积分求圆球面积和体积
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积分法求圆球的表面积与体积 方法一:
如图圆O 的方程为222R y x =+, 22x R y -=
将圆O 绕X 轴旋转一周,得到一个圆球体
从X 负半轴到X 正半轴将直径2R 等分n 份
)(∞→n 每份长为x ∆
球体也同时被垂直分成n 份薄片
每片的半径为22x R r -=
每片分得弧长为l d
如图:当无限等分后
(1)CE d l ≈弧 (2)CE OC ⊥ (3)x EH ∆=
易证CEH OCX ∆∝∆ CX OC EH CE =⇒CX
EH OC CE ⨯= x x R R
l ∆-=∆⇒22弧 薄片的球面面积x x R R
x R l r S ∆--=∆=∆22222)2(ππ
x R S ∆=∆π2
球面面积⎰⎰+-+-==R
R R R Rx Rdx ππ22=2
4R π 方法二:
如图圆O 的方程为222R y x =+, 22x R y -=
将圆O 绕X 轴旋转一周,得到一个圆球体
沿X 轴正方向到X 轴负方向将圆心角等分n 份
)(∞→n 每份为θ∆,),0(πθ∈
球体也同时被垂直分割成n 份薄片
每片弧长相等对应圆心角为θ∆
每片对应的半径为θsin R r =
当0→∆θ时
(1)θ∆=∠BOC (2)CB CB 弧弦≈ (3)CB OB ⊥
薄片周长θπsin 2R L =
薄片的(宽))sin(θ∆=R h
薄片外围面积)sin(sin 2θθπ∆⨯=∆R R S
)sin(sin 22
θθπ∆=R
θθπ∆=sin 22R 200224cos 2sin 2R R R S πθπθθπππ=-=∆=⎰⎰
方法三:
如图圆O 的方程为222R y x =+, 22x R y -=
将圆O 绕Y 轴旋转一周,得到一个圆球体
沿Y 轴负方向到Y 轴正方向将圆心角等分n 份)(∞→n 每
份为θ∆,)2
,2(ππθ-∈ 球体也同时被水平分割成n 份薄片
每片弧长相等对应圆心角为θ∆
每片对应的半径为θcos R r =
如图取OC oB →这一份进行研究
当0→∆θ时
(1)θ∆=∠BOC (2)CB CB 弧弦≈ (3)CB OC ⊥
薄片周长θπcos 2R L =
薄片的厚(高))sin(θ∆=R h
薄片外围面积)sin(cos 2θθπ∆⨯=∆R R S
)sin(cos 22θθπ∆=R
由极限:当0→x 时1sin =x
x ⇒ 当 0→x 时x x =sin 故 )sin(cos 22θθπ∆=∆R S
θθπ∆=cos 22R
22222
2
24sin 2cos 2R R R S πθπθθππ
πππ==∆=⎰⎰--
积分法求圆球的体积
方法一:
如图圆O 的方程为222R y x =+, 22x R y -=
将圆O 绕X 轴旋转一周,得到一个圆球体
在X 轴正方向将半径R 等分n 份)(∞→n 每份长为x ∆
球体也同时被垂直分成n 份薄片
每片的半径为22x R r -=
每份薄片的体积x r V ∆=∆2π
x x R ∆-=)(22π 半球体积⎰⎰⎰∆-∆=∆-=R R R
x x x R x x R V 00
22022)(21
πππ 303023231R x x
R R R πππ=-=⎰⎰ 33
4R V π= 方法二:
如图圆O 的方程为222R y x =+, 22x R y -=
将圆O 绕X 轴旋转一周,得到一个圆球体
自球内向外将将球体等分n 层球体环)(∞→n 每层厚为x ∆ 球体水平半径R 也同时被水平分成n 份
任取一层(如图中红色一圈球体环)
表面积 2
4x s π= 厚度x d ∆= x x V ∆=∆24π
⎰∆=R x x V 024π=⎰R x 033
4π 334R V π=