积分求圆球面积和体积

积分法求圆球的表面积与体积 方法一:

如图圆O 的方程为222R y x =+, 22x R y -=

将圆O 绕X 轴旋转一周,得到一个圆球体

从X 负半轴到X 正半轴将直径2R 等分n 份

)(∞→n 每份长为x ∆

球体也同时被垂直分成n 份薄片

每片的半径为22x R r -=

每片分得弧长为l d

如图:当无限等分后

(1)CE d l ≈弧 (2)CE OC ⊥ (3)x EH ∆=

易证CEH OCX ∆∝∆ CX OC EH CE =⇒CX

EH OC CE ⨯= x x R R

l ∆-=∆⇒22弧 薄片的球面面积x x R R

x R l r S ∆--=∆=∆22222)2(ππ

x R S ∆=∆π2

球面面积⎰⎰+-+-==R

R R R Rx Rdx ππ22=2

4R π 方法二:

如图圆O 的方程为222R y x =+, 22x R y -=

将圆O 绕X 轴旋转一周,得到一个圆球体

沿X 轴正方向到X 轴负方向将圆心角等分n 份

)(∞→n 每份为θ∆,),0(πθ∈

球体也同时被垂直分割成n 份薄片

每片弧长相等对应圆心角为θ∆

每片对应的半径为θsin R r =

当0→∆θ时

(1)θ∆=∠BOC (2)CB CB 弧弦≈ (3)CB OB ⊥

薄片周长θπsin 2R L =

薄片的(宽))sin(θ∆=R h

薄片外围面积)sin(sin 2θθπ∆⨯=∆R R S

)sin(sin 22

θθπ∆=R

θθπ∆=sin 22R 200224cos 2sin 2R R R S πθπθθπππ=-=∆=⎰⎰

方法三:

如图圆O 的方程为222R y x =+, 22x R y -=

将圆O 绕Y 轴旋转一周,得到一个圆球体

沿Y 轴负方向到Y 轴正方向将圆心角等分n 份)(∞→n 每

份为θ∆,)2

,2(ππθ-∈ 球体也同时被水平分割成n 份薄片

每片弧长相等对应圆心角为θ∆

每片对应的半径为θcos R r =

如图取OC oB →这一份进行研究

当0→∆θ时

(1)θ∆=∠BOC (2)CB CB 弧弦≈ (3)CB OC ⊥

薄片周长θπcos 2R L =

薄片的厚(高))sin(θ∆=R h

薄片外围面积)sin(cos 2θθπ∆⨯=∆R R S

)sin(cos 22θθπ∆=R

由极限:当0→x 时1sin =x

x ⇒ 当 0→x 时x x =sin 故 )sin(cos 22θθπ∆=∆R S

θθπ∆=cos 22R

22222

2

24sin 2cos 2R R R S πθπθθππ

πππ==∆=⎰⎰--

积分法求圆球的体积

方法一:

如图圆O 的方程为222R y x =+, 22x R y -=

将圆O 绕X 轴旋转一周,得到一个圆球体

在X 轴正方向将半径R 等分n 份)(∞→n 每份长为x ∆

球体也同时被垂直分成n 份薄片

每片的半径为22x R r -=

每份薄片的体积x r V ∆=∆2π

x x R ∆-=)(22π 半球体积⎰⎰⎰∆-∆=∆-=R R R

x x x R x x R V 00

22022)(21

πππ 303023231R x x

R R R πππ=-=⎰⎰ 33

4R V π= 方法二:

如图圆O 的方程为222R y x =+, 22x R y -=

将圆O 绕X 轴旋转一周,得到一个圆球体

自球内向外将将球体等分n 层球体环)(∞→n 每层厚为x ∆ 球体水平半径R 也同时被水平分成n 份

任取一层(如图中红色一圈球体环)

表面积 2

4x s π= 厚度x d ∆= x x V ∆=∆24π

⎰∆=R x x V 024π=⎰R x 033

4π 334R V π=