高中数学必修1人教版必修一不同函数增长的差异课件(53张)

上的平均变化率为-3,所以自变量每增加1个单位,
区间长不变的条件下,端点之和越大,函数值减小越快.
类型二 比较函数平均变化率的大小
类型二 比较函数平均变化率的大小 【典例】已知函数f(x)=3x,g(x)=2x,h(x)=log3x,比较 这三个函数在区间[a,a+1](a>1)上的平均变化率的 大小. 【思维·引】计算出平均变化率,再利用指数函数、 对数函数的性质比较大小.
①前5 min温度增加的速度越来越快;②前5 min温度 增加的速度越来越慢;③5 min以后温度保持匀速增加; ④5 min以后温度保持不变. 其中正确的说法是________.(填序号)
【解析】因为温度y关于时间t的图像是先凸后平,即 5 min前每当t增加一个单位增量,则y相应的增量越来 越小,而5 min后是y关于t的增量保持为0,则②④正确. 答案:②④
【类题·通】 平均变化率在研究函数值增加快慢中的应用 (1)计算函数在不同区间上的平均变化率,利用平均变 化率的大小比较函数值增加的快慢,
(2)平均变化率的大小也代表了区间的端点处的曲线上 两点连线斜率的大小,通过直线可以直观观察函数值的 变化对曲线变化趋势的影响.
【习练·破】 已知函数y=x2-2x-3. (1)分别计算函数在区间[1,2]与[3,4]上的平均变化率, 分析当自变量每增加1个单位时,函数值变化的规律; (2)记A(1,f(1)),B(2,f(2)),C(3,f(3)),D(4,f(4)), 判定直线AB与直线BC斜率的相对大小.
类型一 比较函数值增加的快慢 【典例】已知函数y=4x,分别计算函数在区间[1,2]与 [3,4]上的平均变化率,并说明,当自变量每增加1个单 位时,函数值的变化规律.
【思维·引】按照平均变化率的公式进行计算,再说明 变化规律.
【解析】因为 y 4x2 4x1 4（x所1 4以x2xy1 =14），x在区
【解析】(1)y xx2 22x 2
x32（=xxx112 2+2xx11-32）,所以
在区间[1,2]上的平均变化率为1,在区间[3,4]上的平
均变化率为5,所以自变量每增加1个单位,区间长不变
的条件下,端点之和越大,函数值增加越快.
(2)直线AB的斜率为1,直线CD的斜率为5,直线AB的斜率
小于直线CD的斜率.
【思考】 对于函数f(x)=x+1,g(x)=4x-3,当Δx足够大时,对于 x∈R,f(x0+Δx),g(x0+Δx)的大小关系能确定吗? 提示:当Δx足够大时,f(x0+Δx)<g(x0+Δx).
2.两种重要的函数增长 (1)指数增长: ①性质:当a>1时,指数函数f(x)=ax,当自变量每增加1 个单位时,随着自变量的增大,f(x)=ax的函数值增长的 越来越快;
(3)指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的增长速度一定比线 性增长速度大. ( )
提示:(1)×.自变量每增加1个单位,函数值将增加2个单 位. (2)√.线性增长的增长速度是不变的. (3)×.当a>1时,指数增长速度比线性增长速度大.
2.四个人赛跑,假设他们跑过的路程 fi(x)(i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别 是f1(x)=x2,f2(x)=4x,f3(x)=log2x,f4(x)=2x,如果 他们一直跑下去,最终跑在最前面的人具有的函数 关系是 ( )
因此在区间[a,a+1]上,f(x)的平均变化率最大,h(x)的平 均变化率最小.
【内化·悟】 指数函数、一次函数、对数函数的函数值变化快慢的 顺序是什么? 提示:由慢到快依次是对数函数、一次函数、指数函数.
1.用平均变化率比较函数值变化的快慢
(1)定义:函数y=f(x)在区间[x1,x2](x1<x2时)或
[x2,x1](x2<x1时)上的平均变化率为
y x
f（x 2） x2
f（x1）. x1
(2)实质:函数值的改变量与自变量的改变量之比.
y
(3)理解:自变量每增加1个单位,函数值将增加__x_ 个单位. (4)应用:比较函数值变化的快慢.
②定义:类似指数函数的增长称为指数增长(或指数级 增长、爆炸式增长). (2)线性增长:类似一次函数的增长称为线性增长(或直 线增长).
【思考】 指数增长和线性增长中增长速度哪一个大? 提示:指数增长.
【素养小测】 1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)若f(x)=2x+1,自变量每增加1个单位,函数值将增加 1个单位. ( ) (2)增长速度是不为0的常数的函数模型是线性增长模 型. ( )
【解析】因为 f 3a1=23a×3a,
x （a 1） a
g x
2（a 1） 2a （a 1） a
2，
h x
log（3 a （a
1） log3a 1） a
log3 (1
1 )， a
又因为a>1,所以2×3a>2×31=6,
log3 (1 1a<)log3 (1=11l)og32<log33=1<6,
A.f1(x)=x2 C.f3(x)=log2x
B.f2(x)=4x D.f4(x)=2x
【解析】选D.显然四个函数中,指数函数是增长最快的. 故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)=2x.
3.在某种金属材料的耐高温实验中,温度随着时间变化 的情况由微机记录后显示的图像如图所示.现给出下列 说法:
x x2 x1
x2 x1
间[1,2]上的平均变化率为 4（1 421=11）2,在区间[3,4]
2 1
上的平均变化率为 4（3 443=11）92,所以当自变量每增加
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1个单位时,区间的左端点越大,函数值增加越快.
【内化·悟】 当区间左端点越大,函数值增加越快时,函数的图像有 什么特征? 提示:图像上升,图像越来越陡.
【加练·固】 已知函数y=-x2+2x+1,计算在区间[1,2],[2,3]上的平 均变化率,并说明,当自变量每增加1个单位时,函数值 的变化规律.
【解析】 y
x
2 2
2x 2
1 （
x12
2x1
1）
x
x2 x1
=-(x2+x1)+2,
所以在区间[1,2]上的平均变化率为-1,在区间[2,3]