第七章思考题

第七章思考题

1．自旋可在坐标空间中表示吗？它与轨道角动量性质上有何差异？ 解答：（1）自旋是内禀角动量，它不能在坐标空间中表示出来。

（2）轨道角动量是微观粒子的外部空间角动量，它可在坐标表象中表示出来，量子数为整数，本征态为球谐函数；自旋是内禀角动量，量子数为整数或半奇整数，自旋函数需用多分量波函数表示。此外，二者的旋磁比不同。

2．电子z S 的本征态常被写为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01α，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10β；它们的含义是什么？

解答：z S 的本征态是自旋波函数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a χ的特例。由于在z S 的本征态中，本征值仅有2 ±与量子数21±=s m 对应，分别记为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==01)(21α

χz s ，

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-10)(21βχz s ；βα,是电子的两个线性独立的自旋态，组成一组正交

完备基矢，以此为基矢的表象为z S 表象。任一自旋态⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a χ

在z S 表象中可展开为βαχb a +=。

3．对于自旋为1/2的粒子，是否存在态

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a χ，在其中0===z y x S S S ？

解答：首先令在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a χ态中，()0100122**=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==+b a b a b a z z χσχσ

设δi e b a 21

,21

==，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=δχi e 121；

再由0cos 0=⇒=δσx

0sin 0=⇒=δσy 由于δ无法同时满足0sin cos ==δδ，所以，对

于自旋为1/2的粒子，使0===z y x S S S 态是不存在的。

4．微观粒子的全同性原理表述为：“全同粒子体系中，体系的物理状

态不因交换任意两个粒子而改变”。问：

（1）“物理状态”是指宏观态还是微观态？

（2）“交换任意两个粒子”的准确含义是什么？

（3）它与全同粒子的不可区分性有什么联系？

解答：

（1）物理状态不变是指体系的微观态和宏观态都不因全同粒子间的交换而改变，全同性原理中强调的是微观态（量子态）的不变；

（2）交换任意两个粒子是指在描述全同粒子体系状态的波函数中交换两个粒子的包括自旋在内的全部坐标；

（3）实质相同。所以，全同性原理往往也被称为不可区分（分辨）原理。

5．量子力学中，角动量是如何定义的？

答：量子力学中，角动量是按下式定义

ˆ×J ˆ=i J ˆ

任何满足此式的算符所代表的力学量，都可以认为是角动量。此定

义较之角动量的仿佛经典定义L ˆ=r ˆ×p ˆ更具普遍性。后者只能适用于

轨道角动量而不能适用于自旋。

6．能量本征态有可能是角动量2L 的本征态吗？有可能是2L 的本征态吗？

答：要看

Lˆ与2ˆL是否与Hˆ对易，对易就可能。实例有：Z

（1）有心力场中运动的粒子，例如，氢原子中的定态也是2ˆL的

本征态。

（2）沿z方向传播的平面波e ikz就是粒子能量及

Lˆ的共同本征态。

Z

7．在s态中，L=0，因为轨道角动量的本征函数可以是非球形对称的？概率密度呢？

答：l=0时，粒子波函数与概率分布都是球对称的。角动量指向任何方向是等概率的。因而，角动量在任何方向的投影皆零，需特别注意的是：2L=0，切不可理解为粒子停止运动。

8．试述电子具有自旋的实验证据与理论依据。

答：在球对称势场中，角动量的本征函数可以是非球对称的，概率分布也可以是非球对称的。

首先，从数学上，有心力场中定态波动方程存在l≠0的解；其次，从物理意义上，球对称势场只是表明外界对体系的作用是各向同性的，没有理由要求体系本身也必须是球对称的。

经典力学中也是如此。例如，太阳对行星的万有引力势具有球对称性，但行星运动并非球对称的。

9．斯特恩-盖拉赫实验中，只有使用处于s态的中性原子，而不能使用电子，为什么？

答：电子具有自旋的实验证据：

（1）斯特恩-盖拉赫实验；

（2）光谱精细结构；

（3）反常塞曼效应

以上实验事实，只有引入自旋概念才能得到解释。

理论依据：从相对论量子力学的狄拉克方程出发，可以证明轨道角动量不是运动积分，必须引入补充项构成总角动量，才能满足角动量守恒定律。引入的补充项就是自旋。

10．（1）自旋可以在坐标表象中表示吗？它是否与外部空间毫无关系呢？

(2) 自旋角动量与轨道角动量，性质上有那些差异？

答：斯特恩-盖拉赫实验中，不能使用自由电子的原因是：

（1）电子带有电荷，在磁场中运动时要受到洛伦兹力作用；（2）电子质量轻，德布罗意波长较长，不易清晰成象。

使用中性s态原子，原因有三：（1）质量较重；（2）不带电荷；处于s态，l=0,可排除轨道角动量的影响。

11．泡利矩阵中，

σ与zσ为实矩阵，yσ为纯虚矩阵。

x

问：是否可经表象变换，使

(1)三个泡利矩阵都是实的；或（2）两个是虚的，另一个是实矩阵。 答：（1）自旋是内禀角动量，故不能在坐标空间表示出来。

（2）轨道角动量是外部空间角动量，可在坐标表象中表示。量子数为整数，本征态为球谐函数。自旋是内禀角动量，量子数为整数或半奇整数，自旋函数需用多分量波函数表示。此外，两者的旋磁比不同。因为i z y x =σσ

σˆˆˆ与表象无关。而乘积结果中i 的出现使在任何表象中，三和泡利矩阵x σˆ、y

σˆ、z σˆ 不可能都是实的，也不可能两个是纯虚数的另一个实矩阵

12．试比较经典角动量的相加与量子角动量的耦合，二者有什么区别？

答： 经典力学中，两角动量可按矢量相加法则简单地相加。它们相加的角度可以是任何的（取决于体系的性质），因此得到的合动量其数值与取向也是连续变化的。

量子力学中，角动量总是一个量子化的量。不仅两个任意角动量的大小与取向是量子化的，如果它们相互耦合。则合角动量的大小和与取向也是量子化的，因此两角动量的耦合方式要受到限制，不能是任意的。例如，在量子力学中，两角动量的耦合满足三角形关系，而按照经典方式描述，这种耦合的限制就相当于两角动量的夹角不能是任意的，而是量子化的。

13．全同粒子是：