时间序列作业ARMA模型--.
ARMA模型介绍
习惯上用AR(p)、MA(q)或ARMA(p,q)来 表示对应的滞后时期。
AR(p)模型
AR(p)模型是回归模型的一种形式，其一般形 式为：
Yt 1Yt1 2Yt2 ... pYt p ut
另一种表达方式是用差分形式： Yt Yt1 1Yt1 ... p1Yt p1 ut
调整可决系数、AIC和SC准则都是模型 选择的重要标准。
AIC准则和SC准则
赤池信息准则：AIC=-2L/n+2k/n，其中L 是对数似然值，n是观测值数目，k是被 估计的参数个数。AIC准则要求其取值 越小越好。
施瓦茨准则：SC=-2L/n-klnn/n，使用时 也要求SC值越小越好。
ARIMA模型
maq的偏自相关系数随着滞后期的增加呈现指数衰减趋向于零这称为偏自相关系arprp序列的自相关函数是非截尾序列称为拖尾序列
时间序列模型-ARMA模型
ARMA模型是一类常用的随机时间序列 分析模型，由博克斯(Box)和詹金斯(Jenkins) 创立，也称B-J方法。
AR（p）的自相关函数（AC）和偏相关函 数（PAC）
根据自相关函数的特征，可见AR（p） 序列的自相关函数是非截尾序列，称为 拖尾序列。因此，自相关函数拖尾是AR （ p ）序列的一个特征。
根据偏自相关函数的特征，当k>p时， PACkk =0，也就是在p以后截尾。
模型的识别
AR（p）模型的识别。若序列的偏自相关函数在p以 后截尾，而且自相关系数是拖尾的，则此序列是自 回归AR（p）序列。
MA（q）模型的识别。若序列的自相关函数在q以后 截尾，而且偏自相关系数是拖尾的，则此序列是移 动平均MA（q）序列。
ARMA（p,q）模型的识别。若序列的自相关函数和 偏自相关系数都是拖尾的，则此序列是自回归移动 平均ARMA（p,q）序列。至于模型中p和q的识别， 则要从低阶开始逐步试探，直到定出合适的模型为 止。
时间序列模型--ARMA模型与ARCH模型（2008.11）
时间序列模型时间序列分析是现代计量经济学的重要内容，是研究经济变量的动态特征和周期特征及其相关关系的重要工具，被广泛应用经济分析和预测中。
时间序列按其平稳性与否又分为平稳时间序列和非平稳时间序列。
1．ARMA与ARCH模型2．协整与误差修正模型3．向量自回归模型1第五讲ARMA与ARCH模型本讲中将讨论时间序列的平稳性（stationary）概念及自回归模型(Autoregressive models)、移动平均模型(Moving average models)、自回归移动平均模型(Autoregressive moving average models)、自回归条件异方差模型(Autoregressivec conditional Heteroscedasticity models)的识别、估计、检验、应用。
23一、时间序列的平稳性（一）平稳时间序列所谓时间序列的平稳性，是指时间序列的统计规律不会随着时间的推移而发生变化。
严格地讲，如果一个随机时间序列，对于任何时间，都满足下列条件：t y t Ⅰ）均值；()t E y μ=∞ Ⅱ）方差，是与时间无关的常数；22()()t t Var y E y μσ=-=t Ⅲ）自协方差,是只与时期间隔有关，{}(,)t t k t t k k Cov y y E y y μμγ--=--=（）(）k 与时间无关的常数。
t4则称该随机时间序列是平稳的。
生成该序列的随机过程是平稳过程。
例5.1．一个最简单的随机时间序列是一具有零均值同方差的独立分布序列：= ~该序列常被称为是一个白噪声（white noise ）。
t y t εt ε2(0,)iid σ 由于具有相同的均值与方差，且协方差为零,满足平稳性条件,是平稳的。
t y 例5.2．另一个简单的随机时间列序被称为随机游走（random walk ）：~，是一个白噪声。
1t t t y y ε-=+t ε2(0,)iid σ 容易判断该序列有相同的均值：，但是方差,即1()()t t E y E y -=2()t Var y t σ=的方差与时间t 有关而非常数，它是一非平稳序列。
时间序列arma模型建立的流程
时间序列arma模型建立的流程时间序列ARMA模型建立的流程1. 引言时间序列分析是一种对时间序列数据进行建模、预测和分析的统计方法。
ARMA模型是一种常用的时间序列模型，它可以描述时间序列数据中的自相关和移动平均关系。
本文将从数据准备、模型选择、参数估计和模型诊断等方面，介绍建立时间序列ARMA模型的完整流程。
2. 数据准备1.收集时间序列数据，确保数据具有一定的观测频率，并且包含足够的历史观测值。
2.对数据进行可视化分析，绘制时间序列图和自相关图，初步了解数据的趋势和周期性。
3. 模型选择1.确定时间序列数据是否平稳。
对于非平稳数据，需要进行差分运算，直到得到平稳的时间序列数据。
2.根据平稳时间序列数据的自相关和偏自相关图，选择合适的ARMA模型阶数。
通过观察自相关图的截尾性和偏自相关图的截尾性，确定ARMA(p, q)模型中的p和q。
4. 参数估计1.通过最大似然估计或最小二乘法，估计ARMA模型中的参数。
最大似然估计假定模型误差服从正态分布，而最小二乘法假定误差服从零均值正态分布。
2.通过估计的参数，建立ARMA模型。
5. 模型诊断1.对残差进行自相关和偏自相关分析，验证模型的残差序列是否为纯随机序列，即不存在自相关和异方差性。
2.对模型的残差序列进行Ljung-Box检验，验证残差的独立性。
3.对模型的残差序列进行正态性检验，验证模型的残差是否符合正态分布。
4.对模型的残差序列进行异方差性检验，验证模型的残差是否存在异方差现象。
6. 模型评估和预测1.使用信息准则（如AIC、BIC）评价模型的拟合程度。
较小的AIC和BIC值表示模型的拟合程度较好。
2.使用估计的ARMA模型对未来的数据进行预测，得到预测值和置信区间。
7. 结论建立时间序列ARMA模型的流程包括数据准备、模型选择、参数估计和模型诊断等环节。
通过该流程，我们能够对时间序列数据进行建模和预测，为相关领域的决策提供科学依据。
以上为时间序列ARMA模型建立的流程，希望对读者有所帮助。
时间序列方法在股票交易中的应用
时间序列方法在股票交易中的应用股票市场是一个动态变化的金融市场，影响股票价格变动的因素众多且复杂。
为了预测股票价格的未来走势和制定有效的投资策略，金融学家和投资者们开始广泛运用时间序列方法来分析和预测股票市场的走势。
本文将介绍时间序列方法在股票交易中的应用，包括AR模型、MA模型、ARMA模型、ARCH模型和GARCH模型等。
一、AR模型自回归（AR）模型是时间序列分析中常用的一种方法。
它假设未来的数值与过去的数值存在相关关系，能够通过过去的数据来预测未来的走势。
AR模型可表示为：xt = β0 +β1xt-1 + β2xt-2 + ... + βpxt-p +εt，其中xt表示时间序列的数值，p表示使用过去的几个数据，β表示权重参数，εt表示误差项。
在股票交易中，AR模型可以通过历史股票价格来预测未来股票价格。
金融学家们可以根据过去一段时间内股票价格的变动情况，建立AR模型并进行参数估计，然后利用该模型预测未来股票价格的走势，为投资决策提供参考。
二、MA模型移动平均（MA）模型是另一种常用的时间序列方法。
它假设未来的数值与过去的预测误差有关，能够考虑到不同时间点的影响。
MA模型可表示为：x t = μ + εt + θ1εt-1 + θ2εt-2 + ... + θqεt-q，其中xt表示时间序列的数值，μ表示常数项，q表示使用过去的几个预测误差，θ表示权重参数，εt表示误差项。
在股票交易中，MA模型可以通过历史股票价格的预测误差来预测未来股票价格。
金融学家们可以根据过去一段时间内股票价格的预测误差，建立MA模型并进行参数估计，然后利用该模型预测未来股票价格的走势，提供投资决策的参考。
三、ARMA模型自回归移动平均（ARMA）模型是将AR模型和MA模型结合起来的一种方法。
它能够同时考虑过去数据和预测误差对未来数值的影响。
ARMA模型可表示为：xt = μ + β1xt-1 + β2xt-2 + ... + βpxt-p + εt + θ1εt-1 + θ2εt-2 + ... + θqεt-q，其中xt表示时间序列的数值，μ表示常数项，p和q分别表示AR模型和MA模型的阶数，β和θ表示权重参数，εt表示误差项。
时间序列中的ARMA模型
c u=
1 (1 2 ... p)
旳无条
7
ARIMA模型旳概念
Yt-u=1(Yt-1-u)+ 2(Yt-2-u)+...+p(Yt-p-u)+vt
0=1 1+ 2 2+...+p p+ 2 1=1 0+ 2 1+...+ p p-1
……
p=1 p-1+ 2 p-2+...+ p 0
(1
2
1
1≤j≤22q ... q2 )
0 j>q
j>q时，ACF(j)=0，此现象为截尾，是MA(q)过程旳一种特征
如下图：
18
ARMA模型旳辨认
MA（2）过程
yt =0.5ut-1 0.3ut2 ut
19
ARMA模型旳辨认
⑵ AR(p)过程旳偏自有关函数
j p 时，偏自有关函数旳取值不为0 j>q 时，偏自有关函数旳取值为0 AR(p)过程旳偏自有关函数p阶截尾 如下图：
32
ARMA模型旳预测
二. 基于MA过程旳预测
过程 结论：
MA (2) 过程仅有2期旳记忆力
33
ARMA模型旳预测
三. 基于ARMA过程旳预测
结合对AR过程和MA过程进行预测 ARMA模型一般用于短期预测
34
五、实例：ARMA模型在金融数 据中旳应用
数据： 1991年1月到2023年1月旳我国货币供
3
ARIMA模型旳概念
2.MA（q）过程旳特征
1. E(Yt)=u
2.
var(Yt)
(1
2
arma模型原理
arma模型原理
ARMA模型（AutoRegressive Moving Average Model）是一种时间序列分析模型，它结合了自回归模型（AR）和移动平均模型（MA）。
ARMA 模型的原理是，对于一个时间序列，在保持平稳性的前提下，通过自回归和移动平均两个方面来描述序列的特征。
具体来说，AR表示当前时间点的值与前面若干个时间点的值有关，而MA表示当前时间点的值与前面若干个时间点的噪声有关。
因此，ARMA模型可以很好地捕捉时间序列数据的趋势和周期性。
在实际应用中，ARMA模型通常用于预测未来的时间序列值和分析时间序列的特征。
在ARMA模型中，参数估计和模型检验是重要的步骤，需要一定的统计学知识和技能。
常用的估计方法包括最大似然估计和贝叶斯估计，而模型检验可以通过残差分析和模型诊断来进行。
总之，ARMA模型是一种经典的时间序列模型，它结合了自回归模型和移动平均模型，可以用于预测未来的时间序列值和分析时间序列的特征。
在实际应用中需要谨慎使用，需要考虑时间序列数据的特征和背景知识，以及参数估计和模型检验的可靠性。
ARMA模型
方差为 2 的正态分布.随机项与滞后变量不相关。
注2: 一般假定
X t 均值为0，否则令
X
t
Xt
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
记 Bk 为 k 步滞后算子, 即 Bk X t X tk , 则
模型【1】可表示为
Xt 1BXt 2B2 Xt pBp Xt ut
实际问题中, 常会遇到季节性和趋势性同时存在的情况, 这 时必须事先剔除序列趋势性再用上述方法识别序列的季节性, 否则季节性会被强趋势性所掩盖, 以至判断错误.
包含季节性的时间序列也不能直接建立ARMA模型, 需进 行季节差分消除序列的季节性, 差分步长应与季节周期一致.
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
式【5】称为( p, q)阶的自回归移动平均模型, 记为ARMA ( p, q)
注1: 实参数 1,2 , , p 称为自回归系数, 1,2 , ,q 为移动平均系数,
都是模型的待估参数
注2: 【1】和【3】是【5】的特殊情形 注3: 引入滞后算子，模型【5】可简记为
(B) Xt (B)ut
【6】
在实际中, 常见的时间序列多具有某种趋势, 但很多序列 通过差分可以平稳
判断时间序列的趋势是否消除, 只需考察经过差分后序列 的自相关系数
（3）季节性 时间序列的季节性是指在某一固定的时间间隔上, 序列重
复出现某种特性.比如地区降雨量、旅游收入和空调销售额等 时间序列都具有明显的季节变化. 一般地, 月度资料的时间序列, 其季节周期为12个月；
Xt 1 v1B v2B2
ut
vjB
j
ut
j0
时间序列上机实验ARMA模型的建立
实验一ARMA模型建模一、实验目的学会检验序列平稳性、随机性。
学会分析时序图与自相关图。
学会利用最小二乘法等方法对ARMA模型进行估计，以及掌握利用ARMA模型进行预测的方法。
学会运用Eviews软件进行ARMA模型的识别、诊断、估计和预测和相关具体操作。
二、基本概念宽平稳：序列的统计性质不随时间发生改变，只与时间间隔有关。
AR模型：AR模型也称为自回归模型。
它的预测方式是通过过去的观测值和现在的干扰值的线性组合预测，自回归模型的数学公式为：乂2『t2 川p y t p t式中：p为自回归模型的阶数i（i=1，2，，p）为模型的待定系数，t为误差，yt 为一个平稳时间序列。
MA模型：MA模型也称为滑动平均模型。
它的预测方式是通过过去的干扰值和现在的干扰值的线性组合预测。
滑动平均模型的数学公式为：y t t 1 t 1 2 t 2 川q t q式中：q为模型的阶数；j（j=1，2，，q）为模型的待定系数；t为误差；yt为平稳时间序列。
ARMA模型：自回归模型和滑动平均模型的组合，便构成了用于描述平稳随机过程的自回归滑动平均模型ARMA，数学公式为：y t 1 y t 1 2 y t 2 p y t p t 1 t 1 2 t 2 q t q三、实验内容（1）通过时序图判断序列平稳性；（2）根据相关图，初步确定移动平均阶数q 和自回归阶数p；（3）对时间序列进行建模四、实验要求学会通过各种手段检验序列的平稳性；学会根据自相关系数和偏自相关系数来初步判断ARMA模型的阶数p和q,学会利用最小二乘法等方法对ARMA 模型进行估计，学会利用信息准则对估计的ARMA 模型进行诊断，以及掌握利用ARMA 模型进行预测。
五、实验步骤1．模型识别（1）绘制时序图在Eviews 软件中,建立一个新的工作文件, 500个数据。
通过Eviews 生成随机序列“ e，再根据“ x=*x（-1）*x（-2）+e ”生成AR（2）模型序列“ x” 默认x（1）=1, x（2）=2,得到下列数据，由于篇幅有限。
常见时间序列算法模型
常见时间序列算法模型
1. AR模型（自回归模型）：AR模型是一种基本的时间序列模型，它假设当前时刻的观测值与过去时刻的观测值之间存在线性关系。
AR模型根据过去的一系列观测值来预测未来的观测值。
2. MA模型（滑动平均模型）：MA模型也是一种基本的时间序列模型，它假设当前时刻的观测值与过去时刻的误差项之间存在线性关系。
MA模型根据过去的一系列误差项来预测未来的观测值。
3. ARMA模型（自回归滑动平均模型）：ARMA模型结合了AR模型和MA模型的特点，它假设当前时刻的观测值既与过去时刻的观测值有关，又与过去时刻的误差项有关。
ARMA 模型根据过去的观测值和误差项来预测未来的观测值。
4. ARIMA模型（自回归积分滑动平均模型）：ARIMA模型是对ARMA模型的扩展，它引入了差分操作，用来对非平稳时间序列进行平稳化处理。
ARIMA模型根据差分后的时间序列的观测值和误差项来预测未来的观测值。
5. SARIMA模型（季节性自回归积分滑动平均模型）：SARIMA模型是对ARIMA模型的扩展，用于处理具有季节性的时间序列。
SARIMA模型基于季节性差分后的观测值和误差项来预测未来的观测值。
6. LSTM模型（长短期记忆网络）：LSTM模型是一种递归神经网络模型，它通过学习时间序列中的长期依赖关系来进行预测。
LSTM模型能够捕捉到时间序列中的复杂模式，适用于处理非线性和非稳定的时间序列。
以上是几种常见的时间序列算法模型，可以根据具体问题选择合适的模型进行建模和预测。
时间序列分析模型
时间序列分析模型时间序列分析是一种广泛应用于统计学和经济学领域的建模方法，用于研究随时间变化的数据。
它的目的是揭示和预测数据中隐含的模式和关系，以便更好地理解和解释现象，并做出相应的决策。
时间序列分析模型可以分为统计模型和机器学习模型两类。
一、统计模型1.平稳时间序列模型：平稳时间序列是指在统计学意义上均值和方差都是稳定的序列。
常用的平稳时间序列模型包括：自回归移动平均模型（ARMA）、自回归整合移动平均模型（ARIMA）和季节性自回归整合移动平均模型（SARIMA）等。
-自回归移动平均模型（ARMA）是根据时间序列数据的自相关和移动平均性质建立的模型。
它将序列的当前值作为过去值的线性组合来预测未来值。
ARMA(p,q)模型中，p表示自回归项的阶数，q表示移动平均项的阶数。
-自回归整合移动平均模型（ARIMA）在ARMA模型基础上引入差分操作，用于处理非平稳时间序列。
ARIMA(p,d,q)模型中，d表示差分的次数。
-季节性自回归整合移动平均模型（SARIMA）是ARIMA模型的扩展，在存在季节性变化的时间序列数据中应用。
SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s模型中，s表示季节周期。
2.非平稳时间序列模型：非平稳时间序列是指均值和/或方差随时间变化的序列。
常用的非平稳时间序列模型包括：趋势模型、季节性调整模型、自回归积分滑动平均模型（ARIMA）和季节性自回归积分滑动平均模型（SARIMA）等。
- 趋势模型用于描述数据中的趋势变化，例如线性趋势模型（y = ax + b）和指数趋势模型（y = ab^x）等。
-季节性调整模型用于调整季节性变化对数据的影响，常见的方法有季节指数调整和X-12-ARIMA方法。
-自回归积分滑动平均模型（ARIMA）和季节性自回归积分滑动平均模型（SARIMA）在非平稳时间序列中引入差分操作进行模型建立。
二、机器学习模型机器学习模型在时间序列分析中发挥了重要作用，主要应用于非线性和高维数据的建模和预测。
中级计量经济学-考察时间序列自相关性的ARMA模型
rˆh l E rhl rh , rh1,
E c0 ahl 1ahl1 c0
eh l rhl rˆh l ahl 1ahl1
vareh l
1 12
2 a
总 结 ： 对 于 MA(1) 模 型，超过1步的点预测 为rt的无条件均值，预 测误差的方差为rt的无 条件方差
，当l
1
0，当l 1
1，当l 0
1
1 12
，当l
1
MA2：l
0
1 12
2 2
0，02 当1l2122
2 2
，当l
2
总结：MA(q)的ACF会在滞后q期之后截尾，有限记 忆，利用此性质来确定MA模型的order
22
实际MA模型的应用
模型的选择 模型的估计 模型的检验 模型的预测 模型应用举例
6
AR(2)模型的性质（续）
ACF特征：l 1l1 2l2 l c1 x1l c2 x2l
如果 12 42 0 ，x1, x2 为实数，ACF为两个指数衰减的混合 如果 12 42 0 ，x1, x2 为虚数，ACF为逐渐衰弱的正弦余弦波
，表明商业周期的存在
7
AR(p)模型
23
MA模型的应用——模型选择
ACF与PACF
若ACF表现为一个衰减拖尾的形状（非截尾），基本 可以选择AR模型，再以截尾的PACF来确定order
若ACF在滞后期为q处截尾，即 q 0，但对于 l q则有l 0
则rt服从一个MA(q)模型
Information Criteria
24
表达式：
rt 0 1 rt1 p rt p at
11B pBp rt 0 at
特征方程
平稳时间序列分析-ARMA模型
1 0 1 2
所以，平稳AR(2)模型的协方差函数递推公式为
0
1 2 (1 2 )(1 1 2 )(1 1
2
)
2
1
1 0 1 2
k
1 k1 2 k2，k
2
4、自相关系数
（1）自相关系数的定义：
k
k 0
特别
0 1
（2）平稳AR(P)模型的自相关系数递推公式：
k 1k 1 2 k 2 p k p
例3.5:— (3)xt xt1 0.5xt2 t
自相关系数呈现出“伪周期”性
例3.5:— (4)xt xt1 0.5xt2 t
自相关系数不规则衰减
6、偏自相关函数
自相关函数ACF(k)给出了Xt与Xt-k的总体 相关性，但总体相关性可能掩盖了变量间完全 不同的相关关系。
例如，在AR(1) 中，Xt与Xt-2间有相关性可 能主要是由于它们各自与Xt-1间的相关性带来 的:
对于非中心化序列
xt 0 1xt1 2 xt2
p xt p t
作变换
1 1
0
p
yt xt
则原序列即化为中心化序列
yt 1 yt1 2 yt2 p yt p t
所以，以后我们重点讨论中心化时间序列。
AR模型的算子表示
令 (B) 11B 2B2 p B p
则 AR( p) 模型可表示为
平稳AR(1)模型的传递形式为
xt
t 1 1B
i0
(1B)i t
1i ti
i0
Green函数为 Gj 1 j , j 0,1,
平稳AR(1)模型的方差为
Var(xt )
G2jVar(t )
j0
第八章 平稳时间序列建模(ARMA模型)
p 阶自回归模型记作AR(p)，满足下面的方程：
ut c 1 ut 1 2 ut 2 p ut p t
(5.2.4) 其中：参数 c 为常数；1 , 2 ,…, p 是自回归模型系数； p为自回归模型阶数；t 是均值为0，方差为 2 的白噪声
序列。
4
2. 移动平均模型MA(q)
q 阶移动平均模型记作MA(q) ，满足下面的方 程：
ut t 1 t 1 q t q
(5.2.5)
其中：参数 为常数；参数1 , 2 ,…, q 是 q 阶移动
平均模型的系数；t 是均值为0，方差为 2的白噪声 序列。
AR(p)模型均可以表示为白噪声序列的线性组合。
8
2．MA(q) 模型的可逆性
考察MA(q) 模型
ut (1 1 L 2 L2 q Lq ) t
2 E ( t ) 0
2
(5.2.16)
t t
qቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
若
1 1 z 2 z q z 0
在单位圆外（即绝对值大于1，或模大于1），这意味着 自回归过程是发散的。如果MA模型滞后多项式的根的 倒数有在单位圆外的，说明MA过程是不可逆的，应使 用不同的初值重新估计模型，直到得到满足可逆性的动 平均。
20
4. ARMA(p,q)模型的估计选择
EViews估计AR模型采用非线性回归方法，对于MA模 型采取回推技术(Box and Jenkins,1976)。这种方法的优点
L0utut。则式（5.2.7）可以改写为：
(1 1 L 2 L 2 p Lp ) ut c t
时间序列ARMA模型
ARMA （p,q ）时间序列模型1、 ARMA 模型的构建：①AIC 定阶准则：选p , q,使得2^min()ln 2(1)AIC n p q εσ=+++ (1)其中：n 是样本容量；2^εσ是2εσ的估计，与p , q 有关。
若当^^,p p q q ==时， 式(1)达到最小值，则认为序列是ARMA （^,p ^q ） 当ARMA （^,p ^q ）序列含有未知参数μ时，模型为()()(),t t B X B ϕμθε-= (2)这时应选取p,q ，使得2^min()ln 2(2)AIC n p q εσ=+++ (3)②ARMA 模型的参数估计一般使用MATLAB 工具箱给出相关参数估计。
方法有有炬估计、逆函数估计、最小二乘法、最大似然估计等。
③ARMA 模型的2χ检验若拟合模型的残差记为^t ε，即t ε的估计值。
记^^12^1,1,2,,,n k tt kt k n tt k L εεηε-+====∑∑ (4)则2χ检验统计量是221(2)Lk k n n n kηχ==+-∑(5)L 是^t ε自相关函数的拖尾数。
检验的假设是0:0,k H ρ=当k L ≤时； 1:H 对某些,0k k L ρ≤≠。
在0H 成立时，若样本容量n 充分大，2χ近似于2()L r χ-分布，其中r 是估计的模型参数个数。
2χ检验法：给定显著性水平α，查表的上α分位数2()L r αχ-，当22()L αχχ≥时拒绝0H ，认为t ε非白噪声，模型检验未通过；而当22()L r αχχ≤-时，接受0H ，认为t ε是白噪声，模型通过检验。
2、 ARMA （p,q ）序列的预报时间序列的m 步预报，是根据1{,,}k k X X - 的取值对未来k+m 时刻的随机变量k m X +（m>0）做出估计。
估计量记作1,,k k X X - 的线性组合。
^^^^12()(1)(2)(),.k k k k p X m X m X m X m p m p ϕϕϕ=-+-++-> (6)计算递推式为：^1112^^212^^^^121^^^^12(1),(2)(1),()(1)(2)(1),()(1)(2)(),.k k k k p p k k k k p p k k k k k p p k k k k p X X X X X X X X X p X p X p X X X m X m X m X m p m p ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ--+-+-=+++=+++=-+-+++=-+-++->(7)关于MA （q ）序列{,0,1,2,}t X t =±± 的预报，有^()0,.k X m m q =>因此，只需讨论^(),1,2,,k X m m q = 。
时间序列--ARMA模型的特性
j0
i 1
所以，齐次方程解是由衰减指数项、多项式、衰 减正弦项，以及这些函数旳组合混合生成旳。
上述过程中计算Gi 并不方便，通常通过解方程 n 1n1 2n2 ...n 0 得到其根为：i,i 1,2,...,n 。 由于 n 1n1 2n2 ...n 0 的根与 11B 2B2 nBn 0 的根互为倒数，因此 i Gi 。
k期滞后协方差为:
k
E( X tK (1 X t1
2 X t2
L n Xtn
t
))
1 k1 2 k2 L n k n
从而有自有关函数 :
k 1k1 2k2 ... n kn
可见，不论k有多大， k旳计算均与其１到n阶滞后 旳自有关函数有关，所以呈拖尾状。
假如AR(n)是平稳旳，则|k|递减且趋于零。
则 (B)G(B) (B)
令
* j
j
0,
,
0 jn jn
* l
0l,,
0lm lm
则 (B)G(B) (B) 化为
* j
B
j
Gk
Bk
l*Bl
j0
k0
l0
比较等式两边B旳同次幂旳系数，可得
l
*jGl j
* l
,
l
1, 2,3,...
j0
由上式，格林函数可从 l 1 开始依次递推算出。
二、ARMA模型旳逆函数
• ARMA（n,m）模型逆函数通用解法 对于ARMA（n,m）模型旳逆函数求解模型格林函数
求解措施相同。
令
I (B) 1 I j Xt j , I0 1
j 1
则平稳序列 Xt旳逆转形式 at Xt I j Xt可j 表达为 j 1
时间序列作业ARMA模型--
一案例分析的目的本案例选取2001年1月，到2013年我国铁路运输客运量月度数据来构建ARMA模型，并利用该模型进行外推预测分析。
二、实验数据数据来自中经网统计数据库2013-04 1.75 2013-05 1.62 2013-06 1.80 2013-07 1.99 2013-08 2.03 2013-09 1.92 2013-10 1.64数据来源：中经网数据库三、ARMA模型的平稳性首先绘制出N的折线图，如图从图中可以看出，N序列具有较强的非线性趋势性，因此从图形可以初步判断该序列是非平稳的。
此外，N在每年同期出现相同的变动方式，表明N还存在季节性特征。
下面对N 的平稳性和季节季节性进行进一步检验。
四、单位根检验为了减少N 的变动趋势以及异方差性，先对N进行对数处理，记为LN其曲线图如下：GENR LN = LOG(N)对数后的N趋势性也很强。
下面观察N 的自相关表，选择滞后期数为36，如下：从上图可以看出，LN的PACF只在滞后一期是显著的ACF随着阶数的增加慢慢衰减至0，因此从偏/自相关系数可以看出该序列表现一定的平稳性。
进一步进行单位根检验，打开LN选择存在趋势性的形式，并根据AIC自动选择滞后阶数，单位根检验结果如下：T统计值的值小于临界值，且相伴概率为0.0001，因此该序列不存在单位根，即该序列是平稳序列。
五、季节性分析趋势性往往会掩盖季节性特征，从LN的图形可以看出，该序列具有较强的趋势性，为了分析季节性，可以对LN进行差分处理来分析季节性：Genr = DLN = LN – LN (-1)观察DLN的自相关表，如下：DLN在之后期为6、12、18、24、30、36处的自相关系数均显著异于0，因此，该序列是以周期6呈现季节性，而且季节自相关系数并没有衰减至0，因此，为了考虑这种季节性，进行季节性差分：GENR SDLN = DLN –DLN(-6)再做关于SDLN的自相关表，如下：SDLN在滞后期36之后的季节ACF和PACF已经衰减至0，下面对SDLN建立SARMA模型。
时间序列分析报告——ARMA模型实验
基于ARMA模型的社会融资规模增长分析————ARMA模型实验第一部分实验分析目的及方法一般说来,若时间序列满足平稳随机过程的性质,则可用经典的ARMA模型进行建模和预则。
但是, 由于金融时间序列随机波动较大,很少满足ARMA模型的适用条件,无法直接采用该模型进行处理。
通过对数化及差分处理后,将原本非平稳的序列处理为近似平稳的序列,可以采用ARMA模型进行建模和分析。
第二部分实验数据2.1数据来源数据来源于中经网统计数据库。
具体数据见附录表5.1 。
2.2所选数据变量社会融资规模指一定时期内（每月、每季或每年）实体经济从金融体系获得的全部资金总额，为一增量概念，即期末余额减去期初余额的差额，或当期发行或发生额扣除当期兑付或偿还额的差额。
社会融资规模作为重要的宏观监测指标，由实体经济需求所决定，反映金融体系对实体经济的资金量支持。
本实验拟选取2005年11月到2014年9月我国以月为单位的社会融资规模的数据来构建ARMA模型，并利用该模型进行分析预测。
第三部分 ARMA模型构建3.1判断序列的平稳性首先绘制出M的折线图，结果如下图：图3.1 社会融资规模M曲线图从图中可以看出，社会融资规模M序列具有一定的趋势性，由此可以初步判断该序列是非平稳的。
此外，m在每年同时期出现相同的变动趋势，表明m还存在季节特征。
下面对m的平稳性和季节性·进行进一步检验。
为了减少m的变动趋势以及异方差性，先对m进行对数化处理，记为lm，其时序图如下：图3.2 lm曲线图对数化后的趋势性减弱，但仍存在一定的趋势性，下面观察lm的自相关图表3.1 lm的自相关图上表可以看出，该lm序列的PACF只在滞后一期、二期和三期是显著的，ACF随着滞后结束的增加慢慢衰减至0，由此可以看出该序列表现出一定的平稳性。
进一步进行单位根检验，由于存在较弱的趋势性且均值不为零，选择存在趋势项的形式，并根据AIC自动选择之后结束，单位根检验结果如下：表3.2 单位根输出结果Null Hypothesis: LM has a unit rootExogenous: Constant, Linear TrendLag Length: 0 (Automatic - based on SIC, maxlag=12)t-Statistic Prob.*Augmented Dickey-Fuller test statistic -8.674646 0.0000Test critical values: 1% level -4.0469255% level -3.45276410% level -3.151911*MacKinnon (1996) one-sided p-values.单位根统计量ADF=-8.674646小于临界值，且P为0.0000，因此该序列不存在单位根，即该序列是平稳序列。
时间序列分析-第六章 ARMA模型的参数估计讲解
假定数据x1, x2 ,, xn适合于以下模型
X t 1 X t1 2 X t2 p X t p t , t p 1,, n
(1.2)
其中，p为给定的非负整数，1,2 ,, p 为未知参数，记
α (1,, p )T 为系数参数，{t }为独立同分布序列，且
sup
n
P(|
n
|
M)
,
就称{n }是依概率有界的，记为n O p(1).如果
{n / cn } O p(1),就称n O p(cn ).
记ˆ为Yule Wal ker 估计，ˆL为最小二乘估计，
则对AR模型，有
ˆL ˆ O p(1 / n), n .
ˆ1
rˆ1(rˆ0 rˆ2 ) rˆ02 rˆ12
ˆ 2
rˆ0rˆ2 rˆ12 rˆ02 rˆ12
ˆ 2 rˆ0 ˆ1rˆ1 ˆ2rˆ2
计算出的前5个样本协方差函数值为
r0 2.7888 , r1 2.2171, r2 1.4362 , r3 0.8060 , r4 0.2705
l(α, 2
|
x1 , x2 ,, xn )
n log(2 )
2
1 2
| Γn
1
|2
1 2
xTn
n1 x n
其中，Γn 为 (x1, x2 ,, xn )T 的协方差阵，| Γn | 表示 Γn
的行列式，使得对数似然函数l(α, 2 | x1, x2 ,, xn )
达到极大值的 αˆ 和 ˆ 2 称为 α 和 2 的极大似然估计。
C. AR(P)模型的极大似然估计
马尔可夫区制转移arma模型
马尔可夫区制转移arma模型马尔可夫区制转移(ARMA)模型是一种经济和金融时间序列分析常用的模型。
它的基本思想是通过分析当前时间点和过去时间点的关系，来预测未来时间点的值。
ARMA模型的构建基于两个关键概念：自回归(AR)和移动平均(MA)。
马尔可夫区制转移(AR)模型通过分析过去时间点对当前时间点的影响来预测未来时间点。
它基于一个假设，即未来的值是过去值的线性组合。
如果我们用Y表示时间序列的观测值，AR模型可以表示为：Y_t = c + φ_1 * Y_t-1 + φ_2 * Y_t-2 + ... + φ_p * Y_t-p + ε_t其中，Y_t是时间点t的观测值，c是常数，φ_1, φ_2, ...,φ_p是参数，p是模型的延迟数量，ε_t是误差项。
当p等于1时，AR模型称为AR(1)模型；当p等于2时，AR模型称为AR(2)模型，依此类推。
移动平均(MA)模型是用来描述观测值与白噪声误差项的线性组合之间的关系。
MA模型的基本假设是，当前时间点的观测值是过去时间点的误差项的线性组合。
如果我们用Y表示时间序列的观测值，MA模型可以表示为：Y_t = μ + ε_t + θ_1 * ε_t-1 + θ_2 * ε_t-2 + ... +θ_q * ε_t-q其中，Y_t是时间点t的观测值，μ是均值，ε_t是误差项，θ_1, θ_2, ..., θ_q是参数，q是误差项的延迟数量。
当q等于1时，MA模型称为MA(1)模型；当q等于2时，MA模型称为MA(2)模型，依此类推。
ARMA模型将AR和MA模型结合起来。
ARMA(p, q)模型可以表示为：Y_t = c + φ_1 * Y_t-1 + φ_2 * Y_t-2 + ... + φ_p * Y_t-p + ε_t + θ_1 * ε_t-1 + θ_2 * ε_t-2 + ... + θ_q * ε_t-qARMA模型可以通过最小二乘法或极大似然法来估计参数。
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一案例分析的目的
本案例选取2001年1月，到2013年我国铁路运输客运量月度数据来构建ARMA模型，并利用该模型进行外推预测分析。
二、实验数据
数据来自中经网统计数据库
数据来源：中经网数据库
三、ARMA 模型的平稳性
首先绘制出N 的折线图，如图
从图中可以看出，N 序列具有较强的非线性趋势性，因此从图形可以初步判断该序列是非平
稳的。
此外，N在每年同期出现相同的变动方式，表明N还存在季节性特征。
下面对N 的平稳性和季节季节性进行进一步检验。
四、单位根检验
为了减少N 的变动趋势以及异方差性，先对N进行对数处理，记为LN其曲线图如下：GENR LN = LOG(N)
对数后的N趋势性也很强。
下面观察N 的自相关表，选择滞后期数为36，如下：
从上图可以看出，LN的PACF只在滞后一期是显著的ACF随着阶数的增加慢慢衰减至0，因此从偏/自相关系数可以看出该序列表现一定的平稳性。
进一步进行单位根检验，打开LN选择存在趋势性的形式，并根据AIC自动选择滞后阶数，单位根检验结果如下：
T统计值的值小于临界值，且相伴概率为0.0001，因此该序列不存在单位根，即该序列是平稳序列。
五、季节性分析
趋势性往往会掩盖季节性特征，从LN的图形可以看出，该序列具有较强的趋势性，为了分析季节性，可以对LN进行差分处理来分析季节性：
Genr = DLN = LN – LN (-1)
观察DLN的自相关表，如下：
DLN在之后期为6、12、18、24、30、36处的自相关系数均显著异于0，因此，该序列是以周期6呈现季节性，而且季节自相关系数并没有衰减至0，因此，为了考虑这种季节性，进行季节性差分：
GENR SDLN = DLN – DLN(-6)
再做关于SDLN的自相关表，如下：
SDLN在滞后期36之后的季节ACF和PACF已经衰减至0，下面对SDLN建立SARMA模型。
六、滞后阶数的初步确定
观察SDLN的自相关、偏自相关图，ACF 和PACF在滞后期1和滞后期6还有滞后期12异于0，其余均与0无异，因此，SARMA(p,q)（k,m）s 中p和q均不超过1，k和m均不超过2.6考虑到高洁移动平均模型估计较为困难，而且自回归模型的检验可以表示无穷的移动平均过程，因此q尽可能取较小的取值。
本例拟选择SARMA(1,0)(1,0)6、SARMA(1,0)(1,1)6、SARMA(1,0)(1,2)6、SARMA(1,0)(2,1)6、SARMA(1,1)(1,0)6、SARMA(1,1)(1,1)6、SARMA(1,1)(1,2)6、SARMA(1,1)(0,1)6八个模型来拟合SDLN。
七、ARMA模型的参数估计
1.分析SARMA(1,0)(1,0)6分析该模型的估计以及残差的检验。
LS SDLN C AR(1) SAR(6)
回归结果如表所示：
LS SDLN C AR(1) SAR(6)回归结果如表所示：
LS SDLN C AR(1) SAR(6) sar(6)SAR(12)回归结果如表所示：
LS SDLN C AR(1) SAR(12) SAR(6)回归结果如表所示：
LS SDLN C AR(1) ma(1) SAR(6) 回归结果如表所示：
LS SDLN C AR(1) ma(1) SAR(6) sma(6)回归结果如表所示：
LS SDLN C AR(1) ma(1) SAR(6) sma(12)回归结果如表所示：
LS SDLN C AR(1) ma(1) SAR(12) sma(6)回归结果如表所示：
各个模型的AIC、SC、残差检验结果汇总如下
综合来看选择SARMA(1,1)(1,2)6对数据的拟合是最优的。
六、模型的预测
在SARMA(1,1)(1,2)6中选择动态估计，预测2013.11月的序列值，预测图如图：
上图中左边是预测值与置信区间，右边是预测的误差。
Boot meansquared error 代表均方误差方，MAE表示平均绝对误差，MAPE表示平均绝对误差百分比。
Theil不等系数中bias proportion表示偏误，即预测均值与真实均值的偏离程度；variance proportion 表示方误差，用来反映波动与真实波动之间的差异；covariance proportion表示协方差误，反映残存非系统预测误差，该误差占比越大，预测效果越好。
本例中的协方差误（0.415544）要大于方差误（0.347297），因此预测效果较好。