用折纸法三等分任意角
尺规作图三等分任意角
尺规作图三等分任意角（0°<α≤180°）黑龙江省巴彦县兴隆镇第二中学谭忠仁邮编：151801电话：150****5590目录关于三等分角的由来 (1)三等分任意角（0°<α≤180°） (2)已知：∠AOB (2)求作：∠AOB的两条三等分射线OC、OD (2)作法： (2)证明： (2)关于三等分角的由来众所周知，三等分角是著名的几何作图三大问题之一（另外两个问题是化圆为方、倍立方体），近两千年来，几十代人为这三大问题绞尽脑汁，希腊人的巧思、阿拉伯人的学识、文艺复兴时期大师们的睿智都曾倾注于此，却均以失败告终。
1837年范兹尔首先证明三等分角与倍立方体不能有限次使用尺规作出。
1895年，克莱因给出三大问题有限次使用尺规作图不可能的简单而清晰的证明，阿基米德在几何学上的造诣是很深的，从他的著作里可以看到他对三等分角问题的研究，他先采用在直尺上标注一个点的方法，然后把一个角三等分，显然，这一方法取消了直尺上无刻度的限制，此外，喜庇亚斯借助割圆曲线、尼克曼得斯借助于蚌线、巴普士借助于双曲线、帕斯卡借助于蚶线，解决了三等分角的问题，但所有这些曲线都不能仅用尺规来完成。
综上所述，尺规作图三等分任意角尚无先例，本人自1971年参加工作后，任初中数学教师，由于专业的需要、兴趣及其爱好，使我涉猎了大量数学方面的资料和相关知识，下决心研究三等分角问题，历尽40年时间，苦心钻研，现终得一法，并且给出了科学、严谨的证明，借此恳请数学专家和导师予以审核、验证，并提出宝贵意见。
注：本文所举资料，请详见《陕西中学数学》1991年第二期谭忠仁2011年5月10日三等分任意角（0°<α≤180°）已知：∠AOB求作：∠AOB的两条三等分射线OC、OD作法：1、以O为圆心，以任意长为半径作⊙O，交射线OA于A，交射线OB于B；2、连结AB，引直径EE1，并且使EE1⊥AB，垂足为H；3、连结BE，以B为圆心，以BE的长为半径画弧，交AB于F；4、连结EF并延长，交⊙O于G1，交BE1的延长线于T；5、以T为圆心，以TB的长为半径画弧，交⊙O于C1，连结TC1，交⊙O 于G；6、在⌒AB上截取⌒BC2，使⌒BC2=2⌒E1G；7、连结BC2，作BC2的垂直平分线T1D2，垂足为H2，交TB于T1，，连结T1 C2；8、作射线TP，在射线TP上依次截取TP1= P1P2= P2P3，连结T1P3，作T2P1∥T1P3，交TT1于T2；9、以T2为圆心，以T2B的长为半径画弧，交⊙O于C，连结T2C，交⊙O 于G2；10、连结BC，作BC的垂直平分线T2D，交⊙O于G3、D，垂足为H3，（T2D 必经过圆心O、必经过等腰三角形T2BC的顶角的顶点T2）；11、作射线OC，则射线OC、OD即为所求作的∠AOB的两条三等分射线。
任意角三等分图1、图2[1]
![任意角三等分图1、图2[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/5e3e8577844769eae109ed6c.png)
第一部分:解说原理(如图1)
一，取任意直线L1、L2，相交于A点，取直线L6线为A角的角平分线
二，在直线L6上取任意点O，以点O为圆心，作O圆，要求与直线L1、L2相切，
三，在直线L2上取任意点D（很有意思的点）, 过点D，作O圆的切线L3，交直线L1于点H
四，连接点D、点O为L4线并两端延长，交L1线为点E，过点E作O圆的切线L8 ，交直线L3于点F,交直线L6为点K 五，连接点F、点O作直线L5，交直线L1于点G（很有意思的点），过点G作O圆的切线L7，交直线L3于点C,
六，连接点C、点O作直线L9, 交直线L8为点J
第二部分“任意角的三等分的尺规作法”(如图2)
一，取大O圆，取直径分别交大O圆于点A、点B，再任取直径分别交大O圆于点C、点D，角AOC为任意角
二，取直线L1为角AOD的角平分线，直线L2为角DOB的角平分线，交大O圆于点E，
三，连接点E、点C为直线，并交直线AB为点G，过点G作直线L2的平行线，交直线L1为点H，连接点C、点H 为直线并延长交直线L2为点K，交大O圆为点J, 连接点J、点O ,则角CJO=六分之一角AOC，角JCE＝12分之一角AOC（图中的黑点)。
立足折纸实验，导向几何本质——以《用正方形纸折30°角》一课为例
立足折纸实验，导向几何本质——以《用正方形纸折30°角》一课为例发布时间：2021-02-04T10:55:50.120Z 来源：《中小学教育》2021年2月1期作者：金晓强[导读]金晓强浙江省嘉兴海宁市丁桥镇初级中学中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982（2021）02-041-02新课标指出，数学教学必须注意从学生的生活情境和感兴趣的事物出发，为他们提供参与的机会，使他们体会到数学就在身边，对数学产生亲切感。
这就要求教师有一双善于发现的眼睛，挖掘身边的数学资源，为学生提供一个有趣的、与自身息息相关的学习内容，使学生在探究、发现的过程中，提升观察力、创造力。
在数学实验中，学生能够学习自己需要的、喜欢的数学，在学中玩，在玩中学，真正体现“学为中心”的理念。
一、问题缘起几何学习是初中数学学习的一大难点，但也是学生热爱数学的一个关键点。
然而现今的数学教育中，应试教育占据绝对主导，课堂上唯解题论、课外唯分数论的现象比比皆是，忽略了学生数学素养的培养，学生真正的能力得不到培养。
有许多学生平时解题能力很强，但在综合性考试中成绩却不尽如人意，原因无非是成为了“解题机器”，不具备相应的数学能力，面对从未谋面的新题型就无从下手。
基于这样的数学现状，笔者通过深入研究《用正方形纸折30°角》这节拓展课，试图从身边的几何入手，教学生一种数学思维、一种解决问题的方法。
二、教学实践这节课是在八年级学习完教材“全等三角形的判定”、“等腰三角形”等知识后，拓展研究的一个课题。
教材内容如下：1.生活中的折纸引入课题。
2.引例：用正方形纸片折30°角的三种方案，其中第一种方案是直接三折，操作时只能通过尝试折叠；第二种方案是先对折，再把一条边折到折痕上；第三种方案是对折后，把另一条边折到折痕中，实质跟方案二无异。
然后分别证明其正确性，篇幅较大。
3.两个关于折叠问题的证明和计算题，与引例没有直接联系。
三等分任意角的折纸作法
三等分任意角的折纸作法
三等分任意角的折纸作法，非常简单。
首先，将一张正方形纸对
角线折叠成两个三角形，并确保折叠线上的交点在纸的中心位置。
然后，将纸的一个边角对齐，使其与折叠线呈现一条直线。
接下来，将
另一个边角对折，并确保其与前一次折叠线的交点重合。
最后一次折
叠时，将纸的边角对折，使其与前两次折叠线的交点重合。
此时，你
会发现纸被折叠成三个相等的角，并且这些角将任意角平分为三等份。
这是一个简单而有趣的几何学折纸技巧。
折纸这是个数学问题
折纸这是个数学问题没有3D打印机怎么办？其实只用一张纸，也能创造大千世界——大家还记得以前大脸兔介绍过的折纸达人刘通吗？区区一张方形纸，不剪不裁不拼贴，却能被他折出万千造型。
他是怎么做到的？如果栗子君说是“算”出来的，你信吗？强大的折纸几何学拆开一件折纸作品，将其还原为一张纸，可以看到纸上布满一条条折痕，构成许多几何图形。
这其中蕴含着大量数学概念和原理，例如你学过的相似、轴对称、点对称、全等、比例，以及将来可能要学的迭代、递归等等。
据说在8世纪中期，阿拉伯人就懂得运用几何知识来折纸，同时他们也用折纸来研究几何问题。
到19世纪，欧洲人也开始将折纸用于数学和科学研究。
折着折着，人们发现，折纸能解决的数学问题比想象的多得多。
在几何作图方面，折纸甚至能甩尺规作图几条街，许多任务，比如作正七边形、三等分任意角、求2的立方根等，尺规作图没法完成的，折纸都能搞定。
至于将一张纸等分成13、15、17……份，对刘通这样的折纸玩家来说，不过是基础的入门技能。
这还不算，还有更猛的——跟刘通同为世界顶级折纸大师的美国大叔罗伯特·朗，竟然开发出两个折纸软件TreeMake和ReferenceFinder。
依靠7條折纸公理，这两个软件可以计算出用户想要的任何造型的折痕展开图，以及正确的折叠顺序！什么公理这么逆天？不用说，它就是咱们今天的教学重点——藤田—羽鸟公理中国人发明的折纸，自隋朝传入日本后就立刻受到热烈追捧，最后还成了日本的国粹。
上世纪70年代，日本人又把眼光投向了折纸中的数理问题，掀起一股经久不衰的研究热潮。
其中影响最深远的成果，大概就是“藤田—羽鸟公理”。
这一组公理共7条，其中6条由日裔意大利数学家藤田文章于1991年提出。
藤田指出了折纸过程中的6种基本操作，用来定义纸张如何折叠。
10年后，另一位数学家羽鸟公士郎又补充了一种操作。
于是这7种操作被合称为“藤田—羽鸟公理”。
经罗伯特·朗证明，它们涵盖了折纸过程中的全部折法。
数学史和数学文化(五)
∴射线 BQ，BT 是∠SBC 的三等分线．
(2)若将图 1 中的点 S 与点 D 重合，重复材料中的操作过程得到图 4，请利用图 4， 直接写出 tan 15°＝ 2－ 3 .(不必化简)
图4
【提示】由(1)可知：射线 BQ，BT 是∠DBC 的三等分线，过点 T 作 TJ⊥BC 于点 J，如解图所
图1
图2
图3
下面是证明 BQ，BT 是∠SBC 三等分线的部分过程：
证明：过点 T 作 TK⊥BC 于点 K，则四边形 EBKT 为矩形． 根据折叠，得 EB＝QT，∠EBT＝∠QTB，BT＝TB， ∴△EBT≌△QTB(SAS)． ∴∠BQT＝∠TEB＝90°. ∴BQ⊥PT. …
学习任务： (1)将剩余部分的证明过程补充完整． 解：剩余的证明过程如下： ∵ME＝PQ，EB＝QT，ME＝EB， ∴PQ＝QT. ∴BP＝BT. ∴∠PBQ＝∠TBQ. ∵TK＝BE，∴TK＝TQ.
正方形 ABCD，则矩形 DCGF 是否为黄金矩形？是，请予以证明；不是，请说明理由． 解：留下的矩形 DCGF 是黄金矩形． 理由如下： ∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB＝DC＝AD．
又∵AABF＝ 52－1， ∴AADF＝ 52－1.
即点 D 是线段 AF 的黄金分割点，FADD＝ 52－1. ∴FCDD＝ 52－1. ∴矩形 DCGF 是黄金矩形．
示，则∠TBJ＝13∠DBC．∵四边形 ABCD 为正方形，∴∠DBC＝45°.∴∠TBJ＝15°.由折叠性质，
得 BH＝HT，∴∠TBJ＝∠HTB＝15°.∴∠THJ＝30°.设 BC＝4，则 BE＝1.∵将正方形 ABCD 对 折，折痕记为 MN，再将矩形 MBCN 对折，折痕记为 EF，TJ⊥BC，∴四边形 EBJT 为矩形．∴TJ ＝BE＝1.在 Rt△THJ 中，∠THJ＝30°，∴HT＝2TJ＝2，HJ＝cos 30°·HT＝ 23×2＝ 3.∴BJ ＝BH＋HJ＝HT＋HJ＝2＋ 3，tan∠TBJ＝BTJJ＝2＋1 3＝2－ 3.即 tan 15°＝2－ 3.
用折纸法三等分任意角
用折纸法三等分任意角
唐亮
【期刊名称】《数学教学通讯：教师阅读》
【年(卷),期】1995(000)002
【摘要】“折纸”不是尺规作图,中学生去搞“三等分角”不足为训,但方法简单有趣,故予介绍.
【总页数】1页(P41-41)
【作者】唐亮
【作者单位】江北县广厦中学95级二班 631120
【正文语种】中文
【中图分类】G634.6
【相关文献】
1.尺规作图三等分一个给定的任意角 [J], 吴兴建
2.小精灵三等分任意角 [J], 鹤侠
3.三等分任意角挑战世界 [J], 方和生; 方祖旺
4.三等分任意角探究 [J], 岳斌
5.三等分任意角的作法探讨 [J], 蔡长青
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第1部分 第5章 数学文化和数学史(五)
根据上述叙述完成下题： (1)若MN＝4. ①图3中AB＝ 2 5 ； ②图4中的黄金矩形为 BCDE ．
【提示】①由折叠，得BF＝12BM＝12MN＝2，在Rt△ABF中，AF＝MN＝4，∴AB
＝
AF2＋BF2 ＝2
5 .②∵AD＝AB＝2
5 ，∴CD＝AD－AC＝2(
5
－1)．∴
CD BC
＝
∵AQ⊥BD， ∴OA＝OQ. ∴四边形ADQB是平行四边形．
∵AB＝AD，
∴四边形ADQB是菱形．
∴AB＝BQ＝a. 根据勾股定理，得AB2＝BF2＋AF2， ∴a2＝BF2＋(2BF)2.
∴BF＝ 55a.
∴FQ＝BF＋BQ＝
55a＋a＝1＋
55a，AF＝2BF＝2
5
5 a.
根据勾股定理，得AQ2＝FQ2＋AF2＝1＋ 55a2＋2 5 5a2＝25＋5 5a2. ∵AQ·BD＝c， ∴BD＝AcQ. ∵AQ＋BD＝b， ∴AQ＋AcQ＝b. ∴AQ2＋AcQ2 2＝b2－2c.
最佳的视觉美感，都采取了黄金矩形的设计，如：古希腊时期的巴特农神庙、法国的
巴黎圣母院、名画《蒙娜丽莎》外相框等．某数学兴趣小组通过下列操作得到黄金矩
形，将一矩形纸片按图1－图4方式折叠：
图1
图2
图3
图4
第一步：在矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线AB，并将AB折到图3中所示的AD处； 第四步：展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DE⊥ND，则图4中就会出现黄金 矩形．
解：留下的矩形DCGF是黄金矩形．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
优质文档尺规作图三等分随便率性角和结构正十七边形
[优质文档]尺规作图三等分随便率性角和结构正十七边形尺规作图三等分任意和构造正十七边形饶剑明摘要:将角的等分问题转化为线段的等分问题，从而实现尺规作图的任意等分任意角。
对线段的任意等分是很容易做到的，就是根据平行线间线段对应成比例。
只要将角的等分转换成线段的段分问题就自然解决了，我们知道，角和线的关系在圆中可以实现，在一个圆中等角对应的弦长相等。
从而实现角的三等分和正十七边形的尺规作法。
关键词:三等分角平分线圆弧正十七边形一、任意角的三等分,，作角的平分线。
半径为的圆弧，所对的弦长为设角为,,a2,Ma,2sin 14,角所对的弦长 4,Ma,2sin 28,角所对的弦长为 3,Ma,2sin。
3642MMM,, 2313342,sin,,,MMM,,由于当很小时有，即有。
231332,,4,sin()sin()sin()当取不同值时，和的近似值如下: ,346381111可以看出利用会比更为精确，但在操作上会更为方便。
从数据上可以看出，锐角用4222,1就足够用了，在操作上也得到同样的结果。
但角度大于是就最好使用了。
由于尺规作42图本身在操作上就存在误差，所以这样的误差是允许的。
利用几何画板完全按尺规作图的步42MM,骤可以看到当角为锐角时有，即两个点完全重合。
2133操作步骤如下:1. 对角平分 ,1,2. 取上作图时角所对的弦长2AB3. 对线段AB三等分24.取线段AB的长线段AC 34. 以线段AB为半径，在圆弧等分 AB这样就对弧进行了三等分，标记三等分点，然后与顶点O连接就对角三等分了。
,除去多余的痕迹用这样的方法可以对任意角任意等分。
当角为锐角就一次性完成了操作。
,4,asin()当角是钝角是，就要用四分角去作图了，且从理论上要比稍微少一点，尤其,38是当接近平角时。
当角大于,时，就平分其补角然后反向延长。
,,24MM当一次实现不了的时候可以在和之间取值，每次折中而逼近，一般最多在两到1233三个循环操作能完成。
折三等分的方法-概述说明以及解释
折三等分的方法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在日常生活和工作中，我们经常会遇到需要将一段线段等分成三等分的情况，例如在制作手工艺品、建筑设计或数学问题中。
因此，掌握折三等分的方法具有重要的实用意义。
本文将介绍传统方法、利用几何原理的方法和数学推导的方法三种折三等分的方法，帮助读者更好地理解和掌握这一技巧。
通过深入探讨这三种方法，不仅可以拓展我们的思维视野，还可以应用到实际生活和工作中，提高工作效率和解决问题的能力。
1.2 文章结构本文将分为三个部分来讨论折三等分的方法。
首先，我们将介绍传统的折叠方法，即如何通过简单的折叠方式将一段线段折成三等分。
然后，我们将探讨利用几何原理的方法，通过一定的几何知识来实现折三等分。
最后，我们将介绍数学推导的方法，通过数学计算来实现折三等分。
通过这三个部分的介绍，读者将了解到不同的折三等分方法，并能够根据自己的需求选择合适的方法来实现折三等分。
1.3 目的:本文的目的是探讨如何将一条线段折成三等分的方法，通过对传统方法、利用几何原理的方法和数学推导的方法进行对比和分析，希望能够提供读者多种方式来解决这一常见问题。
同时，通过深入研究折三等分的方法，可以帮助读者更加深入理解几何学和数学知识，并在实际生活中应用这些知识。
最终，希望读者能够通过本文对折三等分的方法有一个全面的了解，为解决类似问题提供更多思路和方法。
2.正文2.1 传统方法：在传统方法中，折三等分一条线段的常用方法是使用折纸的方式。
具体步骤如下：1. 在一张纸上画一条边长为a的线段，表示被折叠的线段。
2. 将纸对折，确保线段的一个端点与折痕上的交点对齐。
3. 从线段的另一个端点开始，利用折纸的方式将线段依次三等分。
4. 展开纸，即可得到线段被三等分的点的位置。
这种传统方法比较简单易懂，但是需要纸张和尺子等辅助工具，操作相对繁琐。
在实际应用中，为了更精确地进行三等分，还可以借助工具如尺规等几何仪器来帮助完成操作。
关于三等分任意角的方法探究
三等分任意角的方法探究西工大附中孙开锋三等分任意角的方法探究摘要：三等分角是古希腊几何三大作图问题之一，本文关键词：只准用直角和圆规，你能将一个任意的角进行两等分吗？这可太简单了，几千前的数学家们就会做。
纸上任意画一个角，以其顶点O为圆心，任意选一个长度为半径画弧，找出弧与角的两边的交点，分别命名为A和B。
然后分别以A点和B点为圆心，以同一个半径画弧，这个半径要大于A、B之间距离的一半。
找出两段弧的相交点C，用直尺把O和C连接起来，那么直线OC就将角AOB平分成了两部分。
用同样的方法，我们可以把一个角任意分成4等分、8等分、16等分……，也就是说，只要你有耐心，可以把任意一个角等分为2的任意次方。
但是，如果只用直尺和圆规，并且，这直尺还不能有刻度，你能将任意一个角三等分吗？早在公元前5世纪，古希腊的巧辩学派就提出了在只用直尺画直线、圆规画弧的限定下，将任意给定的角三等分的命题。
很多伟大的数学家如阿基米德、笛卡儿、牛顿等都试图拿起直尺和圆规挑战自己的智力，但终于都以失败告终。
直至公元1837年，法国数学家闻脱兹尔宣布：“只准使用直尺与圆规，想三等分一个任意角是不可能的！”, 才暂时了结了这宗长达几千年的数学悬案。
但是，如果没有几何作图法的限制，任意角三等分问题当然可以解决，不妨举几个例子以共享。
一、利用工具三等分任意角如图1所示，叫做“三等分仪”吧 ，CE=EG=DG,ME ⊥CD,弧ED 是以G 为圆心的半圆，故ME 与半圆G 相切于点E.具体操作：将该仪器置于 ∠AOB 的内部，使得点C 落在OA 上，ME 经过点O,半圆G 与OB 相切于点F,则OE,OG 为∠AOB 的三等分线。
数理证明：分别连接OG,GF,故GF ⊥OB,而EG ⊥OE,所以易证：△GOE ≌△GOF;同理可证△GOE ≌△COE;故可得到：∠COE=∠GOE=∠FOG.所以，OE 、OG 为∠AOB 的三等分线。
二、中考中的三等分角题目：（广东佛山市）三等分一任意角是数学史上一个著名的问题，用尺规不可能“三等分一任意角”。
2010年萧山区中考数学试卷
2010年萧山区中考数学试卷（出卷人：沈利红）（本试卷满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）1.据河北电视台报道，截止到2008年5月21日，河北慈善总会已接受支援汶川地震灾区的捐款15 510 000元．将15 510 000用科学记数法表示为 ( ) A. 8101551.0⨯ B. 4101551⨯ C.710551.1⨯ D.61051.15⨯2.某反比例函数的图象经过点(-2,3)，则此函数图象也经过点 （ ） A ．(2,-3) B ．(-3,-3) C ．（2，3） D ．（-4，6）3.已知等腰三角形的一个内角为040，则这个等腰三角形的顶角为 （ ） A.040 B.0100 C.040或0100 D.070或0504.使分式12-x x 有意义的，x 的取值范围是 （ ）A.21≥x B.21≤x C.21≠x D.21>x5.已知ABC ∆和'''C B A ∆是位似图形。
'''C B A ∆的面积为6cm 2,周长是ABC ∆的一半。
AB=8cm,则AB 边上高等于 （ ） A.3cm B.6cm C.9cm D.12cm6.下列成语所描述的事件是必然发生的是 ( )A. 水中捞月B. 拔苗助长C. 守株待免D. 瓮中捉鳖 7.如图，是等边三角形的外接圆，的半径为2，则等边三角形的边 长为 （ ） A. 3 B. 5 C. 32 D. 528.“祝福北京”“祝福奥运”是每个中国人良好的心愿。
亮亮、兵兵和君君三个同学都有一套外形完全相同。
背面分别写有“祝福”“北京”“奥运”字样的三张卡片。
他们分别从自己的一套卡片中随机抽取一张，抽取的三张卡片中含有“祝福”“北京”“奥运”的概率是 （ ）A.271B.91C.92D.319.在平面直角坐标系中，已知点A （-4，0），B （2，0），若点C 在一次函数221+-=x y 的图象上，且△ABC 为直角三角形，则满足条件的点C 有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个10. 如图，正方形A B C D 中，E 是B C 边上一点，以E 为圆心、E C 为半径的半圆与以A 为圆心，AB 为半径的圆弧外切，则sin E A B ∠的值为 （ ）（第7题） A B C OA.34B.43C.54D.53二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分） 11.已知一次函数的图象过点(0,3)与(2,1)，则这个一次函数y 随x 的增大而________ .12.若9)1(2=+xx ，则2)1(xx -的值为___________.13.如图，将正方形纸片ABCD 分别沿AE 、BF 折叠（点E 、F 是边CD 上两点），使点C 与D 在形内重合于点P 处，则EPF ∠______________度.14.如图，在数轴上点A 和点B 之间的整数是 ．15.如图，点A 1，A 2，A 3，A 4在射线OA 上，点B 1，B 2，B 3在射线OB 上，且A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，A 2B 1∥A 3B 2∥A 4B 3．若△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为____________．16.将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，……如此继续下去，结果如下表： 所剪次数 1 2 3 4 … n 正三角形个数471013…a n则a n =________________（用含n 的代数式表示）.三、解答题（本题有8个小题，共66分）17.(6分)先化简，再求值：（2a+1）2-2(2a+1)+3，其中a=218.（6分）解方程01222=--+x x x（第10题）PFE DCB A 第14题AB 7 2（第15题图）O A 1 A 2 A 3 A 4 ABB 1 B 2 B 31431%25% 12% 满意一般 不满意 非常满意 非常不满意 10%80 100 25 37 2380 02040 60 类别非常满意 满意一般 不满意非 常不满意 “小绿化情况”统计区图 “违章搭建情况”统计图频数（户）22% 19.（6分）如图，方格纸中有三个点A ，B ，C ，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上． （1）在图甲中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形； （2）在图乙中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形； （3）在图丙中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形． （注：图甲、图乙、图丙在答题纸上）20.（8分）小明与小丽利用暑假对他们家所在阳光社区的居民进行了“居民生活小区环境满意度”的问卷调查，他们在该社区随机抽取了200户居民，对“小区绿化情况”与“违章搭建情况”两项作了调查，根据统计数据将“小区绿化情况”与“违章搭建情况”分别绘制成了下面扇形统计图与条形统计图.（1）请将“违章搭建情况”条形统计图补完整；（2）问在对“小区绿化情况”的调查反馈中回答“非常满意”的居民有多少户？ （3）若整个阳光社区共有居民3600户，根据上述统计数据，请你估计整个阳光社区有多少户居民对“违章搭建情况”不满意或非常不满意？（第19题图） A B C21.（8分）某酒店的客房有标准三人房，收费标准为每天每套150元；标准双人房，每天每套140元。
正方形边上三等分点的一种新折法及其拓展探究
为 ＧＨ、Ｍ Ⅳ，如图 １所示；
ＡＢ 的交点 Ｋ．为 了探 求 Ｋ 在 ＡＢ 上的位 置，同样 ，我 们将
长方形 ＡＢＣＤ 的中心 ０ 分别与 ＡＢ 边上 中点 Ｐ、ＢＣ 边上
获折澌
中点 Ｆ 进行 连 接，得到 了小长 方形 ＯＰＢＦ，其 中 ＢＰ ＝ ａ， ＯＰ ：ｋａ（如 图 ４所示）．由于在小长方形 ＯＰＢＦ 中，该折法 的折叠过 程与芳贺第二定 理的折叠过程一 致，故直接 运用文 【１】中 ‘‘芳贺第 二定理 在一般 长方形 中的拓 展探究”的结论 ，
果 ．
２一 种新 的折 正方 形 边上 三等分 点 的折 法
３该 折 法在 一般 长方 形 中的拓展 探 究
操 作 １ 在正 方形 ＡＢＣＤ 中，将 Ｄ 与 ＡＢ 重合 对折，
设长 方形 ＡＢＣＤ 的边 ＡＢ ＝２ａ，ＡＤ ＝ ２ｋａ．对长方形
折痕 为 ＥＦ；再将 ＡＢ、ＣＤ 分别 与 ＥＦ 重合对折 ，折 痕分别 ＡＢＣＤ 运用该 折 法进 行折 叠，得 到 ＣＨ 的对 应边 Ｃ Ｈ 与
＝ ， 可得 ＝、／詈，即当长方形的长是宽的、／ 倍时，
易知 Ｍ 日 过正 方形 中心 Ｄ． 令 Ａ日 边 中点 为 Ｐ，连 接 ＤＰ、 ｏＫ、ｏＦ．并作 ｏＳＬＫＨ交 ＫＨ 于点 （如图 ３所示）．令 大正方形 ＡＢＣＤ 边 长 为 ２ａ，则 小 正 方形 ｏＰＢＦ边 长为 ａ，ＢＨ ＝ ＨＦ ＝
２０１８年第 ２期 （下）
中 学数 学研 究
２５
正方形边上三等分点 的一种新折 法及 其拓展探 究
上海 师范大 学 （２００２３４） 沈越
１前 言 在折纸数理 学中，芳 贺的三个定理展 示了三种在正 方形
的边上 折三等 分点 的方法．笔者通 过观察发 现。这三种 折法
青岛版初中数学七年级下册知识拓展：用折纸法三等分任意角
青岛版初中数学
重点知识精选
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用折纸法三等分任意角
在《三分角问题》一文中，我们已证明过，利用尺规作图是不能三等分任意角的．但是，利用折纸法是可以三等分任意角的．其步骤是：
（1）在一个正方形纸片上折出给出的角∠PBC，将ABCD对折记折痕为EF；再将EBCF对折，折痕为GH（如图（1））；
（2）翻折左下角使B重合在GH上记为B′，且使E重合BP上记为E′，点G折后的点记为G′，折痕记为XY（见图（2））；
（3）折B、G’和B、B’，则BB’、BG’为∠PBC的三等分线（见下图（3））．
相信自己，就能走向成功的第一步
教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。
数学思维可以让他们更理性地看待人生。
将一张长方形的纸对折
将一张长方形的纸对折各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢正方形折纸一边三等分方法的探究上海中学数学・２０１４年第１２期正方形折纸一边三等分方法的探究２００２３４上海师范大学数理学院陆新生折纸是一种许多人熟悉的活动，在幼儿园，教师就会经常教孩子们折各种东西．但笔者讨论的不是如何折某个物体，而是折纸一边的三等分折法．将折纸的一边二等分、四等分都是比较容易做到的，也容易得出理论上的精确折法，但将一边三等分就不那么容易了，通常人们会先将纸卷起，形成三层，再慢慢调整，当认为调整到位时，将纸折平，这样就能将纸的一边三等分，但这种方法是近似的、不精确的．近些年，经过许多人的努力，已经找到了多种将正方形折纸一边三等分的精确折法，最有名的是由日本学者芳贺和夫发现的三种折法，现在被学界称之为芳贺折纸三定理．笔者讨论各种三等分折法，分析其教育价值．１芳贺折纸三定理１．１第一定理芳贺折纸第一定理的主要内容：如图１，Ｅ为正方形折纸ＡＢＣＤ一边ＡＢ的中点，将纸的右下角向上翻折，使点Ｃ与点Ｅ重合并将纸折平，底边ＣＤ翻折至Ｅｊ的位置与折纸左边相交于点Ｈ，则Ｈ为ＡＤ的三等分点，即ＡＨ：ＨＤ一！：１不妨设ＢＡ—ＢＣ一１，Ｌ—姜一ＢＦ—ａ，则ＢＥ一１／２，Ｅ‘Ｆ＼一ＦＣ＝１一ａ．由勾股定理１ｇ＼、、２／？Ｆ得ｎ２＋ｆ寺１一２．＼厶，Ｊ，／７１ｔ，７，７解之得口一３／８，ＥＦ—ＣＦ，“—５／８．’ｆｊ川一利用△ＡＨＥ、△ＢＥＦ与△ＪＨＧ的相似关系可以一…一一…一“－４｝｜ｌ，、求得ＡＨ＝２／３．当然也可以方便地求得ＥＨ一５／６，Ｈｊ一１／６，ＧＪ一１／８．ＨＧ一５／２４．１．２第二定理芳贺折纸第二定理的主要内容：如图２，Ｅ为正方形折纸ＡＢＣＤ一边ＡＤ的中点，沿连接Ｂ、Ｅ两点的直线将折纸翻折，点Ａ翻折至Ｆ点，若ＥＦ的延长线交ＣＤ边于Ｇ点，则ＤＧ：ＧＣ一２：１，即Ｇ为ＣＤ的一个三等分点．用千篇一律的方式加以巩固，不仅学生容易生厌，同时也会由于问题处在同一层次，无法激发学生进一步探究的热情．不同的知识之间有时具有某种共性，通过合情推理中的类比手段，可以打开学生设计问题的思路．从活动ｌ的问题开放，到活动２的条件、结论全开放，一步一步解放学生的思维，帮助学生体会设计问题的乐趣，提高学生的学习兴趣．平行四边形的边和角是两种不同的元素，类比“边”，设计有关“角”的问题，激发了学生的思维广度．２．３猜想可能结论，设计问题合情推理的核心是猜想，但是猜想不是空想，它必须建立在确定的事实基础之上，结合与之相关的定理知识，作出合乎情理的判断．因此，它是有本之木，不是无源之水．活动３第问在简单图形中增加一条线段，图形的变化，导致新结论的出现，从而顺理成章地引发学生的猜想，同时实现了从计算题到证明题的自然过渡．第问再从证明题到计算题，使得学生对几何中的两种常见题型有了全面的了解，拓宽了知识的应用模式．２．４动手实验操作。
简单三角形折法
简单三角形折法三角形是几何学中最基本的形状之一，也是我们生活中最常见的形状之一。
在我们的日常生活中，三角形无处不在，例如红绿灯的信号灯、路牌等等。
然而，折纸也是我们日常生活中的一种娱乐方式，而三角形也是折纸中最常用的形状之一。
在本文中，我们将介绍几种简单的三角形折法。
一、等边三角形的折法等边三角形是指三条边长度相等的三角形。
在折纸中，我们可以通过简单的折叠方法来制作一个等边三角形。
步骤如下：1.将一张正方形折成两个等分的三角形。
2.将三角形的一个角向下折叠，使其与底边平行。
3.将三角形的另一个角向上折叠，使其与底边平行。
4.将三角形的另一个角向下折叠，使其与底边平行。
5.将折叠好的三角形展开，就可以得到一个等边三角形了。
二、直角三角形的折法直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。
在折纸中，我们可以通过简单的折叠方法来制作一个直角三角形。
步骤如下：1.将一张正方形折成两个等分的三角形。
2.将三角形的一个角向下折叠，使其与底边平行。
3.将三角形的另一个角向上折叠，使其与底边平行。
4.将三角形的底边向上折叠，使其与另外两条边垂直。
5.将折叠好的三角形展开，就可以得到一个直角三角形了。
三、等腰三角形的折法等腰三角形是指两条边长度相等的三角形。
在折纸中，我们可以通过简单的折叠方法来制作一个等腰三角形。
步骤如下：1.将一张正方形折成两个等分的三角形。
2.将三角形的一个角向下折叠，使其与底边平行。
3.将三角形的另一个角向上折叠，使其与底边平行。
4.将三角形的底边向上折叠，使其与另外两条边垂直。
5.将三角形的两个角向内折叠，使其相遇。
6.将折叠好的三角形展开，就可以得到一个等腰三角形了。
通过以上三种简单的三角形折法，我们可以轻松制作出各种各样的三角形，从而增加我们的折纸技能。