7静电场和恒定电场习题课

2．库仑定律
真空中，两个点电荷（ Q1 和 Q2 ）之间的相互作用力的大小正比于两者电量的乘积，反 比于两者距离的平方，即
Q1Q2 r2 在国际单位制( SI )中，比例常数写成 FK
K
1 9 109 N m 2 / C 2 4 0
常数 0 ，称为真空的介电常数
0
1 8.85 10 12 C 2 / N m 2 4K
静电场和稳恒电场
一、内容提要
1. 电荷及电荷守恒定律
电荷 处于带电状态的物体称为带电体。物体带电只有两种：正电荷和负电荷。表示物 体所带电荷量值的物理量称为电量，以 Q （或 q ）表示。基本的电现象是同种电荷相斥， 异种电荷相吸。 物体所带电量不是以连续方式出现， 而总以一个个不连续的量值出现， 称为电荷的量子 化。所谓物体带电，是指它的“净电荷” ，即物体内包含的正电荷和负电荷的代数和。 电荷守恒定律 电荷既不能被创造， 也不能被消灭， 电荷只能从一个物体转移到另一个 物体，或者从物体的一部分转移到另一部分。事实表明，在一个孤立系统内，无论发生怎样 的物理过程，该系统电量的代数和总保持不变。它是物理学中基本定律之一。
(3)电荷连续分布的带电体的场强 对于连续带电体，先把带电体微分 dQ ，将 dQ 看作点电荷，求出点电荷 dQ 在场点产 生的电场强度
1 dQ r 1 dQ ˆ dE r 2 4 0 r r 4 0 r 2
再矢量叠加
1 dQ r 1 dQ ˆ E ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱdE r 2 4 0 r r 4 0 r 2
作用力方向沿两点电荷连线，同种电荷相斥，异种电荷相吸。
3．电场和电场强度
电场 理论和实践都已证明： 电荷周围空间伴随有电场， 电荷与电荷之间的相互作用是 通过电场进行传递的。电场对电荷的作用力称为电场力。库仑力本质上是电场力。电场也是 一种客观存在的物质形态，它与分子、原子等组成的实物一样，具有质量、能量、动量和角 动量。 静电场是相对观察者为静止的电荷周围空间产生的电场， 它是电磁场的一种特殊形态。 电场对外表现的性质有：(1)对引入电场中的电荷有作用；(2)电荷在电场中移动时电场力做 功，这也表明电场具有能量。 电场强度 电场强度是定量描述电场对电荷有作用力性质的物理量。 电场强度的定义为
p


i
为 V 内分子电偶极矩 pe 的矢量和。

实验证明，在各向同性介质内 P e 0 E ，式中 e 是介质的电极化率，是一个无单位 的纯数。 E 为介质中总的电场强度。 理论证明，电介质表面出现极化面电荷，面电荷密度


/ Pn P n
式中 n 为介质表面外法向单位矢量， / 为极化电荷面密度。 电介质中的电场 者叠加的结果。 电介质中的场强 E 是由自由电荷的场强 E0 与极化电荷的场强 E 两
b Wa Wb Aab Q0 E dl a
电势能与重力势能相似，是一个相对的量。为了表明电荷在电场中某一点势能的大小，必须
有一个作为参考的标度。 通常在电荷分布于有限区域内时， 我们规定无限远处的电势能为零， 这时 a 点的电势能为
Wa Aa Q0 E dl
U ab
b U a U b E dl E dl E dl
a b a
对电势差来说，不管取什么参考点做电势零点，其值总是确定的。U ab 在量值上等于将 单位正电荷从 a 点移到 b 点电场力所做的功。所以，如果知道了 a 、 b 两点间的电势差，则 将电荷 Q0 从 a 点移到 b 点(无论沿任何路径)电场力做的功为
1F 106 F 1012 pF
电容器串联起来可提高耐压能力，且每个电容器的两极板上都带有相同的等量异号电 荷，并等于等效电容器两极板上的电荷。
1 1 1 1 C C1 C2 Cn
电容器并联起来在满足耐压情况下，增大电容量，且每个电容器两端电压相等，并等于 等效电容器两端的电压。
b A Q0U ab Q0 (U a U b ) Q0 E dl a
电势的计算 点电荷电场中任意点 P 处的电势
UP
1 Q 4 0 r
(设无穷远处为电势零点)
式中 Q 为该点电荷的电量， r 为该点电荷到 P 点的距离。 点电荷系电场中任意点 P 处的电势，由点电荷公式及电势的标量叠加可得
a
与重力势能相似，电势能属于电荷 Q0 和静电场整个系统。 电势 电荷 Q0 在电场中某点的电势能 Wa 与 Q0 成正比，为了直接描述某给定点 a 处的
电场的性质，把 Wa 与 Q0 的比值，定义为该点的电势，即
Ua
Wa Aa E dl Q0 Q0 a
电场中某点的电势在数值上等于单位正电荷置于该点时具有的都是能， 或单位正电荷从 该点经任意路径移动到无限远处电场力所做的功。 可见， 电势是描述电场力做功性质的物理 量。该式表明了电势与电场强度之间的积分关系。 在国际单位制(SI)中，电势的单位是焦耳每库仑( J / C )，称做伏特( V )。 同样，电势的值只具有相对意义，其绝对数值是没有物理意义的。理论研究中，对有限 的电荷分布， 通常取无穷远处为电势零点； 对无限大的电荷分布， 电势零点的选择是任意的； 实际问题中常以大地或电器的金属外壳为电势零点。 电势是描述静电场性质的又一个物理量。 电势差 静电场中，任意两点的电势之差
F E Q0
Q0 为场中某点放置的试验电荷的电量； F 为 Q0 在该点所受的电场力； E 为场中该点的电
场强度。 在国际单位制( SI )中，电场强度的单位是牛顿／库仑( N / C )。
注意： (1)电场强度 E 是表征电场中某一点电场力的特性的物理量，是矢量，其方向为正试验 电荷在该点受力的方向，大小为单位正试验电荷在该点受力的大小。 (2)场中 E 一般是空间位置的函数，可表示为 E E ( x, y , z ) ，通常，对电场中的不同点 来说，电场强度矢量的大小和方向是不同的，这种电场称为非均匀电场。特殊情况下，电场 中不同点的电场强度 E 大小和方向都相同，这样的电场称为均匀电场。 场强叠加原理 在由若干个点电荷形成的电场中， 任一点的总场强等于各点电荷在该点 单独产生的场强的矢量和，即
带电粒子在外场中所受的作用 为 F ，则有 当带电粒子可看成点电荷 Q 时，其在外电场 E 中受力


F QE
电偶极子在均匀外电场 E 中将受力矩作用，其力矩为 M ，有


M Pe E
其中 Pe Ql 称为电偶极矩； l 为从 Q 指向 Q 的有向线段。



4．高斯定理及应用
电场线(又称电力线) 电场线是形象描述电场分布的一簇空间曲线。电场线上任一点的 切线方向表示该点场强 E 的方向，电场线分布的疏密程度表示该处场强的大小。 电通量 设想在电场中有一个曲面 S ，我们定义一个物理量 e ，令

e E dS
S
称为通过该曲面的电场强度通量。也可以形象地说为穿过该曲面的电场线“数目” 。上式中





n E Ei
i 1
电场强度的计算 由场强定义并应用库仑定律场强叠加原理， 得到三种类型场源电荷产 生电场的场强计算公式： (1)点电荷的电场
E
(2)点电荷系的电场
1 Qr 1 Q ˆ r 2 4 0 r r 4 0 r 2 n n 1 Qi r 1 Qi i ˆ E r 2 2 i i 1 4 0 ri ri i 1 4 0 ri
dS 是曲面上的面积元 dS 的矢量表示。
通过任意封闭曲面的电通量为
e E dS
S
上式中规定 dS 的方向为面积元的外法线方向。因此，电场线从封闭曲面内向外穿出时电通 量为正值，电场线从封闭曲面外穿进时电通量为负值。 高斯定理 在真空中的任何静电场中，穿出任一闭合曲面的电通量等于该闭合曲面所 包围的电荷的代数和除以 0 ，数学表示式为
n i 1 n i 1
U U i
1 Qi 4 0 ri
式中 Qi 为第 i 个点电荷的电量， ri 为 P 点相对于第 i 个点电荷的距离。即点电荷系的电场中 某点电势，等于各点电荷单独在该点产生的电势的代数和。上式亦称为电势叠加原理。 电荷连续分布的电场中某点 P 处的电势
U
1 dQ 4 0 r
分割电荷为许多电荷元， dQ 为其中的任意一个， r 为 P 点相对于 dQ 的距离，积分对整个 电荷分布进行。 可见，电势计算方法有两种类型： (1)已知场强分布，根据电势定义，用积分法求电势。 (2)已知电荷分布，利用电势叠加原理求电势。 等势面 电场中由电势相等的点所联成的曲面，叫做等势面。 等势面与电场线处处正交。 在等势面上移动电荷时电场力不做功。 电场线方向指向电势 降落方向。 电势梯度矢量



/
E E0 E /
电位移矢量 由于静止的极化电荷和自由电荷产生的电场都是静电场，因此静电场的 两条基本定理仍成立，即
b b a a
只与起点 a 和终点 b 的位置有关，而与电荷移动的路径无关。 反映该特性的数学表达式即为静电场的场强环路定理。
E dl
C


0
静电场是保守力场，可以引入电势能的概念。也就是说，电荷在电场中一定
电势能
的位置处，具有一定的势能。电场力所做的功就是电势能改变的量度，设以 Wa 和 Wb 分别表 示试验电荷 Q0 在 a 点和 b 点的电势能，我们定义 Q0 从 a 点移到 b 点时，电场力所做的功等 于其电势能的减少量，即
U U U gradU i j k x x x
其方向与等势面垂直，指向 U 增加的方向。 电势梯度与场强的关系
E gradU
电场中各点的场强大小等于该点电势梯度的大小，场强方向与电势梯度方向相反。
6．静电场中的导体
导体的静电平衡 导体内部及表面上的电荷都无宏观上的定向运动的状态，叫做导体 的静电平衡状态。 在静电平衡状态下： (1)导体内部任一点场强为零； (2)导体外表面附近任一点场强方向与表面垂直。 这就是导体的静电平衡条件。 静电平衡下导体特性 ①导体内部的电势处处等于导体表面的电势， 整个导体是个等势体， 导体表面是个等势 面。 ②导体内部没有净电荷，电荷只分布在导体的表面上。 ③导体外，导体表面附近某点的场强大小 E / 0 ( 为该处附近导体的电荷荷面密 度)，方向垂直导体表面。 电容 电容是表征导体或导体组储电能力的物理量。 只与导体本身形状大小及周围介质 有关，与带电多少及是否带电无关。 孤立导体的电容

1 n E dS Qi 0 i 1 S
高斯定理是描述静电场规律的基本方程之一。 它反映了电场和形成电场的场源电荷之间 的关系。说明静电场是有源场。
5．电势
静电场力做功的特点：电荷 Q0 在静电场中从 a 点经某一路径移到 b 点，电场力做的功
A dA Q0 E dl
C C1 C2 Cn 7．电介质中的电场
电介质 是折射率很大、导电能力很差的绝缘体。均匀极化的电介质放入电场后，介 质表面上出现极化电荷（束缚电荷） ，从而影响电场的分布。 电极化强度矢量 P

是描述介质中某处极化强度的物理量。定义为
P
p
V

i
其中 V 为介质内部某一点附近的体积元；
C
Q U
式中， Q 为孤立导体所带的电量； U 为孤立导体相对于无穷远处的电势。
电容器的电容
把 Q 电量从极板 B 移到极板 A 后， AB 间有电势差 U U A U B ，
它与 Q 成正比，比值 Q / U ，称为电容器的电容。 在国际单位制( SI )中，电容的单位是库仑每伏特( C / V )，称为法拉( F )。法拉单位很 大，常用微法拉( F )，微微法拉( pF )