立体几何：外接球

专题2多面体的外接球秒杀秘籍：第一讲长方体切割体的外接球设长方体相邻的三条边棱长分别为a，b，c．图1墙角体图1鳖臑图3挖墙角体图4对角线相等的四面体图1与图2有重垂线，三视图都是三个直角三角形，图3无重垂线，俯视图是一矩形，AC为虚线，主视图和左视图为直角三角形．图4中，22222222222222222222228a b BCAD BCAB CD b c AC a b c RAC BD c a ABααβγαβγβγ⎧+===⎫⎪++++⎪=⇒+==⇒++=⇒=⎬⎨⎪⎪=+==⎭⎩,abcabcabcV BCDA31461=⨯-=-．【例1】在球面上有四个点P、A、B、C.如果PA、PB、PC两两互相垂直，且aPCPBPA===,则这个球的表面积是．【解析】根据题意可得，CBAP、、、位于一个棱长为a的正方体上，所以球为正方体的外接球，aR23=，故这个球的表面积为22232344aaRSπππ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛==．【例2】在三棱锥BCDA-中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，ABC∆、ACD∆、ADB∆的面积分别为22、32、62，则三棱锥BCDA-的外接球的体积为（）A．6πB．26πC．36πD．46π【解析】因为1322321223123212,2,22,2,2SSScSSSbSSSaSacSbcSab===⇒===，132321231222SSSSSSSSSR++=26434241=++=，πππ626343433=⎪⎪⎭⎫⎝⎛==RV，故选A．【例3】如图所示，已知球O的面上有四点A、B、C、D，2===⊥⊥BCABDABCABABCDA，，面,则球O的体积等于．【解析】易知DA、AB、BC位于一个正方体上，故球O半径为2623==aR，πππ626343433=⎪⎪⎭⎫⎝⎛==RV．【例4】四面体BCD A -中，5==CD AB ，34==BD AC ，41==BC AD ，则四面体BCD A -外接球的表面积为（）A ．π50B ．π100C ．π150D ．π200【解析】由题四面体BCD A -是分别以a ，b ，c 为长且侧棱两两垂直的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为a ，b ，c 的长方体，并且2522=+b a ，3422=+c a ，22c b +，设球半径为R ，则有50)2(2222=++=c b a R ，∴5042=R ，∴球的表面积为ππ5042==R S ．故选A ．秒杀秘籍：第三讲切瓜模型（两个平面互相垂直，最大高和最小高问题）图1BCAB BAC PAC ⊥⊥,面图2底面ABC 固定，P 在球面上运动，ABC P V -最值问题图1：由图可知，小圆ABC 直径AC 长可以求出，平面PAC 必在大圆上，由AaR sin 2=，解出R ．图2：先根据Aar sin 2=求出底面圆的直径MN ，再根据几何性质求出球大圆的直径，最后根据垂径定理算出P 到底面距离的最大值和最小值．双半径单交线公式：4222212l R R R -+=2122212122D O E O D O OO OD R +=+==4)21()(222212122221222l R R D O BC C O D O CE C O -+=+-=+-=注意：常见的切瓜模型中，一旦出现21l R =或22lR =时，则2R R =或1R R =．此公式参考王文勇老师的《大招秒杀秘籍》一书，在此向努力教研的勇哥致敬！双半径单交线公式适合所有的直二面角模型，两个半平面的外接圆半径分别为1R 和2R ，两半平面交线长度为l ，此公式属于一种开挂般的存在，在前面的直三棱柱切割体模型当中也可以使用，一旦两个半平面的二面角不是︒90时，此公式将不再适用．【例7】某几何体的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（）A ．π12B ．π16C ．π20D ．π24【解析】法一：由已知中的三视图可得：该几何底是一个以俯视图为底面的三棱锥，底面两直角边长分别为2，22，故斜边长为32，过斜边的侧面与底面垂直，且高为3的等腰三角形，设其外接球的半径为R ，则()()22233+-=R R解得：2=R ，故它的外接球表面积ππ1642==R S ，故选B ．法二：两垂直平面用双半径单交线公式，由于底面的外接圆半径为31=R ，与其垂直的面是一个等边三角形，其外接圆半径为460sin 3222=︒=R ，交线32=l ,故24222212=-+=l R R R ，故选B ．【例8】已知三棱锥ABC P -的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC ∆满足3==BC AB ，3=AC ，若该三棱锥体积的最大值为433，则其外接球的半径为（）A ．1B ．2C ．3D ．32【解析】如图所示，由3==BC AB ，3=AC ，可得21332933cos -=⨯-+=B ∴︒=120B ，∴433120sin 3321=︒⨯⨯⨯=ABC S ，设ABC ∆的外接圆的半径为r ，则32120sin 3=⇒=︒r r ．当⊥1DO 平面ABC 时，该三棱锥取得体积的最大值为433，符合切瓜模型，满足球顶高最大原理，由131DO V ABC D ⨯=-433433=⨯，解得31=DO ．设三棱锥ABC D -的外接球的球心为O ，222)3()3(+-=R R ，解得2=R ．故选B ．秒杀秘籍：第四讲全等三角形折叠模型题设：两个全等的三角形或者等腰拼在一起，或者菱形折叠，设折叠的二面角α='∠EC A ,h E A CE ='=如图，作左图的二面角剖面图如右图：1H 和2H 分别为BD A BCD '∆∆,外心，BCDBDr CH ∠==sin 21，r h EH -=1，()2tan1αr h OH -=，故()2tan 222212122αr h r CH OH OC R -+=+==．凡是有二面角的四面体，一定要找到二面角的平面角，将其作剖面图，对剖面图进行分析时，利用圆内接四边形和三角形性质，可以求出外接球半径，特殊情况要用CcB b A a R sin sin sin 2===进行处理．【例9】已知菱形ABCD 中，︒=∠60DAB ，3=AB ，对角线AC 与BD 的交点为O ，把菱形ABCD 沿对角线BD 折起，使得︒=∠90AOC ，则折得的几何体的外接球的表面积为（）作二面角剖面⇒作二面角剖面⇒A ．π15B．215πC．27πD ．π7【解析】法一：菱形ABCD 中，︒=∠60DAB ，3=AB ，三角形ABD 的外接圆的半径为360sin 23=︒=r ，高233=h ，对角线AC 与BD 的交点为O ，使得︒=∠=90AOC α，则折得的几何体的外接球的半径为：()21545tan 32333222=︒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=R ，外接球的表面积为ππ1521542=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=S ，故选A ．法二：直二面角符合双半径单交线模型，3sin6032121=︒==R R ，且232=l ，则一定有4154222212=-+=l R R R ，故选A ．【例11】在边长为32的菱形ABCD 中， 60=∠BAD ，沿对角线AC 折成二面角D AC B --为 120的四面体ABCD ，则此四面体的外接球表面积为．【解析】如图所示，典型的全等等腰三角形共底边：︒==∠====120,32,32αBED r D O h ED ，可根据几何性质知道︒=∠602EO O ,360tan 22=︒=EO OO ，()()21323222222=+=+=DO OO R ，也可以不用画图直接一波流公式带走()()()2160tan323322tan 222222=︒-+=-+=αr h r R ，ππ8442==R S ．秒杀秘籍：第五讲等腰三角形底边与一直角三角形斜边构成二面角的四面体凡是遇到直角三角形，通常要转换直角顶点，因为直径所对的圆周角为直角，故可将直角顶点转换为共斜边的直角三角形直角顶点，如下图左：ABC △以斜边BC 为交线与其它平面形成的二面角可以转换为平面DBC 与其它平面构成的二面角．如上图中，ABC △为等腰三角形，且AC AB =，DBC △是以BC 为斜边的△Rt ，D BC A --二面角为α，作二面角剖面⇒令ABC △的外接圆半径为2r ，BC 边上的高为21h AO =，12r BC =，F 为ABC △的外心，则根据剖面图可知，外接球半径R 满足以下恒等式()21222221212sin r r h R E O OO OE +⎪⎭⎫ ⎝⎛-==+=α．【例12】在四面体ABC S -中，BC AB ⊥，2==BC AB ，SAC △为等边三角形，二面角B AC S --的余弦值为33-，则四面体ABC S -的外接球表面积为．作二面角剖面⇒【解析】如图所示，作出剖面：36sin sin 33cos 1211=∠=∠⇒-=∠OO O B SO B SO ，332,322==r h ,直接刷公式一波流带走()23121sin 212222=+=+⎪⎭⎫⎝⎛-=r r h R α，ππ642==R S ．秒杀秘籍：第六讲剖面图转化定理：剖面图一致的外接球一定一致两个等腰三角形（不全等）共底边的二面角，或等腰三角形底边与直角三角形直角边为公共边构成的二面角模型如图6：设二面角α=∠AED ，1h AE =，2h DE =，ABC ∆外接圆半径1r ，DBC △外接圆半径2r ，延长AE 交球于F ,DE 交球于G ，作如图6的二面角剖面图如图7所示，根据相交弦定理ED GE EF AE ⋅=⋅可知，若DE AE =或者GE AE =，则和全等等腰三角形共底边完全一样，利用公式()2tan 2222αr h r R -+=秒杀．（备注：若︒=∠60BAC ，则EF AE 3=，若︒=∠120BAC ，则EF AE 31=）如图8：CD 为BCD Rt ∆的斜边，设二面角α=∠1AED ，1h AE =，21h E D =，ABC △外接圆的半径为1r ，DBC △外接圆的半径为22CDr =，221r h E O -=，延长AE 交球于F ，E D 1交球于G ，作如图8的二面角剖面图如图9所示，根据相交弦定理1ED GE EF AE ⋅=⋅可知，若E D AE 1=或者GE AE =，利用公式()2tan 2222αr h r R -+=秒杀．【例13】（2018•全国四模）已知三棱锥ABC D -所有顶点都在球O 的球面上，ABC △为边长为32的正三角形，ABD △是以BD 为斜边的直角三角形，且2=AD ，二面角D AB C --为︒120，则球O 的表面积（）A ．3148πB ．π28C ．337πD ．π36【解析】如图所示，3112031=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=︒=∠=EG E O CEG CE ，故此题符合模型四，⎪⎩⎪⎨⎧=︒=∠===,21203r CEG CE h α，()72tan 2222=-+=αr h r R ，ππ2842==R S ，故选B ．则该几何体外接球的表面积为（）A ．π4B ．π8C ．π16D ．π32【解析】由题知229022,2222111111==⇒︒=∠⇒=⇒⎪⎩⎪⎨⎧='===='C O R FCG C O D O E O F O G O D C ，故ππ3242==R S ，故选D ．此四面体外接球的表面积为（）A ．219πB ．243819πC ．π17D ．61717π【解析】由题知，⎪⎩⎪⎨⎧=∠︒=∠⇒⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎪⎩⎪⎨⎧==︒=∠=∠=36sin 903672,2603ABE AEB BE AE AD AC CD DB CB ABD ABC AB ,作图如下：作二面角剖面⇒作二面角剖面⇒法一：根据相交弦定理EF BE EG AE ⋅=⋅，由于△BDC 为等边三角形，根据其外接圆知识可知EF BE 3=，故可得ππ2194238sin 2357332==⇒=∠=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==R S ABE AF R AF EF ，故选A ．法二：双半径单交线公式，△BCD 中，332321==BE R ，△ACD 中，6277627sin 22==∠=ACDADR ，12=l，8194222212=-+=l R R R ，ππ21942==R S ．秒杀秘籍：第七讲含二面角的外接球终极公式双距离单交线公式：4sin cos 222222l mn n m R +-+=αα如右图，若空间四边形ABCD 中，二面角D AB C --的平面角大小为α，ABD 的外接圆圆心为1O ，ABC 的外接圆圆心为2O ，E 为公共弦AB 中点，则α=∠21EO O ，m E O =1，n E O =2，2lAE =，R OA =，由于21O E O O 、、、四点共圆，且αsin 221O O R OE ='=，根据余弦定理αcos 222221mn n m O O -+=，4sin cos 22222222l mn n m AE OE R +-+=+=αα．注意：此公式最好配合剖面图，需要求出两个半平面的外接圆半径，和外接圆圆心到公共弦的距离，通常是，剖面图能很快判断出两条相等弦的优先使用公式()2tan 2222αr h r R -+=．下面以此公式来解答一下前面出现的例题：【例12】在四面体ABC S -中，BC AB ⊥，2==BC AB ，SAC △为等边三角形，二面角B AC S --的余弦值为33-，则四面体ABC S -的外接球表面积为．【解析】0=m ，3321==O O n ，33cos -=α，36sin =α，作二面角剖面⇒角形，ABD △是以BD 为斜边的直角三角形，且2=AD ，二面角D AB C --为︒120，则球O 的表面积为（）A ．3148πB．π28C ．337πD ．π36则该几何体外接球的表面积为（）A ．π4B ．π8C ．π16D ．π32欢迎各位同仁指正！。