17第十七讲 极值的第三充分条件
第17讲 可积的充要条件
b
证 (必要性) 设 f 在 [a,b] 上可积,且J
∀ε > 0, ∃δ > 0, 当 || T ||< δ 时, 有
= ∫a
f (x)dx.
∑n
f (ξi )Δxi − J
i =1
<ε ,
2
即
∑ J
−ε
2
<
n i =1
f (ξi )Δxi
<J
+ε .
2
由性质1,得
J
−
ε 2
≤
s(T
)
≤
S (T
)
上的分割 T ,
使
ω
ϕ k′
≥
δ
的所有小区间
Δ
k′
的总长
∑ ∆ tk′ < ε , 而在其余∆ k′′上的ωkϕ′′ < δ .
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社
*§6 可积性理论补叙
上和与下和的性质
设 = F (t) f (ϕ(t)) , t ∈[α , β ].
可积的充要条件
由以上可知：T 中小区间∆ k′′上，ωkF′′ < η, 至多在所 有∆ k′上ωkF′ ≥ η, 而这些小区间总长至多 为
∑ 使 S(T ) − s(T ) < ε , 即 ωiΔxi < ε . i =1
几何意义 由上和与下和的几何意 义知道，上述充
要条件的几何意义为： y 图中包围曲线 y = f ( x)的 一系列小矩形面积之和
∑ωi Δ xi < ε
T
y = f (x)
可以达到任意小,只要对
Oa
bx
[a, b] 的分割 T足够地细.
16-8.多元函数有极值的充分条件PPT
函数有极值的充分条件定理（充分条件）设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内连续，有二阶连续偏导数， 一、函数有极值的充分条件又 0),(00=y x f x , 0),(00=y x f y ， 令 A y x f xx =),(00， B y x f xy =),(00， C y x f yy =),(00， 则),(y x f 在点),(00y x 处是否取得极值的条件如下：（1）02>-B AC 时具有极值，当0<A 时有极大值， 当0>A 时有极小值； （2）02<-B AC 时没有极值； （3）02=-B AC 时可能有极值,也可能没有极值，还需另作讨论．例题 求由方程y x z y x 22222+-++0104=--z 确定的函数),(y x f z =的极值 将方程两边分别对y x ,求偏导⎩⎨⎧='-+'⋅+='--'⋅+0422204222y y x x z z z y z z z x 由函数取极值的必要条件知,驻点为)1,1(-P ,将上方程组再分别对y x ,求偏导数,解,21|,0|,21|zz C z B z z A P yy P xy P xx -=''==''=-=''= 故 )2(0)2(122≠<--=-z z AC B ,函数在P 有极值.将)1,1(-P 代入原方程,有6,221=-=z z ,当21-=z 时，041>=A ,所以2)1,1(-=-=f z 为极小值；当62=z 时，041<-=A ,所以6)1,1(=-=f z 为极大值.第一步 解方程组,0),(=y x f x 0),(=y x f y 求出实数解，得驻点.第二步 对于每一个驻点),(00y x ，求出二阶偏导数的值A 、B 、C .第三步 定出2B AC -的符号，再判定是否是极值.二、求极值的步骤三、小结多元函数的极值（取得极值的必要条件、充分条件）求函数的极值的步骤。
17第十七章 现场简易振动诊断的实施步骤-推荐下载
第十七章现场简易振动诊断的实施步骤1 实施现场简易振动诊断的6个步骤现场诊断实践表明，对机器设备实施振动诊断，必须遵循正确的诊断程序，才能使诊断工作有条不紊地进行，并取得良好的效果。
反之，如果方法步骤不合理，或因考虑不周而造成某些环节上的缺漏，则将影响诊断工作的顺利进行，甚至中途遇挫，无果而终。
我们在这一章，专门讨论实施现场简易振动诊断方法步骤的有关问题。
通观振动诊断的全过程，诊断步骤可概括为3个环节，即：准备工作、诊断实施、决策与验证。
下面，我们围绕这3个方面的内容，归纳为6个步骤介绍。
1.1 了解诊断对象诊断的对象就是机器设备。
在实施设备诊断之前，必须对它的各个方面有充分的认识了解，就像医生治病必须熟悉人体的构造一样。
经验表明，诊断人员如果对设备没有足够充分的了解，甚至茫然无知，那么，即使是信号分析专家也是无能为力的。
所以了解诊断对象是开展现场诊断的第一步。
了解设备的主要手段是开展设备调查。
表3-1所列内容，可供调查时参考。
概括起来，对一台列为诊断对象的设备要着重掌握5个方面的内容：1、设备的结构组成对设备的结构主要掌握两点：1) 搞清楚设备的基本组成部分及其联接关系。
一台完整的设备一般由三大部分组成，即：原动机（大多数采用电动机，也有用内燃机、汽轮机、水轮机的，一般称辅机）、工作机（也称主机）和传动系统。
要分别查明它们的型号、规格、性能参数及联接的形式，画出结构简图，如图3-1所示。
2) 必须查明各主要零部件（特别是运动零件）的型号、规格、结构参数及数量等，并在结构图上标明，或另予说明。
这些零件包括：轴承型式、滚动轴承型号、齿轮的齿数、叶轮的叶片数、带轮直径、联轴器型式等。
2、机器的工作原理和运行特性这主要了解以下内容：1) 各主要零部件的运动方式：旋转运动还是往复运动；2) 机器的运动特性：平稳运动还是冲击性运动；3) 转子运行速度：低速（＜600r/min)，中速（600 ~ 60000r/min ) 还是高速（＞60000r/min)；匀速还是变速；4) 机器平时正常运行时及振动测量时的工况参数值，如：排出压力、流量、转速、温度、电流、电压等。
函数极值充分条件
前页 后页 返回
因为 f ( x ) 0 , x ( x0 , x0 ) , f ( x ) 在 ( x0 , x0 ] 上连续，所以 f ( x ) 在 ( x0 , x0 ] 上递减，故 f ( x ) f ( x0 ) , x ( x0 , x0 ) .
y
导数为零, 但 x 0 不是它的
极值点. 于是得极值的必要条件： 可微函数的极值点一定是导数为零. 下面给出极值的充分条件.
O
x
定理6.10 (极值的第一充分条件) 设函数 f (x) 在
x0 连续，在某邻域 U ( x0 ; ) 上可导 .
(i) 若当 x ( x0 , x0 ) 时,f ( x0 ) 0,当 x ( x0 , x0 ) 时，f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在点 x0 取得极小值 . (ii) 若当 x ( x0 , x0 )时, f ( x0 ) 0, 当x ( x0 , x0 ) 时，f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在点 x0 取得极大值 .
定理 6.10 的几何说明
y
y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x0
x
o
y
x
o
y
x0
x0 是极值点情形
x0
o
x0
x
o
x
x0 不是极值点情形
前页 后页 返回
根据导函数的符号判别函数单调性的方法， 可 以知道定理的几何意义十分明显. 出 (i) 的证明， (ii) 的证明类似. 在这里仅给
证明 利用导函数符号得出函数的单调性方法.
同理可证 f ( x ) 在 [ x0 , x0 ) 上递增,故
高考数学冲刺复习极值定理考点深度剖析
高考数学冲刺复习极值定理考点深度剖析在高考数学的复习中，极值定理是一个非常重要的考点，它不仅在函数、导数等章节中频繁出现，而且对于解决实际问题也具有重要意义。
在冲刺复习阶段，对极值定理进行深度剖析，有助于我们更好地理解和掌握这一知识点，从而在考试中取得优异成绩。
一、极值定理的基本概念极值定理是指在给定的区间内，函数取得最大值或最小值的情况。
具体来说，如果函数在某一点处的导数为零，且在该点左侧导数为正，右侧导数为负，那么该点就是函数的极大值点；反之，如果在某一点处的导数为零，且在该点左侧导数为负，右侧导数为正，那么该点就是函数的极小值点。
需要注意的是，导数为零的点不一定是极值点，例如函数＼（f(x)＝ x^3\）在＼（x ＝ 0\）处导数为零，但不是极值点。
此外，极值点也可能出现在区间的端点处。
二、极值定理的应用1、求函数的极值要求函数的极值，首先需要求出函数的导数，令导数等于零，解出可能的极值点。
然后通过判断导数在极值点两侧的符号，确定是极大值还是极小值。
例如，对于函数＼（f(x) ＝ x^2 4x ＋ 3\），其导数为＼（f'（x)＝ 2x 4\）。
令＼（f'（x) ＝ 0\），解得＼（x ＝ 2\）。
当＼（x ＜ 2\）时，＼（f'（x) ＜ 0\）；当＼（x ＞ 2\）时，＼（f'（x) ＞ 0\），因此＼（x ＝ 2\）是函数的极小值点，极小值为＼（f(2) ＝－1\）。
2、求函数在区间上的最值求函数在区间上的最值，需要先求出函数在区间内的极值，然后再比较极值与区间端点处函数值的大小。
例如，对于函数＼（f(x) ＝ x^3 3x^2 ＋ 1\）在区间＼（0, 3\）上的最值。
首先求出导数＼（f'（x) ＝ 3x^2 6x\），令＼（f'（x) ＝ 0\），解得＼（x ＝ 0\）和＼（x ＝ 2\）。
然后分别计算＼（f(0) ＝ 1\），＼（f(2) ＝－3\），＼（f(3) ＝ 1\），比较可得函数在区间＼（0, 3\）上的最大值为＼（1\），最小值为＼（－3\）。
党的十七届三中全会精神
党的十七届三中全会精神中国共产党第十七届中央委员会第三次全体会议，于2008年10月9日至12日在北京举行。
出席这次全会的有，中央委员202人，候补中央委员166人。
中央纪律检查委员会常务委员会委员和有关方面负责同志列席了会议。
党的十七大代表中从事农业农村工作的部分基层同志和研究农业、农村、农民问题的部分专家学者也列席了会议。
全会由中央政治局主持。
中央委员会总书记胡锦涛作了重要讲话。
全会听取和讨论了胡锦涛受中央政治局委托作的工作报告，审议通过了《中共中央关于推进农村改革发展若干重大问题的决定》。
回良玉就《决定(讨论稿)》向全会作了说明。
全会充分肯定党的十七届一中全会以来中央政治局的工作。
一致认为，中央政治局全面贯彻党的十七大和十七届一中、二中全会精神，高举中国特色社会主义伟大旗帜，以邓小平理论和“三个代表”重要思想为指导，深入贯彻落实科学发展观，继续解放思想，坚持改革开放，推动科学发展，促进社会和谐，团结带领全党全国各族人民紧紧抓住发展机遇，积极应对来自国际国内形势复杂变化和自然界的严峻挑战，奋勇夺取抗击南方部分地区严重低温雨雪冰冻灾害和四川汶川特大地震抗震救灾斗争重大胜利，成功举办北京奥运会、残奥会，圆满完成神舟七号载人航天飞行任务，全面推进社会主义经济建设、政治建设、文化建设、社会建设和党的建设，各项工作取得新进展，社会安定团结大局得到巩固和发展。
全会全面分析了形势和任务特别是经济形势，强调我国总体形势是好的，经济保持较快增长，金融业稳健运行，我国经济发展的基本态势没有改变。
当前，国际金融市场动荡加剧，全球经济增长明显放缓，国际经济环境中不确定不稳定因素明显增多，国内经济运行中也存在一些突出矛盾和问题，我们必须增强忧患意识、积极应对挑战。
最重要的是要把我国自己的事情办好。
要更加自觉、更加坚定地抓好发展这个党执政兴国的第一要务，更加自觉、更加坚定地推动科学发展，坚定信心、冷静观察，多管齐下、有效应对，采取灵活审慎的宏观经济政策，着力扩大国内需求特别是消费需求，保持经济稳定、金融稳定、资本市场稳定，保持社会大局稳定，做好保障和改善民生工作，继续推动经济社会又好又快发展。
17第十七讲 内能及利用
空气 吸入_______
压燃式 _________ 高 _______ 载重汽车、大型拖拉机
往复 冲程：活塞在________ 运动中从汽缸的一端运动到另一 相同点 2 次，曲轴和飞轮 端。一个工作循环活塞往复运动______
2 4 个冲程，做功______ 1 转动_______ 周，经历______ 次
大的特性 D．物体的内能越大，温度越高
重难点· 需提高
解题技巧：热机的效率是指用来做有用功的能量与燃料完全燃烧 放出的能量之比，减少热的损失，可以提高效率；物体内能与温 度和质量有关，温度越高，质量越大，内能越大；用水循环来降 低热机的温度，主要是利用水比热容较大的特性。
重难点· 需提高
【例6】下列有关热机效率、燃料热值、物体内能、比热容的说 法中，正确的是( C ) A．热机所用燃料的热值越大，效率越高 B．热机所用燃料的化学能转化成的内能越多，效率越高
重难点· 需提高
【例5】甲汽油机的热机效率比乙汽油机的热机效率高，这表明 ( D) A．甲做功比乙多 B．甲做功比乙快
C．甲消耗的汽油比乙少
D．以相同的速度行驶相同的路程，乙消耗的汽油多 解题技巧：主要考查对热机效率的理解，热机的效率是热机用来
做有用功的能量与燃料完全燃烧放出的能量之比。做同样多的功，
基础知识· 细解读
二、燃料的热值(5年1考，2016年考查) 1．热值 完全燃烧 放出的热量与其质量之比，叫做这 (1)定义：某种燃料_________ 种燃料的热值。 J/kg 。 (2)单位：_______ (3)热值的理解 热值反映的是某种物质的一种燃烧特性，同时反映出不同燃料燃 烧过程中，化学能转变成内能的本领大小，也就是说，它是燃料 燃料的种类 有关，与燃料的形态、质量、 特性 ，只与___________ 本身的_______
二元函数极值的充分条件
二元函数极值的充分条件一、引言在数学中，极值是一个非常重要的概念，它可以帮助我们求解许多实际问题。
在二元函数中，极值也是一个非常重要的概念。
本文将介绍二元函数极值的充分条件。
二、二元函数二元函数是指具有两个自变量的函数，通常用f(x,y)表示。
其中x和y 可以是任意实数。
在平面直角坐标系中，可以将二元函数表示为一个三维曲面。
三、极值在一元函数中，极值分为最大值和最小值。
而在二元函数中，极值则包括最大值、最小值和鞍点（即既不是最大值也不是最小值的点）。
四、局部极值局部极值指的是在某一区域内取得的最大或最小的函数值。
如果一个点处取得了局部极大（或局部极小）的函数值，则这个点被称为局部极大（或局部极小）点。
五、全局极值全局极值指的是在整个定义域内取得的最大或最小的函数值。
如果一个点处取得了全局极大（或全局极小）的函数值，则这个点被称为全局极大（或全局极小）点。
六、二元函数极值的充分条件在一元函数中，我们可以通过求导数来判断极值点。
而在二元函数中，我们需要使用偏导数来判断极值点。
具体地说，如果一个点处的偏导数都为0，则这个点可能是极值点。
七、二元函数的偏导数在二元函数中，我们需要计算两个偏导数：f(x,y)对x的偏导数和f(x,y)对y的偏导数。
具体计算方法如下：1. 对x求偏导：将y视为常量，对x求一阶导数。
2. 对y求偏导：将x视为常量，对y求一阶导数。
八、判断极值点在得到二元函数的偏导数后，我们需要判断哪些点是极值点。
具体步骤如下：1. 求出所有可能的极值点（即使得两个偏导数都为0的点）。
2. 对于每一个可能的极值点，计算它们所在位置处的二阶偏导数矩阵（也称海森矩阵）。
3. 判断该矩阵是否正定或负定。
如果是正定，则该点为局部极小点；如果是负定，则该点为局部极大点；如果不是正定也不是负定，则该点为鞍点。
4. 对于所有的局部极小点和局部极大点，比较它们的函数值，得到全局极小点和全局极大点。
九、海森矩阵海森矩阵是一个二阶矩阵，它的元素为二元函数在某一点处的二阶偏导数。
十七届三中全会讲稿
2、得出了“三个仍然和最需要”的基本结论
农业基础仍然薄弱，最需要加强；农村发展仍然滞后， 最需要扶持；农民增收仍然困难，最需要加快。
一、党的十七届三中全会讲了什么
3、作出了“三个进入”的基本判断
我国总体上：
进入以工促农、以城带乡的发展阶段； 进入加快改造传统农业、走中国特色农业现代 化道路的关键时刻； 进入着力破除城乡二元结构、形成城乡经济社 会发展一体化新格局的重要时期。
加快发展农村公共事业，促进农村社会全面进步 繁荣发展农村文化。 大力办好农村教育事业。 促进农村医疗卫生事业发展。 健全农村社会保障体系。 加强农村基础设施和环境建设。 推进农村扶贫开发。 加强农村防灾减灾能力建设。 强化农村社会管理。
一、党的十七届三中全会讲了什么
归结为一句话
重农、强农、惠农、护农
二、我省农村改革发展的工作重点是什么
党的十七届三中会提出：
“一个长久不变”，就是赋予农民更加充分而有保障的土地 承包经营权，现有土地承包关系要保持稳定并长久不变。
这是《决定》的一大亮点。由过去的承包期15年、30年不变，到 “长久不变”。即强调承包地对农民的财产权、物权属性，给农民吃 长效“定心丸”。
二、我省农村改革发展的工作重点是什么
11月6日，省委召开工 作会议。会议全面回顾总 结了改革开放以来浙江农 村改革发展的实践和经验， 研究部署了新形势下推进 我省农村改革发展总体思 路和目标任务，讨论审议 了《中共浙江省委关于认 真贯彻党的十七届三中全 会精神，加快推进农村改 革发展的实施意见》。
2020年目标任务 到2020年，全省农村居民人均纯收入超过 20000元，城乡经济社会发展一体化新格局基本 形成，成为农业现代化发展快、农民生活质量好、 新农村建设水平高、城乡发展差距小的省份。
多元函数极值的充分条件
多元函数极值的充分条件马丽君（集宁师范学院 数学系）我们知道，一元函数()y f x =在点0x x =取得极值的充分条件是：函数()f x 在点0x 处具有一阶二阶连续导数，0x 是()f x 驻点，即0()0f x '=。
若0()0(0)f x ''><，则0x 为()f x 的极小值点（或极大值点）对于多元函数()Y f X =，其中12(,,,)n X x x x =L ，有与上面一元函数取得极值的充分条件相对应的结论。
定义 1.设n 元函数()Y f X =，其中12(,,,)n X x x x =L ，对各自变量具有一阶连续偏导数，则称12,,,Tn f f f x x x ⎛⎫∂∂∂ ⎪∂∂∂⎝⎭L为()f X 的梯度，记作gradf 。
引理 设n 元函数()f X ，其中12(,,,)n X x x x =L ，对各自变量具有一阶连续偏导数，则()f X 在点000012(,,,)n X x x x =L 取得极值的必要条件是：0112(),,,0Tn n X X f f f gradf X x x x ⨯=⎛⎫∂∂∂== ⎪∂∂∂⎝⎭L证明：引理成立是显然的，即极值点函数可导，则该点的偏导数等于零。
定义 2.设n 元函数()f X ，对各自变量具有二阶连续偏导数，000012(,,,)n X x x x =L 是()f X 的驻点，现定义()f X 在点0X 处的矩阵为：222000211212222000202122222000212()()()()()()()()()()f N n n n f X f X f X X X X X X f X f X f X H X X X X X X f X f X f X X X X X X ⎧⎫∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂∂⎪⎪⎪⎪∂∂∂⎪⎪=∂∂∂∂∂⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂∂⎩⎭L L L L L L L L L L L由于各二阶偏导数连续，即22(,1,2,,)i j j if fi j n x x x x ∂∂==∂∂∂∂L ，所以0()f H X 为实对称矩阵。
17第十七章 现场简易振动诊断的实施步骤
第十七章现场简易振动诊断的实施步骤1 实施现场简易振动诊断的6个步骤现场诊断实践表明，对机器设备实施振动诊断，必须遵循正确的诊断程序，才能使诊断工作有条不紊地进行，并取得良好的效果。
反之，如果方法步骤不合理，或因考虑不周而造成某些环节上的缺漏，则将影响诊断工作的顺利进行，甚至中途遇挫，无果而终。
我们在这一章，专门讨论实施现场简易振动诊断方法步骤的有关问题。
通观振动诊断的全过程，诊断步骤可概括为3个环节，即：准备工作、诊断实施、决策与验证。
下面，我们围绕这3个方面的内容，归纳为6个步骤介绍。
1.1 了解诊断对象诊断的对象就是机器设备。
在实施设备诊断之前，必须对它的各个方面有充分的认识了解，就像医生治病必须熟悉人体的构造一样。
经验表明，诊断人员如果对设备没有足够充分的了解，甚至茫然无知，那么，即使是信号分析专家也是无能为力的。
所以了解诊断对象是开展现场诊断的第一步。
了解设备的主要手段是开展设备调查。
表3-1所列内容，可供调查时参考。
概括起来，对一台列为诊断对象的设备要着重掌握5个方面的内容：1、设备的结构组成对设备的结构主要掌握两点：1) 搞清楚设备的基本组成部分及其联接关系。
一台完整的设备一般由三大部分组成，即：原动机（大多数采用电动机，也有用内燃机、汽轮机、水轮机的，一般称辅机）、工作机（也称主机）和传动系统。
要分别查明它们的型号、规格、性能参数及联接的形式，画出结构简图，如图3-1所示。
2) 必须查明各主要零部件（特别是运动零件）的型号、规格、结构参数及数量等，并在结构图上标明，或另予说明。
这些零件包括：轴承型式、滚动轴承型号、齿轮的齿数、叶轮的叶片数、带轮直径、联轴器型式等。
2、机器的工作原理和运行特性这主要了解以下内容：1) 各主要零部件的运动方式：旋转运动还是往复运动；2) 机器的运动特性：平稳运动还是冲击性运动；3) 转子运行速度：低速（＜600r/min)，中速（600 ~ 60000r/min ) 还是高速（＞60000r/min)；匀速还是变速；4) 机器平时正常运行时及振动测量时的工况参数值，如：排出压力、流量、转速、温度、电流、电压等。
极值的第三充分条件
极值的第三充分条件极值是数学中一个非常重要的概念，它在很多实际问题中都有着广泛的应用。
对于一个函数而言，它的极值点包括极大值点和极小值点，是函数取得最大值和最小值的点。
在研究一个函数的极值时，除了需要找到极值点，还需要确定这个点是极大值还是极小值。
而确定这个点是极大值还是极小值，有一个非常重要的条件：极值的第三充分条件。
极值的第三充分条件是什么呢？它是指对于一个连续可微的函数f(x)，如果在x=a处取得极值，同时f'(a)=0，f''(a)不等于0，那么这个点一定是一个极值点。
同时，如果f''(a)>0，则表示在a点取得的是一个极小值，而f''(a)<0，则表示在a点取得的是一个极大值。
这个条件非常重要，因为它对于理解函数极值的判定提供了一条重要的思路。
它告诉我们，如果我们要判断一个点是极大值还是极小值，那么需要看这个点的二阶导数的符号。
如果二阶导数的符号大于0，则表示这个点是一个极小值，而小于0则表示这个点是一个极大值。
此外，极值的第三充分条件还有一个非常重要的意义，那就是它可以帮我们进一步确定函数的性质。
如果在一个点上函数的二阶导数大于0，那么说明函数在这个点处是凸的，这就意味着函数在这个点处是向上开口的。
而如果二阶导数小于0，则说明函数在这个点处是凹的，即函数在这个点处是向下开口的。
因此，函数的凸凹性也可以通过极值的第三充分条件得到很好的刻画。
总之，极值的第三充分条件是一个非常重要的判定条件，它可以帮助我们确定极值点的类型，进一步确定函数的凸凹情况，从而更好地理解函数的性质。
在学习函数的极值问题时，我们应该重视这个条件，充分理解它的含义和应用，以便更好地解决实际问题。
极值第三充分条件的证明
极值第三充分条件的证明极值第三充分条件的证明，这个话题听起来像是高深莫测的数学魔法，但其实它就像是一道美味的家常菜，只要好好调味，大家都能明白。
你想想，咱们在生活中经常会遇到极值，比如说，吃到一块特别好吃的蛋糕，真的是让人心花怒放；可是一块太咸的蛋糕，哎，真是让人心烦。
极值的概念就在这里，咱们想要找到那最完美的平衡点，让一切都恰到好处。
现在，咱们就来聊聊这个第三充分条件，听起来是不是有点神秘？想要明白这个条件，得从极值的定义说起。
极值，其实就像是在众多选择中找到那颗闪亮的星星。
在数学里，咱们常常用函数来表示关系，想象一下一个山峰，山顶就是那个极值。
为了找到山顶，咱们得爬山，得分析它的导数。
如果导数为零，那就有可能是极值。
但这时候，就需要第三充分条件来判断，嘿，这山真的是山顶吗，还是说只是个小丘陵呢？咱们来聊聊这个第三充分条件是什么。
简单来说，就是要看二阶导数。
如果二阶导数在那个点是正的，哇，那说明咱们真的到了山顶，周围都是下降的斜坡，真是如沐春风；反之，如果是负的，那咱们就得小心了，这可能是个山谷，爬上去就会摔得四脚朝天。
没错，数学里的这些条件，就像是在给我们指路灯，提醒我们走的每一步。
说到这里，很多人可能会觉得这数学太抽象，没法感同身受。
生活中处处都是极值的例子。
比如说，你在超市里逛，看到一款新出的饮料，尝了一口，哎呀，简直是绝了！这是极值！可是如果你喝到一口酸的，那可就得看看是不是过期了，哈哈，这就是负极值了。
再想想，你去餐厅点菜，服务员问你想吃什么。
你可能会考虑到很多因素，比如口味、价格、服务质量，最后选出那道最合心意的菜肴。
这一过程其实就是在寻找最优解，极值就在其中。
每一次选择，都是在微调我们的目标，生活就是这么简单又复杂。
而回到数学上，极值第三充分条件的存在，就像是给我们的人生导航，让我们知道怎样才能选择到最美味的菜。
也许在某个时刻，咱们以为找到了最好的选择，结果再回头一看，嘿，原来还有更好的选择在等着我们。
【NO.386】极值的三大充分条件
【NO.386】极值的三大充分条件高中数学中，关于极值点的定义不是很清晰，这是因为严格的极值的定义需要用到高等数学中领域极限等概念。
众所周知，导数值为零仅仅是极值点的一个必要条件而非充分条件。
为了避开极限领域等概念，高中数学判定极值点往往是先判断出函数在整个区间的单调性。
在来确定极值。
而当函数比较复杂或者含有参数时，这种方法就很复杂。
下面给出高等数学中，判定极值的三个充分条件，这三个充分条件的证明在此不再详细阐述，毕竟都需要用到高等数学，高中生不必掌握证明过程，只需要记住结论应用即可。
【NO.374】2021年9月辽宁省名校联盟模拟考试试题附解析【NO.373】近几年高考试题中的找点问题【NO.372】大连市2020-2021学年度高一第二学期期末试题解析【NO.371】大连市2020-2021学年度第二学期高二期末试题解析【NO.370】双变量与极值点偏移问题【NO.369】对2021年新高考试题的一些思考【NO.368】立体几何专题系列（1）截面问题【NO.367】2021年新高考II卷（辽宁重庆海南）试题解析【NO.366】2021年新高考I卷试题解析【NO.365】绵阳市高中2018级第三次诊断性考试理科数学【NO.364】2020-2021育明高三校一模试题解析【NO.363】辽宁省部分重点中学协作体2021年模拟考试数学试题解析【NO.362】辽附高三二模导数与圆锥曲线解析2021年大连市高三第一次模拟考试数学试题解析（2）2021年大连市高三第一次模拟考试数学试题解析（1）【NO.362】区间长度与零点个数问题【NO.358】2021年高考导数突破系列（3）【NO.356】2021年高考导数突破系列（2）【NO.355】2021年高考导数突破系列（1）【NO.354】辽宁省名校联盟2021届高三3月份联合考试数学。
二元函数极值的充分条件
二元函数极值的充分条件引言二元函数是一种含有两个自变量的函数，通常表示为f(x,y)。
在数学中，我们经常关注函数的极值问题，即寻找函数的最大值或最小值点。
对于二元函数来说，极值点的寻找更加复杂，因为需要同时考虑两个自变量的取值。
本文将详细讨论二元函数极值的充分条件，帮助读者更好地理解和应用相关知识。
二元函数的定义二元函数是指含有两个自变量的函数，可以表示为f(x,y)。
其中，x和y分别表示自变量，f(x,y)表示输出的函数值。
对于任意给定的x和y的取值，函数f(x,y)的值是确定的。
我们可以将二元函数表示为一个三维坐标系内的曲面，其中自变量x和y作为坐标轴，函数值f(x,y)作为高度。
极值点的定义在一元函数中，极值点是指函数的最大值或最小值点。
同样地，在二元函数中，极值点是指函数f(x,y)的最大值或最小值的点。
极值点的判断方法对于一元函数，我们可以通过求导数，令导数等于0来求得极值点。
但是在二元函数中，求导数变得更加复杂，因为需要求偏导数。
因此，我们需要找到一个更加方便的方法来判断二元函数的极值点。
二元函数极值的充分条件二元函数极值的充分条件有两个重要的定理：费马定理和边界条件。
费马定理费马定理是判断二元函数极值的重要定理之一。
它断言，在极值点处的偏导数等于0。
具体而言，设二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极值，且在该点处偏导数存在。
那么，该点处的偏导数必然等于0，即∂f/∂x=0和∂f/∂y=0。
边界条件边界条件是判断二元函数极值的另一个重要定理。
它指出，如果一个二元函数在一个区域的边界上取得最大（或最小）值，那么该点是极值点。
具体而言，如果函数f(x,y)在区域D的边界上取得最大值，那么该点是极大值点；如果函数f(x,y)在区域D的边界上取得最小值，那么该点是极小值点。
二元函数极值的求解步骤根据上述的充分条件，我们可以得出求解二元函数极值的一般步骤。
1.找出函数的定义域。
定义域是自变量取值的范围，也即是函数存在的区域。
极值第三充分条件
极值第三充分条件极值第三充分条件是数学中用于确定极大值和极小值的一个重要条件。
在函数的极值问题中，如果一个函数在某点处取得极值，那么这个点处的导数为零或不存在。
这就是所谓的极值第一充分条件。
然而，这个条件并不是充分的，即在导数为零或不存在的点可能不是极值点。
因此，为了确定极值点，我们还需要引入极值第二充分条件。
极值第二充分条件是指在满足极值第一充分条件的基础上，通过二阶导数来判断极值点的性质。
具体而言，如果函数在某点处的二阶导数大于零，那么这个点是函数的极小值点；如果函数在某点处的二阶导数小于零，那么这个点是函数的极大值点。
这个条件可以理解为，如果函数的曲线在某点处凹向上，则这个点是极小值点；如果函数的曲线在某点处凹向下，则这个点是极大值点。
然而，极值第二充分条件也并不是充分的。
也就是说，即使函数在某点处的二阶导数为零，这个点也未必是极值点。
为了解决这个问题，我们还需要引入极值第三充分条件。
极值第三充分条件是基于泰勒展开的理论推导得出的。
泰勒展开是一种用多项式逼近函数的方法，通过将函数在某点处展开为无穷级数的形式，可以近似地表示原函数的性质。
在极值问题中，我们可以利用泰勒展开来推导极值第三充分条件。
具体而言，如果函数在某点处的二阶导数为零，且三阶导数不为零，那么我们可以利用泰勒展开得到一个近似的表达式。
根据这个近似表达式，我们可以判断函数在这个点附近的性质。
如果三阶导数大于零，那么这个点是函数的极小值点；如果三阶导数小于零，那么这个点是函数的极大值点。
这就是极值第三充分条件。
极值第三充分条件的推导过程可能比较复杂，涉及到高阶导数和泰勒展开的计算。
但是通过这个条件，我们可以更准确地确定函数的极值点。
在实际问题中，极值问题经常出现，例如最大利润、最小成本、最优化设计等。
通过运用极值第三充分条件，我们可以更好地解决这些问题。
极值第三充分条件是确定函数极值点的一个重要条件。
通过这个条件，我们可以在满足极值第一和第二充分条件的基础上，更准确地确定函数的极值点。
函数在某点取得极值的条件三
函数在某点取得极值的条件1、 （2011•上城区）设 y=f（x）在 R 上可导，则 f′（x0）=0是 y=f（x）在 x=x0处取得极值的（ 充分不必 B、必要不充分 A、 要 C、充要 D、既不充分也 不必要）条件．考点：函数在某点取得极值的条件；必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题：常规题型． 分析：根据充分条件和必要条件的定义进行求解，y=f（x）在 R 上可导，举例子 f（x）=x3题设和条件能否互推． 解答：解：y=f（x）在 R 上可导，当 f（x）=x3在 x=0处的导数为0， 但不取得极值． ∴不充分， ∴f（x）在 x0处的导数 f′（x）=0是 f（x）在 x0处取得极值的必要不充分条件； 故选 B． 点评：此题主要考查函数在某点取得极值的条件即方程 f′（x）=0的根，解题的关键是要学会举反例．2、 （2011•福建）若 a＞0，b＞0，且函数 f（x）=4x3-ax2-2bx+2在 x=1处有极值，则 ab 的最大值等于（ A、2 B、3 C、6 D、9）考点：函数在某点取得极值的条件；基本不等式． 专题：计算题． 分析：求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到 a，b 满足的条件；利用基本不等式求出 ab 的最值；注意利用基本不等式 求最值需注意：一正、二定、三相等． 解答：解：∵f′（x）=12x2-2ax-2b 又因为在 x=1处有极值 ∴a+b=6 ∵a＞0，b＞0 ∴ ab≤(a+b2)2=9 当且仅当 a=b=3时取等号 所以 ab 的最大值等于9 故选 D 点评：本题考查函数在极值点处的导数值为0、考查利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．3、 （2007•江西）设函数 f（x）是 R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线 y=f（x）在 x=5处的切线的斜率为（ A、 -15 B、0 C、 15 D、5）考点：函数在某点取得极值的条件；函数奇偶性的性质；三角函数的周期性及其求法． 分析：偶函数的图象关于 y 轴对称，x=0为极值点，f（x）是 R 上以5为周期，x=5也是极值点，极值点处导数为零 解答：解：∵f（x）是 R 上可导偶函数， ∴f（x）的图象关于 y 轴对称， ∴f（x）在 x=0处取得极值，即 f′（0）=0， 又∵f（x）的周期为5， ∴f′（5）=0，即曲线 y=f（x）在 x=5处的切线的斜率0，故选项为 B 点评：本题考查函数的周期性、奇偶性、导数的几何意义、极值点满足的条件4、 若函数 f（x）=x2lnx（x＞0）的极值点为 α，函数 g（x）=xlnx2（x＞0）的极值点为 β，则有（ A、α＞β B、α＜β C、α=β D、 α 与 β 的大 小不确定 考点：函数在某点取得极值的条件． 分析：利用积的导数法则求 f′（x） ，g′（x） ；据函数极值点处的导数为零，列出方程解得． 解答：解：∵f′（x）=2xlnx+x，g′（x）=lnx2+2 又 f（x）=x2lnx（x＞0）的极值点为 α，g（x）=xlnx2（x＞0）的极值点为 β， ∴2αlnα+α=0，lnβ2+2=0 ∴ α=e-12，β=e-1 ∴α＞β 故选 A． 点评：本题考查导数的运算法则和极值点处的导数为零．）5、 已知关于 x 的三次函数 f(x)=13ax3+12bx2+2x+1在区间（1，2）上只有极大值，则 b-a 的取值范围是（ （-1， （-2， （ -3 ， D 、 （ -4 ， A、 +∞） B、 +∞） C、 +∞） +∞））考点：函数在某点取得极值的条件． 分析：极大值是函数先增再减，相应导数是先增后负得不等式组再利用线性规划解 解答：解：f′（x）=ax2+bx+2 ∵ f(x)=13ax3+12bx2+2x+1在区间（1，2）上只有极大值 ∴ {f′(1)＞0f′(2)＜0即 {a+b+2＞04a+2b+2＜0 ∴-4＜b-a 故选项为 D 点评：函数在某点处取极值的条件，利用线性规划求范围 6、 函数 f(x)=13ax3+12ax2-2ax+2a+1的图象经过四个象限，则实数 a 的取值范围是（ A、 a＞-316 B、 -65＜a＜-316 C、 a＞-65 D、 -65≤a≤-316）考点：函数在某点取得极值的条件． 分析：求函数的极值，要使图象经过四个象限只要两极值符号不同 解答：解：f′（x）=ax2+ax-2a=a（x+2） （x-1） 令 f′（x）=a（x+2） （x-1）=0得 x=-2或 x=1 x∈（-∞，-2）时 f′（x）的符号与 x∈（-2，1）时 f′（x）的符号相反，x∈（-2，1）时 f′（x）的符号与 x∈（1，+∞）时 f′（x）的符 号相反 ∴f（-2）= -83a+2a+4a+2a+1= 163a+1和为极值，f（1）= 13a+12a-2a+2a+1= 56a+1 ∵图象经过四个象限 ∴f（-2）•f（1）＜0即（ 163a+1） （ 56a+1）＜0 解得 -65＜a＜-316 故答案为 B点评：本题考查导数求函数的极值，眼睛函数的单调性及其图象 7、 已知函数 f（x）= 13x3-mx2-3m2x+1在区间（1，2）内有极值，则实数 m 的取值范围是（ （-2， （ 13， （- 23，- 13） A、 -1） ∪ B、 23） （l，2） C、 （- 23， 13）∪（l，2） D、）考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：计算题． 分析：由函数 f（x）= 13x3-mx2-3m2x+1在区间（1，2）内有极值，我们易得函数的导函数在在区间（1，2）内有零点，结合零点存 在定理，我们易构造出一个关于 m 的不等式，解不等式即可得到答案． 解答：解：∵函数 f（x）= 13x3-mx2-3m2x+1 ∴f'（x）=x2-2mx-3m2， 若函数 f（x）= 13x3-mx2-3m2x+1在区间（1，2）内有极值， 则 f'（x）=x2-2mx-3m2在区间（1，2）内有零点 即 f'（1）•f'（2）＜0 即（1-2m-3m2）•（4-4m-3m2）＜0 解得 m∈（-2，-1）∪（ 13， 23） 故选 A 点评：本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，其中将问题转化为导函数的零点问题是解答此类问题最常用的办法． 8、 已知函数 f（x）=-x3+ax2-4在 x=2处取得极值，若 m、n∈[-1，1]，则 f（m）+f′（n）的最小值为（）A、-13 B、-15 C、10 D、15 考点：函数在某点取得极值的条件；函数的最值及其几何意义． 分析：令导函数当 x=2时为0，列出方程求出 a 值；求出二次函数 f′（n）的最小值，利用导数求出 f（m）的最小值，它们的和即为 f （m）+f′（n）的最小值． 解答：解：∵f′（x）=-3x2+2ax 函数 f（x）=-x3+ax2-4在 x=2处取得极值 ∴-12+4a=0 解得 a=3 ∴f′（x）=-3x2+6x ∴n∈[-1，1]时，f′（n）=-3n2+6n 当 n=-1时，f′（n）最小，最小为-9 当 m∈[-1，1]时，f（m）=-m3+3m2-4 f′（m）=-3m2+6m 令 f′（m）=0得 m=0，m=2 所以 m=0时，f（m）最小为-4 故 f（m）+f′（n）的最小值为-9+（-4）=-13 故选 A 点评：函数在极值点处的值为0． ；求高次函数的最值常用的方法是通过导数． 考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：数形结合． 分析：先根据导函数的两个根的分布建立 a、b 的约束条件，而 b-2a-1可看作点 P（1，2）与阴影部分内一点（a，b）连线的斜率， 由此问题转化为线性规划求范围问题，然后利用线性规划的方法求出目标函数的取值范围即可．解答： 解：∵函数 f(x)=x33+12ax2+2bx+c 2 ∴f′（x）=x +ax+2b=0的两个根为 x1，x2， ∵x1，x2分别在区间（0，1）与（1，2）内 ∴ {f′(0)＞0f′(2)＞0f′(1)＜0⇒ {b＞0a+b+2＞0a+2b+1＜0 画出区域如图， 而 b-2a-1可看作点 P（1，2）与阴影部分内一点（a，b）连线的斜率，如图绿色线即为符合条件的直线的边界， M，N 两个点为边界处的点， 当连线过 M（-3，1）时， kPM=2-11+3=14， 当连线过 N（-1，0）时， kPN=2-01+1=1， 由图知 b-2a-1∈ (14，1)． 故选 C． 点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及利用线性规划的知识解题，属于基础题． 考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：数形结合． 分析：先根据导函数的两个根的分布建立 a、b 的约束条件，而 b-2a-1可看作点 P（1，2）与阴影部分内一点（a，b）连线的斜率， 由此问题转化为线性规划求范围问题，然后利用线性规划的方法求出目标函数的取值范围即可．解答： 解：∵函数 f(x)=x33+12ax2+2bx+c 2 ∴f′（x）=x +ax+2b=0的两个根为 x1，x2， ∵x1，x2分别在区间（0，1）与（1，2）内 ∴ {f′(0)＞0f′(2)＞0f′(1)＜0⇒ {b＞0a+b+2＞0a+2b+1＜0 画出区域如图， 而 b-2a-1可看作点 P（1，2）与阴影部分内一点（a，b）连线的斜率，如图绿色线即为符合条件的直线的边界， M，N 两个点为边界处的点， 当连线过 M（-3，1）时， kPM=2-11+3=14， 当连线过 N（-1，0）时， kPN=2-01+1=1， 由图知 b-2a-1∈ (14，1)． 故选 C． 点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及利用线性规划的知识解题，属于基础题． 9、 已知函数 f(x)=x33+12ax2+2bx+c 的两个极值分别为 f（x1） ，f（x2） ，若 x1，x2分别在区间（0，1）与（1，2）内，则 b-2a-1的取值 范围是（ ） （-∞， -14）∪（1，+∞） A、 (-1，-14) B、 C、 (14，1) D、 (12，2) 考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：数形结合．分析：先根据导函数的两个根的分布建立 a、b 的约束条件，而 b-2a-1可看作点 P（1，2）与阴影部分内一点（a，b）连线的斜率， 由此问题转化为线性规划求范围问题，然后利用线性规划的方法求出目标函数的取值范围即可．解答： 解：∵函数 f(x)=x33+12ax2+2bx+c 2 ∴f′（x）=x +ax+2b=0的两个根为 x1，x2， ∵x1，x2分别在区间（0，1）与（1，2）内 ∴ {f′(0)＞0f′(2)＞0f′(1)＜0⇒ {b＞0a+b+2＞0a+2b+1＜0 画出区域如图， 而 b-2a-1可看作点 P（1，2）与阴影部分内一点（a，b）连线的斜率，如图绿色线即为符合条件的直线的边界， M，N 两个点为边界处的点， 当连线过 M（-3，1）时， kPM=2-11+3=14， 当连线过 N（-1，0）时， kPN=2-01+1=1， 由图知 b-2a-1∈ (14，1)． 故选 C． 点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及利用线性规划的知识解题，属于基础题． 10、 已知函数 f（x）= 13x3+ 12ax2+2bx+c（a，b，c∈R） ，且函数 f（x）在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值， 2 2 则 z=（a+3） +b 的取值范围（ ） （ 22，2） B、 （ 12，4） C、 （1，2） （1，4） A、 D、 考点：函数在某点取得极值的条件．分析：据极大值点左边导数为正右边导数为负，极小值点左边导数为负右边导数为正得 a，b 的约束条件，据线性规划求出最值． 解答：解：∵f（x）= 13x3+12ax2+2bx+c ∴f′（x）=x2+ax+2b ∵函数 f（x）在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值 ∴f′（x）=x2+ax+2b=0在（0，1）和（1，2）内各有一个根 f′（0）＞0，f′（1）＜0，f′（2）＞0 即 {b＞0a+2b+1＜a+b+2＞00 （a+3）2+b2表示点（a，b）到点（-3，0）的距离的平方， 由图知（-3，0）到直线 a+b+2=0的距离 22，平方为 12为最小值， （-3，0）与（-1，0）的距离2，平方为4为最大值 故选项为 B 点评：本题考查函数极值存在条件及线性规划求最值． 11、 已知函数 f(x)=x33+12ax2+2bx+c 的两个极值分别为 f（x1） ，f（x2） ，若 x1，x2分别在区间（0，1）与（1，2）内，则 b-2a-1的取值 范围是（ ） （-∞， -14）∪（1，+∞） A、 (-1，-14) B、 C、 (14，1) D、 (12，2) 考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：数形结合． 分析：先根据导函数的两个根的分布建立 a、b 的约束条件，而 b-2a-1可看作点 P（1，2）与阴影部分内一点（a，b）连线的斜率， 由此问题转化为线性规划求范围问题，然后利用线性规划的方法求出目标函数的取值范围即可．解答： 解：∵函数 f(x)=x33+12ax2+2bx+c 2 ∴f′（x）=x +ax+2b=0的两个根为 x1，x2， ∵x1，x2分别在区间（0，1）与（1，2）内 ∴ {f′(0)＞0f′(2)＞0f′(1)＜0⇒ {b＞0a+b+2＞0a+2b+1＜0 画出区域如图， 而 b-2a-1可看作点 P（1，2）与阴影部分内一点（a，b）连线的斜率，如图绿色线即为符合条件的直线的边界， M，N 两个点为边界处的点， 当连线过 M（-3，1）时， kPM=2-11+3=14， 当连线过 N（-1，0）时， kPN=2-01+1=1， 由图知 b-2a-1∈ (14，1)． 故选 C． 点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及利用线性规划的知识解题，属于基础题． 12、 若函数 f（x）=x3+3bx-3b 在区间（0，1）内存在极小值，则实数 b 的取值范围为（ A 、 -1 ＜ b B、 b＞-1 C、b＜0 D、 b＞-12 ＜0 考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：计算题． 分析：求出函数的导数，然后令导数为零，求出函数的极值，最后确定 b 的范围．）解答：解：由题意得 f′（x）=3x2-3b， 令 f′（x）=0，则 x=± b 又∵函数 f（x）=x3-3bx+b 在区间（0，1）内有极小值， ∴0＜ b＜1， ∴b∈（0，1） ， 故选 A． 点评：熟练运用函数的导数求解函数的极值问题，同时考查了分析问题的能力，属于基础题． 考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：常规题型． 分析：求出函数的导函数，根据函数的极值是导函数的根，且根左右两边的导函数符号不同得到△ ＞0；解出 a 的范围． 解答：解：f′（x）=3x2+4ax+3（a+2） ∵f（x）有极大值和极小值 ∴△=16a2-36（a+2）＞0 解得 a＞2或 a＜-1 故选 B 点评：本题考查函数的极值点是导函数的根，且根左右两边的导函数符号需不同． 13、 若 f（x）=x3+2ax2+3（a+2）x+1有极大值和极小值，则 a 的取值范围是（ A 、 -a ＜ a B 、 a ＞ 2 或 C 、 a≥2 或 D 、 a ＞1 或 ＜2 a≤-1 a＜-1 a＜-2）考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：常规题型． 分析：求出函数的导函数，根据函数的极值是导函数的根，且根左右两边的导函数符号不同得到△ ＞0；解出 a 的范围． 解答：解：f′（x）=3x2+4ax+3（a+2）∵f（x）有极大值和极小值 ∴△=16a2-36（a+2）＞0 解得 a＞2或 a＜-1 故选 B 点评：本题考查函数的极值点是导函数的根，且根左右两边的导函数符号需不同． 14、 若函数 f（x）=（x-2） （x2+c）在 x=1处有极值，则函数 f（x）的图象 x=-1处的切线的斜率为（ A、1 B、-3 C、8 D、-12）考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：计算题． 分析：对函数 f（x）=（x-2） （x2+c）进行求导，根据函数在 x=1处有极值，可得 f′（1）=0，求出 c 值，然后很据函数导数和函数切 线的斜率的关系即可求解． 解答：解：∵函数 f（x）=（x-2） （x2+c）在 x=1处有极值， ∴f′（x）=（x2+c）+（x-2）× 2x， ∵f′（1）=0，∴（c+1）+（1-2）× 2=0， ∴c=1， ∴f′（x）=（x2+1）+（x-2）× 2x， ∴函数 f（x）的图象 x=-1处的切线的斜率为 f′（-1）=（1+1）+（-1-2）× （-2）=2+6=8， 故选 C． 点评：本题主要考查函数在某点取得极值的条件，以及函数的导数的求法，属基础题． 15、 函数 f（x）=x3+ax2+bx+a2在 x=1处有极值10，则（ A、a=-11，B 、 a=-4 ， C、a=11， D 、 a=4 ，）b=4b=11b=-4b=-11考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：计算题；方程思想． 分析：根据函数 f（x）=x3+ax2+bx+a2在 x=1处有极值10，可知 f′（1）=0和 f（1）=10，对函数 f（x）求导，解方程组 {f′(1)=0f(1)=10， 注意验证，可求得答案． 解答：解：由 f（x）=x3+ax2+bx+a2， 得 f′（x）=3x2+2ax+b， {f′(1)=0f(1)=10，即 {2a+b+3=0a2+a+b+1=10， 解得 {a=4b=-11或 {a=-3b=3（经检验应舍去） ， 故选 D． 点评：考查利用导数研究函数的极值问题，注意 f′（x0）=0是 x=x0是极值点的必要不充分条件，因此对于解得的结果要检验，这是易 错点，属基础题． 16、 若函数 f（x）= x2+ax+1在 x=1处取得极值，则 a 等于（ A、-5 B、-2 C、1 D、3）考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：计算题． 分析：由题意得：f′（x）= x2+2x-a(x+1)2，由函数 f（x）在 x=1处取得极值，可得所以 f′（1）=0．进而可得 a 的值． 解答：解：由题意得：f′（x）= x2+2x-a(x+1)2 因为函数 f（x）= x2+ax+1在 x=1处取得极值， 所以 f′（1）=0，即 a=3． 故选 D． 点评：解决此类问题的关键是利用已知函数的解析式正确的求出函数的导数，再利用函数的极值求出参数的值即可，通过极值求参数 的数值是高考常考的知识点之一．考点：函数在某点取得极值的条件；必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题：常规题型． 分析：分别举反例说明充分性和必要性都不成立：函数 y=|x|，在 x=0处取极小值但 f′（0）≠0，说明充分性不成立；函数 f（x）=x3在 x=0处，f′（x）=0，而 f（0）并非函数的极值，必要性质不成立．由此可得正确答案． 解答：解：先说明充分性不成立， 例如函数 y=|x|，在 x=0处取得极小值 f（0）=0，但 f′（x）在 x=0处无定义， 说明 f′（0）=0不成立，因此充分性不成立； 再说明必要性不成立，设函数 f（x）=x3，则 f′（x）=3x2 在 x=0处，f′（x）=0，但 x=0不是函数 f（x）的极值点，故必要性质不成立． 故选 D 点评：本题以必要条件、充分条件与充要条件的判断为载体，考查了函数在某点取得极值的条件，是一道概念题． 17、 若函数 f（x）在 x=x0处有定义，则“f（x）在 x=x0处取得极值”是“f′（x0）=0”的（ A、充分不必 B、必要不充分 要条件 条件 C、充要条件 D、既不充分也 不必要条件 考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：计算题． 分析：函数在极值点处的导数值异号，故 f（x）的导数 f′（x）=x2-2x+a=0 有两个实数根，△ =4-4a＞0． 解答：解：∵函数 f（x）= 13x3-x2+ax-1有极值点， ∴f（x）的导数 f′（x）=x2-2x+a=0有两个实数根， ∴△=4-4a＞0，∴a＜1， 故选 C．）点评：本题考查函数存在极值的条件，利用函数在极值点处的导数值异号． 18、 函数 f（x）= 13x3-x2+ax-1有极值点，则 a 的取值范围是（ （-∞， （ -∞ ， C、 （-∞， （ -∞ ， A、 0） B、 1） D、 0] 1]）考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：计算题． 分析：利用导数工具去解决该函数极值的求解问题，关键要利用导数将原函数的单调区间找出来，即可确定出在哪个点处取得极值， 进而得到答案． 解答：解：由题意可得：y′=3x2-3， 令 y′=3x2-3＞0，则 x＞1或者 x＜-1， 所以函数 y=x3-3x 在（-∞，-1）上递增，在（-1，1）上递减，在（1，+∞）上递增， 所以当 x=-1时，函数有极大值 m=2，当 x=1，时，函数有极小值 n=-2， 所以 m+n=0． 故选 A． 点评：利用导数工具求该函数的极值是解决该题的关键，要先确定出导函数大于0时的实数 x 的范围，再讨论出函数的单调区间，根据 极值的判断方法求出该函数的极值，体现了导数的工具作用． 19、 函数 y=x3-3x 的极大值为 m，极小值为 n，则 m+n 为（ A、0 B、1 C、2 D、4 考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：计算题．）分析：利用导数工具去解决该函数极值的求解问题，关键要利用导数将原函数的单调区间找出来，即可确定出在哪个点处取得极值， 进而得到答案． 解答：解：由题意可得：y′=3x2-3， 令 y′=3x2-3＞0，则 x＞1或者 x＜-1， 所以函数 y=x3-3x 在（-∞，-1）上递增，在（-1，1）上递减，在（1，+∞）上递增， 所以当 x=-1时，函数有极大值 m=2，当 x=1，时，函数有极小值 n=-2， 所以 m+n=0． 故选 A． 点评：利用导数工具求该函数的极值是解决该题的关键，要先确定出导函数大于0时的实数 x 的范围，再讨论出函数的单调区间，根据 极值的判断方法求出该函数的极值，体现了导数的工具作用． 20、 已知函数 f（x）=x（x-c）2在 x=2处有极大值，则 c 的值为（ A、3 B、6 C、3或6 D、2或6）考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：计算题． 分析：对函数 f（x）=x（x-c）2求导，利用函数的导函数与极值的关系，令导函数等于0即可解出 c 的值． 解答：解：f′（x）=（x-c）2+2x（x-c） ， ′ 2 f （2）=（2-c） +2× 2（2-c）=0， 解得 c=6或2． 验证知当 c=2时，函数在 x=2处有极小值，舍去 故 c=6 故选 B． 点评：本题主要考查了函数在某点取得极值的条件，对函数求导，令导函数等于0即可解出 c 的值，由于本题明确指出在该点出取到极 大值，故需对求出的 c 的值进行验证，如本题，c=2必需舍去，做题时要注意考虑周详．21、 函数 f（x）=x3-ax2-bx+a2在 x=1时有极值10，则 a，b 的值为（ A、 {a=3b=-3或{a=-4b=11 B、 {a=-4b=1或{a=-4b=11 C、 {a=-4b=11 D、以上皆错）考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：计算题． 分析：首先对 f（x）求导，然后由题设在 x=1时有极值10可得 {f′(1)=0f(1)=10解之即可求出 a 和 b 的值． 解答：解：对函数 f（x）求导得 f′（x）=3x2-2ax-b， 又∵在 x=1时 f（x）有极值10， ∴ {f′(1)=3-2a-b=0f(1)=1-a-b+a2=10， 解得 {a=-4b=11或 {a=3b=-3， 验证知，当 a=3，b=-3时，在 x=1无极值， 故选 C． 点评：掌握函数极值存在的条件，考查利用函数的极值存在的条件求参数的能力，属于基础题． 22、图是函数 y=f（x）的导函数 y=f′（x）的图象，给出下列命题：①-3是函数 y=f（x）的极值点； ②-1是函数 y=f（x）的最小值点； ③y=f（x）在 x=0处切线的斜率小于零； ④y=f（x）在区间（-3，1）上单调递增． 则正确命题的序号是（ ） A、①② B、②③ C、③④ D、①④ 考点：函数在某点取得极值的条件；函数的单调性与导数的关系． 专题：数形结合． 分析：根据导函数的图象得到导函数的符号，根据导函数的符号判断出函数单调性，根据函数的单调性求出函数的极值及最值，判断 出①②④的对错根据函数在切点的导数为切线的斜率，判断出③的对错． 解答：解：由导函数 y=f′（x）的图象知 f（x）在（-∞，-3）单调递减， （-3，+∞）单调递增 所以①-3是函数 y=f（x）的极小值点，即最小值点 故①对②不对 ∵0∈， （-3，+∞） 又在（-3，+∞）单调递增 ∴f′（0）＞0 故③错 ∵f（x）在（-3，+∞）单调递增 ∴y=f（x）在区间（-3，1）上单调递增 故④对 故选 D 点评：根据导函数的符号判断函数的单调性：导函数大于0，函数单调递增；导函数小于0，函数单调递减．注意函数的极值点的左右 的导函数符号要相反．23、 设 x=1与 x=2是函数 f（x）=alnx+bx2+x 的两个极值点．则常数 a=（ A、 -23 B、-1 C、1 D、0）考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：计算题． 分析：已知函数 f（x）=alnx+bx2+x，求其导数 f′（x） ，因为 x=1与 x=2是函数 f（x）=alnx+bx2+x 的两个极值点，可得 f′（1）=f′（2） =0，从而联立方程求出 a 的值． 解答：解：∵函数 f（x）=alnx+bx2+x， ∴f′（x）= ax+2bx+1， ∵x=1与 x=2是函数 f（x）=alnx+bx2+x 的两个极值点， ∴f′（1）=f′（2）=0， ∴a+2b+1=0…① a2+4b+1=0…② 联立方程①②得 a=- 23，b=- 16， 故选 A． 点评：此题考查函数的导数与极值的关系，是一道比较简单的题，解题的关键是会联立方程并正确求解二元一次方程． 24、 f′（x0）=0是函数 f（x）在点 x0处取极值的（ A、充分不必 B、必要不充分 要条件 条件 C、充要条件 D、既不充分又 不必要条件）考点：函数在某点取得极值的条件；充要条件． 专题：计算题． 分析：结合极值的定义可知必要性成立，而充分性中除了要求 f′（x0）=0外，还的要求在两侧有单调性的改变（或导函数有正负变化） ， 通过反例可知充分性不成立． 解答：解：如 y=x3，y′=3x2，y′|x=0=0，但 x=0不是函数的极值点． 若函数在 x0取得极值，由定义可知 f′（x0）=0 所以 f′（x0）=0是 x0为函数 y=f（x）的极值点的必要不充分条件 故选 B 点评：本题主要考查函数取得极值的条件：函数在 x0处取得极值⇔ f′（x0）=0，且 f′（x＜x0）•f′（x＞x0）＜0 25、如图是导函数 y=f′（x）的图象，在标记的点中，函数有极小值的是（ A、x=x2 B、x=x3 C、x=x5 D 、 x=x1 或 x=x4）考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：证明题． 分析：导数的几何意义是导数大于0时原函数是增函数，当导数小于0时原函数是减函数，根据导数的几何意义可得答案． 解答：解：根据导数的几何意义得： 函数 f（x）在区间（-∞，x3） ， （x5，+∞）是增函数，在区间（x3，x5）上是减函数， 当 x=x5时函数 f（x）有极小值， 故选 C．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握导数的几何意义以及怎样利用导数判断函数的单调性与极值． 26、 若函数 f（x）=x（x-c）2在 x=2处有极大值，则常数 c 为（ A、2 B、6 C、2或6 D、 -2或-6）考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：计算题． 分析：求出函数的导数，再令导数等于0，求出 c 值，再检验函数的导数是否满足在 x=2处左侧为正数，右侧为负数， 把不满足条件的 c 值舍去． 解答：解：函数 f（x）=x（x-c）2 的导数为 f′（x）=3x2-4cx+c2，由题意知， 在 x=2处的导数值为 12-8c+c2=0．∴c=6，或 c=-2， 又函数 f（x）=x（x-c）2在 x=2处有极大值，故导数在 x=2处左侧为正数，右侧为负数，故 c=6． 故选 B． 点评：本题考查函数在某点取得极大值的条件：导数值等于0，且导数在该点左侧为正数，右侧为负数． 27、 已知函数 f（x）=|x|，在 x=0处函数极值的情况是（ A、没有极 B、有极大值 值 有极小 D 、极值情况 C、 值 不能确定 考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：阅读型． 分析：由在 x=0处左侧的导数小于零，在 x=0处右侧的导数大于零，根据极值的定义可知在 x=0处函数取极小值．）解答：解：当 x＞0时，f′（x）＞0，f（x）为减函数， 当 x＜0时，f′（x）＜0，f（x）为增函数， 根据极值的定义可知函数 f（x）=|x|，在 x=0处函数取极小值，故选 C 点评：本小题主要考查函数的导数的极值，属于基础题． 28、 f（x）在 x0处的导数 f′（x）=0是 f（x）在 x0处取得极值的（ A、充分但不必要的条件 B、必要但不充分的条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要的条件 考点：函数在某点取得极值的条件；必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题：综合题． 分析：根据充分条件和必要条件的定义进行求解，举例子 f（x）=|x|题设和条件能否互推． 解答：解：例如：f（x）=|x|在 x=0处有极值，但 x=0处不可导， 所以 f'（0）≠0 ∴不必要， 而 f（x）=x3在 x=0处的导数为0， 但不取得极值． ∴不充分， ∴f（x）在 x0处的导数 f′（x）=0是 f（x）在 x0处取得极值的即不充分也不必要条件； 故选 D． 点评：此题主要考查函数在某点取得极值的条件即方程 f′（x）=0的根，解题的关键是要学会举反例．）29、 函数 f（x）=x3+ax2+bx+a2在 x=1处有极值10，则（ A、a=-11，B 、 a=-4 ， C、a=11， D 、 a=4 ， b=4 b=11 b=-4 b=-11）考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：计算题． 分析：由题意得：f′（x）= x2+2x-a(x+1)2，由函数 f（x）在 x=1处取得极值，可得所以 f′（1）=0．进而可得 a 的值． 解答：解：由题意得：f′（x）= x2+2x-a(x+1)2 因为函数 f（x）= x2+ax+1在 x=1处取得极值， 所以 f′（1）=0，即 a=3． 故选 D． 点评：解决此类问题的关键是利用已知函数的解析式正确的求出函数的导数，再利用函数的极值求出参数的值即可，通过极值求参数 的数值是高考常考的知识点之一． 30、 若函数 f（x）= x2+ax+1在 x=1处取得极值，则 a 等于（ A、-5 B、-2 C、1 D、3）考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：计算题． 分析：由题意得：f′（x）= x2+2x-a(x+1)2，由函数 f（x）在 x=1处取得极值，可得所以 f′（1）=0．进而可得 a 的值． 解答：解：由题意得：f′（x）= x2+2x-a(x+1)2 因为函数 f（x）= x2+ax+1在 x=1处取得极值， 所以 f′（1）=0，即 a=3． 故选 D．点评：解决此类问题的关键是利用已知函数的解析式正确的求出函数的导数，再利用函数的极值求出参数的值即可，通过极值求参数 的数值是高考常考的知识点之一．31、 若函数 f（x）=（x-2） （x2+c）在 x=1处有极值，则函数 f（x）的图象 x=-1处的切线的斜率为（ A 、1 B、-3 C、8 D、-12）考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：计算题． 分析：对函数 f（x）=（x-2） （x2+c）进行求导，根据函数在 x=1处有极值，可得 f′（1）=0，求出 c 值，然后很据函数导数和函数切 线的斜率的关系即可求解． 解答：解：∵函数 f（x）=（x-2） （x2+c）在 x=1处有极值， ∴f′（x）=（x2+c）+（x-2）× 2x， ∵f′（1）=0，∴（c+1）+（1-2）× 2=0， ∴c=1， ∴f′（x）=（x2+1）+（x-2）× 2x， ∴函数 f（x）的图象 x=-1处的切线的斜率为 f′（-1）=（1+1）+（-1-2）× （-2）=2+6=8， 故选 C． 点评：本题主要考查函数在某点取得极值的条件，以及函数的导数的求法，属基础题． 32、 设 x=1与 x=2是函数 f（x）=alnx+bx2+x 的两个极值点．则常数 a=（ A、 -23 B、-1 C、1 D、0 考点：函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．）专题：综合题． 分析：先构造函数 y= f(x)ex，对该函数进行求导，化简变形可判定导函数的符号，再判断增减性，从而得到答案． 解答：解：∵f（x）＜f'（x） 从而 f'（x）-f（x）＞0 从而 ex[f′(x)-f(x)]e2x＞0 从而 (f(x)ex)′＞0 从而函数 y= f(x)ex 单调递增，故 x=2时函数的值大于 x=0时函数的值， 即 f(2)e2＞f(0)所以 f（2）＞e2f（0） ，f（2010）＞e2010f（0） ． 故选 B． 点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系，即导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单 调递减． 33、 已知函数 f（x）=ax+ex 没有极值点，则实数 a 的取值范围是（ A、a＜0 B、a＞0 C、a≤0 D、a≥0）考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：计算题． 分析：函数 f（x）=ax+ex 在 R 上没有极值点，即函数的导数等于0无解或有唯一解（但导数在点的两侧符号相同） ，又导数为 f′（x） =a+ex，故 a=-ex 无解，根据指数函数的性质求得实数 a 的取值范围． 解答：解：函数 f（x）=ax+ex 在 R 上没有极值点， 即函数的导数等于0无解或有唯一解（但导数在点的两侧符号相同） ． x ′ x 函数 f（x）=ax+e 的导数为 f （x）=a+e ， ∴a+ex=0无解，∴a=-ex 无解， ∴a≥0 故选 D． 点评：本题考查函数在某点取得极值的条件，以及方程无解或只有唯一解的条件．属于基础题． 34、已知 f（x）为 R 上的可导函数，且 f（x）＜f'（x）和 f（x）＞0对于 x∈R 恒成立，则有（ ，f（2010）＞e2010-f（0） A、f（2）＜e2-f（0） ，f（2010）＞e2010-f（0） B、f（2）＞e2-f（0） ，f（2010）＜e2010-f（0） C、f（2）＜e2-f（0） ，f（2010）＜e2010-f（0） D、f（2）＜e2-f（0））考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：计算题． 分析：已知函数 f（x）=alnx+bx2+x，求其导数 f′（x） ，因为 x=1与 x=2是函数 f（x）=alnx+bx2+x 的两个极值点，可得 f′（1）=f′（2） =0，从而联立方程求出 a 的值． 解答：解：∵函数 f（x）=alnx+bx2+x， ∴f′（x）= ax+2bx+1， ∵x=1与 x=2是函数 f（x）=alnx+bx2+x 的两个极值点， ∴f′（1）=f′（2）=0， ∴a+2b+1=0…① a2+4b+1=0…② 联立方程①②得 a=- 23，b=- 16， 故选 A． 点评：此题考查函数的导数与极值的关系，是一道比较简单的题，解题的关键是会联立方程并正确求解二元一次方程． 35、 函数 f（x）的导函数为 f/（x） ，若（x+1）•f′（x）＞0，则下列结论中正确的一项为（ A、x=-1一定是函数 f（x）的极大值点 B、x=-1一定是函数 f（x）的极小值点）C、x=-1不是函数 f（x）的极值点 D、x=-1不一定是函数 f（x）的极值点 考点：函数在某点取得极值的条件；必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题：常规题型． 分析：根据极值的定义可知，前者是后者的充分条件若“f′（x0）=0”，还应在导数为0的左右附近改变符号时，“函数 f（x）在 x0处取得 极值”．故可判断． 解答：解：若“函数 f（x）在 x0处取得极值”，根据极值的定义可知“f′（x0）=0”成立，反之，“f′（x0）=0”，还应在导数为0的左右附近 改变符号时，“函数 f（x）在 x0处取得极值”． 故选 A． 点评：本题以函数为载体，考查极值的定义，属于基础题． 36、 已知函数 f（x）=|x|，在 x=0处函数极值的情况是（ A、没有极 B、有极大值 值 有极小 D 、极值情况 C、 值 不能确定 考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：常规题型． 分析：求出函数的导函数，根据函数的极值是导函数的根，且根左右两边的导函数符号不同得到△ ＞0；解出 a 的范围． 解答：解：f′（x）=3x2+4ax+3（a+2） ∵f（x）有极大值和极小值 ∴△=16a2-36（a+2）＞0 解得 a＞2或 a＜-1）故选 B 点评：本题考查函数的极值点是导函数的根，且根左右两边的导函数符号需不同． 37、 若 f（x）=x3+2ax2+3（a+2）x+1有极大值和极小值，则 a 的取值范围是（ A 、 -a ＜ a B 、 a ＞ 2 或 C 、 a≥2 或 D 、 a ＞1 或 ＜2 a≤-1 a＜-1 a＜-2）考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：操作型；分类讨论． 分析：由（x+1）•f/（x）＞0，根据积商符号法则，分 x＞-1，x＜-1，x=-1进行讨论，确定 f′（x）＞0或 f′（x）＜0，确定函数的单调 性． 解答：解：∵（x+1）•f/（x）＞0， ∴x＞-1时，f′（x）＞0，函数 f（x）在区间（-1，+∞）单调递增， x＜-1时，f′（x）＜0，函数 f（x）在区间（-∞，-1）单调递减， 但是函数 f（x）在 x=-1处不一定可导，如 f（x）=|x+1|= {x+1，x＞-10x=-1-x-1，x＜-1， x=-1不是函数 f（x）的极值点． 故选 D． 点评：考查 x=x0是极值点是 f′x0）=0的充分非必要条件，在判断 x=-1两侧导数的符号，采取了分类讨论的数学思想，属基础题． 38、 下列结论中正确的是（ ） A、导数为零的点一定是极值点 B、如果在 x0附近的左侧 f′（x）＞0，右侧 f′（x）＜0，那么 f（x0）是极大值 C、如果在 x0附近的左侧 f′（x）＞0，右侧 f′（x）＜0，那么 f（x0）是极小值。
多元函数条件极值的充分条件_陈璟
第12卷第1期1997年3月 柳 州 师 专 学 报Jo urnal of Liuzhou T eacher s Co lleg eVol.12No.1 M ar.1997多元函数条件极值的充分条件陈 王景 提 要 对于多元函数的条件极值,教材中只是给出了必要条件,本文针对条件极值的充分条件作了深入的探讨。
关键词 条件极值 隐函数 驻点 多元函数条件极值的求法,教材中只是给出了必要条件,利用拉格朗日乘数法求出函数的驻点后,再根据问题的实际意义来判定.但对于一般函数,这种方法却不一定能行.本文以二元函数、三元函数为例对条件极值的充分条件作进一步的分析探讨.要求二元函数Z=f(x,y)在条件U(x,y)=0下的极植,利用拉格朗日乘数法求出驻点P0(x0,y0)后,怎样判定驻点P0(x0,y0)是否是极值点呢?经过分析,得到:定理1 设函数Z=f(x,y),U(x,y)在驻点P0(x0,y0)的某一邻域内连续且有二阶连续偏导数,且U(x0,y0)=0,U y(x0,y0)≠0,Z"(P0)≠0,那么(1)当Z"(P0)<0时,函数f(x,y)在(x0,y0)处取得极大值;(2)当Z"(P0)>0时,函数f(x,y)在(x0,y0)处取得极小值.证明 由隐函数存在定理可知,方程U(x,y)=0在点P0(x0,y0)的某一邻域内确定一个单值可导且具有连续导数的函数y=W(x),将其代入函数Z=f(x,y),得到一个一元函数Z=f(x, W(x))于是函数Z=f(x,y)在(x0,y0)处能否取得极值,只需考虑一元函数Z=f(x,W(x))在x =x0处能否取得极值即可.∴Z′=(f[x,W(x)])′=f x(x,y)+f y(x,y)dy dxZ"=f xx(x,y)+2f xy(x,y)dydx+f y y(x,y)(dydx)2+f y(x,y)d2ydx2,dy dx =-U x(x,y)U y(x,y), d2ydx2=dd x(dydx),其中,由一元函数极值判定方法可得:(1)当Z"(P0)>0时,函数f(x,y)在(x0,y0)处取得极小值;(2)当Z"(P0)<0时,函数f(x,y)在(x0,y0)处取得极大值.类似上述方法可以推得出三元函数u=f(x,y,z)在条件U(x,y,z)=0下取得极值的充分条件.引入记号A=52u5x2ûp0, B=52u5x5yûp0, C=52u5y2ûp0 .定理2 设三元函数u=f(x,y,z)、U(x,y,z)在驻点P0(x0,y0,z0)的某一邻域内连续且有连58续二阶偏导数,U(x0,y0,z0)=0,U z(x0,y0,z0)≠0,则(1)当A C-B2>0时,函数在P0处具有极值,且当A<0时有极大值,A>0时有极小值;(2)当A C-B2<0时,函数在P0处没有极值;(3)当A C-B2=0时,函数在P0处极值不确定.证明 由已知,可得函数U(x,y,z)在p0(x0,y0,z0)的某一邻域内具有连续的偏导数且U(x0, y0,z0)=0,U z(x0,y0,z0)≠0,所以方程U(x,y,z)=0在P0(x0,y0,z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数Z=W(x,y),将其代入u=f(x,y,z)得到一个二元函数u =f[x,y,W(x,y)],则三元函数u=f(x,y,z)在驻点P0处能否取得极值只需考虑二元函数u= f[x,y,W(x,y)]在点(x0,y0)处能否取得极值即可.∴u x=f x(x,y,z)+f z(x,y,z)5z 5x,u y=f y(x,y,z)+f z(x,y,z)5z 5yu x x=f x x(x,y,z)+2f x z(x,y,z)5z5x+f z z(x,y,z)(5z5x)2+f z(x,y,z)52z5x2,u y y=f y y(x,y,z)+2f y z(x,y,z)5z5y+f z z(x,y,z)(5z5y)2+f z(x,y,z)52z5y2,u x y=f x y(x,y,z)+f x z(x,y,z)5z5y+f z y(x,y,z)5z5x+f z z(x,y,z)5z5yõ5z5x+f x(x,y,z)52z5x5y,5z5x=-U xU z,5z5y=-U yU z,其中Z=W(x,y).从而可算出在驻点P0(x0,y0,z0)处A、B、C的值A=u x xûp0,B=u x yûp,C=u y yûp.由二元函数极值的充分条件可得:(1)当A C-B2>0时,f(x,y,z)在(x0,y0,z0)处具有极值,且当A<0时有极大值,当A< 0时有极小值;(2)当A C-B2<0时,f(x,y,z)在(x0,y0,z0)处设有极值;(3)当A C-B2=0时,f(x,y,z)在(x0,y0,z0)可能有极值,也可能没有极值.例1 若x+y-1=0,求Z=f(x,y)=x2+y2的极值.解 构造函数F(x,y)=x2+y2+K(x+y-1)解方程组 2x+K=0,2y+K=0,x+y-1=0,得驻点 (12,12).Z′=2x+2ydydx=2x-2y,Z"=2+(-2)d ydx=4>0,因此函数z=x2+y2在点(12,12)处取得极小值.例2 求函数U(x,y,z)=x-2y+2z在x2+y2+z2=1下的极值.解 构造函数f(x,y,z)=x-2y+2z+K(x2+y2+z2-1),59陈王景:多元函数条件极值的充分条件解方程组1+2K x=0,-2+2K y=0, 2+2K z=0,x2+y2,z2=1,得驻点为P1(-13,23,-23),P2(13,-23,23),U x=1+25z5x=1-2xz,U y=-2-2yz, U x x=-2z-x5z5xz2=-2z2+x2z3,U y y=-2z-y5z5yz2=-2z2+y2z3,U x y=2xõ5z5yz2=-2x yz3.在P1(-13,23,-23)处, A=-2(-23)2+(-13)2(-23)3=154,B=-2(-13)(23)(-23)3=-32, C=-2(-23)2+(23)2(-23)3=6,A C-B2=154×6-(-32)2=844>0,且A>0,因此函数在点(-13,23,-23)处取得极小值,极小值为U极小=- 3.在点 P2(13,-23,23)处, A=-154,B=32,C=-6,A C-B2=(-154)(-6)-(32)2=814>0且A<0,因此函数在点(13,-23,23)处取得极大值,且极大值为U极大= 3.参考文献[1]同济大学数学教研室编.高等数学(第三版下册).高等教育出版社,1993.4[2]曹敏谦.数学分析习题集题解(10).1979Ample Conditions in the Conditional ExtremeValue of Pluralistic FunctionChen JingAbstract:As fo r the Co nditional Ex trem e Value in respect of multiv ar iate function,the text-bo ok of colleges and univer sities gives a requirem ent only.T he article has m ade a further inquir e-ment in the lig ht of the adequate conditio n fo r conditio nal entreme value.Key Words:conditional extreme v alue,hidden function,stedy point(责任编辑 虞继敏)60第12卷第1期 柳 州 师 专 学 报 1997年。
多元函数极值充分条件
定理10.2(函数取得极值的充分条件) 设函数(,)f x y 在点000(,)P x y 的邻域内存在二阶连续偏导数，且00(,)0x f x y ，00(,)0y f x y ．记00(,)xx f x y A ，00(,)xy f x y B ，00(,)yy f x y C ，则有(1) 当20ACB 时，00(,)x y 是极值点．且当0A 时，000(,)P x y 为极小值点；当0A 时，000(,)P x y 是极大值点．(2) 当20AC B 时，000(,)P x y 不是极值点．(3) 当20ACB 时，不能判定000(,)P x y 是否为极值点，需要另外讨论．证 (1) 利用二元函数的一阶泰勒公式，因00(,)(,)f x h y k f x y 20000001(,)(,)(,)2x y f x y hf x y kh kf x h y k xy， 01由已知条件，00(,)0x f x y ,00(,)0y f x y ，故20000001(,)(,)(,)2f x h y k f x y h k f x h y k x y22001(,)2(,)(,)2xx xy yy f x h y k h f x h y k hkf x h y k k利用矩阵记号， 记h rk，(,)r h k ，0()A B Hf P B C，000(,)P rx h y k000()()()()()xx xy xy yy f P r f P r Hf P r f P r f P r ，可改写上式为0()()f P r f P 0000()()1(,)()()2xx xy xy yy f P r f P r h h k kf P r f P r 01()2r Hf P r r 01 （1）进一步，又有0()()f P r f P 00011()[()()]22r Hf P r r Hf P r Hf P r （2）当20AC B 且0A 时，二次型0()r Hf P r 正定，因此对于任何00h rk，0()0r Hf P r 。
求极值的方法与技巧
求极值的方法与技巧极值一般分为无条件极值和条件极值两类。
无条件极值问题即是函数中的自变量只受定义域约束的极值问题；条件极值问题即是函数中的自变量除受定义域约束外，还受其他条件限制的极值问题。
一、求解无条件极值的常用方法1．利用二阶偏导数之间的关系和符号判断取不取极值及极值的类型定理1(充分条件) 设函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数, 又f x (x 0, y 0)=0, f y (x 0, y 0)=0, 令f xx (x 0, y 0)=A , f xy (x 0, y 0)=B , f yy (x 0, y 0)=C ,则f (x , y )在(x 0, y 0)处是否取得极值的条件如下：(1) AC -B 2>0时具有极值, 且当A <0时有极大值, 当A >0时有极小值； (2) AC -B 2<0时没有极值；(3) AC -B 2=0时可能有极值, 也可能没有极值。
极值的求法：第一步 解方程组f x (x , y )=0, f y (x , y )=0, 求得一切实数解, 即可得一切驻点。
第二步 对于每一个驻点(x 0, y 0), 求出二阶偏导数的值A 、B 和C 。
第三步 定出AC -B 2的符号, 按定理1的结论判定f (x 0, y 0)是否是极值、是极大值 还是极小值。
应注意的几个问题：⑴对于二元函数z =f (x , y ),在定义域内求极值这是一个比较适用且常用的方法, 但是这种方法对三元及更多元的函数并不适用；⑵AC -B 2=0时可能有极值, 也可能没有极值，还需另作讨论；⑶如果函数在个别点处的偏导数不存在，这些点当然不是驻点，但也可能是极值点，讨论函数的极值问题时这些点也应当考虑。
例1求函数2222()()xy z x y e -+=+的极值。
解 令222222()22()2(1)02(1)0x y x y z x x y e xz y x y e y -+-+∂⎧=--=⎪∂⎪⎨∂⎪=--=∂⎪⎩得驻点(0,0)及22 1.x y +=又由22222222()2[2(13)4(1)]x y zy x x x y e x-+∂=-----∂22222()4(2)x y zxy x y e x y-+∂=---∂∂22222222()2[2(13)4(1)]x y zx y y x y e y-+∂=-----∂22(0,0)2,z A x ∂==∂ 2(0,0)0,z B x y∂==∂∂ 22(0,0)2zC y∂==∂240,0B AC A ∆=-=-<> 故(0,0)0f =为极小值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2a 5
是极大值点,
f
2a 5
=
2
−
3 5
2 5
3
a
5 3
是极大值 ; x 0= 是极小值点, f (0) 0 是极小值 .
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
高等教育出版社
§4 函数的极值与最大（小）值
极值判别
y
1
x1
-1 O
1
x
-1
-2
(1) a > 0
最大值与最小值
y
1
-1 O
1x
f (4)(0) < 0 ,
n = 4是偶数，所以 f (0) = 0 是极大值.
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
高等教育出版社
§4 函数的极值与最大（小）值
极值判别
最大值与最小值
注 定理6.13也是判定极值的充分条件. 例如 x = 0 是
f
(x)
=
e−1
,x2
x≠0
0, x = 0
的极小值点, 但是因为 f (k)(0) = 0, k = 1, 2, ,
极值判别
最大值与最小值
由于
f ′′′( x) = 6x(35x3 − 60x2 + 30x − 4),
= f ′′′(0) 0 , f ′′′(1) > 1 ,
因此 x = 1 不是极值点 ( n = 3 是奇数 ). 又因
f (4)( x) = 24(35 x3 − 45 x2 + 15 x − 1) ,
最大值与最小值
证 由泰勒公式, 有
f (x)=
f ( x0 ) +
f
(n)( x0 ) n!
(x
−
x0 )(n)
+
o(( x
−
x0 )n )
=f ( x0 ) + µn( x) ( x − x0 )n .
其中= µn( x)
f
(n)( x0 ) n!
+
o (1) ,
它在某邻域
U ( x0;δ
)
内恒与 f (n)( x0 ) 同号.
极值判别
最大值与最小值
对于 f ′( x0 ) = 0, f ′′( x0 ) = 0 的情形, 可借助于更高 阶的导数来判别.
定理6.13（极值的第三充分条件）
设 f 在点 x0 的某邻域内存在直到 (n − 1) 阶的导数,
且 f (n)( x0 )存在.
若f ′( x ) = f ′′( x ) = = f ( x (n−1) ) = 0,
-1
(2) a < 0
5
= (3) a 0= , f ( x) x 3 . 请读者自行讨论.
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
高等教育出版社
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
§4 函数的极值与最大（小）值
极值判别
最大值与最小值
例3
求 f ( x=)
x2
+
432 x
的极值点与极值
.
解 f ( x) 的定义域为 x ≠ 0,
f ′( x=)
§4 函数的极值与最大（小）值
极值判别
最大值与最小值
又当 f (n)( x0 ) < 0 时 , 有
µn( x)( x − x0 )n < 0 , x ∈U ( x0;δ ),
故 f ( x) ≤ f ( x0 ) , x ∈U ( x0;δ ), 即 x0 是极大值点 .
(ii) 当 n 为奇数时, 有
极值判别
最大值与最小值
为了更好地加以判别，我们列表如下：
(1) a > 0
x (−∞, 0)
0
(0,
2a 5
)
y′ + 不存在 −
y增
0
减
2a 5
(
2a 5
,
+
∞)
0
+
−
3 5
2 5
2 3
a
5 3
增
即 x 0= 是极大值点，f (0) 0 是极大值 ;
x=
2a 5
是极小值点
,
f
2a 5
=
−
3 5
2 5
2 3
a
5 3
是极小值.
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
高等教育出版社
§4 函数的极值与最大（小）值
(2) a < 0
极值判别
最大值与最小值
x (−∞, 2a )
5
2a 5
y′ +
0
( 2a , 0) 0 5
− 不存在
2
y
增
−
3 5
2 5
3
a
5 3
减
0
(0, + ∞)
+
增
即
x
=
极值判别
最大值与最小值
例 4 求函数 f= ( x) x4( x − 1)3 的极值.
解 由 f ′( x=) x3( x − 1)2(7 x − 4)= 0 , 求得 x1 = 0 ,
= x2
1= , x3
4 7
是稳定点.
又因
f ′′( x) = 6x2( x − 1)(7 x2 − 8x + 2),
(x
−
x0 )n
< >
0, 0,
x ∈ ( x0 − δ , x0 ) , x ∈ ( x0, x0 + δ ) .
从而 µn( x)( x − x0 )n 在 x0 左右两侧异号 , 这就说明
了 x0 不是极值点.
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
高等教育出版社
§4 函数的极值与最大（小）值
0
0
0
f (n)( x0 ) ≠ 0 , 则
(i)
n 为偶数时,
x0
是
极小值点,
极大值点,
当 当
f (n)( x0 ) > 0 , f (n)( x0 ) < 0;
(ii) n 为奇数时, x0不是极值点 .
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
高等教育出版社
§4 函数的极值与最大（小）值
极值判别
f ′′(0) =
f ′′(1) = 0 ,
f
′′
4 7
>
0
,
所以由第二充分条件,
求得极小值为
f
4 7
=
− 6912 . 823543
而对于稳定点 x1 与 x2 却无法知道结果, 我们尝试
用第三充分条件来进行判别.
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
高等教育出版社
§4 函数的极值与最大（小）值
极值判别
最大值与最小值
注 极值的判别法( 定理6.11和6.12 ) 都是充分条件. 当这些充分条件不满足时, 不等于极值不存在 . 例如
f (0) = 2 为极大值 , 但不满足定理定理6.11和6.12的 条件.
数学科分析学出第六版章社微分中值定理及其应用
高等教育出版社
§4 函数的极值与最大（小）值
当 x ≠ 0 时,
f ′= ( x)
5 3
2
x3
−
2a 3
x−
1 3
=
3
1 3x
(5x
−
2a).
当 a ≠ 0 时, 稳定点为 x=
2a 5
,
不可导点为 x=
0;
当 a = 0 时， 稳定点为 x = 0 ，没有不可导点.
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
高等教育出版社
§4 函数的极值与最大（小）值
(i) 当 n 为偶数, 而 f (n)( x0 ) > 0 时 , 有
µn( x)( x − x0 )n > 0 , x ∈U ( x0;δ ), 故 f ( x) ≥ f ( x0 ) , x ∈U ( x0;δ ), 即 x0 是极小值点 ;
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
高等教育出版社
§4 函数的极值与最大（小）值
极值判别
最大值与最小值
第十七讲 函数极值的例， 第三充分条件
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
高等教育出版社
§4 函数的极值与最大（小）值
极值判别
最大值与最小值
2
例2 求函数 f ( x=) ( x − a)x 3 的极值点与极值 .
5
2
解 f ( x=) x 3 − ax 3 在 (−∞, +∞) 上连续 .
所以无法用定理 6.13 来判别.
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
高等教育出版社
2
x
−
432 x2
.
令 = f ′( x) 0= , 得x 6 . 又因为
f
′′(6)
= 2 + 8x634
x=6
= 6 > 0,
由定理6.12, x = 6是极小值点, f (6)=108是极小值.
试问这里为什么不考虑不可导点 x = 0?
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
高等教育出版社
§4 函数的极值与最大（小）值