高等数学下期末试题七套附答案
高数期末考试题及答案解析
高数期末考试题及答案解析一、选择题(每题2分,共10分)1. 函数 \( f(x) = \sin x + 2x^2 \) 在区间 \( [0,\frac{\pi}{2}] \) 上是:A. 单调递增B. 单调递减C. 先递增后递减D. 先递减后递增答案解析:首先求导数 \( f'(x) = \cos x + 4x \)。
在区间\( [0, \frac{\pi}{2}] \) 上,\( \cos x \) 始终大于等于0,而\( 4x \) 也是非负的,因此 \( f'(x) \geq 0 \),说明函数 \( f(x) \) 在该区间上单调递增。
所以答案是 A。
2. 若 \( \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0 \),则下列哪个选项是正确的?A. \( \lim_{x \to 0} f(x) = 0 \)B. \( \lim_{x \to 0} g(x) = 0 \)C. \( \lim_{x \to 0} f(x) = 1 \)D. \( \lim_{x \to 0} g(x) = 1 \)答案解析:根据极限的性质,如果 \( \lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{g(x)} = 0 \),则 \( g(x) \) 不能趋向于0,否则分母为0,极限不存在。
同时,\( f(x) \) 趋向于0。
因此,选项 A 是正确的。
3. 曲线 \( y = x^3 - 3x \) 在点 \( (1, -2) \) 处的切线斜率是:A. 0B. 2C. -2D. 4答案解析:求导数 \( y' = 3x^2 - 3 \),将 \( x = 1 \) 代入得到 \( y' = 0 \)。
因此,曲线在点 \( (1, -2) \) 处的切线斜率为 0,答案是 A。
4. 若 \( \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3} \),则\( \int_{0}^{1} x^3 dx \) 的值是:A. \( \frac{1}{4} \)B. \( \frac{1}{3} \)C. \( \frac{1}{2} \)D. \( \frac{2}{3} \)答案解析:根据积分的基本公式,\( \int x^n dx =\frac{x^{n+1}}{n+1} + C \),所以 \( \int_{0}^{1} x^3 dx =\left[\frac{x^4}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4} \)。
高等数学(下册)期末复习试题及答案
一、填空题(共21分 每小题3分)1.曲线⎩⎨⎧=+=012x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122++=y x z .2.直线35422:1z y x L =--=-+与直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+-==tz t y tx L 72313:2的夹角为2π. 3.设函数22232),,(z y x z y x f ++=,则=)1,1,1(grad f }6,4,2{.4.设级数∑∞=1n n u 收敛,则=∞→n n u lim 0.5.设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧≤<+≤<-=,0,10,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于21π+.6.全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 Cxy =.7.写出微分方程xe y y y =-'+''2的特解的形式xaxe y =*.二、解答题(共18分 每小题6分)1.求过点)1,2,1(-且垂直于直线⎩⎨⎧=+-+=-+-02032z y x z y x 的平面方程.解:设所求平面的法向量为n,则{}3,2,1111121=--=k j i n(4分)所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2.将积分⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分,其中Ω是曲面)(222y x z +-=及22y x z +=所围成的区域.解: πθ20 ,10 ,2 :2≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分)⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(⎰⎰⎰-=221020d ),sin ,cos (d d r rz z r r f r r θθθπ (6分)3.计算二重积分⎰⎰+-=Dy x y x eI d d )(22,其中闭区域.4:22≤+y x D解 ⎰⎰-=2020d d 2r r eI r πθ⎰⎰--=-20220)(d d 212r e r πθ⎰-⋅-=202d 221r e π)1(4--=e π 三、解答题(共35分 每题7分)1.设vue z =,而22y x u +=,xy v =,求z d .解:)2(232y y x x e y ue x e xv v z x u u z x z xy v v ++=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ (3分))2(223xy x y e x ue y e yv v z y u u z y z xy v v ++=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分)2.函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z所确定,求yzx z ∂∂∂∂,.解:令xyz e z y x F z-=),,(, (2分)则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F zz -= (5分)xye yzF F x z zz x -=-=∂∂, xy e xz F F y z z z y -=-=∂∂. (7分) 3.计算曲线积分⎰+-Ly x x y d d ,其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有向弧段.解:添加有向辅助线段OA ,有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ,根据格林公式⎰⎰⎰⎰+--=+-OA DL y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分)ππ=-⋅=022 (7分)4.设曲线积分⎰++Lx y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关,其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ,求)(x f .解: 由xQ y P ∂∂=∂∂ 得 )()(x f x f e x'=+, 即xe xf x f =-')()( (3分)所以 )d ()(d d )1(C x e e e x f x x x+⋅=⎰⎰---⎰)(C x e x +=, (6分) 代入初始条件,解得1=C ,所以)1()(+=x e x f x . (7分)5.判断级数∑∞=12)!2()!(n n n 的敛散性.解: 因为 )!2()!()!22(])!1[(lim lim221n n n n u u n nn n ++=∞→+∞→ (3分) )12)(22()1(lim2+++=∞→n n n n 141<= (6分) 故该级数收敛. (7分)四、(7分)计算曲面积分⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ,其中∑是上半球面221z y x --=的上侧.解:添加辅助曲面1,0:221≤+=∑y x z ,取下侧,则在由1∑和∑所围成的空间闭区域Ω上应用高斯公式得⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ⎰⎰∑+∑++=1d d d d d d y x z x z y z y x⎰⎰∑++-1d d d d d d y x z x z y z y x (4分)0d 3-=⎰⎰⎰Ωv (6分)34213π⋅⋅=π2=. (7分)五、(6分)在半径为R 的圆的内接三角形中,求其面积为最大的三角形.解:设三角形各边所对圆心角分别为z y x ,,,则π2=++z y x ,且面积为)sin sin (sin 212z y x R A ++=, 令)2(sin sin sin πλ-+++++=z y x z y x F (3分)由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+==+==+=πλλλ20cos 0cos 0cos z y x z F y F x F z yx (4分)得32π===z y x .此时,其边长为R R 3232=⋅. 由于实际问题存在最大值且驻点唯一,故当内接三角形为等边三角形时其面积最大. (6分)六、(8分)求级数∑∞=1n nnx 的收敛域,并求其和函数.解: 1)1(lim lim1=+==∞→+∞→n n a a R n n n n ,故收敛半径为1=R . (2分) 当1-=x 时,根据莱布尼茨判别法,级数收敛; 当1=x 时, 级数为调和级数,发散.故原级数的收敛域为)1,1[-. (5分)设和为)(x S ,即∑∞==1)(n nnx x S ,求导得∑∞=-='11)(n n x x S x-=11, (6分) 再积分得 ⎰'=xx x S x S 0d )()(x xxd 110⎰-=)1ln(x --=,)11(<≤-x (8分) 七、(5分)设函数)(x f 在正实轴上连续,且等式⎰⎰⎰+=yx x yt t f x t t f y t t f 111d )(d )(d )(对任何0,0>>y x 成立.如果3)1(=f ,求)(x f . 解:等式两边对y 求偏导得)(d )()(1y f x t t f y x f x x+=⎰ (2分)上式对任何0,0>>y x 仍成立.令1=y ,且因3)1(=f ,故有⎰+=xx t t f x xf 13d )()(. (3分)由于上式右边可导,所以左边也可导.两边求导,得3)()()(+=+'x f x f x f x 即)0(3)(>='x xx f .故通解为 C x x f +=ln 3)(.当1=x 时,3)1(=f ,故3=C . 因此所求的函数为 )1(l n 3)(+=x x f . (5分)八. (5分)已知x x e xe y 21+=,x x e xe y -+=2,x x x e e xe y --+=23是某二阶线性非齐次微分方程的三个解,求此微分方程. 解1:由线性微分方程解的结构定理知xe2与xe-是对应齐次方程的两个线性无关的解,xxe 是非齐次方程的一个特解,故可设此方程为 )(2x f y y y =-'-''将x xe y=代入上式,得x x xe e x f 2)(-=,因此所求的微分方程为x x xe e y y y 22-=-'-''解2:由线性微分方程解的结构定理知xe2与xe-是对应齐次方程的两个线性无关的解,xxe 是非齐次方程的一个特解,故x x x e C e C xe y -++=221是所求微分方程的通解,从而有 x x x x e C e C xe e y --++='2212,x x x x e C e C xe e y -+++=''22142消去21,C C ,得所求的微分方程为x x xe e y y y 22-=-'-''06高数B一、填空题(共30分 每小题3分)1.xoy 坐标面上的双曲线369422=-y x 绕x 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为36)(94222=+-z y x .2.设函数22),,(z yz x z y x f ++=,则=-)1,0,1(grad f )2,1,2(--.3.直线35422:1z y x L =--=-+与直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+-==tz t y tx L 72313:2的夹角为2π. 4. 设Ω是曲面222y x z --=及22y x z +=所围成的区域积分,则⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分形式是⎰⎰⎰-22120d ),sin ,cos (d d r rz z r r f r r θθθπ.5. 设L 是圆周22x x y -=,取正向,则曲线积分=+-⎰Ly x x y d dπ2.6. 幂级数∑∞=--11)1(n nn n x 的收敛半径1=R .7.设级数∑∞=1n n u 收敛,则=∞→n n u lim 0.8.设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧≤<≤<-=,0,0,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于2π.9.全微分方程0d d =+y y x x 的通解为Cxy =.10.写出微分方程xe y y y =-'+''2的特解的形式xaxe y =*.二、解答题(共42分 每小题6分)1.求过点)1,2,1(且垂直于直线⎩⎨⎧=+-+=-+-03202z y x z y x 的平面方程.解:设所求平面的法向量为n ,则{}3,2,1111121=--=kj i n(4分) 所求平面方程为 032=++z y x (2分)2.函数),(y x z z =由方程z y x z y x 32)32sin(-+=-+所确定,求xz ∂∂. 解:令z y x z y x z y x F 32)32sin(),,(+---+=, (2分)则,1)32cos(--+=z y x F x 3)32cos(3+-+-=z y x F z . (2分))32c o s (33)32c o s (1z y x z y x F F x z z x -+--+-=-=∂∂ . (2分) 3.计算⎰⎰Dxy σd ,其中D 是由直线2 ,1==x y 及x y =所围成的闭区域.解法一: 原式⎰⎰=211d ]d [xx y xy (2分)x y x x d ]2[2112⎰⋅=x xx d )22(213⎰-= 811]48[2124=-=x x . (4分)解法二: 原式⎰⎰=212d ]d [y y x xy 811]8[2142=-=y y .(同上类似分)4.计算⎰⎰--Dy x y x d d 122,其中D 是由122=+y x 即坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.解: 选极坐标系原式⎰⎰-=2012d 1πθr r r d (3分))1(1)21(22102r d r ---⋅=⎰π6π= (3分) 5.计算⎰Γ-+-z x y yz x z y d d 2d )(222,其中Γ是曲线,t x =,2t y =3t z =上由01=t 到12=t 的一段弧.解:原式⎰⋅-⋅+-=122564d ]322)[(t t t t t t t (3分)⎰-=146d )23(t t t 1057]5273[t t -=351= (3分)6.判断级数∑∞=-1212n n n 的敛散性. 解: 因为 n n n nn n n n u u 2122)12(lim lim11-+=+∞→+∞→ (3分) 121<=, (2分) 故该级数收敛. (1分) 7.求微分方程043=-'-''y y y 满足初始条件,00==x y 50-='=x y 的特解. 解:特征方程 0432=--r r ,特征根 1,421-==r r通解为 x xe C e C y -+=241, (3分)x xe C e C y --='2414,代入初始条件得 1,121=-=C C ,所以特解x x e e y -+-=4.(3分)三、(8分)计算曲面积分⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ,其中∑是上半球面221z y x --=的上侧.解:添加辅助曲面1,0:221≤+=∑y x z ,取下侧,则在由1∑和∑所围成的 空间闭区域Ω上应用高斯公式得⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ⎰⎰∑+∑++=1d d d d d d y x z x z y z y x ⎰⎰∑++-1d d d d d d y x z x z y z y x (4分)0d 3-=⎰⎰⎰Ωv (2分)34213π⋅⋅=π2=. (2分) 四、(8分)设曲线积分⎰-+Ly x x xf x x yf d ])(2[d )(2在右半平面)0(>x 内与路径无关,其中)(x f 可导,且满足1)1(=f ,求)(x f .解:由xQy P ∂∂=∂∂, 得x x f x x f x f 2)(2)(2)(-'+=,即1)(21)(=+'x f xx f , (3分) 所以)d ()(d 21d 21C xeex f x x x x +=⎰⎰-⎰)(2121C dx x x+=⎰-)32(2321C x x+=-, (3分)代入初始条件,解得31=C ,所以xx x f 3132)(+=. (2分)五、(6分)求函数xy y x y x f 3),(33-+=的极值. 解:⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=033),(033),(22x y y x f y x y x f y x 得驻点 )1,1(),0,0( (3分),6),(x y x f xx = ,3),(-=y x f xy y y x f yy 6),(=在点)0,0(处,,092>=-AC B 故)0,0(f 非极值;在点)1,1(处,,0272<-=-AC B 故1)1,1(-=f 是极小值. (3分)六、(6分)试证:曲面)(xyxf z =上任一点处的切平面都过原点.证:因),()(xyf x y x y f x z '-=∂∂ )(1)(x y f x x y f x y z '=⋅'=∂∂ (3分) 则取任意点),,(0000z y x M ,有)(0000x y f x z =,得切平面方程为))(())](()([)(00000000000000y y x yf x x x y f x y x y f x y f x z -'+-'-=- 即 0)()]()([0000000=-'+'-z y x y f x x y f x y x y f 故切平面过原点. (3分)07A一、 填空题(每小题3分,共21分).1.设向量}5,1,{},1,3,2{-==λb a ,已知a 与b垂直,则=λ1-2.设3),(,2,3π===b a b a ,则=-b a 6-3.yoz 坐标面上的曲线12222=+bz a y 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122222=++bz a y x4.过点)0,4,2(且与直线⎩⎨⎧=--=-+023012z y z x 垂直的平面方程0832=+--z y x5.二元函数)ln(y x x z +=的定义域为}0,0,({>+≥=y x x y x D6.函数)ln(),,(222z y x z y x f ++=,则=)1,0,1(gradf }1,0,1{7.设xy e z=,则=dz )(xdy ydx e xy +8.设),(x y x xf u =,f 具有连续偏导数,则=∂∂x u21f xyxf f -+ 9.曲线32,,t z t y t x ===上点)1,1,1(处的切向量=T}3,2,1{10.交换积分顺序:⎰⎰=ydx y x f dy 010),(⎰⎰110),(xdyy x f dx11.闭区域Ω由曲面222y x z+=及平面1=z 所围成,将三重积分⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(化为柱面坐标系下的三次积分为⎰⎰⎰πθθθ20101),sin ,cos (r dz z r r f rdr d12.设L 为下半圆周21x y--=,则=+⎰ds y xL )(22π13.设L 为取正向圆周922=+y x,则=-+-⎰dy x x dx y xy L )4()22(2π18-14.设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧<≤≤<-=ππx xx x f 000)(则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于2π15.若0lim ≠∞→nn u ,则级数∑∞=1n n u 的敛散性是 发散16.级数∑∞=1!2n n n nn 的敛散性是 收敛17.设一般项级数∑∞=1n n u ,已知∑∞=1n n u 收敛,则∑∞=1n n u 的敛散性是 绝对收敛18.微分方程05)(23=+'-''xy y y x 是 2 阶微分方程19.微分方程044=+'+''y y y 的通解=y xx xe C e C 2221--+20.微分方程x xe y y y 223=+'-''的特解形式为xe b ax x 2)(+二、(共5分)设xy v y x u v u z ===,,ln 2,求yz x z ∂∂∂∂,解:]1)ln(2[1ln 2222+=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂xy y x y v u y v u x v v z x u u z x z]1)ln(2[)(ln 23222--=⋅+-⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂xy yx x v u y x v u y v v z y u u z y z 三、(共5分) 设022=-++xyz z y x ,求xz∂∂ 解:令xyz z y x z y x F 22),,(-++=x y zyzxyz F x -=xyzxyxyz F z -=xyxyz xyz yz F F x zz x --=-=∂∂ 四、(共5分)计算⎰⎰⎰Ωxdxdydz ,其中Ω为三个坐标面及平面1=++z y x 所围成的闭区域解:y x z x y x --≤≤-≤≤≤≤Ω10,10,10:⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰----Ω--==xyx xdy y x x dx xdz dy dx xdxdydz 1010101010)1(241)2(21)1(213102102=+-=-=⎰⎰dx x x x dx x x 五、(共6分)计算⎰-+-Lx x dy y e dx y y e )1cos ()sin (,其中L 为由点)0,(a A 到点)0,0(O 的上半圆周ax y x =+22解:添加有向辅助线段OA ,则有向辅助线段OA 和有向弧段OA 围成闭区域记为D ,根据格林 公式⎰-+-Lxx dy y e dx y y e )1cos ()sin ( ⎰⎰⎰-+--=DOAx x dy y e dx y y e dxdy )1cos ()sin (0)2(212-=a π 381a π= 六、(共6分)求幂级数∑∞=-13)3(n nn n x 的收敛域 解:对绝对值级数,用比值判敛法3313131lim 333)1(3lim lim 111-=-⋅+=-+-=∞→++∞→+∞→x x n n n x n x u u n n nn n n n n n 当1331<-x 时,即60<<x ,原级数绝对收敛 当1331>-x 时,即60><x x 或,原级数发散 当0=x 时,根据莱布尼兹判别法,级数∑∞=-1)1(n nn收敛当6=x时,级数∑∞=11n n发散,故收敛域为)6,0[七、(共5分) 计算dxdy z⎰⎰∑2,其中∑为球面1222=++z y x 在第一卦限的外侧解:∑在xoy 面的投影xy D :0,0,122≥≥≤+y x y xdxdy z ⎰⎰∑2dxdy y x xyD )1(22--+=⎰⎰rdr r d )1(20102⎰⎰-=πθ412⋅=π8π=八、(共7分)设0)1(=f ,求)(x f 使dy x f ydx x f x x )()](1[ln ++为某二元函数),(y x u 的全微分,并求),(y x u解:由x Q y P ∂∂=∂∂,得)()(1ln x f x f x x '=+,即x x f xx f ln )(1)(=-' 所以)ln 21()1ln ()ln ()(211C x x C dx x x x C ex ex f dxx dxx+=+⋅=+=⎰⎰⎰⎰---带入初始条件,解得0=C,所以x x x f 2ln 21)(=⎰++=),()0,0(22ln 21)ln 21(ln ),(y x xdy x ydx x x y x u⎰⎰+=xyxdy x 002ln 210x xy 2ln 21=07高数B一、(共60分 每题3分)1. 设向量}4 ,2 ,6{-=a ,}2 ,1 ,{-=λb ,已知a 与b平行,则=λ3-.2. yoz 坐标面上的曲线12222=-c z a y 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122222=-+bz a y x . 3.设3),(,1,2π===∧b a b a ,则a b -=3.4. 设一平面经过点)1,1,1(,且与直线⎩⎨⎧=+=--03042z y y x 垂直,则此平面方程为032=-+z y x .5. 二元函数12ln2+-=x y z 的定义域为{}012|),(2>+-x y y x .6. 设xye z =,则=z d )d d (y x x y e xy +.7. 函数)ln(),,(222z y x z y x f ++=,则=)1,0,1(grad f )1,0,1(.8.设(,)y u xf x x =,f 具有连续导数,则u x ∂=∂12yf xf f x''+-.9. 曲面1222=++z y x 在点)2,0,1(-处的法向量=n{}4,0,2-. 10. 交换积分顺序:⎰⎰=1d ),(d x y y x f x ⎰⎰101d ),(d yx y x f y .11.闭区域Ω由曲面22y x z +=及平面1=z 所围成,将三重积⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分为⎰⎰⎰11202d ),sin ,cos (d d rz z r r f r r θθθπ.12. 设∑是闭区域Ω的整个边界曲面的外侧,V 是Ω的体积,则 ⎰⎰∑++y x z x z y x y x d d d d d d =V 3.13. 设L 为上半圆周21x y -=,则=+⎰Ls y x d )(22π.14. 设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧≤<≤<-=,0,0,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于2π.15. 若lim 0n n u →∞≠,则级数∑∞=1n n u 的敛散性是 发散 . 16. 级数∑∞=1!5n n nn n 的敛散性是 收敛 .17.级数∑∞=12sin n nn的敛散性是 收敛 . 18. 微分方程06)(542=+'+''y y y x 是 2 阶微分方程. 19. 微分方程02=+'-''y y y 的通解为)(21x C C e x +.20.微分方程x xe y y y 2365-=+'+''的特解的形式xe bx ax y 22*)(-+=.三、(共5分)函数),(y x z z =由方程04222=-++z z y x 所确定,求xz∂∂. 解:令=),,(z y x F z z y x 4222-++, (1分)则 ,2x F x = ,42-=z F z (2分)zxF F x z z x -=-=∂∂2 (2分) 五、(共6分)计算曲线积分⎰+--Ly y x x y x d )sin (d )2(22,其中L 为由点)0,2(A 到点)0,0(O 的上半圆周x y x 222=+.解:添加有向辅助线段,它与上半圆周围成的闭区域记为D ,根据格林公式⎰+--Ly y x x y x d )sin (d )2(22⎰⎰⎰+---+-=OADy y x x y x y x d )sin (d )2(d d )21(22 (3分)⎰⎰=Dy x d d ⎰-22d x x 3823212132-=-⋅⋅=ππ (3分)七、(共6设0)1(=f ,确定)(x f 使y x f x xyx f x d )(d )]([sin +-为某二元函数(,)u x y 的全微分.解: 由xQy P ∂∂=∂∂ 得 )()(sin x f x x f x '=-, 即 xxx f x x f s i n )(1)(=+' (2分) 所以 )d sin ()(d x 1d 1C xe xx ex f x x x+⋅=⎰⎰⎰-)d sin (ln ln C x e xx e xx +⋅=⎰- (2分) )cos (1C x x+-=, (1分) 代入初始条件,解得1cos =C ,所以)cos 1(cos 1)(x xx f -=. (1分) 八、(共6分) 计算⎰⎰∑y x z d d 2,其中∑是球面1222=++z y x 外侧在,0≥x 0≥y 的部分.解:⎰⎰∑y x z d d ⎰⎰∑=1d d y x z ⎰⎰∑+2d d y x (2分)⎰⎰--=xyD y x y x d d )1(22⎰⎰----xyD y x y x d )d 1()1(22 (2分) ⎰⎰--=xyD y x y x d )d 1(222r r r d )1(d 21220⋅-=⎰⎰πθ 4π=(2分)08高数A一、选择题(共24分 每小题3分)1.设{}1111,,p n m s =,{}2221,,p n m s =分别为直线1L ,2L 的方向向量,则1L 与2L 垂直的充要条件是 (A )(A )0212121=++p p n n m m (B )212121p p n n m m ==(C )1212121=++p p n n m m (D )1212121=++p pn n m m 2.Yoz 平面上曲线12+=y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为 ( C )(A )12+=y z (B )22x y z +=(C )122++=x y z (D )x y z +=23.二元函数12ln2+-=x y z 的定义域为 (B )(A ){}02|),(2>-x y y x (B ){}012|),(2>+-x y y x (C ){}012|),(2≤+-x y y x (D ){}0,0|),(≥>y x y x4.交换积分顺序:1d (,)d yy f x y x =⎰⎰ ( A )(A )dy y x f dx x ⎰⎰110),((B )dx y x f dy y ⎰⎰110),((C )dx y x f dy y⎰⎰110),((D )dy y x f dx x⎰⎰110),(5.空间闭区域Ω由曲面1=r 所围成,则三重积分⎰⎰⎰Ωv d 2= ( C ) (A )2 (B )2π (C )38π (D )34π 6.函数),(y x z z =由方程04222=-++z z y x 所确定,则xz∂∂= ( D ) (A )zy -2 (B )y x-2 (C )zz-2 (D )zx-27.幂级数∑∞=13n n nn x 的收敛域是 ( C )(A )][3,3- (B )](3,0(C ) [)3,3- (D )()3,3-8.已知微分方程xe y y y =-'+''2的一个特解为x xe y =*,则它的通解是( B )(A )x xe x C x C ++221(B )x x x xe e C e C ++-221(C )x e x C x C ++221(D )x x x xe e C e C ++-21二、填空题(共15分 每小题3分)1.曲面z y x =+22在点)1,0,1(处的切平面的方程是012=--z x . 2.若lim 0n n u →∞≠,则级数∑∞=1n n u 的敛散性是 发散 . 3.级数∑∞=12cos n nn的敛散性是 绝对收敛 . 4.二元函数2221sin)(),(xy x y x f +=,当()()0,0,→y x 时的极限等于 0 。
高等数学同济下册期末考试题及答案套
大学高等数学(下册)考试试卷(一)一、填空题(每小题3分,共计24分)1、z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D=。
2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为。
3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ,1=y 所围图形的面积用二重积分表示为,其值为。
4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。
5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z及3=z 间的部分的外侧,则=++⎰⎰∑ds y x )122(。
6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为。
7、方程04)4(=-y y 的通解为。
8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为。
二、选择题(每小题2分,共计16分)1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是()(A )),(y x f 在),(00y x 处连续;(B )),(y x f x ',),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在;(C )y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时,是无穷小; (D )0)()(),(),(lim 2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。
2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数,则2222y u y x u x ∂∂+∂∂等于() (A )y x +;(B )x ;(C)y ;(D)0。
3、设Ω:,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I等于() (A )4⎰⎰⎰2020103cos sin ππϕϕϕθdr r d d ;(B )⎰⎰⎰200102sin ππϕϕθdr r d d ;(C )⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2020103cos sin dr r d d ;(D )⎰⎰⎰ππϕϕϕθ200103cos sin dr r d d 。
第二学期高数下期末考试试卷及答案
第二学期期末高数(下)考试试卷及答案1一、 填空题(每空 3 分,共 15 分) 1.设()=⎰22t xFx e dt ,则()F x '=-22x xe.2.曲面sin cos =⋅z x y 在点,,⎛⎫⎪⎝⎭1442ππ处的切平面方程是--+=210x y z .3.交换累次积分的次序:=(),-⎰⎰2302xxdx f x y dy.4.设闭区域D 是由分段光滑的曲线L 围成,则:使得格林公式: ⎛⎫∂∂-=+ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰ÑD LQ P dxdy Pdx Qdy x y 成立的充分条件是:()(),,和在D上具有一阶连续偏导数P x y Q x y .其中L 是D 的取正向曲线;5.级数∞=-∑1nn 的收敛域是(],-33.二、 单项选择题 (每小题3分,共15分)1.当→0x ,→0y 时,函数+2423x yx y 的极限是()DA.等于0;B. 等于13;C. 等于14; D. 不存在.2.函数(),=zf x y 在点(),00x y 处具有偏导数(),'00x f x y ,(),'00y f x y 是函数在该点可微分的()CA.充分必要条件;B.充分但非必要条件;C.必要但非充分条件;D. 既非充分又非必要条件.3.设()cos sin =+x ze y x y ,则==10x y dz()=BA.e ;B. ()+e dx dy ;C. ()-+1edx dy ; D. ()+x e dx dy .4.若级数()∞=-∑11nn n a x 在=-1x 处收敛,则此级数在=2x处()AA.绝对收敛;B.条件收敛;C.发散;D.收敛性不确定.5.微分方程()'''-+=+3691x y y y x e 的特解*y 应设为()DA. 3xae ; B.()+3x ax b e ;C. ()+3x xax b e ; D. ()+23x x ax b e .三.(8分)设一平面通过点(),,-312,而且通过直线-+==43521x y z,求该平面方程. 解:()(),,,,,--312430QA B(),,∴=-142u u u rAB 平行该平面∴该平面的法向量()()(),,,,,,=⨯-=--5211428922rn∴所求的平面方程为:()()()----+=83912220x y z即:---=8922590x y z四.(8分)设(),=yz fxy e ,其中(),f u v 具有二阶连续偏导数,试求∂∂z x 和∂∂∂2zx y. 解:令=u xy ,=y v e五.(8分)计算对弧长的曲线积分⎰L其中L 是圆周+=222xy R 与直线,==00x y在第一象限所围区域的边界.解:=++123L L L L其中: 1L :(),+=≥≥22200xy R x y2L :()=≤≤00x y R3L :()=≤≤00y x R而Re ==⎰⎰1202RR L e Rdt ππ故:()Re =+-⎰212R R Le π六、(8分)计算对面积的曲面积分∑⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎰⎰423z x y dS ,其中∑为平面++=1234x y z在第一卦限中的部分. 解:Q xy D :≤≤⎧⎪⎨≤≤-⎪⎩023032x y x=3-==⎰⎰323200x dx七.(8分)将函数()=++2143f x x x ,展开成x 的幂级数.解:()⎛⎫=-=⋅-⋅ ⎪+++⎝⎭+111111121321613Q f x xx x x , 而 ()∞=⋅=-+∑01111212n nn x x , (),-11 ()∞=-⋅=+∑01116313nn n n x x , (),-33 ()()∞+=⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭∑10111123nnn n f x x , (),-11八.(8分)求微分方程:()()+-+-+=42322253330xxy y dx x y xy y dy 的通解.解:∂∂==-∂∂263Q P Qxy y y x,∴原方程为:通解为:++-=532231332x y x y y x C九.幂级数:()()!!!!=++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅246212462nx x x x y x n1.试写出()()'+y x y x 的和函数;(4分)2.利用第1问的结果求幂级数()!∞=∑202nn x n 的和函数.(8分)解:1、()()!!!-'=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅-35213521n x x x y x x n (),-∞∞于是()()!!'+=++++⋅⋅⋅=23123x x x y x y x x e (),-∞∞ 2、令:()()!∞==∑202nn x S x n由1知:()()'+=x S x S x e 且满足:()=01S通解:()()--=+=+⎰12x x x xx Sx e C e e dx Ce e 由()=01S ,得:=12C ;故:()()-=+12xx S x e e十.设函数()f t 在(),+∞0上连续,且满足条件其中Ωt 是由曲线⎧=⎨=⎩2z ty x ,绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面=zt (参数>0t )所围成的空间区域。
大学高数期末试题及答案
大学高数期末试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 下列函数中,哪一个是奇函数?A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = xD. f(x) = sin(x)答案:C2. 函数f(x) = 2x + 1在x=2处的导数是:A. 3B. 4C. 5D. 6答案:B3. 曲线y = x^2 + 1在点(1, 2)处的切线斜率是:A. 0B. 1C. 2D. 3答案:C4. 定积分∫(0到1) x dx的值是:A. 0.5B. 1C. 2D. 3答案:A二、填空题(每题5分,共20分)1. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是______。
答案:12. 函数y = ln(x)的不定积分是______。
答案:xln(x) - x + C3. 微分方程dy/dx + y = e^(-x)的通解是______。
答案:y = -e^(-x) + Ce^(-x)4. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的极值点是______。
答案:x = 1, x = 2三、解答题(每题15分,共30分)1. 求函数f(x) = x^2 - 4x + 3的极值。
答案:函数f(x)的导数为f'(x) = 2x - 4。
令f'(x) = 0,解得x = 2。
将x = 2代入原函数,得到f(2) = 3,这是函数的极小值。
2. 计算定积分∫(0到π) sin(x) dx。
答案:根据定积分的性质,∫(0到π) sin(x) dx = [-cos(x)](0到π) = -cos(π) + cos(0) = 2。
四、证明题(每题15分,共15分)1. 证明函数f(x) = x^3在R上是连续的。
答案:对于任意实数x,有f(x) = x^3。
因为多项式函数在其定义域内处处连续,所以f(x) = x^3在R上是连续的。
高等数学下期末试题(七套附答案)
高等数学(下)试卷一一、 填空题(每空3分,共15分)(1)函数11z x y x y =++-的定义域为 (2)已知函数arctany z x =,则zx ∂=∂(3)交换积分次序,2220(,)y y dy f x y dx⎰⎰=(4)已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段,则()Lx y ds +=⎰(5)已知微分方程230y y y '''+-=,则其通解为二、选择题(每空3分,共15分)(1)设直线L 为321021030x y z x y z +++=⎧⎨--+=⎩,平面π为4220x y z -+-=,则( ) A. L 平行于π B. L 在π上 C. L 垂直于π D. L 与π斜交(2)设是由方程2222xyz x y z +++=确定,则在点(1,0,1)-处的dz =( )A.dx dy +B.2dx dy +C.22dx dy +D.2dx dy - (3)已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5z =所围成的闭区域,将22()xy dvΩ+⎰⎰⎰在柱面坐标系下化成三次积分为( ) A.2253d r dr dzπθ⎰⎰⎰ B.2453d r dr dzπθ⎰⎰⎰ C.2253502rd r dr dzπθ⎰⎰⎰ D. 2252d r dr dzπθ⎰⎰⎰(4)已知幂级数,则其收敛半径( )A. 2B. 1C. 12 D. 2(5)微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y *=( )A.B.()x ax b xe +C.()xax b ce ++D.()xax b cxe ++三、计算题(每题8分,共48分) 1、 求过直线1L :123101x y z ---==-且平行于直线2L :21211x y z+-==的平面方程 2、 已知22(,)z f xy x y =,求zx ∂∂, z y ∂∂得分阅卷人3、 设22{(,)4}D x y x y =+≤,利用极坐标求2Dx dxdy ⎰⎰4、 求函数22(,)(2)xf x y e x y y =++的极值5、计算曲线积分2(23sin )()y L xy x dx x e dy ++-⎰, 其中L 为摆线sin 1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩从点(0,0)O 到(,2)A π的一段弧6、求微分方程 xxy y xe '+=满足 11x y ==的特解四.解答题(共22分)1、利用高斯公式计算22xzdydz yzdzdx z dxdy ∑+-⎰⎰,其中∑由圆锥面22z x y =+与上半球面222z x y =--所围成的立体表面的外侧 (10)'2、(1)判别级数111(1)3n n n n ∞--=-∑的敛散性,若收敛,判别是绝对收敛还是条件收敛;(6')(2)在(1,1)x ∈-求幂级数1nn nx∞=∑的和函数(6')高等数学(下)试卷二一.填空题(每空3分,共15分)(1)函数24x y z -=的定义域为 ; (2)已知函数xyz e =,则在(2,1)处的全微分dz = ;(3)交换积分次序,ln 1(,)e x dx f x y dy⎰⎰= ;(4)已知L 是抛物线2y x =上点(0,0)O 与点(1,1)B 之间的一段弧,则Lyds =⎰;(5)已知微分方程20y y y '''-+=,则其通解为 .二.选择题(每空3分,共15分)(1)设直线L 为300x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩,平面π为10x y z --+=,则L 与π的夹角为( );A. 0B. 2πC. 3πD. 4π(2)设是由方程333z xyz a -=确定,则z x ∂=∂( );A. 2yz xy z -B. 2yz z xy -C. 2xz xy z -D. 2xy z xy -(3)微分方程256x y y y xe '''-+=的特解y *的形式为y *=( );A.2()x ax b e +B.2()xax b xe + C.2()x ax b ce ++ D.2()x ax b cxe ++(4)已知Ω是由球面2222x y z a ++=所围成的闭区域, 将dvΩ⎰⎰⎰在球面坐标系下化成三次积分为( ); A2220sin ad d r drππθϕϕ⎰⎰⎰ B.220ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰C.200ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰ D.220sin a d d r drππθϕϕ⎰⎰⎰(5)已知幂级数1212nnn n x ∞=-∑,则其收敛半径( ).A. 2B. 1C. 122三.计算题(每题8分,共48分)5、 求过(0,2,4)A 且与两平面1:21x z π+=和2:32y z π-=平行的直线方程 .6、 已知(sin cos ,)x yz f x y e +=,求zx ∂∂, z y ∂∂ .7、 设22{(,)1,0}D x y x y y x =+≤≤≤,利用极坐标计算arctanDydxdy x ⎰⎰ .8、 求函数22(,)56106f x y x y x y =+-++的极值. 9、 利用格林公式计算(sin 2)(cos 2)x x Le y y dx e y dy-+-⎰,其中L 为沿上半圆周222(),0x a y a y -+=≥、从(2,0)A a 到(0,0)O 的弧段. 6、求微分方程 32(1)1y y x x '-=++的通解.四.解答题(共22分)1、(1)(6')判别级数11(1)2sin3n n n n π∞-=-∑的敛散性,若收敛,判别是绝对收敛还是条件收敛;(2)(4')在区间(1,1)-内求幂级数1n n x n ∞=∑的和函数 .2、(12)'利用高斯公式计算2xdydz ydzdx zdxdy∑++⎰⎰,∑为抛物面22z x y =+(01)z ≤≤的下侧得分阅卷人得分高等数学(下)模拟试卷三一. 填空题(每空3分,共15分)1、 函数arcsin(3)y x =-的定义域为 .2、22(2)lim 332n n n n →∞++-= .3、已知2ln(1)y x =+,在1x =处的微分dy = . 4、定积分1200621(sin )x x x dx -+=⎰ .5、求由方程57230y y x x +--=所确定的隐函数的导数dydx =.二.选择题(每空3分,共15分)1、2x =是函数22132x y x x -=-+的 间断点 (A )可去 (B )跳跃(C )无穷 (D )振荡2、积分1⎰= .(A) ∞ (B)-∞(C) 0 (D) 13、函数1xy e x =-+在(,0]-∞内的单调性是 。
高等数学下册的期末考试及试卷试题包括答案.docx
高等数学 A( 下册 ) 期末考试试题大题一二三四五 六七小题12345得分一、填空题:(本题共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分, 把答案直接填在题中横线上 )r rr rrr rrr1、已知向量 a 、 b 满足 a b0 , a2, b2 ,则 a b.2、设 zx ln( xy) ,则3z.x y23、曲面 x 2 y 2z 9 在点 (1, 2, 4) 处的切平面方程为.4、设 f ( x) 是周期为2 的周期函数,它在 [, ) 上的表达式为 f (x) x ,则 f ( x) 的傅里叶级数在 x3 处收敛于,在 x处收敛于.5、设 L 为连接 (1, 0) 与 (0,1) 两点的直线段,则(xy)ds.L※以下各题在答题纸上作答, 答题时必须写出详细的解答过程,并在每张答题纸写上: 姓名、学号、班级.二、解下列各题:5 小题,每小题 7 分,满分 35 分)(本题共 1、求曲线2x 2 3y 2 z 2 91,2)z23x2y2在点 M 0 (1, 处的切线及法平面方程.2、求由曲面 z2x 2 2 y 2 及 z 6 x 2 y 2 所围成的立体体积.3、判定级数( 1)nlnn1 是否收敛?如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛?n 1n4、设 zf (xy, x) sin y ,其中 f 具有二阶连续偏导数,求z , 2z .yxx y5、计算曲面积分dS ,其中 是球面 x 2y 2z 2 a 2 被平面 zh (0 h a) 截出的顶部.z三、(本题满分 9 分) 抛物面 zx 2 y 2 被平面 x yz 1截成一椭圆,求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值.(本题满分 10 分)计算曲线积分( e x siny m dx ( e x cos y mx dy ,L其中 m 为常数, L 为由点 A(a,0) 至原点 O(0,0) 的上半圆周 x 2y 2ax (a 0) .四、(本题满分 10 分)x n 求幂级数的收敛域及和函数.n 13n n五、(本题满分 10 分)计算曲面积分I2x3dydz 2y3dzdx 3(z21)dxdy ,其中为曲面 z 1 x2y 2 ( z0) 的上侧.六、(本题满分 6分)设 f ( x) 为连续函数, f (0) a , F (t )[ z f ( x2y2z2 )]dv ,其中t是由曲面 zx2y2t与 zt2x22所围成的闭区域,求lim F (t)y t 3 .t 0-------------------------------------备注:①考试时间为 2 小时;②考试结束时,请每位考生按卷面答题纸草稿纸由表及里依序对折上交;不得带走试卷。
高等数学下册期末考试试题及答案
高等数学A (下册)期末考试试题一、填空题:(本题共5小题,每小题4分,满分20分,把答案直接填在题中横线上)1、已知向量a 、b 满足0a b +=,2a =,2b =,则a b ⋅= .2、设ln()z x xy =,则32zx y∂=∂∂ . 3、曲面229x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 .4、设()f x 是周期为2π的周期函数,它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =,则()f x 的傅里叶级数在3x =处收敛于 ,在x π=处收敛于 .5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段,则()Lx y ds +=⎰ .※以下各题在答题纸上作答,答题时必须写出详细的解答过程,并在每张答题纸写上:姓名、学号、班级.二、解下列各题:(本题共5小题,每小题7分,满分35分)1、求曲线2222222393x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程.2、求由曲面2222z x y =+及226z x y =--所围成的立体体积.3、判定级数11(1)lnn n n n∞=+-∑是否收敛?如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛? 4、设(,)sin x z f xy y y =+,其中f 具有二阶连续偏导数,求2,z zx x y∂∂∂∂∂.5、计算曲面积分,dSz∑⎰⎰其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部.三、(本题满分9分) 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆,求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值.(本题满分10分)计算曲线积分(sin )(cos )x x Le y m dx e y mx dy -+-⎰,其中m 为常数,L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周22(0)x y ax a +=>.四、(本题满分10分)求幂级数13nn n x n∞=⋅∑的收敛域及和函数.五、(本题满分10分)计算曲面积分332223(1)I x dydz y dzdx z dxdy ∑=++-⎰⎰,其中∑为曲面221(0)z x y z =--≥的上侧.六、(本题满分6分)设()f x 为连续函数,(0)f a =,222()[()]tF t z f x y z dv Ω=+++⎰⎰⎰,其中t Ω是由曲面z =与z =所围成的闭区域,求 3()lim t F t t +→. -------------------------------------备注:①考试时间为2小时;②考试结束时,请每位考生按卷面→答题纸→草稿纸由表及里依序对折上交;不得带走试卷。
高等数学下册期末考试及试题答案
高等数学A(下册)期末考试试题一、填空题:(本题共5小题,每小题4分,满分20分,把答案直接填在题中横线上)1、已知向量a r、b r满足0a b +=r rr,2a =r,2b =r ,则a b ⋅=r r . 2、设ln()z x xy =,则32zx y∂=∂∂ . 3、曲面229x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 .4、设()f x 是周期为2π的周期函数,它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =,则()f x 的傅里叶级数在3x =处收敛于,在x π=处收敛于 .5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段,则()Lx y ds +=⎰.※以下各题在答题纸上作答,答题时必须写出详细的解答过程,并在每张答题纸写上:姓名、学号、班级.二、解下列各题:(本题共5小题,每小题7分,满分35分)1、求曲线2222222393x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程.2、求由曲面2222z x y =+及226z x y =--所围成的立体体积. 3、判定级数11(1)lnn n n n∞=+-∑是否收敛?如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛? 4、设(,)sin x z f xy y y =+,其中f 具有二阶连续偏导数,求2,z zx x y∂∂∂∂∂.5、计算曲面积分,dSz ∑⎰⎰其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部. 三、(本题满分9分) 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆,求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值.(本题满分10分)计算曲线积分(sin )(cos )x x Le y m dx e y mx dy -+-⎰,其中m 为常数,L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周22(0)x y ax a +=>.四、(本题满分10分)求幂级数13nn n x n∞=⋅∑的收敛域及和函数.五、(本题满分10分)计算曲面积分332223(1)Ix dydz y dzdx z dxdy ∑=++-⎰⎰,其中∑为曲面221(0)z x y z =--≥的上侧.六、(本题满分6分)设()f x 为连续函数,(0)f a =,222()[()]tF t z f xy z dv Ω=+++⎰⎰⎰,其中t Ω是由曲面z =与z =所围成的闭区域,求 30()lim t F t t+→. -------------------------------------备注:①考试时间为2小时;②考试结束时,请每位考生按卷面→答题纸→草稿纸由表及里依序对折上交; 不得带走试卷。
2020-2021《高等数学》(下)期末课程考试试卷(含答案)
2020-2021《高等数学》(下)期末课程考试试卷适用专业:应化 考试日期:年 月 试卷类型:闭卷 考试时间:120分钟 试卷总分:100分一. 填空题:(共5小题,每小题3分,共15分)1.设()f x 是周期为2的周期函数,它在区间[1,1]-的定义为22,10(),01x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩,则()f x 的傅里叶级数在2x =收敛于 1 . 2.设y zx =,则x z =1y yx - ; y z =ln y x x3.改变积分顺序1(,)dy f x y dx ⎰= 211(,)xdx f x y dy ⎰⎰ .4.将函数sin xx 展开成x 的幂级数为 ()()20121nn n x n ∞=-+∑5.设L 为圆周224x y +=,则22Lx y ds +⎰8π .二.单项选择. (共5小题,每小题3分,共15分)1.设D 为圆域: 224x y +≤,曲面1D 是D 在第一象限中的部分.则有( D ). (A) 14DD xd xd σσ=⎰⎰⎰⎰ (B) 14DD yd yd σσ=⎰⎰⎰⎰(C) 14DD xyd xyd σσ=⎰⎰⎰⎰ (D) 122224DD x y d x y d σσ=⎰⎰⎰⎰.2.lim 0n n u →∞≠是级数1nn u∞=∑发散的( A )(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充要条件 (D)无关条件 3.设∑为曲面3z = ()221x y +≤则下面积分中不为0的是( D ) (A)xyzdydz ∑⎰⎰ (B)xyzdxdy ∑⎰⎰ (C)xyzdzdx ∑⎰⎰ (D)zdS ∑⎰⎰4.设123,,y y y 是常系数线性非齐次方程()ay by cy f x '''++=的三个线性无关的解,则0ay by cy '''++=的通解为( C ).(A)1122c y c y + (B)1223c y c y + (C) ()1122123c y c y c c y +-+ (D) 112233c y c y c y ++5.设∑为曲面)0(222>=+R R y x 上的10≤≤z 部分,则⎰⎰∑++dS y x ey x )sin(2222=( D ).(A) 0 (B)2sin Re R R π (C) R π4 (D)2sin Re 2R R π 三、解下列各题。
(完整版)高等数学(同济)下册期末考试题及答案(5套).doc
高等数学(下册)考试试卷(一)一、填空题(每小题3 分,共计 24 分)1 、 log a ( x2 y 2 ) (a 0) 的定义域为 D= 。
z =2、二重积分ln( x 2y 2 ) dxdy 的符号为 。
|x| |y| 13、由曲线 y ln x 及直线 x y e 1, y 1 所围图形的面积用二重积分表示为,其值为。
4 、设曲线 L 的参数方程表示为 x (t ) x),则弧长元素 ds。
y ((t )5 、 设 曲 面 ∑ 为 x 2y 29 介 于 z 0 及 z3间的部分的外侧,则(x 2 y 2 1)ds。
6、微分方程dyytan y的通解为 。
dxxx7、方程 y (4 ) 4 y 0 的通解为 。
8、级数1的和为。
n 1 n(n 1)二、选择题(每小题2 分,共计 16 分)1、二元函数 z f (x, y) 在 ( x 0 , y 0 ) 处可微的充分条件是()(A ) f (x, y) 在 ( x 0 , y 0 ) 处连续;( B ) f x ( x, y) , f y ( x, y) 在 (x 0 , y 0 ) 的某邻域内存在;( C ) z f x ( x 0 , y 0 ) xf y ( x 0 , y 0 ) y 当 () 2 ( y ) 2 0 时,是无穷小;x( D ) limz f x ( x 0 , y 0 ) x f y ( x 0 , y 0 ) y0 。
x ( x)2( y)2y 02、设 u yf ( x ) xf ( y), 其中 f 具有二阶连续导数,则 x2uy2u 等于()yxx 2 y 2( A ) x y ; ( B ) x ;(C) y ;(D)0 。
3、设 : x 2 y 2 z 2 1, z 0, 则三重积分 IzdV 等于()(A )4221 3;( )21 2;ddr sin cos drddr sin dr0 0 0 B( C ) 22 d13sin cos dr ;(D )2d d13 sin cos dr 。
高等数学下期末试题(七套附答案)
x1 y 2 z3
x2
1、 求过直线 L1 : 1
0
1 且平行于直线 L 2 : 2
z
z
2、 已知 z f ( xy2 , x2 y) ,求 x , y
D
3、 设
{( x, y) x2
y2
4} ,利用极坐标求
x2dxdy
D
C. (ax b) cex
y1 z 1 1 的平面方程
1 / 22
4、 求函数 f (x, y) e2x ( x y2 2 y) 的极值
1 1x
x0
1 1 ex 1
2
x0
f (x
求0
x 2 及 y2 x 所围图形的面积;
1)dx (6 )
( 2)求所围图形绕 x 轴旋转一周所得的体积。 (6 )
高等数学(下)模拟试卷四
一. 填空题 (每空 3 分,共 15 分)
1 y
1 x2
1、 函数
x
的定义域为
.
e axdx, a 0
2、 0=Fra bibliotek.z
3 .已知 z
e xy ,则
(1,0 )
x
。
4 .设 L 为 x2
y 2 1 上点 1,0 到
1,0 的上半弧段,则
2ds
L
。
e
ln x
dx f ( x, y)dy
5 .交换积分顺序 1
0
。
( 1) n
6 . 级数 n 1 n 是绝对收敛还是条件收敛?
。
7 .微分方程 y sin x 的通解为
。
二.选择题 (每空 3 分,共 15 分)
x
2
d 2y
1、已知 y 1 t ,求 dx2
高等数学期末考试试题及解答
高等数学(下)期末试题(2)二、填空题(每题3分,总计15分)。
1、函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在点(1,1)-处取得极值,则常数a =______。
2、若曲面2222321x y z ++=的切平面平行于平面46250x y z -++=,则切点坐标为______________________。
3、二重积分3110x ydyye dx -蝌的值为______________。
5、微分方程2yy x y ¢=+的通解为_____________________。
三、计算题(每题7分,总计35分)。
2、设(,)z f x y xy =-具有连续的二阶偏导数,求2z x y¶抖。
3、将函数23()2f x x x=--展开成x 的幂级数,并指出收敛域。
4、设)(x y y 满足方程322x y y y e ⅱ?-+=,且其图形在点)1,0(与曲线21y x x =-+相切,求函数)(x y 。
5、计算222Ldsx y z++ò,其中L 是螺旋线8cos ,8sin ,x t y t z t ===对应02t p#的弧段。
四、计算题(每题7分,总计35分)。
1、设0a >,计算极限23123lim ()n n na a a a??++++的值。
2、计算z dv W蝌?,其中W 由不等式z ?22214x y z ?+?所确定。
4、将函数()(11)f x x x =-#展开成以2为周期的傅立叶级数。
5、设函数)(x f 具有连续导数并且满足(1)3f =,计算曲线积分22(())(())Ly f x x dx x f x y dy +++ò的值,假定此积分在右半平面内与路径无关,曲线L 是由)2,1(到)1,2(的任一条逐段光滑曲线。
五、本题5分。
对0p >,讨论级数11(1)nn n n p¥+=-å的敛散性。
(完整word版)高数下期末考试及解答(8份)
课程名称 高等数学试卷 (I )一、填空(14分)1.设f(x),0,00,sin 2⎪⎩⎪⎨⎧=≠=x x x x则=→)(lim 0x f x 。
2.曲线y=x 3上切线斜率等于3的点是 。
3.x x y ln 22-=区间 上单调减少。
4.)1(lim 0xctgx x -→= 。
5.⎰+dx x x )1(1= 。
6.过点A (2,-3,4)且与y 轴垂直相交的直线方程为 。
二、完成下列各题(40分) 1.)11ln 1(lim 1--→x x x 2.已知:dxdy x x y e xy求,2cos ln =+ 3.计算:⎰++dx x x 294124.计算:⎰dx x 2)(arcsin5.计算:⎰eedx x x12ln三、求函数f(x)=123+--x x x 在[-1,2]上的最大值与最小值(8分) 四、证明:当x>0时,xarctgxx +>+1)1ln( (8分) 五、设f(x)在[a ,b]上连续,证明:⎰⎰-+=babadx x b a f dx x f )()( (8分)六、求曲线x y ln =当x 在区间(2,6)内的一条切线,使得该切线与x y ln =以及x=2,x=6所围成的图形的面积最小。
(8分)七、求过点(-1,0,4)且平行于平面3x-4y+z-10=0又与直线21311zy x =-=+相交的直线方程。
(8分)八、求抛物线x y 82=与其上点(2,4)处的法线所围成图形的面积。
并求该图形在x 轴上方部分绕y 轴旋转后所得旋转体的体积。
(6分)课程名称 高等数学试卷 (I )九、填空(14分)1.0 2.(1,+1),(-1,-1) 3.(0,)2π4.0 5.2arctg x +C 6.⎩⎨⎧-==32y xz十、完成下列各题(40分) 1.))1(ln ln 1(lim )11ln 1(lim 11---=--→→x x xx x x x x (2')=x x xxx ln )1(111lim1+--→ (2')=211ln 11limln 11lim11=⋅++=+--→→xx x x x x x x x (4') 2.等式两边对x 求导x x y x y y x y e xy 2sin 21ln )(-=⋅+'+'+ (3') xy xyye xyx x xe y ---=+'2sin 2)ln ( (3')xxe ye x yx y xyxy ln 2sin 2+++-=' =xx e x xye y x x xyxyln 2sin 22+++- (2') 3.⎰⎰++=++=++''C x arctg dx x dx x x 525125)2(1294132)5(24.⎰⎰--=dx xxx x x dx x 22211arcsin 2)(arcsin )(arcsin (3')=⎰--+)1(11arcsin )(arcsin 22x d xxx x⎰-+=)12(arcsin )(arcsin 22x xd x x (2')=⎰----+dx xx x x x x 22221112arcsin 12)(arcsin (2')=C x x x x x +--+2arcsin 12)(arcsin 22 (1')5.⎰⎰=+==='''ee e ee e x x xd x x 11)2(13)3(2)3(2323131|3ln ln ln ln三、(8分)令)1)(13(123)(2-+=--='x x x x x f (2') 得:1,3121=-=x x (1')01111)1(,273213191271)31(=+--==++--=-f f (2')31248)2(,01111)1(=+--==++--=-f f (2')最大值为3,最小值为0 四、(8分)证明:令xarctgxx x f +-+=1)1ln()( (1') 22)1(1111)(x arctgx x xx x f +-++-+='=222)1(1)1(x arctgx x x x ++++ (3') Θx>0时,,0)(>'x f ∴ x>0时,f(x)递增 (2') 又f(0)=0, ∴当x>0时,f(x)>0 (1')即xarctgxx +>+1)1ln( (1') 五、(8分)⎰⎰-+-+-=-+babax b a d x b a f dx x b a f )()()( (2')令t=a+b-x ,则x=a+b-t ,代入上式 (3')⎰⎰⎰⎰==-=-+bab ab abadx x f dt t f dt t f dx x b a f )()()()( (3')六、(8分)设该切线的切点对应处,则0x x =该切线为:)(1ln 000x x x x y -=- (2') 则x=2时,切线上)2(1ln 0001x x x y -+= x=6时,切线上)6(1ln 0002x x x y -+= (2') 围成图形面积为:)]2(1ln 2[421000x x x S -+⋅==,416ln 400-+x x 令0164200=-='x x S (2') ,411,400===x k x 该切线为:)4(414ln -=-x y (2') 七、(8分)平面3x-4y+z-10=0的法矢量}1,4,3{-=→n (1') 设交点为),,(000z y x (即两直线交点)则所求直线的方向矢量为}4,,1{000-+z y x (1')则⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=-+-+223210)4(4)1(3000000z y x z y x ,解得⎪⎩⎪⎨⎧===321915000z y x (3')所求直线的方向矢量为{16,19,28} (1') 所求直线为:28419161-==+z y x (2')八、(6分)在x y 82=两边对x 求导,xy y y 84,82='='当x=2时,1|2='=x y ,则法线的斜率为-1法线方程为:y=-1(x-2)+4=-x+6 (2')与抛物线的另一个交点为:(18,-12) (1') 所围成圆形如图,它的面积为 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-+=+=12241228182168D D y x xdy dx dx dy d d S σσ=⎰⎰-++-+-4121822)86()82(dx x x dy y =18223182********|3222|6|2|24162x x x y ⋅++--⋅-=)316144(12108)1622()3872(32-+---+--+=14496160840++---=32 (2')法线与x 轴交于⎰⎰-=-=624022218)0,6(dy y dx x V V V ππΛ =]|24|3[403623y x -π =)24643872(--π=)383872(--π=π3200(3')一、填空(14分)1、 若)1(x x f +=2x +21x+3,则=)(x f 2、 设=)(x f 12-x e ,则)(x f ''= 3.xxx 3sin 5sin limπ→=4、设点(1,3)为曲线23bx ax y +=的拐点,则=a ,=b5、=+⎰x t dxd sin 021 6、在xoz 面上的曲线13222=+z x 绕z 轴旋转所得曲面方程是二、完成下列各题(35分)1、2)1(lim 1xtgx x π-→2、⎰+dx x x 2473、xdx x ⎰2sin4、dx xx⎰+3122115、dx x x ex⎰-2)(ln 11三、求曲线)1ln(2x y +=的拐点。
高等数学下册试卷及答案
高等数学下册试卷及答案高等数学(下册)考试试卷(一)一、填空题(每小题3分,共计24分)1、z=loga(x+y)的定义域为D={(x,y)|x+y>0}。
2、二重积分∬|x|+|y|≤1 2ln(x+y)dxdy的符号为负。
3、由曲线y=lnx及直线x+y=e+1,y=1所围图形的面积用二重积分表示为∬(e+1-x)dx dy,其值为e-1.4、设曲线L的参数方程表示为{x=φ(t)。
y=ψ(t)} (α≤t≤β),则弧长元素ds=√[φ'(t)²+ψ'(t)²]dt。
5、设曲面∑为x+y=9介于z=0及z=3间的部分的外侧,则∫∫∑(x²+y²+1)ds=18√2.6、微分方程y'=x/(y²+1)的通解为y=1/2ln(y²+1)+1/2x²+C。
7、方程y''-4y=tanx的通解为y=C1e^(2x)+C2e^(-2x)-1/2cosxsinx。
8、级数∑n=1∞1/(n(n+1))的和为1.二、选择题(每小题2分,共计16分)1、二元函数z=f(x,y)在(x,y)处可微的充分条件是(B)f_x'(x,y),f_y'(x,y)在(x,y)的某邻域内存在。
2、设u=yf(x)+xf(y),其中f具有二阶连续导数,则x²+y²等于(A)x+y。
3、设Ω:x+y+z≤1.z≥0,则三重积分I=∭ΩzdV等于(D)∫0^1∫0^(1-z)∫0^(1-x-y)zdxdydz。
4、球面x²+y²+z²=16a²与柱面x²+y²=2ax所围成的立体体积V=(C)8∫0^π/2∫0^(2acosθ)∫0^√(16a²-r²)rdzdrdθ。
注:原文章中第一题的符号“>”应该是“≥”,已进行更正。
2020-2021《高等数学》(下)期末课程考试试卷(含答案)
2020-2021《高等数学》(下)期末课程考试试卷适用专业:应化 考试日期:年 月 试卷类型:闭卷 考试时间:120分钟 试卷总分:100分一. 填空题:(共5小题,每小题3分,共15分)1.设()f x 是周期为2的周期函数,它在区间[1,1]-的定义为22,10(),01x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩,则()f x 的傅里叶级数在2x =收敛于 1 . 2.设y zx =,则x z =1y yx - ; y z =ln y x x3.改变积分顺序1(,)dy f x y dx ⎰= 211(,)xdx f x y dy ⎰⎰ .4.将函数sin xx 展开成x 的幂级数为 ()()20121nn n x n ∞=-+∑5.设L 为圆周224x y +=,则22Lx y ds +⎰8π .二.单项选择. (共5小题,每小题3分,共15分)1.设D 为圆域: 224x y +≤,曲面1D 是D 在第一象限中的部分.则有( D ). (A) 14DD xd xd σσ=⎰⎰⎰⎰ (B) 14DD yd yd σσ=⎰⎰⎰⎰(C) 14DD xyd xyd σσ=⎰⎰⎰⎰ (D) 122224DD x y d x y d σσ=⎰⎰⎰⎰.2.lim 0n n u →∞≠是级数1nn u∞=∑发散的( A )(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充要条件 (D)无关条件 3.设∑为曲面3z = ()221x y +≤则下面积分中不为0的是( D ) (A)xyzdydz ∑⎰⎰ (B)xyzdxdy ∑⎰⎰ (C)xyzdzdx ∑⎰⎰ (D)zdS ∑⎰⎰4.设123,,y y y 是常系数线性非齐次方程()ay by cy f x '''++=的三个线性无关的解,则0ay by cy '''++=的通解为( C ).(A)1122c y c y + (B)1223c y c y + (C) ()1122123c y c y c c y +-+ (D) 112233c y c y c y ++5.设∑为曲面)0(222>=+R R y x 上的10≤≤z 部分,则⎰⎰∑++dS y x ey x )sin(2222=( D ).(A) 0 (B)2sin Re R R π (C) R π4 (D)2sin Re 2R R π 三、解下列各题。
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高等数学(下)试卷一一、 填空题(每空3分,共15分)(1)函数11z x y x y =++-的定义域为 (2)已知函数arctany z x =,则zx ∂=∂(3)交换积分次序,2220(,)y y dy f x y dx⎰⎰=(4)已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段,则()L x y ds +=⎰ (5)已知微分方程230y y y '''+-=,则其通解为 二、选择题(每空3分,共15分)(1)设直线L 为321021030x y z x y z +++=⎧⎨--+=⎩,平面π为4220x y z -+-=,则( )A. L 平行于πB. L 在π上C. L 垂直于πD. L 与π斜交 (2)设是由方程2222xyz x y z +++=确定,则在点(1,0,1)-处的dz =( ) A.dx dy + B.2dx dy + C.22dx dy +D.2dx dy -(3)已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5z =所围成的闭区域,将22()xy dvΩ+⎰⎰⎰在柱面坐标系下化成三次积分为( )A.22530d r dr dzπθ⎰⎰⎰ B.24530d r dr dzπθ⎰⎰⎰C.2253502rd r dr dzπθ⎰⎰⎰ D.2252d r dr dzπθ⎰⎰⎰(4)已知幂级数,则其收敛半径( )A. 2B. 1C. 122(5)微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y *=( )A. B.()x ax b xe + C.()xax b ce ++D.()xax b cxe ++三、计算题(每题8分,共48分)1、 求过直线1L :123101x y z ---==-且平行于直线2L :21211x y z+-==的平面方程2、 已知22(,)z f xy x y =,求zx ∂∂, z y ∂∂3、设22{(,)4}D x y x y =+≤,利用极坐标求2Dx dxdy⎰⎰4、 求函数22(,)(2)x f x y e x y y =++的极值 5、计算曲线积分2(23sin )()y Lxy x dx x e dy++-⎰, 其中L 为摆线sin 1cos x t ty t =-⎧⎨=-⎩从点(0,0)O 到(,2)A π的一段弧6、求微分方程 xxy y xe '+=满足 11x y ==的特解 四.解答题(共22分)1、利用高斯公式计算22xzdydz yzdzdx z dxdy ∑+-⎰⎰Ò,其中∑由圆锥面22z x y =+与上半球面222z x y =--所围成的立体表面的外侧(10)'2、(1)判别级数111(1)3n n n n ∞--=-∑的敛散性,若收敛,判别是绝对收敛还是条件收敛;(6')(2)在(1,1)x ∈-求幂级数1nn nx∞=∑的和函数(6')高等数学(下)试卷二一.填空题(每空3分,共15分)(1)函数24x y z -=的定义域为 ;(2)已知函数xyz e =,则在(2,1)处的全微分dz = ;(3)交换积分次序,ln 1(,)ex dx f x y dy⎰⎰= ;(4)已知L 是抛物线2y x =上点(0,0)O 与点(1,1)B 之间的一段弧,则yds =⎰;得分 阅卷人(5)已知微分方程20y y y '''-+=,则其通解为 . 二.选择题(每空3分,共15分)(1)设直线L 为300x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩,平面π为10x y z --+=,则L 与π的夹角为( );A. 0B. 2πC. 3πD. 4π(2)设是由方程333z xyz a -=确定,则z x ∂=∂( );A. 2yz xy z -B. 2yz z xy -C. 2xz xy z - D.2xy z xy -(3)微分方程256x y y y xe '''-+=的特解y *的形式为y *=( ); A.2()x ax b e + B.2()xax b xe + C.2()x ax b ce ++D.2()xax b cxe ++(4)已知Ω是由球面2222x y z a ++=所围成的闭区域, 将dvΩ⎰⎰⎰在球面坐标系下化成三次积分为( );A 2220sin ad d r drππθϕϕ⎰⎰⎰ B.220ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰C.20ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰D.220sin ad d r drππθϕϕ⎰⎰⎰(5)已知幂级数1212nnn n x ∞=-∑,则其收敛半径( ).A. 2B. 1C. 122得分 阅卷三.计算题(每题8分,共48分)5、 求过(0,2,4)A 且与两平面1:21x z π+=和2:32y z π-=平行的直线方程 .6、已知(sin cos ,)x yz f x y e +=,求zx ∂∂, z y ∂∂ .7、 设22{(,)1,0}D x y x y y x =+≤≤≤,利用极坐标计算arctan D y dxdy x ⎰⎰ .8、 求函数22(,)56106f x y x y x y =+-++的极值. 9、 利用格林公式计算(sin 2)(cos 2)xx Ley y dx e y dy-+-⎰,其中L 为沿上半圆周222(),0x a y a y -+=≥、从(2,0)A a 到(0,0)O 的弧段.6、求微分方程 32(1)1y y x x '-=++的通解.四.解答题(共22分)1、(1)(6')判别级数11(1)2sin3n n n n π∞-=-∑的敛散性,若收敛,判别是绝对收敛还是条件收敛;(2)(4')在区间(1,1)-内求幂级数1n n x n ∞=∑的和函数 .2、(12)'利用高斯公式计算2xdydz ydzdx zdxdy∑++⎰⎰,∑为抛物面22z x y =+(01)z ≤≤的下侧高等数学(下)模拟试卷三一. 填空题(每空3分,共15分)1、 函数arcsin(3)y x =-的定义域为 .2、22(2)lim 332n n n n →∞++-= .3、已知2ln(1)y x =+,在1x =处的微分dy = . 4、定积分1200621(sin )x x x dx -+=⎰.5、求由方程57230y y x x +--=所确定的隐函数的导数dydx =.二.选择题(每空3分,共15分)1、2x =是函数22132x y x x -=-+的 间断点 (A )可去 (B )跳跃 (C )无穷 (D )振荡2、积分10⎰= .(A) ∞ (B)-∞(C) 0 (D) 13、函数1xy e x =-+在(,0]-∞内的单调性是 。
(A )单调增加; (B )单调减少;(C )单调增加且单调减少; (D)可能增加;可能减少。
4、1sin xtdt⎰的一阶导数为 .(A )sin x (B )sin x - (C )cos x (D )cos x -5、向量{1,1,}a k =-r 与{2,2,1}b =--r相互垂直则k = .(A )3 (B )-1 (C )4 (D )2 三.计算题(3小题,每题6分,共18分) 1、求极限123lim()21x x x x +→∞+- 2、求极限30sin limx x x x →-3、已知ln cos xy e =,求dydx四.计算题(4小题,每题6分,共24分)1、已知221t x y t ⎧=⎪⎨⎪=-⎩,求22d y dx2、计算积分2cos x xdx⎰ 3、计算积分1arctan xdx⎰4、计算积分⎰五.觧答题(3小题,共28分)1、(8)'求函数42341y x x =-+的凹凸区间及拐点。
2、(8)'设1101()101x x xf x x e +⎧≥⎪⎪+=⎨⎪<⎪+⎩求20(1)f x dx -⎰3、(1)求由2y x =及2y x =所围图形的面积;(6)'(2)求所围图形绕x 轴旋转一周所得的体积。
(6)'高等数学(下)模拟试卷四一. 填空题(每空3分,共15分)1、函数1y x =的定义域为 .2、0,0ax e dx a +∞->⎰= .3、已知sin(21)y x =+,在0.5x =-处的微分dy = .4、定积分121sin 1xdx x -+⎰= .5、函数43341y x x =-+的凸区间是 . 二.选择题(每空3分,共15分)1、1x =是函数211x y x -=-的 间断点 (A )可去 (B )跳跃 (C )无穷 (D )振荡2、若()0,(0)0,(0)1,limx f ax a f f x →'≠==-==(A)1 (B)a(C)-1 (D) a -3、在[0,2]π内函数sin y x x =-是 。
(A )单调增加; (B )单调减少;(C )单调增加且单调减少; (D)可能增加;可能减少。
4、已知向量{4,3,4}a =-r 与向量{2,2,1}b =r则a b ⋅r r 为 .(A )6 (B )-6 (C )1 (D )-35、已知函数()f x 可导,且0()f x 为极值,()f x y e =,则x x dydx==.(A )0()f x e (B )0()f x ' (C )0 (D )0()f x 三.计算题(3小题,每题6分,共18分) 1、求极限10lim(1-)k xx kx +→2、求极限12cos 2sin limsin xx t dtx x→⎰3、已知1lnsinxy e=,求dy dx四. 计算题(每题6分,共24分)1、设10ye xy --=所确定的隐函数()yf x =的导数0x dydx=。
2、计算积分arcsin xdx ⎰ 3、计算积分0π⎰4、计算积分0,0a >⎰五.觧答题(3小题,共28分)1、(8)'已知2223131at x t at y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩,求在2t =处的切线方程和法线方程。
2、(8)'求证当0a b >>时,1ln ln 1a b a a b b -<<- 3、(1)求由3y x =及0,2y x ==所围图形的面积;(6)'(2)求所围图形绕y 轴旋转一周所得的体积。
(6)'高等数学(下)模拟试卷五一. 填空题(每空3分,共21分) 1.函数y y x z )ln(-=的定义域为 。