2020中考专题9——最值问题之胡不归

2020中考专题9——最值问题之胡不归班级姓名.【模型解析】◆条件：A、B 为定点，P 为射线AC 上一个动点◆问题：点P 在何处，AP m n BP +（1<mn）最短。

◆方法：第一步.在AC 的一侧，PB 的异侧，构造∠CAE=α,使得mn=αsin ;第二步.作BH ⊥AE 于点E，交AC 于点P,此时点P 就是所求位置，BH 就是AP mnBP +的最小值.【例题分析】例1.【问题提出】如图①，已知海岛A 到海岸公路BD 的距离为AB ，C 为公路BD 上的酒店，从海岛A 到酒店C ，先乘船到登陆点D ，船速为a ，再乘汽车，车速为船速的n 倍，点D 选在何处时，所用时间最短？【特例分析】若n ＝2，则时间t ＝aCDa AD 2+，当a 为定值时，问题转化为：在BC 上确定一点D ，使得2CDAD +的值最小．如图②，过点C 做射线CM ，使得∠BCM ＝30°．（1）过点D 作DE ⊥CM ，垂足为E ，试说明：2CDDE =；（2）请在图②中画出所用时间最短的登陆点D ′，并说明理由．【问题解决】（3）请你仿照“特例分析”中的相关步骤，解决图①中的问题（写出具体方案，如相关图形呈现、图形中角所满足的条件、作图的方法等）．【模型运用】（4）如图③，海面上一标志A 到海岸BC 的距离AB ＝300m ，BC ＝300m ．救生员在C 点处发现标志A 处有人求救，立刻前去营救，若救生员在岸上跑的速度都是6m /s ，在海中游泳的速度都是2m /s ，求救生员从C 点出发到达A 处的最短时间．2.（2019•南通）如图，▱ABCD 中，∠DAB ＝60°，AB ＝6，BC ＝2，P 为边CD 上的一动点，则PB +23PD 的最小值等于．例2图例3图例3.（2019•长沙）如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，tan A ＝2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则CD +55BD 的最小值是（）A ．2B ．4C ．5D ．10【巩固训练】1.(2018台州仙居县一模）如图1，菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°,边长为3，P 是对角线BD 上的一个动点，则PC BP +21的最小值是（）A.3B.233 C.3 D.23433+图1图2图32.（2015无锡二模）如图2，菱形ABCD 的对角线AC 上有一动点P ，BC=6,∠ABC=150°,则求PA+PB+PD的最小值为.3.如图3,△ABC 在直角坐标系中,AB=AC,A(0,22),C(1,0),D 为射线AO 上一点,一动点P 从A 出发,运动路径为A →D →C,点P 在AD 上的运动速度是在CD 上的3倍,要使整个运动时间最少,则点D 的坐标应为()A.(0,22)B.(0,22) C.(0,32) D.(0,42)图4图55.（2015内江）如图5，在△ACE 中，CA=CE ，∠CAE=30°，⊙O 经过点C ，且圆的直径AB 在线段AE 上．设点D 是线段AC 上任意一点（不含端点），连接OD ，当AB=8时，则21CD+OD 的最小值．中，BC=2,∠B=30°，求c bx ++的图象经过点A(-1,0)、图78.（2015日照）如图8，抛物线y=21x 2+mx+n 与直线y=-21x+3交于A，B 两点，交x 轴与D，C 两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求tan∠BAC 的值；（3）设E 为线段AC 上一点（不含端点），连接DE，一动点M 从点D 出发，沿线段DE 以每秒一个单位速度运动到E 点，再沿线段EA 以每秒2个单位的速度运动到A 后停止，当点E 的坐标是多少时，点M 在整个运动中用时最少？图82020中考专题9——最值问题之胡不归答案例1.解：（1）如图①，∵DE ⊥CM ，∴∠DEC ＝90°，∴在Rt △BCM 中，DE ＝CD •sin30°，∴DE ＝．（2）如图①过点A 作AE ⊥CM 交CB 于点D '，则D '点即为所用时间最短的登陆点．理由如下：由第（1）问可知，D 'E '＝．AD '+最短，即为AD '+D 'E ′最短．由直线外一点与这条直线上点的所有连线段中，垂线段最短．可知此时D '点即为所求．（3）如图②，过点C 做射线CM ，使得sin ∠BCM ＝n1，过点A 作AE ⊥CM ，垂足为E ，交CB 于点D ，则D 即为所用时间最短的登陆点．（4）∵救生员在岸上跑的速度都是6m /s ，在海中游泳的速度都是2m /s ，∴此时sin ∠BCM ＝，可得sin ∠DAB ＝，∴在Rt △ADB 中，AB ＝300，AD ＝225，DB ＝75，CD ＝300﹣75．∴时间为+＝（50+100）s ．例2.解：如图，过点P 作PE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ，∵AB ∥CD ∴∠EDP ＝∠DAB ＝60°，∴sin ∠EDP ＝∴EP ＝PD∴PB+PD＝PB+PE∴当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE，∵sin∠A＝＝∴BE＝3故答案为3例3.解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠AEB＝90°，∵tan A＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，则有：100＝a2+4a2，∴a2＝20，∴a＝2或﹣2（舍弃），∴BE＝2a＝4，∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AB，∴CM＝BE＝4（等腰三角形两腰上的高相等））∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，∴sin∠DBH＝＝＝，∴DH＝BD，∴CD+BD＝CD+DH，∴CD+DH≥CM，∴CD+BD≥4，∴CD+BD的最小值为4．【巩固训练】答案1.解：如图作PM⊥AB于M，CH⊥AB于H．∵四边形ABCD 是菱形，∴∠PBM ＝∠ABC ＝30°，∴PM ＝PB ，∴PB +PC ＝PC +PM ，根据垂线段最短可知，CP +PM 的最小值为CH 的长，在Rt △CBH 中，CH ＝BC •sin60°＝，∴PB +PC 的最小值为，故选：B ．2.26 3.D4.964 5.32 6.327.【解答】解：（1）由题意解得，∴抛物线解析式为y ＝x 2﹣x ﹣，∵y ＝x 2﹣x ﹣＝（x ﹣）2﹣，∴顶点坐标（，﹣）．（2）如图1中，连接AB ，作DH ⊥AB 于H ，交OB 于P ，此时PB +PD 最小．理由：∵OA ＝1，OB ＝，∴tan ∠ABO ＝＝，∴∠ABO ＝30°，∴PH ＝PB ，∴PB +PD ＝PH +PD ＝DH ，∴此时PB +PD 最短（垂线段最短）．在Rt △ADH 中，∵∠AHD ＝90°，AD ＝，∠HAD ＝60°，∴sin60°＝，∴DH ＝，∴PB +PD 的最小值为．故答案为．8.解：（Ⅰ）把A （0，3），C （3，0）代入y ＝x 2+mx +n ，得，解得：．∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x+3联立，解得：或，∴点B的坐标为（4，1）．如图1．∵C（3，0），B（4，1），A（0，3），∴AB2＝20，BC2＝2，AC2＝18，∴BC2+AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB＝90°，∴tan∠BAC＝＝＝；（2）如图,过A作射线AF∥x轴，过D作射线DF∥y轴，DF与AC交于点E．∵A（0，3），C（3，0），∴l AC：y＝﹣x+3．∵OA＝OC，∠AOC＝90°，∴∠ACO＝45°，∵AF∥OC，∴∠FAE＝45°．∴EF＝AE•sin45°＝．∴当且仅当AF⊥DF时，DE+EF取得最小值，点M在整个运动中用时最少为：t＝+＝DE+EF，∵抛物线的解析式为y＝x2﹣x+3，且C（3，0），∴可求得D点坐标为（2，0）则E点横坐标为2，将x＝2代入l AC：y＝﹣x+3．，得y＝1．所以E（2，1）．9.（1）证明：∵四边形ABCD是矩形．∴OD＝OB＝OC＝OA，∵△EDC和△ODC关于CD对称，∴DE＝DO，CE＝CO，∴DE＝EC＝CO＝OD，∴四边形CODE是菱形．（2）①设AE交CD于K．∵四边形CODE是菱形，∴DE∥AC，DE＝OC＝OA，∴＝＝∵AB＝CD＝6，∴DK＝2，CK＝4，在Rt△ADK中，AK＝＝＝3，∴sin∠DAE＝＝，②作PF⊥AD于F．易知PF＝AP•sin∠DAE＝AP，∵点Q的运动时间t＝+＝OP+AP＝OP+PF，∴当O、P、F共线时，OP+PF的值最小，此时OF是△ACD的中位线，∴OF＝CD＝3．AF＝AD＝，PF＝DK＝1，∴AP＝＝，∴当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，AP的长为cm，点Q走完全程所需的时间为3s．。