把握非线性回归问题
《非线性回归分析》课件
封装式
• 基于模型的错误率和复 杂性进行特征选择。
• 常用的封装方法包括递 归特征消除法和遗传算 法等。
嵌入式
• 特征选择和模型训练同 时进行。
• 与算法结合在一起的特 征选择方法，例如正则 化（Lasso、Ridge）。
数据处理方法：缺失值填充、异常值 处理等
1
网格搜索
通过预定义的参数空间中的方格进行搜
随机搜索
2
索。
在预定义的参数空间中进行随机搜索。
3
贝叶斯调参
使用贝叶斯优化方法对超参数进行优化。
集成学习在非线性回归中的应用
集成学习是一种将若干个基学习器集成在一起以获得更好分类效果的方法，也可以用于非线性回归建模中。
1 堆叠
使用多层模型来组成一个 超级学习器，每个模型继 承前一模型的输出做为自 己的输入。
不可避免地存在数据缺失、异常值等问题，需要使用相应的方法对其进行处理。这是非线性回归 分析中至关重要的一环。
1 缺失值填充
常见的方法包括插值法、代入法和主成分分析等。
2 异常值处理
常见的方法包括删除、截尾、平滑等。
3 特征缩放和标准化
为了提高模型的计算速度和准确性，需要对特征进行缩放和标准化。
偏差-方差平衡与模型复杂度
一种广泛用于图像识别和计算机 视觉领域的神经网络。
循环神经网络
一种用于处理序列数据的神经网 络，如自然语言处理。
sklearn库在非线性回归中的应用
scikit-learn是Python中最受欢迎的机器学习库之一，可以用于非线性回归的建模、评估和调参。
1 模型建立
scikit-learn提供各种非线 性回归算法的实现，如 KNN回归、决策树回归和 支持向量机回归等。
高考总复习二轮数学精品课件 专题4 概率与统计 培优拓展(七) 非线性回归问题
0.778
(2 )
(2 )(|2 )
0.2×0.8
P(A2|C)=
=
=
,
()
()
0.778
(3 )
(3 )(|3 )
0.6×0.75
P(A3|C)= () =
= 0.778 ,
()
因为 0.6×0.75>0.2×0.84>0.2×0.8,
所以可判断该航班飞往其他地区的可能性最大.
率的估计值分别为80%和75%,试解决以下问题:
①现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个,求该航班准点放行的
概率;
②若2023年某航班在该机场准点放行,判断该航班飞往A地、B地、其他
地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大,说明你的理由.
附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回归直线 v=α+βu 的斜率和截距
指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节,运行效率不
断提升.以下是根据近10年年份数xi与该机场飞往A地航班放行准点率
yi(i=1,2,…,10)(单位:%)的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到
的一些统计量的值.
x
y
2017.5
80.4
10
∑
t
1.5
其中 ti=ln(xi-2012), =
147.700
^
= − ≈-3.849,
=1
^
所以 w 关于 x 的经验回归方程为=-3.849+0.272x,
^
因此 y 关于 x 的非线性经验回归方程为 =e-3.849+0.272x.
本 课 结 束
最新高考数学复习点拨-非线性回归问题
非线性回归问题两个变量不呈线性关系，不能直接利用线性回归方程建立两个变量的关系，可以通过变换的方法转化为线性回归模型。
分析非线性回归问题的具体做法是： （1）若问题中已给出经验公式，这时可以将变量x 进行置换（换元），将变量的非线性关系转化为线性关系，将问题化为线性回归分析问题来解决．（2）若问题中没有给出经验公式，需要我们画出已知数据的散点图，通过与各种已知函数（如指数函数、对数函数、幂函数等）的图象作比较，选择一种与这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量置换，将问题化为线性回归分析问题来解决． 下面举例说明非线性回归分析问题的解法．例1 在彩色显影中，由经验可知：形成染料光学密度y 与析出银的光学密度x 由公式e bxy A =（b <0）表示，现测得实验数据如下：试求对的回归方程．分析：该例是一个非线性回归分析问题，由于题目中已给定了要求的曲线为ebxy A =（b <0）类型，我们只要通过所给的11对样本数据求出A 和b ，即可确定x 与y 的相关关系的曲线方程．解：由题意可知，对于给定的公式e bxy A =（b <0）两边取自然对数，得ln ln b y A x=+． 与线性回归方程对照可以看出，只要取1u x=，ln v y =，ln a A =，就有v a bu =+，这是v 对u 的线性回归直线方程，对此我们再套用相关性检验，求回归系数b 和a ． 题目中所给数据由变量置换1u =，ln v y =变为如表所示的数据：由于｜r ｜=0.998>0.602，可知u 与v 具有很强的线性相关关系． 再求得0.146b =-，0.548a =，∴v =0.5480.146u -，把u 和v 置换回来可得0.146ln 0.548y x=-， ∴0.1460.1460.1460.5480.548e1.73xxxy eee---===，∴回归曲线方程为0.1461.73exy -=．点评：解决本题的思路是通过适当的变量置换把非线性回归方程转化为线性回归方程，然后再套用线性回归分析的解题步骤．（2）求出y 对x 的回归方程． 解析：（1）作出散点图如图1所示．（2）由散点图看出样本点分布在一条指数型曲线e bxy c =（c ＞0）的周围，则ln ln y bx c =+．令ln ln z y a c ==，，则z bx a =+．相应的散点图如图2． 从图2可以看出，变换后的样本点分布在一条直线附近，因此可以用线性回归方程来拟合．由表中数据得到线性回归方程为0.69 1.115z x =+．因此 细菌的繁殖个数对温度的非线性回归方程为0.69 1.115e x y +=．点评：通过作散点图看出，本题是一个非线性回归问题，通过变量置换转化为线性回归问题求解的．值得注意的是，本题的数据与回归曲线是拟合得相当好的，这表明确定性关系（如公式、函数关系式）和相关关系之间并没有一条不可逾越的鸿沟．由于有实验误差、测量误差等存在，变量之间的确定性关系往往通过相关关系表现出来；反过来，在有些问题中，可以研究相关关系来深入了解变量变化的内在规律，从而找到它们的确定性关系．。
非线性回归分析的入门知识
非线性回归分析的入门知识在统计学和机器学习领域，回归分析是一种重要的数据分析方法，用于研究自变量和因变量之间的关系。
在实际问题中，很多情况下自变量和因变量之间的关系并不是简单的线性关系，而是呈现出一种复杂的非线性关系。
因此，非线性回归分析就应运而生，用于描述和预测这种非线性关系。
本文将介绍非线性回归分析的入门知识，包括非线性回归模型的基本概念、常见的非线性回归模型以及参数估计方法等内容。
一、非线性回归模型的基本概念在回归分析中，线性回归模型是最简单和最常用的模型之一，其数学表达式为：$$Y = \beta_0 + \beta_1X_1 + \beta_2X_2 + ... + \beta_pX_p +\varepsilon$$其中，$Y$表示因变量，$X_1, X_2, ..., X_p$表示自变量，$\beta_0, \beta_1, \beta_2, ..., \beta_p$表示模型的参数，$\varepsilon$表示误差项。
线性回归模型的关键特点是因变量$Y$与自变量$X$之间呈线性关系。
而非线性回归模型则允许因变量$Y$与自变量$X$之间呈现非线性关系，其数学表达式可以是各种形式的非线性函数，例如指数函数、对数函数、多项式函数等。
一般来说，非线性回归模型可以表示为：$$Y = f(X, \beta) + \varepsilon$$其中，$f(X, \beta)$表示非线性函数，$\beta$表示模型的参数。
非线性回归模型的关键在于确定合适的非线性函数形式$f(X,\beta)$以及估计参数$\beta$。
二、常见的非线性回归模型1. 多项式回归模型多项式回归模型是一种简单且常见的非线性回归模型，其形式为： $$Y = \beta_0 + \beta_1X + \beta_2X^2 + ... + \beta_nX^n +\varepsilon$$其中，$X^2, X^3, ..., X^n$表示自变量$X$的高次项，$\beta_0, \beta_1, \beta_2, ..., \beta_n$表示模型的参数。
非线性回归
非线性回归一、可化为线性回归的曲线回归在实际问题当中，有许多回归模型的被解释变量y 与解释变量x 之间的关系都不是线性的，其中一些回归模型通过对自变量或因变量的函数变换可以转化为线性关系，利用线性回归求解未知参数，并作回归诊断。
如下列模型。
εββ++=x e y 10-------（1） εββββ+++++=p p x x x y 2210--------（2）εe ae y bx =--------------------（3） ε+=bx ae y -------------（4）对于（1）式，只需令x e x ='即可化为y 对x '是线性的形式εββ+'+=x y 10，需要指出的是，新引进的自变量只能依赖于原始变量，而不能与未知参数有关。
对于（2）式，可以令1x =x ,2x =2x ,…, p x =p x ,于是得到y 关于1x ,2x ,…, p x 的线性表达式εββββ+++++=p p x x x y 22110对与（3）式，对等式两边同时去自然数对数，得ε++=bx a y ln ln ,令 y y ln =',a ln 0=β,b =1β，于是得到y '关于x 的一元线性回归模型： εββ++='x y 10。
对于（4）式，当b 未知时，不能通过对等式两边同时取自然数对数的方法将回归模型线性化，只能用非线性最小二乘方法求解。
回归模型（3）可以线性化，而（4）不可以线性化，两个回归模型有相同的回归函数bx ae ，只是误差项ε的形式不同。
（3）式的误差项称为乘性误差项，（4）式的误差项称为加性误差项。
因而一个非线性回归模型是否可以线性化，不仅与回归函数的形式有关，而且与误差项的形式有关，误差项的形式还可以有其他多种形式。
乘性误差项模型和加性误差项模型所得的结果有一定差异，其中乘性误差项模型认为t y 本身是异方差的，而t y ln 是等方差的。
非线性回归 方法
非线性回归方法非线性回归是机器学习中的一种重要方法，用于建立输入和输出之间的非线性关系模型。
线性回归假设输入和输出之间存在线性关系，而非线性回归则允许更复杂的模型形式，可以更好地适应现实世界中的复杂数据。
下面将介绍几种常见的非线性回归方法，并说明它们的原理、应用场景和优缺点。
1. 多项式回归多项式回归通过引入高次多项式来拟合数据。
例如，在一元情况下，一阶多项式即为线性回归，二阶多项式即为二次曲线拟合，三阶多项式即为三次曲线拟合，依此类推。
多项式回归在数据不规则变化的情况下能够提供相对灵活的拟合能力，但随着多项式次数的增加，模型的复杂度也会增加，容易出现过拟合问题。
2. 非参数回归非参数回归方法直接从数据中学习模型的形式，并不对模型的形式做出先验假设。
常见的非参数回归方法包括局部加权回归（LWLR）、核回归（Kernel Regression）等。
局部加权回归通过给予离目标点较近的样本更大的权重来进行回归，从而更注重对于特定区域的拟合能力。
核回归使用核函数对每个样本进行加权，相当于在每个样本周围放置一个核函数，并将它们叠加起来作为最终的拟合函数。
非参数回归方法的优点是具有较强的灵活性，可以适应各种不同形状的数据分布，但计算复杂度较高。
3. 支持向量回归（SVR）支持向量回归是一种基于支持向量机的非线性回归方法。
它通过寻找一个超平面，使得样本点离该超平面的距离最小，并且在一定的松弛度下允许一些样本点离超平面的距离在一定范围内。
SVR通过引入核函数，能够有效地处理高维特征空间和非线性关系。
SVR的优点是对异常点的鲁棒性较好，并且可以很好地处理小样本问题，但在处理大规模数据集时计算开销较大。
4. 决策树回归决策树回归使用决策树来进行回归问题的建模。
决策树将输入空间划分为多个子空间，并在每个子空间上拟合一个线性模型。
决策树能够处理离散特征和连续特征，并且对异常点相对较鲁棒。
决策树回归的缺点是容易过拟合，因此需要采取剪枝等策略进行降低模型复杂度。
《非线性回归》课件
灵活性高
非线性回归模型形式多样，可以根据 实际数据和问题选择合适的模型，能 够更好地适应数据变化。
解释性强
非线性回归模型可以提供直观和易于 理解的解释结果，有助于更好地理解 数据和现象。
预测准确
非线性回归模型在某些情况下可以提 供更准确的预测结果，尤其是在数据 存在非线性关系的情况下。
缺点
模型选择主观性
势。
政策制定依据
政府和决策者可以利用非线性回归模型来评估不同政策方案的影响，从而制定更符合实 际情况的政策。例如，通过分析税收政策和经济增长之间的关系，可以制定更合理的税
收政策。
生物学领域
生态学研究
在生态学研究中，非线性回归模型被广 泛应用于分析物种数量变化、种群动态 和生态系统稳定性等方面。通过建立非 线性回归模型，可以揭示生态系统中物 种之间的相互作用和环境因素对种群变 化的影响。
模型诊断与检验
诊断图
通过绘制诊断图，可以直观地观察模型是否满足回归分析的假设条件，如线性关系、误差同方差性等 。
显著性检验
通过显著性检验，如F检验、t检验等，可以检验模型中各个参数的显著性水平，从而判断模型是否具 有统计意义。
04
非线性回归在实践中的应用
经济学领域
描述经济现象
非线性回归模型可以用来描述和解释经济现象，例如消费行为、投资回报、经济增长等 。通过建立非线性回归模型，可以分析影响经济指标的各种因素，并预测未来的发展趋
VS
生物医学研究
在生物医学研究中，非线性回归模型被用 于分析药物疗效、疾病传播和生理过程等 方面。例如，通过分析药物浓度与治疗效 果之间的关系，可以制定更有效的治疗方 案。
医学领域
流行病学研究
在流行病学研究中，非线性回归模型被用于 分析疾病发病率和死亡率与各种因素之间的 关系。通过建立非线性回归模型，可以揭示 环境因素、生活方式和遗传因素对健康的影 响。
非线性回归分析的方法研究
非线性回归分析的方法研究在科学和工程领域，回归分析是一种广泛使用的数据分析方法，旨在探索变量之间的相互关系。
然而，许多实际问题是非线性的，传统的线性回归方法无法很好地解决这些问题。
因此，非线性回归分析的研究变得越来越重要。
本文将介绍非线性回归分析的基本概念、方法、应用领域以及所面临的挑战，并讨论未来的研究方向。
非线性回归分析方法可以解决许多复杂的问题，如生物医学、经济学、工程等领域中的非线性关系。
例如，在生物医学领域，药物浓度与治疗效果之间的关系往往是非线性的；在经济学领域，价格和需求之间的关系也往往是非线性的。
因此，研究非线性回归分析的方法对于解决这些实际问题具有重要的意义。
参数非线性回归是一种常用的非线性回归方法，它通过建立一个包含参数的数学模型来描述变量之间的非线性关系。
这种方法通常包括确定参数的初始值、使用最小二乘法等优化算法来拟合模型以及验证模型的可靠性等步骤。
基于核的非线性回归方法使用核函数来计算变量之间的相似性，并将这些相似性用于建立回归模型。
这种方法不需要明确的数学表达式，因此可以处理一些难以描述的复杂非线性关系。
支持向量回归是一种基于支持向量机（SVM）的非线性回归方法。
它通过建立一个SVM模型来描述变量之间的非线性关系，并使用优化算法来寻找最优的模型参数。
非线性回归分析方法在各个领域都有广泛的应用。
例如，在生物医学领域，非线性回归分析可以用于研究药物浓度与治疗效果之间的关系，为新药研发提供指导；在经济学领域，非线性回归分析可以用于研究价格和需求之间的关系，帮助企业制定更加合理的定价策略。
非线性回归分析还广泛应用于工程、环境科学、社会科学等领域。
数据处理：非线性回归分析需要处理的数据往往比较复杂，需要采取合适的数据预处理方法来提高分析的准确性。
模型选择：不同的非线性回归方法适用于不同的问题，如何根据实际问题选择合适的模型是一个重要的挑战。
模型优化：非线性回归模型需要通过优化算法来寻找最优的模型参数，如何选择合适的优化算法也是一个重要的挑战。
非线性回归分析
非线性回归分析随着数据科学和机器学习的发展，回归分析成为了数据分析领域中一种常用的统计分析方法。
线性回归和非线性回归是回归分析的两种主要方法，本文将重点探讨非线性回归分析的原理、应用以及实现方法。
一、非线性回归分析原理非线性回归是指因变量和自变量之间的关系不能用线性方程来描述的情况。
在非线性回归分析中，自变量可以是任意类型的变量，包括数值型变量和分类变量。
而因变量的关系通常通过非线性函数来建模，例如指数函数、对数函数、幂函数等。
非线性回归模型的一般形式如下：Y = f(X, β) + ε其中，Y表示因变量，X表示自变量，β表示回归系数，f表示非线性函数，ε表示误差。
二、非线性回归分析的应用非线性回归分析在实际应用中非常广泛，以下是几个常见的应用领域：1. 生物科学领域：非线性回归可用于研究生物学中的生长过程、药物剂量与效应之间的关系等。
2. 经济学领域：非线性回归可用于经济学中的生产函数、消费函数等的建模与分析。
3. 医学领域：非线性回归可用于医学中的病理学研究、药物研发等方面。
4. 金融领域：非线性回归可用于金融学中的股票价格预测、风险控制等问题。
三、非线性回归分析的实现方法非线性回归分析的实现通常涉及到模型选择、参数估计和模型诊断等步骤。
1. 模型选择：在进行非线性回归分析前，首先需选择适合的非线性模型来拟合数据。
可以根据领域知识或者采用试错法进行模型选择。
2. 参数估计：参数估计是非线性回归分析的核心步骤。
常用的参数估计方法有最小二乘法、最大似然估计法等。
3. 模型诊断：模型诊断主要用于评估拟合模型的质量。
通过分析残差、偏差、方差等指标来评估模型的拟合程度，进而判断模型是否适合。
四、总结非线性回归分析是一种常用的统计分析方法，可应用于各个领域的数据分析任务中。
通过选择适合的非线性模型，进行参数估计和模型诊断，可以有效地拟合和分析非线性关系。
在实际应用中，需要根据具体领域和问题的特点来选择合适的非线性回归方法，以提高分析结果的准确性和可解释性。
非线性回归问题教学设计
非线性回归问题教学设计引言：非线性回归是统计学和机器学习中的一个重要概念。
与线性回归不同，非线性回归模型的自变量和因变量之间的关系不是线性的，而是可以通过非线性函数来描述。
非线性回归问题具有很高的实际应用价值，例如在金融、经济学、生物学等领域中，非线性回归模型可以更好地拟合数据，进行预测和分析。
本文将介绍非线性回归问题的基本概念和方法，并设计一套教学方案，帮助学生理解和应用非线性回归模型。
一、非线性回归问题的基本概念1.1 非线性回归模型的定义非线性回归模型是指自变量和因变量之间的关系不能通过线性函数来描述的回归模型。
通常情况下，非线性回归模型可以表示为：y = f(x; θ) + ε，其中y表示因变量，x表示自变量，f(x; θ)表示非线性函数，θ表示待估计的参数，ε表示噪声项。
1.2 非线性回归模型的特点与线性回归模型相比，非线性回归模型具有以下特点：- 非线性回归模型的参数估计更加复杂，通常需要使用优化算法进行求解。
- 非线性回归模型的预测能力更强，可以更好地拟合复杂的数据。
- 非线性回归模型的解释性较差，因为非线性函数的形式通常比较复杂，难以直观地解释。
二、非线性回归问题的解决方法2.1 非线性回归模型的建立为了解决非线性回归问题，需要选择合适的非线性函数来描述自变量和因变量之间的关系。
一般情况下，非线性函数可以通过以下方式来选择：- 根据经验和领域知识选择合适的非线性函数形式。
- 根据拟合效果和模型评估指标选择最优的非线性函数形式。
2.2 参数估计和模型评估确定非线性函数形式之后，需要使用合适的方法来估计模型参数。
常用的参数估计方法包括最小二乘法、最大似然估计和梯度下降法等。
估计得到模型参数之后，还需要进行模型评估，评估模型的拟合效果和预测能力。
常用的模型评估指标包括均方误差、残差分析和决定系数等。
三、非线性回归问题的教学设计基于以上理论基础，我们设计了以下教学方案，帮助学生理解和应用非线性回归模型：3.1 理论讲解首先，我们将对非线性回归问题的基本概念和特点进行理论讲解。
非线性回归分析简介
非线性回归分析简介在统计学和机器学习领域，回归分析是一种重要的数据分析方法，用于研究自变量和因变量之间的关系。
在实际问题中，很多情况下自变量和因变量之间的关系并不是简单的线性关系，而是呈现出一种复杂的非线性关系。
因此，非线性回归分析应运而生，用于描述和预测这种非线性关系。
本文将介绍非线性回归分析的基本概念、方法和应用。
一、非线性回归分析概述1.1 非线性回归模型在回归分析中，最简单的模型是线性回归模型，即因变量和自变量之间的关系可以用一个线性方程来描述。
但是在实际问题中，很多情况下因变量和自变量之间的关系并不是线性的，而是呈现出曲线、指数、对数等非线性形式。
这时就需要使用非线性回归模型来拟合数据，通常非线性回归模型可以表示为：$$y = f(x, \beta) + \varepsilon$$其中，$y$为因变量，$x$为自变量，$f(x, \beta)$为非线性函数，$\beta$为参数向量，$\varepsilon$为误差项。
1.2 非线性回归分析的优势与线性回归相比，非线性回归分析具有更强的灵活性和适用性。
通过使用适当的非线性函数，可以更好地拟合实际数据，提高模型的预测能力。
非线性回归分析还可以揭示数据中潜在的复杂关系，帮助研究人员更好地理解数据背后的规律。
1.3 非线性回归分析的挑战然而，非线性回归分析也面临一些挑战。
首先，选择合适的非线性函数是一个关键问题，需要根据实际问题和数据特点进行合理选择。
其次，非线性回归模型的参数估计通常比线性回归模型更复杂，需要使用更为复杂的优化算法进行求解。
因此，在进行非线性回归分析时，需要谨慎选择模型和方法，以确保结果的准确性和可靠性。
二、非线性回归分析方法2.1 常见的非线性回归模型在实际应用中，有许多常见的非线性回归模型，常用的包括多项式回归模型、指数回归模型、对数回归模型、幂函数回归模型等。
这些模型可以根据实际问题的特点进行选择，用于描述和预测自变量和因变量之间的非线性关系。
非线性回归分析(教案)
非线性回归分析(教案)第一章：非线性回归分析简介1.1 非线性回归的定义与意义1.2 非线性回归与线性回归的比较1.3 非线性回归分析的应用领域1.4 本章概要第二章：非线性模型的选择2.1 常见非线性模型介绍2.2 模型选择的方法与原则2.3 利用软件选择非线性模型2.4 本章概要第三章：非线性回归的计算方法3.1 数值解法简介3.2 梯度下降法3.3 牛顿法3.4 拟牛顿法3.5 本章概要第四章：非线性回归的参数估计与检验4.1 参数估计的原理与方法4.2 参数估计的算法实现4.3 参数检验的方法与准则4.4 模型诊断与改进4.5 本章概要第五章：非线性回归在实际问题中的应用5.1 实例一：人口增长模型5.2 实例二：药物动力学模型5.3 实例三：经济预测模型5.4 实例四：生物医学信号处理模型5.5 本章概要第六章：非线性回归软件的使用6.1 常见非线性回归软件介绍6.2 非线性回归软件的使用方法6.3 利用软件进行非线性回归分析的步骤6.4 本章概要第七章：非线性回归在生物学中的应用7.1 生物学中常见非线性模型介绍7.2 非线性回归在生物学研究中的应用案例7.3 生物学数据处理与非线性回归分析7.4 本章概要第八章：非线性回归在经济与管理科学中的应用8.1 经济与管理科学中的非线性模型介绍8.2 非线性回归在经济预测中的应用案例8.3 非线性回归在管理决策中的应用案例8.4 本章概要第九章：非线性回归在工程与应用科学中的应用9.1 工程与应用科学中的非线性模型介绍9.2 非线性回归在工程设计中的应用案例9.3 非线性回归在应用科学研究中的应用案例9.4 本章概要第十章：非线性回归分析的扩展与前沿10.1 非线性回归分析的局限性与改进10.2 非线性回归分析的新方法与发展趋势10.3 非线性回归分析与其他统计方法的结合10.4 本章概要第十一章：非线性回归的优化策略11.1 优化算法概述11.2 常见优化算法介绍11.3 非线性回归的优化策略11.4 本章概要第十二章：非线性回归在医学中的应用12.1 医学中的非线性模型介绍12.2 非线性回归在医学诊断中的应用案例12.3 非线性回归在医学治疗方案设计中的应用案例12.4 本章概要第十三章：非线性回归在地球科学中的应用13.1 地球科学中的非线性模型介绍13.2 非线性回归在地球物理勘探中的应用案例13.3 非线性回归在气候学研究中的应用案例13.4 本章概要第十四章：非线性回归在化学与材料科学中的应用14.1 化学与材料科学中的非线性模型介绍14.2 非线性回归在化学反应动力学分析中的应用案例14.3 非线性回归在材料性能预测中的应用案例14.4 本章概要第十五章：非线性回归分析的实践与挑战15.1 非线性回归分析的实际操作技巧15.2 非线性回归分析面临的挑战与问题15.3 未来非线性回归分析的发展方向15.4 本章概要重点和难点解析第一章：非线性回归分析简介重点：非线性回归的定义与意义，非线性回归与线性回归的比较。
非线性回归模型概述
非线性回归模型概述在统计学和机器学习领域，回归分析是一种重要的数据分析方法，用于研究自变量和因变量之间的关系。
在实际问题中，很多情况下自变量和因变量之间的关系并不是简单的线性关系，而是呈现出复杂的非线性关系。
为了更准确地描述和预测这种非线性关系，非线性回归模型应运而生。
一、非线性回归模型的基本概念非线性回归模型是指因变量和自变量之间的关系不是线性的数学模型。
在非线性回归模型中，因变量的取值不仅仅是自变量的线性组合，还可能包括自变量的非线性函数，如平方项、指数项、对数项等。
因此，非线性回归模型可以更灵活地拟合各种复杂的数据模式。
二、常见的非线性回归模型1. 多项式回归模型：多项式回归是一种简单而常用的非线性回归模型，通过增加自变量的高次项来拟合数据的非线性关系。
例如，二次多项式回归模型可以表示为：Y = β0 + β1X + β2X^2 + ε，其中X^2为自变量X的平方项。
2. 对数回归模型：对数回归模型适用于因变量和自变量之间呈现出对数关系的情况。
通过对自变量或因变量取对数，将非线性关系转化为线性关系进行建模。
3. 指数回归模型：指数回归模型适用于因变量和自变量之间呈现出指数关系的情况。
通过对自变量或因变量取指数，将非线性关系转化为线性关系进行建模。
4. 幂函数回归模型：幂函数回归模型是一种常见的非线性回归模型，适用于因变量和自变量之间呈现出幂函数关系的情况。
例如，Y =β0X^β1 + ε，其中β1为幂函数的指数。
三、非线性回归模型的优缺点1. 优点：（1）能够更准确地描述和预测复杂的非线性关系；（2）具有较强的灵活性，可以适应各种数据模式；（3）能够提高模型的拟合度和预测准确性。
2. 缺点：（1）相较于线性回归模型，非线性回归模型通常更复杂，需要更多的参数估计；（2）容易出现过拟合问题，需要谨慎选择模型复杂度；（3）对数据的要求较高，需要充分理解数据背后的非线性关系。
四、非线性回归模型的应用领域非线性回归模型在各个领域都有着广泛的应用，特别是在生物学、经济学、工程学、医学等领域。
统计学中的非线性回归分析
统计学中的非线性回归分析简介统计学是一门应用数学领域，涉及数据收集、整理、分析和解释的方法和技巧。
回归分析是其中的一种重要方法，用于探索变量之间的关系。
本文将重点讨论统计学中的非线性回归分析，介绍其基本原理、方法和应用。
一、非线性回归分析的概念回归分析是研究自变量和因变量之间关系的统计方法。
与线性回归分析不同，非线性回归分析允许自变量和因变量之间存在非线性的关系。
在现实生活中，许多变量之间的关系并不能用简单的直线来表示，而是需要更复杂的函数来描述。
二、非线性回归模型的建立在非线性回归分析中，我们需要建立一个数学模型来描述自变量和因变量之间的关系。
常见的非线性回归模型包括指数函数模型、对数函数模型、幂函数模型等。
根据实际情况和数据特点，选择合适的模型对数据进行拟合和分析。
三、非线性回归模型的参数估计与线性回归分析类似，非线性回归分析也需要对模型的参数进行估计。
但由于非线性回归模型的复杂性，参数估计通常需要借助迭代算法，如最小二乘法、牛顿法或拟牛顿法等。
四、非线性回归模型的评估在建立了非线性回归模型并估计了参数之后，需要对模型的拟合程度进行评估。
常用的评估指标包括残差平方和、决定系数、标准误差等。
这些指标可以帮助我们判断模型是否合理，确定模型的预测能力和稳定性。
五、非线性回归分析的应用非线性回归分析在统计学中有着广泛的应用。
它可以用于解决生物医学、工程学、经济学等领域中实际问题，如药物剂量反应关系研究、曲线拟合、产品市场需求预测等。
非线性回归分析的结果可以为决策者提供有关变量关系和趋势的重要信息。
六、总结非线性回归分析是统计学中一种重要的方法，可以用来研究变量之间的非线性关系。
通过建立合适的模型并估计参数，我们能够更好地理解数据背后的规律，并进行有效的预测与决策。
在实际应用中，我们要根据具体问题选择合适的模型和评估指标，确保分析结果的准确性和可靠性。
本文介绍了统计学中的非线性回归分析的基本概念、模型建立、参数估计、评估指标和实际应用。
高中数学总结归纳 非线性回归问题
非线性回归问题两个变量不呈线性关系，不能直接利用线性回归方程建立两个变量的关系，可以通过变换的方法转化为线性回归模型。
分析非线性回归问题的具体做法是：（1）若问题中已给出经验公式，这时可以将变量x进行置换（换元），将变量的非线性关系转化为线性关系，将问题化为线性回归分析问题来解决．（2）若问题中没有给出经验公式，需要我们画出已知数据的散点图，通过与各种已知函数（如指数函数、对数函数、幂函数等）的图象作比较，选择一种与这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量置换，将问题化为线性回归分析问题来解决．下面举例说明非线性回归分析问题的解法．例1在彩色显影中，由经验可知：形成染料光学密度y与析出银的光学密度x由公式e b xy A=（b<0）表示，现测得实验数据如下：试求y对x的回归方程．分析：该例是一个非线性回归分析问题，由于题目中已给定了要求的曲线为e b xy A=（b<0）类型，我们只要通过所给的11对样本数据求出A和b，即可确定x与y的相关关系的曲线方程．解：由题意可知，对于给定的公式e b xy A=（b<0）两边取自然对数，得ln ln by Ax =+．与线性回归方程对照可以看出，只要取1ux=，lnv y=，lna A=，就有v a bu=+，这是v对u的线性回归直线方程，对此我们再套用相关性检验，求回归系数b和a．题目中所给数据由变量置换1u=，lnv y=变为如表所示的数据：可以求得r=0.998．由于｜r ｜=0.998>0.602，可知u 与v 具有很强的线性相关关系．再求得0.146b=-$，$0.548a =， ∴v =$0.5480.146u -，把u 和v 置换回来可得$0.146ln 0.548y x=-， ∴$0.1460.1460.1460.5480.548e 1.73xxxy eee---===g ，∴回归曲线方程为$0.1461.73e xy -=．点评：解决本题的思路是通过适当的变量置换把非线性回归方程转化为线性回归方程，然后再套用线性回归分析的解题步骤．例2 为了研究某种细菌随时间x 变化的繁殖个数，收集数据如下： 天数x 1 2 3 4 5 6 繁殖个数y612254995190（1）作出这些数据的散点图； （2）求出y 对x 的回归方程． 解析：（1）作出散点图如图1所示．（2）由散点图看出样本点分布在一条指数型曲线e bxy c =（c ＞0）的周围，则ln ln y bx c =+．令ln ln z y a c ==，，则z bx a =+．x1 2 3 4 5 6 z1.792.483.223.894.555.25相应的散点图如图2．从图2可以看出，变换后的样本点分布在一条直线附近，因此可以用线性回归方程来拟合．由表中数据得到线性回归方程为0.69 1.115zx =+$．因此细菌的繁殖个数对温度的非线性回归方程为$0.69 1.115e xy+ =．点评：通过作散点图看出，本题是一个非线性回归问题，通过变量置换转化为线性回归问题求解的．值得注意的是，本题的数据与回归曲线是拟合得相当好的，这表明确定性关系（如公式、函数关系式）和相关关系之间并没有一条不可逾越的鸿沟．由于有实验误差、测量误差等存在，变量之间的确定性关系往往通过相关关系表现出来；反过来，在有些问题中，可以研究相关关系来深入了解变量变化的内在规律，从而找到它们的确定性关系．。
多重共线性和非线性回归及解决方法
多重共线性和非线性回归的问题（1）多重共线性问题我们都知道在进行多元回归的时候，特别是进行经济上指标回归的时候，很多变量存在共同趋势相关性，让我们得不到希望的回归模型。
这里经常用到的有三种方法，而不同的方法有不同的目的，我们分别来看看：第一个，是最熟悉也是最方便的——逐步回归法。
逐步回归法是根据自变量与因变量相关性的大小，将自变量一个一个选入方法中，并且每选入一个自变量都进行一次检验。
最终留在模型里的自变量是对因变量有最大显著性的，而剔除的自变量是与因变量无显著线性相关性的，以及与其他自变量存在共线性的。
用逐步回归法做的多元回归分析，通常自变量不宜太多，一般十几个以下，而且你的数据量要是变量个数3倍以上才可以，不然做出来的回归模型误差较大。
比如说你有10个变量，数据只有15组，然后做拟合回归，得到9个自变量的系数，虽然可以得到，但是精度不高。
这个方法我们不仅可以找到对因变量影响显著的几个自变量，还可以得到一个精确的预测模型，进行预测，这个非常重要的。
而往往通过逐步回归只能得到几个自变量进入方程中，有时甚至只有一两个，令我们非常失望，这是因为自变量很多都存在共线性，被剔除了，这时可以通过第二个方法来做回归。
第二个，通过因子分析（或主成分分析）再进行回归。
这种方法用的也很多，而且可以很好的解决自变量间的多重共线性。
首先通过因子分析将几个存在共线性的自变量合为一个因子，再用因子分析得到的几个因子和因变量做回归分析，这里的因子之间没有显著的线性相关性，根本谈不上共线性的问题。
通过这种方法可以得到哪个因子对因变量存在显著的相关性，哪个因子没有显著的相关性，再从因子中的变量对因子的载荷来看，得知哪个变量对因变量的影响大小关系。
而这个方法只能得到这些信息，第一它不是得到一个精确的，可以预测的回归模型；第二这种方法不知道有显著影响的因子中每个变量是不是都对因变量有显著的影响，比如说因子分析得到三个因子，用这三个因子和因变量做回归分析，得到第一和第二个因子对因变量有显著的影响，而在第一个因子中有4个变量组成，第二个因子有3个变量组成，这里就不知道这7个变量是否都对因变量存在显著的影响；第三它不能得到每个变量对因变量准确的影响大小关系，而我们可以通过逐步回归法直观的看到自变量前面的系数大小，从而判断自变量对因变量影响的大小。
第7章 非线性回归
7.4非线性回归分析7.4.1统计学上的定义及计算公式定义：研究在非线性相关条件下，自变量对因变量的数量变化关系，称为非线性回归分析。
在实际问题中，变量之间的相关关系往往不是线性的，而是非线性的，因而不能用线性回归方程来描述它们之间的相关关系，而要采用适当的非线性回归分析。
非线性回归问题大多数可以化为线性回归问题来求解，也就是通过对非线性回归模型进行适当的变量变换，使其化为线性模型来求解。
一般步骤为：1,根据经验或者绘制散点图，选择适当的非线性回归方程；2,通过变量置换，把非线性回归方程化为线性回归；3,用线性回归分析中采用的方法来确定各回归系数的值；4,对各系数进行显著性检验。
计算公式如下：在本届中介绍几种常见的非线性回归1,双曲线模型若因变量y随自变量x的增加（或减少），最初增加（或减少）很快，以后逐渐放慢并趋于稳定，则可以选用双曲线来拟合。
双曲线模型形式是：线性化方法：令则转化为线性回归方程：2.幂函数模型幂函数模型的一般形式线性化方法：令则转化为线性回归方程：3.指数函数模型指数函数用于描述几何级数递增或递减的现象。
一般的自然增长及大多数经济数列属于此类。
指数函数模型为线性化方法：令则转化为线性回归方程：4.对数函数模型对数函数是指数函数的反函数，其方程形式为线性化方法：令则转化为线性回归方程：5.多项式模型多项式模型在非线性回归分析中占有重要的地位。
因为根据级数展开的原理，任何曲线、曲面、超曲面的问题，在一定的范围内都能够用多项式任意逼近。
所以，当因变量与自变量之间的确定关系未知时，可以用适当幂次的多项式来近似反应。
当所涉及的自变量只有一个时，所采用的多项式方程称为一元多项式，其一般形式为线性化方法：利用最小二乘法确定系数代入原方程即可。
说明：最后，并不是所有的非线性模型都可以通过变换得到与原方程完全等价的线性模型。
在遇到这种情况时，还需要利用其他一些方法如泰勒级数展开法等去进行估计。
非线性回归与预测分析
非线性回归与预测分析在现实生活中，我们常常需要通过一些已知的数据来预测未来的趋势或结果。
线性回归是一种常用的方法，它基于线性关系来建立预测模型。
然而，现实世界中的很多问题并不总符合线性关系，因此我们需要借助非线性回归来提高预测精度。
非线性回归是寻找自变量和因变量之间的非线性关系的方法。
与线性回归不同，非线性回归模型的函数关系不是简单的一次多项式，而可以是指数、对数、幂函数等形式。
这种灵活的建模能力使得非线性回归在现实问题中具有广泛的应用价值。
例如，在金融领域，我们经常需要根据历史数据来预测股票的未来走势。
线性回归可能难以捕捉到股票价格的非线性波动，而非线性回归可以更好地模拟股票价格的涨跌规律。
通过引入指数、对数等非线性变换，我们可以更准确地预测股票价格的未来变化。
非线性回归在物理学、生物学、工程学等领域也有广泛的应用。
以生物学研究为例，科学家常常需要通过实验数据来建立生物体生长与时间的关系。
这种关系往往是非线性的，通过非线性回归可以得到更精确的生长模型，从而更好地理解和预测生物体的生长过程。
非线性回归的建模方法有很多种。
常用的方法包括多项式回归、指数回归、对数回归、幂函数回归等。
多项式回归通过引入多项式变量来拟合非线性关系，指数回归通过引入指数函数来拟合非线性关系，对数回归通过引入对数函数来拟合非线性关系，幂函数回归通过引入幂函数来拟合非线性关系。
不同的方法适用于不同的问题，选择合适的方法可以提高建模精度。
在进行非线性回归时，我们需要选择适当的目标函数和优化算法。
目标函数用于度量模型的预测误差，优化算法用于寻找使目标函数最小化的参数值。
常用的目标函数有平方误差函数、对数似然函数等，常用的优化算法有梯度下降法、牛顿法等。
选择合适的目标函数和优化算法可以提高模型的拟合精度和训练效率。
除了建立模型，评估模型的性能也是非线性回归分析中的重要任务。
常用的评估指标包括均方根误差（RMSE）、平均绝对误差（MAE）、决定系数（R^2）等。
非线性回归分析(教案)
1.3非线性回归问题,知识目标：通过典型案例的探究，进一步学习非线性回归模型的回归分析。
能力目标：会将非线性回归模型通过降次和换元的方法转化成线性化回归模型。
情感目标：体会数学知识变化无穷的魅力。
教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用.教学重点：通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法.教学难点：了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较. 教学方式：合作探究 教学过程：一、复习准备：对于非线性回归问题,并且没有给出经验公式,这时我们可以画出已知数据的散点图,把它与必修模块《数学1》中学过的各种函数（幂函数、指数函数、对数函数等）的图象作比较,挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数,然后采用适当的变量代换,把问题转化为线性回归问题,使其得到解决. 二、讲授新课：1. 探究非线性回归方程的确定：1. 给出例1：一只红铃虫的产卵数y 和温度x 有关，现收集了7组观测数据列于下表中，试建立y 与x 之间的C/y 个 （学生描述步骤，教师演示）2. 讨论：观察右图中的散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，即两个变量不呈线性相关关系，所以不能直接用线性回归方程来建立两个变量之间的关系.① 如果散点图中的点分布在一个直线状带形区域，可以选线性回归模型来建模；如果散点图中的点分布在一个曲线状带形区域，就需选择非线性回归模型来建模.② 根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y =2C 1e x C 的周围（其中12,c c 是待定的参数），故可用指数函数模型来拟合这两个变量.③ 在上式两边取对数，得21ln ln y c x c =+，再令ln z y=，则21ln z c x c =+，可以用线性回归方程来拟合.④ 利用计算器算得 3.843,0.272ab =-=，z 与x 间的线性回归方程为0.272 3.843z x =-，因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为0.272 3.843x y e -=.⑤ 利用回归方程探究非线性回归问题，可按“作散点图→建模→确定方程”这三个步骤进行.其关键在于如何通过适当的变换，将非线性回归问题转化成线性回归问题. 三、合作探究例 2.：炼钢厂出钢时所用的盛钢水的钢包,在使用过程中,由于钢液及炉渣对包衬耐火材料的侵蚀,使其容积不断增大,请根据表格中的数据找出使用次数x 与增大的容积y 之间的关系.【解】先根据试验数据作散点图,如图所示：z ＝a ′＋bt ，t 、z 的数值对应表为：【题后点评】作出散点图，由散点图选择合适的回归模型是解决本题的关键，在这里线性回归模型起了转化的作用.例2：一只红铃虫的产卵数y 和温度x 有关，现收集了7组观测数据列于下表中，试建立y 与x 之间的回归方程.C/y 个 2、讨论：观察右图中的散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，即两个变量呈非线性相关关系，所以不能直接．．．．用线性回归方程来建立两个变量之间的关系. ① 如果散点图中的点分布在一个直线状带形区域，可以选线性回归模型来建模；如果散点图中的点分布在一个曲线状带形区域，就需选择非线性回归模型．．．．．．．来建模. ② 根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y =2C 1e x C 的周围（其中12,c c 是待定的参数），故可用指数函数模型来拟合这两个变量.z ＝a ′＋bt ，t 、z 的数值对应表为：从图中可以看出x 与y 之间不存在线性相关关系． 但仔细分析一下，知道钢包开始使用时侵蚀速度快， 然后逐渐减慢．显然，钢包容积不会无限增大，它必 有一条平行于x 轴的渐近线．于是根据这一特点，我们试设指数型函数曲线y ＝a e bx.对它两边取对数得ln y ＝ln a ＋bx .令z ＝ln y ，t ＝1x，a ′＝ln a ，则上式可写为线性方程：③ 在上式两边取21ln ln y c x c =+，再令z =21ln z c x c =+，而z 与x 观察z 与x 以用线性回归方程来拟合.④ 利用计算器算得 3.843,0.272a b =-=，z 与x 间的线性回归方程为0.272 3.843z x =-，因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为0.272 3.843x y e -=.⑤ 利用回归方程探究非线性回归问题，可按“作散点图→建模→确定方程”这三个步骤进行. 其关键在于如何通过适当的变换，将非线性回归问题转化成线性回归问题. 2. 小结：用回归方程探究非线性回归问题的方法、步骤. 3、常见的非线性回归模型 ⑴ 幂函数曲线 y=ax b处理方法：两边取自然对数得：lny=lna+blnx; 再设{yy x x ln ln ,,==则原方程变成 y ′=lna+bx ′,再根据一次线性回归模型的方法得出lna 和b ⑵ 指数曲线 y=ae bx处理方法: 两边取自然对数得：lny=lna+bx; 再设{yy x x ln ,,==则原方程变成 y ′=lna+bx ′,再根据一次线性回归模型的方法得出lna 和b⑶ 倒指数曲线 xb ae y =处理方法：两边取自然对数得：lny=lna+x b; 再设⎩⎨⎧==y y xx ln 1,,则原方程变成 y ′=lna+bx ′,再根据一次线性回归模型的方法得出lna 和b ⑷ 对数曲线 y=a+blnx 处理方法：设{yy xx ==,,ln 则原方程变成 y ′=a+bx ′,再根据一次线性回归模型的方法得出a 和b三、巩固练习：为了研究某种细菌随时间x 变化，繁殖的个数，收集数据如下： 1）用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些数据的散点图；2）试求出预报变量对解释变量的回归方程.（答案：所求非线性回归方程为0.69 1.112ˆy=e x +.） 四、作业布置：课本第13页的练习题。
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如图４．立即得两条切线方程为口＝詈（ｐ∈Ｒ）和ｐｃｏｓ０＝２．选
（Ｂ）．
ＯＣＩ＝２，夹角为子，易见Ｉ
ＣＰＩ即另一条直角边，为
点评：本例的常规解法是先把极坐标方程化成直角坐标方 程，再求出圆的两条切线的直角坐标方程，然后再化成极坐标方 程．而上述解法回避了坐标系的多次转换，画出图形，口答即可．
［江办省兴化市楚水实验学校（２２５７００）］
王光天
二、典例体验
例ｌ
对于指数曲线）一ａｅ“，令Ｈ＝ｌｇｙ，ｃ＝ｌｎａ，经过非线
）
性回归分析之后，可转化的形式为（ （Ａ）Ｕ＝Ｃ＋６并
（Ｃ）Ｙ＝ｃ＋６戈
（Ｂ）Ｕ＝ｂ＋ＣＸ （Ｄ）Ｙ＝ｂ＋ｃｚ
分析：由已知指数曲线Ｙ＝ａｅ“，令“＝ｌｇｙ，ｃ＝ｌｎａ． 我们根据指数的运算形式：ｌｏｇ。（ＭＮ）＝ｌｏｇ。Ｍ十ｌｏｇ。Ｎ， ｌｏｇ。Ⅳｎ＝ｎｌｏｇ。Ｎ，即可判断出ｕ，ｃ，ｂ，ｘ之问的线性关系，进而得 到求解． 解析：因为’，－ａｅ“，ｃ＝ｌｎａ，所以ｕ＝ｌｇｙ＝Ｉｎ（ａｅ“）＝ｌｎａ ＋ｌｎｅ“＝ｃ＋６ｘ，故选（Ａ）． 点评：本题主要考查了非线性回归分析转化为线性回归分 析，以及熟练掌握对数函数的运算性质．
３Ｄ口０口
（１）作时间和细菌繁殖个数的散点图，根据该图猜想它们 之间的关系是什么形式； （２）建立时间为解释变量，细菌繁殖个数为预报变量的回
归模型；
地２５０００
雪２００００ 黼１５０００ 姒１００００
５Ｄ口０ ［Ｉ
（３）计算相关指数，你认为这个模型能较好地刻画时间与 细菌繁殖个数之间的关系吗？请说明理由． 分析：因为题目呈现的设问方式 就暗示着解题步骤，并且层层推进， 所以既可按部就班的解答，又可经历 回归分析的全过程．
＝ａ，茹＝一ｎ，Ｙ＝一ｎ），可画出图２，立 即获解．
２
下方的圆），会给解题带来极大方便．
Ｊ
五、挖掘极坐标方程的几何意义 处理极坐标系中的问题，初学者常 将问题转化成直角坐标系中的问题．实 际上，若能充分挖掘出极坐标系下的几 何意义，画出相应图形，常能不算而解．
例６
矧？
图２
ｄ
六、利用熟知的曲线方程
例７
３ ３．２ ３．４ ３．６ ３．８
ｘ｜天 图３
（２）令。＝ｌｎｙ，则ｚ：ｂｘ＋ｎ且变换后的样本数据表如表４
表４
ｙ
４．４５３ ４．３０９ ４．１７０ ４．０２９ ３．８８３ ３．７４１ ３．５８５ ３．４３１ ３．２８３ ３．１３２ ２．９８８ ｌ ５．２ ５．４ ５．６ ５．８ ６ ６．２ ６．４ ６．６ ６．８ ７ １．７９ ２．４８ ３．２２ ３．８９ ４．５５ ５．２５ ２ ３ ４ ５ ６
（安徽卷７题）在极坐标系
中，圆Ｐ＝２ｃｏｓ０的垂直于极轴的两条 切线方程分别为（
）
（Ａ）０＝Ｏ（ｐ∈Ｒ）和ｐｃｏｓ０＝２
（Ｂ）０＝÷（Ｐ∈Ｒ）和Ｐ＝ｃｏｓ０
八 Ｕ
，．
２
Ｊ
ｆ，Βιβλιοθήκη （天津卷１１题）已知圆的极
坐标方程为Ｐ＝４ｃｏｓ０，圆心为Ｃ，点Ｐ
的极坐标为（４，｛），则ｌ
ｃ尸ｌ＝ ｐ
缌 、、
图３
４步
／
＝２
Ｙ
２．８７３ ２．７８１ ２．６３８ ２．４３８ ２．３１４ ２．１７０ １ ９９１ １．７５６ １．６１３ １．３９８
例２
如表１所示，某地区一段时间内观察到的大于或等于某
震级戈的地震个数为／、，，试建立回归方程表述二者之间的关系．
・９・
万方数据
表１
震级ｘ 地震
２８３８１ ２０３８０１４７９５ １０６９５ ７６４１ ５５０２ ３８４２ ２６９８ １９１９ １３５６ ９７３ ３ ３．２ ３．４ ３．６ ３．８ ４ ４．２ ４．４ ４．６ ４．８ ５．０
图ｌ
解析：（１）以解释变量时间为横 轴，预报变量细菌繁殖个数为纵轴绘 制散点如图３． 由图猜想样本点分布在一条指 数函数曲线ｙ：。。。ｔ。的周围．
４ ４．２ ４．４ ４．６ ４．８ ５．Ｏ
从散点图中可以看出，震级ｚ与大于该震级的地震次数Ⅳ 之间不呈线性相关关系，随着戈的减少，所考查的地震数Ⅳ近似 地以指数形式增长，做变换ｙ＝ｌｇＮ得到的数据如表２所示 表２
为了研究某种细菌繁殖的个数（个）与时间（天）的
关系，收集数据如表３． 表３
天数ｚ／天
ｌ ６ ２ １２ ３ ２５ ４ ４９ ５ ９５ ６ １９０
数／ｖ
分析：该例是一个非线性回归分析问题，由于题目中已给
繁殖个数∥个
定了要求的曲线为Ｙ：Ａ。÷类型，我们只要通过所给的ｌｌ对样
本数据，求出Ａ和６即可确定戈与Ｙ的相关关系的曲线方程． 解析：由表中数据得散点如图ｌ所示．
把握非线性回归问题
■林敬霞
如果两个变量不呈线性关系，不能直接利用线性回归方程 建立两个变量的关系，可以通过变换的方法转化为线性回归模 型．下面对此类回归分析问题作简单的分析，以供参考． 一、解决回归分析的基本步骤 １．确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预 报变量． ２．若问题中已给出经验公式，这时可以将变量戈进行置换 （换元），将变量的非线性关系转化为线性关系，将问题化为线 性回归分析问题来解决． ３．若问题中没有给出经验公式，需要我们画出已知数据的 散点图，通过与各种已知函数（如反比例函数、指数函数、对数 函数、幂函数等）的图象作比较，选择一种与这些散点拟合得最 好的函数，然后采用适当的变量置换，将问题化为线性回归分 析问题来解决． ４．得出结果后分析是否有异常，若存在异常，则检查数据是 否有误，或模型是否合适等． 力０１４荦第ｌ期
指数函数，对数函数，二次函数等）进行拟合，然后通过转化并 用最小二乘法建立回归模型，最后通过分析残差、相关指数等， 分析拟合的效果，评价模型的好坏．
例３
数／、ｒ 震级ｘ 地震
７４６ ６０６ ４３５ ２７４ ２０６ １４８ ９８ ５７ ４１ ２５ ５．２ ５．４ ５．６ ５．８ ６ ６．２ ６．４ ６．６ ６．８ ７
图４
（ｃ）０：｛（ｐ∈Ｒ）和ｐＣＯｓＯ＝１ （Ｄ）０＝｛（ｐ∈Ｒ）和ｐｃｏｓ０＝ｌ
解：由熟知的圆及直线的极坐标方程，画出圆及两条切线，
解：Ｐ＝４ｃｏｓ０表示过极点、圆心在 极轴上，直径为４的圆．如图３，点Ｐ、０、 ｃ构成直角三角形，斜边ｆ ＯＰｆ＝４，一 条直角边ｌ ２，／ｉ－． 点评：应熟悉四个特殊位置的圆的极坐标方程：ｐ＝ａｃｏｓＯ，Ｐ ＝ａｓｉｎ０，Ｐ＝一ａｃｏｓＯ，Ｐ＝一ａｓｉｎ０（即过原点且在原点右、上、 左、