弹塑性问题有限元分析

为关联塑性流动，则Q就是屈服函数，即
Q( ij ) F ( ij )
当材料从一个塑性状态出发是继续塑性加载还是弹性卸载，通过以下
关系来判断：
如果F=0，并且 Q ij
d ij＞0，则继续塑性加载
如果F=0，并且 Q
ij
d ij＜0
，则继续弹性卸载
如果F=0，并且Qij d ij＝0 ，则对于理想弹塑性材料 是塑性加载，对于硬化材料，此情况为中性变载，即继续为塑性状态，
I1 1 2 3
I2 1 2 2 3 31(2)
I3 1 2 3
基于主应力空间，由等倾面组成的八面体的平面上的正应力和剪应力具有
一些特殊的性质。
设某一点的应力状态为 ij ，其中三个主应力为 1、 2、 3 ，并且1＞ 2＞ 3
如果坐标轴与主方向重合，则应力不变量如式（2）
设该点有一斜面的应力矢量为p，它与 ij 保持平衡，该斜面的法线n的方
向为p余1 弦 为1nnxx、, pn2y、nz ，2n由y , 合p3 力 平3衡nz 可，以于得是到该p面在上坐的标与轴p方等向价的的三正个应投力影分n 和别剪
应力 n 的关系为：
2 n
p2
n2
2 1
nx
22ny
32nz
nz nz
xz yz
0 0
nx zx
ny zy
nz ( zz
n)
0
这是关于nx , ny , nz的齐次线性方程组，其非零解的条件为行列式
等于零
展开可得：
n3
I1
2 n
I 2
n
I3
0(1)
其中
I1 xx yy zz
I2
xx
yy
xx zz
zz
yy
xy2
2 yz
2 zx
px xxnx yxny zxnz
同理可得
py yyny yxnx yznz pz zz nz zxnx zyny
px nx n , py ny n , pz nz n
代入上式可得：
nx ( xx n ) ny xy nx yz ny ( yy n )
px nx n , py ny n , pz nz n
其中 nx , ny , nz 为斜面外法线n的方向 余弦
△ABC △S △BOC nx△S △COA ny△S △AOB nz△S
由 Fx 0
px△S xxnx△S yxny △S zxnz △S Fx△V 0
当OABC P :
2、材料塑性行为的屈服准则 该准则用来确定材料产生的屈服时的临界应力状态。大量实
验表明：多数材料的塑性屈服与静水压力无关，对于复杂应力状 态，由等倾面组成的八面体上的正应力恰好就是静水压力。 这里说明下何为静水压力：
对于空间中的一个斜面的力进行分解
如左图，微小体元的一个斜面ABC， 其外法线上的为n，设该斜面上的剪 应力为零，则该斜面上只有正应力， 其方向沿着n 法线n，沿着坐标轴三个 方向的分解为
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xx xy xz
I3 xy
yy
yz
xz yz zz
式（1）是关于 n 的三次方程，它的三个根，即为3个主应力。
在给定的应力状态下，由于物体内任一点的主应力不会随着坐标 系的改变而改变，所以 I1、I2、I3 也不会随着坐标系而改变，称 I1、I2、I3 分别为第一，第二，第三应力张量不变量。当坐标轴与主应力方 向重合，则应力不变量可以写成下式：
谢谢观赏
但不发生新的塑性流动
4、塑性强化准则 该准则用来描述屈服面是如何改变的，以确定后续屈服面的新 状态，一般可以有几种模型： 等向强化模型 随动强化模型 混合强化模型 5、材料塑性行为的模型 基于以上准则，在根据各种材料的应力应变曲线、经过归纳和 分类给出以下几种典型的描述材料弹塑性行为的模型 （1）、双线性Bauschinger随动强化 （2）、多线性Bauschinger随动强化 （3）、双线性等向强化 （4）、多线性等向强化 （5）、非等向强化 （6）、Drucker-Prager模型 所谓Bauschinger效应为反向屈服点到卸载点的数值为 2 yd 。
n 1/ 3(1 2 3（) 5）
又为等倾面八面体
若要得到（5）, 根据（4）可得：
nx ny nz 1/ 3
该八面体上的切应力为
8
1 3
( xx
yy )2
(
yy
zz )2
(
zz
xx )2
6(
2 xy
2 yz
2 xz )
它是决定材料是否屈服的力学参量，因此初始屈服条件为
8 yd
弹塑性问题的有限元分析
专硕-
1
材料的弹塑性行为实验
2
材料塑性行为的屈服准则
3
材料塑性行为的流动法则
4
材料塑性行为的强化准则
5
材料塑性行为的模型
研究弹塑性问题的关键在于物理方程的处理。下面主要讨论小 变形情形下的弹塑性问题。
1、材料的弹塑性行为实验
典型的材料性能实验曲线是通过标准试样的单向拉伸与压缩获 得的，如下图所示
eq yd 将等效应力写成更一般的形式，有
eq
f（
）
ij
则屈服函数为
F（ ij） f ( ij ) yd 0 各种屈服面函数详情可见P319
3、塑性流动法则 该法则用来确定塑性应变分量在塑性变化时的大小和方向，相应的分 量沿着一个势函数的法线方向增长即：
d ij pl
Q ij
其中 dij pl为塑性应变增量， 为塑性增长乘子，Q为塑性势函数，若
其中 yd 为临界屈服剪应力，将由实验来确定，一般通过单拉实
验获得，由于单拉实验获得的是临界屈服拉应力 yd ，所以通过
以下关系来换算：
如果定义等效应力为
eq
3 2
y
d
yd
2 3
yd
1 2
(
xx
yy )2
(
yy
zz
)2
(
zz
xx )2
6(
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2 xy
2 yz
2 xz )
则初始屈服条件可以写成
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n（ 2 3）
由于
n p1nx p2ny p3nz 1n2 x 2n2 y 3n2（ z 4）
由（3）、（4）可得 :
n
2 1
n
2
x
22n2 y
32n2z
( 1n2 x
2n2 y
3n2z )2
由于静水压力是三个主应力的平均值，也就是说在该斜面上，其 正应力为
弹性 极限
应 力
加 载
卸 载
塑性应变 弹性应变
断裂 应变
在实际结构中，真实的情况是材料处于复杂 的受力状态，ij 即中 的各个分量都存在，如何基 于材料的单拉应力-应变实验曲线，来描述复杂 应力状态下材料的真实弹塑性行为，就必须涉及 屈服准则、塑性流动法则、塑性强化法则这三个 方面的描述，有了这三个方面的描述就可以完全 确定出复杂应力状态下材料的真实弹塑性行为