大物习题解答-大学物理习题答案(许瑞珍_贾谊明)-第3章 刚体力学

第三章 刚体力学

3－1 一通风机的转动部分以初角速度ω0绕其轴转动，空气的阻力矩与角速度成正比，比例系数C 为一常量。若转动部分对其轴的转动惯量为J ，问：（1）经过多少时间后其转动角速度减少为初角速度的一半？（2）在此时间内共转过多少转？ 解：（1）由题可知：阻力矩ωC M -=，

又因为转动定理 dt

d J

J M ω

β== dt

d J

C ωω=-∴ dt J

C d t ⎰⎰-=∴00ωωωω t J

C

-=0ln

ωω t J

C

e

-=0ωω

当021ωω=

时，2ln C

J

t =。 （2）角位移⎰=t

dt 0ωθ⎰

-=2ln 0

0C J t J

C dt e

ωC

J 0

21ω=

，

所以，此时间内转过的圈数为

C

J n πωπθ420==

。 3－2 质量面密度为σ的均匀矩形板，试证其对与板面垂直的，通过几何中心的轴线的转动惯量为)(12

22b a ab J +σ

=

。其中a ，b 为矩形板的长，宽。 证明一：如图，在板上取一质元dxdy dm σ=，对与板面

垂直的、通过几何中心的轴线的转动惯量为 dm r dJ ⎰

=2

dxdy y x a a b b σ⎰

⎰

--+=2222

22)(

)(12

22b a ab +=

σ

证明二：如图，在板上取一细棒bdx dm σ=，对通过细棒中心与棒垂直的转动轴的转

动惯量为

212

1

b dm ⋅，根据平行轴定理，对与板面垂直的、通过几何中心的轴线的转动惯量为

22)2(121x a

dm b dm dJ -+⋅=

dx x a

b dx b 23)2

(121-+=σσ 33121121ba a b dJ J σσ+==∴⎰)(12

22b a ab +=σ

3-3 如图3-28所示，一轻绳跨过两个质量为m 、半径为r 的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为m 2和m 的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，求重物的加速度和各段绳中的张力。

解：受力分析如图

ma T mg 222=- （1） ma mg T =-1 （2） βJ r T T =-)(2 （3） βJ r T T =-)(1 （4）

βr a =，2

2

1mr J =

(5) 联立求出

g a 41=

， mg T 811=，mg T 451=，mg T 2

32=

3-4 如图3-29所示，一均匀细杆长为L ，质量为m ，平放在摩擦系数为μ的水平桌面上，设开始时杆以角速度0ω绕过细杆中心的竖直轴转动，试求：（1）作用于杆的摩擦力矩；（2）经过多长时间杆才会停止转动。 （1） 解：设杆的线l

m

=

λ，在杆上取一小质元dx dm λ= gdx dmg df μλμ==

gxdx dM μλ= 考虑对称 mgl gxdx M l μμλ⎰==20

4

1

2

（2） 根据转动定律d M J J dt

ωβ==

⎰

⎰=-t

w Jd Mdt 0

ω

图3-28 习题3-3图

图3-29 习题3-4图

T

0212

1

41ωμml mglt -=-

所以 g

l

t μω30=

3－5 质量为m 1和m 2的两物体A 、B 分别悬挂在如本题图所示的组合轮两端。设两轮的半径分别为R 和r ，两轮的转动惯量分别为J 1和J 2，轮与轴承间的摩擦力略去不计，绳的质量也略去不计。试求两物体的加速度和绳中的张力。

解：分别对两物体做如图的受力分析。根据牛顿定律，有

1111a m T g m =- a m g m T 222=-

又因为组合轮的转动惯量是两轮惯量之和，根据转动定理有

α)(2121J J r T R T +=-

而且，αR a =1，αr a =2，

gR r m R m J J r

m R m a 2

22121211+++-=

∴

gr r m R m J J r

m R m a 2

22121212+++-=

g m r m R m J J Rr

m r m J J T 12

2212122

2211++++++=

g m r

m R m J J Rr

m R m J J T 22

22121121212++++++= 3－6 如本题图所示装置，定滑轮的半径为r ，绕转轴的转动惯量为J ，滑轮两边分别悬挂质量为m 1和m 2的物体A 、B 。A 置于倾角为θ的斜面上，它和斜面间的摩擦因数为μ。若B 向下作加速运动时，求：（1）其下落加速度的大小；（2）滑轮两边绳子的张力。（设绳的质量及伸长均不计，绳与滑轮间无滑动，滑轮轴光滑） 解:A 、B 物体的受力分析如图。根据牛顿定律有 1111sin a m f g m T =--θ

2222a m T g m =-

对滑轮而言，根据转动定律有 αJ r T r T =-12

由于绳子不可伸长、绳与轮之间无滑动，则 αr a a ==21

g

g

22

a 2