新课标人教版必修二立体几何知识归纳

俯视图 长对正
高
左视图 正视图方向
宽 宽相等
位置：主视图 左视图 俯视图
大小：长对正，高平齐， 宽相等.
直观图 斜二测画法步骤：
(1)在已知图形中建立直角坐标系xOy,画直观图时，
它们分别对应x’轴和y’轴，两轴交于点O’，使
∠x’Oy’=45°（或∠x’Oy’=135 °），它们确定的平面 表示水平平面。
定理：一条直线与一个平面内的两 条相交直线都垂直，则这条直线与该平 面垂直.
lm
l m
n n
B
l
l m
n
m、n
B
直线与平面垂直的性质定理
定理 垂直于同一个平面的两条直线平行.
a
b
a // b
ab
线面垂直 线线平行
a // b
a
b
两个平面互相垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，
必修2知识点归纳
立体几何
一、空间几何体 四体：柱锥台球； 三积：侧面积、表面积、体积； 两图：直观图，三视图
1、棱台与棱柱、棱锥的关系
D′
C′
A′
B′
D
C
A
四棱台
B
O
D′
C′
A′
B′
D
C
A
四棱锥
B
棱台的上底扩大，使上下底面相等，就是棱柱； 棱台上底缩小为一点后，就成为棱锥。
2、圆台与圆柱、圆锥的关系
柱体、锥体、台体的体积公式
O`
O`
O`
O
O
O
V柱 体＝Sh
S上=S
S上=0
V锥
体＝
1 3
Sh
(S为底面积，h为柱体高）
(S为底面积，h为柱体高）
V台体＝ 13（S上
S上 S下 S下 )h
V球
4 3
πR3 .
（S′，S分别为上、下底面面积，h为台体高）
三视图
高平齐
俯视图方向 侧视图方向
主视图 长
（2）已知图形中平行于x轴、y轴和z轴的线段，在直 观图中分别画成平行于x’轴、y’轴和z’的线段。
（3）已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观
图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为 原来的 1 .
2
四个公理，三个推论
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那
么这条直线在此平面内。
A l, B l, A, B l （或l )
// a, a // b b
a
b
常见平面图形的线线平行关系 1.三角形的中位线
注： CF CE 或 CF CE EF // PB FP EB CP CB
2.平行四边形的对边
注： 四边形ABCD为平行四边形 AD// BC或AB// CD
常见线线平行关系
1. 2.
直线和平面垂直的判定
r
S圆台表面积＝
l
π(r′2+r2+r′l+rl)
S圆台侧面积=π(r′+r)l 梯形面积
r′
S球表面积＝4R2
l
r
圆柱、圆锥、圆台的表面积的关系
r O′
r′ O′
l
r r′=r
S圆柱表＝2r（r l )
l
l
O
r′=0
rO
S圆锥表＝r（r l )
S圆台表＝（r2 r2 rl rl )
（r′，r是上下底的半径，l 为母线长）
二面角 -l- 的平面角．
B
A
二面角的范围：[0,180 ]
平面角是直角的二面角叫直二面角．
二面角的平面角画法
(1)定义法 根据定义作出来
A
l
OB
(2)垂面法 作与棱垂直的平面与 两半平面的交线得到
l
O
A
B
(3)射影法
A
O B
l
备注：求线线、线面、面面所成的角步骤
作角（作出所求的角）
证明（证明它是所求的角）
则这两个平面垂直。
α
a
a
a
β
线面垂直 面面垂直
平面与平面垂直的性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线 的直线与另一个平面垂直.
AB
CD,
AB
AB CD
AB CD B
α
C
β
D A B
直线和平面垂直，平面和平面垂直，既可从直线和平面、平面和平面所成的 角为 90°来论证，又可从已有的线线垂直，线面垂直关系来推理和论证．在解题过程中，要 注意线线垂直、线面垂直和面面垂直的转化，如下：
公理2 过不在一条直线上的三点，
l
A
B
有且只有一个平面
α
A, B,C三点不共线 有且只有一个平面，
B
使A , B ,C
A
C
α
公理3 如果两个不重合的平面有一个
公共点，那么它们有且只有一条过该点的
公共直线。
α
P l且P l
β Pl
公理4 平行于Fra Baidu bibliotek一条直线的两条直线平行
由公理1，2得到三个推论 推论1 经过一条直线和这条直线外 一点，有且只有一个平面 推论2 经过两条相交直线，有且只 有一个平面 推论3 经过两条平行直线，有且只 有一个平面
线线、线面、面面平行、垂直的判定和性质
直线与平面平行的判定定理：
平面外的一条直线与此平面内的一 条直线平行，则该直线与此平面平行.
(线线平行线面平行)
符号表示：
a
a
b
a
//
b
a // b
直线与平面平行的性质定理
线面平行 线线平行
一条直线与一个平面平行，则过这条直线 的任一个平面与此平面的交线和该直线平行．
符号语言：
a //
a
a
a∥b．
b
b
平面与平面平行的判定定理：
平面内的两条相交直线都与另一平 面平行，则这两个平面平
(线面平行面面平行)
b
符号表示：
a
a // b //
//
a、b
平面与平面平行的性质定理： 两个平行平面同时和第三个平面相 交,那么它们的交线平行.
面面平行 线线平行
圆台的上底扩大，使上下底面相等，就是圆柱；圆 台上底缩小为一点后，就成为圆锥。
3、表面积与侧面积
棱柱
棱锥
棱台
h
求棱柱、棱锥、棱台的表面积可转化为求平行 四边形、三角形、梯形的面积
S圆柱表面积＝2πr(r+l)
r
S侧面积＝2πrl 长方形面积
l
S圆锥表面积＝πr(r+l)
S侧面积＝πrl 三角形面积
1、异面直线所成角的取值范围： (0,90 ]
b b′
b
α
a
a′
O
α
O a′
2、平面的斜线和平面所成的角 O
的取值范围： (0,90 )
1
A
B
3．二面角
⑴ 平卧式：
A
A
l
l
B
B
A ⑵ 直立式：
l
B
二面角的平面角
一个平面垂直于二
面角 -l- 的棱 l，且与 l
两个半平面的交线分别 O 是射线 OA、OB，O 为 垂足，则 ∠AOB 叫做
求角（将角定在特定图形中 ，一般定在直角三角形中）
常见平面图形的线线垂直关系
1.
AB AC D为BC中点 AD BC
4.
AB为圆O的直径
C为圆O上不同于A、B的点 AC BC
2.
AB2 AC2 BC2 AB AC
5.
四边形ABCD为正方形 E、F分别为AB、BC中点 CE DF
3.
四边形ABCD为菱形 AC BD
三种角