15.6 波函数 一维定态薛定谔方程
一维薛定谔方程表达式
一维薛定谔方程表达式一维薛定谔方程是描述量子力学中粒子在一维空间中运动的基本方程。
它的表达式为：iħ∂ψ/∂t = -ħ²/2m ∂²ψ/∂x² + V(x)ψ(x)其中，i是虚数单位，ħ是约化普朗克常数，t是时间，ψ是波函数，m是粒子的质量，x是空间坐标，V(x)是势能函数。
这个方程描述了粒子的波函数随时间的演化，以及波函数在空间中的变化。
左边表示波函数随时间的变化率，右边第一项是动能算符，描述了粒子动力学的贡献；第二项是势能算符，描述了势能对波函数的影响。
薛定谔方程的解决方案是波函数，它包含了粒子在一维空间中的所有信息。
波函数的模的平方表示了找到粒子在某个位置的概率密度。
因此，波函数的演化可以用来预测粒子在空间中的位置和动量。
薛定谔方程是量子力学的核心方程之一，它提供了描述微观粒子行为的基础。
通过求解薛定谔方程，我们可以获得粒子的波函数，从而了解粒子的性质和行为。
薛定谔方程在实际应用中有广泛的应用。
例如，在原子物理中，薛定谔方程可以用来计算原子的能级和波函数。
在固体物理中，薛定谔方程可以用来研究电子在晶格中的行为。
在量子力学中，薛定谔方程是研究微观粒子行为的基础方程。
薛定谔方程的求解可以使用不同的数值和解析方法。
对于简单的问题，可以使用分离变量法或者定态薛定谔方程来求解。
对于复杂的问题，可以使用数值方法如有限差分法或者变分法来求解。
薛定谔方程的解决方案也可以用来解释一些量子力学的现象。
例如，波函数叠加原理可以用来解释双缝干涉实验中的干涉图样。
量子隧穿效应可以通过薛定谔方程计算出来。
一维薛定谔方程是描述量子力学中粒子在一维空间中运动的基本方程。
通过求解薛定谔方程，我们可以获得粒子的波函数，从而了解粒子在空间中的行为。
薛定谔方程在物理学的各个领域都有广泛的应用，是理解微观世界的重要工具。
一维定态薛定谔方程求解的两种方法（matlab）
⼀维定态薛定谔⽅程求解的两种⽅法（matlab）量⼦⼒学中，薛定谔⽅程是核⼼。
薛定谔的猫描述了态的概念，但实际研究中，要想细致地研究⼀个原⼦，分⼦，甚⾄⼀块物质，都需要从薛定谔⽅程的求解开始。
下⾯将会以我的⼀次作业的题⽬为例，向⼤家展⽰整个求解过程。
薛定谔⽅程的完整形式为：以上⽅程有对时间的微分，还有对空间的微分。
⽽对于定态的薛定谔⽅程，我们只需考虑某⼀时刻的波函数，所以直接可将能量算符替代为E（⼀个常数）。
(1)分段势能法对于空间的梯度，如果只是⼀维情况的话，可以直接将梯度算符改为微分。
所以⼀维定态薛定谔⽅程就显得很简单：就是⼀个简单的⼆阶微分⽅程。
此⽅程的解想必⼀眼就可以看出来。
就是这个解是假设U(x)与x⽆关，是⼀个常数才得出这个⾃由波的解。
类似与微积分中的⽅法，对于⼀个任意势场函数，我们可以假设在某⼀个极⼩的dt范围内，势函数是不变的，因此可以将任意⼀个势函数⽤有限个⼀定宽度的恒定势场来代替。
如下图所⽰：其中的各个⼩段的波函数就可以表⽰为这样就会有2N个⽅程，然后利⽤内部的n-1个边界条件（界⾯处波函数连续，波函数的倒数连续），和两端的衔接（假设⼊射为1，则A1=1, B1=r；且最终透射端没有反射波，AN=t, BN=0. ），就可以写出2N个线性⽆关的⽅程，从⽽可以将系数都求解出来。
注意，这种情况下，我们⽆从得知基态的能量值，以及能量的分⽴的特性。
但是从这种⾓度出发，我们可以很容易计算出波在这样的势函数中传输特性，可以计算出⼊射端的反射系数R，以及不同能量所对应的⼊射波的透射系数T。
下⾯将以⼀个例⼦应⽤上述关系。
根据上图中所⽰的势函数求解薛定谔⽅程，得到透射系数和反射系数随温度的变化关系为(2)差分法现在我们从另外⼀个⾓度出发，⼀维定态薛定谔⽅程如下在这⾥，我们要求的是，可以将分为N份，采⽤数值计算⽅法，将微分⽅程变成差分⽅程。
参考相应书籍可知可以化为对于上述波函数也可以转化为类似的形式，所以可以由矩阵T的特征值对应能量，特征向量对应于波函数在每⼀个节点的解。
15.6 波函数 一维定态薛定谔方程
2
2mE
2
2
, n 1, 2 ,
En n
π
2 2
,
n 1, 2 ,
2ma
n 为主量子数，表明粒子的能量是量子化的。
大学物理 第三次修订本
13
第15章 量子物理基础
波函数
nπ Ψ n x A sin a
2 a
x , n 1, 2 ,
i t Ψ (r , t ) Ψ (r )e
E
定态薛定谔方程
2m 2 2 2 Ψ( r ) 2 E V Ψ(r ) 0 x y z
2 2 2
若粒子在一维空间运动，则
d Ψ x
2
dx
2
2m
大学物理 第三次修订本
o
a
x
势能曲线
11
第15章 量子物理基础
薛定谔方程
d Ψ x
2
dx
2
2mE
2
Ψ x 0
d Ψ x
2
,0 xa
k Ψ x 0
2
令 k
2 mE
2
则
dx
2
方程通解
Ψ x A sin kx B cos kx
Ψ 利用边界条件 x = 0， 0 0 , 则 B = 0 。
物质波波函数是复数，它本身并不代表任 何可观测的物理量。 波函数是怎样描述微观粒子运动状态的？
大学物理 第三次修订本
3
第15章 量子物理基础
1926年德国物理学家玻恩提出了物质波的 统计解释：实物粒子的物质波是一种概率波, t 时刻粒子在空间 r 处附近的体积元 dV 中出现的 概率dW与该处波函数绝对值的平方成正比。
一维薛定谔方程求解
一维薛定谔方程求解
薛定谔方程是研究量子力学的基本方程之一，用于描述微观粒子（如电子、原子、分子等）在时间和空间中的运动和状态。
在一维情况下，薛定谔方程可以写为：
iψ(x,t)/t = -^2/2m ^2ψ(x,t)/x^2 + V(x)ψ(x,t) 其中，ψ(x,t)是波函数，描述了粒子在时空中的状态；m是粒子的质量；V(x)是势能函数，描述了粒子在不同位置的势能。
这个方程可以通过一些数值方法来求解，例如有限差分法、谱方法等。
其中，有限差分法是一种简单易懂的数值求解方法，它将微分方程转化为差分方程，通过在空间和时间上进行离散化，用有限差分代替微分，从而得到数值解。
在求解一维薛定谔方程时，我们可以采用中心差分法或向前/向后差分法来进行空间和时间上的离散化，并利用迭代法或解析法来求解差分方程。
另外，谱方法也是一种常用的数值求解方法，它将波函数表示为一组基函数的线性组合，通过对基函数的选择和系数的计算，得到波函数的数值解。
在求解一维薛定谔方程时，我们可以选择正交多项式作为基函数，例如拉盖尔多项式、切比雪夫多项式等，利用计算机进行系数的计算，从而得到波函数的数值解。
总之，在求解一维薛定谔方程时，我们可以利用有限差分法或谱方法进行数值求解，得到粒子在时空中的波函数和状态。
这些数值解可以用来研究微观粒子的运动和相互作用，对于理解和设计材料、药物、电子器件等具有重要的理论和实际意义。
波函数薛定谔方程一维无限深势阱
En
En1
En
(2n 1)
h2 8ma 2
En En
2n 1 n2
n
En 0 En
能量可认为是连续的。经典物理可以看成是量子物
理在量子数n时的极限。
*五、一维方势垒 隧道效应
设想一维方势垒如图。一粒子处于 x < 0 的区域内，其
能量小于势垒高度Ep0。
经典物理：粒子不可能越过势垒进入 x>0 的区域。
15-8波函数 薛定锷方程一维无限深势阱
仙女座
背景 二十世纪20~30年代，经过德布罗意、薛定
谔、海森堡、玻恩、狄拉克等科学家的努力，建立 了描述微观粒子运动规律的量子力学。
德布罗意
海森伯
狄拉克
波恩
一、物质波波函数
微观领域常用实物粒子在空间出现的概率分布来描述 其运动状态，该概率分布函数称为物质波的波函数。 波函数记作Ψ ( x, y, z, t )，常用复数形式来表示!
Im
b A
) o
a Re
Ψ(x,y, z, t) Acos iAsin
Ψ(x,y, z, t) Aei A: 称为该复数的模 θ : 称为该复数的幅角
例如，沿+x方向传播的平面简谐波的波动方程：
y(
x,
t
)
Acos(2t x2xt
00
)
也可用复数形式来表示：
Im
b A
) o
a Re
Ψ(x,y, z, t) Acos iAsin
现的概率为：dG = wdx = |Ψ ( x, t ) |2dx ③ 粒子在全空间出现的概率为1，即：
Ψ(x,y, z, t)2dv 1 （归一化条件） 对于一维： Ψ(x,y, z, t) 2 dx 1
薛定谔方程与波函数的解析方法
薛定谔方程与波函数的解析方法量子力学是描述微观世界的基本理论，而薛定谔方程是量子力学的核心方程之一。
薛定谔方程描述了量子体系的波函数随时间的演化规律。
本文将介绍薛定谔方程的基本概念，并讨论一些解析方法。
薛定谔方程是由奥地利物理学家艾尔温·薛定谔于1925年提出的。
它描述了量子体系的波函数ψ(x,t)随时间和空间的变化情况。
薛定谔方程的一般形式为：iħ∂ψ/∂t = -ħ²/2m∂²ψ/∂x² + V(x)ψ(x,t)其中，i是虚数单位，ħ是普朗克常数的约化形式，m是粒子的质量，V(x)是势能函数。
这个方程可以看作是能量守恒和动量守恒的量子版本。
解析求解薛定谔方程是量子力学中的一个重要课题。
一般来说，薛定谔方程是一个偏微分方程，求解起来相对复杂。
但是对于一些特定的势能函数，我们可以使用一些特殊的解析方法来求解。
首先，对于一维自由粒子，即势能函数V(x)为常数的情况，薛定谔方程可以简化为：iħ∂ψ/∂t = -ħ²/2m∂²ψ/∂x²这是一个简单的波动方程，可以用分离变量法求解。
假设波函数可以表示为ψ(x,t) =Φ(x)Ψ(t)，将其代入方程中得到：iħΨ(t)dΦ(x)/dt = -ħ²/2mΦ''(x)Ψ(t)将方程两边同时除以ψ(x,t)，得到：iħ/Ψ(t)dΨ(t) = -ħ²/2m/Φ(x)Φ''(x)由于左边只含有t的变量，右边只含有x的变量，所以它们必须等于一个常数，记作E。
这样我们就得到了两个方程：iħdΨ(t)/dt = EΨ(t)-ħ²/2m d²Φ(x)/dx² = EΦ(x)第一个方程是一个简单的一阶常微分方程，可以直接求解。
第二个方程是一个二阶常微分方程，可以通过代入试探解的方法求解。
最终我们可以得到波函数的解析表达式。
波函数及薛定谔方程详解课件
03ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
CATALOGUE
薛定谔方程在量子力学中的应用
无限深势阱
无限深势阱模型描述粒子被限 制在一定空间范围内运动的情 形，通常用于描述微观粒子在
势能无限高区域的行为。
在无限深势阱中，波函数具有 特定的边界条件，即在势阱边
界处波函数为零。
薛定谔方程在无限深势阱中的 解为分段函数，表示粒子在不 同势阱内的能量状态。
波函数及薛定 谔 方程详解课件
contents
目录
• 波函数简介 • 薛定谔方程概述 • 薛定谔方程在量子力学中的应用 • 波函数与薛定谔方程的关系 • 实验验证与实例分析 • 总结与展望
01
CATALOGUE
波函数简介
波函数的定 义
波函数是一种描述微观粒子状 态的函数，它包含了粒子在空 间中的位置和动量的信息。
06
CATALOGUE
总结与展望
波函数与薛定谔方程的意义
波函数
波函数是描述微观粒子状态的函数， 它包含了粒子在空间中的位置、动量 和自旋等所有信息。通过波函数，我 们可以计算出粒子在给定条件下的行 为和性质。
薛定谔方程
薛定谔方程是描述波函数随时间变化 的偏微分方程，它反映了微观粒子在 运动过程中所遵循的规律。通过求解 薛定谔方程，我们可以预测粒子在不 同条件下的行为和性质。
时间相关形式
在有限域中，薛定谔方程的形式为 ifrac{dpsi}{dt}=Hpsi，其中H为哈密 顿算子。
薛定谔方程的解
分离变量法
对于具有周期性势能的情况，可以将波函数分离为几个独立的函数，分别求解 后再组合得到原方程的解。
微扰法
对于势能存在微小扰动的情况，可以通过微扰法求解薛定谔方程，得到近似解。
波函数薛定谔方程
(r .t )
0e
i
(
Et
pr )
波函数Ψ是复数，模的平方可表示为
2 *
5
4 、波函数的统计解释: (1)概率密度: 玻恩假定：概率波的波函数Ψ，模的平方
| r,t|2 r,t* r,t
代表 t 时刻，在空间 r 点处单位体积元中发现一个粒子的概 率，称为概率密度。
t 时刻在空间 r 附近体积 dv 内发现粒子的概率为：
为物质波能够干涉)。
薛定谔提出了波函数Ψ(x,y,z,t)所适用的（在非相对论） 动力学方程：
2 2 U x, y, z,t i
2m
t
（１）式中 2 2 2 2 称之为拉普拉斯算符， x2 y 2 z 2
11
（２）U x, y, z, t
表示微观粒子受到的作用势能，它一般的是 r 和 t 的函数， （３） m 是微观粒子的质量。
薛定谔方程既不能由经典理论导出，也不能用严格的逻辑推 理来证明，它的正确与否只能用实验来验证。
1 、一般的薛定谔方程 微观粒子的运动状态用波函数
Ψ(x,y,z,t)描述，薛定谔认为，这 个波函数应该是适用于微观粒子的波 动方程的一个解。
10
•必须能满足德布罗意波公式的要求，
E , h
h
p
•必须是线性微分方程,即其方程的解必须能满足叠加原理 (因
的原理可以证明它的正确性。 从薛定谔方程得到的结论正确与否，需要用实验事实去验证。
薛定谔方程是量子力学的一条基本假设。
14
例 15-23 将波函数在空间各点的振幅同时增大 D 倍,则粒子在 空间的分布概率将
(A)增大Ｄ２倍;(B)增大 2 D 倍;(C)增大 D 倍;(D)不变。
波函数和薛定谔方程
波函数和薛定谔方程薛定谔方程是量子力学中最基本的方程之一，描述了微观粒子的运动和性质。
而波函数则是薛定谔方程的解，通过波函数可以得到粒子的位置、动量等信息。
在量子力学中，波函数起着至关重要的作用，它是一种描述微观量子系统的数学工具。
下面将详细介绍波函数和薛定谔方程的基本概念和性质。
在量子力学中，波函数通常用Ψ（psi）来表示，它是一个关于时间和空间的复数函数。
波函数的模的平方|Ψ|² 可以描述粒子存在于某个位置的概率密度，即波函数的绝对值平方代表了粒子在空间中的分布情况。
波函数Ψ满足归一化条件，即积分∫|Ψ|² dV = 1，其中dV表示体积元素。
这意味着波函数描述的是单位概率密度，即粒子存在于空间中的概率为1。
薛定谔方程是描述波函数随时间演化的方程，一般写为：iℏ∂Ψ/∂t = -ℏ²/2m ∇²Ψ + VΨ其中，i表示虚数单位，ℏ是普朗克常数的约化普朗克常数，m是粒子的质量，∇²是拉普拉斯算子，V是势能函数。
薛定谔方程包含了波函数的时间演化和空间演化，可以描述量子粒子在不同势场中的运动和行为。
波函数的物理意义在于可以通过对波函数的操作得到粒子的物理量。
例如，对波函数Ψ做位置算符作用Ψ(x)，可以得到粒子的位置期望值；对波函数Ψ做动量算符作用-iℏ∇Ψ(x)，可以得到粒子的动量期望值。
波函数还可以描述量子系统的波包运动、干涉效应等现象，展现了量子力学的奇妙之处。
总之，波函数和薛定谔方程是量子力学中的核心概念和基本方程，它们揭示了微观世界的规律性和奇特性。
通过深入理解和研究波函数和薛定谔方程，可以更好地理解量子世界的奥秘，推动量子科学的发展和应用。
希望本文的介绍对读者有所帮助，激发对量子力学的兴趣和研究。
波函数及薛定谔方程
t 时刻，出现在空间（x,y,z）点附近单位体积内的 粒子数与总粒子数之比
t 时刻，粒子出现在空间（x,y,z）点附近单位体积 内的概率
t 时刻，粒子在空间的概率密度分布
注意：
物质波的波函数不表示任何实在物理 量的波动，不描述介质中运动状态（相 位）传播的过程,
NN
标准条件
Ψ是单值、有限、连续的 。
二、薛定谔方程： 是波函数 Ψ所遵从的方程 — 量子力学的基本方程 , 是量子力学的基本假设之一，其正确性由实验检验。
1. 建立 （简单→复杂， 特殊→一般）
一维自由粒子的振幅方程
Ψ (x,t)
=Ψ e−
i ℏ
(
E
t
−
px
⋅
x
)
0
=
Ψ
0e
+
i ℏ
p
x
⋅x
−i Et
2 x
2m
代入
d2ψ ( x) dx2
=
−
px ℏ2
2
ψ
(
x
)*
得
d 2ψ ( x ) dx2
+
2 mE ℏ2
ψ
(x)
=
0
即 一维自由粒子的振幅方程
p
2 x
=
2mE
一维定态薛定谔方程
粒子在力场中运动，且势能不随时间变化
E
=
Ek
+
Ep
=
p
2 x
2m
+U
px2 = 2m(E −U )
代入
d2ψ ( x) dx2
∴ 建立关于振幅函数 ψ(x)的方程 —— 振幅方程
一维定态薛定谔方程束缚态波函数节点定理的证明
一维定态薛定谔方程束缚态波函数节点定理的证明
一维定态薛定谔方程的绑定态波函数节点定理的证明
薛定谔方程是量子力学中最重要的方程之一，为了研究一维定态的薛定谔方程，我们需要证明一维定态薛定谔方程的绑定态波函数节点定理。
绑定态波函数节点定理指的是一维定态薛定谔方程的绑定态波函数有正数个空间节点。
证明此定理，需要先考察一维定态薛定谔方程的基本特征，我们知道，一维定态薛定谔方程有解析解，其解析解可以用线性组合的正解和负解来表示，绑定态波函数由正解和负解的正常化来构造。
因此，用正解和负解构造的绑定态波函数在空间上的变化有两个特点：一是，正解的行为曲线在正半轴上呈抛物线形，负解的行为曲线在负半轴上呈抛物线形；二是，正解和负解之间该行为曲线穿过定点，即抛物线顶点。
因此，绑定态波函数在空间上的变化必然有正数个空间节点，这就是一维定谔方程的绑定波函数节点定理的证明。
综上所述，证明了一维定态薛定谔方程中的绑定态波函数节点定理，即绑定态波函数有正数个空间节点，这在证明量子力学的研究中具有重要的意义。
普通物理学波函数 薛定谔方程
2
i 2 2m x t
2 2
上页
下页
2、一维势场U（x，t）中运动粒子
i E t 2 2 P 2 2 x P2 E Ek U U 2m
2
2 2 U i 2 2m x t
在势场中一维运动的粒子的含时 薛定谔方程
单位体积中出现的概率，又称为概率密度 时刻 t , 粒子在空间
r
处 dV 体积内出现的概率
( r , t ) 不可直接测量！
(r ) (r )
2 可测量——在空间 w( r ) ( r ) 的概率密度。
r 处可观测到粒子
量子力学指出，我们只能判断在一定空间范围发现粒子 的概率，不能确定一个粒子一定在什么地方；只能作某种 可能性的判断，不能做绝对确定性t
三维势场中运动粒子的含时薛定谔方程
上页 下页
定态薛定谔方程 一维：
2 2 U i 2 2m x t
i E t
( x )e
i Et
U E 2 2m x 2 d 2 U E 2 2m d x
2 2 i 2 2m x t 2 U i 2m t
2
一维定态薛定谔方程
d 2 2m 2 ( E U ) 0 2 dx
2m 2 ( E U ) 0
2
三维定态薛定谔方程
上页
下页
奥地利物理学家，1933年诺贝尔物理奖获得者。薛 定谔是著名的理论物理学家，量子力学的重要奠基人之 一，同时在固体的比热、统计热力学、原子光谱及镭的 放射性等方面的研究都有很大成就。 薛定谔的波动力学，是在德布罗意提出的物质波的 基础上建立起来的。他把物质波表示成数学形式，建立 了称为薛定谔方程的量子力学波动方程。薛定谔方程在 量子力学中占有极其重要的地位，它与经典力学中的牛 顿运动定律的价值相似。在经典极限下，薛定谔方程可 薛定谔 以过渡到哈密顿方程。薛定谔方程是量子力学中描述微 Erwin 观粒子(如电子等)运动状态的基本定律，在粒子运动速 Schrö dinger 率远小于光速的条件下适用。 薛定谔对分子生物学的发展也做过工作。由于他的 ( 1887–1961) 影响，不少物理学家参与了生物学的研究工作，使物理 学和生物学相结合，形成了现代分子生物学的最显著的 特点之一。 薛定谔对原子理论的发展贡献卓著，因而于1933年 同英国物理学家狄拉克共获诺贝尔物理奖金。
量子物理基础 15.6 波函数 一维定态薛定谔方程
N
摄谱仪
v0 +△v v0 v0 - △ v
S z e
磁 矩 r
(2) 解释
• 磁场作用下的原子附加能量 磁矩和角动量的关系
r L
e r µ =− L 2me r
的方向） 向 z 轴（外磁场 B 的方向）投影
µ
e e µz = − Lz = − (mlh) = −ml µB µB ——玻尔磁子 2me 2me r r 由于磁场作用, 由于磁场作用 原子附加能量为 ∆E = −µ ⋅ B= −µ cosθ B l µBB = −µz B = m
2 (k12 − k2 )2 sin 2 (k2a) R= 2 2 2 (k1 − k2 ) sin 2 (k2a) + 4k12k2 2 4k12k2 T= 2 2 2 (k1 − k2 ) sin 2 (k2a) + 4k12k2
U0
Ⅰ
E
Ⅱ
Ⅲ
T + R =1
讨论
0
a
入射粒子一部分透射到达 III 区，另一部分被势垒反射回 I 区 。
N=3000 电子数 N=7 N=70000 N=20000 电子数 N=100 电子 双缝 干涉 图样
• t 时刻 , 粒子在 r 处 dV 内出现的概率 粒子在 r 2 dW =| Ψ(r , t) | dV r * r =Ψ(r , t)Ψ (r , t)dV
r Ψ(r ,t)
r r
o
dV
说明 • t 时刻 , 粒子在 r 处 dV 内出现的概率 粒子在
0 < x < a 区域，定态薛定谔方程为 区域，
d2Ψ( x) 2mE + 2 Ψ( x) = 0 2 dx h
一维薛定谔方程
一维薛定谔方程一维薛定谔方程（TheOne-DimensionalSchrdingerEquation），是量子力学中最重要的基础方程之一，由德国物理学家薛定谔于1926年提出。
它是一个带有振动参数的对称非线性二阶微分方程，是来描述量子系统的一维状态的本征方程，主要用来探究量子物理系统的性质，如原子、分子等的能量和状态。
薛定谔方程是十分重要的量子力学方程，它可以用来描述原子谱线、原子能级、分子振动及其它量子物理系统的能量和状态。
这一方程描述的是由物理系统的状态而改变的能量和波函数的变化，以及它们间的耦合。
它的物理内涵是：量子力学里的物理量，如位置坐标、速度等，是由相关的波函数决定的。
从数学角度看，薛定谔方程是一个定常的二阶非线性的双参数微分方程组，可以用来描述量子粒子动力学的某些状态。
它的一阶导数是波函数，是由能量定义的；而二阶导数则由振动参数定义，是由系统所能拥有的能量和状态决定的。
它可以描述由量子粒子在量子力学能级结构中定义的动力学，并且可以用来研究复杂量子系统中的状态和能量性质。
薛定谔方程的解，是由一系列的波函数的积分定义的，可以用来求出物理系统的能量和状态。
它们的波函数是解析解，可以用来求出系统的基态，也可以用来找出系统的超级态。
此外，它的解也可以用来分析量子粒子的任意一个态，进而求出离散态的能级和能量。
一维薛定谔方程是量子力学研究和应用中非常重要的一环，它不仅广泛应用于物理、化学、数学等许多学科，而且是电子工程、生物工程、机械工程等多种工程学科的基础理论。
在研究自旋和分子的时候，薛定谔方程也同样起到了至关重要的作用。
随着量子力学研究的深入，薛定谔方程更加成为研究量子系统状态和能量性质不可缺少的量子力学方程。
由此可见，薛定谔方程在量子力学领域具有十分重要的地位和作用，它不仅可以用来描述量子系统的能量和状态，而且可以用来研究自旋和分子、定义波函数等，为后续量子力学研究奠定了良好的基础。
一维定态薛定谔方程的一般性质
其中 α 为实数
[e iαψ ( x)]∗ = e iαψ ( x)
可见存在实函数 ϕ ( x) = e
iα
A14
ψ ( x)
它与ψ ( x) 描写同样的物理状态
3
一维束缚态能级分立 束缚态满足ψ ( x → ±∞) → 0 对给定的 E 边界条件 ψ ( x → +∞) → 0 确定一个薛定谔方程 A1 的解 记之为
上式说明
即
ψ ( x) = c ′ϕ ( x)
c ′ 为常数
A7
在 ϕ ( x) 的两个零点之间
ϕ ( x) 和ψ ( x) 只差一个常系数
所以在 ϕ ( x) = 0 的地方
因为 ϕ ( x) 是导数连续的函数 空间为零 根据 A6
ϕ ′( x) 不能为零 否则它在全
在 ϕ ( x) 的零点
ψ ( x) 也等于零
ψ ∗ ( x) 也是对应同样能量的束缚本征态
由结论 1 可知
ψ ∗ ( x) = cψ ( x)
两边取复共轭 得ψ ( x ) = c
∗
A12
ψ ∗ ( x) 因此
A13 代入 A12 式得到
ψ ∗ ( x) =| c | 2 ψ ∗ ( x)
所以
| c | 2 = 1 可令 c = exp(i 2α )
即
2M ( E 2 − E1 )ψϕ h2
A5
d (ψ ′ϕ − ϕ ′ψ ) = 2M ( E 2 − E1 )ψϕ dx h2
若 E1 = E 2 上式为零
ψ ′ϕ − ϕ ′ψ = c
其中 c 为常数 因为有 A3 式 常数 c = 0
(A6) 因此在所有 ϕ ( x) ≠ 0 的地方
一维薛定谔方程的推导
一维薛定谔方程的推导
一维薛定谔方程是量子力学中的基础方程之一，它描述了粒子在一维势场中的运动。
薛定谔方程的推导过程相对复杂，但是可以通过一些基本的假设和推理来实现。
我们假设粒子的波函数可以用时间和位置的函数来描述。
接着，我们假设粒子的运动是受到势场的影响的，因此我们需要引入势能函数。
最后，我们需要应用哈密顿量算符，将所有的变量放入薛定谔方程中。
具体来说，一维薛定谔方程可以写成：
iħ∂ψ(x,t)/∂t = [-ħ^2/2m * ∂^2/∂x^2 + V(x)]ψ(x,t)
其中，i是虚数单位，ħ是普朗克常数除以2π，m是粒子的质量，V(x)是势能函数，ψ(x,t)是波函数。
薛定谔方程的左边描述了波函数随时间的变化，右边描述了波函数随位置的变化。
波函数的平方表示了粒子在某个位置的概率密度，因此薛定谔方程可以用来计算粒子在不同位置和时间的概率分布。
一维薛定谔方程的推导过程需要用到复数分析、分部积分等数学工具，因此相对复杂。
但是一旦推导成功，我们就可以用它来研究各种粒子在不同势场中的运动。
这对于物理学和化学等学科的研究有着重要的意义。
一维薛定谔方程是量子力学中的基础方程之一，它描述了粒子在一维势场中的运动。
虽然推导过程相对复杂，但是它可以用来研究各种粒子的运动，对于物理学和化学等学科的研究有着重要的意义。
大学物理量子力学总结（范本）
大学物理量子力学总结大学物理量子力学总结篇一：大学物理下必考15量子物理知识点总结15.1 量子物理学的诞生—普朗克量子假设一、黑体辐射物体由其温度所决定的电磁辐射称为热辐射。
物体辐射的本领越大，吸收的本领也越大，反之亦然。
能够全部吸收各种波长的辐射能而完全不发生反射和透射的物体称为黑体。
二、普朗克的量子假设：1. 组成腔壁的原子、分子可视为带电的一维线性谐振子，谐振子能够与周围的电磁场交换能量。
2. 每个谐振子的能量不是任意的数值, 频率为ν的谐振子，其能量只能为hν, 2hν, …分立值，其中n = 1,2,3…，h =6.626×10 –。
3. 当谐振子从一个能量状态变化到另一个状态时,辐射和吸收的能量是hν的整数倍。
15.2 光电效应爱因斯坦光量子理论一、光电效应的实验规律金属及其化合物在光照射下发射电子的现象称为光电效应。
逸出的电子为光电子，所测电流为光电流。
截止频率：对一定金属，只有入射光的频率大于某一频率ν0时, 电子才能从该金属表面逸出，这个频率叫红限。
遏制电压：当外加电压为零时，光电流不为零。
因为从阴极发出的光电子具有一定的初动能，它可以克服减速电场而到达阳极。
当外加电压反向并达到一定值时，光电流为零，此时电压称为遏制电压。
1 mvm2?eU2二、爱因斯坦光子假说和光电效应方程1. 光子假说一束光是一束以光速运动的粒子流，这些粒子称为光子；频率为v 的每一个光子所具有的能量为??h?, 它不能再分割，只能整个地被吸收或产生出来。
2. 光电效应方程根据能量守恒定律, 当金属中一个电子从入射光中吸收一个光子后，获得能量hv，如果hv 大于该金属的电子逸出功A，这个电子就能从金属中逸出，并且有 1上式为爱因斯坦光电效应方程，式中mvm2为光电子的最大初动能。
15.6--量子力学简介
三.ΨΨ*曲线下的总面积表示在全空间找到粒子的几率＝1，表达 式为归一化式： ＋
d 1 －
面积＝w xq dx xp
窄条面积= dw=ΨΨ*dx
xP
xq
0 x x+dx
x
•用电子双缝衍射实验说明概率波的含义
(1)人射强电子流
干涉花样 取决于概 率分布， 而概率分 布是确定 的。
(2)人射弱 电子流
注意：
rr,t 2 rr,t *rr,t 称为：概率密度
例题2：一维自由粒子平面波波函数
i 1( Px Et )
x, t 0e h
|
x,
t
|2
2 0
常数
这说明在空间各点发现自由粒子（如：光子） 的概率相同。
•波函数统计诠释涉及对世界本质的认识观念
哥本哈根学派--爱因斯坦 著名论战
玻尔、玻恩、海 森伯、费曼等
•要研究的微观客体具有波粒二象性，应该满足德布罗意关系式
E / h, h / p
•对于一个能量为E，质量为m，动量为p的粒子
E p2 V (r) 2m
波函数应遵从 线性方程
•若Ψ1是方程的解，则CΨ1也是它的解；若波函数Ψ1与Ψ2是某 粒子的可能态，则C1Ψ1+C2Ψ2也是该粒子的可能态。
二、薛定谔方程
1、问题的引入—为了求出波函数的具体形式！
在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数来描写，状态 随时间的变化遵循着一定的规律。1926年，薛定谔在德布罗 意关系和态叠加原理的基础上，提出了薛定谔方程作为量子
力学的又一个基本假设来描述微观粒子的运动规律。
建立薛定谔方程的主要依据和思路：
0
a
a/2
2 dx
定态薛定谔方程表达式
定态薛定谔方程表达式
定态薛定谔方程（Schrdingerequation是由奥地利物理学家阿尔伯特薛定谔于1926年提出的，用来描述量子力学中的粒子的动力学行为。
它允许精确的研究物质的量子性质，帮助我们更好地理解微观世界。
它是量子力学的基础，并且在许多方面的科学研究中发挥着重要作用。
定态薛定谔方程的数学表达式可以表示为：-iΨ/t=HΨ，其中Ψ表示粒子的波函数，H表示粒子在某个空间中受到的总能量，t表示时间，表示普朗克常数。
这里可以看出，定态薛定谔方程是一个非常复杂的关于时间和空间的微分方程，它的解决需要运用复数函数、线性代数和几何学等方法。
定态薛定谔方程的解可以用来解释粒子在时间和空间上的行为，从而探索物质的量子性质。
它可以用来计算电子在原子或分子核中分布的概率，从而对化学反应、物质性质等方面进行研究。
定态薛定谔方程也可以用来研究原子核结构，因为它可以计算出核结构中核子和中子之间的相互作用。
此外，定态薛定谔方程还被用于研究超导，半导体，纳米材料，物理学中的激光等方面的理论。
由于定态薛定谔方程的普遍性和深远的影响，它一直是物理学家和化学家研究量子力学的重要工具。
它的研究有助于揭示物质的精确性质，并为我们了解微观世界做出了重大贡献。
定态薛定谔方程的发现和发展是物理学和化学的重要基石，它也让我们更加深入地把握现代物理学的本质，是对量子力学的成功描述。
[理学]§166 波函数 一维定态薛定谔方程
![[理学]§166 波函数 一维定态薛定谔方程](https://img.taocdn.com/s3/m/93828cd404a1b0717fd5dd9c.png)
t i E Ψ (r )e i t
E t i E E i t i i Ψ (r )e E Ψ ( r )e
2 2 2 2 2 2 Ψ ( r ) V ( r , t ) Ψ ( r ) E Ψ ( r ) 2 2m x y z
23
2 2 (k12 k2 ) sin 2 (k2 a) R 2 2 2 (k1 k2 ) sin 2 (k2 a) 4k12 k2 2 4k12 k2 T 2 2 2 (k1 k2 ) sin 2 (k2 a) 4k12 k2
U0 Ⅰ E a Ⅱ Ⅲ
T R 1
讨论
0
r
处 dV 体积内出现的概率
2 * dW | Ψ(r , t ) | dV Ψ(r , t )Ψ (r , t )dV
2. 归一化条件 (粒子在整个空间出现的概率为1)
玻 恩
2 | Ψ(r , t ) | dxdydz 1
3. 波函数必须单值、有限、连续 概率密度在任一处都是唯一、有限的, 并在整个空间内连续
Ψ1 (0) Ψ2 (0)
Ψ2 (a) Ψ3 (a)
dΨ1 dΨ2 dx x0 dx dΨ2 dx
x a
a
无反射
x 0
dΨ3 dx x a
得到4个方程，求出常数 A1 、B1 、 A2 、B2 和 A3 间关系，从 而得到反射系数 R | B1 |2 / | A1 |2和透射系数 T | A3 |2 / | A1 |2 分别为
d Ψ1 ( x) 2 k 1Ψ 1 ( x) 0 2 dx d 2Ψ2 ( x) 2 k 2Ψ2 ( x ) 0 2 dx d 2Ψ 3 ( x) 2 k 3 Ψ 3 ( x) 0 2 dx
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(1)E > U0 , R≠0, 即使粒子总能量大于势垒高度，入射粒子并非 全部透射进入 III 区,仍有一定概率被反射回 I 区。
(2)E < U0 , T≠0, 虽然粒子总能量小于势垒高度，入射粒子仍
可能穿过势垒进入 III 区 — 隧道效应。
(3) 透射系数T 随势垒宽度a、粒子质量m 和能量差变化， 随着势垒的加宽、加高透射系数减小。
d 2Ψ x 2mE 2 Ψ x 0 2 dx
2mE 令 k 2
2
d 2Ψ x 2 k Ψ x 0 2 dx 解为
V(
r)
Ψ x A sin kx B cos kx
波函数在 x = 0 处连续，有
Ψ( x) 0
( x)
Ψ( x) 0
e2 V 4π 0 r
球坐标的定态薛定谔方程
1 2 1 (r ) 2 (sin ) 2 r r r r sin 1 2 2m e2 2 2 2 (E ) 0 2 r sin 4π 0 r
1. 能量量子化 能量 电子云
Ψ 0 A sin k 0 B cos k 0 0
0
所以
a
x
B0
因此
Ψ x A sin kx
nπ k a
2
在 x = a 处连续，有
Ψ a A sin ka 0
2mE 其中 k 2 2 粒子 h 2 2 E n n E1 能量 n 2 8ma
2 2
2mE k 2
2 1
三个区域的波函数分别为
Ⅰ区
Ψ1 ( x) A1eik1x B1eik1x
U0
Ⅰ E Ⅱ Ⅲ
Ⅱ区
Ⅲ区
Ψ 2 ( x) A2eik2 x B2eik2 x
Ψ 3 ( x) A3e
ik1 x
B3e
ik1x
B3 = 0
0
波函数在 x = 0 ，x = a 处连续 x=0 处 x=a 处
L l (l 1)
l = 0 , 1 , 2 , … , n-1
3. 角动量空间量子化
角动量 L 的在外磁场方向Z 的投影
Lz ml
磁量子数
ml = 0 , ±1 , ±2 , … , ±l
例
l = 2 电子角动量的大小及可能的空间取向 ？ L 的大小
磁量子数
L 2(2 1) 6
15.6 波函数 一维定态薛定谔方程
一、波函数及其统计解释
微观粒子 具有波动性
1925年薛定谔
用物质波波函数描述 微观粒子状态
例如 自由粒子沿 x 轴正方向运动，其能量 E 、动量 P 为常 量，所以 v (= E / h ) 、 ( = h / P ) 不随时间变化，其 物质波是单色平面波，波函数为
a
Ψ1 (0) Ψ 2 (0)
Ψ 2 (a) Ψ 3 (a)
dΨ1 dx dΨ 2 dx
x 0
dΨ 2 dx dΨ 3 dx
x 0
xa
x a
得到4个方程，求出常数 A1 、B1 、 A2 、B2 和 A3 间关系，从而得到反射 系数
R | B1 |2 / | A1 |2 和透射系数 T | A3 |2 / | A1 |2 分别为
dV
说明
• t 时刻 , 粒子在 r 处 dV 内出现的概率
Ψ(r , t )
dV
2 dW | Ψ(r , t ) | dV
• 归一化条件
r
o
2 | Ψ(r , t ) | dxdydz 1
粒子在整个空间出现的概率为 1 • 波函数必须单值、有限、连续
概率密度在任一处都是唯一、有限的, 并在整个空间内连续。
2 2 (k12 k 2 ) sin 2 (k 2 a) R 2 2 2 (k1 k2 ) sin 2 (k 2 a) 4k12 k 2 2 4k12 k 2 T 2 2 2 (k1 k2 ) sin 2 (k2 a) 4k12 k2
U0
Ⅰ
E
Ⅱ
Ⅲ
T R 1
讨论
0
a
入射粒子一部分透射到达 III 区，另一部分被势垒反射回 I 区 。
N=7 N=100 电子数 N=70000 电子数 N=3000 N=20000 电子 双缝 干涉 图样
• t 时刻 , 粒子在 r 处 dV 内出现的概率 2 dW | Ψ (r , t ) | dV * Ψ (r , t )Ψ (r , t )dV
Ψ(r , t )
r
o
1 me4 E1 En 2 ( 2 2 ) 2 n 8 0 h n
电子云密度
主量子数 n = 1 , 2 , 3 , …
概率密度ψnlm2（r,θ,）
电子在波尔轨道上 出现的概率最大 2. 角动量量子化
电子绕核转动的角动量 L 的大小 角量子数
r1 0.529 1010 m r2 4r1 r3 9r1 …
二、薛定谔方程 (描述微观粒子在外力场中运动的微分方程 )
质量 m 的粒子在外力场中运动，势能函数 V ( r , t ) ， 其运动微分方程为
2 2 2 2 (r , t ) 2m x 2 y 2 z 2 V (r , t ) (r , t ) i t
由于磁场作用, 原子附加能量为
E ml B B
• 能级分裂
其中
ml = 0, ±1, ± 2, …, ± l ml
1 0 -1 △E
无磁场
l=1
有磁场
← 能 级 简 并
B B
B B
0
l=0
v0
v0
0
0
v0-△v
v0+△v
ml = 0 , ± 1 , ± 2
L 在 Z 方向的投影 z
2
Lz 2, , 0, , 2
z
L 6
0
2
0
l2
l 1 L 2
4. 塞曼效应 (1) 实验现象
光源处于磁场中时，一条谱 线会分裂成若干条谱线。
光 源
N
摄谱仪
v0 +△v v0 v0 - △ v
势能函数 V (x) = 0 ， V (x) = ∞ ， 0<x<a 0<x或x>a
dV Fx dx
V(x)
Ψ( x) 0
Ψ( x) 0
0
a
x
0 > x 或 x < a 区域
Ψ ( x) 0
d 2Ψ( x) 2m 2 E V Ψ x 0 2 dx
0 < x < a 区域，定态薛定谔方程为
定态
薛定谔方程
一维定态薛定谔方程（粒子在一维空间运动)
d 2Ψ( x) 2m 2 E V Ψ x 0 2 dx
粒子能量 说明 (1) 势能函数 V 不随时间变化。 (2) 求解 E（粒子能量）
描 述 外 力 场 的 势 能 函 数
( r ) (定态波函数)
三、一维无限深势阱中的粒子
Ψ ( x, t ) Ψ 0e
x i 2 π ( t )
Ψ 0e
i ( Et px)
波函数的物理意义：
2 | Ψ(r , t ) | —— t 时刻，粒子在空间 r 处
的单位体积中出现的概率，又称为概率密度
说明
• 单个粒子的出现是偶然事件； 大量粒子的分布有确定的统 计规律。
可得
An a / 2
粒子能量
a
x
波函数
2 nπ Ψ n ( x) sin x a a
2 h 2 En n 2 n E1 2 8ma
四、隧道效应（势垒贯穿）
势垒 Ⅰ区 Ⅱ区 U(x) =0 U ( x ) = U0 x≤0 0≤ x ≤ a Ⅰ
U0 Ⅱ Ⅲ
E
0
Ⅲ区
U(x) =0
自然地得到了能量量子化结论
量子数为 n 的定态波函数为
E3 32 E1
nπ Ψ n x An sin kx An sin x a
由归一化条件
E2 22 E1
2 a 0
| Ψ n ( x) | dx | Ψ n ( x) |2dx 1
E1
0 波函数 概率密度分布
粒子类型 粒子能量 势垒高度 势垒宽度 透射系数
1 eV
电子 1 eV 质子 1 eV
2 eV
2 eV 2 eVபைடு நூலகம்
5×10-10 m 2×10-10 m 2×10-10 m
0.024
0.51
3×10-38
五、氢原子
2 2 2 2m ( 2 2 2 )Ψ 2 E V Ψ 0 x y z
薛定谔 方 程
粒子在稳定力场中运动，势能函数 V ( r ) 、能量 E 不随时间 变化，粒子处于定态，定态波函数写为
E i t
Ψ (r , t ) Ψ (r )e
得
2 2 2 2m x 2 y 2 z 2 Ψ(r ) 2 E V Ψ(r ) 0
x≥a
a
定态薛定谔方程：
x
Ⅰ区
Ⅱ区 Ⅲ区
d 2Ψ1 ( x) 2 k 1Ψ 1 ( x) 0 2 dx d 2Ψ2 ( x) 2 k 2Ψ2 ( x ) 0 2 dx d 2Ψ3 ( x) 2 k 1 Ψ3 ( x ) 0 2 dx