立体几何：外接球
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专题2多面体的外接
球
秒杀秘籍：第一讲长方体切割体的外接球设长方体相邻的三条边棱长分别为a，b，c
．
图1墙角体图1鳖臑图3挖墙角体图4对角线相等的四面体
图1与图2有重垂线，三视图都是三个直角三角形，图3无重垂线，俯视图是一矩形，AC为虚线，主视图和左视图为直角三角形．
图4中，
2222
222222
2222222
2222
28
a b BC
AD BC
AB CD b c AC a b c R
AC BD c a AB
α
αβγαβγ
β
γ
⎧+==
=⎫
⎪++++
⎪
=⇒+==⇒++=⇒=
⎬⎨
⎪⎪
=+==
⎭⎩
,
abc
abc
abc
V BCD
A3
1
4
6
1
=
⨯
-
=
-
．
【例1】在球面上有四个点P、A、B、C.如果PA、PB、PC两两互相垂直，且a
PC
PB
PA=
=
=,则这个球的表面积是．
【解析】根据题意可得，C
B
A
P、
、
、位于一个棱长为a的正方体上，所以球为正方体的外接球，a
R
2
3
=，故这个球的表面积为2
2
23
2
3
4
4a
a
R
Sπ
π
π=
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
=
=．
【例2】在三棱锥BCD
A-中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，ABC
∆、ACD
∆、ADB
∆的面积分别为
2
2、3
2、
6
2，则三棱锥BCD
A-的外接球的体积为（）
A．6πB．26πC．36πD．46π
【解析】因为
1
3
2
2
3
2
1
2
2
3
1
2
3
2
12
,
2
,
2
2
,
2
,
2
S
S
S
c
S
S
S
b
S
S
S
a
S
ac
S
bc
S
ab=
=
=
⇒
=
=
=，
1
3
2
3
2
1
2
3
1
2
2
2S
S
S
S
S
S
S
S
S
R+
+
=
2
6
4
3
4
2
4
1
=
+
+
=，π
π
π6
2
6
3
4
3
43
3=
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
=
=R
V，故选A．
【例3】如图所示，已知球O的面上有四点A、B、C、D，2
=
=
=
⊥
⊥BC
AB
DA
BC
AB
ABC
DA，
，
面,则球O的体积等于．
【解析】易知DA、AB、BC位于一个正方体上，故球O半径为
2
6
2
3
=
=a
R，
π
π
π6
2
6
3
4
3
43
3=
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
=
=R
V．
【例4】四面体BCD A -中，5==CD AB ，34==BD AC ，41==BC AD ，则四面体BCD A -外接球的表面积为（
）
A ．π50
B ．π100
C ．π
150D ．π
200【解析】由题四面体BCD A -是分别以a ，b ，c 为长且侧棱两两垂直的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为a ，b ，c 的长方体，并且2522=+b a ，3422=+c a ，22c b +，
设球半径为R ，则有50)2(2222=++=c b a R ，∴5042=R ，∴球的表面积为ππ5042==R S ．故选A ．
秒杀秘籍：第三讲切瓜模型（两个平面互相垂直，最大高和最小高问题）
图1BC
AB BAC PAC ⊥⊥,面图2底面ABC 固定，P 在球面上运动，ABC P V -最值问题
图1：由图可知，小圆ABC 直径AC 长可以求出，平面PAC 必在大圆上，由A
a
R sin 2=，解出R ．图2：先根据A
a
r sin 2=
求出底面圆的直径MN ，再根据几何性质求出球大圆的直径，最后根据垂径定理算
出P 到底面距离的最大值和最小值．双半径单交线公式：4
22
2
2
12
l R R R -+=2
122212
122D O E O D O OO OD R +=+==4
)21()(222212
122
22
12
2
2l R R D O BC C O D O CE C O -
+=+-=+-=注意：常见的切瓜模型中，一旦出现21l R =
或2
2l
R =时，则2R R =或1R R =．此公式参考王文勇老师的《大招秒杀秘籍》一书，在此向努力教研的勇哥致敬！
双半径单交线公式适合所有的直二面角模型，两个半平面的外接圆半径分别为1R 和2R ，两半平面交线长度为l ，此公式属于一种开挂般的存在，在前面的直三棱柱切割体模型当中也可以使用，一旦两个半平面的二面角不是︒90时，此公式将不再适用．
【例7】某几何体的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（
）
A ．π12
B ．π16
C ．π
20D ．π
24【解析】法一：由已知中的三视图可得：该几何底是一个以俯视图为底面的三棱锥，底面两直角边长分别为2，22，故斜边长为32，过斜边的侧面与底面垂直，且高为3的等腰三角形，设其外接球的半径为R ，则()()
2
2
233+
-=R R