椭圆练习题(含答案)

解析几何——椭圆精炼专题

一、 选择题：(本大题共1２小题,每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中有只有一项是符合题目要求的.） 1．椭圆6322

2

=+y x 的焦距是（ ） ﻩA ．２

B ．)23(2-

ﻩＣ.52ﻩD.)23(2+

2.F １、Ｆ2是定点,|Ｆ1F ２|=6,动点M 满足|MF 1｜+|MF ２｜=6,则点M 的轨迹是（ ) Ａ.椭圆ﻩB.直线ﻩＣ.线段 D ．圆 3．若椭圆的两焦点为(－2,０）和（2，0）,且椭圆过点)2

3,25(-，则椭圆方程是

（ )

A.14

82

2=+x y

B.16102

2=+x y C.18422=+x y ﻩD ．16

102

2=+y x 4．方程22

2=+ky x 表示焦点在ｙ轴上的椭圆，则ｋ的取值范围是( ) ﻩA.),0(+∞

B ．（0,2)ﻩC.（１,+∞)ﻩD ．(0，１）

5． 过椭圆1242

2

=+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点2F 构成2ABF ∆，那么2

ABF ∆的周长是( )

Ａ． 22 B. ２ C ． 2 D. １

６．已知椭圆的对称轴是坐标轴,离心率为

3

1

,长轴长为12，则椭圆方程为( ) A ．

112814422=+y x 或114412822=+y x B ． 14

62

2=+y x C.

1323622=+y x 或1363222=+y x D ． 16422=+y x 或14622=+y x 7. 已知k ＜4,则曲线14922=+y x 和1492

2=-+-k

y k x 有( ) Ａ． 相同的短轴 B ． 相同的焦点 C ． 相同的离心率 D ． 相同的长轴

8．椭圆

19

252

2=+y x 的焦点1F 、2F ,P 为椭圆上的一点,已知21PF PF ⊥，则△21PF F 的面积为( ） A ．9 Ｂ.１2 C ．10 Ｄ．8

9．椭圆13

122

2=+y x 的焦点为1F 和2F ，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上,那么1PF 是2PF 的( )

A.4倍 B ．5倍 C ．7倍 D ．3倍

１0.椭圆144942

2

=+y x 内有一点Ｐ(3,2）过点Ｐ的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的方程为（ ) ﻩA ．01223=-+y x ﻩB.01232=-+y x ﻩＣ．014494=-+y x ﻩＤ． 014449=-+y x 11．椭圆

14

162

2=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是ﻩﻩ( ) A.3ﻩB ．11 C ．22ﻩD ．10

１2.过点M (-2,0）的直线M 与椭圆12

22

=+y x 交于P 1,P 2，线段P 1Ｐ2的中点为P ，设直线M 的斜率为k 1（01≠k ),直线OP 的斜率

为k ２,则k 1ｋ２的值为（ ）

Ａ．2 B.－2 ﻩＣ．

21ﻩ D.－2

1 二、 填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分,把答案填在题中横线上.）

1３．椭圆

2214x y m +=的离心率为1

2

，则m = . 1４．设P 是椭圆2

214

x y +=上的一点,12,F F 是椭圆的两个焦点，则12PF PF 的最大值为 ；最小值为 . 15.直线y =ｘ－2

1被椭圆ｘ２

＋4y 2=４截得的弦长为 ．

16．已知圆Q A y x C ),0,1(25)1(:2

2及点=++为圆上一点,AQ 的垂直平分线交CQ 于Ｍ，则点M 的轨迹方程

为 ． 三、解答题：（本大题共6小题,共７４分,解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤.) 17．已知三角形ABC 的两顶点为(2,0),(2,0)B C ，它的周长为10,求顶点A 轨迹方程．

18．椭圆的一个顶点为A （２，０),其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．

19．点Ｐ到定点F （2,0)的距离和它到定直线ｘ=8的距离的比为1:２，求点P 的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形．

2０.中心在原点,一焦点为Ｆ1(0，５2

）的椭圆被直线y =3x -2截得的弦的中点横坐标是2

1,求此椭圆的方程．

21.已知椭圆的中心在坐标原点O ,焦点在坐标轴上,直线y =x +1与椭圆交于Ｐ和Ｑ,且ＯP ⊥ＯQ ,|ＰQ |=2

10

,求椭圆方程

２2.椭圆12

222=+b y a x (a >b ＞)0与直线1=+y x 交于P 、Q 两点,且OQ OP ⊥,其中O 为坐标原点. (1)求

2

21

1b

a +的值； (２)若椭圆的离心率e 满足33≤e ≤2

2，求椭圆长轴的取值范围．

椭圆练习题参考答案

题号 １ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案

A

C

D

Ｄ

A

B

Ｄ

１３、３或

316 1４、 ４ ， 1 １５、5382 16、121

42542

2=+y

x

17、3)(x 15

92

2±≠=+y x 18、解：（1）当A (2,0)为长轴端点时,ａ=2 , ｂ=1,

椭圆的标准方程为： ；

(2）当

为短轴端点时，

,

，

椭圆的标准方程为: ;

1９．解:设Ｐ(x,ｙ),根据题意,|PF|=(x-２)２

-ｙ２

,d=｜ｘ-8|,因为错误!=错误!，所以错误!= 错误!.化简，得3x 2+4y 2＝48，整理,得错误!=1，所以,点P 的轨迹是椭圆。

2０. 解：解法一:根据题意，设椭圆的方程为错误!=1,设交点坐标分别为A(x 1,ｙ１）,B(x 2，y 2)

将椭圆方程与直线ｙ=3x －２联立，消去y,得：(3x-2)2a

２ ＋＼f(x ２

,a 2-50) =1,化简,整理，得：

(10a 2-４５0)x 2+(60０-12a 2)x ＋(－a 4+54a 2-200)＝0,

所以，x 1,x ２为这个方程的两根，因为相交线段中点横坐标为错误!,所以x 1＋x ２=— 错误!= -1,解得，a 2＝７5．于是,因为c=５错误!,所以，b 2=25,所以椭圆的方程为错误!=１. 解法二：设椭圆：

12

22

2=+b y a x (ａ＞b>0）,则a 2-b ２

＝５0…①

又设A(ｘ1,ｙ１），B(x 2,y 2），弦ＡB 中点（x 0，y 0） ∵x 0=2

1,∴y 0=2

3-2=-2

1

由220022212122

221222212222

2222

1221331

1b a y x b a x x y y k b x x a y y b x a

y b x a y AB =⇒=•-=--=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-⇒=+=+…② 解①,②得：ａ2=７5，ｂ2=２５,椭圆为：

25

752

2x y +=1

21.解 设椭圆方程为

m ｘ2+ny ２

=1(m ＞0,n ＞0)，P （x

１,y 1）,Q (x 2,y 2）由⎩⎨⎧=++=1

12

2ny mx x y 得(m +n )x ２

+2n ｘ+n -１=０, Δ=４n 2-4(m +n ）（n -1）>0,即m +n -m ｎ>０,由ＯＰ⊥O Ｑ，所以ｘ１x 2＋y 1ｙ2=0，即2x １ｘ2+(x 1+x 2)+1=0, ∴

n m n n m n --

+-2)1(2+1=０，∴m +n =2 ①又2)210()(4=+-+n m mn n m 2,将m +n ＝2,代入得m ·ｎ=4

3

② 由①、②式得m ＝21,ｎ=23或m =23，n =21故椭圆方程为22x +23ｙ2=１或23x 2+2

1ｙ２

=1

2２、(1）设),(),,(2211y x P y x P ，由OP ⊥ OQ ⇔ x 1 x ２ + y 1 ｙ ２ = 0

① 01)(2,1,121212211=++--=-=x x x x x y x y 代入上式得：

又将代入x y -=1 12222=+b y a x 0)1(2)(2

22222=-+-+⇒b a x a x b a ，,2,02

2221b a a x x +=+∴>∆ 2

2

2221)

1(b a b a x x +-=代入①化简得 2112

2=+b a ． (2） ,3221211311222222222

≤≤⇒≤-≤∴-==a b a

b a b a

c e 又由（１）知12222-=a a b