高中二年级圆锥曲线知识点总结与例题

高二圆锥曲线知识点总结与例题分析一、椭圆 1、椭圆概念平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a （大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。

若M 为椭圆上任意一点，则有21||||2MF MF a +=。

椭圆的标准方程为：22221x y a b +=（0a b >>）（焦点在x 轴上）或12222=+bx a y （0a b >>）（焦点在y 轴上）。

注：①以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中222b a c =-；②在22221x y a b +=和22221y x a b+=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的位置，只要看2x 和2y 的分母的大小。

例如椭圆221x y m n+=（0m >，0n >，m n ≠）当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆；当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆。

2、椭圆的性质 ①范围：由标准方程22221x y a b+=知||x a ≤，||y b ≤，说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里；②对称性：椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称。

这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；③四个顶点：1(,0)A a - ，2(,0)A a ，1(0,)B b -，2(0,)B b线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ；在22Rt OB F ∆中，2||OB b =，2||OF c =，22||B F a =，且2222222||||||OF B F OB =-，即222c a b =-；④离心率：椭圆的焦距与长轴的比ce a=叫椭圆的离心率。

3、点与椭圆的关系点00(,)P x y 和椭圆12222=+by a x （0a b >>）的关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外⇔2200221x y a b+>；（2）点00(,)P x y 在椭圆上⇔220220by a x +＝1；（3）点00(,)P x y 在椭圆内⇔2200221x y a b+<二、双曲线1、双曲线的概念平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线12||||||2PF PF a -=。

注意： ① 式中是差的绝对值，在1202||a F F <<条件下；12||||2PF PF a -=时为双曲线的一支；21||||2PF PF a -=时为双曲线的另一支（含1F 的一支）；②当122||a F F =时，12||||||2PF PF a -=表示两条射线；③ 当122||a F F >时，12||||||2PF PF a -=不表示任何图形； ④ 两定点12,F F 叫做双曲线的焦点，12||F F 叫做焦距。

注意：要分清焦点的位置，由x 2,y2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上2、双曲线的性质 ①范围：从标准方程12222=-by a x ，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线a x ±=的外侧。

②对称性：坐标轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。

③两个顶点：)0,()0,(2a A a A -实轴：线段2A A 叫做双曲线的实轴，它的长等于2,a a 叫做双曲线的实半轴长。

虚轴：线段2B B 叫做双曲线的虚轴，它的长等于2,b b 叫做双曲线的虚半轴长。

⑤渐近线：x a =±，y b =±围成的矩形的两条对角线，称为双曲线的渐近线。

双曲线12222=-by a x 渐近线为x a by ±=。

⑤等轴双曲线：1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。

定义式：a b =； 2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±= ；（2）渐近线互相垂直（3）离心率为2=e 。

3）注意到等轴双曲线的特征a b =，则等轴双曲线可以设为：)0(22≠=-λλy x ，当0>λ时交点在x 轴，当0<λ时焦点在y 轴上。

三、抛物线（1）抛物线的概念平面内与一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F 不在定直线l 上)。

定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线。

方程()022>=p pxy 叫做抛物线的标准方程。

注意：它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，焦点坐标是F （2p,0），它的准线方程是2px -= ；（2）抛物线的性质一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：px y 22-=，py x 22=，py x 22-=.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：标准方程22(0)y px p =>22(0)y px p =->22(0)x py p =>22(0)x pyp =->图形焦点坐标 (,0)2p(,0)2p -(0,)2p(0,)2p -准线方程 2p x =-2p x =2p y =-2p y =范围 0x ≥ 0x ≤ 0y ≥ 0y ≤ 对称性 x 轴 x 轴 y 轴 y 轴 顶点 (0,0) (0,0) (0,0) (0,0) 离心率 1e =1e = 1e = 1e =说明：（1）焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调p 的几何意义：是焦点到准线的距离。

四、直线与圆锥曲线的位置关系： （1）相交：0∆>⇔直线与椭圆相交；0∆>⇒直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0∆>，当直线与双曲线o Fxy l oxyF lxy oF l的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0∆>是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0∆>⇒直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0∆>，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0∆>也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。

（2）相切：0∆=⇔直线与椭圆相切；0∆=⇔直线与双曲线相切； 0∆=⇔直线与抛物线相切；（3）相离：0∆<⇔直线与椭圆相离；0∆<⇔直线与双曲线相离； 0∆<⇔直线与抛物线相离。

特别提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。

五、弦长公式直线与圆锥曲线相交所得的弦长直线具有斜率k ,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ,则它的弦长12AB x =-==注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为1212()y y x x -=-k ，运用韦达定理来进行计算.当直线斜率不存在是,则12AB y y =-. 六、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

在椭圆12222=+b y a x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=－0202y a x b ；在双曲线22221x y a b -=中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0202y a x b ；在抛物线22(0)y px p =>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=py 。

高二圆锥曲线例题分析例1、12F F 、是椭圆2214x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则12||||PF PF ⋅的最大值是 ．解：. 12||||PF PF ⋅≤2212||||()42PF PF a +==例2、 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．解：由题意，设椭圆方程为1222=+y a x ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+11222y a x y x ，得()021222=-+x a x a ，∴222112a a x x x M +=+=，2111a x y M M +=-=， 4112===a x y k M M OM Θ，∴42=a ， ∴1422=+y x 为所求． 例3 设双曲线2212y x -=上两点A 、B ，AB 中点M （1，2），求直线AB 方程； 解：方法一：显然AB 斜率存在设AB ：y -2=k (x -1) 由22212y kx k y x =+-⎧⎪⎨-=⎪⎩得：(2-k 2)x 2-2k (2-k )x -k 2+4k -6=0 当△>0时，设A （x 1,y 1），B （x 2,y 2） 则122(2)22x x k k k+-==-l ∴ k =1，满足△>0 ∴ 直线AB ：y =x +1法二：设A （x 1,y 1），B （x 2,y 2）则221122221212y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩两式相减得：(x 1-x 2)(x 1+x 2)=21(y 1-y 2)(y 1+y 2)∵ x 1≠x 2∴ 121212122()y y x x x x y y -+=-+∴ 2112AB k ⨯== ∴ AB ：y =x +1代入2212y x -=得：△>0 评注：法一为韦达定理法，法二称为点差法，当涉及到弦的中点时，常用这两种途径处理。

在利用点差法时，必须检验条件△>0是否成立。

例4. 椭圆中心是坐标原点O ，焦点在x 轴上，e =23，过椭圆左焦点F 的直线交椭圆于P 、Q 两点，|PQ|=920，且OP ⊥OQ ，求此椭圆的方程. 解:设椭圆方程为22a x +22by =1,(a >b >0)⑴PQ ⊥x 轴时，F(-c ,0)，|FP|=a b 2，又|FQ|=|FP|且OP ⊥OQ ，∴|OF|=|FP|,即c =ab 2∴ac =a 2-c 2,∴e 2+e -1=0,∴e =215-与题设e =23不符,所以PQ 不垂直x 轴. ⑵PQ ∶y =k (x +c ),P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),∵e =23,∴a 2=34c 2,b 2=31c 2, 所以椭圆方程可化为:3x 2+12y 2-4c 2=0,将PQ 方程代入，得(3+12k 2)x 2+24k 2cx +12k 2c 2-4c 2=0,∴x 1+x 2=2212324kck +-,x 1x 2=2222123412k c c k +- 由|PQ|=920得21k +·2222222123)412(4)12324(k c c k k c k +--+=920① ∵OP ⊥OQ,∴11x y ·22x y = -1即x 1x 2+y 1y 2=0,∴(1+k 2)x 1x 2+k 2c (x 1+x 2)+c 2k 2=0② 把21x x +，21x x 代入，解②得k 2=114，把1142=k 代入①解得c 2=3 ∴a 2=4,b 2=1，则所求椭圆方程为42x +y 2=1.例5. 双曲线3x 2-y 2=1上是否存在关于直线y=2x 对称的两点A 、B?若存在，试求出A 、B 两点的坐标；若不存在，说明理由. 解：设AB ：y=21x+m,代入双曲线方程得11x 2+4mx 4(m 2+1)=0, 这里△=(4m )24×11［4(m 2+1)］=16(2m 2+11)＞0恒成立，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),AB 的中点为M (x 0,y 0),则x 1+x 2=11m 4，∴x 0=112m,y 0=21x 0+m=1112m , 若A 、B 关于直线y =2x 对称，则M 必在直线y=2x 上，∴1112m=114m得m=1，由双曲线的对称性知，直线y=21x 与双曲线的交点的A 、B 必关于直线y=2x 对称. ∴存在A 、B 且求得A (112，111)，B (112，111)例6、求椭圆1322=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值． 解：方法一： 方法二： 设椭圆上的点为()θθsin cos 3，，则距离为263sin 226sin cos 3+⎪⎭⎫⎝⎛-=+-=θπθθd ． 当13sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-θπ时，22=最小值d ．例7、设x ，R ∈y ，x y x 63222=+，求x y x 222++的最大值和最小值．分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程x y x 63222=+与椭圆方程的结构一致．设m x y x =++222，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值．解：由x y x 63222=+，得123492322=+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x可见它表示一个椭圆，其中心在⎪⎭⎫ ⎝⎛023，点，焦点在x 轴上，且过（0，0）点和（3，0）点．设m x y x =++222，则 ()1122+=++m y x它表示一个圆，其圆心为（－1，0）半径为()11->+m m ．当圆过（0，0）点时，半径最小，即11=+m ，此时0=m ；当圆过（3，0）点时，半径最大，即41=+m ，∴15=m ．∴x y x 222++的最小值为0，最大值为15例8、已知椭圆15922=+y x 内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点．求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标；解：(1)如上图，62=a ，)0,2(2F ，22=AF ，设P 是椭圆上任一点，由6221==+a PF PF ，22AF PF PA -≥， ∴26222211-=-=-+≥+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA -=时成立，此时P 、A 、2F 共线由22AF PF PA +≤，∴26222211+=+=++≤+AF a AF PF PF PF PA ， 等号仅当22AF PF PA +=时成立，此时P 、A 、2F 共线．建立A 、2F 的直线方程02=-+y x ，解方程组⎩⎨⎧=+=-+4595,0222y x y x 得两交点 )2141575,2141579(1+-P 、)2141575,2141579(2-+P ． 综上所述，P 点与1P 重合时，1PF PA +取最小值26-，P 点与2P 重合时，2PF PA +取最大值26+例9、设椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A 、B 两点，点C 是AB 的中点，若|AB |＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程． 解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么A 、B 的坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y －1＝0的解．由ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 22＝1，两式相减，得a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，因为y 1－y 2x 1－x 2＝－1， 所以y 1＋y 2x 1＋x 2＝ab， 即2y C 2x C ＝a b ，y C x C ＝a b ＝22，所以b ＝2a .① 再由方程组消去y 得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0， 由|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2(x 1－x 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝22， 得(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4，即(2b a ＋b )2－4·b －1a ＋b＝4.② 由①②解得a ＝13，b ＝23，故所求的椭圆的方程为x 23＋2y23＝1.例10、给定抛物线C ：y 2＝4x ，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，记O 为坐标原点．(1)求OA u u u r ·OB u u u r的值；(2)设AF u u u r ＝λFB u u u r，当△OAB 的面积S ∈[2， 5 ]时，求λ的取值范围．解：(1)根据抛物线的方程可得焦点F (1,0)， 设直线l 的方程为x ＝my ＋1，将其与C 的方程联立，消去x 可得y 2－4my －4＝0. 设A ，B 点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(y 1>0>y 2)， 则y 1y 2＝－4.因为y 21＝4x 1，y 22＝4x 2， 所以x 1x 2＝116y 21y 22＝1，故OA u u u r ·OB u u u r＝x 1x 2＋y 1y 2＝－3.(2)因为AF u u u r ＝λFB u u u r，所以(1－x 1，－y 1)＝λ(x 2－1，y 2)，即⎩⎪⎨⎪⎧1－x 1＝λx 2－λ， ①－y 1＝λy 2， ②又y 21＝4x 1， ③y 22＝4x 2， ④由②③④消去y 1，y 2后，得到x 1＝λ2x 2，将其代入①，注意到λ>0，解得x 2＝1λ.从而可得y 2＝－2λ，y 1＝2λ，故△OAB 的面积S ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝λ＋1λ，因λ＋1λ≥2恒成立，所以只要解λ＋1λ≤5即可，解之得3－52≤λ≤3＋52.例11、已知O 为坐标原点，点A 、B 分别在x 轴，y 轴上运动，且|AB |＝8，动点P 满足APu u u r＝35PB u uu r ，设点P 的轨迹为曲线C ，定点为M (4,0)，直线PM 交曲线C 于另外一点Q .(1)求曲线C 的方程； (2)求△OPQ 面积的最大值．解：(1)设A (a,0)，B (0，b )，P (x ，y )，则AP u u u r ＝(x －a ，y )，PB u u u r＝(－x ，b －y )，∵AP u u u r ＝35PB u u u r ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝－35x ，y ＝35(b －y ).∴a ＝85x ，b ＝83y .又|AB |＝a 2＋b 2＝8，∴x 225＋y 29＝1.∴曲线C 的方程为x 225＋y 29＝1.(2)由(1)可知，M (4,0)为椭圆x 225＋y 29＝1的右焦点，设直线PM 方程为x ＝my ＋4，由⎩⎪⎨⎪⎧x 225＋y 29＝1，x ＝my ＋4，消去x 得(9m 2＋25)y 2＋72my －81＝0，∴|y P －y Q |＝(72m )2＋4×(9m 2＋25)×819m 2＋25 ＝90m 2＋19m 2＋25... . . ∴S △OPQ ＝12|OM ||y P －y Q |＝2×90m 2＋19m 2＋25＝20m 2＋1m 2＋259＝20m 2＋1m 2＋1＋169＝20m 2＋1＋169m 2＋1 ≤2083＝152， 当m 2＋1＝169m 2＋1， 即m ＝±73时，△OPQ 的面积取得最大值为152，此时直线方程为3x ±7y －12＝0.。