一几何原本与几何基础

1899年数学泰斗希尔伯特Hilbert 出版了他 的著作《几何基础》，并于30多年间不断地修 正和精炼，于1930年出了第七版。《几何基础》 一书为欧几里得几何补充了完整的公理体系，给 出了点、线、面、关联、顺序、合同这些原始概 念的的准确定义。 《几何基础》将公理体系分为下述五类。 第一类叫做关联公理，由8个公理组成。第二类 叫做顺序公理，由4个公理组成。第三类是合同公 理（或全等公理），由5个公理组成。第四类中只有

三角形全等的判定: 边角边，角边角，边边边。
据有关专家介绍，3S平面几何强调了知 识的从易到难,目前的几何课本则强调了图 形的从简到繁。编写基础教育阶段的几何 课本时，最基本的要求是：在保证前因后 果的逻辑顺序的前提下，在论述难易上应 由易到难，在图形结构上应由简到繁。 遇 有命题的论证难以被学生接受，便把这个 命题不加证明，暂作公理使用，使得课本 中的公理扩大范围。 我国六十年代初至今 的初中平面几何课本就是这样处理的。 这一阶段的课本充分注意到了知识的 逻辑性，也注意到了初中生的接受能力。 是自成体系的，逻辑清晰的。
1902年清朝政府正式颁布了钦定学堂章程，于 1905年下诏“立停科举，以广学校”，建立了初 小5年，高小4年，中学5年的洋学制，并正式开 始在中学讲授平面几何。由于日本十九世纪后半 叶的明治维新运动对我国触动很大，当时所用课 本大都为日本教材的中译本。数学教育逐步走上 了正轨。 辛亥革命后，1912至1922年，民国政府教育 部将学堂改为学校，算学改称数学，（这一称谓 于三十年代在民间普及），学制改为初小4年， 高小3年，中学4年，教育部审定教学用书，平面 几何教材逐步开始使用一些英译本，如美国人温 德华氏几何学，和我国自己编的课本，数学教育 的水平已大大提高。
在全书的开头列出的5个公设和五个公理如下。 公理适用于数学的各个领域： 等于同量的量彼此相等。


等量加等量，其和相等。 等量减等量，其差相等。 彼此能重合的物体是全等的。 整体大于部分。
公设适用于几何部分：


由任意一点到任意（另）一点可作直线。 一条有限直线可以继续延长。 以任意点为心及任意距离可以画圆。 凡直角都相等。 同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一 侧的两个内角的和小于而直角，则这二直线经无限 延长后在这一侧相交。
《几何原本》的内容涉及初等数学的各个领域，包括代 数，数论，平面几何，立体几何，甚至现代极限概念的雏形， 但各部分的表述大都是从图形出发的。第一卷讲直线形，包 括点、线、面、角的概念，三角形，两条直线的平行与垂直， 勾股定理等；第二卷讲代数恒等式，如两项和的平方，黄金 分割；第三卷讨论圆、弦、切线等与圆有关的图形；第四卷 是圆的内接和外切三角形，正方形，内接正多边形（5，10， 15边）的作图；第五卷比例论，取材于欧多克索斯 （Eudoxus）的公理法，使之适用于一切可公度和不可公度 的量；第六卷将比例论应用平面图形，研究相似形；第七八 九卷是初等数论，其中给出了辗转相除法，
1922年，民国政府教育部制定了课程纲要， 学制改为小学6年，初中3年，高中3年，平面几 何在初中三年级与高中一年级讲授。 高中课程 为升入大学进行准备，初中纲要已包括了平面几 何的基本内容。 从三十年代初直到五十年代初，我国很多初 中使用3S平面几何作为教材，作者为美国的 Schultz-Sevenoak-Schuyler三位姓氏以S开头的 数学工作者。这本书可以看作是《几何原本》中 平面几何部分的改写本，结合了中学生的接受能 力，体系严谨，语言平实。二战胜利后，经过修 订又出了一套新3S平面几何，由上海中学余元 庆老师等人翻译，一直沿用到50年代初。
当然，按照现代数学的公理化体系去衡量， 《几何原本》的公理体系不是很完备，比如对点、 线、面等原始概念的定义不甚清晰，关联，顺序， 运动，连续性等方面的公理还有待补充，个别公 理欠独立性。一些命题的证明基于公理4的几何 直观，即：彼此能重合的物体是全等的。也就是 说，一个平面图形可以不改变形状和大小从一个 位置移动到另一个位置。这实际上是不加定义默 认了平面的刚体运动。后者在现代数学中的严格 定义是平面到自身的保持距离不变的一个映射。
一个公理，即著名的平行公理：过直线外一点至多有一 条直线与已知直线平行。第五类是连续公理，包括阿基 米德度量公理和直线的完备性两条。
（二）我国平面几何课本的历史 演变
《几何原本》作为教科书在西欧讲授有1000年以上的历史，我国最早的 中译本是在400年前明朝末年出版。那个时代不太重视科学技术，包 括当时称为算学的数学。虽然在明末清初，包括清但一般来讲，学习数学的人还是为数 不多的。随着清朝末期英，美，法，德，日，俄等列强对我国的侵略， 西方传教士大量进入中国。他们兴办了各类学堂，即新学，并编译了 一些国外的数学教科书作为教材。与此同时，清朝各级政府和留洋归 国的有识之士亦陆续设立了各种新学，较著名的中学有王氏育才书塾， 即后来的上海南洋中学，北京五城中学堂，即后来的北京师大附中。 这一时期可以看作是我国数学教育的启蒙阶段。
证明了素数有无穷多；第十卷篇幅最大，占全书 的四分之一，主要讨论无理量，可以看作是现代 极限概念的雏形；第十一卷讨论空间的直线与平 面；第十二卷证明了圆面积的比等于直径的平方 比，球体积的比等于直径的立方比，但没有给出 比例常数；第十三卷详细研究了五种正多面体。 欧几里得《几何原本》中的内容已在现代中等 教育中分成了若干部分，分别归入平面几何，代 数，三角，立体几何。初中平面几何的内容主要 取材于《几何原本》的前六章，大致可以概括为 点、线、面、角的概念，三角形，两条直线的位 置关系（包括平行，垂直），四边形，圆，相似 形，求图形的面积这样几个部分。
1949年中华人民共和国成立，我们开始学习苏联。人民教 育出版社于五十年代初期出版了自己编写的平面几何课 本，主编者是已调到人民教育出版社工作的余元庆老师 等，有多人参加编写。内容仍然类比着《几何原本》。 自六十年代初，我国的平面几何课本在内容的编排上有 了一些变动，使用了较多的公理，并将平行线部分调到 三角形的前面来讲。其中主要的公理有： 两点确定一条直线。 两点间直线段最短。 过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行。 同位角相等，两直线平行。 过直线外（或上）一点有且仅有一条直线与已知直线垂 直。