第15讲-湍流及转戾
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2
(1)
涡粘模型 隐式滤波
t Cs 2 S (u )
其中
S (u )
2
1 Sij (u )Sij (u ) 2
2 Sij ui , j u j ,i uk ,k ij 3
特点： 模型简单，鲁棒性好
只需将原先的粘性系数
换成
t
缺点： 在层流区耗散过大，在近壁区不适用。 需要衰减函数
ij f (u , , C )
ˆ Tij f (u , k , C )
模型系数，动态可调， 需要计算
ij Cd 2 S (u ) S ij (u )
2
^ ˆ ˆˆ Tij ij f (u , k , C ) f (u , , C ) uiu j uiu j
2 2
f ( x)
1 2 2 2 3 2
1 2 2 2 3 2
f (x ξ )dξ
1 2 f ( x) f ( x) O(4 ) 24
2 1 2 2ui 1 2 uj ij ui u j ui u j (ui k )(u j k ) 24 xk xk 24 xk xk 2 1 2 (ui u j ) (ui u j k ) O ( 4 ) 24 xk xk
Cd
M ij ( Lij H ij ) M ij M ij
（3）动力学Clark模型
基本模型为梯度模型与涡粘模型的混合模型
ij
H ij
1 2 2 2 k k ui k u j Cd 2 S (u ) Sij (u ) 12
1 1 ˆ ˆ (k k ) 2 2 ui 2 u j ( (k k ) 2 2 ui 2 u j ) k k k k 12 12
而动力学模型无需衰减函数
ij Cd 2 S (u ) Sij (u )
Cd M ij Lij M ij M ij
14.5.2 可压湍流的大涡模拟
压缩性效应： A. 引起平均量改变（主要是平均密度的变化引起的） B. 引起流动小尺度结构的变化（如小激波）
弱可压缩下的Morkovin理论：当湍流马赫数较小时，压缩性效应主要影 响平均量。
特点： 该量无需模型，可直接计算
(1)
Germano恒等式
ˆˆ Tij ij uiu j uiu j
^
特点： Tij ij
FG滤波 （ k ）亚格子 应力
无需模化，可“精确”算出
经过G-滤波后的 F-滤波（ ）亚格子应力
启发： Germano 提供了亚格子模型的一个约束条件，可用来改进模型
1 2 2 f f k O( 4 ) 24 xk xk
1 2 k O ( 4 ) 12 xk xk xk xk
2u j
2u j
ui ui O(2 )
2 2 1 2 uj uj ij k O( 4 ) 12 xk xk xk xk
d d
6 2 2
f ( )e
3( x ) 2 / 2
d
3. 基本方程
ui 0 xi ui (ui u j ) 1 p 2ui t x j xi
滤波：
ui 0 xi ui (ui u j ) 1 p 2ui t x j xi
3 3
3/ 2 6 ( x ) e
2
/ 2 1
d
如采用Gaussian型滤波有如下性质 设 f 的滤波尺度为
f
e
6 ( x ) 2 / 2
d f ( )e 6 ( ) e
2
/ 2
d
相当于
2
尺度的滤波
f ( )e
3/ 2
6 ( x ) 2 / 2 6 ( ) 2 / 2
FG滤波，相当于用 k 进行滤波
ˆ ˆ ˆ ˆ Tij ij Cd ((k )2 S (u ) Sij (u ) ( 2 S (u ) Sij (u ))) Cd M ij
Lij Tij ij Cd M ij
可直接计算， 无需模型
Cd M ij Lij M ij M ij
Copyright by Li Xinliang 1
§ 14.6 湍流大涡模拟简介
湍流模式理论（RANS）： 计算量较小，但普适性差，很难找到通 用的模型
原因： 湍流脉动的多尺度性 大尺度脉动： 受几何条件、外部因素影 响强烈。 复杂、多态、强各向异性
u 'i u ' j c k 2 ui u j x j xi
1.3
Favre 平均
1.25 1.2
p
~ f f
1.15 1.1 1.05 1 0.95 -1 -0.5 0 0.5 1
T
~ f f
y
可压槽道湍流的平均密度温度和压力
基本方程
,t ( u j ) , j 0
( ui ) ,t ( ui u j ) , j p,i ij , j e,t ((e p )u j ) , j q j , j (ui ij ) , j
F-level
小尺度
滤波尺度为 f
k
Germano 恒等式： F-滤波+ G-滤波 与 FG滤波之间的关系式
ij ui u j ui u j
FG滤波
F滤波+ G滤波
^
ˆij uiu j uiu j
^
^
ˆˆ Tij ui u j ui u j
ˆˆ Tij ij uiu j uiu j Lij
更复杂的非线性项： 出现了压力关连项： 粘性项也是非线性的：
(3.1)
ui u j
pui
u i ij
ij (T )Sij (u)
(Sij ui , j u j ,i 2 / 3uk ,k ij )
热传导项也是非线性的：
qi T,i
当马赫数不是很高时，粘性项及热传导项的非线性是很弱的
x
wenku.baidu.com
2. 滤波的性质
f g f g
A.若采用Box 滤波及谱截断滤波则：
f f
令： f f f
则:
f 0,
f g f g,
B. 若采用一般的滤波器则：
f f
6 f ( x) 1
6 f ( x) 2 6 2
10
0
大尺度区 受几何条件，外 部因素影响强烈， 只能直接求解
k 惯性区
10
1
10
2
耗散区
受外部因素影 响较弱，容易 模化
可压均匀各向同性湍流的能谱
14.5.1 不可压缩湍流的大涡模拟简介
1. 滤波
f ( x) G ( x, ) f ( )d
G ( x , ) d 1 a. 盒式滤波
预测亚格子雷诺应力的准确性有所提高，改进了层流区及近壁过于耗散 的情况。
(2) 动力学混合模型
基本模型为相似模型与涡粘模型的混合模型
ij ui u j ui u j Cd 2 S (u ) Sij (u )
Lij Tij ij Cd M ij H ij
ˆˆ ˆ u u u (u u u u ) ˆ ˆˆ H ij ui j i j i j i j
思路： 小尺度脉动受平均流影响较小，更容易模化
大涡模拟（LES）： 流动= 大尺度流动 + 小尺度脉动
直接求解 通过模型，由大尺度 量给出
10
-2
Energy spectrum
10 10 10 10 10 10 10 10
-3
-4
-5
-6
FE2 FE1 FF1 k**(-5/3)
-7
-8
-9
-10
4 推导过程并不严密，高阶量 O( ) 为必是小量
从相似模型推导，可以得出同样的公式。
缺点： 稳定性差 Liu et al 1994 建议采用限制器：
1 c 0
if
ij ui , j 0
otherwise
B. 动力学模型
采用二次滤波的方法建立亚格子应力模型
G-level
F-level 滤波 f 滤波尺度为 ，G-level滤波 FG-level滤波：ˆ f
性质：
ij ui u j ui u j ui u j (ui ui )(u j u j )
ui u j ui u j ui u j u j ui uiu j
由于通常情况下 f f
LES亚格子Reynolds应力与RANS的 Reynolds应力形式有所区别
即相似模型
该模型预测雷诺应力的准确度有所提高 但该模型预测的雷诺应力偏低
（3） 梯度模型
采用Taylor分析的方法找出亚格子应力模型 若采用BOX滤波
f ( x) 1 1 1 2 f ( x )d ( f ( x) f ( x) 2 f ( x) ...)d 2 2
3 常用的衰减函数： D 1 exp(( y / A ) )
, A 25
算出 ij 后，乘以该 函数即可
（2）相似模型
ij ui u j ui u j
u
大尺度 小尺度
u
u
假设不同尺度对雷诺应力的贡献是相似的
将上式中的 u i 换成 u i 得
ij ui u j ui u j
计算流体力学讲义
第十五讲
湍流与转捩 （3）
李新亮 lixl@imech.ac.cn ；力学所主楼219； 82543801
知识点：
湍流的大涡模拟(LES) 滤波，涡粘模型，相似模型，梯度模型，动力学模型
讲义、课件上传至 www.cfluid.com (流体中文网） -> “流体论坛” ->“ CFD基础理论 ” 讲课录像及讲义上传至网盘 http://cid-1cc0dcbff560c149.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public
Cd
M ij ( Lij H ij ) M ij M ij
5. 近壁处理
ij ui u j ui u j
显然在近壁处亚格子雷诺应力应当趋于0，
但很多模型却不满足该条件
ij Cs 2 S (u ) Sij (u )
因此需要采用特殊处理（采用衰减函数） 3 例如： D 1 exp(( y / A ) )
Lij ui u j ui u j
Leonard应力
RANS
Rij uiu j
特点： 无需模型，可直接计算
4. 亚格子Reynolds应力模型
ij ui u j ui u j
A. 基本模型
（1） Smagorinsky 模型
ij Cs S (u ) Sij (u )
ui u j ui u j (ui u j ui u j )
大尺度量满足的方程
ui 0 xi ij ui (ui u j ) 1 p 2ui t x j xi x j
ij ui u j ui u j
亚格子 Reynolds应力
1 if x / 2 G ( x, ) 0 otherwise
/2 /2
x
b. 谱截断滤波 c. Gaussian型滤波
6 G ( x, ) 2
3/ 2
e
6[( x1 1 ) 2 ( x2 2 ) 2 ( x3 3 ) 2 ] / 2
ij (T ) Sij (u )
^
仅C是未知数，可解
6个方程1个未知数，通常采用最小二乘解
Copyright by Li Xinliang 12
（1） 动力学涡粘模型
ij Cd S (u ) Sij (u )
2
涡粘系数C动态可调 通过两次滤波，确定该系数
F-level FG-level
ˆ ˆ Tij Cd (k ) 2 S (u ) Sij (u )
(1)
涡粘模型 隐式滤波
t Cs 2 S (u )
其中
S (u )
2
1 Sij (u )Sij (u ) 2
2 Sij ui , j u j ,i uk ,k ij 3
特点： 模型简单，鲁棒性好
只需将原先的粘性系数
换成
t
缺点： 在层流区耗散过大，在近壁区不适用。 需要衰减函数
ij f (u , , C )
ˆ Tij f (u , k , C )
模型系数，动态可调， 需要计算
ij Cd 2 S (u ) S ij (u )
2
^ ˆ ˆˆ Tij ij f (u , k , C ) f (u , , C ) uiu j uiu j
2 2
f ( x)
1 2 2 2 3 2
1 2 2 2 3 2
f (x ξ )dξ
1 2 f ( x) f ( x) O(4 ) 24
2 1 2 2ui 1 2 uj ij ui u j ui u j (ui k )(u j k ) 24 xk xk 24 xk xk 2 1 2 (ui u j ) (ui u j k ) O ( 4 ) 24 xk xk
Cd
M ij ( Lij H ij ) M ij M ij
（3）动力学Clark模型
基本模型为梯度模型与涡粘模型的混合模型
ij
H ij
1 2 2 2 k k ui k u j Cd 2 S (u ) Sij (u ) 12
1 1 ˆ ˆ (k k ) 2 2 ui 2 u j ( (k k ) 2 2 ui 2 u j ) k k k k 12 12
而动力学模型无需衰减函数
ij Cd 2 S (u ) Sij (u )
Cd M ij Lij M ij M ij
14.5.2 可压湍流的大涡模拟
压缩性效应： A. 引起平均量改变（主要是平均密度的变化引起的） B. 引起流动小尺度结构的变化（如小激波）
弱可压缩下的Morkovin理论：当湍流马赫数较小时，压缩性效应主要影 响平均量。
特点： 该量无需模型，可直接计算
(1)
Germano恒等式
ˆˆ Tij ij uiu j uiu j
^
特点： Tij ij
FG滤波 （ k ）亚格子 应力
无需模化，可“精确”算出
经过G-滤波后的 F-滤波（ ）亚格子应力
启发： Germano 提供了亚格子模型的一个约束条件，可用来改进模型
1 2 2 f f k O( 4 ) 24 xk xk
1 2 k O ( 4 ) 12 xk xk xk xk
2u j
2u j
ui ui O(2 )
2 2 1 2 uj uj ij k O( 4 ) 12 xk xk xk xk
d d
6 2 2
f ( )e
3( x ) 2 / 2
d
3. 基本方程
ui 0 xi ui (ui u j ) 1 p 2ui t x j xi
滤波：
ui 0 xi ui (ui u j ) 1 p 2ui t x j xi
3 3
3/ 2 6 ( x ) e
2
/ 2 1
d
如采用Gaussian型滤波有如下性质 设 f 的滤波尺度为
f
e
6 ( x ) 2 / 2
d f ( )e 6 ( ) e
2
/ 2
d
相当于
2
尺度的滤波
f ( )e
3/ 2
6 ( x ) 2 / 2 6 ( ) 2 / 2
FG滤波，相当于用 k 进行滤波
ˆ ˆ ˆ ˆ Tij ij Cd ((k )2 S (u ) Sij (u ) ( 2 S (u ) Sij (u ))) Cd M ij
Lij Tij ij Cd M ij
可直接计算， 无需模型
Cd M ij Lij M ij M ij
Copyright by Li Xinliang 1
§ 14.6 湍流大涡模拟简介
湍流模式理论（RANS）： 计算量较小，但普适性差，很难找到通 用的模型
原因： 湍流脉动的多尺度性 大尺度脉动： 受几何条件、外部因素影 响强烈。 复杂、多态、强各向异性
u 'i u ' j c k 2 ui u j x j xi
1.3
Favre 平均
1.25 1.2
p
~ f f
1.15 1.1 1.05 1 0.95 -1 -0.5 0 0.5 1
T
~ f f
y
可压槽道湍流的平均密度温度和压力
基本方程
,t ( u j ) , j 0
( ui ) ,t ( ui u j ) , j p,i ij , j e,t ((e p )u j ) , j q j , j (ui ij ) , j
F-level
小尺度
滤波尺度为 f
k
Germano 恒等式： F-滤波+ G-滤波 与 FG滤波之间的关系式
ij ui u j ui u j
FG滤波
F滤波+ G滤波
^
ˆij uiu j uiu j
^
^
ˆˆ Tij ui u j ui u j
ˆˆ Tij ij uiu j uiu j Lij
更复杂的非线性项： 出现了压力关连项： 粘性项也是非线性的：
(3.1)
ui u j
pui
u i ij
ij (T )Sij (u)
(Sij ui , j u j ,i 2 / 3uk ,k ij )
热传导项也是非线性的：
qi T,i
当马赫数不是很高时，粘性项及热传导项的非线性是很弱的
x
wenku.baidu.com
2. 滤波的性质
f g f g
A.若采用Box 滤波及谱截断滤波则：
f f
令： f f f
则:
f 0,
f g f g,
B. 若采用一般的滤波器则：
f f
6 f ( x) 1
6 f ( x) 2 6 2
10
0
大尺度区 受几何条件，外 部因素影响强烈， 只能直接求解
k 惯性区
10
1
10
2
耗散区
受外部因素影 响较弱，容易 模化
可压均匀各向同性湍流的能谱
14.5.1 不可压缩湍流的大涡模拟简介
1. 滤波
f ( x) G ( x, ) f ( )d
G ( x , ) d 1 a. 盒式滤波
预测亚格子雷诺应力的准确性有所提高，改进了层流区及近壁过于耗散 的情况。
(2) 动力学混合模型
基本模型为相似模型与涡粘模型的混合模型
ij ui u j ui u j Cd 2 S (u ) Sij (u )
Lij Tij ij Cd M ij H ij
ˆˆ ˆ u u u (u u u u ) ˆ ˆˆ H ij ui j i j i j i j
思路： 小尺度脉动受平均流影响较小，更容易模化
大涡模拟（LES）： 流动= 大尺度流动 + 小尺度脉动
直接求解 通过模型，由大尺度 量给出
10
-2
Energy spectrum
10 10 10 10 10 10 10 10
-3
-4
-5
-6
FE2 FE1 FF1 k**(-5/3)
-7
-8
-9
-10
4 推导过程并不严密，高阶量 O( ) 为必是小量
从相似模型推导，可以得出同样的公式。
缺点： 稳定性差 Liu et al 1994 建议采用限制器：
1 c 0
if
ij ui , j 0
otherwise
B. 动力学模型
采用二次滤波的方法建立亚格子应力模型
G-level
F-level 滤波 f 滤波尺度为 ，G-level滤波 FG-level滤波：ˆ f
性质：
ij ui u j ui u j ui u j (ui ui )(u j u j )
ui u j ui u j ui u j u j ui uiu j
由于通常情况下 f f
LES亚格子Reynolds应力与RANS的 Reynolds应力形式有所区别
即相似模型
该模型预测雷诺应力的准确度有所提高 但该模型预测的雷诺应力偏低
（3） 梯度模型
采用Taylor分析的方法找出亚格子应力模型 若采用BOX滤波
f ( x) 1 1 1 2 f ( x )d ( f ( x) f ( x) 2 f ( x) ...)d 2 2
3 常用的衰减函数： D 1 exp(( y / A ) )
, A 25
算出 ij 后，乘以该 函数即可
（2）相似模型
ij ui u j ui u j
u
大尺度 小尺度
u
u
假设不同尺度对雷诺应力的贡献是相似的
将上式中的 u i 换成 u i 得
ij ui u j ui u j
计算流体力学讲义
第十五讲
湍流与转捩 （3）
李新亮 lixl@imech.ac.cn ；力学所主楼219； 82543801
知识点：
湍流的大涡模拟(LES) 滤波，涡粘模型，相似模型，梯度模型，动力学模型
讲义、课件上传至 www.cfluid.com (流体中文网） -> “流体论坛” ->“ CFD基础理论 ” 讲课录像及讲义上传至网盘 http://cid-1cc0dcbff560c149.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public
Cd
M ij ( Lij H ij ) M ij M ij
5. 近壁处理
ij ui u j ui u j
显然在近壁处亚格子雷诺应力应当趋于0，
但很多模型却不满足该条件
ij Cs 2 S (u ) Sij (u )
因此需要采用特殊处理（采用衰减函数） 3 例如： D 1 exp(( y / A ) )
Lij ui u j ui u j
Leonard应力
RANS
Rij uiu j
特点： 无需模型，可直接计算
4. 亚格子Reynolds应力模型
ij ui u j ui u j
A. 基本模型
（1） Smagorinsky 模型
ij Cs S (u ) Sij (u )
ui u j ui u j (ui u j ui u j )
大尺度量满足的方程
ui 0 xi ij ui (ui u j ) 1 p 2ui t x j xi x j
ij ui u j ui u j
亚格子 Reynolds应力
1 if x / 2 G ( x, ) 0 otherwise
/2 /2
x
b. 谱截断滤波 c. Gaussian型滤波
6 G ( x, ) 2
3/ 2
e
6[( x1 1 ) 2 ( x2 2 ) 2 ( x3 3 ) 2 ] / 2
ij (T ) Sij (u )
^
仅C是未知数，可解
6个方程1个未知数，通常采用最小二乘解
Copyright by Li Xinliang 12
（1） 动力学涡粘模型
ij Cd S (u ) Sij (u )
2
涡粘系数C动态可调 通过两次滤波，确定该系数
F-level FG-level
ˆ ˆ Tij Cd (k ) 2 S (u ) Sij (u )