，不符合题意；当0a >时，在1,1⎛+ ⎝上，()0F x '<，()F x 单调递减；在1⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上，()0F x '>，()F x 单调递增；故()F x的极小值点01x =+，则()2021a x =-，故()()()02020002112ln F x x x x x =----，设01t x =-，011,e 1e x ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦，则1,e e t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，此时()2201ln 2F x t t t =--，设()221l 2n h t t t t =--，则()4ln h t t t '=-，1,1e t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h t '>，()h t 单调递增；()1,e t ∈时，()0h t '<，()h t 单调递减；()()22131,e e 1,10e eh h h ⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭，故()(2e 1,0h t ⎤∈--⎦,即()(20e 1,0F x ⎤∈--⎦【小问3详解】2(1)1G()(1)2ln 2(1)1g x x x f x a x x x +-=+-=-++，0x >，()()()222144()11a x x a G x x x x x +-'=-=++，当0a ≤时，()0G x '<，G()x 在()0,∞+单调递减，不存在3个零点；当1a ≥时，()()()()22221414()011a x x x x G x x x x x +-+-'=≥≥++，G()x 在()0,∞+单调递增，不存在3个零点；当01a <<时，()()221414()112a x x G x a x x x x x ⎛⎫⎪+-'==- ⎪+ ⎪++⎝⎭，因为12y x x=++在()1,+∞上单调递增，设()412q x a x x=-++，则()q x 在()1,+∞上也是单调递增，且()110q a =-<，当x →+∞，(),0q x a a →>，故存在唯一一个()01,x ∈+∞，使()00q x =，即在()01,x ，()4012q x a x x=-<++，14()012G x a x x x ⎛⎫ ⎪'=-< ⎪ ⎪++⎝⎭，G()x 单调递减；在()0,x +∞，()0q x >，()0G x '>，G()x 单调递增；且G(1)0=，故0G()G(1)0x <=，且224G(e )0e 1aa=>+，故G()x 在()1,+∞有唯一零点，1G()ln 21x x a x x -=-+，故1G()G()0x x+=，当1x >时，101x<<，因为G()x 在()1,+∞有唯一零点，故G()x 在()0,1也有唯一零点，故当01a <<，G()x 有3个零点;综上所述，所有实数a 的取值集合为()0,1.【点睛】关键点点睛：本题的解题过程中，需通过导数分析函数的性质，并将问题转化为函数零点的讨论，充分体现了数学思想方法的应用．在解题时，要特别注意导数符号的变化对函数单调性的影响，确保分类讨论的全面性和严谨性．19. 对于任意*N n ∈，向量列{}n a 满足1n n a a d +-=.（1）若1(0,3)a =- ，(1,1)=d ，求n a 的最小值及此时的n a .（2）若(),n n n a x y = ，(,)d s t =，其中n x ，n y ，s ，t R ∈，若对任意*n ∈N ，120n x x x +++≠ ，设函数()||f x x x =，记()()()1212()n nf x f x f x F n x x x +++=+++ ，试判断()F n 的符号并证明你的结论.（3）记1(0,0)a = ，0d ≠，n n c a = ，对于任意*m ∈N ，记123()m S m c c c c =+++ ，若存在实数1c =和2，使得等式123123()m m S m c c c c c c c c c c c c =+++=-+-+-+- 成立，且有()507S m =成立，试求m 的最小值.【答案】（1）min ||n a = ()22,1a =- 或()321,a =-（2）()0F n >，证明见解析（3）30【解析】【分析】（1）利用累加法求出()()()()110,31,11,4n a a n d n n n n =+-=-+--=--，进而得到答案；（2）分别在各项均为0的常数列，非零常数列，公差不为0的数列，结合题意证明即可；（3）根据题意构造函数，根据函数的性质建立不等关系，进行求解.【小问1详解】因为1n n a a d +-=对任意*N n ∈成立，所以有21a a d -= 23a a d-= L L L L 1n n a a d--= 将上述各式相加得()11n a a n d =+- ，又因为1(0,3)a =- ，(1,1)=d ,所以()()()()110,31,11,4n a a n d n n n n =+-=-+--=--，所以有n a === ，又*N n ∈，当2n =或3n =时，min ||n a = ()21,2a =- 或()32,1a =-.【小问2详解】可判定()0F n >，（1）因为*N n ∈，120n x x x +++≠ 所以数列{}n x 不可能是各项均为0的常数列；（2）当数列{}n x 为非零常数列时，任意*N n ∈，10n x x =≠若1>0x ，则()()()()212111210n nf x f x f x nx F n x x x x nx +++===>+++ ，若10x <，则()()()()212111210n nf x f x f x nx F n x x x x nx +++-===->+++ ，故当数列{}n x 为非零常数列时，()0F n >.（3）当数列{}n x 为公差不为0的数列时，因*N n ∈，120n x x x +++≠ ，若()11202n n n x x x x x ++++=> ①，由等差数列性质有1213210n m n n n m x x x x x x x x --+-+=+=+==+> ，其中2,1,,m n= 又()22,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩为奇函数，且在R 上单调递增，则由10m n m x x +-+>可得1n m m x x +->-，所以有()()()11m n m n m f x f x f x +-+->-=-，即()()10m n m f x f x +-+->，2,1,,m n = ，所以有()()()()()()()()()12121120n n n n f x f x f x f x f x f x f x f x f x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++=++++++>⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ，即()()()120n f x f x f x +++> ②，所以由①②知()0F n >.同理可证明若()11202n n n x x x x x ++++=< ，利用函数()22,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩为奇函数，且在R 上单调递增，可证()()()120n f x f x f x +++< ，所以有()0F n >.综上可知()0F n >恒成立.【小问3详解】()()111n a a n d n d =+-=-，所以()1n n c a n d ==- ，即{}n c 为等差数列，所以()()()12310212mm m S m c c c c d d m d d -=+++=++++-=，由题意知()1231231111m m S m c c c c c c c c =+++=-+-+-+- 123|2||2||2||2|507m c c c c =-+-+-+-= ，构造函数()23507f x x d x d x d x m d =-+-+-++-=，则()1215070m m m m f c d c c c c --+=++++-=，()121111115070m m m m f c d c c c c --+-=-+-+-++--=，()121222225070m m m m f c d c c c c --+-=-+-+-++--= ，所以函数()f x 至少有三个零点: ||,||,1,||2m m m c d c d c d ++-+- 若使得()f x 有三个零点，则存在区间,122m m d d ⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ，使得()f x 为常数，且三个零点均在,122m m d d ⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 内，所以m 必为偶数，且||2d ≥ ，于是有21122(1)02m m m m m d c d c d c d d m d f ⎧⎛⎫≤+-≤+-≤+≤+ ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫+⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭⎩ ，故有225074d m d ⎧≥⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ，其中()()()2(1)132150722224m dm d m d m m d m f d ⎛⎫+---- ⎪=+++=- ⎪⎝⎭ ，实际上2(1)15072224m d m m m f f d f d d ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪==+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，化简得224507m ≤⨯，解得31m ≤，又m 为偶数，故m 的最大值为30.【点睛】关键点点睛：本题主要考查了空间向量与数列相结合的知识点，包括数列的通项公式以及求和公式，难度较大，解得本题的关键在于理解题意，然后结合数列的相关知识解答.。

江苏高三高中数学期中考试带答案解析

江苏高三高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.设集合M={x|0≤x-≤1}，函数的定义域为N，则M∩N=。

2.已知复数z满足（1+2i）z=4+3i，则z= ．3.函数y=x2—2x (x∈[0，3]的值域是4.已知。

且a∈（一，0），则sin()= 。

5.在△ABC中，AB=．A=45°，B=75°，则BC等于。

6.已知直线是曲线y=lnx(x>0)的一条切线，则实数b的值是。

7.一个算法的流程图如图所示？若输入的n是100，则输出值S是。

8.已知集合A=(x，y）|x一2y一l=0},B={(x，y)|ax-by+1=0}，其中a，b∈{1,2，3，4，5，6}，则A∩B=的概率为 .9.．函数 (其中A>0,,)的图象如图所示，则，f(0)= 。

10.已知在区间[1，+∞）上是单调增函数，则实数的最大值是。

11.不等式对于一切非零实数均成立，则实数的取值范围是。

12.已知向量，设向量，则。

13.设，若函数在区间上是增函数，则的取值范围是。

14.对于函数，下列结论正确的是。

①②有两个不等的实数解；③在R上有三个零点；④二、解答题1.已知（1）求函数的最小正周期；（2）若，求的值。

2.如图，为正三角形，平面ABC ，AD//BE ，且BE=AB+2AD ，P 是EC 的中点。

求证：（1）PD//平面ABC ；（2）EC 平面PBD 。

3.为了研究某种药物，用小白鼠进行试验，发现药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同。

若使用注射方式给药，则在注射后的3小时内，药物在白鼠血液内的浓度与时间t 满足关系式：，若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度与时间t 满足关系式：现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰。

（1）若a=1，求3小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值？（2）若使小白鼠在用药后3小时内血液中的药物浓度不低于4，求正数a 的取值范围。

江苏高三高中数学期中考试带答案解析

江苏高三高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.已知为实数集，，则_____.2.命题:“,”的否定是__________.3.已知z=（a﹣i）（1+i）（a∈R，i为虚数单位），若复数z在复平面内对应的点在实轴上，则a= ．4.设不等式组，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是__________.5.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的值等于 .6.椭圆的右焦点为，右准线为，若过点且垂直于轴的弦的弦长等于点到的距离，则椭圆的离心率是_______．7.已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的最大值为______.8.设且若定义在区间内的函数是奇函数，则的取值范围是________9.巳知函数有两个不同的零点，且方程有两个不同的实根.若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m的值为____________.10.等比数列中，，函数，则曲线在点处的切线方程为____.11.已知变量，则的最小值为__.12.已知函数，其中．若函数仅在处有极值，则的取值范围是______________．13.已知成等差数列，将其中的两个数交换，得到的三数依次成等比数列，则的值为．14.如图，用一块形状为半椭圆的铁皮截取一个以短轴为底的等腰梯形，记所得等腰梯形ABCD的面积为，则的最小值是___________．二、解答题1.已知函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)(0＜φ＜2π)的图象过点(，－2)．（1）求φ的值；（2）若f ()＝，－＜α＜0，求sin(2α－)的值．2.如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M ，N 分别为AB ，B 1C 1的中点．（1）求证：MN ∥平面AA 1C 1C ；（2）若CC 1＝CB 1，CA ＝CB ，平面CC 1B 1B ⊥平面ABC ，求证：AB^平面CMN ．3.（13分）如图，椭圆经过点，离心率，直线l 的方程为．（1）求椭圆C 的方程；（2）是经过右焦点的任一弦（不经过点），设直线与直线相交于点，记、、的斜率分别为、、．问：是否存在常数，使得? 若存在，求的值；若不存在，请说明理由．4.如图（示意），公路AM 、AN 围成的是一块顶角为α的角形耕地，其中tanα＝－2．在该块土地中P 处有一小型建筑，经测量，它到公路AM ，AN 的距离分别为3km ，km ．现要过点P 修建一条直线公路BC ，将三条公路围成的区域ABC 建成一个工业园．为尽量减少耕地占用，问如何确定B 点的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积．5.已知函数f(x)＝ax 3＋|x －a|，a R ．（1）若a ＝－1，求函数y ＝f(x) (x [0，＋∞))的图象在x ＝1处的切线方程；（2）若g(x)＝x 4，试讨论方程f(x)＝g(x)的实数解的个数；（3）当a ＞0时，若对于任意的x 1 [a ，a ＋2]，都存在x 2 [a ＋2，＋∞)，使得f(x 1)f(x 2)＝1024，求满足条件的正整数a 的取值的集合．6.已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项的和为S n ，且对任意的m ，n ∈N*，都有(S m ＋n ＋S 1)2＝4a 2m a 2n ．（1）求的值；（2）求证：{a n }为等比数列；（3）已知数列{c n }，{d n }满足|c n |＝|d n |＝a n ，p (p ≥3)是给定的正整数，数列{c n }，{d n }的前p 项的和分别为T p ，R p ，且T p ＝R p ，求证：对任意正整数k (1≤k ≤p )，c k ＝d k ．江苏高三高中数学期中考试答案及解析一、填空题1.已知为实数集，，则_____.【答案】【解析】由已知有，而，所以有。

江苏高三高中数学期中考试带答案解析

江苏高三高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.已知集合, ，则 .2.命题“”的否定是．3.函数的最小正周期为．4.设函数在区间上是增函数，则实数的最小值为 .5.设向量，若，则实数的值为 .6.在等比数列中，，，则= .7.设函数是周期为5的奇函数，当时，，则= .8.设命题；命题，那么是的条件(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)．9.已知函数，则的极大值为 .10.在中，，边上的高为，则的最小值为 .11.在数列中，，，记是数列的前项和，则= .12.在中，若，则= .13.在数列中，，，设，记为数列的前项和，则= .14.设和分别是和的导函数，若在区间上恒成立，则称和在区间上单调性相反.若函数与在开区间上单调性相反（），则的最大值为．二、解答题1.已知函数，其中角的终边经过点，且.（1）求的值；（2）求在上的单调减区间．2.设集合，.（1）当1时，求集合；（2）当时，求的取值范围．3.在中，角所对的边分别为，设，，记.（1）求的取值范围；（2）若与的夹角为，，，求的值．4.某地开发了一个旅游景点，第1年的游客约为100万人，第2年的游客约为120万人.某数学兴趣小组综合各种因素预测：①该景点每年的游客人数会逐年增加；②该景点每年的游客都达不到130万人.该兴趣小组想找一个函数来拟合该景点对外开放的第年与当年的游客人数（单位：万人）之间的关系.（1）根据上述两点预测，请用数学语言描述函数所具有的性质；（2）若=，试确定的值，并考察该函数是否符合上述两点预测；（3）若=，欲使得该函数符合上述两点预测，试确定的取值范围．5.若函数（为实常数）.（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）设.①求函数的单调区间；②若函数的定义域为，求函数的最小值.6.设数列的各项均为正实数，，若数列满足，，其中为正常数，且.（1）求数列的通项公式；（2）是否存在正整数，使得当时，恒成立？若存在，求出使结论成立的的取值范围和相应的的最小值；若不存在，请说明理由；（3）若，设数列对任意的，都有成立，问数列是不是等比数列？若是，请求出其通项公式；若不是，请说明理由.江苏高三高中数学期中考试答案及解析一、填空题1.已知集合, ，则 .【答案】【解析】集合中的元素在中的只有2，所有.【考点】集合的运算.2.命题“”的否定是．【答案】【解析】全称命题“”的否定是“”，所以答案为“”.【考点】含有一个量词命题的否定.3.函数的最小正周期为．【答案】【解析】由，得函数的最小正周期为.【考点】三角函数的周期.4.设函数在区间上是增函数，则实数的最小值为 .【答案】【解析】函数的图象开口向上，对称轴为，由其在上是增函数得，所以，所以实数的最小值为.【考点】二次函数的单调性.5.设向量，若，则实数的值为 .【答案】【解析】根据向量平行的坐标表示，由得，，解得.【考点】向量平行的坐标表示.6.在等比数列中，，，则= .【答案】512【解析】由，得，所以，故.【考点】等比数列的通项公式.7.设函数是周期为5的奇函数，当时，，则= .【答案】－1【解析】由周期为5的奇函数，.【考点】函数的周期性和奇偶性.8.设命题；命题，那么是的条件(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)．【答案】充分不必要【解析】不等式的解集是，因为，所以是的充分不必要条件.【考点】充分条件和必要条件.9.已知函数，则的极大值为 .【答案】【解析】对函数求导得，令，得，所以，，当时，，为增函数，当时，，为减函数，所以的极大值为.【考点】导数的应用.10.在中，，边上的高为，则的最小值为 .【答案】－5【解析】以为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，则，，设，则，所以当时取得最小值－5.【考点】平面向量的数量积.11.在数列中，，，记是数列的前项和，则= .【答案】930【解析】当为偶数时，，所以数列前60项中偶数项的和，当为奇数时，，因此数列是以1为首项，公差为2等差数列，前60项中奇数项的和为，所以.【考点】递推数列、等差数列.12.在中，若，则= .【答案】【解析】.【考点】平面向量的数量积、正弦定理.13.在数列中，，，设，记为数列的前项和，则= .【答案】【解析】则题意可得，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，从而有，所以，所以数列的前99项的和为.【考点】数列的性质与求和.14.设和分别是和的导函数，若在区间上恒成立，则称和在区间上单调性相反.若函数与在开区间上单调性相反（），则的最大值为．【答案】【解析】，，函数与在开区间上单调性相反，则有在开区间上恒成立，又，所以，于是在开区间上恒成立，的解集为，所以，，当时，取得最大值 .【考点】函数的综合应用.二、解答题1.已知函数，其中角的终边经过点，且.（1）求的值；（2）求在上的单调减区间．【答案】（1）（2）【解析】（1）这是由角的终边上点的坐标求角的大小的问题，可以通过作图用平面几何知识解决，也可由三角函数的定义，先求出这个角的某个三角函数值，再由角的终边所在的象限和角的范围去确定角的大小；（2）这是一个求函数的单调区间的问题，从复合函数的角度出发可知解不等式可得到函数的单调递减区间，再和区间取交集即可．试题解析：（1）角的终边经过点，， 4分又，； 7分（2）因为，由，得，， 11分取，则，在上的单调减区间为． 14分【考点】三角函数的定义、的单调性.2.设集合，.（1）当1时，求集合；（2）当时，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）当时，集合就是函数的定义域，解不等式就可得到集合；（2）由知，集合是不等式的解集，在解不等式时可先化为一元二次不等式，然后对相应方程的根的大小进行讨论，具体化集合，再由确定的取值范围.试题解析：（1）当1时，，由， 3分解得，所以集合； 7分（2）因为，则， 8分由，得．（ⅰ）当时，，显然不满足题意； 10分（ⅱ）当时，，由题意知解得. 13分综上所述，所求的取值范围是. 14分【考点】集合的运算、子集的含义.3.在中，角所对的边分别为，设，，记.（1）求的取值范围；（2）若与的夹角为，，，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由向量数量积的坐标表示，可将函数求出，根据角的范围即函数的定义域利用三角函数的图象和性质可确定函数的值域，即求出的取值范围；（2）由向量数量积的定义和坐标表示可求出的大小，问题就是一个解三角形的问题，可用正弦定理求解.试题解析：（1）因为=， 3分，，，的取值范围是； 7分（2）∵的夹角为，∴，即，,或（舍去），， 10分又，，由正弦定理知，即，解得. 14分【考点】平面向量的数量积、三角函数的图象与性质、解三角形.4.某地开发了一个旅游景点，第1年的游客约为100万人，第2年的游客约为120万人.某数学兴趣小组综合各种因素预测：①该景点每年的游客人数会逐年增加；②该景点每年的游客都达不到130万人.该兴趣小组想找一个函数来拟合该景点对外开放的第年与当年的游客人数（单位：万人）之间的关系.（1）根据上述两点预测，请用数学语言描述函数所具有的性质；（2）若=，试确定的值，并考察该函数是否符合上述两点预测；（3）若=，欲使得该函数符合上述两点预测，试确定的取值范围．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.【解析】（1）易知函数在定义域上是增函数，函数值不大于130；（2）把前两年的数据即（1,100），（2,120）代入函数的解析式，解关于的方程组即可求出的值，再考查所得的函数是否具有（1）中的两条性质；（3）由（1,100），（2,120）两组数据，可得到的两个关系式，用表示，问题就转化为一个含有参数的函数具备两条性质，求参数取值范围的问题，可用导数知识和解决不等式恒成立问题的一般方法解决.试题解析：（1）预测①：在上单调递增；预测②：对恒成立； 2分（2）将（1，100）、（2、120）代入到中，得，解得.5分因为，所以，故在上单调递增，符合预测①； 7分又当时，，所以此时不符合预测②. 9分（3）由，解得. 11分因为，要想符合预测①，则，即，从而或. 12分[1]当时，，此时符合预测①，但由，解得，即当时，，所以此时不符合预测②；13分[2]当，，此时符合预测①，又由，知，所以，从而.欲也符合预测②，则，即，又，解得.综上所述，的取值范围是. 16分【考点】函数在实际问题中的应用，导数的应用.5.若函数（为实常数）.（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）设.①求函数的单调区间；②若函数的定义域为，求函数的最小值.【答案】（1）；（2）①单调增区间为；单调减区间为，②【解析】（1）当时，，先求导，再求出函数在处的导数即所求切线的斜率，就可写出直线的点斜式方程；（2）①分类讨论去掉绝对值，将函数化为分段函数，在不同取值范围内，分别求导判断函数的单调性，②由函数的定义域去判断的取值范围，再结合①的结果，对函数进行分类讨论，分别求出各种情况下的最小值，即得.试题解析：（1）当时，，，， 2分又当时，，函数在处的切线方程； 4分（2）因为，①当时，恒成立，所以时，函数为增函数； 7分当时，，令，得，令，得，所以函数的单调增区间为；单调减区间为;10分②当时，，因为的定义域为,以或11分（ⅰ）当时，，所以函数在上单调递增，则的最大值为，所以在区间上的最小值为； 13分（ⅱ）当时，，且，所以函数在上单调递增，在上单调递减，则的最大值为，所以在区间上的最小值为；14分（ⅲ）当时，，所以函数在上单调递增，则的最大值为，所以在区间上的最小值为.综上所述， 16分【考点】函数的应用、导数的应用.6.设数列的各项均为正实数，，若数列满足，，其中为正常数，且.（1）求数列的通项公式；（2）是否存在正整数，使得当时，恒成立？若存在，求出使结论成立的的取值范围和相应的的最小值；若不存在，请说明理由；（3）若，设数列对任意的，都有成立，问数列是不是等比数列？若是，请求出其通项公式；若不是，请说明理由.【答案】（1）详见解析；（2）；（3）．【解析】（1）由条件可知，数列为等差数列，又知，其通项公式易求，再根根据数列与数列的关系，可求出数列的通项公式；（2）由（1）中所求的数列的通项公式，可对进行化简，然后再对其考察；（3）当时，结合（1）的结果，可求出，代入中，设法对其变形处理，找到的递推关系再进行判断.试题解析：（1）因为，所以，所以数列是以为公差的等差数列，又，所以， 2分故由，得. 4分（2）因为，所以，又，所以， 6分（ⅰ）当时，，解得，不符合题意； 7分（ⅱ）当时，，解得或. 8分综上所述，当时，存在正整数使得恒成立，且的最小值为4.9分（3）因为，由（1）得，所以①，则②，由②①，得③， 12分所以④，再由④③，得，即，所以当时，数列成等比数列， 15分又由①式，可得，，则，所以数列一定是等比数列，且.16分（说明：若第（3）小题学生由前几项猜出等比数列，再代回验证的，扣3分）【考点】等差数列、等比数列.。

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江苏高三高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.已知复数，且，则．2.已知集合，则的所有非空真子集的个数是．3.若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是．4.程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是．5.设函数是定义在R 上的偶函数，当时，，若，则实数的值为．6.已知样本的平均数是，且，则此样本的标准差是．7.已知实数a,b,c 满足a+b+c=9，ab+bc+ca=24，则b 的取值范围是． 8.已知，其中，若，则= ．9.若直线y=2x 上存在点（x ，y ）满足约束条件则实数m 的最大值为．10.如图,在等腰三角形中,底边, , , 若, 则= ．11.将函数（）的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为．12.数列{a n }满足a n+1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为． 13.已知函数（为常数，为自然对数的底数）的图象在点处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则实数的取值范围是．二、选择题方程有个不同的实数根三、解答题1.已知是同一平面内的三个向量，其中.（1）若，且，求：的坐标（2）若，且与垂直，求与的夹角.2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求角C的大小；（2）若△ABC的外接圆直径为1，求的取值范围．3.已知数列的前项和为，常数，且对一切正整数都成立。

（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，，当为何值时，数列的前项和最大？4.某建筑公司要在一块宽大的矩形地面（如图所示）上进行开发建设，阴影部分为一公共设施建设不能开发，且要求用栏栅隔开（栏栅要求在一直线上），公共设施边界为曲线的一部分，栏栅与矩形区域的边界交于点，交曲线于点，设．（1）将△（为坐标原点）的面积表示成的函数；（2）若在处，取得最小值，求此时的值及的最小值．5.设函数.（1）若，求的单调区间；（2）若当时，求的取值范围6.已知数列的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列.数列前项和为，且满足（1）求数列的通项公式；（2）求数列前项和；（3）在数列中，是否存在连续的三项，按原来的顺序成等差数列？若存在，求出所有满足条件的正整数的值；若不存在，说明理由.江苏高三高中数学期中考试答案及解析一、填空题1.已知复数，且，则．【答案】【解析】,则解得即 .【考点】1.复数的运算；2.复数的恒等.2.已知集合，则的所有非空真子集的个数是．【答案】【解析】,则，则，即 .故中共有9个元素，因此的所有非空真子集的个数是个.【考点】1.集合中元素的确定；2.集合的子集个数.3.若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是．【答案】【解析】先后抛出两次的所有可能结果是：共有36种可能的情况.而满足题意的情况有三种，故出现向上的点数之和为4的概率是 .【考点】古典概型.4.程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是．【答案】127【解析】按照循环依次得到的a值是：3，7，15，31，63，127，此时在进行判定时是“是”，跳出循环，输出a，即127.【考点】程序框图.5.设函数是定义在R上的偶函数，当时，，若，则实数的值为．【答案】【解析】当时，，，故，当时，（1）时，，解得满足题意；（2）当时，，解得 .综上所述， .【考点】1.函数的奇偶性；2.求函数解析式.6.已知样本的平均数是，且，则此样本的标准差是．【答案】【解析】依题意得解得则标准差.【考点】平均数与标准差.7.已知实数a,b,c满足a+b+c=9，ab+bc+ca=24，则b的取值范围是．【答案】[1,5]【解析】依题意，，代入得；整理得在实数范围内有解，即，解得 .【考点】1.构造一元二次方程；2.一元二次方程根的分布.8.已知，其中，若，则= ．【答案】1【解析】由得，，两边同时平方得，，整理的，即 .【考点】1.向量运算的坐标表示；2.三角很等变换.9.若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件则实数m的最大值为．【答案】1【解析】根据下列图像得只能在[-1，1]上运动，当时，可行域与没有交点.故的最大值为1.【考点】线性规划.10.如图,在等腰三角形中,底边, , , 若, 则= ．【答案】【解析】以BC为x轴，BC的中点为原点建立直角坐标系，则设，可得，，故=，解得（负值舍去），故，，则.【考点】1.平面向量的数量积；2.坐标法在向量中的运用.11.将函数（）的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为．【答案】2【解析】平移后的解析式为，此函数的单调递增区间为，故，即由（1）式得，由（2）式得，因为且要求的最大值，则，故的最大值为2.【考点】1.三角函数的平移；2.三角函数的性质.12.数列{a n }满足a n+1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为．【答案】1830 【解析】由得，，即，也有，两式相加得，设为整数，则，于是【考点】1.周期数列的性质；2.数列求和.13.已知函数（为常数，为自然对数的底数）的图象在点处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则实数的取值范围是．【答案】【解析】当时，，则过的切线斜率为,故切线方程为，与联立后应该有两组解，即消元得到的有两个不同的实数解，即，解得.【考点】1.分段函数的图像和性质；2.转化思想；3.导数求函数的切线.二、选择题方程有个不同的实数根【答案】2【解析】先确定的取值范围，,此题转化为函数和函数的焦点个数问题，这两个函数的图像如下：【考点】1.转化思想；2.数形结合思想，3.函数零点个数.三、解答题1.已知是同一平面内的三个向量，其中.（1）若，且，求：的坐标（2）若，且与垂直，求与的夹角.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设根据可得，而由得，联立即可解得；（2）根据向量垂直得，展开整理得，故，即可解得.试题解析：设由得所以，.（2）∵与垂直，∴即；∴∴，∵∴.【考点】1.向量共线的充要条件；2.向量的数量积；3.向量运算的坐标表示.2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求角C的大小；（2）若△ABC的外接圆直径为1，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由“切化弦”得，然后去分母整理得到，即，或(不成立，因为可得，显然错误)；故，得.（2）由（1），故，然后由正弦定理得可知，，化简得，可得.试题解析：(1)因为，即，所以，即，得．所以，或(不成立)．即,得．(2)由．因，故=．，故．【考点】1.三角很等变换；2.正弦定理和余弦定理；3.三角函数的值域.3.已知数列的前项和为，常数，且对一切正整数都成立。

江苏高三高中数学期中考试带答案解析

江苏高三高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.复数在复平面上对应的点在第▲象限．2.某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20 种，从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是▲．3.已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是▲．4.．某校学生张超的学籍号码是200608251，2006表示入学年份，08表示所在班级，25表示他在班上的学号，1表示男性（2表示女性），若今年考入该校的黄艳将被编入12班，在班上的学号为6号，则她的学籍号码的各位数字和等于▲．5.集合若则▲．6.阅读如图所示的程序框，若输入的是100，则输出的变量的值是▲．7.向量，=" " ▲．8.方程有▲个不同的实数根．9.已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为2的正三角形,俯视图是直径为2的圆,则此几何体的外接球的表面积为▲．10.已知等比数列中，，则使不等式成立的最大自然数是▲．11.若函数在定义域内是增函数，则实数的取值范围是▲．12.如果圆上总存在两个点到原点的距离为1，则实数的取值范围是▲．13.．已知实数满足，则的最大值为▲．14.当为正整数时，函数表示的最大奇因数,如,设,则▲．二、解答题1.（本题满分14分）甲打靶射击，有4发子弹，其中有一发是空弹.（1）求空弹出现在第一枪的概率；（2）求空弹出现在前三枪的概率;（3）如果把空弹换成实弹，甲前三枪在靶上留下三个两两距离分别为3，4，5的弹孔，第四枪瞄准了三角形射击,第四个弹孔落在三角形内，求第四个弹孔与前三个弹孔的距离都超过1的概率（忽略弹孔大小）.2.3.（本题满分14分）已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为2，一条准线方程为l：．⑴求椭圆的标准方程；⑵设O为坐标原点，F是椭圆的右焦点，点M是直线l上的动点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,求证:线段ON的长为定值．4.（本题满分16分）如图，直角三角形ABC中，∠B＝，AB＝1，B C＝．点M,N分别在边AB和AC上(M点和B点不重合)，将△AMN沿MN翻折，△AMN变为△MN，使顶点落在边BC上(点和B点不重合).设∠AMN＝．(1) 用表示线段的长度，并写出的取值范围；(2) 求线段长度的最小值．5.（本题满分16分）已知,函数.(1) 如果实数满足,函数是否具有奇偶性？如果有,求出相应的值,如果没有，说明为什么?(2) 如果判断函数的单调性；(3) 如果，，且，求函数的对称轴或对称中心.6.．（本题满分16分）已知各项均不为零的数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝c，2Sn＝anan＋1＋r．（1）若r＝－6，数列{an}能否成为等差数列？若能，求满足的条件；若不能，请说明理由．（2）设，，若r＞c＞4，求证：对于一切n∈N*，不等式恒成立．7.A．选修4—1几何证明选讲在直径是的半圆上有两点,设与的交点是.求证:8.B．选修4—2矩阵与变换已知矩阵，其中，若点在矩阵的变换下得到点，（1）求实数a的值；（2）求矩阵的特征值及其对应的特征向量.9.10.【必做题】第22题和第23题为必做题, 每小题10分，共20分.要写出必要的文字说明或演算步骤.有甲、乙两个箱子，甲箱中有张卡片，其中张写有数字，张写有数字，张写有数字；乙箱中也有张卡片，其中张写有数字，张写有数字，张写有数字.（1）如果从甲、乙箱中各取一张卡片，设取出的张卡片上数字之积为，求的分布列及的数学期望；（2）如果从甲箱中取一张卡片，从乙箱中取两张卡片，那么取出的张卡片都写有数字的概率是多少？11.如图所示，已知ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2.（1）求异面直线PC与BD所成的角；（2）在线段PB上是否存在一点E，使PC⊥平面ADE？若存在，确定E点的位置；若不存在，说明理由.江苏高三高中数学期中考试答案及解析一、填空题1.复数在复平面上对应的点在第▲象限．【答案】二【解析】略2.某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20 种，从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是▲．【答案】6【解析】略3.已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是▲．【答案】【解析】略4.．某校学生张超的学籍号码是200608251，2006表示入学年份，08表示所在班级，25表示他在班上的学号，1表示男性（2表示女性），若今年考入该校的黄艳将被编入12班，在班上的学号为6号，则她的学籍号码的各位数字和等于▲．【答案】22【解析】略5.集合若则▲．【答案】{2,3,5}【解析】略6.阅读如图所示的程序框，若输入的是100，则输出的变量的值是▲．【答案】5049【解析】略7.向量，=" " ▲．【答案】【解析】略8.方程有▲个不同的实数根．【答案】2【解析】略9.已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为2的正三角形,俯视图是直径为2的圆,则此几何体的外接球的表面积为▲．【答案】【解析】略10.已知等比数列中，，则使不等式成立的最大自然数是▲．【答案】5【解析】略11.若函数在定义域内是增函数，则实数的取值范围是▲．【答案】【解析】略12.如果圆上总存在两个点到原点的距离为1，则实数的取值范围是▲．【答案】【解析】略13.．已知实数满足，则的最大值为▲．【答案】4【解析】本题考查均值不等式定理的应用由得因为，所以所以所以所以所以有即即所以的最大值为14.当为正整数时，函数表示的最大奇因数,如,设,则▲．【答案】【解析】略二、解答题1.（本题满分14分）甲打靶射击，有4发子弹，其中有一发是空弹.（1）求空弹出现在第一枪的概率；（2）求空弹出现在前三枪的概率;（3）如果把空弹换成实弹，甲前三枪在靶上留下三个两两距离分别为3，4，5的弹孔，第四枪瞄准了三角形射击,第四个弹孔落在三角形内，求第四个弹孔与前三个弹孔的距离都超过1的概率（忽略弹孔大小）.【答案】解：设四发子弹编号为0（空弹），1，2，3，（1）设第一枪出现“哑弹”的事件为A，有4个基本事件,则：（2分）（4分）法一:前三枪出现“哑弹”的事件为B,则第四枪出现“哑弹”的事件为,那么，（6分）（9分）法二:前三枪共有4个基本事件{0,1,2},{0,1,3},{0,2,3},{1,2,3},满足条件的有三个,（7分）则（9分）(3) 的面积为6，（10分）分别以为圆心、1为半径的三个扇形的面积和,（12分）设第四个弹孔与前三个弹孔的距离都超过1的事件为C,.（14分）【解析】略2.【答案】（1）ABCD为直角梯形，AD =，AB⊥BD，（1分）PB⊥BD ，AB PB =B，AB，PB平面PAB，BD⊥平面PAB，（ 4分）PA面PAB，PA ⊥BD.（5分）（2）假设PA=PD,取AD 中点N,连PN,BN,则PN⊥AD，BN⊥AD, （7分）AD⊥平面PNB,得 PB⊥AD，（8分）又PB⊥BD ，得PB⊥平面ABCD,∴（9分）又∵，∴CD⊥平面PBC,∴CD⊥PC, 与已知条件与不垂直矛盾∴（10分）（3）在上l取一点E，使PE=BC，（11分）PE∥BC，四边形BCPE是平行四边形，（12分）PC∥BE，PC平面EBD， BE平面EBDPC∥平面EBD.（14分）【解析】略3.（本题满分14分）已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为2，一条准线方程为l：．⑴求椭圆的标准方程；⑵设O为坐标原点，F是椭圆的右焦点，点M是直线l上的动点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,求证:线段ON的长为定值．【答案】解：⑴∵椭圆C的短轴长为2，椭圆C的一条准线为l：，∴不妨设椭圆C的方程为．（2分）∴，（ 4分）即．（5分）∴椭圆C的方程为．（6分）⑵ F（1，0），右准线为l：，设，则直线FN的斜率为，直线ON的斜率为，（8分）∵FN⊥OM，∴直线OM的斜率为，（9分）∴直线OM的方程为：，点M的坐标为．（11分）∴直线MN的斜率为．（12分）∵MN⊥ON，∴，∴，∴，即．（13分）∴为定值．（14分）【解析】略4.（本题满分16分）如图，直角三角形ABC中，∠B＝，AB＝1，B C＝．点M,N分别在边AB和AC 上(M点和B点不重合)，将△AMN沿MN翻折，△AMN变为△MN，使顶点落在边BC上(点和B点不重合).设∠AMN＝．(1) 用表示线段的长度，并写出的取值范围；(2) 求线段长度的最小值．【答案】解：（1）设，则．（2分）在Rt△MB中，，（4分）∴．（5分）∵点M在线段AB上，M点和B点不重合，点和B点不重合，∴．（7分）（2）在△AMN中，∠ANM＝,（8分）,（9分）＝．（10分）令＝＝．（13分）∵，∴．（14分）当且仅当，时，有最大值，（15分）∴时，有最小值．（16分）【解析】略5.（本题满分16分）已知,函数.(1) 如果实数满足,函数是否具有奇偶性？如果有,求出相应的值,如果没有，说明为什么?(2) 如果判断函数的单调性；(3) 如果，，且，求函数的对称轴或对称中心.【答案】．（16分）恒成立，（4分）即：（5分）由恒成立，得（6分）（2），∴当时,显然在R上为增函数；（8分）当时，，由得得得.（9分）∴当时, ,为减函数; （10分）当时, ,为增函数. （11分）(3) 当时，如果，（13分）则∴函数有对称中心（14分）如果（15分）则∴函数有对称轴.（16分）【解析】略6.．（本题满分16分）已知各项均不为零的数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝c，2Sn＝anan＋1＋r．（1）若r＝－6，数列{an}能否成为等差数列？若能，求满足的条件；若不能，请说明理由．（2）设，，若r＞c＞4，求证：对于一切n∈N*，不等式恒成立．【答案】解：（1）n＝1时，2a1＝a1a2＋r，∵a1＝c≠0，∴2c＝ca2＋r，．（1分）n≥2时，2Sn＝anan＋1＋r，① 2Sn－1＝an－1an＋r，②①－②，得2an＝an(an＋1－an－1)．∵an≠0，∴an＋1－an－1＝2．（ 3分）则a1，a3，a5，…，a2n－1，… 成公差为2的等差数列，a2n－1＝a1＋2(n－1)．a2，a4，a6，…，a2n，… 成公差为2的等差数列， a2n＝a2＋2(n－1)．要使{an}为等差数列，当且仅当a2－a1＝1．即．r＝c－c2．（ 4分）∵r＝－6，∴c2－c－6＝0，c＝－2或3．∵当c＝－2，，不合题意，舍去.∴当且仅当时，数列为等差数列（5分）（2）＝[a1＋2(n－1)]－[a2＋2(n－1)]＝a1－a2＝－2．＝[a2＋2(n－1)]－（a1＋2n）＝a2－a1－2＝－()．（8分）∴（9分）．（10分）＝．（11分）∵r＞c＞4，∴＞4，∴＞2．∴0＜＜1．（13分）且＞－1．（14分）又∵r＞c＞4，∴，则0＜．．∴＜1．．∴＜1．（15分）∴对于一切n∈N*，不等式恒成立．（16分）【解析】略7.A．选修4—1几何证明选讲在直径是的半圆上有两点,设与的交点是.求证:【答案】A．选修4—1几何证明选讲证明:作于为直径,（2分）四点共圆,四点共圆. （6分）（8分）(1)+(2)得（9分）即（10分）【解析】略8.B．选修4—2矩阵与变换已知矩阵，其中，若点在矩阵的变换下得到点，（1）求实数a的值；（2）求矩阵的特征值及其对应的特征向量.【答案】解：（1）由=，（2分）∴. （3分）（2）由（1）知，则矩阵的特征多项式为（5分）令，得矩阵的特征值为与4. （6分）当时，∴矩阵的属于特征值的一个特征向量为; （8分）当时，∴矩阵的属于特征值的一个特征向量为. （10分）【解析】略9.【答案】将极坐标方程转化成直角坐标方程：即：，即；（4分）即：（7分）所以圆心到直线的距离，即直线经过圆心，（9分）所以直线截得的弦长为.（10分）D．选修4—5不等式证明选讲因为是正实数，所以（当且仅当即时，等号成立）；（3分）同理：（当且仅当即时，等号成立）；（6分）所以：（当且仅当即时，等号成立）；（8分）因为：，所以：（10分）【解析】略10.【必做题】第22题和第23题为必做题, 每小题10分，共20分.要写出必要的文字说明或演算步骤.有甲、乙两个箱子，甲箱中有张卡片，其中张写有数字，张写有数字，张写有数字；乙箱中也有张卡片，其中张写有数字，张写有数字，张写有数字.（1）如果从甲、乙箱中各取一张卡片，设取出的张卡片上数字之积为，求的分布列及的数学期望；（2）如果从甲箱中取一张卡片，从乙箱中取两张卡片，那么取出的张卡片都写有数字的概率是多少？【答案】解：（1）的可能取值为；；；（4分）所以的分布列为（6分）数学期望为.（8分）（2）.（10分）【解析】略11.如图所示，已知ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2.（1）求异面直线PC与BD所成的角；（2）在线段PB上是否存在一点E，使PC⊥平面ADE？若存在，确定E点的位置；若不存在，说明理由.【答案】解：如图建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），B（2，2，0），（1分）（1）（2分）∴（3分）∴，∴异面直线PC与BD所成的角为60°（4分）【解析】略。

江苏高三高中数学期中考试带答案解析

江苏高三高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.已知集合，若，则实数a=2.若，则 .3.写出命题：“”的否定：4.幂函数f(x)＝xα(α为常数)的图象经过，则f(x)的解析式是．5.若a+a-1=3，则的值为6.函数的定义域为A，若，则的取值范围为．7.已知f(x)是偶函数，它在[0，＋∞)上是增函数，若f(lgx)＜f(1)，则x的取值范围是．8.设数列是首相大于零的等比数列,则“”是“数列是递增数列”的_____条件．9.若向量，且的夹角为钝角，则的取值范围是10.已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 .11.给出下列命题：①存在实数，使得；②函数的图象向右平移个单位，得到的图象；③函数是偶函数；④已知是锐角三角形ABC的两个内角，则。

其中正确的命题的个数为12.已知点O为△ABC的外心，且，，则的值等于．13.数列中,，则数列的前项的和为 .14.已知定义在上的函数满足，，则不等式的解集为_ .二、解答题1.已知命题p：指数函数f(x)＝(2a－6)x在R上单调递减，命题q：关于x的方程x2－3ax＋2a2＋1＝0的两个实根均大于3.若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．2.在中，角的对边长分别为，的面积为，且（1）求角；（2）求值：3.设函数.(1)证明:是奇函数;(2)求的单调区间;(3)写出函数图象的一个对称中心.4.某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为（0＜＜1，则出厂价相应提高的比例为0.7，年销售量也相应增加.已知年利润=（每辆车的出厂价－每辆车的投入成本）×年销售量.（1）若年销售量增加的比例为0.4，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例应在什么范围内？（2）年销售量关于的函数为，则当为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？5.已知函数(a为实常数).(1)若，求证：函数在(1，+．∞)上是增函数；(2)求函数在[1，e]上的最小值及相应的值；(3)若存在，使得成立，求实数a的取值范围.6.设数列、满足，，，．（1）证明：，（）；（2）设，求数列的通项公式；（3）设数列的前项和为，数列的前项和为，数列的前项和为，求证：．江苏高三高中数学期中考试答案及解析一、填空题1.已知集合，若，则实数a=【答案】【解析】因为，所以。

江苏高三高中数学期中考试带答案解析

江苏高三高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.设集合A ＝｛x ｜－＜x ＜2｝，B ＝｛x ｜x 2≤1｝，则A ∪B ＝．2.复数i 2（1－2i ）的实部是3.命题“x ∈R ，x 2+ax+1<0”的否定是4.函数f （x ）＝的定义域是．5.在各项均为正数的等比数列{a n }中，已知a 1+a 2+a 3=2,a 3+a 4+a 5=8,则a 4+a 5+a 6= .6.已知向量a ，b 满足｜a ｜＝1，｜b ｜＝2，a 与b 的夹角为60°，向量c ＝2a ＋b ．则向量c 的模为．7.在平面直角坐标系xOy 中，已知y=x 是双曲线－=1（a>0,b>0）的一条渐近线方程，则此双曲线的离心率为．8.已知直线l ⊥平面α，直线mÍ平面β，则下列四个命题： ①若α∥β,则l ⊥m ； ②若α⊥β,则l ∥m ； ③若l ∥m,则α⊥β； ④若l ⊥m,则α∥β. 其中正确命题的序号是9.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线x ＋y=5下方的概率为． 10.已知f(x)=3sin(2x －)，若存在α∈(0,π)，使f(α+x)= f(α-x)对一切实数x 恒成立，则α= ．11.已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x 2＋2x ，若f(2－a 2)>f(a)，则实数a 的取值范围是． 12.已知函数f(x)=|lg(x-1)|若a≠b,f(a)=f(b),则a+2b 的取值范围是．13.定义在R 上的函数f(x)满足f(x)＋f(x ＋5)＝16，当x ∈(－1，4]时，f(x)＝x 2－2x ，则函数f(x)在[0，2013]上的零点个数是_____ ． 14.已知函数f(x)=，若对任意的实数x 1,x 2,x 3,不等式f(x 1)+f(x 2)>f(x 3)恒成立，则实数k 的取值范围是．二、解答题1.已知向量a=(2cosx,2sinx)，b=(cosx,cosx),设函数f(x)=a•b -,求：(1)f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)若, 且α∈(,π). 求α.2.如图,四边形ABCD 为平行四边形，四边形ADEF 是正方形，且BD ⊥平面CDE ，H 是BE 的中点,G 是AE,DF 的交点.（1）求证:GH ∥平面CDE ；（2）求证:面ADEF ⊥面ABCD.3.已知等差数列{a n }中，首项a 1＝1，公差d 为整数，且满足a 1+3<a 3,a 2+5>a 4，数列{b n }满足b n =，其前n项和为S n ．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若S 2为S 1，S m (m ∈N ＊)的等比中项,求正整数m 的值．(3)对任意正整数k,将等差数列{a n }中落入区间(2k ,22k )内项的个数记为c k ,求数列{c n }的前n 项和T n4.如图，某自来水公司要在公路两侧铺设水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线铺设线路l 1，在路南侧沿直线铺设线路l 2，现要在矩形区域ABCD 内沿直线将l 1与l 2接通．已知AB = 60m ，BC = 80m ，公路两侧铺设水管的费用为每米1万元，穿过公路的EF 部分铺设水管的费用为每米2万元，设∠EFB= α,矩形区域内的铺设水管的总费用为W ．（1）求W 关于α的函数关系式；（2）求W 的最小值及相应的角α．5.已知椭圆C ：＋＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝，椭圆C 的上、下顶点分别为A 1，A 2，左、右顶点分别为B 1，B 2,左、右焦点分别为F 1，F 2．原点到直线A 2B 2的距离为．（1）求椭圆C 的方程；（2）过原点且斜率为的直线l ，与椭圆交于E ，F 点，试判断∠EF 2F 是锐角、直角还是钝角，并写出理由；（3）P 是椭圆上异于A 1，A 2的任一点,直线PA 1，PA 2，分别交轴于点N ，M,若直线OT 与过点M ，N 的圆G 相切，切点为T.证明：线段OT 的长为定值,并求出该定值.6.已知函数f(x)=a |x|+(a>0,a≠1)（1）若a>1，且关于x 的方程f(x)=m 有两个不同的正数解，求实数m 的取值范围；（2）设函数g(x)=" f(" x)，x ∈[ 2，+∞），满足如下性质：若存在最大（小）值，则最大（小）值与a 无关.试求a 的取值范围．7.如图，设AB 为⊙O 的任一条不与直线l 垂直的直径，P 是⊙O 与l 的公共点，AC ⊥l ，BD ⊥l ，垂足分别为C ，D ，且PC=PD ，求证：（1）l 是⊙O 的切线；（2）PB 平分∠ABD. 8.已知矩阵M ＝，N ＝．（1）求矩阵MN ；（2）若点P 在矩阵MN 对应的变换作用下得到Q(0，1)，求点P 的坐标．9.在直角坐标系中,曲线的参数方程为（为参数），若以直角坐标系xoy 的原点为极点，OX 为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 ρsin(θ+)="0," 求与直线l 垂直且与曲线C 相切的直线m 的极坐标方程.10.设f(x)=x 2x+13，实数a 满足|xa|<1，求证：|f(x)f(a)|<2(|a|+1)．11.口袋中有n(n ∈N ＊)个白球，3个红球.依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球.记取球的次数为X,若P(X=2)=求：（1）n 的值；（2）X 的概率分布与数学期望.12.设P 1，P 2，，P j 为集合P ＝{1，2，，i}的子集，其中i ，j 为正整数．记a ij 为满足P 1∩P 2∩ ∩P j ＝Æ的有序子集组(P 1，P 2，，P j )的个数．（1）求a 22的值；（2）求a ij 的表达式．江苏高三高中数学期中考试答案及解析一、填空题1.设集合A ＝｛x ｜－＜x ＜2｝，B ＝｛x ｜x 2≤1｝，则A ∪B ＝．【答案】｛x ｜－1≤x ＜2｝【解析】因为，，所以.【考点】一元二次不等式的解法、集合的运算.2.复数i 2（1－2i ）的实部是【答案】－1 【解析】因为,故其实部为.【考点】复数的运算、复数的概念.3.命题“x ∈R ，x 2+ax+1<0”的否定是【答案】【解析】特称命题的否定是全称命题，命题的否定只否定结论，故“x ∈R ，x 2+ax+1<0” 的否定是.【考点】含有一个量词的命题的否定.4.函数f （x ）＝的定义域是．【答案】（0，3］【解析】要使函数解析式有意义需满足，即，故定义域为（0，3］.【考点】对数函数.5.在各项均为正数的等比数列{a n }中，已知a 1+a 2+a 3=2,a 3+a 4+a 5=8,则a 4+a 5+a 6= . 【答案】16【解析】设此数列公比为，由得，，而，所以，所以.【考点】等比数列通项公式.6.已知向量a ，b 满足｜a ｜＝1，｜b ｜＝2，a 与b 的夹角为60°，向量c ＝2a ＋b ．则向量c 的模为．【答案】2 【解析】｜c ｜2＝（2a ＋b ）2＝4a 2＋4a·b ＋b 2＝4＋4×1×2×cos60°＋4＝12，即｜c ｜＝2.【考点】平面向量数量积、向量的模.7.在平面直角坐标系xOy中，已知y=x是双曲线－=1（a>0,b>0）的一条渐近线方程，则此双曲线的离心率为．【答案】2【解析】由题意，∴．【考点】双曲线的渐近线和离心率.8.已知直线l⊥平面α，直线mÍ平面β，则下列四个命题：①若α∥β,则l⊥m；②若α⊥β,则l∥m；③若l∥m,则α⊥β；④若l⊥m,则α∥β.其中正确命题的序号是【答案】①③【解析】对于①，若α∥β，因为l⊥平面α，故l⊥平面β，又mÍ平面β，所以l⊥m，①正确；对于②，如下图，设平面为,直线为,平面为,为,此时显然满足l⊥平面α，直线mÍ平面β，α⊥β，但和不平行，故②错；对于③，若l∥m，因为mÍ平面β，所以l∥β，又l⊥平面α，所以α⊥β，故③正确；对于④，设平面为,直线为,平面为,为,此时显然满足l⊥m, l⊥平面α, 直线mÍ平面β，但和不平行，故④错；答案, ①③.【考点】空间中直线和平面、平面和平面间的位置关系.9.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线x＋y=5下方的概率为．【答案】【解析】点P在直线x＋y=5下方的情况有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)六种可能，故其概率为=．【考点】古典概型概率的计算.10.已知f(x)=3sin(2x－)，若存在α∈(0,π)，使f(α+x)= f(α-x)对一切实数x恒成立，则α=．【答案】【解析】由知，为函数的对称轴，所以，因为α∈(0,π)，所以，得或.【考点】函数对称性、正弦函数性质.11.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是．【答案】(－2,1)【解析】当时，，所以，画出图象如图，可见函数在其定义域上单调递增，若f(2－a2)>f(a)，则，解得，故实数a的取值范围是.【考点】分段函数、函数的奇偶性、函数单调性.12.已知函数f(x)=|lg(x-1)|若a≠b,f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是．【答案】【解析】由得，且，由对数函数的特征得，所以，故.【考点】对数函数性质、基本不等式.13.定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋5)＝16，当x∈(－1，4]时，f(x)＝x2－2x，则函数f(x)在[0，2013]上的零点个数是_____ ．【答案】604【解析】由，可知，则，所以是以10为周期的周期函数. 在一个周期上，函数在区间内有3个零点，在区间内无零点，故在一个周期上仅有3个零点，由于区间中包含201个周期，又时也存在一个零点，故在上的零点个数为.【考点】函数与方程、零点存在定理.14.已知函数f(x)=，若对任意的实数x1,x2,x3,不等式f(x1)+f(x2)>f(x3)恒成立，则实数k的取值范围是．【答案】【解析】，令，则．原题等价为：对于，恒成立，求实数k的取值范围．（1）当时，显然成立；（2）当时，，由，得；（3）当时，，由，得．综上，实数k的取值范围为．【考点】换元法求函数最值、指数函数性质.二、解答题1.已知向量a=(2cosx,2sinx)，b=(cosx,cosx),设函数f(x)=a•b-,求：(1)f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)若, 且α∈(,π). 求α.【答案】(1),函数的单调递增区间为；(2)或.【解析】(1)利用向量数量积的坐标运算求出，再将其化为一角一函数形式，然后根据三角函数的性质求最小正周期和单调增区间；(2)由（1）得函数的解析式，将，代入化简得，又，所以，由得出.试题解析：===-3分(1)函数的最小正周期为 5分由，得（）∴函数的单调递增区间为 8分(2)∵，∴，∴ 11分∴，∵，∴，∴或，∴或 14分【考点】向量数量积的计算、三角函数的性质、二倍角公式.2.如图,四边形ABCD为平行四边形，四边形ADEF是正方形，且BD⊥平面CDE，H是BE的中点,G是AE,DF的交点.（1）求证:GH∥平面CDE；（2）求证:面ADEF⊥面ABCD.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）先利用三角形中位线知识证，再利用ABCD为平行四边形证AB∥CD，进而证明平面；（2）由得，再证明即可.试题解析：⑴是的交点，∴是中点，又是的中点，∴中，， 2分∵ABCD为平行四边形∴AB∥CD∴， 4分又∵∴平面 7分⑵，所以， 9分又因为四边形为正方形，， 10分，， 12分. 14分【考点】空间中直线和平面、平面和平面间的位置关系.3.已知等差数列{a n }中，首项a 1＝1，公差d 为整数，且满足a 1+3<a 3,a 2+5>a 4，数列{b n }满足b n =，其前n项和为S n ．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若S 2为S 1，S m (m ∈N ＊)的等比中项,求正整数m 的值．(3)对任意正整数k,将等差数列{a n }中落入区间(2k ,22k )内项的个数记为c k ,求数列{c n }的前n 项和T n 【答案】（1）=1+(n1)2=2n1；（2）=12；（3）.【解析】（1）根据题意先确定的值，再根据等差数列的通项公式求解；（2）根据（1）所得的通项公式求出，利用裂项求和法求出其前项和，再根据等比中项的定义列式求解；（3）)对任意正整数k ，，则,而，由题意可知，利用分组求和法可解答.试题解析：（1）由题意，得解得< d <． 2分又d ∈Z ，∴d=2． ∴=1+(n1)2=2n1． 4分（2）∵ ..6分∴ 7分∵，，，为，()的等比中项，∴，即，解得=12． .9分(3)对任意正整数k ，，则,而，由题意可知, 12分于是，即. 14分【考点】等差数列的通项公式、裂项求和法、分组求和、等比数列前项和公式.4.如图，某自来水公司要在公路两侧铺设水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线铺设线路l 1，在路南侧沿直线铺设线路l 2，现要在矩形区域ABCD 内沿直线将l 1与l 2接通．已知AB = 60m ，BC = 80m ，公路两侧铺设水管的费用为每米1万元，穿过公路的EF 部分铺设水管的费用为每米2万元，设∠EFB= α,矩形区域内的铺设水管的总费用为W ．（1）求W 关于α的函数关系式；（2）求W 的最小值及相应的角α．【答案】（1）=80+60tanα;（2）,.【解析】（1）过E 作，垂足为M ，由题意得∠MEF="α," 故有，，,化简即可；（2），利用导数求出的最大值和相应的角度即可.试题解析：（1）如图，过E 作，垂足为M ，由题意得∠MEF=α，故有，，， 3分所以=80+ 60tanα（其中8分（2）W．设，则． 11分令得，即，得．列表所以当时有，此时有． 14分答：铺设水管的最小费用为万元，相应的角． 16分【考点】函数模型的应用、利用导数求函数极值、三角函数综合.5.已知椭圆C ：＋＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝，椭圆C 的上、下顶点分别为A 1，A 2，左、右顶点分别为B 1，B 2,左、右焦点分别为F 1，F 2．原点到直线A 2B 2的距离为．（1）求椭圆C 的方程；（2）过原点且斜率为的直线l ，与椭圆交于E ，F 点，试判断∠EF 2F 是锐角、直角还是钝角，并写出理由；（3）P 是椭圆上异于A 1，A 2的任一点,直线PA 1，PA 2，分别交轴于点N ，M,若直线OT 与过点M ，N 的圆G 相切，切点为T.证明：线段OT 的长为定值,并求出该定值. 【答案】（1）＋y 2＝1 ；(2) ∠EF 2F 是锐角；(3)线段OT 的长度为定值2.【解析】（1）因为椭圆C 的离心率e ＝，故设a ＝2m ，c ＝m ，则b ＝m,直线A 2B 2方程为 bx ay ab ＝0,所以＝，解得m ＝1,故椭圆方程为＋y 2＝1； (2)联立椭圆和直线方程解出交点坐标E(，)，F(，) ，根据向量数量积为正可判断∠EF 2F 是锐角；(3)由（1）可知A 1(0，1)A 2(0，1),设P(x 0，y 0), 直线PA 1：y 1＝x ，令y ＝0,得x N ＝，直线PA 2：y ＋1＝x ，令y ＝0,得x M ＝，接下来有两种方法，解法一，设圆G 的圆心为( ( )，h),利用圆的方程和勾股定理求解；解法二，OM·ON ＝|()·|＝，利用切割线定理得求解.试题解析：（1）因为椭圆C 的离心率e ＝，故设a ＝2m ，c ＝m ，则b ＝m ．直线A 2B 2方程为 bx ay ab ＝0，即mx 2my 2m 2＝0．所以＝，解得m ＝1．所以 a ＝2，b ＝1，椭圆方程为＋y 2＝1． 5分由得E(，)，F( ， )． .7分又F 2(，0)，所以＝( ，)，＝( ， )，所以·＝()×()＋×()＝＞0．所以∠EF 2F 是锐角． 10分（3）由（1）可知A 1(0，1) A 2(0， 1),设P(x 0，y 0), 直线PA 1：y 1＝x ，令y ＝0,得x N ＝；直线PA 2：y ＋1＝x ，令y ＝0,得x M ＝； 12分解法一:设圆G 的圆心为( ()，h), 则r 2＝[ ()]2＋h 2＝(＋)2＋h 2．OG 2＝()2＋h 2． OT 2＝OG 2 r 2＝ ()2＋h 2(＋)2 h 2＝． .14分而＋y 02＝1，所以x 02＝4(1 y 02)，所以OT 2＝4，所以OT ＝2,即线段OT 的长度为定值2. 16分解法二:OM·ON ＝|( )·|＝,而＋y 02＝1，所以x 02＝4(1 y 02)，所以OM·ON ＝4．由切割线定理得OT 2＝OM·ON ＝4．所以OT ＝2,即线段OT 的长度为定值2. 16分【考点】椭圆直线综合、点到直线距离公式、向量数量积的计算、圆的方程.6.已知函数f(x)=a |x|+(a>0,a≠1)（1）若a>1，且关于x 的方程f(x)=m 有两个不同的正数解，求实数m 的取值范围；（2）设函数g(x)=" f(" x)，x ∈[ 2，+∞），满足如下性质：若存在最大（小）值，则最大（小）值与a 无关.试求a 的取值范围．【答案】（1）实数的取值范围为区间；（2）实数a 的取值范围是. 【解析】（1）令,换元将问题转化为关于的方程有相异的且均大于1的两根，利用二次函数的性质解答即可；（2）算得，分类讨论①当，②当，再分，讨论解答.试题解析：(1)令，，因为，所以，所以关于的方程有两个不同的正数解等价于关于的方程有相异的且均大于1的两根，即关于的方程有相异的且均大于1的两根， 2分所以， 4分解得，故实数的取值范围为区间. 6分(2)①当时，a)时，，，所以，b)时，，所以 8分ⅰ)当即时，对，，所以在上递增，所以，综合a) b)有最小值为与a有关，不符合 10分ⅱ)当即时，由得，且当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，所以，综合a) b) 有最小值为与a无关，符合要求． 12分②当时，a) 时，，，所以b) 时，，，所以，在上递减，所以，综合a) b) 有最大值为与a有关，不符合 15分综上所述，实数a的取值范围是． 16分【考点】二次函数、利用导数求函数单调区间、利用导数求函数最值、分类讨论思想.7.如图，设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，P是⊙O与l的公共点，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C，D，且PC=PD，求证：（1）l是⊙O的切线；（2）PB平分∠ABD.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）连结OP,通过证明OP//BD得OP⊥l.，从而l是⊙O的切线；（2）连结AP，由（1）知l是⊙O的切线所以∠BPD=∠BAP，又∠BPD+∠PBD=90°，∠BAP+∠PBA=90°，所以∠PBA=∠PBD，即PB平分∠ABD.试题解析：（1）连结OP，因为AC⊥l，BD⊥l，所以AC//BD.又OA=OB，PC=PD，所以OP//BD，从而OP⊥l.因为P在⊙O上，所以l是⊙O的切线. ...........5分（2）连结AP，因为l是⊙O的切线，所以∠BPD=∠BAP.又∠BPD+∠PBD=90°，∠BAP+∠PBA=90°，所以∠PBA=∠PBD，即PB平分∠ABD. .........10分【考点】圆的切线、几何证明选讲.8.已知矩阵M＝，N＝．（1）求矩阵MN；（2）若点P在矩阵MN对应的变换作用下得到Q(0，1)，求点P的坐标．【答案】（1）MN＝＝；（2）P(， 1).【解析】（1）利用矩阵乘法公式计算即可；（2）两种方法：法一，利用＝，转化为关于的二元一次方程，解出，即点P的坐标；法二，求出MN的逆矩阵，直接计算.试题解析：（1）MN＝＝； 5分（2）设P(x，y)，则解法一：＝，即解得即P(， 1)． 10分解法二：因为＝．所以＝＝．即P(， 1)． 10分【考点】矩阵与变换、逆矩阵的求法、矩阵的计算.9.在直角坐标系中,曲线的参数方程为（为参数），若以直角坐标系xoy的原点为极点，OX为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin(θ+)="0," 求与直线l垂直且与曲线C相切的直线m的极坐标方程.【答案】或.【解析】将直线和圆的方程化为直角坐标系下的方程，设，利用直线和圆相切求出直线，再将方程化为极坐标方程.试题解析： 3分设,直线与相切，可得或， 7分直线的极坐标方程为或 10分【考点】极坐标和直角坐标方程的互化、点到直线的距离公式.10.设f(x)=x2x+13，实数a满足|xa|<1，求证：|f(x)f(a)|<2(|a|+1)．【答案】见解析.【解析】计算利用绝对值的性质放缩处理即可得证.试题解析：，，又． 10分【考点】二次函数、绝对值不等式.11.口袋中有n(n ∈N ＊)个白球，3个红球.依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球.记取球的次数为X,若P(X=2)=求：（1）n 的值；（2）X 的概率分布与数学期望. 【答案】（1）；（2）X 的数学期望是【解析】（1）由题知，得；（2）由题知，X 的可能取值为1，2，3，4，分别计算其概率，然后列分布列计算期望.试题解析：（1）由题知5分（2）由题知，X 的可能取值为1，2，3，4，所以所以，X 的概率分布表为所以答：X 的数学期望是10分【考点】离散型随机变量的概率和期望、离散型随机变量的分布列、古典概型概率计算.12.设P 1，P 2，，P j 为集合P ＝{1，2，，i}的子集，其中i ，j 为正整数．记a ij 为满足P 1∩P 2∩ ∩P j ＝Æ的有序子集组(P 1，P 2，，P j )的个数．（1）求a 22的值；（2）求a ij 的表达式．【答案】（1）a 22＝9；（2）a ij ＝(2j 1)i【解析】（1）由题意得P 1，P 2为集合P ＝{1，2}的子集，因为P 1∩P 2＝Æ，所以集合P ＝{1，2}中的元素“1”共有1ÏP 1，且1Ï P 2；1ÎP 1，且1Ï P 2；1ÏP 1，且1ÎP 2，同理可得集合P ＝{1，2}中的元素“2”也有3种情形，根据分步乘法原理得，a 22＝3×3＝9；（2）考虑P ＝{1，2，，i}中的元素“1”，然后分情况讨论解答. 试题解析：（1）由题意得P 1，P 2为集合P ＝{1，2}的子集，因为P 1∩P 2＝Æ，所以集合P ＝{1，2}中的元素“1”共有如下3种情形： 1ÏP 1，且1Ï P 2；1ÎP 1，且1Ï P 2；1ÏP 1，且1ÎP 2；同理可得集合P ＝{1，2}中的元素“2”也有3种情形，根据分步乘法原理得，a 22＝3×3＝9； 4分（2）考虑P ＝{1，2，，i}中的元素“1”，有如下情形： 1不属于P 1，P 2，，P j 中的任何一个，共C j 0种； 1只属于P 1，P 2，，P j 中的某一个，共C j 1种； 1只属于P 1，P 2，，P j 中的某两个，共C j 2种； 1只属于P 1，P 2，，P j 中的某(j 1)个，共C j j 1种，根据分类加法原理得，元素“1”共有C j 0＋C j 1＋C j 2＋＋C j j 1＝2j 1种情形， 8分同理可得，集合P ＝{1，2，，i}中其它任一元素均有(2j 1)种情形，根据分步乘法原理得，a＝(2j 1)i． 10分ij【考点】分步计数原理、集合的运算、组合数的应用.。

江苏高三高中数学期中考试带答案解析

江苏高三高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.已知复数，且，则2.已知集合，则的所有非空真子集的个数是3.已知数列是等差数列，且，则＝4.给出下列几个命题：①是的必要不充分条件；②若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；③若则④的充要条件是；⑤若为互相垂直的单位向量，，，则的夹角为锐角的充要条件是，其中，正确命题的序号是5.设函数是定义在R上的偶函数，当时，，若，则实数的值为6.已知等比数列的前项和为，若，则的值是 .7.若命题“，使”的否定是假命题，则实数的取值范围是8.方程有个不同的实数根9.已知，其中，若，则=10.已知是定义在上的函数，且对任意实数，恒有，且的最大值为1，则满足的解集为11.如图, 在等腰三角形中, 底边, , , 若, 则=12.将函数（）的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为13.设等差数列的首项及公差均是正整数，前项和为，且，，，则=14.已知函数（为常数，为自然对数的底数）的图象在点处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则实数的取值范围是二、解答题1.已知是同一平面内的三个向量，其中（1）若，且，求：的坐标（2）若，且与垂直，求与的夹角2.在△中，角、、所对的边分别为、、，且.（Ⅰ）若，求角；（Ⅱ）设，，试求的最大值.3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求角C的大小；（2）若△ABC的外接圆直径为1，求的取值范围．4.如图,在半径为、圆心角为60°的扇形的弧上任取一点,作扇形的内接矩形,使点在上,点在上,设矩形的面积为.(Ⅰ) 按下列要求写出函数关系式：①设,将表示成的函数关系式；②设,将表示成的函数关系式.(Ⅱ) 请你选用(Ⅰ)中的一个函数关系式,求的最大值.5.已知函数(a，b均为正常数).（1）求证：函数在内至少有一个零点；（2）设函数在处有极值，①对于一切，不等式恒成立，求的取值范围；②若函数f(x)在区间上是单调增函数，求实数的取值范围.6.已知数列的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列.数列前项和为，且满足（1）求数列的通项公式；（2）求数列前项和；（3）在数列中，是否存在连续的三项，按原来的顺序成等差数列？若存在，求出所有满足条件的正整数的值；若不存在，说明理由江苏高三高中数学期中考试答案及解析一、填空题1.已知复数，且，则【答案】【解析】，所以，.【考点】复数的四则运算.2.已知集合，则的所有非空真子集的个数是【答案】510【解析】由，得，所以的值可能是，得的值可能是，所以中共有9个元素，所以的所有非空真子集的个数是（个）.【考点】集合、子集.3.已知数列是等差数列，且，则＝【答案】【解析】由等差数列的性质及知，故，得.【考点】等差数列的性质、特殊角的三角函数.4.给出下列几个命题：①是的必要不充分条件；②若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；③若则④的充要条件是；⑤若为互相垂直的单位向量，，，则的夹角为锐角的充要条件是，其中，正确命题的序号是【答案】①②【解析】若则，但若，则不一定有，所以①正确；当是不共线的四点旱，显然四边形为平行四边形，所以②正确；当时，有，不一定成立，所以③不正确有；时，有，但时，可能互为相反向量，所以④不正确；⑤中，当时，，的夹角为0，不是锐角，所以⑤不正确.【考点】向量的有磁概念和向量的数量积.5.设函数是定义在R上的偶函数，当时，，若，则实数的值为【答案】【解析】当时，由有，得，又由函数是定义在R上的偶函数，根据对称性知，当时，由，应有，所以实数的值为.【考点】函数的奇偶性.6.已知等比数列的前项和为，若，则的值是 .【答案】【解析】设数列的公比为，由得，解得，再由得，即，得.【考点】等比数列的通项公式、求和公式.7.若命题“，使”的否定是假命题，则实数的取值范围是【答案】【解析】原问题等价于“，使”的否定是真命题，则函数有两个零点，所以，得或.【考点】存在命题和全称命题、二次函数.8.方程有个不同的实数根【答案】2【解析】原问题可转化为求函数的图象与函数图象交点个数，画出它们的图象（如图），可知有两个交点.【考点】函数与方程.9.已知，其中，若，则=【答案】1【解析】，，又由得，，化简得，，即，所以，得，所以，.【考点】向量的数量积、三角函数公式.10.已知是定义在上的函数，且对任意实数，恒有，且的最大值为1，则满足的解集为【答案】【解析】由函数恒成立知是增函数，由条件知可变形为，，所以，所以.【考点】增函数的定义、对数函数的性质.11.如图, 在等腰三角形中, 底边, , , 若, 则=【答案】【解析】以为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，则，，设，则，，，，，得，，，.【考点】平面向量的数量积.12.将函数（）的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为【答案】2【解析】，根据函数的图象可知，当函数在上为增函数的最大满足，所函数在上为增函数的最大.【考点】的图象与性质.13.设等差数列的首项及公差均是正整数，前项和为，且，，，则=【答案】4026【解析】由得，，等差数列的首项及公差均是正整数及，得到以下可能，或或，再结合，所以只有，于是数列的首项及公差为2，所以.【考点】等差数列的概念和通项公式.14.已知函数（为常数，为自然对数的底数）的图象在点处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则实数的取值范围是【答案】【解析】函数在点处的切线的方程为，因此原条件转化为直线与曲线有两个公共点，即方程有两个小于1的根，设，则有，解得实数的取值范围是实数的取值范围是【考点】导数的几何意义、函数与方程、一元二次方程根的分布.二、解答题1.已知是同一平面内的三个向量，其中（1）若，且，求：的坐标（2）若，且与垂直，求与的夹角【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）设，利用两个已知条件，列出关于的方程组，解出即可；（2）由与垂直得，对此式进行化简，可求出，又的模易知，利用向量数量积的定义则可求出与的夹角.试题解析：设由得所以， 7分（2）∵与垂直，∴即；∴∴，∵∴ 14分【考点】向量的数量积、向量的模、向量的平行与垂直.2.在△中，角、、所对的边分别为、、，且.（Ⅰ）若，求角；（Ⅱ）设，，试求的最大值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由则可联想余弦定理求出角，而由，则易联想两角差的正切公式，求得，结合三角形内角和定理可求出角；（Ⅱ）很显然是角的三角函数，由角的大小则可确定角的取值范围，于是问题就转化为三角函数的值域问题，一般可化为的类型后解决，也可能化为一个三角函数的二次型问题解决.试题解析：∵；∴，∵∴（1）∵∴∵∴，又∴或（舍去）∴ 7分（2）令∴∴时，的最大值为 14分【考点】余弦定理、两角差的正切公式、正弦函数的性质.3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求角C的大小；（2）若△ABC的外接圆直径为1，求的取值范围．【答案】（1）；（2）；【解析】（1）中有正切和正弦、余弦，这样的问题一般是“切化弦”，统一为同名三角函数后再利用三角函数的相关公式进行变形解答；（2）利用正弦定理，可化为角的三角函数，再利用，可消去一元，问题于是就转化为三角函数的值域问题.试题解析：(1)因为，即，所以，即，得． 4分所以，或(不成立)．即, 得． 7分(2)由，设，．因， 8分故=． 12分，故． 15分【考点】两角和与差的三角函数、正弦定理.4.如图,在半径为、圆心角为60°的扇形的弧上任取一点,作扇形的内接矩形,使点在上,点在上,设矩形的面积为.(Ⅰ) 按下列要求写出函数关系式：①设,将表示成的函数关系式；②设,将表示成的函数关系式.(Ⅱ) 请你选用(Ⅰ)中的一个函数关系式,求的最大值.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）①要用表示矩形的面积，关键是把用表示，在中可表示出，在中可表示出，即得；②在中，可用表示和，在在中可用即表示出，即得；（Ⅱ）对（Ⅰ）中函数，是常见的函数或三角函数问题，较为容易解答，求出其最大值.试题解析：(Ⅰ) ①因为,所以,又,所以 2分故() 4分②当时, ,则,又,所以6分故() 8分(Ⅱ)由②得= 12分故当时,取得最大值为 15分【考点】函数的应用、三角函数.5.已知函数(a，b均为正常数).（1）求证：函数在内至少有一个零点；（2）设函数在处有极值，①对于一切，不等式恒成立，求的取值范围；②若函数f(x)在区间上是单调增函数，求实数的取值范围.【答案】（1）详见解析；（Ⅱ）①②.【解析】（Ⅰ）证明函数在内至少有一个零点，可由零点的存在性定理考察和的符号，若且，则结论成立，若，可将区间进行适当分割，再依上面方法进行，直到找到函数的零点的存在区间；（Ⅱ）易知，从而求出的值.①不等式恒成立可化分离参数转化为求函数在区间上的最值问题，这是一个普通的三角函数问题，通过判断三角函数的单调性容易解决；②函数在一个已知区间上为增函数，求参数的取值范围问题，通常有两种方法，一是用在这个区间上导函数的符号确定，一般三角函数不用此方法，二是求出函数的单调递增区间，它必包含已知区间，然后考察参数的取值范围.试题解析：（1）证明：，所以，函数在内至少有一个零点 4分（2）由已知得：所以a=2，所以 5分①不等式恒成立可化为：记函数，所以在恒成立 8分函数在上是增函数，最小值为所以，所以的取值范围是 10分②由得：，所以 11分令，可得 13分∵函数在区间（）上是单调增函数，∴ 14分∴，∵，∴，∴∴ 16分【考点】函数的零点、三角函数的性质.6.已知数列的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列.数列前项和为，且满足（1）求数列的通项公式；（2）求数列前项和；（3）在数列中，是否存在连续的三项，按原来的顺序成等差数列？若存在，求出所有满足条件的正整数的值；若不存在，说明理由【答案】（1）；（2；（3）存在，详见解析．【解析】（1）此类问题一般用等差数列和等比数列的基本量根据题目条件布列方程，解之即可，体现的方程的基本思想，解出等差数列和等比数列后，便可写出数列的通项公式，要注意本题数列的特点，可将其写成分段的形式；（2））在求出等差数列和等比数列的公差和公比后，求得难度已经不大，但要注意分组求和；（3）此类探究性问题，一般先假设存在符合条件的连续三项，然后通过推理，求出则存在，若得到矛盾，则不存在，存在时还要注意求出所有符合条件的解，注意分类讨论思想的应用.试题解析：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则又，，解得∴对于，有故 5分（2）由（1）知，在数列中，前项中所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，所以有 8分（3）在数列中，仅存在连续的三项，按原来的顺序成等差数列，此时正整数的值为1，下面说明理由 10分若，则由，得化简得，此式左边为偶数，右边为奇数，不可能成立 12分若，则由，得化简得 14分令，则因此，，故只有，此时综上，在数列中，仅存在连续的三项，按原来的顺序成等差数列，此时正整数的值为1 16分【考点】等差数列、等比数列，数列的求和.。

江苏高三高中数学期中考试带答案解析

江苏高三高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.已知全集U=Z ，A={-1,0,1,2}，B={x|x 2=x}，则A (C U B)=_____________ 2.化简=_________________3.命题“x ∈R ，x 3-x 2+1≤0”的否定是__________4.如图示的程序框图，若输入的n 是100，则(文科)S=___(理科)T=________5.若角的终边过点(3sin30°,-3cos30°)，则sin 等于____________6.数列{a n }中，a 1+a 2+…+a n =2n -1，则a 12+a 22+…+a n 2 =_________7.函数y=f(x)为R 上的增函数，则y=f(|x+1|)单调递减区间是____________.8.若2x +3x +6x =7x ，则方程的解集为______________ 9.(文科)函数f(x)=x+sin(x-3)的对称中心为_________ (理科)已知函数若x ∈Z 时，函数f(x)为递增函数，则实数a 的取值范围为___________________10.函数f(x)的定义域为(a,b)，导函数f (x)在(a,b)的图象如图示，则函数f(x)在(a,b)内极小值点的个数为___________ 11.在△ABC 中，若sin(2-A)=sin(-B)，cosA=cos(-B)，则△ABC 的三个内角中最小角的值为____________12.(文科)设向量=(cos23°,cos67°)，=(cos68°,cos22°)，=+t (t ∈R)，则||的最小值是____________(理科)已知a>0，设函数f(x)=+sinx ，x ∈[-a,a]的最大值为M ，最小值为m ，则M+m=__________13.已知S n 是等差数列{a n }前n 项的和，且S 4=2S 2+4，数列{b n }满足，对任意n ∈N +都有b n ≤b 8成立，则a 1的取值范围是_____________ 14.(文科)设a 、b 、c 均为正整数，且，，，则a 、b 、c 从小到大的顺序是_________________. (理科)三个数a 、b 、c ∈(0,)，且cosa=a ，sin(cosb)=b ，cos(sinc)=c ，则a 、b 、c 从小到大的顺序是_____________二、解答题1. (本题满分14分)已知集合A={x|x 2-2x-3≤0，x ∈R}，B={x|x 2-2mx+m 2-4≤0，x ∈R ，m ∈R} (Ⅰ)若A B=[0,3]，求实数m 的值 (Ⅱ)若A C R B ，求实数m 的取值范围2.(本题满分14分)数列{a n }中，a 1=2，a n+1=a n +cn(c 是常数，n=1,2,3,…)，且a 1,a 2,a 3成公比不为1的等比数列 (Ⅰ)求c 的值(Ⅱ)求{a n }的通项公式3. (文科)(本题满分14分)设函数f(x)=·，其中=(m,cos2x)，=(1+sin2x,1)，x ∈R ，且函数y=f(x)的图象经过点(,2).(Ⅰ)求实数m 的值；(Ⅱ)求函数f(x)的最小值及此时x 值的集合(理科)(本题满分14分)已知函数f(x)=e x -kx ，x ∈R (Ⅰ)若k=e ，试确定函数f(x)的单调区间(Ⅱ)若k>0，且对于任意x ∈R ，f(|x|)>0恒成立，试确定实数k 的取值范围4. (本题满分16分)A 、B 是函数f(x)=+的图象上的任意两点，且=()，已知点M 的横坐标为.(Ⅰ)求证：M 点的纵坐标为定值； (Ⅱ)若S n =f()+f()+…+f()，n ∈N +且n≥2，求S n ；(Ⅲ)已知数列{a n }的通项公式为. T n 为其前n 项的和，若T n <(S n+1+1)，对一切正整数都成立，求实数的取值范围.5.(本题满分16分)(Ⅰ)试比较的大小；)的大小，根据(Ⅰ)的结果猜测一个一般性结论，并加以证明.(Ⅱ)试比较n n+1与(n+1)n(n∈N+6. (本题满分16分)设函数y=f(x)对任意实数x，都有f(x)=2f(x+1)，当x∈[0,1]时，f(x)=x2(1-x).，当x∈[n,n+1]时，求y=f(x)的解析式；(Ⅰ)已知n∈N+(Ⅱ)求证：对于任意的n∈N，当x∈[n,n+1]时，都有|f(x)|≤；+(Ⅲ)对于函数y=f(x)(x∈[0,+∞，若在它的图象上存在点P，使经过点P的切线与直线x+y=1平行，那么这样点有多少个？并说明理由江苏高三高中数学期中考试答案及解析一、填空题1.已知全集U=Z ，A={-1,0,1,2}，B={x|x 2=x}，则A (C U B)=_____________ 【答案】{-1,2} 【解析】略 2.化简=_________________【答案】【解析】略3.命题“x ∈R ，x 3-x 2+1≤0”的否定是__________ 【答案】x ∈R ，x 3-x 2+1>0 【解析】略4.如图示的程序框图，若输入的n 是100，则(文科)S=___(理科)T=________【答案】S=2550(文)，T=2500(理) 【解析】略5.若角的终边过点(3sin30°,-3cos30°)，则sin等于____________ 【答案】【解析】略6.数列{a n }中，a 1+a 2+…+a n =2n -1，则a 12+a 22+…+a n 2 =_________ 【答案】．(4n -1)【解析】略7.函数y=f(x)为R 上的增函数，则y=f(|x+1|)单调递减区间是____________.【答案】(-∞,-1【解析】略8.若2x+3x+6x=7x，则方程的解集为______________【答案】{2}【解析】略9.(文科)函数f(x)=x+sin(x-3)的对称中心为_________(理科)已知函数若x∈Z时，函数f(x)为递增函数，则实数a的取值范围为___________________【答案】(3,3)(文)；(2,3)(理)【解析】略10.函数f(x)的定义域为(a,b)，导函数f(x)在(a,b)的图象如图示，则函数f(x)在(a,b)内极小值点的个数为___________【答案】1【解析】略11.在△ABC中，若sin(2-A)=sin(-B)，cosA=cos(-B)，则△ABC的三个内角中最小角的值为____________【答案】【解析】略12.(文科)设向量=(cos23°,cos67°)，=(cos68°,cos22°)，=+t(t∈R)，则||的最小值是____________(理科)已知a>0，设函数f(x)=+sinx，x∈[-a,a]的最大值为M，最小值为m，则M+m=__________【答案】(文)；4023(理)【解析】略13.已知Sn 是等差数列{an}前n项的和，且S4=2S2+4，数列{bn}满足，对任意n∈N+都有bn≤b8成立，则a1的取值范围是_____________【答案】-7<a<-6学【解析】略14.(文科)设a、b、c均为正整数，且，，，则a、b、c从小到大的顺序是_________________.(理科)三个数a、b、c∈(0,)，且cosa=a，sin(cosb)=b，cos(sinc)=c，则a、b、c从小到大的顺序是_____________【答案】．a<b<c(文)；b<a<c(理)【解析】略二、解答题1.(本题满分14分)已知集合A={x|x2-2x-3≤0，x∈R}，B={x|x2-2mx+m2-4≤0，x∈R，m∈R}(Ⅰ)若A B=[0,3]，求实数m的值(Ⅱ)若A C R B ，求实数m 的取值范围【答案】解：由已知得：A={x|-1≤x≤3}，B={x|m-2≤x≤m+2} (Ⅰ)∵AB=[0,3]，∴，∴，∴m=2. …………7分(Ⅱ)C R B={x|x<m-2或x>m+2}，∵A C R B ，∴m-2>3，或m+2<-1， ∴m 的取值范围为(-∞,-3)(5,+∞).…………………………14分【解析】略2.(本题满分14分)数列{a n }中，a 1=2，a n+1=a n +cn(c 是常数，n=1,2,3,…)，且a 1,a 2,a 3成公比不为1的等比数列 (Ⅰ)求c 的值(Ⅱ)求{a n }的通项公式【答案】解：(Ⅰ)a 1=2，a 2=2+c ，a 3=2+3c ，因为a 1,a 2,a 3成等比数列，所以(2+c)2=2(2+3c)，解得c=0或c="2." 当c=0时，a 1=a 2=a 3，不合题意，舍去，故c="2." ………………………………………………………………………………6分 (Ⅱ)当n≥2时，由于a 2-a 1=c ，a 3-a 2=2c ，…，a n -a n-1=(n-1)c ，所以a n -a 1=[1+2+…+(n -1)]c=. 又a 1=2，c=2，所以a n =2+n(n-1)=n 2-n+2(n=2,3,…)，又当n=1时，上式也成立，故a n =n 2-n+2(n=1,2,3,…). ……………………………………14分【解析】略3. (文科)(本题满分14分)设函数f(x)=·，其中=(m,cos2x)，=(1+sin2x,1)，x ∈R ，且函数y=f(x)的图象经过点(,2).(Ⅰ)求实数m 的值；(Ⅱ)求函数f(x)的最小值及此时x 值的集合(理科)(本题满分14分)已知函数f(x)=e x -kx ，x ∈R (Ⅰ)若k=e ，试确定函数f(x)的单调区间(Ⅱ)若k>0，且对于任意x ∈R ，f(|x|)>0恒成立，试确定实数k 的取值范围【答案】 (文科)解：(Ⅰ)f(x)=a·b="m(1+sin2x)+cos2x." 由已知得f()=m(1+sin)+cos=2，解得m=1.……6分(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)=1+sin2x+cos2x=1+sin(2x+).所以当sin(2x+)=-1时，f(x)的最小值为1-. ……………11分由sin(2x+)=-1，得x 值的集合为{x|x=k，k ∈Z}.……14分(理科)解：(Ⅰ)由k=e 得f(x)=e x -ex ，所以f (x)=e x -e. 由f (x)>0得x>1，故f(x)的单调递增区间是(1,+∞)；……………………4分由f (x)<0得x<1，故f(x)的单调递减区间是(-∞,1). ……………………6分(Ⅱ)由f(|-x|)=f(|x|)可知f(|x|)是偶函数. 于是f(|x|)>0对任意x ∈R 成立等价于f(x)>0对任意x≥0成立. 由f (x)=e x -k=0得x="lnk."①当k ∈(0,1时，f (x)=e x -k>1-k≥0(x>0). 此时f(x)在[0,+∞上单调递增. 故f(x)≥f(0)=1>0，符合题意.所以0<k≤1. …………10分②当k ∈(1,+∞)时，lnk>0. 当x 变化时f (x)，f(x)的变化情况如下：f (x)f(x)由此可得，在[0,+∞上，f(x)≥f(lnk)=k -klnk. 依题意，k-klnk>0. 又k>1，所以1<k<e.综合①②实数k 的取值范围为(0,e). …………………………14分【解析】略4. (本题满分16分)A 、B 是函数f(x)=+的图象上的任意两点，且=()，已知点M 的横坐标为.(Ⅰ)求证：M 点的纵坐标为定值； (Ⅱ)若S n =f()+f()+…+f()，n ∈N +且n≥2，求S n ；(Ⅲ)已知数列{a n }的通项公式为. T n 为其前n 项的和，若T n <(S n+1+1)，对一切正整数都成立，求实数的取值范围. 【答案】(Ⅰ)证明：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，M(,y m )，由得即x 1+x 2="1."即M 点的纵坐标为. …………………………………………………4分 (Ⅱ)当n≥2时，∈(0,1)，又=…=x 1+x 2，∴=…=f(x 1)+f(x 2)=y 1+y 2=1.…，又…，∴2S n =n-1，则(n≥2，n ∈N +). ……………………………10分 (Ⅲ)由已知T 1=a 1=，n≥2时，，∴T n =a 1+a 2+…+a n =…=.当n ∈N +时，T n <(S n+1+1)，即>，n ∈N +恒成立，则>.而(n=2时“＝”成立)，∴，∴实数的取值范围为(,+∞). ……………………16分【解析】略5.(本题满分16分)(Ⅰ)试比较的大小；(Ⅱ)试比较n n+1与(n+1)n (n ∈N +)的大小，根据(Ⅰ)的结果猜测一个一般性结论，并加以证明. 【答案】解：(Ⅰ)由于，，则；又，，则；所以. …………………………………………6分(Ⅱ)当n=1,2时，有n n+1<(n+1)n .………………………………………8分当n≥3时，有n n+!>(n+1)n . 证明如下：令，.又.∴a n+1>a n 即数列{a n }是一个单调递增数列. 则a n >a n-1>…>a 3>1 ∴即n n+1>(n+1)n . ……………………………………16分另证：构造函数f(x)=(x≥3)，f(x)==，∴f(x)=在[3,+∞为递减函数，则f(n)>f(n+1)，即，，∴，即n n+1>(n+1)n(n≥3时结论成立).【解析】略6.(本题满分16分)设函数y=f(x)对任意实数x，都有f(x)=2f(x+1)，当x∈[0,1]时，f(x)=x2(1-x).，当x∈[n,n+1]时，求y=f(x)的解析式；(Ⅰ)已知n∈N+(Ⅱ)求证：对于任意的n∈N，当x∈[n,n+1]时，都有|f(x)|≤；+(Ⅲ)对于函数y=f(x)(x∈[0,+∞，若在它的图象上存在点P，使经过点P的切线与直线x+y=1平行，那么这样点有多少个？并说明理由【答案】解：(Ⅰ)由f(x)=2f(x+1)→f(x)=(x-1)，x∈[n,n+1]，则(x-n)∈[0,1]→f(x-n)=(x-n)2(1+n-x). f(x)=f(x-1)=f(x-2)=...=f(x-n)=(x-n)2(1+n-x). (n=0也适用). (4)分(Ⅱ)f(x)=，由f(x)=0得x=n或x=n+(n,n+)n+(n+,n+1)f(x)＋0－f(x)的极大值为f(x)的最大值，，又f(x)≥f(n)=f(n+1)=0，∴|f(x)|=f(x)≤(x∈[n,n+1]).…8分(Ⅲ)y=f(x)，x∈[0,+∞即为y=f(x)，x∈[n,n+1]，f(x)="-1."本题转化为方程f(x)=-1在[n,n+1]上有解问题即方程在[n,n+1]内是否有解. ……11分令g(x)=，对轴称x=n+∈[n,n+1]，又△=…=，g(n)=，g(n+1)=，①当0≤n≤2时，g(n+1)≥0，∴方程g(x)=0在区间[0,1],[1,2],[2,3]上分别有一解，即存在三个点P；②n≥3时，g(n+1)<0，方程g(x)=0在[n,n+1]上无解，即不存在这样点P.综上所述：满足条件的点P有三个. …………………………16分【解析】略。

江苏高三高中数学期中考试带答案解析

江苏高三高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.已知集合,则 _________.2.函数的定义域为_________.3.已知角的终边经过点，且，则的值为_________.4.已知向量，且，则_________.5.已知命题是真命题，则实数的取值范围是_________.6.函数的单调增区间是_________.7.设是首项为正数的等比数列，公比为，则“” 是“对任意的正整数” 的_________条件.（填“充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、即不充分也不必要条件” ）8.在中，，则角的最大值为_________.9.已知函数在处的切线与直线平行，则_________.10.已知函数的部分图象如图所示，分别为该图象的最高点和最低点，点的坐标为，点的坐标为.若，则的最大值是_________.11.设数列首项,前项和为，且满足，则满足的所有的和为_________.12.已知函数在上单调递减，且关于的方程恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是_________.13.在平面内，定点满足，动点满足，则的最大值是__________.14.定义在上的函数满足，当时，,则函数在上的零点个数是__________.二、解答题1.在中,角、、所对的边分别为、、，设向量.（1）若,求角；（2）若, 求的值.2.已知是一个公差大于的等差数列，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）等比数列满足:, 若数列，求数列的前项和.3.已知函数,且定义域为.（1）求关于的方程在上的解；（2）若关于的方程在上有两个的解，求的取值范围.4.如图，太湖一个角形湖湾（常数为锐角）. 拟用长度为（为常数）的围网围成一个养殖区，有以下两种方案可供选择：方案一如图1，围成扇形养殖区，其中；方案二如图2，围成三角形养殖区，其中；（1）求方案一中养殖区的面积；（2）求方案二中养殖区的最大面积；（3）为使养殖区的面积最大，应选择何种方案？并说明理由.5.设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列. 记.（1）求证: 数列为等比数列；（2）已知数列的前项分别为.①求数列和的通项公式；②是否存在元素均为正整数的集合，使得数列等差数列？证明你的结论.6.已知函数.（1）求的单调区间；（2）若在上的最大值是，求的值；（3）记,当时，若对任意，总有成立，试求的最大值.江苏高三高中数学期中考试答案及解析一、填空题1.已知集合,则 _________.【答案】【解析】试题分析: 因为,所以，故应填答案.【考点】集合的交集运算．2.函数的定义域为_________.【答案】【解析】试题分析:由题设,即,也即,故应填答案.【考点】对数函数的性质及运用．3.已知角的终边经过点，且，则的值为_________.【答案】【解析】试题分析: 因为,所以,解之得,故应填答案.【考点】三角函数的定义及运用．4.已知向量，且，则_________.【答案】【解析】试题分析: 因为,所以由题设,解之得,故应填答案.【考点】向量坐标形式的运算．5.已知命题是真命题，则实数的取值范围是_________.【答案】【解析】试题分析:由题设方程有解,故,即,故应填答案.【考点】含一个量词的命题的否定及二次方程有解的判定．6.函数的单调增区间是_________.【答案】【解析】试题分析: 因为,所以增区间为,即,取可得,又,故,应填答案.【考点】三角函数的图象和性质及运用．7.设是首项为正数的等比数列，公比为，则“” 是“对任意的正整数” 的_________条件.（填“充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、即不充分也不必要条件” ）【答案】必要不充分条件【解析】试题分析: 因为,故当时, 未必小于,所以“”是“对任意的正整数”的非充分条件；当,则,即,故“”是“对任意的正整数”的必要条件.应填答案必要不充分条件.【考点】充分必要条件的判定．8.在中，，则角的最大值为_________.【答案】【解析】试题分析:由题设可得,即,也即,故,由于,因此,故,所以,所以,应填答案.【考点】向量的数量积公式及三角变换公式的综合运用．9.已知函数在处的切线与直线平行，则_________.【答案】【解析】试题分析: 因为,所以切线的斜率是,由题设,解之得,故应填答案.【考点】导数的几何意义及求导法则的运用．10.已知函数的部分图象如图所示，分别为该图象的最高点和最低点，点的坐标为，点的坐标为.若，则的最大值是_________.【答案】【解析】试题分析:由题设可知,则,所以,由余弦定理可得,解之得,故应填答案.【考点】三角函数的图象和性质及余弦定理的综合运用．【易错点晴】三角函数的图象和性质是中学数学中的重要内容和工具,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.本题以三角函数的解析式和图象性质为背景,考查的是三角函数的周期及最大值最小值等有关知识和综合运用.解答本题时要充分利用题设中提供的图形信息求出周期,再利用周期确定点,然后运用余弦定理再建立方程求出,从而使得问题获解.11.设数列首项,前项和为，且满足，则满足的所有的和为_________.【答案】【解析】试题分析:因,故代入已知可得,即,也即,故数列是公比为的等比数列,所以,即.所以,则,由此可解得,故应填答案.【考点】数列的通项与前项和的关系及等比数列的公式及综合运用．【易错点晴】等差数列等比数列的有关知识是高中数学中的重要内容和解答数学问题的重要工具之一.本题设置的目的意在考查数列的通项与其前项和的关系及等比数列等有关知识的灵活运用.求解时先依据题设条件,进而得到,即,故数列是公比为的等比数列,所以,即.所以,则,由此逐一验证,确定的值,从而使得问题巧妙获解.12.已知函数在上单调递减，且关于的方程恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是_________.【答案】【解析】试题分析:画出函数的图象如图,结合图象可知当直线与函数相切时,由可解得,此时满足题设；由函数是单调递减函数可知,即,所以当时,即时,函数与函数恰有两个不同的交点,也即方程恰好有两个不相等的实数解,综上所求实数的取值范围是或,故应填答案.【考点】函数的图象和性质的综合运用．【易错点晴】本题设置了一道以方程的解的个数为背景的综合应用问题.其的目的意在考查在数形结合的意识及运用所学知识去分析问题解决问题的能力.解答本题时要充分运用题设中提供的条件信息,将问题等价转化为两个函数与的图象有两个交点的问题.解答时先画出函数的图象,再数形结合求出函数中参数取值范围是或,从而获得答案.13.在平面内，定点满足，动点满足，则的最大值是__________.【答案】【解析】试题分析:设,则.由题设可知,且.建立如图所示的平面直角坐标系,则,由题意点在以为圆心的圆上,点是线段的中点.故结合图形可知当与圆相切时,的值最大,其最大值是.应填答案.【考点】向量的几何运算与坐标形式的运算等知识的综合运用．【易错点晴】平面向量的几何形式是高中数学中的重要内容和解答数学问题的重要工具之一.本题设置的目的意在考查平面向量的几何形式的运算和向量的数量积公式的灵活运用.求解时先依据向量的加法的几何形式运算,确定向量的模及夹角分别为,并充分利用这一隐含信息建立平面直角坐标系.从而将问题进行等价转化,从而使得问题巧妙获解.14.定义在上的函数满足，当时，,则函数在上的零点个数是__________.【答案】【解析】试题分析: 因为,则,所以,所以该函数的周期是.由于函数在有三个零点点,因此在区间上只有三个零点,而,故在区间上共有个交点,应填答案.【考点】函数的零点、函数的图象、函数的周期性等知识的综合运用．【易错点晴】本题设置了一道以函数解析式所满足的条件为背景的综合应用问题.其的目的意在考查在数形结合的意识及运用所学知识去分析问题解决问题的能力.解答本题时要充分运用题设中提供的条件,探求出其周期,由于函数在有三个零点.因此在一个周期内有个零点,将问题等价转化为计算区间上零点的个数问题.最后求出零点为个,从而获得答案.二、解答题1.在中,角、、所对的边分别为、、，设向量.（1）若,求角；（2）若, 求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）借助题设条件运用向量的垂直及正弦定理等有关知识求解；（2）借助题设运用向量的数量积公式、正弦定理、三角变换等有关知识求解.试题解析：（1）.由正弦定理，得,化简，得.从而（舍）或.在中，.（2）,由正弦定理，得,从而.从而,从而为锐角,.【考点】正弦定理、三角变换、向量的数量积公式等有关知识的综合运用.2.已知是一个公差大于的等差数列，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）等比数列满足:, 若数列，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）借助题设条件运用等差数列的有关知识求解；（2）借助题设运用错位相减法求解.试题解析：（1）设等差数列的公差为，则依题设.由,得①由,得②由①得将其代入②得.即,又代入①得.（2）,.两式相减可得:，，【考点】等差数列及错位相减法等有关知识的综合运用.3.已知函数,且定义域为.（1）求关于的方程在上的解；（2）若关于的方程在上有两个的解，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）借助题设条件分类探求；（2）借助题设运用方程有解建立不等式组求解.试题解析：（1），即.当时，，此时该方程无解. 当时，，原方程等价于：，此时该方程的解为.综上可知：方程在上的解为.（2）当时,, ①当时，, ②若则①无解，②的解为，故不合题意.若，则①的解为.（i）当时，时，方程②中，故方程②中一根在内，一根不在内.设，而，则，又，故.（ii）当时，即或时，方程②在须有两个不同解，而，知道方程②必有负根，不合题意. 综上所述，故.【考点】函数的零点及函数方程等有关知识的综合运用.4.如图，太湖一个角形湖湾（常数为锐角）. 拟用长度为（为常数）的围网围成一个养殖区，有以下两种方案可供选择：方案一如图1，围成扇形养殖区，其中；方案二如图2，围成三角形养殖区，其中；（1）求方案一中养殖区的面积；（2）求方案二中养殖区的最大面积；（3）为使养殖区的面积最大，应选择何种方案？并说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）应选择方案一.【解析】（1）借助题设条件运用弧长公式建立函数关系；（2）借助题设运用余弦定理与基本不等式求解；（3）依据题设运用导数的有关知识进行分析探求.试题解析：（1）设，则，即，所以.（2）设.由余弦定理，得,所以,所以,当且仅当时，“=”成立.所以 ,即.（3）,令,则. 当时，, 所以在上单调增，所以，当，总有.所以, 得.答:为使养殖区的面积最大.应选择方案一.【考点】余弦定理、导数、基本不等式、三角函数等有关知识的综合运用.【易错点晴】本题以现实生活中的一个最为常见的湖边养殖区的面积问题为背景,考查的是导函数与函数的单调性之间的关系的应用问题.解答本题的关键是如何选取变量建立函数关系,最后再运用导数进行求解.解答第一问时,运用弧长公式直接建立函数关系使得问题获解；第二问的求解过程中则借助余弦定理和基本不等式进行求解；第三问则构造函数,然后再运用导数的知识研究出函数的单调性,从而使得问题最终获解.5.设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列. 记.（1）求证: 数列为等比数列；（2）已知数列的前项分别为.①求数列和的通项公式；②是否存在元素均为正整数的集合，使得数列等差数列？证明你的结论.【答案】（1）证明见解析；（2）①；②不存在满足题意的集合.【解析】（1）借助题设条件运用等比数列的定义推证；（2）借助题设运用等差数列及分析推证法探求.试题解析：（1）证明:依题意，,从而, 又,所以是首项为，公比为的等比数列 .（2）①由（1）得，等比数列的前项为, 则,解得, 从而, 且, 解得,所以.②假设存在满足题意的集合,不妨设, 且等差数列, 则, 因为, 所以①若, 则,结合①得, , 则, 化简得,, ②因为, 不难知,这与②矛盾，所以只能,同理, 所以为数列的连续三项，从而,即,又.故,又，故，这与矛盾，所以假设不成立，从而不存在满足题意的集合.【考点】等差数列等比数列及推理论证的能力等有关知识的综合运用.6.已知函数.（1）求的单调区间；（2）若在上的最大值是，求的值；（3）记,当时，若对任意，总有成立，试求的最大值.【答案】（1）增区间；减区间；（2）；（3）.【解析】（1）借助题设条件运用导数的知识求解；（2）借助题设运用分类整合思想探求；（3）借助题设构造函数,运用导数的有关知识分析探求.试题解析：（1）的定义域是..当时，,故在上是增函数;当时，令，则（舍去）; 当时，,故在上是增函数;当时，,故在上是减函数.（2）①当时，在上是增函数; 故在上的最大值是,显然不合题意. ②若, 即时, ,则在上是增函数，故在上的最大值是,不合题意，舍去.③若, 即时，在上是增函数，在上是减函数，故在上的最大值是, 解得，符合.综合①、②、③得:.（3）, 则,当时，,故时，当在上是减函数，不妨设，则，故等价于，即，记，从而在上为减函数，由得:,故恒成立，，又在上单调递减，,.故当时，的最大值为.【考点】分类整合思想化归转化思想及导数的知识等有关知识的综合运用.【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题的第一问是直接求导,运用导数与函数单调性的关系求出单调区间使得问题获解；第二问则利用题设中的最值运用导数知识逆向分析推证求出参数的取值范围；第三问则运用等价转化的数学思想将问题转化为不等式恒成立的问题,从而使得问题简捷巧妙获解.。

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