多元函数微分学6.7多元函数的极值

f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 ).
这表明一元函数f(x,y0)在x=x0处取极大值，因而必有
f x( x0 , y0 ) 0.
类似可证
f y ( x0 , y0 ) 0.
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和一元函数类似，凡是能使 f x( x0 , y0 ) 0，
(1)
则f(x,y)在点(x0,y0)处是否取得极值的条件如下：
B 2 AC 0 时具有极值，且当A<0时有极大
值，当A>0时有极小值； (2) B 2 AC 0 时没有极值；
B 2 AC 0 时可能有极值，也可能没有极 值，还需另作讨论．
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(3)
利用上面的两个定理，我们把具有二阶连续偏 导数的函数z=f(x,y)的极值求法叙述如下： 第一步 解方程组
讨论二元函数的极值问题时，如果函数在所讨论 的区域内具有偏导数，则由定理6-8可知，极值只可能 在驻点处取得． 然而，若函数在个别点处的偏导数不 存在．这样的点当然不是驻点，但也有可能是极值点．
2 2 z x y 例如前面提到过的函数 在点(0,0)处
的偏导数不存在，但它在该点却取得极小值0． 所以，在考虑多元函数的极值问
f x( x0 , y0 ) 0,
f y ( x0 , y0 ) 0.
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证明
不妨设函数 z=f(x,y)在点(x0,y0)取极大值，
由极大值的定义，对点(x0,y0) 的某邻域内的点(x,y)，有
f ( x, y) f ( x0 , y0 ).
特殊地，在该邻域内的点(x,y0)≠(x0,y0) ，也有
无极值．
怎样判定一个驻点是不是极值点？ 有如下定理： 定理6-9
设函数 z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内具 f y ( x0 , y0 ) 0， 有一阶及二阶连续偏导数， 又 f x( x0 , y0 ) 0， 记
( x0 , y0 ) A， f xy ( x0 , y0 ) C. ( x0 , y0 ) B， f yy f xx
6.7 多元函数的极值
在管理科学、经济学和许多工程、科技 问题中，常常需要求出一个多元函数的最大 值或者最小值． 与一元函数的情形类似，多 元函数的最大值、最小值与极大值、极小值 有密切联系，因此我们以二元函数为例来讨 论多元函数的极值问题．
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6.7 多元函数的极值
多元函数的极值及最大值、最小值 条件极值
f y ( x0 , y0 ) 0 同时成立的点 (x0,y0)称为函数z=f(x,y)的
驻点．
从定理 6-8可知， 具有偏导数的函数的极值点一
定是驻点． 但是，反过来讲，函数的驻点却不一定是极值 点， 例如 点(0,0)是函数
z xy 的驻点， 但函数在该点并
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所以函数在(1,2)处无极值 ．
在点(－3,0)处，A=－12，B=0，C=6，B2－AC=72>0， 所以函数在(－3,0)处无极值 ．
在点(－3,2)处，A=－12，B=0，C=－6，B2－AC=－72<0，
又A<0，所以函数在(－3,2)处有极大值f(－3,2)=31 ．
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容易判断 函数 z 1 ( x y ) 在点(0,0)处有极大值1；
2 2
函数 z 函数 得极小值．
x y 在点(0,0)处有极小值0；
2 2
z xy 在点(0,0)处既不取得极大值也不取
对于可导的一元函数f(x)，在点x0处有极值的必要 条件是 f ( x0 ) 0. 多元函数也有类似的结论． 定理6-8 设函数 z=f(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数， 且在点(x0,y0)处有极值，则必有：
题时，除了考虑函数的驻点外，还要
考虑偏导数不存在的点．
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现在来考虑多元函数的最值问题. 函数 f (x,y)在有界闭区域D上连续
函数 f (x,y)在有界闭区域D上可取到最大、最小值 使函数取得最大值或最小值的点既可能在D的内 部，也可能在D的边界上． 驻点 最值可疑点 偏导数不存在的点 边界上的最值点
3 3 2 2 f ( x , y ) x y 3 x 3 y 9x 例6-31 求函数
的极值． 解 解方程组
2 f x ( x, y ) 3x 6 x 9 0, 2 f ( x , y ) 3 y 6 y 0, y
求得驻点为(1,0)、(1,2)、(－3,0)、(－3,2)． 再求出二阶偏导数：
f x( x, y) 0， f y ( x, y ) 0.
求得一切实数解，即可求出一切驻点． 第二步 对于每个驻点(x0,y0) ，求出二阶偏导数 的值A，B和C． 第三步 定出 B 2 AC 的符号，按定理6-9的结论 判定f(x0,y0)是不是极值，是极大值还是极小值．
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6.7.1
多元函数的极值及最大值、最小值
设函数 z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有
定义6-6
定义，如果对该邻域的一切(x,y)，都有 f ( x, y) f ( x0 , y0 ) （或 f ( x, y) f ( x0 , y0 )） 则称 f(x,y)在点(x0,y0) 取得极大值（或极小值）f(x0,y0) 并称(x0,y0)是函数f(x,y)的极大值点（或极小值点）． 函数的极大值和极小值统称为 极值． 极大值点和 极小值点统称为 极值点．
( x, y ) 6 y 6. ( x, y ) 0， f yy ( x, y) 6 x 6， f xy f xx
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在点(1,0)处，A=12，B=0，C=6，B2－AC=－72<0，
又A>0，所以函数在(1,0)处有极小值f(1,0)=－5 ． 在点(1,2)处，A=12，B=0，C=－6，B2－AC=72>0，