恒定电场

第二章 静电场和恒定电流电场

§2.1 静电场的基本方程

1 静电场的定义：场的源－电荷，相对于观察者（坐标系）静止。

2 静电场的基本方程：

0=∂∂

t

，因此有 ⎪⎪⎩⎪⎪

⎨⎧=⋅∇==⋅∇==⨯∇=⨯∇0

00

B H

B D E D E H μρε 可以发现电场量（ε,,D E ）与磁场量（μ,,B H

）无耦合，故可以单独研究静电场和静磁

场。于是静电场的基本方程是

⎪⎩⎪⎨⎧=⋅∇==⨯∇ρ

εD E

D E

3 静电场的物理特性；1）场源：电荷，散度源，旋度为零，是保守场，可以定义势能。2）电力线：非环，始于正电荷或带正电荷的导体或无穷远，终于负电荷或带负电荷的导体或无穷远。3）与磁场关系：无关。

§2.2 电位

1 为什么需要电位：1）电位作辅助量，简化求解过程，矢量变标量。2）静电场电位有物理意义：电位是单位正电荷的势能。3）电位比电场易测量。

2 电位定义：前提是旋度为零。

任何标量梯度的旋度恒等于零：0=∇⨯∇ϕ （梯度的物理解释：最陡）

因此只要让ϕ-∇=E

静电场的旋度方程自然满足。

3 电位的物理意义：

任意一点A 的电位等于把单位正电荷从该点移到电位参考点P （零电位点）电场力所做的功，也就是外力克服电场力把单位正电荷从电位参考点（零电位点）移到该点所做的功。数值上也就是单位正电荷所具有的势能。

⎰⎰⎰⎰

⎰⎰=-==⋅∇=⋅∇-=⋅→⋅=⋅=P A

A P

A

P

A P A P

A

P A

P A

AP d l d l d l d E l d E q l d F W ϕϕϕϕϕϕ

上式结果与A 点到P 点的具体路径无关，这是因为

⎰=⋅=+=-AMPNA

ANP

AMP ANP AMP l d E W W W W 0

A

M

N

P

所以 A N P A M P W W =

因此我们才可以说（在静电场条件下）电位是单位正电荷的势能。势能本身就意味着它只与状态有关，与过程无关。

4 电位参考点的选择：1）电荷在有限区域，无穷远点为参考点。2）电荷分布到无穷远，在有限区域任选一点作参考点。3）同一问题，参考点应该统一。4）参考点的选择不会影响电场，电场只与电位差有关，绝对电位没有意义，只有电位差才有意义。

5 电位的计算：1）点电荷情况。2）电荷系情况：叠加原理成立，求和。3）求和变为积分。 例37页图2.2.6

§2.3 电位方程－泊松方程

1 前面我们只涉及已知电荷求电场或电位，但实际情况往往是电荷的分布不知道，只知道导体上的相对电位，电位方程满足这个要求（推导参考教科书39页）。 泊松方程 ε

ρ

ϕ-

=∇2

在无源区，0=ρ，变为拉普拉斯方程 02

=∇ϕ

§2.4 静电场的边界条件

1 单独的微分方程只能给出含有未知常数的通解。只有加上边界条件，才能给出唯一确定的特解

2 边界条件

电场强度 0)(21=-⨯E E n

电位移矢量 ⎩⎨⎧=-⋅0

)(21s D D n ρ

电位，（电场为电位的梯度，不能无限大。该条件与电场强度的边界条件等效，教科书41页）

21ϕϕ=

电位移矢量边界条件的电位形式 ⎩⎨⎧=∂∂-∂∂0

2211s n n ρϕεϕε

3 特定情况：两边都是电介质，折射定律（参考教科书40、41页）

4特定情况：一边导体，一边电介质。 1） 静电场中的导体（动态）：当导体受到外电场作用时，导体自由电子移动到导体表面，

由此产生的附加电场与原来的外加电场抵消，使得导体内部总电场为零，进而自由电子不再移动（静电场定义要求） 2） 静电场中的导体（静态）：内部电场为零，导体为等位体，导体表面为等位面，自由电

荷集聚在表面，形成面电荷分布。 3） 边界条件：

s

n t D E ρ==0

电力线象直立的头发，科学馆的例子

5 边值问题求解的一般过程：1）选取坐标系：尽量要坐标面与等位面重合或平行。2）写出方程的通解，如果有几种媒质，要分区写出通解。3）根据边界条件确定通解中的积分常数，给出特解。4）如果求解区域至无穷远，无穷远也是边界之一。 教科书42页例2.4.1

§2.5 电容

1 电容的物理意义：电容是储藏电场能量的度量。

2 电容的分类（导体数目）

1） 单导体：ϕ/Q C = 净电荷与导体电位的比（无穷远为电位参考点） 2） 双导体：U Q C /=

3） 多导体：相当于电路中的多个电容器的网络（教科书45到51页）

§2.6 电场的能量

1某种电荷分布情况下电场的能量等于把这些电荷从无穷远处移来建立起这种分布外力所作的功（其它形式的势能也可按此法计算）。这个过程实际就是充电。 2 充电方式：所有导体的电荷按同样的比例同步增加。 起始状态：n 个导体的电荷都为零，电位也为零

终了状态：n 个导体的电荷为n q q q ,,,21 ，电位为n ϕϕϕ,,,21

充电过程：n 个导体的电荷为n q q q ααα,,,21 ，电位为n αϕαϕαϕ,,,21 ，充电就是α从0变到1的过程。在这过程中，αααd q d q d q n ,,,21 的微量电荷从无穷远慢慢地加到各个导体上。微量－是为了不破坏原来的电荷（场）分布，慢慢－是为了不涉及动能，这样把αd q k 从无穷远慢慢地加到导体k 外力克服电场力作的功为

ααϕd q k k

每个导体都增加同比例的微量电荷作的功为

ααϕd q dA k k n

k ∑==1

整个充电过程作的功为