用径向基函数求微幅波的势函数
径向基函数 输入和输出
径向基函数输入和输出径向基函数（Radial Basis Function, RBF）是一种常用的非线性函数模型，广泛应用于数据挖掘、机器学习和模式识别等领域。
它是一种基于输入和输出之间距离的函数，具有良好的逼近能力和较强的非线性特征提取能力。
径向基函数的输入和输出分别表示为x和y，其中x是一个n维向量，而y是一个实数。
在RBF模型中，输入和输出之间的关系通过径向基函数来描述。
径向基函数通常具有以下特点：以输入特征为中心，在输入特征附近具有较高的函数值，随着输入特征与中心的距离增加，函数值逐渐减小。
常用的径向基函数有高斯函数、多项式函数等。
在RBF模型中，首先需要确定径向基函数的中心和宽度。
中心可以选择输入数据的各个样本点，也可以通过聚类算法来获得。
宽度的选择对模型的性能影响较大，通常可以使用交叉验证等方法进行选择。
径向基函数具有良好的逼近能力，可以用于拟合任意复杂度的函数关系。
它不仅可以处理线性可分的数据，还可以处理非线性可分的数据。
对于非线性问题，径向基函数能够通过适当的中心和宽度选择，将数据映射到高维空间中，使得其线性可分。
径向基函数的优势不仅在于其非线性特征提取能力，还在于其对噪声的鲁棒性。
由于径向基函数对噪声敏感度较低，能够抑制异常点的影响，提高模型的鲁棒性。
在实际应用中，径向基函数常用于分类、回归和聚类等任务。
在分类问题中，通过训练数据集构建径向基函数模型，可以将新的样本点映射到适当的类别中。
在回归问题中，径向基函数用于拟合输入和输出之间的映射关系，预测新的输出值。
在聚类问题中，径向基函数用于对数据进行聚类分析，将相似的样本点分到同一类别中。
为了提高径向基函数的性能，有时还可以结合其他机器学习算法，如支持向量机、深度学习等。
这样可以进一步提高模型的泛化能力和适应性。
总之，径向基函数作为一种常用的非线性函数模型，在数据挖掘、机器学习和模式识别等领域具有广泛的应用。
它的输入和输出之间的关系通过径向基函数来描述，具有良好的逼近能力和较强的非线性特征提取能力。
海岸动力学严以新试卷及答案
第一章 1．1 建立简单波浪理论时，一般作了哪些假设？ 1．2试写出波浪运动基本方程和定解条件，并说明其意义。
1．3试写出微幅波理论的基本方程和定解条件，并说明其意义及求解方法。
1．4线性波的势函数为 gh coshk h z φ sin kx σt 2σ cosh kh 证明上式也可写为 Hc coshk h z φ sin kx σt 2 sinh kh 1．5 由线性波的势函数证明水质点轨迹速度 πH coshk h z u coskx σt T sinh kh πH sinhk h z ω sin kx σt T sinh kh 并绘出相位kx σt 02 π 时自由表面处的质点轨迹速度变化曲线以?跋辔坏扔?0， π /2，π ，3 π /2 和 2 π 时质点轨迹速度沿水深分布。
1．6 试根据弥散方程，编制一已知周期 T 和水深 h 计算波长、波数和波速的程序，并计算出 T 9s， h 分别为 25m 和 15m处的波长和波速。
1．7 证明只有水深无限深时，水质点运动轨迹才是圆。
1 ρgH 2 1．8 证明线性波单位水柱体内的平均势能和动能为 16 。
1．9 在水深为 20m处，波高 H 1m，周期 T 5s，用线性波理论计算深度 z –2m、–5m、–10m处水质点轨迹直径。
1．10 在水深为 10m 处，波高 H 1m，周期 T6s，用线性波理论计算深度 z –2m、–5m、–10m 处水质点轨迹直径。
1 ． 1 在某水深处的海底设置压力式波高仪，测得周期 T 5s ，最大压力p max 85250 N / m 2 包括静水压力，但不包括大气压力，最小压力 p min 76250 N / m2 ，问当地水深、波高是多少 1．12 若波浪由深水正向传到岸边，深水波高 H 02m ，周期 T 10 s ，问传到lkm长的海岸上的波浪能量以功率计有多少？设波浪在传播中不损失能量。
径 向基 函数
径向基函数径向基函数是一种常用的函数类型，通常用于数学计算、信号处理、图像处理及机器学习等领域。
它们的主要特点是具有局部特性和无限可微性，因此能够适应多种复杂数据的建模需求。
下面，我们来逐步阐述径向基函数的相关概念和应用。
第一步：径向基函数的定义径向基函数（Radial Basis Function，简称RBF）是以某一点为中心，以此点到其他所有数据点的距离为核心的一类函数。
常见的径向基函数有高斯径向基函数、多孔径向基函数等。
高斯径向基函数的公式为：φ(r) = e^(-r^2/2σ^2)其中r为点到中心点的距离。
第二步：径向基函数的应用径向基函数在多个领域有着广泛的应用。
以下是其中几个领域的应用举例：1. 信号处理：在信号处理中，径向基函数可以用于特征提取和去噪处理。
例如，将信号分解为多个径向基函数的线性组合，可以提取出信号中的有用信息。
2. 图像处理：在图像处理中，径向基函数可以用于图像配准、图像分割和图像重建等方面。
例如，将图像中的每个像素点看作一个数据点，使用多个径向基函数将图像进行拟合，可以得到更清晰的图像信息。
3. 机器学习：在机器学习中，径向基函数可以用于分类、聚类和回归等方面。
例如，在支持向量机中，径向基函数可以用于定义支持向量的核函数，以实现非线性分类。
第三步：径向基函数的优点与其他函数类型相比，径向基函数具有以下优点：1. 局部特性：径向基函数在计算权重时只使用局部数据点，可以适应非线性和复杂的数据分布。
2. 无限可微性：径向基函数是无限可微的函数类型，可以在数据中心点处获得连续可导的导函数，因此可大幅降低过拟合的可能性。
3. 灵活性：径向基函数可以使用不同的核参数，如高斯核、多孔核等，以适应不同数据类型和建模需求。
总之，径向基函数在多个领域有着广泛的应用，并且具有许多优点。
不过，在使用径向基函数时也需要注意其参数的选择和模型调参，以获得更好的建模效果。
微幅波理论
欧拉法:亦称局部法，它是以空间某一固定点为研究对象，研究任 一质点流过固定点的运动特性。欧氏法研究的是某一流场的变化， 它能给出某一固定时刻空间各点的速度大小和方向。 拉格朗日法:亦称全面法，它以空间某一质点为研究对象，研究 该质点相对于初始条件的各个不同时间的位置、速度和加速度等。 拉氏法研究的是某一质点的位置变化。
非线性项
z=η
+ gη = 0
自由水面运动学边界条件为
非线性项
∂η ∂η ∂ϕ ∂ϕ + − = 0, z =η ∂t ∂x ∂x ∂z
难点： 1) 自由水面边界条件是非线性的； 2) 自由水面位移η在边界上的值是未知的，即边界条件不 是确定的。 要求得上述波动方程的边值解，最简单的方法是先将边 界条件线性化，将问题化为线性问题求解。
微幅波理论
一
概述
为了计算作用在一个结构上或其任意构件上 的海浪作用力，首先必须确定设计所依据的波浪 要素，在确定了波浪的基本参数之后，还需要确 定波浪下的整个流场，以此作为计算波浪作用在 结构上的流体动力载荷的依据。 波浪的特性是随时间变化的，而且这种依赖 关系有两种不同的时标，即长时标和短时标。 长时标以小时、天、甚至年为单位，适于描 述强度的变化或这个自然过程统计特征。短时标 以分或秒为单位来度量，适于描述表面波周期的 详细特征。 在评价经典波浪理论时，重点主要是放在短 时标的情况。
六、微幅波的压力场
微幅波场中任一点的波浪压力可由线性化的Bernoulli方程求得
∂ϕ 1 ∂ϕ ∂ϕ pz = −ρgz − ρ − ρ + ∂t 2 ∂x ∂z
2 2
线性化
∂ϕ pz = −ρgz − ρ ∂t
振动和波高中的物理公式及答题技巧
振动和波高中的物理公式及答题技巧振动和波高中的物理公式1.简谐振动F=-kx {F:回复力，k:比例系数，x:位移，负号表示F的方向与x始终反向}2.单摆周期T=2π(l/g)1/2 {l:摆长(m)，g:当地重力加速度值，成立条件:摆角θ100;lr｝3.受迫振动频率特点：f=f驱动力4.发生共振条件:f驱动力=f固，A=max，共振的防止和应用5.机械波、横波、纵波6.波速v=s/t=λf=λ/T{波传播过程中，一个周期向前传播一个波长;波速大小由介质本身所决定}7.声波的波速(在空气中)0℃：332m/s;20℃:344m/s;30℃:349m/s;(声波是纵波)8.波发生明显衍射(波绕过障碍物或孔继续传播)条件：障碍物或孔的尺寸比波长小，或者相差不大9.波的干涉条件：两列波频率相同(相差恒定、振幅相近、振动方向相同)10.多普勒效应:由于波源与观测者间的相互运动，导致波源发射频率与接收频率不同{相互接近，接收频率增大，反之，减小高考物理答题技巧物理学是十分严谨的科学，这一特征决定了考生答题的书写必须符合物理专业术语，例如书本上“探究加速度和力的关系”的实验，需要做平衡摩擦力工作，实际情况不太可能方刚好全部平衡摩擦力，将导致实验得到的a-F图像可能有两种，其中一种是木板倾角太小(没有平衡摩擦力)、另一种是木板倾角太大(过平衡摩擦力)，答题书写时不能笼统地写成“没有平衡摩擦力”。
物理学的逻辑美要求考生书写必须有条理，书写最好有中文、英文字母及必要的图形标注。
书写出所应用的物理学概念、规律，列出相应的方程式，标注于①②③…式，代入数据及数据计算可以在草稿纸上完成(不需写在答题卡上)，最后需书写答案，有些考生不注重书写答案，就有可能漏答速度的方向、电荷的正负、气体是吸热还是放热等要素，造成失分。
高考物理怎样复习好高考物理复习要认真钻研大纲、全面系统复习(1)高考物理大纲对照，即将考试大纲中的考试目标与教学大纲中的教学目标进行对照。
势函数解读
例如，如果每个原子的结合能准确给出，则空位形成能就 不能准确知道；反之亦然。
此外，经典对势的主要缺点还表现在，其用于金属柯西偏 差的模拟预测时给出了不恰当的结果。
为了描述立方系金属的线性各向异性弹性性质，我们需要 知道三个常数：C1111(C11)， C1122(C12)和C2323(C44)。
7.1 原子间作用势模型
金属键、共价键及离子键三种主要键型是对实际系统的唯 象简化，因为在实际系统普遏存在着混合结合键。例如， 对子大多数过渡金属来说，方向性共价键与金属键形成互 补。任何定量成键理论都应该包括那些与原子结合在一起 的价电子的非经典特性。预测计算原子之间的结合键，必 须求解多体(约1023个粒子)问题的薛定谔方程。要实现这 一方法是非常困难的。因此，人们提出了各种不同的原子 间作用势近似模型，这些模型或多或少都带唯象的痕迹。
7.3 各向同性多体对泛函势
在二次矩和Finnis-Sinclair势中，嵌入函数F是一个平方根。 这是由电子态密度的紧束缚简化模型推出来的。
在嵌入原子方法及其相似的近似方法中，嵌入函数可由嵌
入原子能量导出，其嵌入原子被埋入局域电子密度为ρi的 均匀自由电子气中。
不论哪种情况，嵌入函数都是ρi 的负值凹型函数。
已用于晶格缺陷的模拟的原子间作用势包括：通用的径向 对称经验对相互作用；非径向对称键，它在有关的过渡金 属晶格缺陷的模拟中很有用；更为基本的近似方法诸如半 经验紧束缚近似，能给出与真实原子轨道相同的角动量以 及局域密度泛函理论。
7.1 原子间作用势模型
应当强调指出，建立合理的公式化势模型不仅是分子动力 学方法的需要，而且在迈氏蒙特卡罗和集团变分等模拟方 法中其重要性也在日益增加。
波浪理论(可编辑修改word版)
波浪理论目前被广泛应用的波浪理论的研究经历了从规则波到随机波的过渡，规则波理论的特点是将海浪运动看成确定的函数形式，通过流体力学分析研究各种情况下波浪的动力学性质和运动规律。
规则波理论的研究始于19 世纪，至今为止，经历了由线性理论向非线性理论及湍流理论发展的过程。
其理论主要包括微幅波理论(Airy 理论)、Stokes 波理论、椭圆余弦波理论、孤立波理论等。
微幅波理论是应用势函数来研究波浪运动的一种线性波浪理论，是波浪理论中最基本、最重要的内容，也是近海工程中应用的最广泛的部分。
1887 年英国流体力学家Stokes 提出了Stokes 波理论，在近海工程计算中，人们常采用高阶Stokes 波应用于最大波的计算公式。
Stokes 波没有考虑水深变化对结果的影响，只适用于一般水深的情况。
在浅水情况下，用Stokes 波理论达不到所要求的精度，如果采用能反映决定波动性质的主要因素的椭圆余弦波理论描述波浪运动，可以获得较满意的结果。
椭圆余弦波理论最早是在1895 年由Korteweg 等提出的，其后由Keulegan 等进一步研究并使之适用于工程实践。
各种波浪理论的比较目前虽有许多人对各种波浪理论的适用范围进行过研究，但由于采用的判据各不相同，得出的结果也差别较大，波浪理论的适用范围依然只能定性分析。
现在只能确定椭圆余弦波一般用于浅水区，孤立波一般适用于近岸浅水区且周期波的波峰能量占全波能量的90%以上的情况，微幅波一般适用于深水区，而对于有限水深区，情况则较为复杂，多种波浪理论的适用范围在此交叉，需要依照实际工况进行分析才能选取合适的波浪理论。
1.波浪理论的选用目前，常用的波浪理论主要有艾利波(Airy)理论(又称线性波理论或正弦波理论)、斯托克斯(Stokes)高阶波理论、椭圆余弦波理论、孤立波理论。
各波浪理论都是通过假设与简化得到的，基于不同的假设与简化，理论计算结果有别，也各有适用范围。
为了确定各种波浪理论的适用范围，不少研究者进行了理论分析或试验观测。
高斯(核)函数简介
高斯（核）函数简介1函数的基本概念所谓径向基函数(Radial Basis Function 简称RBF), 就是某种沿径向对称的标量函数。
通常定义为空间中任一点x到某一中心xc之间欧氏距离的单调函数, 可记作k(||x-xc||), 其作用往往是局部的, 即当x远离xc时函数取值很小。
最常用的径向基函数是高斯核函数,形式为k(||x-xc||)=exp{- ||x-xc||^2/(2*σ)^2) } 其中xc为核函数中心,σ为函数的宽度参数, 控制了函数的径向作用范围。
高斯函数具有五个重要的性质，这些性质使得它在早期图像处理中特别有用．这些性质表明，高斯平滑滤波器无论在空间域还是在频率域都是十分有效的低通滤波器，且在实际图像处理中得到了工程人员的有效使用．高斯函数具有五个十分重要的性质，它们是：（1）二维高斯函数具有旋转对称性，即滤波器在各个方向上的平滑程度是相同的．一般来说，一幅图像的边缘方向是事先不知道的，因此，在滤波前是无法确定一个方向上比另一方向上需要更多的平滑．旋转对称性意味着高斯平滑滤波器在后续边缘检测中不会偏向任一方向．（2）高斯函数是单值函数．这表明，高斯滤波器用像素邻域的加权均值来代替该点的像素值，而每一邻域像素点权值是随该点与中心点的距离单调增减的．这一性质是很重要的，因为边缘是一种图像局部特征，如果平滑运算对离算子中心很远的像素点仍然有很大作用，则平滑运算会使图像失真．（3）高斯函数的付立叶变换频谱是单瓣的．正如下面所示，这一性质是高斯函数付立叶变换等于高斯函数本身这一事实的直接推论．图像常被不希望的高频信号所污染(噪声和细纹理)．而所希望的图像特征（如边缘），既含有低频分量，又含有高频分量．高斯函数付立叶变换的单瓣意味着平滑图像不会被不需要的高频信号所污染，同时保留了大部分所需信号．（4）高斯滤波器宽度(决定着平滑程度)是由参数σ表征的，而且σ和平滑程度的关系是非常简单的．σ越大，高斯滤波器的频带就越宽，平滑程度就越好．通过调节平滑程度参数σ，可在图像特征过分模糊(过平滑)与平滑图像中由于噪声和细纹理所引起的过多的不希望突变量(欠平滑)之间取得折衷．（5）由于高斯函数的可分离性，大高斯滤波器可以得以有效地实现．二维高斯函数卷积可以分两步来进行，首先将图像与一维高斯函数进行卷积，然后将卷积结果与方向垂直的相同一维高斯函数卷积．因此，二维高斯滤波的计算量随滤波模板宽度成线性增长而不是成平方增长．2函数的表达式和图形在这里编辑公式很麻烦，所以这里就略去了。
谈波函数的径向分布函数
谈波函数的径向分布函数径向分布函数是用来描述波函数在空间中的分布情况的函数，它表示在某一距离处，波函数的幅值具有特定的分布特征。
径向分布函数描述了波函数与观察空间每一点之间的耦合情况，可以用来判断波函数在各点出现的概率和散射特性。
二、波函数的径向分布函数的表示径向分布函数一般表示为:R(θ,φ) = |F(θ,φ)|其中R(θ,φ)是径向分布函数，F(θ,φ)是波函数，θ、φ是球坐标。
径向分布函数实际上是波函数在某点处的模平方。
三、径向分布函数的特性1.依照空间点与源点距离大小而变化，常见的波函数距离变化的情况有：近场改变为1/r、r^2、R^3、R^4等比例关系，而远场改变为1/R^2、1/R^3等比例关系；2.在空间中是一种多重性，即它的幅度并没有确定的最大值，特定空间点的径向分布函数值耦合周围空间点的函数值；3.处处是正实数，其总和值应该为1，否则就不属于自由空间；四、应用1.径向分布函数可以用于评价波函数在不同空间点的发射特性和接收特性，这是一种基于空间的信号模拟；2.可以用径向分布函数模型来模拟波在空间上的衰减，例如用于天线理论中的模拟；3.它可以作为一种模型用于更复杂的设备，如光学设备和声学设备等，辅助定位；4.用径向分布函数可以估算发射端和接收端之间的链路参数和路径损失，如Doppler移频模型中的衰落估计，无线电现场强度的估计等；五、需要注意的问题计算当前点的径向分布函数时，必须将整个波函数空间的数据收集，虽然它们之间可能没有任何直接联系，但是这可能会对计算速度产生很大影响，特别是在大量空间数据和波函数数据的情况下。
同时，在计算径向分布函数的过程中，波函数的空间连续性也是很重要的。
不同位置的波函数之间有连续性的关系，互相影响，这个关系必须满足才能更好地描述实际环境中波函数的分布特性。
六、结论径向分布函数是用以描述波函数在空间中的分布情况的函数，它可以用于判断波函数在各点出现的概率和散射特性，是用于模拟波在空间上的衰减、定位等领域的重要工具。
量子力学的径向方程和径向波函数
量子力学的径向方程和径向波函数量子力学是描述微观粒子行为的理论框架，它在20世纪初由一系列科学家共同建立起来。
其中，量子力学的径向方程和径向波函数是研究粒子在径向方向上运动的重要工具。
首先，我们来了解一下什么是径向方程。
在量子力学中，径向方程描述了粒子在径向方向上的运动。
对于一个粒子而言，它的运动可以用波函数来描述。
波函数是一个复数函数，它的平方表示了在某个位置上找到粒子的概率。
而径向波函数则是波函数在径向方向上的一部分。
在量子力学中，径向方程可以通过求解薛定谔方程来得到。
薛定谔方程是描述量子系统演化的基本方程，它包含了粒子的动能和势能项。
对于径向方程而言，我们需要考虑粒子在径向方向上的动能和势能。
在求解径向方程时，我们通常会遇到一个重要的量子数，即主量子数。
主量子数决定了粒子的能级和轨道形状。
对于氢原子而言，主量子数可以取任意正整数值。
而对于其他原子，主量子数的取值范围会有所不同。
在求解径向方程时，我们还需要考虑到角量子数和磁量子数。
角量子数决定了粒子在角向方向上的运动，而磁量子数则决定了粒子在磁场中的行为。
这些量子数共同决定了粒子的波函数形式和能级结构。
径向方程的求解通常需要使用数值方法或近似方法。
由于径向方程是一个二阶微分方程，它的求解相对较为困难。
在实际研究中，科学家们使用了许多数值方法和近似方法来求解径向方程，以得到粒子的能级和波函数。
径向波函数描述了粒子在径向方向上的概率分布。
它是径向方程的解，可以通过径向方程的求解得到。
径向波函数的形式取决于主量子数和角量子数。
在氢原子中，径向波函数可以表示为一系列的拉盖尔多项式和指数函数的乘积。
径向波函数的性质对于理解原子的结构和性质非常重要。
它决定了原子的大小、形状和能级分布。
通过研究径向波函数，科学家们可以揭示原子的内部结构和粒子的行为规律。
总结起来，量子力学的径向方程和径向波函数是研究粒子在径向方向上运动的重要工具。
径向方程描述了粒子在径向方向上的运动，而径向波函数描述了粒子在径向方向上的概率分布。
3d径向波函数公式
3d径向波函数公式3D径向波函数是用来描述原子或分子中电子的运动状态的数学函数。
在量子力学中，径向波函数描述了电子在原子核周围的径向方向上的概率分布。
常用的3D径向波函数公式是基于球坐标系的，可以用以下公式表示：ψ(n, l, m)(r, θ, φ) = R(n, l)(r) Y(l, m)(θ, φ)。
其中，ψ(n, l, m)(r, θ, φ)是3D径向波函数，r是径向坐标，θ是极角，φ是方位角。
n是主量子数，l是角量子数，m是磁量子数。
R(n, l)(r)是径向部分的波函数，Y(l, m)(θ, φ)是角向部分的波函数。
径向部分的波函数R(n, l)(r)可以根据不同的势能场选择不同的形式。
常见的形式有：1. 简单调和振子势场下的径向波函数：R(n, l)(r) = A r^l e^(-r/2a) L(n-l-1, 2l+1)(r/a)。
其中，A是归一化常数，a是势能场的特征长度，L(n-l-1,2l+1)(r/a)是拉盖尔多项式。
2. 球方势场下的径向波函数：R(n, l)(r) = A r^(l+1) e^(-r/a) L(n-l-1, 2l+1)(2r/a)。
其中，A是归一化常数，a是势能场的特征长度，L(n-l-1,2l+1)(2r/a)是拉盖尔多项式。
角向部分的波函数Y(l, m)(θ, φ)可以用球谐函数表示，具体形式为：Y(l, m)(θ, φ) = (-1)^m √[(2l+1)/(4π) (l-m)!/(l+m)!] P(l, m)(cosθ) e^(imφ)。
其中，P(l, m)(cosθ)是勒让德多项式，m是磁量子数。
以上就是常见的3D径向波函数公式。
不同的势能场和量子数组合会得到不同的具体形式，但总体上遵循这样的数学表达式。
径向波函数
径向波函数波函数是用来描述波的物理量，它表示为： k(t) = -kx(t)，k代表玻尔兹曼常数。
在研究物质对电磁场的吸收、散射或辐射能力时，常常使用波函数来描述电磁场。
我们通过径向波函数就可以知道这个波函数具有哪些性质。
径向波函数(DP， Normalized wave function)：与原子轨道运动相联系的电磁场中能量分布的几率密度函数，简称波函数。
引入径向波函数，是为了避免将电场与磁场混淆而造成困惑。
实际上，有许多学者都曾做过大量精确的推算，证明所得到的能量函数和轨道角动量函数与径向波函数在空间相位上符合得非常好。
有人甚至提出这种表达式是爱因斯坦场方程的完整形式。
由于电场和磁场各自具有一定的单值解，且磁场强度沿任意闭合曲面积分为零，所以在区域与闭合曲面无关的地方，由此式描写的电磁场能量不再具有径向分布特征。
可见引入径向波函数是必要的。
利用径向波函数，可以用定性的语言来表述场强分布与物质粒子的径向尺寸之间的关系。
径向波函数代表着电场和磁场的几率密度函数。
它的物理意义是：在某区域中，沿该区域中的闭合路径，电场强度沿闭合路径的分量所积累的概率密度。
理论上的波函数是原子能级在空间的能量密度函数，但它们通常被理解为频率的概率密度函数，与能级本身并无直接联系。
但是对于一些自由电子的散射问题，或者强子结构问题，它们则起着重要作用。
根据原子轨道对称守恒原理，总体电场与总体磁场在空间上相互抵消，总体波函数的概率密度可以表示为：其中p为电荷数量， c为光速， T为温度， h为普朗克常数， n为阿尔法磁量子数， q为基本电荷数量。
推导定义，认为在特定频率上，电场E和磁场B的功率等于其通过特定的闭合路径C时所具有的能量，这就是通常所说的波函数。
其中， f是电场E的功率， B是磁场B的功率。
如果把每条闭合路径看成是能量量子，那么每个能量量子都有能量E和磁场B分别穿过。
将上式两边同除以电场和磁场的空间积分，得：其中n是阿尔法磁量子数， m是普朗克常数，是一个常数。
量子力学中的径向力和角向力
量子力学中的径向力和角向力量子力学是描述微观世界中粒子行为的理论体系，它涉及到许多重要的概念和原理。
其中，径向力和角向力是量子力学中的两个重要力量概念，它们在描述粒子运动和相互作用中起着至关重要的作用。
首先，我们来讨论径向力。
在量子力学中，径向力是指作用于粒子运动方向上的力量。
它的大小和方向取决于粒子所处的势场和粒子自身的性质。
在经典力学中，我们可以通过牛顿第二定律来描述物体的运动，但在量子力学中，粒子的运动需要通过薛定谔方程来描述。
薛定谔方程是描述量子力学中粒子波函数演化的基本方程，它包含了粒子的动能和势能项。
径向力可以通过薛定谔方程的势能项来计算。
在量子力学中，径向力的大小可以通过波函数的一阶导数来计算。
具体来说，径向力可以表示为粒子的质量乘以波函数的一阶导数和势能的负梯度的乘积。
这个表达式可以用来解释粒子在势场中的运动。
当粒子处于势阱中时，径向力会将粒子推向势能减小的方向，使粒子趋向于势能最小值。
而当粒子处于势垒中时，径向力会将粒子推向势能增加的方向，使粒子逃离势能最大值。
接下来，我们来讨论角向力。
在量子力学中，角向力是指作用于粒子运动方向垂直的力量。
它的大小和方向取决于粒子所处的旋转势场和粒子自身的自旋。
在经典力学中，我们可以通过角动量定理来描述物体的旋转运动，但在量子力学中，粒子的旋转运动需要通过自旋算符来描述。
自旋算符是描述粒子自旋性质的数学工具，它可以用来计算粒子的自旋角动量和自旋角动量的方向。
在量子力学中，角向力的大小可以通过自旋算符的一阶导数来计算。
具体来说，角向力可以表示为粒子的自旋角动量乘以自旋算符的一阶导数和旋转势场的负梯度的乘积。
这个表达式可以用来解释粒子在旋转势场中的运动。
当粒子处于旋转势场中时，角向力会将粒子推向势能减小的方向，使粒子趋向于势能最小值。
而当粒子处于旋转势场中时，角向力会将粒子推向势能增加的方向，使粒子逃离势能最大值。
综上所述，径向力和角向力是量子力学中描述粒子运动和相互作用的两个重要力量概念。
径向波函数的定义
径向波函数是指在平面波或者空气波中，波动的振幅随着距离的增加而递减的波动形式。
径向波函数通常用来描述电磁波、声波等类型的波动。
常用的径向波函数有波动振幅随着距离的平方成反比递减的函数和波动振幅随着距离的成反比递减的函数。
波动振幅随着距离的平方成反比递减的径向波函数可以用如下方程表示：
f(r) = A/r^2
其中，f(r) 表示径向波函数，A 表示振幅，r 表示距离。
波动振幅随着距离的成反比递减的径向波函数可以用如下方程表示：
f(r) = A/r
其中，f(r) 表示径向波函数，A 表示振幅，r 表示距离。
径向波函数在物理学和工程学中有广泛的应用，例如在电磁波传播中用来描述电磁波在空气中的传播规律，在声学中用来描述声波在空气中的传播规律。
径向波函数还可以用来描述光波在介质中的传播规律。
例如，在光学中，径向波函数可以用来描述光波在介质中的折射规律。
此外，径向波函数还可以用来描述粒子在真空中的传播规律，例如电子的电磁波函数。
在数学上，径向波函数是一种特殊的函数，它的取值与其距离原点的距离有关。
径向波函数可以使用径向坐标系来表示，即以原点为圆心，以极角和极径为坐标的坐标系。
kim势函数
kim势函数
Kim势函数是一种用于描述分子间相互作用的函数，它可以用来计算分子间的相互作用能。
Kim势函数的形式为：
V(r) = A exp(-r/ρ) - B exp(-r/λ) - C/r^6
其中，r是分子间距离，A、B、C、ρ和λ是参数。
Kim势函数的优点在于它可以描述分子间的各种相互作用，包括范德华力、氢键、静电相互作用等。
此外，Kim势函数还可以用于模拟分子间的相互作用，例如在分子动力学模拟中。
Kim势函数的参数可以通过实验或计算得到。
例如，可以通过测量分子间距离和相互作用能来确定参数。
此外，还可以使用量子化学计算方法来计算参数。
Kim势函数在化学、物理、材料科学等领域都有广泛的应用。
例如，在材料科学中，Kim势函数可以用来研究材料的力学性质、热力学性质等。
在化学中，Kim势函数可以用来研究分子间的相互作用、反应动力学等。
总之，Kim势函数是一种非常有用的函数，它可以用来描述分子间的相互作用，并且在化学、物理、材料科学等领域都有广泛的应用。
微幅波理论
二 波浪的流体动力基本方程及其
边界条件
假设流体为理想流体，只考虑重力作用，故流动是无旋
的，具有速度势φ，取右手坐标系，Oxy面在水平面上 ，速度势φ是空间点的位置及时间的函数： (x, y, z;t)
1 , z 0 g t
2 t 2
g
z
0,
z0
微幅波理论控制方程和定解条件可综合写成如下
2 0
0, z= -d
z
2
t 2
g
z
0,
z0
1 , z 0
g t
(x, z,t) (x ct, z)
ξ与ζ是水质点迁移量 (质点离开静止位置的水平和垂直距离).
微幅波假定:
x x0 , z z0 处速度等于 x0, z0 处速度
水质点运动轨迹方程为
x x0 2
a2
z z0 2
b2
1
其中
a H cosh k z0 d 2 sinh kd
w
z
H
T
sinh k z d sinh kd
sin(kx
t)
H cos(kx t)
2
5、微幅波的质点运动轨迹
静止时位于 x0, z0
处的水质点，在波动中以速度
d , d
dt dt
运动着，在任一瞬间水质点的位置在 x x0 , z z0
的切线方向运动，即在 z d处垂直于固体边界的法
波的解析式
波的解析式文章目录前言坐标系定义：原点在静水面(SWL)，Z轴向上为正，海底为-h，X轴取波浪传播方向为正。
波浪自由表面：η = H 2 c o s ( k x − σ t ) \eta=\frac {H} {2} cos(kx-\sigma t) η=2H cos(kx−σt)。
一、微幅波控制方程和边界条件{ G . D . E : ∇ 2 Φ = ∂ 2 Φ ∂ x 2 + ∂ 2 Φ ∂ z 2 = 0 ,( − h ≤ z ≤ η ,− ∞ ≤ x ≤ + ∞ ) B . B . C : ∂ Φ ∂ z = 0 ,( z = − h ) D . F . S . B . C : η = − 1 g ∂ Φ ∂ t , ( z =0 ) K . F . S . B . C : ∂ η ∂ t = ∂ Φ ∂ z , ( z = 0 ) L . B .C : Φ ( x , z , t ) = Φ ( x − c t , z ) \begin{cases} G.D.E: &\nabla^2\Phi=\frac {\partial ^2 \Phi} {\partial x^2} + \frac {\partial ^2 \Phi} {\partial z^2}=0, \ \ (-h\le z\le\eta,\ -\infty\le x\le+\infty)\\\\ B.B.C: &\frac {\partial\Phi}{\partial z}=0,\ (z=-h)\\\\ D.F.S.B.C:&{\eta=-\frac 1 g \frac {\partial\Phi} {\partial t}, (z=0)}\\\\ K.F.S.B.C:&\frac{\partial\eta} {\partial t}=\frac {\partial\Phi} {\partial z}, (z=0)\\\\ L.B.C:&\Phi(x,z,t)=\Phi(x-ct,z) \end{cases}⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩G.D.E:B.B.C:D.F.S.B.C:K.F.S.B.C:L.B.C:∇2Φ=∂x2∂2Φ+∂z2∂2Φ=0, (−h≤z≤η,−∞≤x≤+∞)∂z∂Φ=0,(z=−h)η=−g1∂t∂Φ,(z=0)∂t∂η=∂z∂Φ,(z=0)Φ(x,z,t)=Φ(x−ct,z)由D.F.S.B.C可知η \eta η和速度势函数Φ \Phi Φ在时间上的导数呈线性关系，不妨设Φ = f ( z ) s i n ( k x − σ t )\Phi=f(z)sin(kx-\sigma t) Φ=f(z)sin(kx−σt)，只要根据控制方程和边界条件求解 f ( z ) f(z) f(z)，即可知道波浪的运动特性。
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用径向基函数求微幅波的势函数
一、 径向基函数
1.径向基函数介绍
径向基函数是无网格方法的一种，我们知道有限元计算中网格畸变会带来困难，相对与有限元，无网格方法不受网格的影响，取点具有随意性，能更准确地获得获得更加复杂系统的近似解，对于流体，以拉格朗日建立的光滑粒子动力学方法（SPH ）现阶段解决复杂的问题得到广泛的应用。
径向基函数是一类以点x 到xi 的距离di=||x-xi||为自变量的函数。
它具有形式简单、空间维数无关、各向同性的优点，由于径向基函数有许多表达式，在这里采用吴宗敏（1995）提出的正定紧支径向基函数，其表达式为
())5307282366(1)(54326
r r r r r r x I +++++-=+φ （1）
()⎩⎨⎧≤≤-=-+
其他时当 010116
r r r mI I d d r =，mI d 是定义在节点I x 处的径向基函数的支撑域半径，I I x x d -=是以点x 到节点I x 的距离；
2.对于径向基函数的插值
设一个函数为
()a x x u T )(φ= （2）
[]T N a a a a ,,,21 = （3）
()[]T N x x x x )(,,),()(21φφφφ = （4） 式（4）有N 个未知数，令近似函数u(x)在节点I x 处的值等于函数u(x)在该节点处的值I u ，即I I u x u =)(，可得到N 个线性方程组：
u Aa = （5）
式中 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()()()()()
()()()(....)()(21222121211121N N N N N N N T T T x x x x x x x x x x x x A φφφφφφφφφφφφ （6） []T N u u u u ,,,21 = （7）
这里u 一般是已知的；’
由式（5）解出系数矩阵（3）式a ，代入式（2）中，得
u x N u A x x u T )()()(1==-φ
式中形函数矩阵N 为
1)()(-=A x x N T φ （8）
二、 微幅波的势函数
微幅波势函数的表达式：
)sin(cosh )(cosh t kx kh
h z k Ag σσφ-+= （9） 其中kh gk tanh 2=σ （10）
kh gT L tanh 2π
=
（11） L
k π2= （12） tanh(x)和cosh （x ）分别为双曲正切和双曲余弦函数。
三、 计算步骤及过程
1.已知条件
设周期T=6s ，波高A=1.06m ，水深h=4m ，带入（4）可以得到波长L=34.75m ，如图
2.利用势函数
在t=0的条件下势函数为kx kh
h z k Ag sin cosh )(cosh +=
σφ （13） 在势函数的范围内随意取五个点内，分别为（4.344，-3.5），（13.031 ，-3.3），（17.375 ，-3.2），（21.719 ，-3.1），（30.406 ，-3）。
3.利用径向基函数
由（2）式是理论解，这里用径向基函数得到的一个数值解来模拟理论解，同时证明径向基函数的精确性。
利用I I x x d -=得到五个点及自身的距离，mI d 是定义在节点I x 处的径向基
函数的支撑域半径，在这里取mI d =L=34.5m ，得到mI
I d d r =，代入吴宗敏公式（1）
得)(j i
x φ再将)(j i x φ代入（6）式得到55⨯的矩阵，其值为 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=63.80 3.80 6 2.115.350.863.800.030.872.115.3565.352.110.873.805.3563.800.0290.872.113.806)()()()()()()()()(552515522212512
111x x x x x x x x x A φφφφφφφφφ 将A 求逆得1-A
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=- 0.63 1.72- 1.72- 7.70 2.22 11.57- 1.07- 6.37 0.14 1.07- 2.22 11.57-
19.26 11.57- 2.22 1.07- 6.37 11.57- 7.70 1.72- 0.14
1.07-
2.22 1.72- 0.631A 另外将五个点代入（13）式中可以得到五个势函数的值i u ，代入式（7）得到
[]T u 5.60- 5.58- 0.00 5.55 5.53=
用（5）式u Aa =求逆u A a 1-=，得到
[] 0.93 3.87- 0.19 3.65 0.90-=a 。
四、 求微幅波势函数的数值解 根据mI
I d d r =可以 设L z x r /))5.3(() 4.344(221--+-=
L z x r /))3.3(() 13.031(222--+-=
L z x r /))2.3(() 17.375(223--+-=
L z x r /))1.3(() 21.719(224--+-=
L z x r /))3(() 30.406(225--+-=
得到数值解函数的表达式
()∑===n
i i i T
r a a y x y x u 1)(),(,φφ ()=y x u ,)1)(5307282366()1(5
43265
1i i i i i i i i r r r r r r r a -+++++-∑= 五、 精度验算
在波长L=34.75m 范围内取点与真实值比较有
值解是具有可行的。
六、 计算程序
在在这里使用MATLAB 来进行计算
程序如下：
l=34.75;
x=[ l/8
3*l/8
l/2
l*5/8
l*7/8];
y=[ -3.5
-3.3
-3.2
-3.1
-3];
A=1.06,h=4,g=9.8,t=0;
k=2*pi/l;
zi=(g*k*tanh(k*h))^0.5;
% zi 为σ
for i=1:5
for j=1:5
fai(i,j)=((x(i)-x(j))^2+(y(i)-y(j))^2)^0.5/l;
faix(i,j)=(1-fai(i,j))^6*(6+36*fai(i,j)+82*fai(i,j)^2+72*fai(i,j)^3 ...
+30*fai(i,j)^4+5*fai(i,j)^5);
end
end
faix=inv(faix);
%faix 为求逆矩阵
for i=1:5;
ceita(i)=A*g/zi*cosh(k*(y(i)+h))/cosh(k*h)*sin(k*x(i)-zi*t);
end
ceita=ceita';
%a 为待定系数
a=faix*ceita;
for i=1:5;
%faii 为所求的径向基函数
r(i)=((x(i)-10*l/16)^2+(y(i)+3.4)^2)^0.5/l
end
faii=a(1)*(1-r(1))^6*(6+36*r(1)+82*r(1)^2+72*r(1)^3 ...
+30*r(1)^4+5*r(1)^5)+a(2)*(1-r(2))^6*(6+36*r(2)+82*r(2)^2 ...
+72*r(2)^3 +30*r(2)^4+5*r(2)^5)+a(3)*(1-r(3))^6*(6+36*r(3) ...
+82*r(3)^2+72*r(3)^3 +30*r(3)^4+5*r(3)^5)+a(4)*(1-r(4))^6*(6+36*r(4) ...
+82*r(4)^2+72*r(4)^3+30*r(4)^4+5*r(4)^5)+a(5)*(1-r(5))^6*(6+36*r(5) ...
+82*r(5)^2+72*r(5)^3+30*r(5)^4+5*r(5)^5);
七、 对于求时间的势函数
设)(),(),,(t y x t y x ςφφ=
此方程为强解的形式，优点是计算方便，不复杂，但精确度差，特别是计算高阶的函数。
我们上面所做的是关于t=0时得到的一个函数),(y x φ，可以设
N b b b t ,,,21 =分别得到),(,),,(),,(),(21y x y x y x y x N φφφφ =
利用径向基函数，可以得到函数的表达式
),()(),()(),()(),,(2211y x t N y x t N y x t N t y x N N
φφφφ+++= )(t N i 为形函数。
参考文献
张雄，刘岩，无网格法<M>，清华大学出版社，2005.。