物理微元法详解
微元法在高中物理中应用
微元法在高中物理中应用微元法是一种以计算机模拟和分析实际现象的方法，在若干学科中，如力学、热力学、流体力学、电磁学、材料力学等有广泛的应用。
物理学也是其中的重要应用领域，微元法在高中物理教学中的应用是一种新兴的教学方法，它可以使物理实验更加直观、实用和深入，也可以有效提高学生的学习效率。
一、微元法的基本原理微元法是一种基于数值模拟的方法，它将物理实验中的复杂现象分解为若干基本现象，然后逐一计算，从而获得结果。
它的基本思想是：将实际情况分解为多个简单的微元，将每个微元的物理量用数值代替，经过一系列的计算，可以得出实验结果。
二、微元法在高中物理教学中的应用1、模拟物理实验微元法可以用来模拟各种物理实验，提供学生更直观的实验体验，更加直观地理解物理现象。
比如，在学习曲线运动时，可以用微元法模拟出曲线运动的过程，使学生能够更加直观地理解曲线运动的物理原理。
同时，微元法还可以用来模拟物理实验，可以替代传统的实验方式，节省采购实验器材的时间和成本。
2、开展深入的物理探究微元法可以模拟出物理实验的过程，让学生可以更深入地探究物理现象。
比如，在学习静电场时，可以用微元法模拟出电荷在静电场中的运动，更深入地理解静电场的物理原理。
3、提高学生的学习效率微元法可以用来计算物理实验的结果，可以极大地提高学生的学习效率，节省实验时间。
比如，在学习电磁学时，可以用微元法模拟出电磁波的传播，而不需要耗费大量的时间来实验，更有效地掌握电磁学的知识。
三、微元法的不足微元法虽然在高中物理教学中有着广泛的应用，但也存在一些不足。
首先，微元法要求计算机具备较高的计算能力，而不是所有的学校都能满足这一要求；其次，微元法要求有一定的编程能力，因此，学习微元法需要耗费较多的学习时间；最后，微元法模拟的物理实验结果可能会有误差，因此，学生应该在理解物理原理的基础上，更加细致地检查模拟的结果。
总之，微元法是一种新兴的教学方法，它可以使物理实验更加直观、实用和深入，也可以有效提高学生的学习效率，但也有一定的不足，所以，在开展微元法的应用时，应该注意避免其缺陷，以取得最佳的教学效果。
微元法的基本原理
微元法的基本原理嘿，你有没有想过，在面对一些超级复杂的物理或者数学问题时，科学家们是怎么巧妙解决的呢？今天我就来给你讲讲这个超酷的方法——微元法。
我有个朋友叫小李，他呀，在学习物理的时候就碰到了一个大难题。
那是关于求一个不规则形状物体的质量分布问题。
这个物体弯弯曲曲的，根本不是什么规则的几何形状，可把他愁坏了。
这时候呀，我就给他提到了微元法。
那微元法到底是个啥原理呢？简单来说，就是把一个复杂的、难以直接处理的大东西，分割成无数个非常非常小的部分，这些小部分就叫做微元。
这就好比呀，你要数清楚一大群密密麻麻的蚂蚁，直接数太困难了，那怎么办呢？咱们可以把这群蚂蚁分成一小堆一小堆的，这样数起来就容易多了。
这些一小堆一小堆的蚂蚁就类似于微元。
咱们再回到小李那个问题。
这个不规则物体，我们可以想象把它分割成很多很多极小的小块。
这些小块小到什么程度呢？小到我们可以近似地把它们看成是规则的形状，比如说小正方体或者小球体之类的。
这就像你看一幅超级复杂的大拼图，远看眼花缭乱，但是你把它拆成一个个小拼图块，每个小拼图块看起来就简单多了。
在数学和物理里，我们把这个物体分割成微元之后呢，就可以对每个微元进行分析啦。
比如说在计算这个不规则物体的质量时，对于每个微元，我们可以根据它近似的规则形状来计算它的质量。
这时候你可能会问，那这么多微元，计算起来不是也很麻烦吗？哈哈，这就引出微元法的另一个关键啦。
当我们把这些微元的质量都计算出来之后呢，我们就可以通过积分这个强大的数学工具，把所有微元的质量加起来，这样就得到了整个不规则物体的质量。
这就好比你把那些一小堆一小堆数好的蚂蚁数量加起来，就得到了蚂蚁的总数一样。
积分在这里就像是一个超级大箩筐，把所有微元的计算结果都收纳进去，然后整合起来。
我还有个同学叫小王，他在研究流体力学的时候也用到了微元法。
流体可是很调皮的，到处流动，形状时刻在变。
他要研究流体流过一个复杂管道时的压力变化。
这管道弯弯曲曲的，就像一条蜿蜒的大蛇。
微元法公式
微元法公式微元法公式这玩意儿，在咱们的学习中那可真是个厉害的“武器”！咱先来说说啥是微元法。
简单来讲，微元法就是把研究对象分成无限多个微小的“元”，然后对这些“元”进行分析和处理，最后把结果累加起来得到整个研究对象的情况。
这听起来有点抽象，是吧？别着急，咱们通过一个例子来好好理解一下。
就说咱们夏天吹风扇的时候。
风扇转起来，那风呼呼地吹。
假如咱们要算风扇在一段时间内吹出的风量，这咋整？这时候微元法就派上用场啦！咱们可以把这段时间分成无数个极短的小时间段，在每个小时间段里，就认为风扇吹出的风是匀速的。
然后算出每个小时间段内吹出的风量，最后把这些小风量加起来，这不就得到总的风量了嘛！那微元法的公式是啥样的呢？一般来说，如果某个物理量 Q 是随着另一个物理量 x 变化的，而且它们之间的关系可以表示为 Q = f(x)，那么通过微元法，我们可以把 Q 的变化量ΔQ 表示为：ΔQ = f(x)Δx 。
这里的Δx 就是 x 的微小变化量。
然后把很多很多这样的ΔQ 加起来，就可以得到总的 Q 的变化量啦。
比如说，咱们要算一个做变速直线运动的物体在一段时间内的位移。
速度 v 是随时间 t 变化的，假设 v = t²。
那在一个很小的时间段Δt 内，我们可以认为速度近似不变，这段时间内的位移Δs 就约等于vΔt ，也就是t²Δt 。
然后把很多很多这样的小位移Δs 加起来，就能得到总的位移 s 啦。
再比如，求一个曲线和坐标轴围成的面积。
咱们把这个区域切成很多很多窄窄的小条，每个小条的宽度是Δx ，高度可以用函数值 f(x) 来表示。
那么每个小条的面积就是f(x)Δx ，把所有小条的面积加起来，就能得到总面积啦。
在高中物理和数学的学习中，微元法可是经常出现的“常客”。
像是电磁感应中的电荷量计算，或者是求变力做功，都能看到微元法的身影。
我记得之前有个同学，刚开始接触微元法的时候，那叫一个头疼。
做题的时候总是搞不清楚啥时候该用，怎么用。
第3节 微元法
第3节微元法微元法又称微分法，是数学分析中的一种重要方法。
它通过对函数的微小增量进行分割，将函数在任意一点上的性质转化为在该点附近的一个局部性质。
在物理学中，微元法常常被用于处理微小的物理量，求解微小的变化量和微分方程等问题。
下面介绍微元法的几个主要应用。
1.微分的几何意义微元法的基础是微积分学中的微分，微分的几何意义是函数在某一点上的斜率。
假设函数y=f(x)在某点处的斜率为k，则k可以表示为：k=\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{dy}{dx}其中，$\Delta x$表示自变量x的增量，$\Delta y$表示函数值y的增量。
当$\Delta x$趋近于0时，$\Delta y$也趋近于0，此时称$\Delta y$是y的微小变化量，$\Deltax$是x的微小变化量。
因此，当$\Delta x$趋近于0时，$\Delta y/\Delta x$的极限就表示函数y=f(x)在点(x,f(x))处的斜率k，这就是微分的几何意义。
微元法在应用中利用了微分的几何意义，将函数的微小性质转化为斜率或变化率，从而进行计算和分析。
2.微分方程微分方程是描述自然界中许多现象的数学模型，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
微元法是解微分方程的重要方法之一。
假设某一物理量的变化量可以表示为函数y=f(x)，则其微小变化量就是dy=f'(x)dx。
如果已知微小变化量dy和dx，就可以根据微分方程求出函数的具体形式。
例如，当dy/dx=-ky时，可以得到y=Ae^{-kx}，其中A为常数。
3.微积分的应用微元法还常常用于微积分的应用，例如求曲线的面积、弧长、体积等。
对于曲线的面积问题，可以将曲线分割成若干微小的线段，然后利用微分求出每个小线段的面积，再将其相加即可得到整个曲线的面积。
同理，对于曲线的弧长问题，可以将曲线分割成若干微小的线段，然后利用微分求出每个小线段的弧长，再将其相加即可得到整个曲线的弧长。
第22讲 微元法
补差专用资料 ：微元思想在解题中的应用（1）- 1 -高中物理解题方法----微元法一、什么是微元法：在所研究是物理问题中，往往是针对研究对象经历某一过程或处于某一状态来进行研究，而此过程或状态中，描述此对象的物理量可能是不变的，而更多则可能是变化的。
对于那些变化的物理量的研究，有一种方法是把全过程分割成很多短暂的小过程或把研究对象整体分解为很多的微小局部的研究而归纳出适用于全过程或整体的结论。
这些微小的过程或微小的局部常被称为“微元”，此法也被称为：“微元法”。
二、对微元的理解：简单地说，微元就是时间、空间或其它物理量上的无穷小量，（注：在数学上我们把极限为“零”的物理量，叫着无穷小量）。
当某一连续变化的事物被分割成无数“微元”（无穷小量）以后，在某一微元段内，该事物也就可以看出不变的恒量了。
所以，微元法又叫小量分析法，它是微积分的理论基础。
三、微元法解题思想：在中学物理解题中，利用微元法可将非理想模型转化为理想模型（如把物体分割成质点）；将曲面转化为平面，将一般的曲线转化为圆弧甚至直线段；将变量转化成恒量。
从而将复杂问题转化为简单问题，使中学阶段常规方法难以解决的问题迎刃而解。
微元法的灵魂是无限分割与逼近。
用其解决物理问题的两要诀就是取微元----无限分割和对微元做细节描述----数学逼近。
所谓取微元就是对整体对象作无限分割，分割的对象可以是各种几何体，得到“体元”、“面元”、“线元”、“角元”等；分割的对象可以是一段时间或过程，得到“时间元”、“元过程”；也可以对某一物理量分割，得到诸如“元功”、“元电荷”、“电流元”、“质元”等相应元物理量，它们是被分割成的要多么小就有多么小的无穷小量，而要解决整体的问题，就得从它们下手，对微元作细节描述即通过对微元的性质做合理的近似逼近，从而在微元取无穷小量的前提下，达到向精确描述的逼近。
例1、 如图，岸高为h ，人用不可伸长的绳经滑轮拉船靠岸， 若当绳与水平方向为θ时，人收绳速率为v ，则该位置船的速 率为多大？例2、将质量为m 的小球从某高处以初速度v 0竖直抛出，当小球落回该抛出点时速度为v 1。
中学物理微元法例题
中学物理微元法例题
（原创实用版）
目录
1.概述微元法
2.微元法的应用
3.微元法的优势
4.微元法的例题解析
正文
1.概述微元法
微元法是中学物理中一种重要的思维方法，它是一种将复杂问题分解为简单问题的解决方法。
微元法通过对一个过程的微小部分进行分析，从而研究整个过程的性质和规律。
这种方法可以使问题变得更加直观和易于理解，从而帮助学生更好地掌握物理知识。
2.微元法的应用
微元法在中学物理中有广泛的应用，例如在研究质点运动、机械能守恒、电流、电阻等问题时都可以使用微元法。
通过将问题分解为微小部分，可以简化问题的复杂度，使得问题更容易解决。
3.微元法的优势
微元法有以下几个优势：
(1) 可以将复杂问题简化为简单问题，使得问题更容易解决。
(2) 可以帮助学生更好地理解物理规律，从而提高学生的物理素养。
(3) 可以培养学生的逻辑思维能力和分析问题的能力，对学生的综合素质提高有重要作用。
4.微元法的例题解析
例如，在研究一个物体在平地上的运动时，我们可以将整个运动过程分解为一系列微小的位移。
通过对每个微小位移的分析，可以得到物体在整个运动过程中的速度、加速度等物理量。
这样，就可以更直观地理解物体的运动规律，从而更好地解决问题。
总的来说，微元法是一种重要的思维方法，它对学生理解和掌握物理知识有重要作用。
物理解题方法：微元法
物理解题方法：微元法一、高中物理解题方法：微元法1．雨打芭蕉是我国古代文学中重要的抒情意象．为估算雨天院中芭蕉叶面上单位面积所承受的力，小玲同学将一圆柱形水杯置于院中，测得10分钟内杯中雨水上升了15mm ，查询得知，当时雨滴落地速度约为10m ／s ，设雨滴撞击芭蕉后无反弹，不计雨滴重力，雨水的密度为1×103kg ／m 3，据此估算芭蕉叶面单位面积上的平均受力约为A ．0.25NB ．0.5NC ．1.5ND ．2.5N 【答案】A【解析】【分析】【详解】由于是估算压强，所以不计雨滴的重力．设雨滴受到支持面的平均作用力为F ．设在△t 时间内有质量为△m 的雨水的速度由v =10m/s 减为零．以向上为正方向，对这部分雨水应用动量定理：F △t =0-（-△mv ）=△mv ．得：F =mv t；设水杯横截面积为S ，对水杯里的雨水，在△t 时间内水面上升△h ，则有：△m =ρS △h ；F =ρSv h t ．压强为：3322151011010/0.25/1060F h P v N m N m S t ρ-⨯===⨯⨯⨯=⨯，故A 正确，BCD 错误．2．超强台风“利奇马”在2019年8月10日凌晨在浙江省温岭市沿海登陆， 登陆时中心附近最大风力16级，对固定建筑物破坏程度非常大。
假设某一建筑物垂直风速方向的受力面积为s ，风速大小为v ，空气吹到建筑物上后速度瞬间减为零，空气密度为ρ，则风力F 与风速大小v 关系式为( )A ．F =ρsvB ．F =ρsv 2C ．F =ρsv 3D ．F =12ρsv 2 【答案】B【解析】【分析】【详解】设t 时间内吹到建筑物上的空气质量为m ，则有：m=ρsvt根据动量定理有：-Ft =0-mv =0-ρsv 2t得：F =ρsv 2A ．F =ρsv ，与结论不相符，选项A 错误；B ．F =ρsv 2，与结论相符，选项B 正确；C ．F =ρsv 3，与结论不相符，选项C 错误；D ．F =12ρsv 2，与结论不相符，选项D 错误； 故选B 。
高中物理微元法
高中物理微元法
微元法是物理学中常用的数学工具之一，它可以帮助我们更好地理解物理现象和解决物理问题。
微元法的核心思想是将一个复杂的物理系统分解为无限小的微
小部分，并对这些微小部分进行分析和计算。
通过这种方法，我们可以得到系统各部分的性质和相互作用，从而更加深入地了解整个系统的行为规律和特性。
在物理学中，微元法被广泛应用于多个领域，如热力学、电学、光学等。
其中，微元法在力学中的应用尤为广泛，例如在计算质点的位移、速度和加速度时，我们就可以使用微积分中的微元法。
在高中物理学习中，微元法也是一个非常重要的概念，学生们需要掌握微元法的基本思想和具体应用方法。
掌握微元法可以帮助学生更好地理解物理学中的各种现象和规律，提高解决物理问题的能力。
因此，学生们在高中阶段应该认真学习微元法，并在实践中不断探索其应用。
只有通过不断的学习和实践，才能真正掌握微元法的精髓，为今后的科学研究和学习打下坚实的基础。
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高中物理中的微元法
高中物理中的微元法高中物理中，微元法常常被提及，但是，因为使用微元法的情况分散在各个不同章节中，大多数教师和学生缺乏一个系统的梳理，只记住了一些零散情况下微元法作为一种分析思路的应用。
笔者通过对微元法适用的情形的系统梳理，并进一步追问微元法的数学本质，从而把高中物理中微元法的常见情形简单的概括为相互关联的两大类型：与求导相关类，与积分相关类，并在具体的情形下涉及到微元的近似处理方法也一并做了系统梳理。
一、微元法与求导（y →p ）某一物理量p 与相关的物理量x 、y 的比值满足关系：ΔΔyp x=，则当自变量x 的变化Δx 较大时，该比值式计算得到的是在该对应范围（x 1~x 2）内的p 的平均值，当自变量x 的变化Δ0x →时，该比值式计算得到的是在某个状态（x 0）下p 的瞬时值，这实质上就是数学上的求导，或说是对比值ΔΔyx求极限，即()00ΔlimΔx x x yp y x→'==高中物理中，在求解p 的瞬时值时，往往用到所谓“微元法”，也就是在某个状态附近，让自变量x 发生一个极小的变化Δx ，然后用因变量相应的微小变化量Δy 与Δx 作比，即得结果。
相应的，y x -图象上两点间的割线斜率1ΔΔyk x=就是p 的平均值，某点切线的斜率2k 就是在该点的p 的瞬时值。
1、位置→速度（角度→角速度）物体位置x 的变化Δx 即是物体的位移，位移与对应时间Δt 的比值即为物体的速度txv ∆∆=；物体绕某点转过的角度θ的变化Δθ即是物体绕该点的角位移，角位移与对应时间Δt 的比值即为物体绕该点的角速度t∆∆=θω。
故物体的x -t 图象的斜率就是物体的速度v txk =∆∆=，斜率的正负代表速度方向与正方向相同或相反。
【例1】如图所示，细绳一端固定在天花板上的O 点，另一端穿过一张CD 光盘的中央小孔后拴着一个橡胶球，橡胶球静止时，竖直悬线刚好挨着水平桌面的边沿．现将CD 光盘按在桌面上，并沿桌面边缘以速度v 匀速移动，移动过程中，CD 光盘中央小孔始终紧挨桌面边线，当悬线与竖直方向的夹角为θ时，小球上升的速度大小为（）A ．v sin θB ．v cos θC ．v tan θD ．v cot θ【解析】本题按常规思路，需要用到相对运动和运动的分解合成，对很多学生来说这是有一定理解困难的。
【自主招生解题方法】高三物理：【自主招生解题方法】高三物理第1讲 微元法
第1讲微元法所谓微元法就是利用微分思想去分析解决物理问题的一种方法。
微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。
用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。
在使用微元法处理问题时，需将研究的对象或过程进行无限细分，以达到化变为恒、化曲为直。
注意，研究的对象或过程分解为众多的“微元”，每个“微元”所遵循的规律是相同的，研究任意选取的某一微小单元，运用相关物理规律进行讨论，再将这些“微元”相加，从而找出被研究的对象或过程的变化规律。
在高中物理中，计算变速直线运动的位移，采用了微元法，得出了变速直线运动的速度图象与横轴所围面积表示位移。
探究弹力做功，采用微元法得出F—x图象与横轴所围面积表示弹簧弹力做的功。
高考试题和自主招生试题中多次出现与微元法相关的试题，且能力要求较高。
解题的主要思想方法将研究对象分解为很多“微元”或其将运动过程分解成许多微小的“元过程”（对应的物理量微元可以为时间微元、速度微元、位移微元、电量微元等），分析每个“元过程”遵循的物理规律，然后将每个“元过程”相关的物理量累加求和，从而使问题得到解决。
问题解读凡是极短时间或极小位移上物体状态变化不太大时，都可以运用微元法把过程分割为无限多个微小过程，然后相加，得出整个过程的物理量。
典例1：蹦床比赛分成预备运动和比赛动作。
最初，运动员静止站在蹦床上.。
在预备运动阶段，他经过若干次蹦跳，逐渐增加上升高度，最终达到完成比赛动作所需的高度；此后，进入比赛动作阶段。
把蹦床简化为一个竖直放置的轻弹簧，弹力大小F=kx(x为床面下沉的距离，k为常量)。
质量m=50kg 的运动员静止站在蹦床上，床面下沉x0=0.10m；在预备运动中，假设运动员所做的总功W全部用于其机械能；在比赛动作中，把该运动员视作质点，其每次离开床面做竖直上抛运动的腾空时间均为△t=2.0s，设运动员每次落下使床面压缩的最大深度均为x l。
高考物理解题方法与技巧讲解9---微元累积法
将每个微元过程近似为高中物理知识所能处理的过程，在得出每个微元过程的相关结
果后，再进行数学求和，这样就能得到物体复杂运动过程的规律。 典例 1.质量为 m 物体从地面以初速度 v0 竖直上抛，经过 t1 时间达最高点，在运动过 程中受到的阻力 f=kv（k 是常数），求上升的最大高度。
【解析】物体上升过程
高考物理解题方法与技巧讲解 专题 09 微元累积法
微元法是一种介于初等数学与高等数学之间的一种处理物理模型问题的方法，其
要点是：在对物理问题做整体的考察后，选取该问题过程中的某一微小单元进行分
析，通过对微元细节的物理分析和描述，找出该微元所具有的物理性质和运动变化规
律，从而获得解决该物理问题整体的方法。微元法按其研究物理模型问题可分为对象
= mv0
( ) 2
B2 +2
r
(v1∆t1l1
+
v2 ∆t 2 l 2
+
..........vn ∆t n l n
)
=
mvn
④
当 ∆t → 0 时，棒扫过的面积
S = v1∆t1l1 + v2∆t2l2 + .........vn ∆tnln
⑤
将⑤代入④ 得，
4 / 13
( ) B2S
2+ 2
r
（3）线框能穿过的条形磁场区域的个数 n.
5 / 13
【解析】（1R F = IBl
① ② ③
①②③联立得
F = B2l2v0 =2.8N
=
mv0
( ) S = 2 + 2 rmv0
⑥
B2
又知：
S = (x0 + x)(x ) − x0 2 x0 = v0t0
微元法
dWe = ωe dV 1 εE2dv W = ∫ ωedv = ∫ e 2 v v
对电场存在的空间积分
磁场的能量
B W m = ωm = 磁能密度 V 2
2
1.均匀磁场 均匀磁场 均匀磁
Wm = ωm V dWm = ωm dV
B Wm = ωm dV = ∫ 2 dV V V
视 中场均匀 2.非均匀磁场 分割 非均匀磁场 分割V→dv,视dV中场均匀 非均匀磁 小体元能量 总 能 量
W= S面积= OAAB= xkx= kx 2，即Ep= kx 2
W = ∫ F idr = ∫ kxdx = kx kx0
x0 x0 1 2 2 1 2
x
x
2
例2.如图示,一水平放置的光滑平行导轨上放一质量 2.如图示, 如图示 为m的金属杆,导轨间距为L,导轨的一段连接一阻值 的金属杆,导轨间距为L,导轨的一段连接一阻值 L, 为的电阻,其他电阻不计,磁感应强度为B 为的电阻,其他电阻不计,磁感应强度为B的匀强磁 场垂直于导轨平面, 场垂直于导轨平面,现给金属杆一水平向右的初速 然后任其运动,导轨足够长, 度V0,然后任其运动,导轨足够长,试求金属杆在导 轨上向右移动的最大距离x 及通过杆ab的电量q? ab的电量 轨上向右移动的最大距离xm及通过杆ab的电量q? 分析： ab受变力 受变力， 分析：杆ab受变力，作减速运动 解：设t=0，杆ab与MP重合； t=0， ab与MP重合； 重合 t>0.杆ab有 t>0.杆ab有v0→v →0； ； 微元法: v， 极短视v不变 1微元法: t: v，t+Δt: v (t极短视 不变） 且 vt = x 极短视 BLV 动生电动势 BL t t : q = I t = q= ∑Vt R R BL 0 →t : q = I t = ∑ BLV t = x R R
微元法_精品文档
微元法1. 引言微元法是一种数学和物理学中常用的计算方法，用于求解曲线、曲面以及体积、质量、密度等相关问题。
它基于将一个复杂的形状或区域分割为无数个微小的元素，再对每个微元进行分析和计算的原理。
通过将微元的贡献累加起来，最终可以得到整体的属性或解答。
本文将介绍微元法的基本原理、应用领域以及常见的数学公式和计算方法。
2. 基本原理微元法基于微积分的概念，将一个复杂的形状或区域分割为许多无穷小的微元。
这些微元可以是线段、面积元或体积元，具体取决于问题的性质。
每个微元都具有一定的属性，如长度、面积或体积。
通过将微元的贡献进行累加，可以得到整体的属性或解答。
这是因为微元法假设微元足够小，可以近似地视为一条直线、一个平面或一个体积。
在微元法中，常用的方法包括求和、积分、微分等。
3. 应用领域微元法在各个领域中都有广泛的应用。
以下是几个常见的应用领域：3.1 物理学在物理学中，微元法常用于求解各种物理量。
例如，在力学中，可以使用微元法计算质点的质量、速度、加速度等。
在电磁学中，微元法可以用于计算电场、磁场的强度以及电势和磁势。
3.2 工程学微元法在工程学中也有广泛的应用。
例如，在结构力学中，可以使用微元法计算杆件或板件的应力、应变以及变形。
在流体力学中，微元法可以用于计算流体的速度、压力以及流量等。
3.3 经济学在经济学中，微元法被用于计算经济指标以及分析经济现象。
例如，在微观经济学中，微元法可以用于计算市场的需求曲线、供应曲线以及均衡价格和数量。
在宏观经济学中，微元法可以用于计算国民经济的总产出、总投资以及总消费等。
4. 常见公式和计算方法在微元法中，有一些常见的公式和计算方法可以用于求解问题。
下面是几个例子：4.1 长度的微元在计算曲线的长度时，可以使用以下公式：∆s = √(∆x^2 + ∆y^2 + ∆z^2)其中，∆s 表示曲线的微小长度，∆x、∆y 和∆z 分别表示曲线在 x、y 和 z 方向上的微小切线。
妙用“微元法”巧解高中物理问题
运动的合成与分解的规律有２L ＝v ０t ,L ＝１２a t ２,粒子在O 点速度沿y 轴方向的分量v y ＝a t ,根据数学关系有t a n α＝v yv ０,所以t a n α＝１,即α＝４５ʎ,粒子到达O 点时的速度大小为v ＝v ０c o s ４５ʎ＝２v ０．(２)粒子在电场中运动时,根据牛顿第二定律可得其加速度为a ＝q E m ．粒子在磁场中做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向心力,有q v B ＝mv２R,根据数学关系有R ＝２L ,可以得出E B＝v ０２．处理粒子在磁场中做匀速圆周运动的习题时要能准确找到粒子的圆心和半径,并画出其运动轨迹．３㊀电场㊁磁场和重力场共存三个场共存的情况下,如果粒子做匀速圆周运动,重力和电场力一定平衡．㊀㊀图５例３㊀如图５,空间某区域存在匀强电场和匀强磁场,电场方向竖直向上(与纸面平行),磁场方向垂直于纸面向里,３个带正电的微粒a ㊁b ㊁c 电荷量相等,质量分别为m a ㊁m b ㊁m c ．在该区域内,若a 做匀速圆周运动,b 向右做匀速直线运动,c 向左做匀速直线运动,则下面结论正确的是(㊀㊀)．A．m a ＞m b ＞m c ㊀㊀B ．m b ＞m a ＞m cC ．m c ＞m a ＞m b ㊀㊀D．m c ＞m b ＞m a因为a 在该区域内做匀速圆周运动,所以a所受重力和电场力平衡,即m a g ＝qE ,b ㊁c 分别在纸面内向右和向左做匀速直线运动,有m b g ＝q E ＋B q v ,m c g ＋B q v ＝qE ,所以有m b ＞m a ＞m c ,故选项B 正确．在匀强磁场㊁匀强电场和重力场组成的复合场中,粒子所受重力和电场力是恒力,粒子所受洛伦兹力方向随速度方向变化而变化．总之,带电粒子在复合场中的运动问题涉及的知识较多,需要学生灵活运用力学㊁运动学㊁功能关系及电磁学等知识来解决,同时还要注意挖掘隐含条件,多做练习㊁多总结,做到熟练掌握．(作者单位:山东省青岛市即墨区第四中学)Җ㊀山东㊀宋致堂㊀㊀微元法 是从整体中取某一特定的微小部分作为研究对象从而认识整体的一种思维方法,它是物理学研究连续变量的一种常用方法．通俗地讲, 微元法 就是把研究对象分为无限多个微小的 元过程 ,这些具有代表性的 元 ,可以是一小段线段圆弧(线元)㊁一小段时间(时间元)㊁一小块面积(面积元)或一小部分质量(质量元)等,每个微元中变量可以看作不变,再对这些微小积累量求和,就可以得到物理量的总变化量．用该方法可以使一些复杂的物理过程简单化,用我们熟悉的物理规律迅速地解决问题．下面通过具体实例进一步阐述微元思想的应用,提升微元解题技巧．１㊀微元法 在变力做功中的应用例１㊀如图１所示,某个力F ＝１N作用于半径㊀㊀图１R ＝１m 的圆形转盘的边缘上,力F 的大小保持恒定不变,但方向始终与作用点的切线方向保持一致,则转动一周,这个力F 做的功是多少?由于力F 的方向与作㊀㊀图２用点处的速度方向时刻保持一致,因此力F 做功不为零．此力的大小恒定,方向时刻与速度方向一定,则可以考虑把圆周划分为很多 微元 来研究．当各小段的弧长Δs 足够小时,F 的方向几乎与该小段的位移重合,如图２所示,在这一小段里,力F 可看作恒力且方向与位移方向一致,则F 做的总功W ＝F Δs １＋F Δs ２＋F Δs ３＋ ＋F Δs n ＝F (Δs １＋Δs ２＋Δs ３＋ ＋Δs n )＝F ２πR ＝２πJ ．本题解法等效于将本是曲线的圆周拉直,即化曲为直 ．在这里,力F 所做的功相当于力和物体运动路程的乘积．此思想方法适用于力F 大小恒定且与速度v 夹角不变的情况,其表达式为W ＝F s c o s θ,式中s 为路程,θ为力F 与速度v 的夹角．如物体在地面上滑动时,滑动摩擦力做功可表示为W ＝F f s c o s １８０ʎ＝－F f s ,式中F f 大小不变,s 为物体运动０４的路程．２㊀微元法 在运动的合成与分解中的应用例２㊀如图３所示,物体A 置于水平面上,A 前固定一滑轮B ,高台上有一定滑轮D ,一根轻绳一端固定在C 点,再绕过B㊁D,B C 段水平,当以恒定水平速度v 拉绳的自由端时,A 沿水平面前进,求当跨过B 的两段绳子的夹角为α时,A 的运动速度．图３图求物体A 的瞬时速度,可先假设物体A 在极短时间Δt 内,由G 运动到H ,然后求G H 段的平均速度,当时间Δt 趋近于无穷短时,G H 段的平均速度便为物体在G 点的瞬时速度．设经过Δt 时间物体A 由G 运动到H ,如图４所示,使D E ＝D B ᶄ,则绳子的自由端运动的距离为Δx ＝B E ＋B B ᶄ,当Δt 趋近于零时,角θ趋近于零,则可以认为B ᶄE ʅBD ,那么,Δx ＝B B ᶄc o s α＋B B ᶄ＝B B ᶄ(１＋c o s α)．当Δx 趋近于零时,v A ＝B B ᶄΔt ,v ＝Δx Δt ＝BB ᶄΔt(１＋c o s α),因此v ＝v A (１＋c o s α)．所以A 的运动速度为v A ＝v１＋c o s α．本题关键是用微元思想选取极短时间Δt ,在极短时间内物体和绳自由端的运动均可看作匀速直线运动,然后找出Δt 时间内两位移的关系,即可求出结果,同时要注意理解瞬时速度和极限思想．３㊀微元法 在动量定理中的应用例３㊀如图５所示,高压采煤水枪出水口的截面积为S ,水的射速为v ,射到煤层上后,水的速度为零,若水的密度为ρ．图图６如图６所示,取极短时间Δt ,则Δt 时间内冲到煤层上的水的体积ΔV ＝S v Δt ,这些水的质量Δm ＝ρS v Δt ．规定初速度方向为正方向,由动量定理得－F Δt ＝Δm (０－v ),即F ＝ρS v ２,由牛顿第三定律得,水对煤层的冲力大小F ᶄ＝F ＝ρS v ２．所取的时间Δt 足够短,液体柱长度Δl 很短,相应的质量Δm 也很小,即在水流中取很小一段水柱为研究对象,如图６所示,其水柱质量Δm 与Δt 有关,冲量I 也与Δt 有关,故可消去Δt 求得结果．４㊀微元法 在电磁感应中的应用例４㊀如图７所示,水平放置的导体电阻为R ,R与两根光滑的平行金属导轨相连,导轨间距为l ,其间有垂直导轨平面的㊁磁感应强度为B 的匀强磁场．导轨上有一质量为m 的导体棒a b 以初速度v ０向右运动．求:(１)导体棒在整个运动过程中的位移x ;(２)导体棒整个运动过程中通过闭合回路的电荷量．㊀㊀图７(１)设导体棒整个运动过程中的位移为x ,导体棒速度为v 时,回路中感应电流为i ,则i ＝B l vR,F 安＝B i l ＝B ２l ２vR,由牛顿第二定律得B ２l ２v R ＝m a ,极短时间Δt 内有B ２l２R v Δt ＝m a Δt ＝m Δv ,则B ２l２R ðv Δt ＝m ðΔv ,即B ２l ２R x ＝m v ０,得x ＝m v ０RB ２l２．(２)设整个过程中通过导体棒某一截面的电荷量为q ,导体棒速度为v 时,回路中感应电流为i ,由牛顿第二定律得B i l ＝m a ,在极短时间Δt 内,有B i lΔt ＝m a Δt ＝m Δv ,则B l ði Δt ＝m ðΔv ,即B l q ＝mv ０,解得q ＝m v ０B l．该题两次运用了 微元法 ,很好地体现了化变为恒 的重要思想．微元法 解题可归纳为以下３个步骤:１)选取微元;２)列微元方程;３)累积求和．在不涉及累积求和时,可只用前两步骤,如上面的例２和例３．总之, 微元法 是分析㊁解决物理问题中的常用方法,也是高考提倡的处理问题的数学方法,是高考的热点．运用这一方法不仅丰富了处理问题的手段,拓展了学生的思维,还为后续学习奠定了方法基础．(作者单位:山东省滕州市第一中学)１４。
物理中极限法和微元法
物理中极限法和微元法
物理中极限思想为数学理想方法，物理中的微元指的是和宏观比无限小，且每个微元中包含很多分子，微元法可以视为宏观分割。
极限法是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学方法，通常是指边界情况、极端情况，如趋于无穷之类的。
极限法的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果到达极限，从而对问题进行分析。
微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。
用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。
微元法在解决物理学问题时很常用，思想就是"化整为零"，先分析"微元"，再通过"微元"分析整体。
动量定理微元法
动量定理微元法
动量定理是物理学中非常重要的一个定理，它描述了物体在受到外力作用时，动量的变化情况。
动量定理微元法是一种求解动量定理的方法，它可以通过微小的变化来推导物体的运动情况。
我们来了解一下动量的概念。
动量是物体运动的量度，它等于物体的质量乘以速度。
当物体受到外力作用时，它的动量会发生变化。
动量定理则描述了这种变化情况。
动量定理的表述形式是：当物体受到外力作用时，物体的动量变化率等于作用力的大小和方向所产生的动量。
这个定理可以用数学公式来表示，但在此不再赘述。
动量定理微元法是一种推导动量定理的方法。
它是通过微小的变化来理解物体的运动情况。
例如，我们可以通过微小的时间间隔来推导物体的速度和加速度变化情况。
同样地，我们也可以通过微小的位移来推导物体的动量变化情况。
具体来说，我们可以将物体的位移分解成微小的位移，然后分别计算每个微小位移所对应的动量变化。
这样，我们就可以得到整个物体的动量变化情况。
动量定理微元法的思路比较抽象，需要对微积分有一定的掌握。
但是，它可以帮助我们更加深入地理解动量定理的本质，也可以帮助
我们更好地理解物体的运动规律。
动量定理微元法是物理学中非常重要的一种方法，它可以帮助我们更加深入地理解物体的运动规律。
虽然它需要一定的数学基础，但只要我们认真学习，就一定可以掌握它。
物理教学中 微元法
1.在匀变速直线运动位移与时间的关系教学中，你是如何渗透微元法的。
微元法 通俗地说就是把研究对象分为无限多个无限小的部分,取出有代表性的极小的一部分进行分析处理,再从局部到全体综合起来加以考虑的科学思维方法.本节课重点借助v-t图象进行思想渗透微元法1.作出匀速直线运动的物体的速度—时间图象.2.由图象可看出匀速直线运动的v-t图象是一条平行于t轴的直线.3. 由图象可看出，在0—t时间内，图线与t轴所夹矩形面积为物体发生的位移4结论：对于匀速直线运动，物体的位移对应着v-t图象中一块矩形的面积，启发引导，进一步提出问题，但不进行回答问题：对于匀变速直线运动的位移与它的v-t图象是不是也有类似的关系？培养学生联想的能力和探究问题、大胆猜想的能力.学生针对问题思考，并阅读“思考与讨论”教师活动：（投影）提出问题：我们掌握了这种定积分分析问题的思想，下面同学们在坐标纸上作初速度为v0的匀变速直线运动的v-t图象，分析一下图线与t轴所夹的面积是不是也表示匀变速直线运动在时间t内的位移呢？学生作出v-t图象，自我思考解答，分组讨论.讨论交流：1.把每一小段Δt内的运动看作匀速运动，则各矩形面积等于各段匀速直线运动的位移，从图象看出，矩形面积之和小于匀变速直线运动在该段时间内的位移.2.时间段Δt变小，各匀速直线运动位移和与匀变速直线运动位移之间的差值就越小3.时间段Δt越小，各匀速直线运动位移和与匀变速直线运动位移之间的差值就越小3.当Δt→0时，各矩形面积之和趋近于v-t图象下面的面积.4.如果把整个运动过程划分得非常非常细，很多很小矩形的面积之和就能准确代表物体的位移了，位移的大小等于阴影部分的梯形的面积.2.在匀变速直线运动位移与时间的关系教学中，你是如何渗透微元法的。
微元法是高中物理涉及到的一种数学方法之一,渗透着微积分的思想,是物理学发展过程中最重要的科学思维方法之一,是牛顿力学的数学基础.微元法对中学生来说显得有一定的难度(属于较高要求).但在人教版的高中物理新教材中恰当地选择了一些物理问题进行微元法的渗透,使学生逐步对微元法了解、熟悉,层次较高的学生甚至能利用微元法解决一些实际问题.1.作出匀速直线运动的物体的速度—时间图象. 是一条平行于t轴的直线.2.由图象可看出，在0—t时间内，图线与t轴所夹矩形面积为物体发生的位移3.结论：对于匀速直线运动，物体的位移对应着v-t图象中一块矩形的面积，启发引导，进一步提出问题，但不进行回答问题：对于匀变速直线运动的位移与它的v-t图象是不是也有类似的关系？培养学生联想的能力和探究问题、大胆猜想的能力.学生针对问题思考，并阅读“思考与讨论”教师活动：（投影）提出问题：我们掌握了这种定积分分析问题的思想，下面同学们在坐标纸上作初速度为v0的匀变速直线运动的v-t图象，分析一下图线与t轴所夹的面积是不是也表示匀变速直线运动在时间t内的位移呢？学生作出v-t图象，自我思考解答，分组讨论.讨论交流：1.把每一小段Δt内的运动看作匀速运动，则各矩形面积等于各段匀速直线运动的位移，从图象看出，矩形面积之和小于匀变速直线运动在该段时间内的位移.2.时间段Δt变小，各匀速直线运动位移和与匀变速直线运动位移之间的差值就越小3.时间段Δt越小，各匀速直线运动位移和与匀变速直线运动位移之间的差值就越小3.当Δt→0时，各矩形面积之和趋近于v-t图象下面的面积.4.如果把整个运动过程划分得非常非常细，很多很小矩形的面积之和就能准确代表物体的位移了，位移的大小等于阴影部分的梯形的面积.能否推导出匀变速直线运动的位移与时间的关系式？引用多媒体课件进一步演示，上述推理过程，进而得出位移与时间的关系表达式。
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x mv0 R n 2 3 2l 2 B l 4.4
∴能完整的穿过4个条形磁场区域
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作业
《创新》活页 P301页 课时3
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d
P M O N
d v0
d
d
d
d
d
求①线框从开始进入磁场到竖直
下落的过程中产生的焦耳热Q
1 2 Q mv0 2
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d
P M O N
d v0
d
d
d
d
d
②线框能穿过的完整条形磁场
区域的个数n。
mv0 R x 2 2 Bl
B、d、m、l、R、v0
微元法
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④能否求出这个过程的总位移呢？ R v v0 B
v 微元法
B 2 L2 x mv0 R
mv0 R x 2 2 B L
t
Δt
在使用微元法处理问题时，需将 其分解为众多微小的“元过程”， 而且每个“元过程”所遵循的规 律是相同的，这样，我们只需分 析这些“元过程”，然后再将 “元过程”进行必要的数学方法 （累计求和）进而使问题求解。
t
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例1. 如图，水平放置的导体电阻为R ，R与两根光滑的平行 金属导轨相连，导轨间距为L ，其间有垂直导轨平面的、磁 感应强度为B的匀强磁场。导轨上有一导体棒ab质量为m以 初速度v0向右运动。 ④能否求出这个过程的总位移呢？ R v v0 B
v
位移：图像与横轴所包含的面积
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④能否求出这个过程的总位移呢？ R v I B
v
mv0 R x 2 2 B L
微元法
Δt
BLv q Ii t I v vI R BLIi t mv BI i L m t t BL Ii t m v
⑤能否求出全过程中通过导体某个 横截面的电量？
导体 感应电 变速 E=BLv 动势变 运动 化
v与a方向关系
E I= R+r
感应 电流 变化
F=BIL
加速 度变 化
F合=ma
合外 力变 化
F合=F安+F其
安培 力变 化
分析此类问题的关键是抓住状态变化过程中变量 的变化特点和规律，从而确定状态变化过程中的临 界点和最终状态
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x v t vi t
运动规律（牛顿第二定律）：
t
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B 2 L2v 即： F安 ma R
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④能否求出这个过程的总位移呢？ R v v0 B
v 微元法
取一元过程,Δt极小，vi与这一时间间隔内 的平均速度相等,a的大小与元过程有关
BLq m(0 v0 )
mv0 q BL
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引申1： 如图，水平放置的导体电阻为R ，R与两根光滑的平 行金属导轨相连，导轨间距为L ，其间有垂直导轨平面的、 磁感应强度为B的匀强磁场。导轨上有一导体棒ab质量为m 受到大小为F的恒力作用从静止开始向右运动。 ①导体棒将做什么运动？ R B
B 2 L2v ma R
B 2 L2vi v m R t
Δt
x v t vi t
B 2 L2 vi t mv R B 2 L2 t R vi t mv B 2 L2 x m 0 v0 R B 2 L2 x mv0 R
F
v
加速度越来越小的加速运动， 最终做匀速运动，外力F与 安培力平衡 ②请描绘出运动的v-t 图像
t
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R
B
F
思考：求该过程中 ③末速度多大？ 产生的焦耳热
B 2 L2vm F F安 R
v vm
B 2 L2 v 运动规律 F vi m R2 2 t B L F t vi t mv t0 t t R Δt B 2 L2 F t vi t m v Ft mvm R x R 2 2 2 2 B L B L Ft x m(vm 0) R
C a b
要说明运动情况，可能有哪些？ 匀速，匀加速还是变加速？ 需要通过计算说明什么问题？ 找出F-t，或 a-t 的关系
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C
IL
b
mg BIL ma q 这种情况下 q CU ? 不适用 I ,欧姆定律适用么 t 微元 q C U CE CBL v
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例1. 如图，水平放置的导体电阻为R ，R与两根光滑的平行 金属导轨相连，导轨间距为L ，其间有垂直导轨平面的、磁 感应强度为B的匀强磁场。导轨上有一导体棒ab质量为m以 初速度v0向右运动。 ③全过程一共产生多少焦耳热？ R B
v
v v0
1 2 W安 0 mv0 2 Q W安
q CBL v CBL a I t t mg CB 2 L2 a ma m 恒量 a g 2 2 m CB L
即物体作匀加速直线运动！
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mg
分析元过程 来帮助理解 运动细节
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小结——微元法在电磁感应问题中的应用 在处理问题时，从对事物的极小部分(微元)分析 入手，达到解决事物整体的方法。 在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多 微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的 规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过 程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法 （累计求和）进而使问题求解。 在电磁感应问题中，常常遇到非匀变速运动过 程中求位移，电量，能量等问题，灵活运用微元的 思想，可以帮助我们更深刻的理解物理过程。
例. 如图，水平放置的导体电阻为R ，R与两根光滑的平行金 属导轨相连，导轨间距为L ，其间有垂直导轨平面的、磁感 应强度为B的匀强磁场。导轨上有一导体棒ab质量为m以初 速度v0向右运动。
①导体棒将做什么运动？ R B 加速度越来越小的减速运动 ②请描绘出运动的v-t 图像 v
v0
v0
最终静止
t
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④若在t时刻，棒作匀速运动，求 这段时间内的总位移。（t > t0）
FR vm 2 2 B L
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引申2：如图，竖直放置的光滑U形导轨宽为L，上端串有一 个电容，电容为C，磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直于纸 面向里。金属棒ab的质量为m，与导轨接触良好，不计摩擦 及各部分电阻，试通过计算说明金属棒的运动情况。
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思考题 如图,空间等间距分布着水平方向的条形匀强磁场, 竖直 方向磁场区域足够长， 磁感应强度为B=1T ，每一条形磁 场区域的宽度及相邻条形磁场区域的间距均为d=0.5m,现有 一边长l=0.2m、质量m=0.1kg、电阻R＝0.1Ω的正方形线框 MNOP以v0=7m/s的初速从左侧磁场边缘水平进入磁场
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④能否求出这个过程的总位移呢？ R v v0 B
v
mv0 R x 2 2 B L
⑤能否求出全过程中通过导体某个 横截面的电量？
t
BLx q R R BL mv0 R mv0 2 2 R B L BL
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