立体几何：外接球

专题2多面体的外接

球

秒杀秘籍：第一讲长方体切割体的外接球设长方体相邻的三条边棱长分别为a，b，c

．

图1墙角体图1鳖臑图3挖墙角体图4对角线相等的四面体

图1与图2有重垂线，三视图都是三个直角三角形，图3无重垂线，俯视图是一矩形，AC为虚线，主视图和左视图为直角三角形．

图4中，

2222

222222

2222222

2222

28

a b BC

AD BC

AB CD b c AC a b c R

AC BD c a AB

α

αβγαβγ

β

γ

⎧+==

=⎫

⎪++++

⎪

=⇒+==⇒++=⇒=

⎬⎨

⎪⎪

=+==

⎭⎩

,

abc

abc

abc

V BCD

A3

1

4

6

1

=

⨯

-

=

-

．

【例1】在球面上有四个点P、A、B、C.如果PA、PB、PC两两互相垂直，且a

PC

PB

PA=

=

=,则这个球的表面积是．

【解析】根据题意可得，C

B

A

P、

、

、位于一个棱长为a的正方体上，所以球为正方体的外接球，a

R

2

3

=，故这个球的表面积为2

2

23

2

3

4

4a

a

R

Sπ

π

π=

⎪

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

=

=．

【例2】在三棱锥BCD

A-中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，ABC

∆、ACD

∆、ADB

∆的面积分别为

2

2、3

2、

6

2，则三棱锥BCD

A-的外接球的体积为（）

A．6πB．26πC．36πD．46π

【解析】因为

1

3

2

2

3

2

1

2

2

3

1

2

3

2

12

,

2

,

2

2

,

2

,

2

S

S

S

c

S

S

S

b

S

S

S

a

S

ac

S

bc

S

ab=

=

=

⇒

=

=

=，

1

3

2

3

2

1

2

3

1

2

2

2S

S

S

S

S

S

S

S

S

R+

+

=

2

6

4

3

4

2

4

1

=

+

+

=，π

π

π6

2

6

3

4

3

43

3=

⎪

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

=

=R

V，故选A．

【例3】如图所示，已知球O的面上有四点A、B、C、D，2

=

=

=

⊥

⊥BC

AB

DA

BC

AB

ABC

DA，

，

面,则球O的体积等于．

【解析】易知DA、AB、BC位于一个正方体上，故球O半径为

2

6

2

3

=

=a

R，

π

π

π6

2

6

3

4

3

43

3=

⎪

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

=

=R

V．

【例4】四面体BCD A -中，5==CD AB ，34==BD AC ，41==BC AD ，则四面体BCD A -外接球的表面积为（

）

A ．π50

B ．π100

C ．π

150D ．π

200【解析】由题四面体BCD A -是分别以a ，b ，c 为长且侧棱两两垂直的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为a ，b ，c 的长方体，并且2522=+b a ，3422=+c a ，22c b +，

设球半径为R ，则有50)2(2222=++=c b a R ，∴5042=R ，∴球的表面积为ππ5042==R S ．故选A ．

秒杀秘籍：第三讲切瓜模型（两个平面互相垂直，最大高和最小高问题）

图1BC

AB BAC PAC ⊥⊥,面图2底面ABC 固定，P 在球面上运动，ABC P V -最值问题

图1：由图可知，小圆ABC 直径AC 长可以求出，平面PAC 必在大圆上，由A

a

R sin 2=，解出R ．图2：先根据A

a

r sin 2=

求出底面圆的直径MN ，再根据几何性质求出球大圆的直径，最后根据垂径定理算

出P 到底面距离的最大值和最小值．双半径单交线公式：4

22

2

2

12

l R R R -+=2

122212

122D O E O D O OO OD R +=+==4

)21()(222212

122

22

12

2

2l R R D O BC C O D O CE C O -

+=+-=+-=注意：常见的切瓜模型中，一旦出现21l R =

或2

2l

R =时，则2R R =或1R R =．此公式参考王文勇老师的《大招秒杀秘籍》一书，在此向努力教研的勇哥致敬！

双半径单交线公式适合所有的直二面角模型，两个半平面的外接圆半径分别为1R 和2R ，两半平面交线长度为l ，此公式属于一种开挂般的存在，在前面的直三棱柱切割体模型当中也可以使用，一旦两个半平面的二面角不是︒90时，此公式将不再适用．

【例7】某几何体的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（

）

A ．π12

B ．π16

C ．π

20D ．π

24【解析】法一：由已知中的三视图可得：该几何底是一个以俯视图为底面的三棱锥，底面两直角边长分别为2，22，故斜边长为32，过斜边的侧面与底面垂直，且高为3的等腰三角形，设其外接球的半径为R ，则()()

2

2

233+

-=R R