弹塑性问题有限元分析
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弹塑性有限元法
第六章 弹塑性有限元法
当变形体同时存在大的弹性和塑性变形时，必 须采用弹塑性力学进行分析，相应的有弹塑性 有限元法，其较一般弹性有限元复杂得多。
1、塑性区中应力与应变之间为非线性关系，非线性问 题求解 — 增量法；
2、应力与应变关系不是一一对应的，加载与卸载关系 不同，必须判断是加载还是卸载状态；
3、多种材料硬化模型产生不同的有限元计算公式；
K u Q 非线性方程组
方程组
求解
与ij 有关
与ij 有关
u tt u t uu
和
三、弹塑性有限元处理的技术问题
1、加载增量步长的选定
计算精度与收敛性
加载的增量步长
tt P t P rmin P
增量步终止载荷
初始设定载荷增量
初始载荷 载荷约束因子
2、变形区弹塑性状态的判定
弹塑性变形过程中，变形体内部可能同时存在弹 性区、过渡区、塑性加载区和塑性卸载区等四种不同 状态的区域和单元，计算时必须分别进行处理。
x xy y xy z xy 2
xy
x yz y yz z yz xy yz 2
yz
x y
zx zx
z xy
zx zx
xy zx 2
zx
二、弹塑性有限元方程
由于 非线性的应力应变关系，只能按照增量法求解。
在小变形条件下，对t到t+Δt时刻的增量步进行 分析。设变形体为各向同性硬化材料、且服从Mises 屈服条件和Prandtl – Reuss方程的本构关系，并设t 时刻的变形条件为：单位体积的体积力为tpi；作用 在边界表面ST上的单位面积力为tTi；任一质点的位
移为tui，应变为tij，应力为tij。现以t时刻的变形为
当变形体同时存在大的弹性和塑性变形时，必 须采用弹塑性力学进行分析，相应的有弹塑性 有限元法，其较一般弹性有限元复杂得多。
1、塑性区中应力与应变之间为非线性关系，非线性问 题求解 — 增量法；
2、应力与应变关系不是一一对应的，加载与卸载关系 不同，必须判断是加载还是卸载状态；
3、多种材料硬化模型产生不同的有限元计算公式；
K u Q 非线性方程组
方程组
求解
与ij 有关
与ij 有关
u tt u t uu
和
三、弹塑性有限元处理的技术问题
1、加载增量步长的选定
计算精度与收敛性
加载的增量步长
tt P t P rmin P
增量步终止载荷
初始设定载荷增量
初始载荷 载荷约束因子
2、变形区弹塑性状态的判定
弹塑性变形过程中，变形体内部可能同时存在弹 性区、过渡区、塑性加载区和塑性卸载区等四种不同 状态的区域和单元，计算时必须分别进行处理。
x xy y xy z xy 2
xy
x yz y yz z yz xy yz 2
yz
x y
zx zx
z xy
zx zx
xy zx 2
zx
二、弹塑性有限元方程
由于 非线性的应力应变关系，只能按照增量法求解。
在小变形条件下，对t到t+Δt时刻的增量步进行 分析。设变形体为各向同性硬化材料、且服从Mises 屈服条件和Prandtl – Reuss方程的本构关系，并设t 时刻的变形条件为：单位体积的体积力为tpi；作用 在边界表面ST上的单位面积力为tTi；任一质点的位
移为tui，应变为tij，应力为tij。现以t时刻的变形为
弹塑性力学土木工程应用有限元ABAQUS分析课件
A
A0
l0 l
l 0 未变形的长度 A 0 未变形的平面面积
FF l
A A0 l0
nom(ll0)
nominal
n o m 名义应力
真实应力
弹塑性力学土木工程应用 有限元ABAQUS分析
名义、真实应力（变） 名义应变，每单位未变形长度的伸长。
noml0l
ll0 l0
l l0
1
l l0
1 nom
塑性性能的材料实验数据，提供的应变包括塑性应变和弹性应 变，是材料的总体应变。所以总体应变分解为弹性和塑性应变两 项。
弹性应变等于真实应力与弹性模量的比值。
t pl el
el / E
p lte lt/E
p l 真实塑性应变
t 总体真实应变
弹塑性力学土木工程应用 有限元ABAQUS分析
l0d lllnll0
lnl lnl0l
l0
l0
nom
l l0
lnl0 l0lln1nom
弹塑性力学土木工程应用 有限元ABAQUS分析
名义、真实应力（变） 真实应力与名义应力的关系
nom(1nom)
真实应变与名义应变的关系
ln1nom
弹塑性力学土木工程应用 有限元ABAQUS分析
名义、真实应力（变）
弹塑性力学的发展
早期 精确算法 线性问题
如今 数字分析法 非线性问题
实际的需要，软件应用计算 ANSYS、ABAQUS
弹塑性力学土木工程应用 有限元ABAQUS分析
PART.02
名义应力（变）与真实应力（变）
弹塑性力学土木工程应用 有限元ABAQUS分析
名义、真实应力（变）
在ABAQUS中必须 用真实应力和真实应 变定义塑性。
基于有限元的弹塑性裂纹数值分析
就 属 于 大 范 围屈 服断 裂 问 题 。 此 时 线弹 般 脆 性 金属 材 料 ， 如 铸 铁 等 在裂 纹 扩 展 前 ， 其 端部 都 将 出现 甚 至 超 过 裂 纹 本 身 的尺寸， 个 塑性 区 。 当此 塑性 区 尺寸 很 小 ， 即远 小 于 裂 纹 时 ， 线 弹性 断 裂 性 断 裂力 学理 论 已 不再 适用 ， 用 应 力强 度 因子衡 量 裂 尖 应 力场 强度 这 种 塑性 变形 占较 大 比 重 的断 裂问 题 就要 用弹 塑性 断 力 学 仍 有 足够 的 精度 。 此 类 断 裂 称 为小 范 围屈 服 断 裂 ， 可 以 采 用 对 将 失 去意 义 。 目前广为应 用的 是 Ｃ ＯＤ 原理． Ｊ 积分 理论 等方 法… 。 线 弹 性 力学 导 出的 应 力 强 度 因子 进行 修正 的 方 法 来 处 理 。 然 而 对 裂 理论 来 解决 ，
！
Ｑ ： §
工 程 技 术
Ｓｃ ｉ ｅ ｎｃｅ ａｎ ｄ Ｔｅｃ ｈ ｎｏ ｌ ｏ ｇｙ Ｉ ｎ ｎｏ ｖａｔ ｉ ｏｎ Ｈｅｒ ａｌ ｄ
基于 有 限 元的弹 塑 性 裂纹 数 值分 析
邢文金 （ 吉林大学机械工程 学院 吉林长春
１ ３ ０ ０ ０ ０ ）
摘 要 ： 在 线弹性断裂力学和Ｄ － Ｍ 模型的基础上 ， 推导出了 受单向拉仲含 中心穿透裂纹的理 想弹塑性材料Ｊ 积分的解析式－ 通过Ａ Ｎ Ｓ Ｙ Ｓ 对弹塑 性Ｊ 积分进行数值计算， 与推导 出的解析解此较 ， 表明 了 用 有限元方法计算弹塑性Ｊ 积分具有相当高的精度； 分析 了 Ｊ 积分与裂纹 初始 长度及 外荷 或的关系， 对理想弹塑性 材料塑性区大小进行 了 探讨， 结果表明， 塑性 区尺寸随外荷戴增大而增大， 并且外荷裁接近屈服应 力时， 裂纹塑性区尺
塑性成形过程中的有限元法
塑性成形过程中的有限元法金属塑性成形技术是现代化制造业中金属加工的重要方法之一。
它是金属材料在模具和锻压设备作用下发生变形，获得所需要求的形状、尺寸和性能的制件的加工过程。
金属成形件在汽车、飞机仪表、机械设备等产品的零部件中占有相当大的比例。
由于其具有生产效率高，生产费用低的特点，适合于大批量生产，是现代高速发展的制造业的重要成形工艺。
据统计，在发达国家中，金属塑性成形件的产值在国民经济中的比重居行业之首，在我国也占有相当大的比例。
随着现代制造业的快速发展，对塑性成形工艺分析和模具设计提出了更高的要求。
如果工艺分析不完善、模具设计不合理或选材不当，产品将不符合质量要求，导致大量不良品和废品，增加模具的设计制造时间和成本。
为了防止缺陷，提高产品质量，降低产品成本，国内外许多大公司、企业、高校和研究机构对塑料成型件的性能进行了大量的理论分析、实验研究和数值计算，通过对成形过程中应力应变分布及变化规律的研究，试图找出各零件在产品成形过程中遵循的共同规律和机械失效所反映的共同特征。
由于影响塑性成形过程的因素很多，一些因素，如摩擦和润滑、变形过程中材料的本构关系等，还没有被人们充分理解和掌握。
因此，到目前为止，还无法对各种材料和形状零件的成形过程做出准确的定量判断。
由于大变形机理非常复杂，塑性成形研究领域一直是一个充满挑战和机遇的领域。
一般来说，产品研究与开发的目标之一就是确定生产高质量产品的优化准则，而不同的产品要求不同的优化准则，建立适当的优化准则需要对产品制造过程的全面了解。
如果不掌握诸如摩擦条件、材料性能、工件几何形状、成形力等工艺参数对成形过程的影响，就不可能正确地设计模具和选择加工设备，更无法预测和防止缺陷的生成。
在传统工艺分析和模具设计中，主要还是依靠工程类比和设计经验，经过反复试模修模，调整工艺参数以期望消除成形过程中的产品缺陷如失稳起皱、充填不满、局部破裂等。
仅仅依靠类比和传统的经验工艺分析和模具设计方法已无法满足高速发展的现代金属加工工业的要求。
弹塑性力学与有限元-应变分析
位移—由于外部因素如载荷或温度 变化,物体内部各点空间位置发生的 变化 ；
如果各点的位移完全相同，物体发 生刚体平移；如果各点的位移不同， 但各点间的相对距离保持不变，物 体发生刚体转动等刚体移动；
《弹塑性力学与有限元》
应变分析
应变—位移关系
连续体内如果各点(或部分点）间的相对距离发生变化， 则物体发生了变形，这时的位移是变形体位移。此物体 被称为有变形或有应变。
《弹塑性力学与有限元》
应变分析
主应变和主剪应变
I1 x y z
I 2
x y
y z
z x
2 xyБайду номын сангаас
2 yz
2 zx
x
y
y
z
z
x
1 4
(
2 xy
2 yz
2 zx
)
I
3
x
y z
2 xy yz zx
(
x
2 yz
y
2 zx
z
2 xy
)
x
y z
1 4
xy
yz
zx
1 4
(
x
2 yz
个 Mohr圆一起沿 轴平移一个距离
，该距离等于所叠加的静水应力，
O P3 O M P2 s3
P1
并不改变Mohr圆的大小。
➢ τ轴的位置与屈服及塑性变形无关 ，决定屈服与塑性变形的只是Mohr 圆本身的大小。
m
s2
s1
图 3-4
《弹塑性力学与有限元》
应力分析
应力的Mohr圆
若将τ轴平移到O' ，并使
应变分析
应变—位移关系(几何方程)
同理可得另外两个剪应变 xy， yz ,即有剪应变的表达式:
如果各点的位移完全相同，物体发 生刚体平移；如果各点的位移不同， 但各点间的相对距离保持不变，物 体发生刚体转动等刚体移动；
《弹塑性力学与有限元》
应变分析
应变—位移关系
连续体内如果各点(或部分点）间的相对距离发生变化， 则物体发生了变形，这时的位移是变形体位移。此物体 被称为有变形或有应变。
《弹塑性力学与有限元》
应变分析
主应变和主剪应变
I1 x y z
I 2
x y
y z
z x
2 xyБайду номын сангаас
2 yz
2 zx
x
y
y
z
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x
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(
2 xy
2 yz
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I
3
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y z
2 xy yz zx
(
x
2 yz
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2 zx
z
2 xy
)
x
y z
1 4
xy
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zx
1 4
(
x
2 yz
个 Mohr圆一起沿 轴平移一个距离
，该距离等于所叠加的静水应力，
O P3 O M P2 s3
P1
并不改变Mohr圆的大小。
➢ τ轴的位置与屈服及塑性变形无关 ，决定屈服与塑性变形的只是Mohr 圆本身的大小。
m
s2
s1
图 3-4
《弹塑性力学与有限元》
应力分析
应力的Mohr圆
若将τ轴平移到O' ，并使
应变分析
应变—位移关系(几何方程)
同理可得另外两个剪应变 xy， yz ,即有剪应变的表达式:
弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
流体动力学
用于模拟流体流动和传热问题 ，如流体机械、航空航天和化 工等领域。
电磁场
用于分析电磁场问题和电气设 备性能，如电机、变压器和天 线等。
声学
用于模拟声音传播和噪声控制 问题，如声学器件和声学环境
等。
04 弹塑性有限元法的基本原 理
弹塑性有限元法的离散化方法
有限元离散化
将连续的物理场或结构体离散为有限个小的单元体， 每个单元体之间通过节点相互连接。
结构强度分析的模拟
结构强度评估
通过弹塑性有限元法模拟，可以对结构的强度进行评估，预测结构在不同载荷下的响应， 确保结构的安全性和稳定性。
疲劳寿命预测
利用弹塑性有限元法，可以模拟结构的疲劳载荷历程，预测结构的疲劳寿命，为结构的维 护和更换提供依据。
结构优化设计
通过模拟结构的应力分布和变形，可以优化结构设计，降低结构重量，提高结构效率。
边界条件和初始条件
在平衡方程中考虑边界条件和初始条件，以确保模拟的准确性和收 敛性。
弹塑性有限元法的边界条件和初始条件
边界条件的处理
01
根据实际情况，将边界条件转化为节点约束或单元载荷的形式。
初始条件的设置
02
在非稳态问题中，需要考虑初始条件的设置，以模拟问题的初
始状态。
边界条件和初始条件的实施
03
随着计算机技术的不断发展，弹塑性 有限元法在各个工程领域中得到了广 泛应用，如机械、航空航械设计中，弹塑性有限元法可用于分析各种复杂结构 的应力分布、变形和疲劳寿命等，提高产品的可靠性和安 全性。
航空航天
在航空航天领域，弹塑性有限元法可用于分析飞行器结构 在各种载荷下的响应，优化结构设计，提高飞行器的性能 和安全性。
用于模拟流体流动和传热问题 ，如流体机械、航空航天和化 工等领域。
电磁场
用于分析电磁场问题和电气设 备性能，如电机、变压器和天 线等。
声学
用于模拟声音传播和噪声控制 问题，如声学器件和声学环境
等。
04 弹塑性有限元法的基本原 理
弹塑性有限元法的离散化方法
有限元离散化
将连续的物理场或结构体离散为有限个小的单元体， 每个单元体之间通过节点相互连接。
结构强度分析的模拟
结构强度评估
通过弹塑性有限元法模拟，可以对结构的强度进行评估，预测结构在不同载荷下的响应， 确保结构的安全性和稳定性。
疲劳寿命预测
利用弹塑性有限元法，可以模拟结构的疲劳载荷历程，预测结构的疲劳寿命，为结构的维 护和更换提供依据。
结构优化设计
通过模拟结构的应力分布和变形，可以优化结构设计，降低结构重量，提高结构效率。
边界条件和初始条件
在平衡方程中考虑边界条件和初始条件，以确保模拟的准确性和收 敛性。
弹塑性有限元法的边界条件和初始条件
边界条件的处理
01
根据实际情况，将边界条件转化为节点约束或单元载荷的形式。
初始条件的设置
02
在非稳态问题中，需要考虑初始条件的设置，以模拟问题的初
始状态。
边界条件和初始条件的实施
03
随着计算机技术的不断发展，弹塑性 有限元法在各个工程领域中得到了广 泛应用，如机械、航空航械设计中，弹塑性有限元法可用于分析各种复杂结构 的应力分布、变形和疲劳寿命等，提高产品的可靠性和安 全性。
航空航天
在航空航天领域，弹塑性有限元法可用于分析飞行器结构 在各种载荷下的响应，优化结构设计，提高飞行器的性能 和安全性。
第四章__弹塑性有限元法基本理论与模拟方法讲解
Pi( k ) P(k 1) Pi(k )
q
(k ) 1
k) (k ) qi( k ) qi( q 1 i
q(k )
q( k 1)
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
(3) 所有载荷段循环，并将结果进行累加
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
4.2 材料非线性问题及分类
为了与初始屈服应力相区别，我们称之为后继屈服应力。 与初始屈服应力不同，它不是一个材料常数，而是依赖 于塑性变形的大小和历史。 后继屈服应力是在简单拉伸下，材料在经历一定塑性变形 后再次加载时，变形是按弹性还是塑性规律变化的界限。
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法 第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
F
ห้องสมุดไป่ตู้ nom
s0
F nom A0 L nom L0
L
nom
s0
nom (1 nom ) p e ln(1 nom ) E
x1 x x 2 , xn
F(x)=0
f1 (x) f ( x) F ( x) 2 , f n ( x)
0 0 0 0
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法 第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
和简单应力状态相似，材料在复杂应力状态下同样 存在初始屈服和后继屈服的问题。
材料在复杂应力状态下，在经历初始屈服和发生塑性 变形后，此时卸载，将再次进入弹性状态（称为后继弹 性状态）。
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法 第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
塑性材料的有限元分析
针对复杂材料和结构，需要深入研究材料的非线 性行为和多场耦合效应，建立更加完善的物理模 型和数值算法。
此外，应加强与实验研究的结合，通过实验验证 和修正有限元模型，提高模拟结果的可靠性。同 时，实验研究也能够为有限元分析提供更加真实 和全面的材料性能数据。
THANK YOU
03
有限元分析方法
有限元分析的基本原理
离散化
将连续的物理系统离散为有限个小的单元，每个 单元称为有限元。
近似解法
通过数学方法求解每个有限元的近似解，再通过 组合所有有限元的解得到整个系统的近似解。
平衡方程
建立每个有限元的平衡方程，通过求解平衡方程 得到每个节点的位移和应力。
有限元分析的实现过程
然而，塑性材料的有限元分析仍存在 一些挑战和限制，如模型的简化、边 界条件的确定、材料参数的获取等， 需要进一步研究和改进。
研究展望
未来研究应致力于发展更加精确和高效的有限元 分析方法，提高模拟结果的可靠性和精度。
在实际工程应用中，应加强有限元分析与其他数 值方法（如边界元、有限体积等）的结合，实现 优势互补，提高计算效率。
塑性变形的微观机
制
塑性变形是通过位错的滑移和攀 移等微观机制实现的，这些机制 在宏观上表现为塑性变形。
塑性变形的温度效
应
温度对塑性变形的影响较大，温 度升高会使材料的屈服强度降低， 塑性变形能力增强。
塑性变形的加工硬
化
在塑性变形过程中，材料的屈服 强度会随着变形程度的增加而逐 渐提高，这种现象称为加工硬化。
背景
随着计算机技术的不断发展，有限元分析已成为工程领域中解决复杂问题的常 用方法。通过有限元分析，可以模拟材料的变形、应力分布、应变等，为实际 工程提供重要的理论依据。
ABAQUS弹塑性有限元分析简介
行业现状
弹塑性分析具体的技术条件没有规范，尴尬！ 隔震新规范编写，初衷突破抗规各种内力调整，无法推进， 不得不走抗规的老路！ 与弹塑性息息相关
混凝土剪力墙的弹塑性 分析，学术界未能搞清， 工程界不可能形成共识！
ABAQUS的工程应用价值
定性判断，对结构规则性把握，蛮有参考价值
第二篇：有限元与弹塑性 分析简介
n n
0 M2 0 0
0 0 0
0 0 0 Mn
ψ M Φ ψ M Φ C Ci ψi i ψi
i 1 i 1 T
由振型组合而得
阻尼力，由[C]乘以上 一步速度而得
2 1 M δ M δt t t 2 2 t t
有限元基本原理
静力平衡方程：
K δ F
动力平衡方程：
Mδ Cδ K δ F
式中， C M K
T
Rayleigh阻尼 振型阻尼
C MΦζΦ M T K B DB d
方法对结构整体或局部进行验算
混凝土结构设计流程
1. 有限元弹性计算 2. 内力调整
弹性计算时，忽略钢筋作用， 取混凝土拉压均为弹性。 该假设粗糙，但可行。
3. 采用平截面假定，考虑材料弹塑性，配筋设计 4. 复杂结构采用弹塑性补充验算
b
以构件为研究对象
ec
f
xn
Mu
As
h0
h
es
a
f
杆系结构分析方法
Bs
2 Es As h0
6 E 1.15 0.2 1 3.5g f
第五篇：构件的有限元模拟
梁单元——梁、柱、斜撑
对于实际工程中各种组合截面，比如型钢混凝土柱，可采用 同一位臵处设多个单元来等代实现。各个单元具有相同的节 点码编号，分别对应于组合截面的某一子截面。 至于配筋，在梁单元的同一位臵处，设有方钢管梁单元。其 中，方钢管的边长取梁的边长，钢管的壁厚由梁构件各侧配 筋面积除以边长而得。
弹塑性力学与有限元：2 力学位移和应变分析T
O
x u u dx
x
u
u x
dx
u
dx
u x
PB的正应变：
u
P
dx
v P A
dy
x v v dx
x
y
v
v y
dy
dy
v
v y
P点的剪应变：
y
v v dy y
B
A
B
u u dy
P点两直角线v 段夹v角d的x 变 v化
tan
x dx u dx
xy
v x
u x
u
u
x dy
u
tan
y dy v dy
符号规定：u,v,w与坐标轴正方向一致为正，相反为负。
考虑外力作用下的两种状态： 平衡状态：M点只随位置变化，不随时间变化；位移分量（u,v,w）只随位置变化， 不随时间变化。 运动状态： M点不仅随位置变化，而且随时间变化；位移分量（u,v,w）随位置和 时间变化而变化。
本章仅考虑平衡状态。
根据连续性假设，物体上任一点M，当物体变形后， 都一一对应于相应的点M’；
考察P点邻域内线段的变形：
PA dx dy
y
u
P
dx
x u u dx x
v P A
dy
v v dx x
B
A
变形前 P
A
变形后
P
u v
v v dy y
B
u u dy y
u u dx x
A v v dx B
x
u u dy
B
y v v dy
y
注：这里略去了二阶以上高阶无穷小量。
PA的正应变：
弹塑性力学基础与有限元分析-接触分析实例
06
结论与展望
结论
1
本文通过理论分析和有限元模拟，深入研究了弹 塑性力学基础与有限元分析在接触分析中的应用。
2
研究结果表明，弹塑性力学基础与有限元分析在 接触分析中具有较高的精度和可靠性，能够有效 地模拟复杂接触问题。
3
本文所采用的有限元分析方法在处理接触问题时 具有较好的通用性和扩展性，为进一步研究复杂 接触问题提供了有力支持。
弹塑性本构模型
弹塑性本构模型的定义
弹塑性本构模型是描述弹塑性材料力学行为的数学模型，它通过应力应变关系来描述材料的弹塑性行 为。
常见的弹塑性本构模型
常见的弹塑性本构模型包括Mohr-Coulomb模型、Drucker-Prager模型、Cam-Clay模型等。这些模 型在描述材料的弹塑性行为方面各有特点，适用于不同的材料和工程问题。
接触面完全贴合，无相对运动。
滑动状态
接触面部分贴合，存在相对运动。
混合状态
接触面同时存在分离、粘结和滑动。
接触检测与跟踪
初始接触检测
确定初始状态下接触面的位置和状态。
接触状态跟踪
实时监测接触面的运动状态和相互作用。
接触面更新
根据接触状态调整接触面的几何形状和参数。
接触刚度与阻尼
1 2
接触刚度
描述接触面间的相互作用力与相对位移的关系。
求解阶段主要进行有限元 方程的求解，得到各节点 的位移和应力等结果。
ABCD
前处理阶段主要完成有限元 模型的建立和网格划分，为 求解阶段提供输入数据。
后处理阶段主要对求解结果进 行可视化、分析和评估，为工 程设计和优化提供依据。
04
接触分析原理
接触状态描述
分离状态
弹塑性问题有限元分析讲述
nz nz
xz yz
0 0
nx zx
ny zy
nz ( zz
n)
0
这是关于nx , ny , nz的齐次线性方程组，其非零解的条件为行列式
等于零
展开可得：
n3
I1
2 n
I 2
n
I3
0(1)
其中
I1 xx yy zz
I2
xx
yy
xx zz
zz
yy
xy2
2 yz
2 zx
设该点有一斜面的应力矢量为p，它与 ij 保持平衡，该斜面的法线n的方
向为p余1 弦 为1nnxx、, pn2y、nz ，2n由y , 合p3 力 平3衡nz 可，以于得是到该p面在上坐的标与轴p方等向价的的三正个应投力影分n 和别剪
应力 n 的关系为：
2 n
p2
n2
2 1
nx
22ny
32nz
px nx n , py ny n , pz nz n
其中 nx , ny , nz 为斜面外法线n的方向 余弦
△ABC △S △BOC nx△S △COA ny△S △AOB nz△S
由 Fx 0
px△S xxnx△S yxny △S zxnz △S Fx△V 0
当OABC P :
弹性 极限
应 力
加 载
卸 载
塑性应变 弹性应变
断裂 应变
在实际结构中，真实的情况是材料处于复杂 的受力状态，ij 即中 的各个分量都存在，如何基 于材料的单拉应力-应变实验曲线，来描述复杂 应力状态下材料的真实弹塑性行为，就必须涉及 屈服准则、塑性流动法则、塑性强化法则这三个 方面的描述，有了这三个方面的描述就可以完全 确定出复杂应力状态下材料的真实弹塑性行为
边坡稳定的弹塑性有限元分析法探讨
１强度折减 弹塑性 有限元 法分 析边坡 稳定性 的原理
ｌ Ｔ ｄ ｓ Ｓ Ｎ
ｌ
—
３ 强度 折减弹塑 性有 限元 分析高 边坡的模型
本文将岩体高边坡问３ ． １有限元 模型
４ 边坡破 坏状态 的确定 ２ 对边坡 进行强度 折减弹 塑性有 限元分析 时 ，边坡 的稳 定 Ｉ通常采 用 生 解 的不 收敛 陛作为破 坏标准 。在 最大迭 代次数 内 ， 如果计算 不能收 敛 ， 就 意 味着没有 发现 同时既 能满足破 坏准 则又 能满足 整体 平衡 的应力 分布 ，
科 技 论 坛
・１ ５・
边坡稳 定 的弹塑性有 限元 分析 法探讨
申 启 飞 ’ 夏 正 兵
（、 １ 紫琅 职 业技 术 学 院 ， 苏 南通 ２ ６ ０ ２ 南通 市广 播 电视 大 学 ， 苏 南通 ２ ６ ０ ） 江 ２０ ０ 、 江 ２０ ０
摘
要： 强度折减有 限元分析 法， 最早由 Ｇ ｉ ｈ 等提 出。 ｒ ｓ ￣ｔ 在我 国， 郑颖人 等将其称 为“ 强度折减法” 这种 方法分析边坡稳定性 问题 的 。
基 本 思 想 与传 统 的 极 限 平 衡 方 法 一 致 ， 可称 之 为 强 度储 备 安 全 系数 法 。 均
关键词 ： 强度折减 ； 有限元分析 ； 安全
位置 和形状 。 基于强度 折减理 论 的有 限元法 分析边 坡稳 定 『 生的基本 原理 ， 边 是将 研究发现， 陛参数 Ｅ和 的值虽然对｛ 弹 坡岩 体 的实际强 度参 数 ｃ ｔ 值 同 时除 以一个 折 减 系数 得 到一 组 影响 ， 、ｎ ａ 但对分析边坡的稳定数安全系数的影响却很小， 故具体边坡的分析 时， Ｅ和 的取值可粗略些。岩体的重度 ７ 对 是用于计算节点自重荷载 折减后的新的 ｃａ￣值 ， ＇ｎ’ 即 ｔ ｃ， 一 — ｃ ， 的。廿｜的自重荷载与岩石的重度是成正比的。岩体的抗剪强度参数计 ： ａｃａ （ ｒ ｔｎ— ｔｎ ） ａ ‰ （ 算时采用有效指标 ｃ １ ） 和 。当 取值偏大， Ｃ 或 和 的取值偏小时， 计算 然后将折减后的Ｃ 、 值作为新 的材料参数代人有限元进行试 的边坡 安全系数 是偏大 的。 与传统的极限平 祛 Ｉ 坡的稳定 陛问题一样 ，强度折减有限元 ｊ 算。当有限元计算收敛时， 取 稍大一些后再试算， 直到有限元计算不 收敛时为止。 当由于强度参数的折减而造 或有限元计算不收敛时 ， 说明此 分析中最重要的岩体参数是有效强度指标 Ｃ 、 和重度 。 时岩体达 到临界极 限状态 ， 发生剪切破 坏 。就 可得到 临界滑动 而 、 边坡 边 ３ ． ３岩体重力荷载的计算 坡的应力 、 和安全 系数 。 位移 在每—个单元 匕ｊ 由岩体 自 重产生的重力荷载 ｐ ） （ 按下面的积分式 ｅ 这种强度折减技术特别适合用有限元方法来实现 ， 适合于对理想弹 求得 ： 塑性岩体 的二 维平而 应变 问题 的分析 。 早在 １７ 年 Ｚｅｋｅ ｉ 就用此 ９５ ｉｎｉ ｃ ｗ ｅ ： １ ＝ ＝ 方法分析边坡稳定， 只是由于需要花费大量的机时而在具体应用中受到 限制 。后来 ， ｎ 给 出 了用 有 限元 方法 分析 边坡 稳定 性误 差 产生 的原 Ｗｏｇ 其中， 为单元而积，表示单元号。 Ｓ ｅ 这个积分结果是将每个单元的面 因。现在， 随着计算机的发展和有限元计算技术的提高， 强度折减有限元 积与岩体的重度的乘积作为单元重力荷载 ， 然后再分配到各个节点上。 法 正成 为 边坡 稳定 分 析研 究 的新 趋 势 。例如 ， ｇｉ 和 Ｍ ｔ Ｕ ａ等 ａｓ 以及 ｕ等 ４ 边坡的稳 定安全 系数的求解 方法 Ｄ ｗ ｏ 等都对 此做了进 一步的研究 。 ａ ｓｎ 传统的极限平衡法分析边坡稳定性时 ，最危险滑动而的准确搜索往 ２ 强度 折减弹塑性 有 限元 分析的基本 方法 往较为困难 。纯粹的数值分析方法如有限元法等， 通常也只能得出边坡 按增量理论， 岩体的弹塑ｌ 生应力一应变关系为： 应力 、 位移、 生区等， 塑ｌ 而无法直接得到边坡的安全系数。 强度折减技术与 ｛ ｏ｝ （ 一（一ｒ［ １ ｄ ） ｄ ＝ 【 ］ １ ） Ｄ Ｄ ） ｅ ｛ （ 有限元汁算方法的结合， ２ ） 则可以在计算边坡应力、 位移 、 塑性区的基础上 ， 式 中，Ｄ】 弹 Ｉ矩阵 ， 为 塑性矩 阵。 ［ 为 生 ［ 】 Ｄ 直接得 到边坡 的破 坏而特征和稳 定 Ｊ 生安全 系数 。 ４１强度折减 有 限元 分析法对 边坡安 全系数 的定义 『ｅ Ｉ ｌＤ】 Ｄ Ｉ ［。 Ｄ ｎａ 指 出 ， ｕ ｃｎ 边坡安 全系数 可以定义 为使边坡 刚好达 到临界破 坏状 ［ ｌ ＤＰ ： ｌ ｌ ｌ ！ 态时对岩体的剪切强度ｉ 折减的程度， 亍 即定义安全系数是岩体的实际 剪切强度与临界破坏时折减后的剪切强度的比值。按照强度折减理论 ， 当由于强度参数的折减而造成有限元计算不收敛时， 边坡发生剪切破坏 ， ｒ 按下式 计算 ： 则在此前最后一次收敛计算所对应 的强度参数的折减系数 即可定 ｒ＝一ｆ ／ 一 ） ｏ（ （ 义为边坡 的稳定 『安全 系数 即： ４ ） 生 式中， 为初始应力状态（ ｆ ｏ 弹性对 应的屈服函数值 为试探应力状态 ｃ 或 一 崖 寸 应的屈服函数。 ｒｌ 使用弹陛矩阵： ｒＯ 使用完全塑性 当 ＝ 时， 当 ＝ 时， － Ｌ １ ａ 矩阵： ＜＜ 时， 当０ ｒｌ 表示单元由弹性 向弹塑性状态过渡 ， 使用弹 一 塑性矩 式中，， 分别为在有限元计算的最后一次收敛计算所对应的强 ｃ、 阵。 度参数折减值。
ｌ Ｔ ｄ ｓ Ｓ Ｎ
ｌ
—
３ 强度 折减弹塑 性有 限元 分析高 边坡的模型
本文将岩体高边坡问３ ． １有限元 模型
４ 边坡破 坏状态 的确定 ２ 对边坡 进行强度 折减弹 塑性有 限元分析 时 ，边坡 的稳 定 Ｉ通常采 用 生 解 的不 收敛 陛作为破 坏标准 。在 最大迭 代次数 内 ， 如果计算 不能收 敛 ， 就 意 味着没有 发现 同时既 能满足破 坏准 则又 能满足 整体 平衡 的应力 分布 ，
科 技 论 坛
・１ ５・
边坡稳 定 的弹塑性有 限元 分析 法探讨
申 启 飞 ’ 夏 正 兵
（、 １ 紫琅 职 业技 术 学 院 ， 苏 南通 ２ ６ ０ ２ 南通 市广 播 电视 大 学 ， 苏 南通 ２ ６ ０ ） 江 ２０ ０ 、 江 ２０ ０
摘
要： 强度折减有 限元分析 法， 最早由 Ｇ ｉ ｈ 等提 出。 ｒ ｓ ￣ｔ 在我 国， 郑颖人 等将其称 为“ 强度折减法” 这种 方法分析边坡稳定性 问题 的 。
基 本 思 想 与传 统 的 极 限 平 衡 方 法 一 致 ， 可称 之 为 强 度储 备 安 全 系数 法 。 均
关键词 ： 强度折减 ； 有限元分析 ； 安全
位置 和形状 。 基于强度 折减理 论 的有 限元法 分析边 坡稳 定 『 生的基本 原理 ， 边 是将 研究发现， 陛参数 Ｅ和 的值虽然对｛ 弹 坡岩 体 的实际强 度参 数 ｃ ｔ 值 同 时除 以一个 折 减 系数 得 到一 组 影响 ， 、ｎ ａ 但对分析边坡的稳定数安全系数的影响却很小， 故具体边坡的分析 时， Ｅ和 的取值可粗略些。岩体的重度 ７ 对 是用于计算节点自重荷载 折减后的新的 ｃａ￣值 ， ＇ｎ’ 即 ｔ ｃ， 一 — ｃ ， 的。廿｜的自重荷载与岩石的重度是成正比的。岩体的抗剪强度参数计 ： ａｃａ （ ｒ ｔｎ— ｔｎ ） ａ ‰ （ 算时采用有效指标 ｃ １ ） 和 。当 取值偏大， Ｃ 或 和 的取值偏小时， 计算 然后将折减后的Ｃ 、 值作为新 的材料参数代人有限元进行试 的边坡 安全系数 是偏大 的。 与传统的极限平 祛 Ｉ 坡的稳定 陛问题一样 ，强度折减有限元 ｊ 算。当有限元计算收敛时， 取 稍大一些后再试算， 直到有限元计算不 收敛时为止。 当由于强度参数的折减而造 或有限元计算不收敛时 ， 说明此 分析中最重要的岩体参数是有效强度指标 Ｃ 、 和重度 。 时岩体达 到临界极 限状态 ， 发生剪切破 坏 。就 可得到 临界滑动 而 、 边坡 边 ３ ． ３岩体重力荷载的计算 坡的应力 、 和安全 系数 。 位移 在每—个单元 匕ｊ 由岩体 自 重产生的重力荷载 ｐ ） （ 按下面的积分式 ｅ 这种强度折减技术特别适合用有限元方法来实现 ， 适合于对理想弹 求得 ： 塑性岩体 的二 维平而 应变 问题 的分析 。 早在 １７ 年 Ｚｅｋｅ ｉ 就用此 ９５ ｉｎｉ ｃ ｗ ｅ ： １ ＝ ＝ 方法分析边坡稳定， 只是由于需要花费大量的机时而在具体应用中受到 限制 。后来 ， ｎ 给 出 了用 有 限元 方法 分析 边坡 稳定 性误 差 产生 的原 Ｗｏｇ 其中， 为单元而积，表示单元号。 Ｓ ｅ 这个积分结果是将每个单元的面 因。现在， 随着计算机的发展和有限元计算技术的提高， 强度折减有限元 积与岩体的重度的乘积作为单元重力荷载 ， 然后再分配到各个节点上。 法 正成 为 边坡 稳定 分 析研 究 的新 趋 势 。例如 ， ｇｉ 和 Ｍ ｔ Ｕ ａ等 ａｓ 以及 ｕ等 ４ 边坡的稳 定安全 系数的求解 方法 Ｄ ｗ ｏ 等都对 此做了进 一步的研究 。 ａ ｓｎ 传统的极限平衡法分析边坡稳定性时 ，最危险滑动而的准确搜索往 ２ 强度 折减弹塑性 有 限元 分析的基本 方法 往较为困难 。纯粹的数值分析方法如有限元法等， 通常也只能得出边坡 按增量理论， 岩体的弹塑ｌ 生应力一应变关系为： 应力 、 位移、 生区等， 塑ｌ 而无法直接得到边坡的安全系数。 强度折减技术与 ｛ ｏ｝ （ 一（一ｒ［ １ ｄ ） ｄ ＝ 【 ］ １ ） Ｄ Ｄ ） ｅ ｛ （ 有限元汁算方法的结合， ２ ） 则可以在计算边坡应力、 位移 、 塑性区的基础上 ， 式 中，Ｄ】 弹 Ｉ矩阵 ， 为 塑性矩 阵。 ［ 为 生 ［ 】 Ｄ 直接得 到边坡 的破 坏而特征和稳 定 Ｊ 生安全 系数 。 ４１强度折减 有 限元 分析法对 边坡安 全系数 的定义 『ｅ Ｉ ｌＤ】 Ｄ Ｉ ［。 Ｄ ｎａ 指 出 ， ｕ ｃｎ 边坡安 全系数 可以定义 为使边坡 刚好达 到临界破 坏状 ［ ｌ ＤＰ ： ｌ ｌ ｌ ！ 态时对岩体的剪切强度ｉ 折减的程度， 亍 即定义安全系数是岩体的实际 剪切强度与临界破坏时折减后的剪切强度的比值。按照强度折减理论 ， 当由于强度参数的折减而造成有限元计算不收敛时， 边坡发生剪切破坏 ， ｒ 按下式 计算 ： 则在此前最后一次收敛计算所对应 的强度参数的折减系数 即可定 ｒ＝一ｆ ／ 一 ） ｏ（ （ 义为边坡 的稳定 『安全 系数 即： ４ ） 生 式中， 为初始应力状态（ ｆ ｏ 弹性对 应的屈服函数值 为试探应力状态 ｃ 或 一 崖 寸 应的屈服函数。 ｒｌ 使用弹陛矩阵： ｒＯ 使用完全塑性 当 ＝ 时， 当 ＝ 时， － Ｌ １ ａ 矩阵： ＜＜ 时， 当０ ｒｌ 表示单元由弹性 向弹塑性状态过渡 ， 使用弹 一 塑性矩 式中，， 分别为在有限元计算的最后一次收敛计算所对应的强 ｃ、 阵。 度参数折减值。
三维弹塑性问题的比例边界有限元法
04
比例边界有限元法的实现 过程
网格划分与节点生成
网格划分
将三维空间离散化为有限个小的单元，每个单元由节点连接。
节点生成
根据几何形状和边界条件，在关键区域布置节点，确保计算的精确性。
比例边界条件的处理
边界条件转换
将比例边界条件转换为等效的节点力约束。
节点力平衡
确保所有节点力在平衡状态下，以实现真实比例边界条件的模拟。
材料属性
根据实际问题，设置材料属性，如弹性模量、泊松比、密度等 。
力学行为
考虑弹性和塑性行为，建立相应的本构关系和屈服条件。
边界条件与载荷施加
边界条件
根据实际问题，施加相应的边界条件，如固定边界的位移约束、滑动边界的 摩擦力约束等。
载荷施加
根据实际问题，施加相应的外部载荷，如重力、压力、扭矩等。同时考虑惯 性效应，如质量、阻尼等。
三维弹塑性问题的有限元 建模
有限元模型的建立
几何模型
根据实际物理模型，建立相应 的几何模型，包括三维实体、
表面等。
网格划分
根据模型复杂程度和计算精度要 求，选择合适的网格类型和密度 进行划分。
边界定义
根据实际问题，定义模型的边界条 件，如固定边界、滑动边界等。
单元选择与属性设置
单元类型
根据实际问题，选择合适的有限元单元类型，如四面体单元、 六面体单元等。
三维弹塑性问题的比例边界 有限元法
2023-11-06
目 录
• 引言 • 三维弹塑性理论基础 • 三维弹塑性问题的有限元建模 • 比例边界有限元法的实现过程 • 三维弹塑性问题的算例分析 • 结论与展望 • 参考文献
01
引言
研究背景与意义
弹塑性力学及有限元法_
写成矩阵形式
R11 cos 2 θ x 1 Ry1 EA cos θ sin θ 1 = Rx 2 l1 − cos 2 θ R1 2 − cos θ sin θ y cos θ sin θ sin 2 θ − cos θ sin θ − sin 2 θ − cos 2 θ − cos θ sin θ cos 2 θ cos θ sin θ
单元刚度矩阵的子矩阵 K ij 表示：当单元 e 中节点 j 取单 位位移，且其它节点位移为零时，对应于 i 节点的节点力。
第五章 有限元法简介
单元1的节点力和节点位移的关系可写成
R1 K11 = R2 K 21
1
K12 K 22
1
δ1 δ 2
1 θFx1(u1) 3 Fx3 (u3) Fy1(v1 ) Fy3 (v3) y 2 o x
1
Fy2 (v2) Fx2(u2)
2
图5-1 简例结构图
第五章
分析步骤：
有限元法简介
2
1
1 1 Ry2(v2) 1 1 Rx2(u2)
1. 离散结构物为有限个单元 分为2个单元，第一个单元的节点编号 为1和2，第二个单元的节点编号为2和3。 对于第一单元，在第1、2节点处的节点力 为 R 11 , R 11 , R 1 2 , R 1 2 ，表示节点施加在单元1上 x y x y
1 − cos θ sin θ u1 1 2 − sin θ v1 cos θ sin θ u1 2 1 si成
R11 k x 1 11 Ry1 k21 1 = Rx 2 k31 R1 k41 y2 k12 k22 k32 k42 k13 k23 k33 k43
如何在工程力学中处理弹塑性问题？
如何在工程力学中处理弹塑性问题？在工程力学领域，弹塑性问题是一个至关重要且复杂的研究方向。
弹塑性力学主要用于分析材料在受力过程中，从弹性阶段到塑性阶段的变形和应力分布规律，这对于确保工程结构的安全性和可靠性具有极其重要的意义。
要理解如何处理弹塑性问题，首先得清楚弹性和塑性的基本概念。
弹性阶段，材料在受到外力作用时会发生变形，一旦外力消失，材料能够完全恢复其原来的形状和尺寸，这种变形是可逆的。
而塑性阶段，材料在受力超过一定限度后，产生的变形即使外力去除也不能完全恢复，会留下永久的变形。
在实际工程中，很多材料都表现出弹塑性的特性，比如金属材料。
当对这类材料进行加工或者构建结构时，就需要准确地处理弹塑性问题，以预测其在不同载荷条件下的行为。
处理弹塑性问题的第一步是建立合适的本构模型。
本构模型用于描述材料的应力应变关系，它是分析弹塑性问题的基础。
常见的本构模型包括理想弹塑性模型、线性强化弹塑性模型和非线性强化弹塑性模型等。
选择合适的本构模型取决于材料的性质、加载条件以及分析的精度要求。
在建立本构模型之后，就需要运用相应的数学方法来求解弹塑性问题。
有限元法是目前广泛应用的一种数值方法。
它将连续的物体离散化为有限个单元，通过对每个单元的分析，最终得到整个物体的应力和应变分布。
在有限元分析中，需要合理地划分网格，选择合适的单元类型，并确定边界条件和加载方式。
边界条件的确定在处理弹塑性问题中也非常关键。
边界条件包括位移边界条件和力边界条件。
位移边界条件规定了物体某些点的位移，而力边界条件则规定了物体某些表面所受到的力。
正确地设定边界条件能够使分析结果更符合实际情况。
加载方式同样会影响弹塑性问题的分析结果。
加载可以是静载、动载或者循环加载等。
不同的加载方式会导致材料的响应不同，因此在分析时需要根据实际情况准确地模拟加载过程。
在处理弹塑性问题时，还需要考虑材料的各向异性。
很多材料在不同方向上具有不同的力学性能，这就需要在本构模型和分析中考虑这种各向异性的特点。
结构静力弹塑性分析的原理和计算实例
结构静力弹塑性分析的原理和计算实例一、本文概述结构静力弹塑性分析是一种重要的工程分析方法，用于评估结构在静力作用下的弹塑性行为。
该方法结合了弹性力学、塑性力学和有限元分析技术，能够有效地预测结构在静力加载过程中的变形、应力分布以及破坏模式。
本文将对结构静力弹塑性分析的基本原理进行详细介绍，并通过计算实例来展示其在实际工程中的应用。
通过本文的阅读，读者可以深入了解结构静力弹塑性分析的基本概念、分析流程和方法，掌握其在工程实践中的应用技巧，为解决实际工程问题提供有力支持。
二、弹塑性理论基础弹塑性分析是结构力学的一个重要分支，它主要关注材料在受力过程中同时发生弹性变形和塑性变形的情况。
在弹塑性分析中，材料的应力-应变关系不再是线性的，而是呈现出非线性特性。
当材料受到的应力超过其弹性极限时，材料将发生塑性变形，这种变形在卸载后不能完全恢复，从而导致结构的永久变形。
弹塑性分析的理论基础主要包括塑性力学、塑性理论和弹塑性本构关系。
塑性力学主要研究塑性变形的产生、发展和终止的规律，它涉及到塑性流动、塑性硬化和塑性屈服等概念。
塑性理论则通过引入屈服函数、硬化法则和流动法则等，描述了材料在塑性变形过程中的应力-应变关系。
弹塑性本构关系则综合考虑了材料的弹性和塑性变形行为，建立了应力、应变和应变率之间的关系。
在结构静力弹塑性分析中，通常需要先确定材料的弹塑性本构模型，然后结合结构的边界条件和受力情况，建立结构的弹塑性平衡方程。
通过求解这个平衡方程，可以得到结构在静力作用下的弹塑性变形和应力分布。
弹塑性分析在结构工程中有着广泛的应用，特别是在评估结构的承载能力、变形性能和抗震性能等方面。
通过弹塑性分析，可以更加准确地预测结构在极端荷载作用下的响应，为结构设计和加固提供科学依据。
以上即为弹塑性理论基础的主要内容，它为我们提供了分析结构在弹塑性阶段行为的理论框架和工具。
在接下来的计算实例中，我们将具体展示如何应用这些理论和方法进行结构静力弹塑性分析。
第四章弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
硬化法则
• 塑性硬化法则规定了材料进入塑性变形后的后继屈 服函数（又称加载函数或加载曲面） – 各向同性硬化 – 运动硬化 – 混合硬化
第二十九页，编辑于星期五：十九点 二十二分。
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
各向同性硬化：材料进入塑性变形以后，屈服面在各方向均匀地向外扩张，其 形状、中心及其在应力空间的方位均保持不变。
• 非线性问题通常采用增量法求解（追踪加载过程中 应力和变形的演变历史。）
– 每个增量步采用Newton-Raphson迭代法
第六页，编辑于星期五：十九点 二十二分。
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
非线性方程的迭代求解方法
f (x) 0
直接迭代法 x g(x) xk1 g(xk )
Newton-Raphson迭代
• 分类：
–不依赖时间的弹、塑性问题
• 非线性弹性——橡胶 • 弹塑性——冲压成形
–依赖于时间的粘（弹、塑）性问题
• 蠕变——载荷不变，变形随时间继续变化 • 松弛——变形不变，应力随时间衰减
第十四页，编辑于星期五：十九点 二十二分。
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
非线性弹性材料行为
橡胶应力应变关系曲线
第八章 几种典型材料成形过程计算机模拟分析实例
第一页，编辑于星期五：十九点 二十二分。
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
4.1 非线性问题及分类
• 在分析线性弹性问题时，假定：
– 应力应变线性关系
– 结构位移很小（变形远小于物体的几何尺寸）
– 加载时边界条件的性质不变
Kq P
如果不满足上述条件之一，就称为非线性问题
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弹塑性问题的有限元分析
专硕-
1
材料的弹塑性行为实验
2
材料塑性行为的屈服准则
3
材料塑性行为的流动法则
4
材料塑性行为的强化准则
5
材料塑性行为的模型
研究弹塑性问题的关键在于物理方程的处理。下面主要讨论小 变形情形下的弹塑性问题。
1、材料的弹塑性行为实验
典型的材料性能实验曲线是通过标准试样的单向拉伸与压缩获 得的，如下图所示
但不发生新的塑性流动
4、塑性强化准则 该准则用来描述屈服面是如何改变的，以确定后续屈服面的新 状态，一般可以有几种模型： 等向强化模型 随动强化模型 混合强化模型 5、材料塑性行为的模型 基于以上准则，在根据各种材料的应力应变曲线、经过归纳和 分类给出以下几种典型的描述材料弹塑性行为的模型 （1）、双线性Bauschinger随动强化 （2）、多线性Bauschinger随动强化 （3）、双线性等向强化 （4）、多线性等向强化 （5）、非等向强化 （6）、Drucker-Prager模型 所谓Bauschinger效应为反向屈服点到卸载点的数值为 2 yd 。
I1 1 2 3
I2 1 2 2 3 31(2)
I3 1 2 3
基于主应力空间，由等倾面组成的八面体的平面上的正应力和剪应力具有
一些特殊的性质。
设某一点的应力状态为 ij ，其中三个主应力为 1、 2、 3 ，并且1＞ 2＞ 3
如果坐标轴与主方向重合，则应力不变量如式（2）
其中 yd 为临界屈服剪应力，将由实验来确定，一般通过单拉实
验获得，由于单拉实验获得的是临界屈服拉应力 yd ，所以通过
以下关系来换算：
如果定义等效应力为
eq
3 2
y
d
yd
2 3
yd
1 2
(
xx
yy )2
(yyzz)2(zz
xx )2
6(
2 xy
2 yz
2 xz )
则初始屈服条件可以写成
eq yd 将等效应力写成更一般的形式，有
eq
f（
）
ij
则屈服函数为
F（ ij） f ( ij ) yd 0 各种屈服面函数详情可见P319
3、塑性流动法则 该法则用来确定塑性应变分量在塑性变化时的大小和方向，相应的分 量沿着一个势函数的法线方向增长即：
d ij pl
Q ij
其中 dij pl为塑性应变增量， 为塑性增长乘子，Q为塑性势函数，若
弹性 极限
应 力
加 载
卸 载
塑性应变 弹性应变
断裂 应变
在实际结构中，真实的情况是材料处于复杂 的受力状态，ij 即中 的各个分量都存在，如何基 于材料的单拉应力-应变实验曲线，来描述复杂 应力状态下材料的真实弹塑性行为，就必须涉及 屈服准则、塑性流动法则、塑性强化法则这三个 方面的描述，有了这三个方面的描述就可以完全 确定出复杂应力状态下材料的真实弹塑性行为
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n（ 2 3）
由于
n p1nx p2ny p3nz 1n2 x 2n2 y 3n2（ z 4）
由（3）、（4）可得 :
n
2 1
n
2
x
22n2 y
32n2z
( 1n2 x
2n2 y
3n2z )2
由于静水压力是三个主应力的平均值，也就是说在该斜面上，其 正应力为
px xxnx yxny zxnz
同理可得
py yyny yxnx yznz pz zz nz zxnx zyny
px nx n , py ny n , pz nz n
代入上式可得：
nx ( xx n ) ny xy nx yz ny ( yy n )
为关联塑性流动，则Q就是屈服函数，即
Q( ij ) F ( ij )
当材料从一个塑性状态出发是继续塑性加载还是弹性卸载，通过以下
关系来判断：
如果F=0，并且 Q ij
d ij＞0，则继续塑性加载
如果F=0，并且 Q
ij
d ij＜0
，则继续弹性卸载
如果F=0，并且Qij d ij＝0 ，则对于理想弹塑性材料 是塑性加载，对于硬化材料，此情况为中性变载，即继续为塑性状态，
nz nz
xz yz
0 0
nx zx
ny zy
nz ( zz
n)
0
这是关于nx , ny , nz的齐次线性方程组，其非零解的条件为行列式
等于零
展开可得：
n3
I1
2 n
I 2
n
I3
0(1)
其中
I1 xx yy zz
I2
xx
yy
xx zz
zz
yy
xy2
2 yz
2 zx
设该点有一斜面的应力矢量为p，它与 ij 保持平衡，该斜面的法线n的方
向为p余1 弦 为1nnxx、, pn2y、nz ，2n由y , 合p3 力 平3衡nz 可，以于得是到该p面在上坐的标与轴p方等向价的的三正个应投力影分n 和别剪
应力 n 的关系为：
2 n
p2
n2
2 1
nx
22ny
32nz
n 1/ 3(1 2 3（) 5）
又为等倾面八面体
若要得到（5）, 根据（4）可得：
nx ny nz 1/ 3
该八面体上的切应力为
8
1 3
( xx
yy )2
(
yy
zz )2
(
zz
xx )2
6(
2 xy
2 yz
2 xz )
它是决定材料是否屈服的力学参量，因此初始屈服条件为
8 yd
xx xy xz
I3 xy
yy
yz
xz yz zz
式（1）是关于 n 的三次方程，它的三个根，即为3个主应力。
在给定的应力状态下，由于物体内任一点的主应力不会随着坐标 系的改变而改变，所以 I1、I2、I3 也不会随着坐标系而改变，称 I1、I2、I3 分别为第一，第二，第三应力张量不变量。当坐标轴与主应力方 向重合，则应力不变量可以写成下式：
谢谢观赏
2、材料塑性行为的屈服准则 该准则用来确定材料产生的屈服时的临界应力状态。大量实
验表明：多数材料的塑性屈服与静水压力无关，对于复杂应力状 态，由等倾面组成的八面体上的正应力恰好就是静水压力。 这里说明下何为静水压力：
对于空间中的一个斜面的力进行分解
如左图，微小体元的一个斜面ABC， 其外法线上的为n，设该斜面上的剪 应力为零，则该斜面上只有正应力， 其方向沿着n 法线n，沿着坐标轴三个 方向的分解为
px nx n , py ny n , pz nz n
其中 nx , ny , nz 为斜面外法线n的方向 余弦
△ABC △S △BOC nx△S △COA ny△S △AOB nz△S
由 Fx 0
px△S xxnx△S yxny △S zxnz △S Fx△V 0
当OABC P :
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专硕-
1
材料的弹塑性行为实验
2
材料塑性行为的屈服准则
3
材料塑性行为的流动法则
4
材料塑性行为的强化准则
5
材料塑性行为的模型
研究弹塑性问题的关键在于物理方程的处理。下面主要讨论小 变形情形下的弹塑性问题。
1、材料的弹塑性行为实验
典型的材料性能实验曲线是通过标准试样的单向拉伸与压缩获 得的，如下图所示
但不发生新的塑性流动
4、塑性强化准则 该准则用来描述屈服面是如何改变的，以确定后续屈服面的新 状态，一般可以有几种模型： 等向强化模型 随动强化模型 混合强化模型 5、材料塑性行为的模型 基于以上准则，在根据各种材料的应力应变曲线、经过归纳和 分类给出以下几种典型的描述材料弹塑性行为的模型 （1）、双线性Bauschinger随动强化 （2）、多线性Bauschinger随动强化 （3）、双线性等向强化 （4）、多线性等向强化 （5）、非等向强化 （6）、Drucker-Prager模型 所谓Bauschinger效应为反向屈服点到卸载点的数值为 2 yd 。
I1 1 2 3
I2 1 2 2 3 31(2)
I3 1 2 3
基于主应力空间，由等倾面组成的八面体的平面上的正应力和剪应力具有
一些特殊的性质。
设某一点的应力状态为 ij ，其中三个主应力为 1、 2、 3 ，并且1＞ 2＞ 3
如果坐标轴与主方向重合，则应力不变量如式（2）
其中 yd 为临界屈服剪应力，将由实验来确定，一般通过单拉实
验获得，由于单拉实验获得的是临界屈服拉应力 yd ，所以通过
以下关系来换算：
如果定义等效应力为
eq
3 2
y
d
yd
2 3
yd
1 2
(
xx
yy )2
(yyzz)2(zz
xx )2
6(
2 xy
2 yz
2 xz )
则初始屈服条件可以写成
eq yd 将等效应力写成更一般的形式，有
eq
f（
）
ij
则屈服函数为
F（ ij） f ( ij ) yd 0 各种屈服面函数详情可见P319
3、塑性流动法则 该法则用来确定塑性应变分量在塑性变化时的大小和方向，相应的分 量沿着一个势函数的法线方向增长即：
d ij pl
Q ij
其中 dij pl为塑性应变增量， 为塑性增长乘子，Q为塑性势函数，若
弹性 极限
应 力
加 载
卸 载
塑性应变 弹性应变
断裂 应变
在实际结构中，真实的情况是材料处于复杂 的受力状态，ij 即中 的各个分量都存在，如何基 于材料的单拉应力-应变实验曲线，来描述复杂 应力状态下材料的真实弹塑性行为，就必须涉及 屈服准则、塑性流动法则、塑性强化法则这三个 方面的描述，有了这三个方面的描述就可以完全 确定出复杂应力状态下材料的真实弹塑性行为
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n（ 2 3）
由于
n p1nx p2ny p3nz 1n2 x 2n2 y 3n2（ z 4）
由（3）、（4）可得 :
n
2 1
n
2
x
22n2 y
32n2z
( 1n2 x
2n2 y
3n2z )2
由于静水压力是三个主应力的平均值，也就是说在该斜面上，其 正应力为
px xxnx yxny zxnz
同理可得
py yyny yxnx yznz pz zz nz zxnx zyny
px nx n , py ny n , pz nz n
代入上式可得：
nx ( xx n ) ny xy nx yz ny ( yy n )
为关联塑性流动，则Q就是屈服函数，即
Q( ij ) F ( ij )
当材料从一个塑性状态出发是继续塑性加载还是弹性卸载，通过以下
关系来判断：
如果F=0，并且 Q ij
d ij＞0，则继续塑性加载
如果F=0，并且 Q
ij
d ij＜0
，则继续弹性卸载
如果F=0，并且Qij d ij＝0 ，则对于理想弹塑性材料 是塑性加载，对于硬化材料，此情况为中性变载，即继续为塑性状态，
nz nz
xz yz
0 0
nx zx
ny zy
nz ( zz
n)
0
这是关于nx , ny , nz的齐次线性方程组，其非零解的条件为行列式
等于零
展开可得：
n3
I1
2 n
I 2
n
I3
0(1)
其中
I1 xx yy zz
I2
xx
yy
xx zz
zz
yy
xy2
2 yz
2 zx
设该点有一斜面的应力矢量为p，它与 ij 保持平衡，该斜面的法线n的方
向为p余1 弦 为1nnxx、, pn2y、nz ，2n由y , 合p3 力 平3衡nz 可，以于得是到该p面在上坐的标与轴p方等向价的的三正个应投力影分n 和别剪
应力 n 的关系为：
2 n
p2
n2
2 1
nx
22ny
32nz
n 1/ 3(1 2 3（) 5）
又为等倾面八面体
若要得到（5）, 根据（4）可得：
nx ny nz 1/ 3
该八面体上的切应力为
8
1 3
( xx
yy )2
(
yy
zz )2
(
zz
xx )2
6(
2 xy
2 yz
2 xz )
它是决定材料是否屈服的力学参量，因此初始屈服条件为
8 yd
xx xy xz
I3 xy
yy
yz
xz yz zz
式（1）是关于 n 的三次方程，它的三个根，即为3个主应力。
在给定的应力状态下，由于物体内任一点的主应力不会随着坐标 系的改变而改变，所以 I1、I2、I3 也不会随着坐标系而改变，称 I1、I2、I3 分别为第一，第二，第三应力张量不变量。当坐标轴与主应力方 向重合，则应力不变量可以写成下式：
谢谢观赏
2、材料塑性行为的屈服准则 该准则用来确定材料产生的屈服时的临界应力状态。大量实
验表明：多数材料的塑性屈服与静水压力无关，对于复杂应力状 态，由等倾面组成的八面体上的正应力恰好就是静水压力。 这里说明下何为静水压力：
对于空间中的一个斜面的力进行分解
如左图，微小体元的一个斜面ABC， 其外法线上的为n，设该斜面上的剪 应力为零，则该斜面上只有正应力， 其方向沿着n 法线n，沿着坐标轴三个 方向的分解为
px nx n , py ny n , pz nz n
其中 nx , ny , nz 为斜面外法线n的方向 余弦
△ABC △S △BOC nx△S △COA ny△S △AOB nz△S
由 Fx 0
px△S xxnx△S yxny △S zxnz △S Fx△V 0
当OABC P :
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