高一年级竞赛数学数论专题讲义：10.中国剩余定理

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10.中国剩余定理

1.(中国剩余定理)设12,,,k m m m 是k 个两两互素的正整数,证明对任意整数12,,

,k a a a ,一次同余方程组 (mod ),j j x a m ≡1.j k ≤≤必有解,在模1k j j m m ==∏的意义下解101

(mod )k j j j j x x M M a m -

=≡=∑唯一. 其中1,j j j

m M M m -=

是j M 关于模j m 的数论倒数即11(mod ).j j j M M m -≡

2.解同余方程组1(mod 7)1(mod8)3(mod 9)x x x ≡⎧⎪≡⎨⎪≡⎩

.

3.设*,n N ∈证明：存在*

,m N ∈使得同余方程21(mod )x m ≡在模m 的意义下至少有n 个根. (请对比拉格朗日定理).

4.证明：对任意给定的正整数n ,均有连续n 个正整数,其中每一个都有大于1的平方因子.

5.证明：对任意正整数n ,存在n 个连续正整数,它们中每一个数都不是素数的幂.

6.证明：存在任意长的由不同正整数组成的等差数列,它的项都是正整数的幂,幂指数是大于1的整数.

7.设,m n 是自然数,满足对任意自然数,k (,111)(,111)m k n k -=-.证明存在某个整数l 使得11.l

m n =

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10.中国剩余定理解答

1.(中国剩余定理)设12,,,k m m m 是k 个两两互素的正整数,证明对任意整数12,,

,k a a a ,一次同余方程组 (mod ),j j x a m ≡1.j k ≤≤必有解,在模1k j j m m ==∏的意义下解101

(mod )k j j j j x x M M a m -

=≡=∑唯一. 其中1,j j j

m M M m -=

是j M 关于模j m 的数论倒数即11(mod ).j j j M M m -≡ 证明：因为(,)1,,i j m m i j =≠所以(,) 1.j j M m =由Bezout 定理知道存在整数,s t 使得 1.j j sM tm +=

1(mod ).j j sM m ≡取1.j M s -

=于是11(mod ).j j j M M m -≡另一方面,,j j

m M m =所以|,.i j m M i j ≠ 于是111(mod )(1,2,,).k j j j i i i i i j M

M a M M a a m i k --=≡≡=∑即11(mod )k

j j j j x M M a m -=≡∑是一次同余方程组(mod ),j j x a m ≡1j k ≤≤的解.

若00

,x x '是是一次同余方程组(mod ),j j x a m ≡1j k ≤≤的两个解. 则00

(mod ),(mod ).j j j j x a m x a m '≡≡于是00(mod ).j x x m '≡即00|j m x x '-.因为(,)1,.i j m m i j =≠ 所以00

|m x x '-,即00(mod ).x x m '≡ 所以中国剩余定理的得证.

2.解同余方程组1(mod 7)1(mod8)3(mod 9)x x x ≡⎧⎪≡⎨⎪≡⎩

.

解：7,8,9两两互素,则由中国剩余定理知道有唯一解.

123789504,72,63,56.M M M M =⨯⨯====

1722(mod 7),M =≡取114(mod 7).M -≡

2631(mod8),M =≡-取12

1(mod8).M -≡- 3562(mod 9),M =≡取135(mod 9).M -≡