基于数学史的“勾股定理”教学设计.ppt

证明方法之特征：利用了巧妙的 “出入相补”原理，蕴含“动态思 想”．
3.3.5 婆什迦罗（Bhaskara 1114-约1185）的证 明：
证明方法之特征：数形结合证法， 利用了三角形的相似性．
4 勾股定理应用举例
＝ ．
所求三角形的面积为：
(a b)(c d) 1 bc 1 d(a b) 1 a(c d)
《周髀算经》卷上还记载西周开国时期周公 与商高讨论勾股测量的对话，商高答周公问时 提到“勾广三，股修四，经偶五”，这是勾股 定理的特例．卷上另一处叙述周公后人荣方与 陈子（约公元前6、7世纪）的对话中，则包含 了勾股定理的一般形式：
“……以日下为勾，日高为股，勾股各自 乘，并儿开方除之，得邪至日．”
从毕达格拉斯时代到现在，对勾股定理 给出了许多种不同的证明． “在卢米斯（E.S. Loomis）的《毕氏命题》一书第二版中，作 者收集了这个著名定理的370种证明，并把它 们分了类．”
3.3向学生展示历史上勾股定理的不同证明 方法
3.3.1 毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元 前580-前500）的证明：
由此看来，《周髀算经》中已经利用ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ勾 股定理来量地测天．勾股定理又叫做“商高定 理”．
在国外，早在古希腊之前的一千多年前的 汉谟拉比时代的巴比伦人已经发现了勾股定理， 并认为勾股定理的第一个证明是毕达格拉斯给 出的．因此，他们把勾股定理叫做“毕达哥拉 斯”定理．据传毕达哥拉斯学派为了庆祝这条 定理的发现，宰了一百头牛来祭神，但迄今并 没有毕达哥拉斯发现和证明勾股定理的直接证 据，并且后来人们指出宰牛之说与毕达哥拉斯 学派奉行的素食主义相违．尽管如此，人们仍 然对毕达哥拉斯证明勾股定理的方法给出了种 种猜测，其中最著名的是普鲁塔克（Plutarch， 约46-120）的面积剖分法(见证法1)．
基于数学史的“勾股定理” 教学设计
包吉日木图 （内蒙古师范大学 数学科学学院 呼和浩特 ）
“勾股定理”是初中数学中的一个重要内 容，具有悠久的历史和丰富的文化涵．《全 日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中 指出勾股定理的教学目标是让学生体验勾股 定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单 的问题．那么，教师如何教学才能使学生体 验勾股定理的探索过程呢？笔者认为教师应 该以勾股定理的历史文化发展为线索来设计 课堂教学模式更为合适．
证明方法之特征： 文字说明，没有代数表达式．
3.3.2 欧几里得（Euclid，约公元前300）的证 明：
证明方法之特征：严格的逻辑推理证明方法， 展示的是对数学美和数学理性的追求．

3.3.3 赵爽（公元3世纪前期）的证明：
证明方法之特征：数形结合证法，建立在一种 不证自明、形象直观的原理上，证明过程可以借助 实物进行操作，使现实问题数学化．
1 教学目标
⑴使学生在探索中“发现”勾股定理；
⑵使学生从勾股定理的历史背景中体验勾股 定理；
⑶使学生从不同文化中的勾股定理的不同证 明方法中感受数学证明的灵活、优美，感受 勾股定理的丰富文化内涵；
⑷使学生应用勾股定理解决实际问题．
2 教学课时
利用两课时的时间来完成勾股定理的教 学．
3 教学过程
3.1 从文化传统习惯入手使学生“发现” 勾股 定理
教师在课前要做好形式多样的三角形的 模型（既有直角三角形又有非直角三角形， 为方便起见，使得每一个直角三角形的两个 直角边的长度均为整数．）．发给每位学生 两个直角三角形和一个非直角三角形，并把 全体学生分成几个小组，使得每位学生都要 利用直尺测量三角形的三条边长，并记录数 据．然后，提出问题：
⑴你手里的直角三角形的三条边的平方 之间有什么关系？
22
2
1 (ac bc bd) 2
5 布置练习题
美国学者史韦兹（F． Swetz）认为， 用历史来丰富数学教学和数学学习，一个直 接的方法是让学生去解一些早期数学家感兴 趣的问题．这些问题让学生回到问题提出的 时代，反映当时人们所关心的数学主体．学 生在解决源于数世纪以前的问题时，会经历 某种激动和满足．他主张，教师可以搜集历 史上的不同时期和不同文化的数学问题，并 布置给学生去解决、比较．基于史韦兹的观 点，教师可以使学生课后完成以下历史上的 勾股定理应用题．
3.3.4 刘徽（公元263年左右）的证明：
刘徽用了巧妙的“出入相补”原理证明 了勾股定理，“出入相补”见于刘徽为 《九章算术》勾股数──“勾股各自乘， 并而开方除之，即弦”所作的注：“勾自 乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补， 各从其类，因就其余不动也，合成弦方之 幂，开方除之，即弦也．”如何将勾方与 股方出入相补成弦方，刘徽未具体提示， 学界比较常见的推测是如下图：
⑵你在⑴中得到的结果对非直角三角形 也成立吗？
通过计算，小组内讨论，每个小组选一 个代表给大家陈述本组的结论．教师在参与、 指导整个过程的基础上，根据学生的回答， 给出正确的结论：
⑴任意直角三角形中，两个直角边的平 方和等于斜边的平方，这就是我们要学的勾 股定理的内容．这里的“勾”和“股”指的 是直角三角形的两个直角边，斜边叫作 “弦”．
①（巴比伦，公元前1600-1800）长30英尺的 梯子倚墙而立，当上端沿墙下移6英尺的距离 时，下端沿墙移动多远？（答案：18英尺）
⑵任意非直角三角形都不存在这种关 系．
中国传统数学非常重视测量和计算，这 是古人发现问题、解决问题的主要方法之一， 也是学生很熟悉的学习方法．这样引入课题 符合从特殊到一般的思维规律，能够带动学 生的学习积极性．
3.2 向学生介绍勾股定理的历史背景
据史书记载，大禹治水与勾股定理有关， 禹在治水的实践中总结出了勾股术（即勾股的 计算方法）用来确定两处水位的高低差．可以 说，禹是世界上有文字记载的第一位与勾股定 理有关的人．中国古代数学著作《周髀算经》 中记载有商高这样的话：……我们做成一个直 角三角形，这形亦称曰[勾股形]．它的距边名 叫[勾]，长度为三；另一边名叫[股]，长度为四； 斜边名叫[弦]，长度为五．勾股弦三边，若各 自乘，我们就可由其中任何两边以求出第三边 的长……