大物习题第5章 机械波

第5章 机械波5.1基本要求1．理解描述简谐波的各物理量的意义及相互间的关系.2．理解机械波产生的条件．掌握由已知质点的简谐振动方程得出平面简谐波的波函数的方法．理解波函数的物理意义．理解波的能量传播特征及能流、能流密度概念．3．了解惠更斯原理和波的叠加原理.理解波的相干条件，能应用相位差和波程差分析、确定相干波叠加后振幅加强和减弱的条件. 4．理解驻波及其形成。

5．了解机械波的多普勒效应及其产生的原因.5.2基本概念 1．机械波机械振动在弹性介质中的传播称为机械波，机械波产生的条件首先要有作机械振动的物体，即波源；其次要有能够传播这种机械振动的弹性介质。

它可以分为横波和纵波。

2.波线与波面 沿波的传播方向画一些带有箭头的线，叫波线。

介质中振动相位相同的各点所连成的面，叫波面或波阵面。

在某一时刻，最前方的波面叫波前。

3．波长λ 在波传播方向上，相位差为2π的两个邻点之间的距离称为波长，它是波的空间周期性的反映。

4．周期T 与频率ν 一定的振动相位向前传播一个波长的距离所需的时间称为波的周期，它反映了波的时间周期性，波的周期与传播介质各质点的振动周期相同。

周期的倒数称为频率，波的频率也就是波源的振动频率。

5．波速u 单位时间里振动状态（或波形）在介质中传播的距离。

它与波动的特性无关，仅取决于传播介质的性质。

6．平面简谐波的波动方程 在无吸收的均匀介质中沿x 轴传播的平面简谐波的波函数为()2cos y A t x ωϕπλ=+m或s )co (x y A t u ωϕ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦m其中，“-”表示波沿x 轴正方向传播；“+”表示波沿x 轴负方向传播。

波函数是x 和t 的函数。

给定x ，表示x 处质点的振动，即给出x 处质点任意时刻离开自己平衡位置的位移；给定t ，表示t 时刻的波形，即给出t 时刻质点离开自己平衡位置的位移。

7．波的能量 波动中的动能与势能之和，其特点是同体积元中的动能和势能相等。

任意体积元的222k 211d =d d d sin ()22P W W W VA t x πλρωωϕ==-+8．平均能量密度、能流密度 一周期内垂直通过某一面积能量的平均值是平均能量密度，用w 表示。

单位时间内，通过垂直于波传播方向单位面积的平均能量，叫做波的能流密度，用I 表示。

其中22011d 2T w w t A T ρω==⎰，2212wuTS I wu A u TS ρω=== 9．波的衍射 波在传播过程中遇到障碍物时，其传播方向发生改变，并能绕过障碍物而继续向前传播，这种现象称为波的衍射（绕射）。

10．波的干涉 几列波叠加时产生强度稳定分布的现象称为波的干涉现象。

产生波的相干条件是：频率相同、振动方向相同、相位差恒定的两列波的叠加。

加强和减弱的条件，取决于两波在相干点的相位差21212πr r ϕϕϕλ-∆=--，()2π0,1,2,...k k ϕ∆=±= 时，合振幅达到极大max 12A A A =+，称为干涉相长()()21π1,2,3...k k ϕ∆=±-=振幅为极小，12A A A =-，称为干涉相消。

11．驻波 它由两列同振幅的相干波在同一直线上沿相反方向传播时叠加而成。

驻波方程：2π2coscos y A x t ωλ=。

12．半波损失 波由波疏介质行进到波密介质，在分界面反射时会形成波节，相当于反射波在反射点损失了半个波长的过程。

13．多普勒效应 因波源或观察者相对于介质运动，而使观察者接收到的波的频率与波源的振动频率不同的现象。

5.3基本规律1．惠更斯原理 介质中波动传到的各点均可看做能够发射子波的新波源，此后的任一时刻，这些子波的包迹就是该时刻的波前。

据此，只要知道了某一时刻的波面，就可用几何作图的方法决定下一时刻的波面。

因而惠更斯原理在很广泛的范围内解决了波的传播问题。

下面通过球面波的传播来说明惠更斯原理的应用。

如图5-1所示，t 时刻的波面是半径为R 1的球面 S 1，按惠更斯原理，S 1上的每一点都可以看成发射子波的点波源。

以 S 1面上各点为中心，以r u t =∆为半径作半球面，这些半球面就是这些新的子波的波前，它们的包络面S 2就是（t+Δt ）时刻的波面。

2．多普勒效应 当观察者和波源之间有相对运动时，观察者所测到的频率R ν和波源的频率S ν不相同的现象称为多普勒效应。

当波源与观察者在同一直线上运动时，二者关系为RR S Su v u v νν±=m 。

u ：机械波在介质中的传播速度S v ：波源相对于介质的速度R v ：观察者相对于介质的速度为观察者接近波源时，R v 前取“+”号，远离时，则取“-”号；波源朝向观察者运动时，S v 前取“-”号，远离时，则取“+”号。

5.4学习指导1重点解析下面将讨论本章的习题分类及解题方法：（1）已知波动表达式求有关的物理量，如振幅、周期、波长、质元间的相位差等.图5-1通常采用比较法，即将已知的波动表达式与标准的波动表达式进行比较，从而找出相应的物理量；也可以根据各物理量的关系，通过运算得到结果。

（2）已知波动的有关物理量，建立波动表达式基本步骤如下：（a ）由题给条件写出波源或传播方向上某一点的振动表达式。

(b )在波线上建立坐标后，任取一点P ，距原点为x ，计算出p 点的振动比已知点的振动在时间上超前或落后。

设超前或落后的时间为t ’，将原振动表达式中ｔ加上或减去t ’，即得该波的表达式。

也可计算出P 点振动相位比已知点超前或落后，设超前或落后相位为2x πλ，则将原振动表达式中的相位加上或减去2x πλ。

注意：超前为加，落后为减。

为方便起见，有时常把波线上的已知点选为坐标原点。

（3）已知波形曲线，建立波动表达式从波形曲线上确定有关的物理量。

如波长、振幅等，特别要注意从曲线上确定某点（如原点）的振动相位，这可用旋转矢量法或解析法确定，然后写出该点的振动表达式，再根据传播方向写出波动表达式。

例1 已知一平面波在t=0s 时的波形曲线如图5-2所示，波沿x 轴正向传播，已知波的周期3T s =.求（1）该波的波函数；（2）点P 处质元的振动方程。

分析：首先要选一个参考点，如坐标原点，求出该点处质元的振动方程，因此必须求出振动的特征量A 、ϕ、ω。

然后由图中信息求出波长或波速，再根据波的传播方向，写出波函数。

将P 点x 坐标值代入波函数即可求P 处质元的振动方程。

解：选坐标原点为参考点，由图可知振幅2410A m -=⨯，3T s=，则圆频率1223rad s T ππω-==⋅ 波沿x 轴正向传播，显然00v >，利用旋转矢量法，画出t=0时刻对应的旋转矢量图如图5-3所示，则3πϕ=-，于是原点处质元的振动方程为图5-222410cos()33y t m ππ-=⨯- 为求波函数，要求出波长λ或波速u 。

先设波函数为222410cos()33y t x m πππλ-=⨯-- 由波形曲线可知t=0时刻，x=0.4m 处，2410y m -=-⨯,代入波函数222410410cos(0.4)3ππλ---⨯=⨯-⨯- 得 1.2m λ=所以波函数为225410cos()333y t x m πππ-=⨯-- （2）P 点 x=0.8m 代入波函数即可求P 处质元的振动方程是22410cos()33y t m ππ-=⨯+（4）波的干涉和驻波波的干涉问题主要是计算相干波在空间各处相遇是增强还是减弱，这可通过二者相位差或波程差来确定。

驻波问题中，波腹和波节的位置是计算问题的重点，而写出反射波是关键。

例2 两波在一根很长的弦线上传播，其波动方程分别为2144.0010cos(8)3y x t ππ-=⨯- 2144.0010cos(8)3y x t ππ-=⨯+求(1)两波的频率、波长、波速 (2)两波节叠加后的节点位置 (3)叠加后振幅最大的那些点的位置 解：（1）与标准的波动方程()2cos y A t x ωϕπλ=+m比较可得：频率4Hz ν=、波长 1.50m λ=、波速16.00u m s λν-=⋅=⋅。

（2）节点位置4()32x k πππ=±+ 则有：31()(0,1,2,3)42x k k =±+=L（3）波腹位置：43x k ππ=±则有：3(0,1,2,3)4x kk =±=L（5）多普勒效应求解多普勒效应问题时，首先要分析波源和观察者的运动情况，以便应用不同公式进行处理。

应特别注意公式中符号规则。

对于有反射面的情况，反射面相当于一个“观察者”，分析反射波时相当于一个“波源”。

2难点释疑疑难点1. 如何理解驻波，“半波损失”。

两列振幅相同、振动方向相同、频率相同的相干波沿相反方向传播时，就叠加形成驻波。

其表达式为：2π2π2πcos()cos()2coscos y A t x A t x A x t ωωωλλλ=-++=波节位置：(21)(0,1,2,)4x k k λ=±+=L波腹位置：(0,1,2,)2k x k λ=±=L相邻两波节或波腹之间的距离为2λ，相邻波节间各点振动同相位，波节两侧2λ范围内媒质的振动相位差为π。

驻波没有能量和相位的传播，这就是驻波中“驻”字的含义。

但不断进行着动能和势能的相互转换，以及能量从波节到波腹和从波腹到波节的转移。

半波损失是指波由波疏介质进入波密介质时，在反射点处，反射波与入射波叠加形成波节。

相对于入射波，反射波相位突变π，相当于出现了半个波长的波程差。

疑难点2. 波动过程任一体积元的机械能不守恒。

理想的谐振动系统是一个孤立系统，在振动过程中，质点受保守力作用，系统的动能、势能相互转换，总机械能保持不变。

波动过程中，虽然质元也在做简谐振动，但质元振动的动能和势能却同时达到最大，同时减小变为零,和谐振动系统有着明显的不同。

在学习过程中，很多学生感到很困惑，这是学习中的一个难点。

问题的关键是要理解势能产生的原因：具有形变因而产生势能。

从图5-4中可明确看到，质元在最大位移处几乎没图5-4有形变，在平衡位置处形变最大，故势能最大。

5.5习题解答5.1 一平面简谐波在弹性媒质中传播时，某一时刻在传播方向上介质中某质元在负的最大位移处，则它的能量[ ] (A) 动能为零，势能最大 (B) 动能为零，势能为零 (C) 动能最大，势能最大 (D) 动能最大，势能为零 解析：正确答案（B ）介质中某质元的动能表达式222k 1d d sin 2()2W V x A t ρωωπλϕ=-+，质元的弹性势能222p 1d d sin 2()2W V x A t ρωωπλϕ=-+，所以在波动传播的介质中，任一体积元的动能、势能均随,x t 作周期性变化，且变化是同相位的。