二次函数的概念—知识讲解(提高)
九年级上册数学二次函数知识点
九年级上册数学二次函数知识点一、二次函数的概念。
1. 定义。
- 一般地，形如y = ax^2+bx + c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数。
其中x是自变量，a、b、c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。
- 例如y = 2x^2+3x - 1，这里a = 2，b=3，c=-1。
2. 二次函数的特殊形式。
- 当b = 0时，二次函数为y=ax^2+c，例如y = 3x^2-2。
- 当c = 0时，二次函数为y = ax^2+bx，例如y=x^2+2x。
- 当b = 0且c = 0时，二次函数为y = ax^2，例如y=-x^2。
二、二次函数的图象和性质。
1. 二次函数y = ax^2的图象和性质（a≠0）- 图象：二次函数y = ax^2的图象是一条抛物线。
当a>0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
- 对称轴：对称轴为y轴（即直线x = 0）。
- 顶点坐标：顶点坐标为(0,0)。
- 增减性。
- 当a>0时，在对称轴左侧（x<0），y随x的增大而减小；在对称轴右侧（x>0），y随x的增大而增大。
- 当a < 0时，在对称轴左侧（x<0），y随x的增大而增大；在对称轴右侧（x>0），y随x的增大而减小。
2. 二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)的图象和性质。
- 图象：也是一条抛物线。
- 对称轴：对称轴公式为x =-(b)/(2a)。
- 顶点坐标：把x =-(b)/(2a)代入函数y = ax^2+bx + c可得到顶点的纵坐标y=frac{4ac - b^2}{4a}，所以顶点坐标为(-(b)/(2a),frac{4ac - b^2}{4a})。
- 增减性。
- 当a>0时，在对称轴左侧（x<-(b)/(2a)），y随x的增大而减小；在对称轴右侧（x>-(b)/(2a)），y随x的增大而增大。
人教版九年级上册 第22章 二次函数复习知识点总结和题型讲解
二次函数复习知识点一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数y＝ax2+bx+c的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次多项式。
（①含自变量的代数式是整式，②自变量的最高次数是2，③二次项系数不为0.）⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、二次函数的基本形式1. y＝ax2的性质：2. y＝ax2＋k的性质：（k上加下减）3. y＝a（x-h）2的性质：（h左加右减）4. y ＝a (x －h)2＋k 的性质：5. y ＝ax2+bx+c 的性质：三、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a.(a 决定了抛物线开口的大小和方向)二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然a ≠0 ① 当0a >时，抛物线开口向上，当0a <时，抛物线开口向下；②a 的绝对值越大，开口越小，反之a 的绝对值越小，开口越大。
总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b （a 和b 共同决定抛物线对称轴的位置）.抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；② （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③ （即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异”3. 常数项c(c 决定了抛物线与y 轴交点的位置)⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 四、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿x 轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）五、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 六、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.七、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于x 轴对称2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．八、二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠），适用条件：已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠），适用条件：已知图像上点两坐标，且其中一点为抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 交点式（两根式）：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）， 适用条件：已知图像上三点坐标，其中两点为抛物线与x 轴的两个交点（1x ，0），（2x ，0），一般选用交点式；九、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当abx 2-=时，a b ac y 442-=最值。
《二次函数》知识点知识点总结
《二次函数》知识点知识点总结《二次函数》知识点总结一、二次函数的定义一般地，如果形如 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a、b、c 是常数，a ≠ 0）的函数，那么就叫做二次函数。
其中，x 是自变量，a 叫做二次项系数，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项。
需要注意的是，二次函数的二次项系数 a 不能为 0，如果 a ＝ 0，那么就变成了一次函数。
二、二次函数的图像二次函数的图像是一条抛物线。
当 a ＞ 0 时，抛物线开口向上；当 a ＜ 0 时，抛物线开口向下。
抛物线的对称轴是直线 x ＝ b ／ 2a 。
抛物线的顶点坐标为（b ／ 2a，（4ac b²) ／ 4a）。
三、二次函数的表达式1、一般式：y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a ≠ 0）2、顶点式：y ＝ a(x h)²＋ k（a ≠ 0），其中顶点坐标为（h，k）3、交点式：y ＝ a(x x₁)（x x₂)（a ≠ 0），其中 x₁、x₂是抛物线与 x 轴交点的横坐标四、二次函数的性质1、当 a ＞ 0 时，在对称轴左侧，y 随 x 的增大而减小；在对称轴右侧，y 随 x 的增大而增大。
函数有最小值，当 x ＝ b ／ 2a 时，y 最小值＝（4ac b²) ／ 4a 。
2、当 a ＜ 0 时，在对称轴左侧，y 随 x 的增大而增大；在对称轴右侧，y 随 x 的增大而减小。
函数有最大值，当 x ＝ b ／ 2a 时，y 最大值＝（4ac b²) ／ 4a 。
五、抛物线的平移抛物线的平移实质上是它的顶点（h，k）的移动（点的移动规律）。
向左平移 h 个单位长度，顶点坐标变为（h m，k）；向右平移 m个单位长度，顶点坐标变为（h ＋ m，k）。
向上平移 n 个单位长度，顶点坐标变为（h，k ＋ n）；向下平移 n个单位长度，顶点坐标变为（h，k n）。
六、二次函数与一元二次方程的关系二次函数 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a ≠ 0），当 y ＝ 0 时，就变成了一元二次方程 ax²＋ bx ＋ c ＝ 0（a ≠ 0）。
二次函数专题讲解3
二次函数专题讲解一、知识综述：1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，。
3.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.4.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2. 它们的图像特征如下：开口大小与｜a ｜成反比，｜a ｜越大，开口越小；｜a ｜越小，开口越大。
5.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 6.二次函数图象的平移左加右减（对X ），上加下减（对Y ）。
二、考点分析及例题解析 考点一：二次函数的概念 例1：如果函数1)3(232++-=+-mx x m y m m 是二次函数，那么m的值为 。
考点二：二次函数的图象例2（2010年广东省广州市）已知抛物线y ＝－x 2＋2x ＋2．（1）该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标 ；（2）选取适当的数据填入下表，并在图7的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；x … … y……（3）若该抛物线上两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）的横坐标满足x 1＞x 2＞1，试比较y 1与y 2的大小．例3 (安徽省芜湖市)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，反比例函数y ＝ ax 与正比例函数y ＝（b ＋c ）x 在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）例4兰州市)抛物线c bx x y ++=2图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为322--=x x y ，则b 、c 的值为（ ）A . b=2， c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2 例5.（2006，大连）右图是二次函数y 1=ax 2+bx+c 和一次函数y 2=mx+n 的图像，•观察图像写出y 2≥y 1时，x 的取值范围_______．变式训练：1、在同一坐标系中，直线b ax y +=和抛物线c bx ax y ++=2的图象只可能是（ ）-5-4-3-2-1O 12345xy-11Y O X YO X Y O XY O X2、抛物线y=－2x 2－4x －5经过平移得到y=－2x 2，平移方法是（ ） A ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 C ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位考点三：确定二次函数的解析式例4：（宁波市）如图，已知二次函数c bx x y ++-=221的图象经过A （2，0）、B （0，－6）两点。
数学二次函数的概念—知识讲解(提高)
二次函数的概念—知识讲解（提高）[学习目标]1.理解函数的定义、函数值、自变量、因变量等基本概念；2.了解表示函数的三种方法——解析法、列表法和图像法；3.会根据实际问题列出函数的关系式，并写出自变量的取值围；4.理解二次函数的概念，能够表示简单变量之间的二次函数关系.[要点梳理]要点一、函数的概念一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x，y，对于自变量x在某一围的每一个确定值，y都有惟一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数.对于自变量x在可以取值围的一个确定的值a，函数y有惟一确定的对应值，这个对应值叫做当x=a 时函数的值，简称函数值.要点诠释：对于函数的概念，应从以下几个方面去理解：（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；（2）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于x允许取的每一个值，y是否都有惟一确定的值与它相对应；（3）函数自变量的取值围，应要使函数表达式有意义，在解决实际问题时，还必须考虑使实际问题有意义.要点二、函数的三种表示方法表示函数的方法，常见的有以下三种：（1）解析法：用来表示函数关系的数学式子叫做函数的表达式，（或解析式），用数学式子表示函数的方法称为解析法.（2）列表法：用一个表格表达函数关系的方法.（3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系的方法.要点诠释：函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色.对照表如下：列表法×∨∨×解析式法∨∨××图象法××∨∨一般地，形如y=ax2+bx+c（a, b, c是常数，a≠0）的函数叫做x的二次函数.若b=0，则y=ax2+c；若c=0，则y=ax2+bx；若b=c=0，则y=ax2.以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数的一般式.在二次函数的一般式y=ax2+bx+c（a≠0）中，ax2叫函数的二次项，bx叫函数的一次项，c叫常数项；a叫二次项系数，b叫一次项系数，c叫常数项.要点诠释：（1）如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．（2）判断系数时，首先要将二次函数化成一般式，再对照定义写出，特别要注意的是系数要包含其前面的符号.[典型例题]类型一、函数的相关概念1、下列说确的是（）Ａ.变量满足，则是的函数；Ｂ.变量满足，则是的函数；Ｃ.变量满足，则是的函数；Ｄ.变量满足，则是的函数.[思路点拨]严格依照函数的概念进行判断.[答案]A；[解析]B、C、D三个选项，对于一个确定的的值，都有两个值和它对应，不满足单值对应的条件，所以不是函数.[总结升华]理解函数的概念，关键是函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函数值是惟一确定的.举一反三：[变式]如图的四个图象中，不表示某一函数图象的是（）[答案]B.2、求函数的自变量的取值围.[思路点拨]要使函数有意义，需或解这个不等式组即可.[答案与解析]解：要使函数有意义，则需要即或解方程组得，自变量取值是或.[总结升华]自变量的取值围是使函数有意义的x 的值.3、如图所示，用一段长30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度为15米)的矩形菜园ABCD ，设AB 的长为x 米，则菜园的面积y(单位：米2)与x(单位：米)的函数关系式为________(写自变量的取值围)．[思路点拨]根据矩形的周长和一边AB 的长表示出另一临边AD 的长，再根据矩形的面积公式来求解.[答案]21152y x x =-+（0＜x ≤15） [解析]解：∵矩形的周长为30米，边AB 长x 米，∴AD=302x -米， ∴矩形的面积y=x ⨯302x -=21152x x -+（0＜x ≤15） [总结升华]考虑到实际情况，对于自变量x 来说，一定不能超过墙的长度.举一反三：[变式]圆的半径是1cm ，假设半径增加xcm ，圆的面积增加ycm 2，则y 与x 的关系式为：________.[答案]22y x x ππ=+类型二、函数的三种表示方法4、问题情境已知矩形的面积为a （a 为常数，a ＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？ 数学模型设该矩形的长为x ，周长为y ，则y 与x 的函数关系式为2()(0)a y x x x =+＞．探索研究⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数1(0)y x x x=+＞的图象性质． ①填写下表，画出函数的图象：②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；③在求二次函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你通过配方求函数1y x x=+(x ＞0)的最小值． 解决问题⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．[思路点拨]本题告诉我们一种研究问题的方法，从最基本的函数研究起，慢慢到较复杂的函数.所以一定要跟着题目教给我们的思路走.[答案与解析] 解⑴①y 的值依次是：174，103，52，2，52，103，174． 函数1y x x=+(0)x >的图象如图．②本题答案不唯一，下列解法供参考．当01x <<时，y 随x 增大而减小；当1x >时,y 随x 增大而增大；当1x =时函数1y x x =+(0)x >的最小值为2．③1y x x=+ =221()()x x+ =22111()()22x x x x x x +-=21()2x x+ 1x x=0，即1x =时，函数1y x x =+(0)x >的最小值为2．⑵[总结升华]本题属于阅读理解型问题，要好好阅读材料，根据题目的提示一步步往下进行.综合考察了列表法、图形法和解析法三种函数的表示方法.类型三、二次函数的概念5、（2015秋·校级月考）一个二次函数234(1)21k k y k x x -+=-+-.（1）求k 的值.（2）求当x=3时，y 的值？[思路点拨]关键要考虑两点：一是自变量的最高次数为2，二是最高次项系数不能为0.[答案与解析]解（1）依题意有234210k k k ⎧-+=⎨-⎩≠，解之得，k=2.(2)把k=2代入函数解析式中得： y=x 2+2x-1,当x=3时，y=14.[总结升华]此题考察二次函数的定义和函数值.举一反三：[变式1]函数||1(3)31m y m x x -=-+-是二次函数，则m 的值是( )．A ．3B ．-3C ．±2D ．±3[答案]B.[变式2]（2015秋·校级月考）已知函数2(1)2mm y m x x m +=-+-是二次函数，求m 的值，并指出二次项系数，一次项系数与常数项.[答案与解析] 解：由题意得2210m m m ⎧+=⎨-⎩≠∴211m m m =-=⎧⎨⎩或≠， ∴m = -2.∴函数为y=-3x 2+2x+2∴二次项系数为-3，一次项系数为2，常数项为2.。
《二次函数》知识点解读
《二次函数》知识点解读二次函数是高中数学中一个重要的知识点，它是一种常见的函数类型，形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a不能为0。
接下来，让我们来深入解读二次函数的相关知识点。
一、二次函数的基本形式与性质1. 基本形式：二次函数的基本形式为y=ax^2+bx+c，其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
a决定了二次函数的开口方向和开口的大小，a>0时开口向上，a<0时开口向下。
2.对称轴：对称轴是二次函数图像的一个重要性质，其方程为x=-b/(2a)，对称轴将图像分为对称的两部分。
3. 零点：二次函数的零点是函数图像与x轴相交的点，即满足二次函数方程ax^2+bx+c=0的x值。
4. 判别式：二次函数的判别式为Δ=b^2-4ac，它决定了二次函数的零点个数和性质。
当Δ>0时，函数有两个不同的实根；当Δ=0时，函数有两个相等的实根；当Δ<0时，函数没有实根。
二、二次函数的图像特征1.开口方向：二次函数的开口方向由a的正负确定，a>0时开口向上，a<0时开口向下。
2.顶点：二次函数的顶点是函数图像的最高或最低点，坐标为(-b/(2a),f(-b/(2a)))。
3.最值：当二次函数开口向上时，函数的最小值为顶点的纵坐标；当二次函数开口向下时，函数的最大值为顶点的纵坐标。
4.对称性：二次函数具有对称性，即关于对称轴对称。
三、二次函数的变形1.平移变形：二次函数的图像可以通过平移来进行变形，平移的形式为y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为平移的距离和方向。
2.缩放变形：二次函数的图像可以通过缩放来进行变形，缩放的形式为y=a(x-h)^2+k，其中a为缩放的比例因子。
四、二次函数的应用1.物理学中的应用：二次函数常用于描述抛物线运动，如自由落体运动、抛体运动等。
2.经济学中的应用：二次函数常用于描述成本、收益、利润等与产量之间的关系。
3.工程学中的应用：二次函数常用于描述波形、曲线形状等。
九年级二次函数知识点讲解
九年级二次函数知识点讲解二次函数是初中数学中的重要内容之一，也是数学学习的基础。
本文将对九年级二次函数的知识点进行详细讲解，希望对同学们的学习有所助益。
一、二次函数的定义和性质二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c都是实数且a≠0。
其中a决定了二次函数的开口方向（a>0时开口向上，a<0时开口向下），b决定了二次函数的对称轴位置，c则是二次函数的纵坐标偏移量。
二次函数的图像为一条平滑的曲线，被称为抛物线。
抛物线的顶点对应了二次函数的最值点，也是二次函数的最高点或最低点。
二、二次函数的图像二次函数的图像是由抛物线组成的。
对于二次函数f(x) = ax^2+ bx + c，我们可以通过以下步骤绘制出其图像：1.计算出抛物线的对称轴位置，即取-b/2a得到x = -b/2a；2.计算出抛物线的顶点，即在对称轴上取x = -b/2a进行代入得到y坐标值；3.根据对称性，将顶点的横坐标左右对称，得到抛物线的两侧；4.根据函数的性质，计算出抛物线与x轴的交点，即当f(x) =ax^2 + bx + c = 0时求解x的值；5.将顶点、交点等关键点连接起来，即完成了二次函数的图像。
通过这一过程，我们可以描绘出二次函数的几何形状，进一步理解二次函数的性质和特点。
三、二次函数的最值对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c来说，它的最值点即为其顶点。
顶点的横坐标为-x轴系数除以2倍的a值，即x = -b/2a；纵坐标则可通过将横坐标代入函数中得到。
根据最值点的位置，我们可以判断二次函数的开口方向和最值点的位置。
当a>0时，二次函数开口向上，最值点为最低点，也是函数的最小值；当a<0时，二次函数开口向下，最值点为最高点，也是函数的最大值。
四、二次函数的平移和伸缩二次函数的平移指的是抛物线在坐标系中的位置变化，可以通过改变函数的常数项c来实现。
当c>0时，抛物线上移；当c<0时，抛物线下移。
高中数学二次函数知识点
高中数学二次函数知识点一、基本概念二次函数是指关于自变量的二次多项式函数，通常表达为y=ax²+bx+c，其中a、b、c是定值且a≠0。
二、图像及特征二次函数的图像为一个开口朝上或朝下的平滑曲线，对称轴为x=-b/2a。
当a>0时，开口朝上；当a<0时，开口朝下。
当a>0时，曲线在对称轴上方存在最小值；当a<0时，曲线在对称轴下方存在最大值。
三、函数变形及性质1. 平移：将二次函数y=ax²+bx+c沿x 轴平移h个单位，得到y=a(x-h)²+b(x-h)+c2. 垂直伸缩：将二次函数y=ax²+bx+c的图像沿y轴纵向伸缩k倍，得到y=kax²+kbx+c3. 水平伸缩：将二次函数y=ax²+bx+c的图像沿x轴横向伸缩k倍，得到y=a(x/k)²+b(x/k)+c4. 对称轴：二次函数的对称轴为x=-b/2a5. 零点：二次函数的零点为y=0的解，即ax²+bx+c=0的解，其判别式为△=b²-4ac。
当△>0时，有两个不同的实数零点；当△=0时，有一个实数零点；当△<0时，无实数零点。
6. 解析式：y=ax²+bx+c的解析式为y=a(x+h)²+k四、常见类型1. 线性函数：当a=0、b≠0时，二次函数化为y=bx+c，其图像为一直线。
2. 完全平方型：当△=0时，二次函数化为y=a(x+h)²+k，其图像为一个顶点在对称轴处的抛物线。
3. 拉伸型：当a>0、|a|<1时，二次函数的图像沿y轴纵向收缩；当a>1时，二次函数的图像沿y轴纵向伸展。
4. 正比例型：当a>0、b=0时，二次函数化为y=ax²，其图像为对称于原点的抛物线。
5. 负比例型：当a<0、b=0时，二次函数化为y=ax²，其图像为对称于y轴的抛物线。
二次函数知识点总结(详细)
2.已知二次函数 的图象如图所示, 有以下结论: ① ；② ；③ ；④ ；⑤ 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①②B. ①③④C. ①②③⑤D. ①②③④⑤3.二次函数 的图象如图所示, 则下列关系式中错误的是（ ） A. a ＜0 B. c ＞0 C. ＞0 4、D. ＞0图12为二次函数 的图象, 给出下列说法:① ；②方程 的根为 ；③ ；④当 时, y 随x 值的增大而增大；⑤当 时, . 其中, 正确的说法有 ．（请写出所有正确说法的序号）5.已知=次函数y ＝ax +bx+c 的图象如图. 则下列5个代数式: ac, a+b+c, 4a －2b+c, 2a+b, 2a －b 中, 其值大于0的个数为（ ） A. 2B 3C 、4D 、5四、二次函数解析式的确定 例4.求二次函数解析式:（1）抛物线过（0, 2）, （1, 1）, （3, 5）；（2）顶点M （-1, 2）, 且过N （2, 1）；（3）已知抛物线过A （1, 0）和B （4, 0）两点, 交y 轴于C 点且BC ＝5, 求该二次函数的解析式。
（1） 练习: 根据下列条件求关于x 的二次函数的解析式 当x=3时, y 最小值=－1, 且图象过（0, 7）图象过点（0, －2）（1, 2）且对称轴为直线x=图象经过（0, 1）（1, 0）（3, 0）五、二次函数与x 轴、y 轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）11 1 Oxy已知抛物线y＝x2-2x-8,（1）求证: 该抛物线与x轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B, 且它的顶点为P, 求△ABP的面积。
2、1.二次函数y＝x2-2x-3图象与x轴交点之间的距离为如图所示, 二次函数y＝x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两点, 交y 轴于点C,则△ABC的面积为( )A.6B.4C.3D.13.若二次函数y＝(m+5)x2+2(m+1)x+m的图象全部在x轴的上方, 则m 的取值范围是六、直线与二次函数的问题例6 已知: 二次函数为y=x2－x+m, （1）写出它的图像的开口方向, 对称轴及顶点坐标；（2）m为何值时, 顶点在x轴上方, （3）若抛物线与y轴交于A, 过A作AB∥x轴交抛物线于另一点B, 当S△AOB=4时, 求此二次函数的解析式.1.抛物线y=x2+7x+3与直线y=2x+9的交点坐标为。
二次函数知识点总结
二次函数知识点总结二次函数是数学中一个重要的函数类型，它在许多领域都有广泛的应用。
二次函数的一般形式为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0。
以下是二次函数的主要知识点总结：1. 定义：二次函数是最高次项为二次的多项式函数。
2. 标准形式：二次函数的标准形式是 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0。
3. 系数意义：系数 a 决定了抛物线的开口方向和宽度，b 和 c 决定了抛物线的位置。
4. 开口方向：当 a > 0 时，抛物线向上开口；当 a < 0 时，抛物线向下开口。
5. 顶点：二次函数的顶点是抛物线的最值点，其坐标可以通过公式(-b/2a, f(-b/2a)) 计算得出。
6. 对称轴：二次函数的对称轴是一条垂直于 x 轴的直线，其方程为x = -b/2a。
7. 极值：当 a > 0 时，抛物线有最小值；当 a < 0 时，抛物线有最大值。
8. 零点：二次函数的零点是函数图像与 x 轴的交点，可以通过求解方程 ax^2 + bx + c = 0 得到。
9. 判别式：二次方程 ax^2 + bx + c = 0 的判别式为Δ = b^2 -4ac，它决定了方程的根的性质。
- 当Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根。
- 当Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根。
- 当Δ < 0 时，方程没有实数根。
10. 应用：二次函数在物理、工程、经济学等领域有广泛应用，如抛体运动、最优化问题等。
11. 图像特征：二次函数的图像是一个抛物线，其形状和位置由系数a、b、c 共同决定。
12. 函数性质：二次函数具有连续性、可导性等性质，其导数为 f'(x) = 2ax + b。
13. 函数图像绘制：通过确定顶点、对称轴和零点，可以绘制出二次函数的图像。
14. 函数变换：通过对二次函数进行平移、伸缩等变换，可以得到新的二次函数图像。
二次函数知识点整理
二次函数知识点整理二次函数，又称为二次方程，是数学中重要的一类函数。
它的一般形式可以表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是实数，且a不等于0。
二次函数和二次方程在数学的各个领域，特别是代数、几何和物理中都有广泛的应用。
下面我将对二次函数的知识点进行整理，从定义、图像、性质、解法以及应用等多个方面进行说明。
一、二次函数的定义二次函数是一个关于x的函数，其最高次项是二次项。
一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是实数，且a不等于0。
a叫做二次函数的二次项系数，决定了二次函数图像开口的方向和大小；b叫做一次项系数，决定了二次函数图像的位置；c叫做常数项，是二次函数图像与y轴的交点。
二、二次函数的图像特点1.开口方向：二次函数图像的开口方向由二次项系数a的正负决定。
当a>0时，图像开口向上；当a<0时，图像开口向下。
2.对称轴：二次函数图像的对称轴是一个垂直于x轴的直线，对称轴经过顶点。
对称轴的方程为x=-b/2a。
3.顶点坐标：二次函数图像的顶点坐标是对称轴上的一个点，其横坐标为对称轴的坐标，纵坐标为对应x值带入二次函数得出的y值。
顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。
4. 判别式：对于二次函数y=ax^2+bx+c，其判别式Δ=b^2-4ac可用来判断二次函数的图像与x轴的交点情况。
若Δ>0，则有两个不同的实根，图像与x轴有两个交点；若Δ=0，则有一个实根，图像与x轴有一个交点；若Δ<0，则没有实根，图像与x轴无交点。
5.图像特征：二次函数图像的增减性、凹凸性和极值情况与二次项系数a的正负有关。
当a>0时，图像是向上开口的，增减性从减到增，形状为“∩”，有最小值；当a<0时，图像是向下开口的，增减性从增到减，形状为“∪”，有最大值。
三、二次函数的性质1. 零点：二次函数y=ax^2+bx+c的零点是使得函数取0值的x值。
一元二次方程ax^2+bx+c=0的解即为二次函数的零点。
专题15二次函数及其应用(知识点总结例题讲解)-2021届中考数学一轮复习
1 2 中考数学 专题 15 二次函数及其应用（知识点总结+例题讲解）一、二次函数的概念：1.二次函数的概念：（1）一般地，如果 y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0)，那么 y 叫做 x 的二次函数； （2）抛物线 y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0)叫做二次函数的一般式。
2.二次函数的解析式（ 二次函数的解析式有三种形式）： （1）一般式：y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0) （2）顶点式：y=a(x-h)2+k(a ，h ，k 是常数，a≠0) （3）两根式(交点式)：y=a(x-x 1)(x-x 2)；①已知图像与 x 轴的交点坐标 x 1、x 2，通常选用交点式； 即对应二次方程 ax 2+bx+c=0 有实根 x 和 x 存在； ②如果没有交点，则不能这样表示。
3.用待定系数法求二次函数的解析式：（1）若已知抛物线上三点坐标，可设二次函数表达式为 y ＝ax 2＋bx ＋c ； （2）若已知抛物线上顶点坐标或对称轴方程，则可设顶点式：y ＝a(x －h)2＋k ，其中对称轴为 x ＝h ，顶点坐标为(h ，k)；（3）若已知抛物线与 x 轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用两根式(交点式)：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)，其中与 x 轴的交点坐标为(x 1，0)，(x 2，0)。
【例题 1】已知二次函数的图象经过(2，10)、(0，12)和(1，9)三点，求二次函数的解析式.【答案】y=2x 2-5x+12【解析】设抛物线的解析式为 y=ax 2+bx+c ，把(2，10)、(0，12)、(1，9)分别代入求出 a ，b ，c 即可．解：设抛物线的解析式为 y=ax 2+bx+c ；⎨ ⎩ ⎧4a + 2b + c = 10 把(2，10)、(0，12)、(1，9)分别代入得⎪c = 12⎪a + b + c = 9 所以，二次函数的解析式为：y=2x 2-5x+12。
初三数学二次函数知识点总结归纳
初三数学二次函数知识点总结归纳二次函数最高次必须为二次，二次函数的图像是一条对称轴与y 轴平行或重合于y轴的抛物线，如果令y值等于零，则可得一个二次方程。
下面是小编为大家整理的关于初三数学二次函数知识点总结，希望对您有所帮助!初三数学二次函数知识点总结1二次函数的定义一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)的函数叫做x 的二次函数.如y=3x2，y=3x2-2，y=2x2+x-1等都是二次函数.注意：(1)二次函数是关于自变量的二次式，二次项系数a必须是非零实数，即a≠0，而b，c是任意实数，二次函数的表达式是一个整式;(2)二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)，自变量x的取值范围是全体实数;(3)当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数;(4)一个函数是否是二次函数，要化简整理后，对照定义才能下结论，例如y=x2-x(x-1)化简后变为y=x，故它不是二次函数.2二次函数解析式的几种形式(1)一般式：y=ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0).(2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数，a≠0).(3)两根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，a≠0.说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h=0时，抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上;当k=0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上;当h=0且k=0时，抛物线y=ax2的顶点在原点3二次函数y=ax2+c的图象与性质(1)抛物线y=ax2+c的形状由a决定，位置由c决定.(2)二次函数y=ax2+c的图象是一条抛物线，顶点坐标是(0，c)，对称轴是y轴.当a>0时，图象的开口向上，有最低点(即顶点)，当x=0时，y 最小值=c.在y轴左侧，y随x的增大而减小;在y轴右侧，y随x增大而增大.当a<0时，图象的开口向下，有最高点(即顶点)，当x=0时，y 最大值=c.在y轴左侧，y随x的增大而增大;在y轴右侧，y随x增大而减小.(3)抛物线y=ax2+c与y=ax2的关系.抛物线y=ax2+c与y=ax2形状相同，只有位置不同.抛物线y=ax2+c可由抛物线y=ax2沿y轴向上或向下平行移动|c|个单位得到.当c>0时，向上平行移动，当c<0时，向下平行移动.初三二次函数知识点总结1二次函数及其图像二次函数(quadratic function)是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。
初中数学 知识点考点解析含答案 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质—知识讲解(提高)
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．
要点诠释：
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，
2．求抛物线 的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
要点二、二次函数 的图象的画法
1.一般方法：列表、描点、连线；
2.简易画法：五点定形法.
其步骤为：
(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴．
∴ 当x＝1时y有最小值， ．
∵ x＝1是0＜x＜2范围的中点，在x＝1两侧图象左右对称，端点处取不到，不存在最大值．
(2)∵ x＝1不在2≤x≤3范围内(如图所示)，又因为函数 (2≤x≤3)的图象是
抛物线 的一部分，且当2≤x≤3时，y随x的增大而增大，
∴ 当x＝3时， ；当x＝2时， ．
【典型例题】
类型一、二次函数 的图象与性质
1.（2016•达州）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：
①abc＞0
②4a+2b+c＞0
③4ac﹣b2＜8a
④ ＜a＜
③∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），
九年级二次函数知识点讲义
九年级二次函数知识点讲义二次函数是初中数学中非常重要的一个概念，也是进入高中数学学习的基础。
本文将为大家简要介绍九年级二次函数的相关知识点，希望能对大家的学习有所帮助。
一、二次函数的定义和特点二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是常数，且a≠0。
二次函数的图像一般呈现抛物线的形状，开口的方向取决于a的正负值。
当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。
二次函数的特点有以下几个方面：1. 对称性：二次函数的抛物线是关于直线x = -b/(2a)的对称图形，对于任意一点(x, y)在抛物线上，与它关于对称轴的另外一个点(x', y')，有x + x' = -b/a。
2. 零点：二次函数的零点也叫作方程ax^2 + bx + c = 0的根，是使得二次函数取值为0的x值。
一般情况下，二次函数有两个零点。
3. 最值：二次函数的最值是指在定义域内的最大值或最小值，这个最值出现在抛物线的顶点处。
当a>0时，抛物线的顶点是最小值；当a<0时，抛物线的顶点是最大值。
二、二次函数的图像与参数1. 平移变换：二次函数的图像可以通过平移变换得到。
对于一般形式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，平移变换可以通过f(x - h) + k来实现。
其中，h表示横向平移的大小，k表示纵向平移的大小。
当h和k为正值时，二次函数图像向右上方平移；当h和k为负值时，二次函数图像向左下方平移。
2. 缩放变换：通过改变二次函数的参数a的值，可以实现对图像的缩放操作。
当a的绝对值越大，抛物线越瘦长；当a的绝对值越小，抛物线越扁平。
三、二次函数的性质和应用1. 图像的方向：通过二次函数的a的正负值可以判断图像的方向，即抛物线的开口方向。
这对于解决实际问题时，确定问题中所涉及的抛物线的开口方向非常有帮助。
2. 最值的求解：通过对二次函数进行求导，可以求得抛物线的最值。
九年级二次函数知识点总结讲解
九年级二次函数知识点总结讲解在九年级数学课程中，学生将接触到二次函数的知识。
二次函数是一种非常重要的函数形式，它在数学、物理、经济等各个领域具有广泛的应用。
本文将对九年级二次函数的相关知识点进行总结和讲解。
一、二次函数的定义和表示方法二次函数是指函数的自变量的最高次幂为2的函数形式。
一般来说，二次函数的表示形式可以写为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为实数，a不为0。
其中，a称为二次项系数，b称为一次项系数，c称为常数项。
二、二次函数的图像特征对于二次函数f(x) = ax² + bx + c来说，它的图像是抛物线。
具体来说，当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下；当a=0时，抛物线退化为直线。
除了开口方向外，二次函数的图像还包含以下几个特征：顶点、对称轴和判别式。
1. 顶点：二次函数的图像在抛物线上的最高点或最低点称为顶点。
顶点的横坐标可以通过公式x = -b / (2a)求得，纵坐标可以代入公式计算得出。
2. 对称轴：二次函数的图像是关于一条直线对称的，这条直线称为对称轴。
对称轴的方程可以通过公式x = -b / (2a)得出。
3. 判别式：判别式是一个用来判断二次函数的图像与x轴的交点个数和性质的重要指标。
判别式的数值可以通过公式Δ = b² -4ac计算得出。
当Δ>0时，二次函数与x轴有两个交点；当Δ=0时，二次函数与x轴有一个交点；当Δ<0时，二次函数与x轴无交点。
三、二次函数的性质和应用除了图像特征外，二次函数还具有一些重要的性质和应用。
1. 单调性：当二次函数的二次项系数a>0时，函数是上凸的，也就是说随着自变量的增大，函数值也会增大；当a<0时，函数是下凸的，随着自变量的增大，函数值会减小。
2. 极值：对于上凸的二次函数来说，函数的最小值就是顶点的纵坐标；对于下凸的二次函数来说，函数的最大值就是顶点的纵坐标。
二次函数知识点整理
九年级下册第2章 二次函数知识点整理一、本章知识点梳理：知识点1：二次函数概念 知识点2：二次函数的图像及性质知识点3：抛物线的平移 知识点4：求解析式的三种方法知识点5：a ，b ，c 及相关符号的确定 知识点6：二次函数与一元二次方程的关系 知识点7：二次函数的应用题 知识点8：二次函数的综合运用二、各知识点分类讲解 知识点一：二次函数概念1、知识点：（1）二次函数定义：形如y=ax 2+bx+c(a≠0，a 、b 、c 为常数)的函数叫做二次函数． （2）关于定义的几点说明：①强调“形如”，即由形来定义函数名称．二次函数即y 是关于x 的二次多项式．对定义中的“形如”的理解，与一次函数类似地，仍然要注意二次函数的自变量与函数不仅仅局限于只用x 、y 来表示. ②在y=ax 2＋bx ＋c 中自变量是x ，它的取值范围是一切实数．但在实际问题中，自变量的取值范围应是使实际问题有意义的值．③为什么二次函数定义中要求a≠0？(若a=0，ax 2＋bx+c 就不是关于x 的二次多项式了) ④b 和c 是否可以为零？b 和c 均可为零．若b=0，则y=ax 2＋c ；若c=0，则y=ax 2＋bx ； 若b=c=0，则y=ax 2． 以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax 2+bx+c 是二次函数的一般形式.2、典型例题： 例题一：（1）下列函数中哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，指出a 、b 、c ． 1) 3y=x(x-1)； 2)y=3x(2-x)＋3x 2； 3)y=x 4＋2x 2＋1； 4)y=2x 2＋3x+1（2）已知函数 y=（m 2-9)x 2-(m-3)x ＋2，当m 为何值时，这个函数是二次函数？当m 为何值时，这个函数是一次函数？练习：1、 y=-x ²，y=2x ²-x2，y=100-5 x ²，y=3 x ²-2x ³+5,其中是二次函数的有____个。
实际问题与二次函数—知识讲解(提高)
实际问题与二次函数—知识讲解（提高）【学习目标】1.能运用二次函数分析和解决简单的实际问题，培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识．2.经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型．【要点梳理】要点一、列二次函数解应用题列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。
(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．(6)写出答案．要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.要点二、建立二次函数模型求解实际问题一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．要点诠释：(1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.(2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题：①首先必须了解二次函数的基本性质；②学会从实际问题中建立二次函数的模型；③借助二次函数的性质来解决实际问题.【典型例题】类型一、利用二次函数求实际问题中的最大（小）值1. 某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价y 1(元)与销售月份x (月)满足关系式13368y x =-+，而其每千克成本2y (元)与销售月份x(月)满足的函数关系如图所示．(1)试确定b ，c 的值；(2)求出这种水产品每千克的利润y(元)与销售月份x(月)之间的函数关系式；(不要求指出x 的取值范围)(3)“五一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大最大利润是多少【答案与解析】（1）把(3，25)，(4，24)代入2218y x bx c =++中，得 19325,8116424.8b c b c ⎧⨯++=⎪⎪⎨⎪⨯++=⎪⎩ 解方程组得15,859.2b c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (2)根据题意，得212311559368882y y y x x x ⎛⎫⎛⎫=-=-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2311559368882x x x =-+-+- 21313822x x =-++． 所以y 与x 的函数关系式为21313822y x x =-++． (3)由(2)得，21(6)118y x =--+，因为108a =-<，所以当x ＜6时，y 随x 的增大而增大，所以“五一”之前，四月份出售这种水产品每千克的利润最大，最大利润为元．【点评】在用二次函数知识解决实际问题时，有的同学易忽略自变量的取值范围，有的题目结果中的值看上去有意义，但不一定符合题意，有的题目本身就隐含着对自变量的限制，常常考虑不周而造成错解．举一反三：【变式】某服装公司试销一种成本为每件50元的T 恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量y （件）与销售单价x （元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）设公司获得的总利润为P 元，求P 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；根据题意判断：当x 取何值时，P 的值最大最大值是多少（总利润=总销售额-总成本）【答案】（1）设y 与x 的函数关系式为：y kx b =+（k≠0），∵函数图象经过点（60，400）和（70，300）∴⎩⎨⎧+=+=b k b k 7030060400 解得⎩⎨⎧=-=100010b k ∴100010+-=x y（2）)100010)(50(+--=x x P500001500102-+-=x x P （50≤x ≤70） ∵752015002=--=-a b ，10-=a ＜0 ∴函数500001500102-+-=x x P 图象开口向下，对称轴是直线x=75∵50≤x ≤70，此时y 随x 的增大而增大,∴当x =70时，6000=最大值P .类型二、利用二次函数解决抛物线形建筑问题2.某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门地面宽为4m ，顶部距离地面的高度为，现有一辆满载货物的汽车欲通大门，其装货宽度为，该车要想过此门，装货后的最大高度应是多少m【思路点拨】因为校门是抛物线形，不妨将这一问题转化为二次函数进行研究，建立适当的直角坐标系，将已知数据转化为点的坐标，从而确定函数关系式，再根据关系式求高．【答案与解析】解：建立如图平面直角坐标系：设抛物线的解析式为y=ax 2，由题意得：点A的坐标为（2，﹣），∴﹣=4a，解得：a=﹣，∴抛物线的解析式为y=﹣，当x=时，y=﹣×=﹣，∴线段OB的长为米，∴BC=﹣=米，∴装货后的最大高度为米，故答案为：米．【点评】利用二次函数解决抛物线形建筑问题一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．类型三、利用二次函数求跳水、投篮等实际问题3. 如图所示，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为m时，达到最大高度m，然后准确落入篮筐，已知篮筐中心到地面的距离为m，若该运动员身高m，在这次跳投中，球在头顶上方m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少【答案与解析】如图所示，在直角坐标系中，点A，表示篮筐，点B(0，表示球运行的最大高度，点C表示球员篮球出手处，其横坐标为，设C 点的纵坐标为n ，过点C 、B 、A 所在的抛物线的解析式为2()y a x h k =-+，由于抛物线开口向下，则点B(0，为顶点坐标，∴ 2 3.5y ax =+．∵ 抛物线2 3.5y ax =+经过点A ，，∴ ＝a ·+，∴ 15a =-． ∴ 抛物线解析式为21 3.55y x =-+． ∴ 21( 2.5) 3.55n =-⨯-+，∴ n ＝．∴ 球出手时，球员跳离地面的高度为+＝(米)．【点评】首先要建立适当的平面直角坐标系，构造函数模型，将已知数据转化为点的坐标，然后利用待定系数法求出函数解析式，再利用解析式求出抛物线上已知横坐标的点的纵坐标，结合已知条件，得到实际问题的解．类型四、利用二次函数求图形的边长、面积等问题4. 一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以AD 为直径的半圆O ，下部是一个矩形ABCD ．(1)当AD ＝4米时，求隧道截面上部半圆O 的面积；(2)已知矩形ABCD 相邻两边之和为8米，半圆O 的半径为r 米．①求隧道截面的面积S(m)2关于半径r(m)的函数关系式(不要求写出r 的取值范围)；②若2米≤CD ≤3米，利用函数图象求隧道截面的面积S 的最大值．(π取，结果精确到米)【思路点拨】①根据几何图形的面积公式可求关于面积的函数解析式；②利用二次函数的有关性质，在自变量的取值范围内确定面积的最大值．【答案与解析】(1)2S π=半圆(米2)；(2)①∵ AD ＝2r ，AD+CD ＝8，∴ CD ＝8-AD ＝8-2r ，∴ 2221112(82)416222S r AD CD r r r r r πππ⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎝⎭g ． ②由①知，CD ＝8-2r ，又∵ 米≤CD≤3米，∴ 2≤8-2r≤3，∴ ≤r≤3．由①知，214162S r r π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭228642.4316 2.434 2.43 2.43r r ⎛⎫-+=--+ ⎪⎝⎭≈． ∵ ＜0，∴ 函数图象为开口向下的抛物线，函数图象对称轴8 3.32.43r =≈， 又≤r≤3，由函数图象知，在对称轴左侧S 随r 的增大而增大，故当r ＝3时，S 有最大值．21431632S π⎛⎫=-⨯+⨯ ⎪⎝⎭最大1 3.14494826.12⎛⎫⨯-⨯+ ⎪⎝⎭≈≈(米2)． 【点评】解此类问题，一般先应用几何图形的面积公式，写出图形的面积与边长之间的关系，再用配方法或公式法求顶点坐标，结合二次函数性质与自变量的取值范围确定最大面积．举一反三：【变式】如图，矩形纸片ABCD ，AD=8，AB=10，点F 在AB 上，分别以AF 、FB 为边裁出的两个小正方形纸片面积和S 的取值范围是 ．【答案】50≤S≤68．【解析】解：设AF=x ，则BF=10﹣x ，由题意，得S=x 2+（10﹣x ）2，S=2x 2﹣20x+100，S=2（x ﹣5）2+50．∴a=2＞0，∴x=5时，S 最小=50．∵2≤x≤8，当x=2时，S=68，当x=8时，S=68．∴50≤S≤68．故答案为：50≤S≤68．。
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二次函数的概念—知识讲解（提高）
【学习目标】
1.理解函数的定义、函数值、自变量、因变量等基本概念；
2.了解表示函数的三种方法——解析法、列表法和图像法；
3.会根据实际问题列出函数的关系式，并写出自变量的取值范围；
4.理解二次函数的概念，能够表示简单变量之间的二次函数关系.
【要点梳理】
要点一、函数的概念
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x，y，对于自变量x在某一范围内的每一个确定值，y都有惟一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数.
对于自变量x在可以取值范围内的一个确定的值a，函数y有惟一确定的对应值，这个对应值叫做当x=a时函数的值，简称函数值.
要点诠释：
对于函数的概念，应从以下几个方面去理解：
（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；
（2）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于x允许取的每一个值，y是否都有惟一确定的值与它相对应；
（3）函数自变量的取值范围，应要使函数表达式有意义，在解决实际问题时，还必须考虑使实际问题有意义.
要点二、函数的三种表示方法
表示函数的方法，常见的有以下三种：
（1）解析法：用来表示函数关系的数学式子叫做函数的表达式，（或解析式），用数学式子表示函数的方法称为解析法.
（2）列表法：用一个表格表达函数关系的方法.
（3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系的方法.
要点诠释：
函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色.
对照表如下：
表示方法全面性准确性直观性形象性
列表法×∨∨×
解析式法∨∨××
图象法××∨∨
要点三、二次函数的概念
一般地，形如y=ax2+bx+c（a, b, c是常数，a≠0）的函数叫做x的二次函数.
若b=0，则y=ax2+c；若c=0，则y=ax2+bx；若b=c=0，则y=ax2.以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数的一般式.
在二次函数的一般式y=ax2+bx+c（a≠0）中，ax2叫函数的二次项，bx叫函数的一次项，c叫常数
项；a叫二次项系数，b叫一次项系数，c叫常数项.
要点诠释：
（1）如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．
（2）判断系数时，首先要将二次函数化成一般式，再对照定义写出，特别要注意的是系数要包含其前面的符号.
【典型例题】
类型一、函数的相关概念
1、下列说法正确的是（）
Ａ.变量满足，则是的函数；
Ｂ.变量满足，则是的函数；
Ｃ.变量满足，则是的函数；
Ｄ.变量满足，则是的函数.
【思路点拨】严格依照函数的概念进行判断.
【答案】A；
【解析】B、C、D三个选项，对于一个确定的的值，都有两个值和它对应，不满足单值对应的条件，
所以不是函数.
【总结升华】理解函数的概念，关键是函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函数值是惟一确定的.
举一反三：
【变式】如图的四个图象中，不表示某一函数图象的是（ ）
【答案】B.
2、求函数的自变量的取值范围.
【思路点拨】要使函数有意义，需或解这个不等式组即可.
【答案与解析】 解：要使函数
有意义，则需要
即或
解方程组得，自变量取值是或.
【总结升华】自变量的取值范围是使函数有意义的x 的值.
3、如图所示，用一段长30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度为15米)的矩形菜园ABCD ，设AB
的长为x 米，则菜园的面积y(单位：米2
)与x(单位：米)的函数关系式为_____ ___(写自变量的取值范围)．
【思路点拨】根据矩形的周长和一边AB 的长表示出另一临边AD 的长，再根据矩形的面积公式来求解. 【答案】2
1152
y x x =-
+（0＜x ≤15） 【解析】解：∵矩形的周长为30米，边AB 长x 米，∴AD=
302
x
-米，
∴矩形的面积y=x ⨯
302x -=2
1152
x x -+（0＜x ≤15） 【总结升华】考虑到实际情况，对于自变量x 来说，一定不能超过墙的长度.
举一反三：
【变式】圆的半径是1cm ，假设半径增加xcm ，圆的面积增加ycm 2，则y 与x 的关系式为：_____ ___.
【答案】2
2y x x ππ=+
类型二、函数的三种表示方法
4、问题情境
已知矩形的面积为a （a 为常数，a ＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？ 数学模型
设该矩形的长为x ，周长为y ，则y 与x 的函数关系式为2()(0)a y x x x
=+＞． 探索研究
⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数1
(0)y x x x
=+＞的图象性质． ①填写下表，画出函数的图象：
②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；
③在求二次函数y=ax 2
＋bx ＋c （a ≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你通过配方求函数1
y x x
=+
(x ＞0)的最小值． 解决问题
⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．
【思路点拨】本题告诉我们一种研究问题的方法，从最基本的函数研究起，慢慢到较复杂的函数.所以一定要跟着题目教给我们的思路走.
解⑴①y 的值依次是：174，103，52，2，52，103，174
． 函数1
y x x
=+
(0)x >的图象如图．
②本题答案不唯一，下列解法供参考．
当01x <<时，y 随x 增大而减小；当1x >时,y 随x 增大而增大；当1x =时函数1
y x x
=+(0)x >的最小值为2． ③1y x x
=+
=2
21()(
)x x
+ =2
2111()(
)22x x x x x x
+-⋅+⋅ =2
1()2x x
-
+ 当1x x -
=0，即1x =时，函数1
y x x
=+(0)x >的最小值为2． ⑵当该矩形的长为a 时，它的周长最小，最小值为4a ．
【总结升华】本题属于阅读理解型问题，要好好阅读材料，根据题目的提示一步步往下进行.综合考察
了列表法、图形法和解析法三种函数的表示方法. 类型三、二次函数的概念
5、（武威校级月考）一个二次函数234
(1)21k k y k x
x -+=-+-.
（1）求k 的值.
（2）求当x=3时，y 的值？
【思路点拨】关键要考虑两点：一是自变量的最高次数为2，二是最高次项系数不能为0.
解（1）依题意有2342
10
k k k ⎧-+=⎨-⎩≠ ，
解之得，k=2.
(2)把k=2代入函数解析式中得： y=x 2
+2x-1, 当x=3时，y=14.
【总结升华】此题考察二次函数的定义和函数值. 举一反三：
【变式1】函数||1
(3)31m y m x
x -=-+-是二次函数，则m 的值是( )．
A ．3
B ．-3
C ．±2
D ．±3 【答案】B.
【变式2】（合肥校级月考）已知函数2
(1)2m m
y m x x m +=-+-是二次函数，求m 的值，并指出二次项
系数，一次项系数及常数项. 【答案与解析】
解：由题意得22
10
m m m ⎧+=⎨-⎩≠
∴21
1
m m m =-=⎧⎨
⎩或≠，
∴m = -2.
∴函数为y=-3x 2
+2x+2
∴二次项系数为-3，一次项系数为2，常数项为2.。