晶体结构与空间点阵
国科大王焕华X射线晶体学作业参考答案
X 射线晶体学作业参考答案第三章：晶体结构与空间点阵1. 六角晶系的晶面指数一般写成四个(h k -h-k l )，但在衍射的计算和处理软件中，仍然用三个基矢(hkl )。
计算出六角晶系的倒格基矢，并写出六角晶系的两个晶面之间的夹角的表达式。
已知六角晶系的基矢为解：根据倒格子的定义式，计算可得：()k a c j ac b j i ac a 2***323Ω=Ω=+Ω=πππ 任意两个晶面(hkl)和(h ’k ’l ’)的晶面夹角θ是： ()()()()22222222222222222222222222'''''''3''''434'3)''(2)''(4'3''''434'3)'2')(2('3arccos l a k k h h c l a k hk h c ll a k h hk c kk hh c l a k k h h c l a k hk h c ll a k h k h c hh c G G G G l k h hkl l k h hkl +++⨯+++++++=+++⨯+++++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∙= θ2. 分别以晶格常数为单位和以实际大小写出SrTiO 3晶胞中各离子的坐标，并计算SrTiO3的质量密度和电子数密度。
解：Sr 原子量87.62，电子数38；Ti 原子量47.9，电子数22；O 原子量15.999，电子数8 （数据取自国际衍射数据中心）。
质量密度：kc c j i a b ia a =+-==)2321(电子数密度：3.*为什么位错不能终止于晶体内部？请说明原因。
答：作为一维缺陷的位错如果终止在晶体内部，则必然在遭到破坏的方向上产生连带的破坏，因此一根位错线不能终止于晶体内部，而只能露头于晶体表面（包括晶界），同时Burgers vector 的封闭性（守恒）也要求位错不能终止在晶体内部。
固体无机化学-晶体学基础2
l） （h k l） l） （h k i l） i ＝ - h＋k ） （
[U V W] [u v t w] U = u - t, V = v - t, W = w 1 1 u = [2U - V], v = [2V - U], t = -(u + v), w = W 3 3
（Miller Indices of Crystallographic Direction and Planes） 前已指出，任何阵点的位置可由矢量ruvw和该点阵的坐标u,v,w来确定。 同样晶向OP可沿a,b,c三个方向分解为三个矢量，即 1．阵点坐标 op = xa + yb + zc 2.晶向指数（Orientation index）
宏观对称要素— 宏观对称要素—回转对称轴
二维晶胞的密排图形
宏观对称要素— 宏观对称要素—对称面
1 晶体通过某一平面作 镜像反映而能复原， 则该平面称为对称面 或镜面。 2 对称面用符号 m 表示。
宏观对称要素宏观对称要素-对称中心
1 如果位于晶体中心O点一边 的每点都可在中心的另一边 得到对应的等同点，且每对 点子的连线均通过O点并被 它所等分，则此中心点称为 晶体的对称中心 对称中心。或称为反 对称中心 演中心。即晶体的每一点都 可借以O点为中心的反演动 作而与其对应点重合。 2 对称中心用符号 z 表示。
1 对称要素构成一些动作，即晶体经过这些动作 之后所处的位置与其原始位置完全重合，也就 是晶体上每一点的新旧位置都完全重合。 2 晶体的对称要素可分为宏观和微观两类。宏观 对称要素反映出晶体外形和其宏观性质的对称 性。而微观对称要素与宏观对称要素配合运用 就能反映出晶体中原子排列的对称性。
晶体结构和空间点阵的异同
晶体结构和空间点阵的异同
晶体结构和空间点阵是固体物理学中两个基本概念。
虽然它们有联系，但仍有一些不同之处。
下面是它们的异同之处简要介绍：
一、异同
1.定义晶体结构指的是一个由周期性排列的原子、离子或分子组成的三维空间结构；而空间点阵指的是无限连续重复的平移对称性规律，即一组满足某些几何条件的无穷多点在空间中无限延伸的排列方式。
2.特征晶体结构是由一定数量的单元组成的三维连续排列，它们具有明确的界面，并且每个单元都具有相同的结构和化学组成，即呈现出高度的重复性。
而空间点阵则没有明确的界面，任何一部分的点都可以作为整个空间的代表。
它具有平移对称性，重复性强。
3.分类晶体结构可以分为14种布拉维格子以及其他非周期性结构。
每个晶体结构由一组指定的晶体轴和角度来描述。
而空间点阵也可以用类似的方式来进行分类。
在三维空间内，总共有17种不同的空间对称组，称为空间点群。
4.性质晶体结构具有晶体学的性质，例如各向同性、能带结构等。
而空间点阵则是对于一些物理问题求解的基础，比如电子、光子在周期性势场中的行为特征。
二、总结
晶体结构和空间点阵都是描述固体物理学基本概念。
晶体结构由周期性排列的原子、离子或分子组成，呈现高度的
重复性，通过指定晶体轴和角度来进行分类。
而空间点阵是无穷多点在空间中无限延伸的排列方式，具有平移对称性，通过分类后得到17种不同的空间对称组。
两者之间虽然存在联系，但仍有不同之处。
材料科学基础 名词解释
1、化学键：组成物质整体的质点（原子、分子或离子）间的相互作用力叫做化学键。
共价键：有些同类原子，例如周期表IV A、V A、VIA族中大多数元素或电负性相差不大的原子相互接近时，原子之间不产生电子的转移，此时借共用电子对所产生的力结合，形成共价键。
离子键：当两种电负性相差大的原子相互靠近时，其中电负性小的原子失去电子，成为正离子，电负性大的原子获得电子成为负离子，两种离子靠静电引力结合在一起形成离子键。
范德瓦尔键（分子键）：分子的一部分往往带正电荷，而另一部分往往带负电荷，一个分子的正电荷部位和另一分子的负电荷部位间，以微弱静电力相吸引，使之结合在一起，称为范德瓦尔键，也叫分子键。
金属键：由金属正离子和自由电子之间互相作用而结合称为金属键。
2、晶体：物质的质点（分子、原子或离子）在三维空间作有规律的周期性重复排列所形成的物质叫晶体。
单晶体：由一个晶粒组成的晶体。
准晶：原子在晶体内部是长程有序的具有准周期性的具有五次对称轴的介于晶体与非晶体之间的一类晶体，叫做准晶。
玻璃体：液体冷却时，尚未转变为晶体就凝固了，它实质是一种过冷的液体结构，称为玻璃体。
非晶态金属（金属玻璃）：在特殊的冷却条件下金属可能不经过结晶过程而凝固成保留液体短程有序结构的非晶态金属。
非晶态金属又称作金属玻璃。
微晶合金：晶粒尺寸达微米（μm）的超细晶粒合金材料，称为微晶合金。
纳晶合金：晶粒尺寸达纳米（nm）的超细晶粒合金材料，称为纳晶合金。
3、空间点阵（点阵）：代表原子（分子或离子）中心的点的空间排列，称为空间点阵，简称点阵。
阵点：代表原子（分子或离子）中心的点。
晶格：将阵点用一系列平行直线连接起来，构成一空间格架叫晶格。
晶胞：点阵中能保持点阵特征的最基本单元叫晶胞。
晶体结构：是指晶体中实际质点（原子、分子或离子）的具体排列情况，它们能组成各种类型，因此实际存在的晶体结构是无限多的。
4、晶向：晶体中某些原子在空间排列的方向叫晶向。
材料科学基础上复习题库
简答题1.空间点阵与晶体点阵有何区别？晶体点阵也称晶体结构，是指原子的具体排列；而空间点阵则是忽略了原子的体积，而把它们抽象为纯几何点。
2.金属的3种常见晶体结构中，不能作为一种空间点阵的是哪种结构？密排六方结构。
3.原子半径与晶体结构有关。
当晶体结构的配位数降低时原子半径如何变化？原子半径发生收缩。
这是因为原子要尽量保持自己所占的体积不变或少变，原子所占体积V A＝原子的体积(4/3πr3+间隙体积)，当晶体结构的配位数减小时，即发生间隙体积的增加，若要维持上述方程的平衡，则原子半径必然发生收缩。
4.在晶体中插入柱状半原子面时能否形成位错环？不能。
因为位错环是通过环内晶体发生滑移、环外晶体不滑移才能形成。
5.计算位错运动受力的表达式为，其中是指什么？外力在滑移面的滑移方向上的分切应力。
6.位错受力后运动方向处处垂直于位错线，在运动过程中是可变的，晶体作相对滑动的方向应是什么方向？始终是柏氏矢量方向。
7.位错线上的割阶一般如何形成？位错的交割。
8.界面能最低的界面是什么界面？共格界面。
9. “小角度晶界都是由刃型位错排成墙而构成的”这种说法对吗？否，扭转晶界就由交叉的同号螺型位错构成10.为什么只有置换固熔体的两个组元之间才能无限互溶，而间隙固熔体则不能？这是因为形成固熔体时，熔质原子的熔入会使熔剂结构产生点阵畸变，从而使体系能量升高。
熔质与熔剂原子尺寸相差越大，点阵畸变的程度也越大，则畸变能越高，结构的稳定性越低，熔解度越小。
一般来说，间隙固熔体中熔质原子引起的点阵畸变较大，故不能无限互溶，只能有限熔解。
综合题1. 作图表示立方晶体的（123）（0 -1 -2）（421）晶面及[-102][-211][346]晶向。
2. 写出立方晶体中晶向族<100>，<110>，<111>等所包括的等价晶向。
3. 写出立方晶体中晶面族{100}，{110}，{111}，{112}等所包括的等价晶面。
1 空间点阵与晶体结构的异同
1 空间点阵与晶体结构的异同空间点阵晶体结构人为的、抽象的几何图形客观的具有具体的物质内容,其基本的单元是结构单元（原子或离子)组成空间点阵的结点是没有物质内容的几何点结构单元与结点在空间排列的周期是一致的，或者说它们具有同样的T矢量；抽象的空间点阵不能脱离具体的晶体结构而单独存在，所以它不是一个无物质基础的纯粹的几何图形。
这种抽象能更深入地反映事物的本质与规律，因此是一个科学的抽象。
空间点阵只是一个几何图形，它不等于晶体内部具体的格子构造，是从实际晶体内部结构中抽象出来的无限的几何图形。
虽然对于实际晶体来说，不论晶体多小，它们所占的空间总是有限的，但在微观上，可以将晶体想象成等同点在三维空间是无限排列的。
2 在同一行列中结点间距是相等的；在平行的行列上结点间距是相等的；不同的行列，其结点间距一般是不等的（某些方向的行列结点分布较密；另一些方向行列结点的分布较疏。
）3 面网密度：面网上单位面积内结点的数目面网间距：任意2个相邻面网的垂直距离相互平行的面网的面网密度和面网间距相等面网密度大的面网其面网间距也大4 宏观晶体中对称要素的集合，包含了宏观晶体中全部对称要素的总和以及它们相互之间的组合关系（1）对称变换的集合——对称变换群（2）对称要素的集合——对称要素群合称对称群在宏观晶体中所存在的对称要素都必定通过晶体的中心，因此不论对称变换如何，晶体中至少有一个点是不变的，所以将对称型称为点群，该点称为点群中心5 点阵几何元素的表示法☆坐标系的确定任一点阵结点------------坐标原点单位平行六面体的三个互不平行的棱---坐标轴点阵常数a、b、c所代表的三个方向---x、y、z轴坐标单位：a、b、c ☆结点的位置表示法以它们的坐标值来表示的。
6 晶向的表示法晶向—空间点阵中由结点连成的结点线和平行于结点线的方向晶向指数uvw—通过原点作一条直线与晶向平行，将这条直线上任一点的坐标化为没有公约数的整数。
第2章晶体结构和空间点阵
1. 定义式
2. 倒易点阵与正点阵的倒易 关系
3. 倒易点阵参数： a* 、b*、 c*； α*、β*、γ*
4. 用倒易矢量推导晶面间距 和晶面夹角的计算公式
• 倒格矢的定义
a*2Fra bibliotek bc;
b*
2
c a
c*
2
a
b
a
(b
c)
Khkl
a
y
aγ
x
图 平面点阵
z
c
y
β γα
b
a
x
图8.1.6（c）空间点阵和晶格
◆阵点的坐标表示
以任意顶点为坐标原点，以与 原点相交的三个棱边为坐标轴， 分别用点阵周期（a、b、c）为度 量单位。
四种点阵类型 •简单 •体心 •面心 •底心
◆简单点阵的阵点坐标为000
▪ 底心点阵，C
除八个顶点上有阵点外， 两个相对的面心上有阵 点，面心上的阵点为两 个相邻的平行六面体所 共有。因此，每个阵胞 占有两个阵点。阵点坐 标为000，1/2 1/2 0
社会的四大支柱：能源、信息、材料、环境 材料：金属(metals)、陶瓷(ceramics)、聚合物(polymers)
晶体、非晶体（部分玻璃材料，无定形物质）
工艺⇔结构⇔性能
• 材料的性能决定于它们的组成和微观结构。 • 材料的结构受制备工艺的影响。 • 通过结构表征来优化生长工艺。 • 材料的性能取决于材料的种类和结构。
点阵是一组无限的点，点阵中每个点都具有 完全相同的周围环境。在平移的对称操作下,（连 结点阵中任意两点的矢量,按此矢量平移）,所有 点都能复原,满足以上条件的一组点称为点阵。
材料物理基础第二章固体结构-(2)空间点阵-201209
42
第二章固体结构（2）习题
1. 用文字阐述以下名词及其它们的关联性和异同点。
晶胞参数 点阵参数 晶格参数 a,b,c,,, 结构基元 晶体结构 晶胞 非初级阵胞 复胞 阵点 空间点阵 阵胞 初级阵胞 原胞 单胞 结晶学元胞
十四种布拉菲点阵 七个晶系
格点
晶格
基本单元
简单晶格
43
单位矢量
复式晶格
将周期性重复排列的原子/分子或原子群/分子群称为结构基
元（structural motif）。
结构基元是具有不同种类和几何位置的原子 / 离子的集合，
包含原子或分子的种类和数量及其排列方式，可以是单个原 子/分子，或是在空间以一定方式排列的原子群或分子群。
• 晶体结构可以看作由结构基元在三维空间组成的空间图案， 这些图案按一定的周期平移后可以自身重合。
期重复堆积而成的。
34
固体结构 — 空间点阵
• 晶胞的选择也有多种，通常按照反映晶体结构最高对称性原 则（十四种布拉菲点阵）进行划分 。 • 晶胞参数和其对应的阵胞（单胞）具有相同的点阵参数（a、 b、c和、、），即两者的形状和大小相同。
• 晶胞的结构基元抽象为阵点，就转化为相应的阵胞，在阵胞
31
固体结构 — 空间点阵
aP Triclinic三斜
mP Monoclinic单斜
mC
oP
32
oC oI Orthorhombic正交
oF
固体结构 — 空间点阵
hR Rhombohedral菱方
tP Tetragonal四方
tI
33
hP Hexagonal六方
cP
cI Cubic立方
cF
固体结构 — 空间点阵 晶胞：按照晶体结构的周期性划分的几何单元，构成晶体结构 的基本单元，整个晶体可看作是由晶胞在三维空间按一定的周
晶体结构与空间点阵的区别
晶体结构与空间点阵的区别
晶体结构和空间点阵是固体物理学中两个重要的概念。
虽然它们都涉及到晶体的结构，但它们之间存在着明显的区别。
晶体结构是指晶体中原子、离子或分子的排列方式。
晶体结构的研究是固体物理学的重要分支之一。
晶体结构的研究可以帮助我们了解晶体的物理性质，例如热膨胀、热导率、电导率等。
晶体结构的研究也对材料科学和化学等领域有着重要的应用价值。
空间点阵是指空间中一组点的集合，这些点具有一定的对称性。
空间点阵是晶体结构的数学描述。
空间点阵可以用来描述晶体中原子、离子或分子的排列方式。
空间点阵的研究可以帮助我们了解晶体的对称性和周期性。
空间点阵的研究也对晶体的物理性质有着重要的影响。
晶体结构和空间点阵之间的区别在于，晶体结构是描述晶体中原子、离子或分子的排列方式，而空间点阵是描述空间中一组点的集合。
晶体结构是实际存在的物质，而空间点阵是数学上的概念。
晶体结构是由原子、离子或分子的性质决定的，而空间点阵是由对称性决定的。
晶体结构和空间点阵是固体物理学中两个重要的概念。
它们之间存在着明显的区别。
晶体结构是描述晶体中原子、离子或分子的排列方式，而空间点阵是描述空间中一组点的集合。
晶体结构和空间点
阵的研究对于了解晶体的物理性质和对称性有着重要的意义。
空间点阵与晶体结构的关系
空间点阵与晶体结构的关系一、引言空间点阵是研究晶体结构的基础，对于理解晶体的物理性质和化学行为具有重要意义。
本文将从空间点阵与晶体结构的关系出发，探讨晶体结构的基本原理和特征。
二、空间点阵的概念与分类空间点阵是指一种由无限多个等间距排列的点构成的几何结构。
根据点的排列方式和对称性，空间点阵可以分为17种不同的点阵类型，其中最简单的是立方点阵、四方点阵和六方点阵。
三、晶体结构的基本原理晶体是由空间点阵所构成的周期性结构，具有长程有序性。
晶体结构的基本原理可归结为以下几点：1. 原胞：晶体结构的基本单位是原胞，它是由空间点阵中的一个点及其周围环境所组成的最小重复单元。
不同的晶体结构有不同的原胞形状和尺寸。
2. 基元：基元是原胞中最小的不可再分的结构单位，它决定了晶体的化学组成。
在晶体结构中，基元可以是原子、离子或分子。
3. 晶格：晶格是由原胞所组成的空间点阵，它描述了晶体结构中原胞的排列方式和对称性。
晶格可以用晶胞参数来描述，包括晶格常数、晶胞角度等。
四、晶体结构的分类根据晶体结构中原子或离子的排列方式，晶体结构可以分为以下几类：1. 离子晶体：离子晶体由正离子和负离子构成，通过离子键相互结合。
离子晶体的结构由离子的大小、电荷以及电荷比例等因素决定。
2. 共价晶体：共价晶体由共价键相连的原子构成，共用电子形成共价键。
共价晶体的结构由原子的键长、键角以及键的定向性等因素决定。
3. 金属晶体：金属晶体由金属原子通过金属键相互结合。
金属晶体的结构由金属原子的紧密堆积方式和电子云的扩散性质决定。
4. 分子晶体：分子晶体由分子通过分子间力相互结合。
分子晶体的结构由分子的形状、大小和分子间相互作用力等因素决定。
五、晶体结构与物性的关系晶体结构对于晶体的物理性质和化学行为具有重要影响。
晶体结构的不同可以导致晶体具有不同的导电性、磁性、光学性质等。
例如，金属晶体由于金属键的存在，具有良好的导电性和热导性；离子晶体由于离子的排列有序，具有高熔点和脆性；共价晶体由于共价键的存在，具有较高的硬度和熔点。
固体物理复习资料情况总结
第一章 晶体结构1、试说明空间点阵和晶体结构的区别。
答：空间点阵是晶体中质点排列的几何学抽象，用以描述和分析晶体结构的周期性和对称性，它是由几何点在三维空间理想的周期性规则排列而成，由于各阵点的周围环境相同，它只能有14种类型。
晶体结构则是晶体中实际质点（原子、离子或分子）的具体排列情况，它们能组成各种类型的排列，因此实际存在的晶体结构是无限的。
当晶格点阵中的格点被具体的基元代替后才形成实际的晶体结构。
2、证明体心立方格子和面心立方格子互为倒格子证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a j k a a i k a a i j ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩rr r r r rr r r由倒格子基矢的定义：1232()b a a π=⨯Ωr r r31230,,22(),0,224,,022a a a a a a a a a a Ω=⋅⨯==r r rQ ，223,,,0,()224,,022i j ka a a a a i j k a a ⨯==-++r rr r r r r r213422()()4a b i j k i j k a aππ∴=⨯⨯-++=-++r r rr r r r同理可得：232()2()b i j k ab i j k aππ=-+=+-r r r r r r r r 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。
所以，面心立方的倒格子是体心立方。
（2）体心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2aa i j kaa i j kaa i j k ⎧=-++⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+-⎪⎩rr rrrr rrrr rr由倒格子基矢的定义：1232()b a aπ=⨯Ωr r r3123,,222(),,2222,,222a a aa a a aa a aa a a-Ω=⋅⨯=-=-r r rQ，223,,,,()2222,,222i j ka a a aa a j ka a a⨯=-=+-rr rrrr r213222()()2ab j k j ka aππ∴=⨯⨯+=+r r rr r同理可得：232()2()b i kab i jaππ=+=+r rrr r r即体心立方的倒格子基矢与面心立方的正格基矢相同。
固体物理实验方法课]第1章_晶体学基础
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1.2 晶体结构与空间点阵
1.2.5 晶向、晶面及晶向、晶面指数
晶向指数的确定
1. 建立坐标系，结点为原点，三棱为方向，点阵 常数为单位 ； 2. 在晶向上任两点的坐标(x1 , y1 , z1) (x2 , y2 , z2)。 ( 若平移晶向或坐标，让在第一点在原点则下 一步更简单)； 3. 4. 5. 计算x2 - x1 ： y2 - y1 ： z2 - z1 ； 化成最小、整数比 u：v：w ；
其中，a 、b、 c；α、β、γ 为正点阵参数
1.3 倒易点阵
1.3.3 倒易点阵参数的大小和方向
（1） a* b a* c b* a b* c c* a c* b 0
因此，倒易点阵的基本矢量垂直于正点阵中异名矢量构成的平面。 a*垂直于b与c两个矢量构成的平面。同样b*（或c*）垂直于a与c（a与b） 两个矢量构成的平面。
倒易点阵是晶体结构周期性在傅立叶空间中的数学抽象。 如果把晶体点阵本身理解为周期函数，则倒易点阵就是晶体点 阵的傅立叶变换，反之晶体点阵就是倒易点阵的傅立叶逆变换。
所以，倒易点阵只是晶体点阵在不同空间 ( 波矢空间 ) 的
反映。
1.3 倒易点阵
1.3.4 倒易矢量
1、定义： 从倒易点阵原点向任一倒易阵 点所连接的矢量叫倒易矢量，表示为： r* = Ha* + Kb* + Lc*
晶包大小与形状
1.2 晶体结构与空间点阵
1.2.2 基本矢量与晶包
同一个点阵可以由不同的平行六面体晶胞 叠成。即可以任意选择不同的坐标系与基本矢 量来表示。 为了表达最简单，应该选择最理想、最适 当的基本矢量作为坐标系统。即是以结点作为 坐标原点，（ 1 ）选取基本矢量长度相等的数 目最多、（ 2 ）其夹角为直角的数目最多，且 （ 3 ）晶胞体积最小。这样的基本矢量构成的 晶胞称为布拉菲（BRAVAIS）晶胞。
材料科学基础名词解释
阵点：点阵中的各个点，称为阵点。
晶胞：晶胞 能完整反映晶体内部原子或离子在三维空间分布之化学-结构特征的平行六面体单元。
晶向指数、晶面指数：为了便于确定和区别晶体中不同方位的晶向和晶面，国际上通用密勒（Miller）指数来统一标定晶
向指数与晶面指数。
晶向族：原子排列情况相同在空间位向不同（即不平行）的晶向统称为晶向族。
不对称倾斜晶界：如果倾斜晶界的界面绕x轴转了一角度φ，则此时两晶粒之间的位向差仍为θ角，但此时晶界的界面对于两个晶粒是 倾斜晶界不对称的，故称不对称倾斜晶界(unsymmetrical tilt boundary)。
扭转晶界：扭转晶界(twist boundary)是小角度晶界的一种类型。它可看成是两部分晶体绕某一轴在一个共同的晶面上相对扭转一个θ角所构成的，扭转轴垂直于这一共同的晶面。该晶界的结构可看成是由互相交叉的螺型位错所组成 。
柯肯达尔效应（kirkendall effect）：原来是指两种扩散速率不同的金属在扩散过程中会形成缺陷，现已成为中空纳米颗粒的一种制备方法。可以作为固态物质中一种扩散现象的描述。
表面扩散：是指原子、离子、分子以及原子团在固体表面沿表面方向的运动。当固体表面存在化学势梯度场，扩散物质的浓度变化或样品表面的形貌变化时，就会发生表面扩散。
粘流态：当温度高于粘流化温度Tf并继续升高时，高聚物得到的能量足够使整个分子链都可以自由运动，从而成为能流动的粘液，其粘度比液态低分子化物的粘度要大得多，所以称为粘流态。
弹性形变：弹性形变是指固体受外力作用而使各点间相对位置的改变，当外力撤消后，固体又恢复原状谓之“弹性形变”。
弹性模量：材料在弹性变形阶段内，正应力和对应的正应变的比值。
晶面族：立方晶系中，由于原子的排列具有高度的对称性，往往存在有许多原子排列完全相同但在空间位向不同（即不平行）的晶面，这些晶面总称为晶面族。
晶体结构与空间点阵
晶体结构与空间点阵晶体结构是指固体物质内部原子、离子或分子的排列方式和组成。
了解晶体结构对于理解固体物质的性质、改性和应用都具有重要意义。
而空间点阵是描述晶体结构的方法之一，它是一种理想化的几何模型，通过在三维空间中重复排列点，可以描述晶体结构中原子、离子或分子的周期性排列方式。
晶体结构可以用不同的方法来描述，其中最常见的方法是晶胞法和间隙法。
晶胞法是指以晶胞为基本单位，通过晶胞中原子的坐标和相互之间的排列关系来描述晶体结构。
晶胞是一个有规律的多面体，通过平移晶胞可以填充整个晶体。
晶胞法适用于周期性排列的晶体，通过研究晶体中原子、离子或分子的坐标和相互之间的排列关系，可以了解晶体的对称性和周期性结构。
间隙法是指以离子间隙为基本单位，通过离子间隙的排列方式来描述晶体结构。
晶体中的离子以球形排列，相邻离子之间留有空隙。
通过在空隙中填充其他离子，可以形成稳定的晶体结构。
间隙法适用于存在离子间隙的晶体，如金属、陶瓷等。
晶体结构可以分为两类：周期性晶体和非周期性晶体。
周期性晶体是指具有明显的对称性和周期性结构的晶体，通过晶胞法可以描述其结构。
非周期性晶体是指没有明显对称性和周期性结构的晶体，如无定形玻璃、液晶等，通过微观结构的分析可以了解其组成和排列方式。
空间点阵是对晶体结构进行理想化描述的方法，通过重复排列点来描述晶体中的周期性结构。
空间点阵可以分为两类：传统点阵和非传统点阵。
传统点阵是指已知的几何形状，包括简单立方点阵、面心立方点阵、体心立方点阵等。
非传统点阵是指没有明确几何形状的点阵，如六方最密堆积点阵等。
晶体结构和空间点阵之间存在着密切的关系。
晶体结构通过空间点阵的描述可以使我们更好地理解晶体中原子、离子或分子的排列方式和周期性结构。
而空间点阵则通过晶体结构的描述可以使我们以简洁的方式了解晶体的结构特点和周期性性质。
晶体结构和空间点阵的研究对于材料科学和固体物理领域有着重要的意义，可以帮助我们设计和改进材料的性能和应用。
空间点阵与晶体结构的区别与联系
空间点阵与晶体结构的区别与联系示例文章篇一：哎呀！同学们，你们知道吗？空间点阵和晶体结构这两个概念可把我绕晕了好久呢！咱先来说说空间点阵吧。
就好像咱们在操场上排队做体操，每个人都站在规定好的位置上，这些位置就像是空间点阵里的点。
这些点可不是随便乱排的，它们有规律，有秩序，整整齐齐的。
那晶体结构又是什么呢？这就好比是一个用积木搭成的城堡。
每一块积木就像是组成晶体的原子、分子或者离子，它们按照特定的方式组合在一起，形成了美丽又独特的城堡，也就是晶体结构。
你说空间点阵和晶体结构难道没有相似的地方吗？那肯定有呀！它们就像一对双胞胎兄弟，都有着内在的规律和秩序。
空间点阵是晶体结构的基础，没有空间点阵那些有规律的点，哪来晶体结构中原子、分子、离子的有序排列呢？比如说，氯化钠晶体，它的结构不就是钠离子和氯离子按照一定的规律排排站嘛！这和空间点阵不就有着密切的关系吗？再想想看，要是没有空间点阵来指引，晶体结构能那么规整漂亮吗？肯定不能啊！那它们就没有区别啦？当然不是！空间点阵只是抽象的点的排列，可没有实际的物质存在。
而晶体结构呢，那可是实实在在的原子、分子或者离子组合在一起的呀！老师上课讲这些的时候，我就在想，这多像我们班级的座位排列和整个班级的组成呀！座位排列就像是空间点阵，有规矩，而我们每个同学就像是组成班级这个“晶体”的一份子，共同构成了一个独特的集体。
所以说呀，空间点阵和晶体结构既有联系又有区别，它们就像一对相互依存又各自独特的好伙伴，共同构成了奇妙的物质世界。
怎么样，同学们，你们是不是也像我一样搞清楚啦？示例文章篇二：哇塞！今天老师给我们讲了空间点阵和晶体结构，一开始我还一头雾水呢，这俩家伙到底是啥？又有啥区别和联系呀？先来说说空间点阵吧。
就好像我们排队做操一样，每个人都站在规定好的位置上，整整齐齐的。
空间点阵里的那些点，就跟我们做操的位置一样，是有规律地排列着的。
晶体结构呢，就像是一座超级漂亮的城堡。
晶体结构与空间点阵
5-2
六方晶系
1
dhkl
h2 hkk2 l2
5-3
4(
)
3a2
c2
晶面指标越高, 面间距越小, 晶面上粒子的密度（或阵点的密度）也越小. 只有 （h*k*l*）小, dh*k*l*大, 即阵点密度大的晶面（粒子间距离近, 作用能大, 稳定）才能被 保留下来.
习题 金属镍立方晶胞中（111）晶面的晶面间距d111为2.035Å，求其（220）晶面间距d220。
晶系 立方晶系 六方晶系 四方晶系 三方晶系
正交晶系
单斜晶系 三斜晶系
七个晶系及有关特征 特征对称元素 4个按立方体对角线取 向的3重旋转轴
6重对称轴 4重对称轴
3重对称轴
晶胞特点
a=b=c α=β=γ=90°
a=b≠c α=β=90°,γ=12
0° a=b≠c α=β=γ=90°
a=b=c α=β=γ≠90°
简单单斜
2.2、晶向、晶面及晶向、晶面指标 《晶体学中阵点平面与阵点直线的空间取向分别用晶面指数与晶向指数来表示。》
2.2.1 晶向与晶向指标 任意两结点的结点列称为晶向。与此晶向相对应，一定有一组相互平行而且具有同一重复周期的
结点列。
晶向的表示方法： 取其中通过原点的一根结点列，求该列最近原点的结点的指数，u, v, w, 并用方括号标记 [uvw]。
括起来。使h∶k∶l = 1/r∶1/s∶1/t。 则(h k l)就是待标晶面的晶面指数。
习题
z （1）截距r、s、t分别为3，3，5
（2）1/r : 1/s : 1/t = 1/3 : 1/3 : 1/5
（3）最小公倍数15，
（4）于是，1/r，1/s，1/t分别乘15得到5，5，3，
2.2+晶体结构的周期性与空间点阵-20160912X
30
• 单胞和原胞相同
31
• 单胞和原胞不相同
1 a b c j k 2 2 1 a a2 c a k i 2 2 1 a a3 a b i j 2 2 a1
面心立方
单胞
32
简单菱方 原胞
• 单胞和原胞不相同
2
1.2 1.1，1.2，1.4.2
• Robert W. Cahn. The coming of Materials Science. 3.1.1
重要概念：
晶体结构，空间点阵，结构基元，阵点
基矢，初级矢量，非初级矢量
阵胞，晶胞，原胞，单胞，初级阵胞，非初级阵胞（复胞）
点阵常数（晶格常数），晶系，布拉菲点阵
微镜的发明并提供了原子晶体结构的有利证据，但在高分辨电子显微
15
镜发明之前，人们从未看到原子本身。
Development of STM
scanning tunneling microscope
• 1982年IBM公司苏黎士研究实验室 的Gerd Bining和Heinrich Roher 研制出扫描隧道显微镜（STM）。 • STM使人类第一次能够实时地观察 单个原子在物质表面的排列状态和
空间群理论发表20年后才发现分析晶体结构的实验方法。用于分析衍
射谱的一个必不可少的工具。
9
20世纪， X射线衍射方法成为确定晶体结构的手段，间接地证明晶体中
原子呈规则排列，揭示了晶体内部周期性结构。
在晶体学的全部历史中，最重要的转折是发现晶体能够衍射 X射线，使
得人们通过实验确定原子在晶胞中的位置。
14
Development of TEM Transmission Electron Microscope
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晶胞中的原子计数
在晶胞不同位置的原子由不同数 目的晶胞分享： 目的晶胞分享： 顶角原子： 顶角原子： 1/8 棱上原子： 棱上原子：1/4 面上原子： 面上原子：1/2 晶胞内部： 晶胞内部： 1
◆简单点阵 （P） ）
只在晶胞的顶 只在晶胞的顶 点上有阵点， 点上有阵点， 每个晶胞只有 一个阵点， 一个阵点，阵 坐标为000 点坐标为000
第二章 晶体学基础
1、晶体结构与空间点阵 、 2、晶向、晶面及指标 、晶向、 3、晶面间距 、 4、晶面族 、 5、倒易点阵 、
燕山大学材料科学与工程学院 材料现代分析测试方法课程教学团队 章学习 ， 掌握表达晶体周期性结构与它的点阵的 各种概念；掌握晶面指数与晶向指数的标定， 各种概念 ； 掌握晶面指数与晶向指数的标定 ， 晶面间距 与晶面夹角的表达；倒易点阵。 与晶面夹角的表达；倒易点阵。
国际上通用的是密勒（ 国际上通用的是密勒（Miller）指数，即用 ）指数， 三个数字来表示晶面指数。 三个数字来表示晶面指数。
标定方法： 标定方法：
(1)在一组相互平行的晶面中任选一个晶面， 量出它在三个坐标轴上的截距，并用点阵周 期a，b，c来度量。假设截距为r，s，t。 (2)取截距的倒数 1/r，1/s，1/t。 (3)将这些倒数乘以分母的最小公倍数，把他 们化为三个简单整数h，k，l， ，并用圆括号 括起来。使h∶k∶l = 1/r∶1/s∶1/t。 则(h k l)就是待标晶面的晶面指数。
晶向的表示方法： 晶向的表示方法：
取其中通过原点的一根结点列，求该列最近原点的结点的 取其中通过原点的一根结点列， 指数， 并用方括号标记[uvw]。 指数，u, v, w, 并用方括号标记 。
或者：（ ） 或者：（1）在一族相互平行的阵点直线中 ：（ 引出过坐标原点的阵点直线。 引出过坐标原点的阵点直线。 （2）在该直线上任取一点，量出坐标，并 ）在该直线上任取一点，量出坐标， 用点阵周期a, 表示。 用点阵周期 b, c表示。 表示 （3）将三个坐标值用同一个数乘或除，划 ）将三个坐标值用同一个数乘或除， 归互质整数，并加方括号。 归互质整数，并加方括号。
晶体结构 = 点阵 + 结构基元
2.1.2 基本矢量与晶胞
一个结点在空间三 个方向上， 个方向上，以a, b, c重 重 复出现即可建立空间 点阵。 点阵。重复周期的矢 量a, b, c称为点阵的基 称为点阵的基 称为点阵的 本矢量。 本矢量。 由基本矢量构成的 平行六面体称为点阵 的单位晶胞。 单位晶胞。
布拉菲晶胞
同一个点阵可以由不同的平行六面体晶胞 叠成。即可以任意选择不同的坐标系与基本矢 叠成。即可以任意选择不同的坐标系与基本矢 来表示。 量来表示。 为了表达最简单，应该选择最理想、 为了表达最简单，应该选择最理想、最适 当的基本矢量作为坐标系统。 当的基本矢量作为坐标系统。即是以结点作为 坐标原点，（ ，（1） 坐标原点，（ ）选取基本矢量长度相等的数 目最多、（ 、（2）其夹角为直角的数目最多， 目最多、（ ）其夹角为直角的数目最多，且 （3）晶胞体积最小。这样的基本矢量构成的 ）晶胞体积最小。 晶胞称为布拉菲 布拉菲（ 晶胞称为布拉菲（BRAVAIS）晶胞。 ）晶胞。
晶向指数的确定
建立坐标系，结点为原点， 1. 建立坐标系，结点为原点，三 棱为方向， 棱为方向，点阵常数为单位 ； 2. 在晶向上任两点的坐标 (x1,y1,z1) (x2,y2,z2)。(若 (x2,y2,z2)。 平移晶向或坐标， 平移晶向或坐标，让在第一点 在原点则下一步更简单) 在原点则下一步更简单)； 3. 计算x2-x1 ： y2-y1 ： z2计算x2y2z2x2 z1 ； 化成最小、整数比u 4. 化成最小、整数比u：v：w ； 放在方括号[uvw] [uvw]中 5. 放在方括号[uvw]中，不加逗 号，负号记在上方 。
z
x
我们说（553）晶面，实际是指一组平行的晶面。 我们说（553）晶面，实际是指一组平行的晶面。 一组平行的晶面
晶面指数特征： 晶面指数特征：
1，所有相互平行的晶面，其晶面指数相同，或者 三个符号均相反。可见，晶面指数所代表的不仅 是某一晶面，而且代表着一组相互平行的晶面。 2，晶面指数中h、k、l是互质的整数。 3，最靠近原点的晶面与X、Y、Z坐标轴的截距为 a/h、b/k、c/l。
习 题
分别为3， ， （1）截距 、s、t分别为 ，3，5 ）截距r、 、 分别为 （2）1/r : 1/s : 1/t = 1/3 : 1/3 : 1/5 ） （3）最小公倍数 ， ）最小公倍数15， （4）于是，1/r，1/s，1/t分别 ）于是， ， ， 分别 得到5， ， ， 乘15得到 ，5，3， 得到 因此，晶面指标为（ 因此，晶面指标为（553）。 ）。 c a b y
七个晶系及有关特征
晶系 特征对称元素 晶胞特点 空间点阵型式
立方晶系 六方晶系 四方晶系 三方晶系
4个按立方体对 角线取向的3重 旋转轴 6重对称轴 4重对称轴 3重对称轴 2个互相垂直的 对称面或3个互 相垂直的2重对 称轴 2重对称轴或对 称面 无
a=b=c α=β=γ=90 °
a=b≠c α=β=90° α=β=90°,γ= 120° 120°
正交晶系
单斜晶系 三斜晶系
2.2、晶向、晶面及晶向、 2.2、晶向、晶面及晶向、晶面指标
晶体学中阵点平面与阵点直线的空间取向分别用晶面指数与晶向指数来表示。 《晶体学中阵点平面与阵点直线的空间取向分别用晶面指数与晶向指数来表示。》
2.2.1 晶向与晶向指标
任意两结点的结点列称为晶向。与此晶向相对应， 任意两结点的结点列称为晶向。与此晶向相对应，一定有 一组相互平行而且具有同一重复周期的结点列。 一组相互平行而且具有同一重复周期的结点列。
结构基元
在晶体的点阵结构中每个阵点所代表的具体内容， 在晶体的点阵结构中每个阵点所代表的具体内容， 包括原子或分子的种类和数量及其在空间按一定方式 晶体的结构基元。 排列的结构，称为晶体的结构基元 排列的结构，称为晶体的结构基元。结构基元是指重 复周期中的具体内容。 复周期中的具体内容。
点阵点
点阵点是代表结构基元在空间重复排列方式的抽 点阵点是代表结构基元在空间重复排列方式的抽 象的点。如果在晶体点阵中各点阵点位置上， 象的点。如果在晶体点阵中各点阵点位置上，按同一 种方式安置结构基元，就得整个晶体的结构。 种方式安置结构基元，就得整个晶体的结构。 所以可简单地将晶体结构示意表示为： 所以可简单地将晶体结构示意表示为：
每一个点阵只有一个最理想的晶胞即布拉菲晶胞。 每一个点阵只有一个最理想的晶胞即布拉菲晶胞。
2.1.3 布拉菲点阵
法国晶体学家A. 研究表明， 法国晶体学家 Bravais研究表明，按 研究表明 照上述三原则选取的晶胞只有14种 照上述三原则选取的晶胞只有 种，称 种布拉菲点阵。 为14种布拉菲点阵。 种布拉菲点阵 14种布拉菲点阵分属 个晶系中。 种布拉菲点阵分属7个晶系中 种布拉菲点阵分属 个晶系中。
即与原点位置无关；每一指数对应一组平行的晶面。 即与原点位置无关；每一指数对应一组平行的晶面。
立方晶系几组晶面及其晶面指标。 立方晶系几组晶面及其晶面指标。
（100）晶面表示晶面与a轴相截与b轴、c轴平行； 100）晶面表示晶面与a轴相截与b 轴平行； （110）晶面表示与a和b轴相截，与c轴平行； 110）晶面表示与a 轴相截， 轴平行； （111）晶面则与a、b、c轴相截，截距之比为1:1:1 111）晶面则与a 轴相截，截距之比为1:1:1
2.1、晶体结构与空间点阵 、
2.1.1 空间点阵（Space Lattice） 空间点阵（ ）
晶体结构的几何特征是其结构基元（ 晶体结构的几何特征是其结构基元（原 结构基元 离子、分子或其它原子集团） 子、离子、分子或其它原子集团）一定周期 性的排列。 性的排列。通常将结构基元看成一个相应的 几何点，而不考虑实际物质内容。 几何点，而不考虑实际物质内容。 这样就可以将晶体结构抽象成一组无限 多个作周期性排列的几何点。 多个作周期性排列的几何点。这种从晶体结 构抽象出来的， 构抽象出来的，描述结构基元空间分布周期 性的几何点，称为晶体的空间点阵 空间点阵。 性的几何点，称为晶体的空间点阵。几何点 阵点。 为阵点。
简单立方 立方体心 立方面心 简单六方 简单四方 体心四方 简单六方 R心六方 简单正交 C心正交 体心正交 面心正交 简单单斜 C心单斜 简单单斜
a=b≠c α=β=γ=90° α=β=γ=90° a=b=c α=β=γ≠90 ° a≠b≠c α=β=γ=90° α=β=γ=90° a≠b≠c α=β=90° α=β=90°≠ γ a≠b≠c a≠b≠c≠90° a≠b≠c≠90°
底心点阵， ◆底心点阵，C 除八个顶点上有阵点外， 除八个顶点上有阵点外， 两个相对的面心上有阵 点，面心上的阵点为两 个相邻的平行六面体所 共有。因此， 共有。因此，每个阵胞 占有两个阵点。 占有两个阵点。阵点坐 标为000，1/2 1/2 0 ， 标为
2.1.4 点阵常数
平行六面体的三个棱长a 平行六面体的三个棱长a、b、c和及其夹 角α、β、γ，可决定平行六面体尺寸和 形状，这六个量亦称为点阵常数。 形状，这六个量亦称为点阵常数。 点阵常数
体心点阵， ◆体心点阵，I 个顶点外， 除8个顶点外，体 个顶点外 心上还有一个阵点， 心上还有一个阵点， 因此，每个阵胞含 因此， 有两个阵点， ， 有两个阵点，000， 1/2 1/2 1/2
面心点阵。 ◆面心点阵。F 个顶点外， 除8个顶点外，每个面心 个顶点外 上有一个阵点， 上有一个阵点，每个阵 胞上有4个阵点，其坐标 胞上有 个阵点， 个阵点 分别为000，1/2 1/2 0， ， 分别为 ， 1/2 0 1/2， 0 1/2 1/2 ，
14 种 空 间 点 阵 形 式
按晶胞中阵点位置的不同可将14种布拉菲 按晶胞中阵点位置的不同可将14种布拉菲 14 点阵分为四类： 点阵分为四类： 简单(P) 简单(P) 简单 体心(I) 体心(I) 体心 面心(F) 面心(F) 面心 底心(C) 底心(C) 底心