苏科版九年级数学下册培优培优相似三角形的判定

第12讲相似三角形的判定【思维入门】1．如图4－12－1，△ABC∽△DEF，相似比为1∶2，若BC＝1，则EF的长是()A．1B．2C．3D．4图4－12－1 图4－12－22．如图4－12－2，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B，C的一定点，过点M作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有()A．1条B．2条C．3条D．4条3．如图4－12－3，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF∶CF等于()A．3∶2 B．3∶1 C．1∶1 D．1∶2图4－12－3 图4－12－44．如图4－12－4，在▱ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形____．5．如图4－12－5，在△ABC中，AB＝2，AC＝4，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，使CB′∥AB，分别延长AB，CA′相交于点D，则线段BD的长为____．图4－12－56．如图4－12－6，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，分别延长FD和CB交于点G.(1)求证：△ADE≌△CFE；(2)若GB＝2，BC＝4，BD＝1，求AB的长．图4－12－6【思维拓展】7．以下三角形中，与图4－12－7中的三角形相似的是()8．如图4－12－8①，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠B>∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F.(1)求证：DE＝EF；(2)如图②，连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B＝∠A＋∠DGC.图4－12－89．如图4－12－9，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE于点D，BE⊥CE于点E.(1)求证：△ACD≌△CBE；(2)已知AD＝4，DE＝1，求EF的长．图4－12－910．如图4－12－10，等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连结AF，BE相交于点P.(1)若AE＝CF，①求证：AF＝BE，并求∠APB的度数；②若AE＝2，试求AP·AF的值；(2)若AF＝BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．图4－12－10【思维升华】11．如图4－12－11，在正方形ABCD中，E，G，F分别是AB，AD，BC边上的点，若BE＝2AE，AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90°，则GF的长是____．图4－12－1112．如图4－12－12，已知AB⊥BD，CD⊥BD.(1)若AB＝9，CD＝4，BD＝10，请问在BD上是否存在P点，使以P，A，B三点为顶点的三角形与以P，C，D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由；(2)若AB＝9，CD＝4，BD＝12，请问在BD上存在多少图4－12－12个P点，使以P，A，B三点为顶点的三角形与以P，C，D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；(3)若AB＝9，CD＝4，BD＝15，请问在BD上存在多少个P点，使以P，A，B三点为顶点的三角形与以P，C，D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；(4)若AB＝m，CD＝n，BD＝l，请问在m，n，l满足什么关系时，存在以P，A，B 三点为顶点的三角形与以P，C，D三点为顶点的三角形相似的一个P点？两个P点？三个P点？图4－12－12答案：第12讲相似三角形的判定【思维入门】1．如图4－12－1，△ABC∽△DEF，相似比为1∶2，若BC＝1，则EF的长是(B)图4－12－1A．1B．2C．3D．42．如图4－12－2，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B，C的一定点，过点M作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有(C)图4－12－2A．1条B．2条C．3条D．4条3．如图4－12－3，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF∶CF等于(D)图4－12－3A ．3∶2B ．3∶1C ．1∶1D ．1∶2【解析】 ∵▱ABCD ，故AD ∥BC ， ∴△DEF ∽△BCF ，∴DE BC ＝EFCF ，∵点E 是边AD 的中点， ∴AE ＝DE ＝12AD ，∴EF CF ＝12.4．如图4－12－4，在▱ABCD 中，F 是BC 上的一点，直线DF 与AB 的延长线相交于点E ，BP ∥DF ，且与AD 相交于点P ，请从图中找出一组相似的三角形__答案不唯一，如△DCF ∽△EBF __．图4－12－45．如图4－12－5，在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝4，将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转得到△A ′B ′C ，使CB ′∥AB ，分别延长AB ，CA ′相交于点D ，则线段BD 的长为__6__．图4－12－5【解析】 ∵将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转得到△A ′B ′C ， ∴AC ＝A ′C ＝4，AB ＝A ′B ′＝2，∠A ＝∠CA ′B ′， ∵CB ′∥AB ， ∴∠B ′CA ′＝∠D ，∴△CAD∽△B′A′C，∴CAB′A′＝ADA′C，∴42＝AD4，解得AD＝8，∴BD＝AD－AB＝8－2＝6.6．如图4－12－6，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，分别延长FD和CB交于点G.(1)求证：△ADE≌△CFE；(2)若GB＝2，BC＝4，BD＝1，求AB的长．图4－12－6解：(1)证明：∵AB∥FC，∴∠ADE＝∠CFE.△ADE和△CFE中，∠ADE＝∠CFE，DE＝FE，∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△CFE.(2)∵AB∥FC，∴△GBD∽△GCF，∴GBGC＝BDCF.∵GB＝2，BC＝4，BD＝1，∴22＋4＝1CF，∴CF＝3，∵△ADE≌△CFE，∴AD＝CF＝3，∴AB＝BD＋AD＝1＋3＝4.【思维拓展】7．以下三角形中，与图4－12－7中的三角形相似的是(C)8．如图4－12－8①，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠B>∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F.(1)求证：DE＝EF；(2)如图②，连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B＝∠A＋∠DGC.图4－12－8证明：(1)∵DE∥BC，∴ADDB＝AEEC，∵点D为边AB的中点，∴AE＝EC，∵CF∥AB，∴DEEF＝AEEC，∴DE＝EF.(2)∵CF∥AB，∴∠A＝∠ACG，∴∠A＋∠DGC＝∠ACG＋∠DGC＝∠DHC，∵∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，∴AD＝DC，∴∠A＝∠ACD，又∵∠ACB＝∠CDG＝90°，∴∠B＝∠DHC，∴∠B＝∠A＋∠DGC.9．如图4－12－9，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE于点D，BE⊥CE于点E.(1)求证：△ACD≌△CBE；(2)已知AD＝4，DE＝1，求EF的长．图4－12－9解：(1)证明：∵AD⊥CE，∴∠2＋∠3＝90°.又∵∠1＋∠2＝90°，∴∠1＝∠3.又∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E ＝∠ADC ＝90°，△ACD 和△CBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ADC ＝∠E ，∠3＝∠1，AC ＝CB ，∴△ACD ≌△CBE .(2)∵△ACD ≌△CBE ，∴CE ＝AD ＝4，BE ＝CD .∴CD ＝CE －DE ＝4－1＝3.∵∠E ＝∠ADF ，∠BFE ＝∠AFD ，∴△BEF ∽△ADF ，∴BE AD ＝EF DF. 设EF ＝x ，则DF ＝1－x ，∴34＝x 1－x ，解得x ＝37， ∴EF ＝37. 10．如图4－12－10，等边三角形ABC 的边长为6，在AC ，BC 边上各取一点E ，F ，连结AF ，BE 相交于点P .(1)若AE ＝CF ，①求证：AF ＝BE ，并求∠APB 的度数；②若AE ＝2，试求AP ·AF 的值；(2)若AF ＝BE ，当点E 从点A 运动到点C 时，试求点P 经过的路径长．解：(1)①证明：∵三角形ABC 为等边三角形，∴AB ＝AC ，∠BAC ＝∠C ＝60°，∵AE ＝CF ，∴△BAE ≌△ACF (SAS )，图4－12－10∴AF ＝BE ，∠ABE ＝∠CAF ，∵∠BAF ＋∠CAF ＝60°.∴∠BAF ＋∠ABE ＝60°，∴∠APB ＝180°－(∠BAF ＋ABE )＝180°－60°＝120°.②∵∠AEB ＝∠AEP ，∠ABE ＝∠CAF ，∴△BAE ∽△APE ，AF ＝BE ，∴AP AB ＝AE BE， ∵AB ＝6，AE ＝2，∴AP 6＝2AF， ∴AP ·AF ＝6×2＝12.(2)此题分四种情况，第一种：如答图①，点P 经过的路径长为43π3；① ②第10题答图③ ④第10题答图第二种：如答图②，点P 经过的路径长为3＋23π3； 第三种：如答图③，点P 经过的路径长为33； 第四种：如答图④，点P 经过的路径长为23＋23π3.【思维升华】11．如图4－12－11，在正方形ABCD 中，E ，G ，F 分别是AB ，AD ，BC 边上的点，若BE ＝2AE ，AG ＝1，BF ＝2，∠GEF ＝90°，则GF 的长是．【解析】 ∵∠GEF ＝90°，∴△GAE ∽△EBF ， ∴GA EB ＝AE BF，∴AE ·EB ＝2， ∴AE ·2AE ＝2，∴AE ＝1，BE ＝2，∴GE ＝2，EF ＝22，GF ＝（2）2＋（22）2＝10.12．如图4－12－12，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD .(1)若AB ＝9，CD ＝4，BD ＝10，请问在BD 上是否存在P 点，使以P ，A ，B 三点为顶点的三角形与以P ，C ，D 三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由；(2)若AB ＝9，CD ＝4，BD ＝12，请问在BD 上存在多少个P 点，使以P ，A ，B 三点为顶点的三角形与以P ，C ，D 三点为顶点的三角形相似？并求BP 的长；(3)若AB ＝9，CD ＝4，BD ＝15，请问在BD 上存在多少个P 点，使以P ，A ，B 三点为顶点的三角形与以P ，C ，D 三点为顶点的三角形相似？并求BP 的长；图4－12－11图4－12－12(4)若AB ＝m ，CD ＝n ，BD ＝l ，请问在m ，n ，l 满足什么关系时，存在以P ，A ，B 三点为顶点的三角形与以P ，C ，D 三点为顶点的三角形相似的一个P 点？两个P 点？三个P 点？ 解：(1)设BP ＝x ，则DP ＝10－x .如果是△ABP ∽△CDP ，则AB CD ＝BP DP， 即94＝x 10－x ，解得x ＝9013； 如果是△ABP ∽△PDC ，则AB PD ＝BP CD， 即910－x ＝x 4，得方程x 2－10x ＋36＝0，方程无解． 所以BP ＝9013. (2)设BP ＝x ，则DP ＝12－x .如果是△ABP ∽△CDP ，则AB CD ＝BP DP ，即94＝x 12－x ，解得x ＝10813； 如果是△ABP ∽△PDC ，则AB PD ＝BP CD ，即912－x ＝x 4，得方程x 2－12x ＋36＝0，解得x ＝6. 所以BP ＝6或10813. (3)设BP ＝x ，则DP ＝15－x .如果是△ABP ∽△CDP ，则AB CD ＝BP DP ，即94＝x 15－x ，解得x ＝13513； 如果是△ABP ∽△PDC ，则AB PD ＝BP CD ，即915－x ＝x 4，得方程x 2－15x ＋36＝0，解得x ＝3或12. 所以BP ＝13513，3或12. (4)设BP ＝x ，则DP ＝l －x .如果是△ABP ∽△CDP ，则AB CD ＝BP DP ，即m n ＝x l －x ，解得x ＝ml m ＋n； 如果是△ABP ∽△PDC ，则AB PD ＝BP CD ，即m l －x ＝x n，得方程x 2－lx ＋mn ＝0，Δ＝l 2－4mn .当Δ＝l2－4mn<0时，存在以P，A，B三点为顶点的三角形与以P，C，D三点为顶点的三角形相似的一个P点；当Δ＝l2－4mn＝0时，存在以P，A，B三点为顶点的三角形与以P，C，D三点为顶点的三角形相似的两个P点；当Δ＝l2－4mn>0时，存在以P，A，B三点为顶点的三角形与以P，C，D三点为顶点的三角形相似的三个P点．。