一阶电路的全响应和三要素方法

i L ( 0 + ) = iL ( 0 − ) uC (0+ ) = uC (0− )
利用换路定律和0 等效电路，可求得电路中各电流、电压的初始值。 利用换路定律和 +等效电路，可求得电路中各电流、电压的初始值。
2.一阶电路的零输入响应
零输入响应就是无电源一阶线性电路， 零输入响应就是无电源一阶线性电路，在初始储能作用下产 生的响应。其形式为： 生的响应。其形式为：
故又有 ： 全响应=零状态响应 零输入响应 全响应 零状态响应+零输入响应 零状态响应
二、一阶电路的三要素法
稳态值，初始值和时间常数称为一阶电路的三要素， 稳态值，初始值和时间常数称为一阶电路的三要素， 通过三要素可以直接写出一阶电路的全响应。 通过三要素可以直接写出一阶电路的全响应 。 这种方法 称为三要素法。 称为三要素法。 若全响应变量用f(t)表示，则全响应可按下式求出： 若全响应变量用 表示，则全响应可按下式求出： 表示
解：（1）求初始值 C(0+) 。作 ）求初始值u t=0—时的等效电路如图（b）所 时的等效电路如图（ ） 则有： 示。则有：
4kΩ 2kΩ iC 20 V
－
+ S（t=0） 4kΩ
(a )
+
－
uC (0 + ) = uC (0 − ) = 20V
4kΩ 2kΩ
2μ F
uC
+ 20 V
－
+ uC（0－）
－
(b )
等效电路如图（ ） 所示。列出网孔电流方程： 作 t=0+ 等效电路如图 （ c）所示 。 列出网孔电流方程 ：
8i (0 + ) − 4iC (0 + ) = 20 − 4i (0 + ) + 6iC (0 + ) = −20
可得： 可得：
+
4kΩ i（0 ） +
2kΩ iC（0+）
+ 20 V
f (t ) = f (0 + )e
−
t
τ
式中， 是响应的初始值， 是电路的时间常数。 式中，f(0+)是响应的初始值，τ是电路的时间常数。 是响应的初始值 是电路的时间常数
3. 一阶电路的零状态响应
零状态响应就是电路初始状态为零时由输入激励产生的响应。 零状态响应就是电路初始状态为零时由输入激励产生的响应。 其形式为 ： t
− t
f (t ) = f (∞) + [ f (0 + ) − f (∞)]e
τ
三要素的计算： 三要素的计算： 1.初始值 +)。 初始值f(0 。 初始值 （1）求出电容电压 C（0-）或电感电流 L(0-) ）求出电容电压u ）或电感电流i （2）根据换路定律，求出响应电流或电压的初始值 ）根据换路定律， i(0+)或u(0+), 即f(0+)。 或 。
f (t ) = f (∞) + [ f（0 +） f (∞)]e −
−
t
τ
计算响应变量的初始值f(0+)和稳态值 和稳态值f(∞)，分别用 +时的电路 计算响应变量的初始值 和稳态值 ，分别用t=0 时的电路解出。 时的电路， 和t=∞时的电路解出。作t=0+时的电路，将uC(0+)和iL(0+)分别视为电 时的电路解出 和 分别视为电 压源和电流源。 时的电路， 压源和电流源。作t=∞时的电路，电容相当于开路、电感相当于短 时的电路 电容相当于开路、 时间常数τ中的电阻 中的电阻R， 路。时间常数 中的电阻 ，是动态元件两端电路的戴维南等效电 路电阻。 路电阻。
− t
稳态分量 全响应 t
uC = U + [U 0 − U ]e τ
上式的全响应还可以写成： 上式的全响应还可以写成：
− t − t
-
t
uC = U s (1 − e τ ) + U 0e
τ
上式中 U s (1 − e τ ) 是电容初始值电压为零时的零状态 响应, 响应
U 0e
−
t
τ
是电容初始值电压为U 时的零输入响应。 是电容初始值电压为 0时的零输入响应。
2.稳态值 f(∞)。作换路后 稳态值 时的稳态等效电路， 。作换路后t=∞时的稳态等效电路，求 时的稳态等效电路 取稳态下响应电流或电压的稳态值 i(∞)或u(∞), 即f(∞) 。 或 电路时,电容相当于开路 电感相当于短路。 作t=∞电路时 电容相当于开路 电感相当于短路。 电路时 电容相当于开路;电感相当于短路 3.时间常数 。τ=RC或L/R，其中 值是换路后断开储 时间常数τ。 时间常数 或 ，其中R值是换路后断开储 能元件C或 由储能元件两端看进去, 能元件 或L, 由储能元件两端看进去 用戴维南等效电 路求得的等效内阻。 路求得的等效内阻。 注意：三要素法仅适用于一阶线性电路， 注意：三要素法仅适用于一阶线性电路，对于二阶或 高阶电路是不适用的。 高阶电路是不适用的。
2 i（0 +） i（0 −） = L = × 3 = 2V L 1+ 2
时的电路如图（ ）所示，则有： 作t≥0时的电路如图（c）所示，则有： 时的电路如图
R1 R2
R3
u（0 +） −i（0 +） = L × （ L
（2）求稳态值： ）求稳态值：
R1 R2 + R3） −4V = R1 + R2
uC (t ) = 10 + (20 − 10)e −125t = 10(1 + e −125t )V
iC (t ) = −2.5e
−125 t
mΑ
小 结
1.换路定理 换路定理
在电路理论中， 通常把电路状态的改变（如通电、断电、 在电路理论中， 通常把电路状态的改变（如通电、断电、短 电信号突变、电路参数的变化等） 统称为换路。 路、电信号突变、电路参数的变化等）, 统称为换路。换路前后瞬 电感电流、电容电压不能突变，称为换路定律。 间，电感电流、电容电压不能突变，称为换路定律。即：
画t=∞时的等效电路 如图 (d)所示。 时的等效电路, 所示。 时的等效电路 所示
2A （c） ） R1 R3
uL
u（∞） 0 = L
（3）求时间常数： ）求时间常数：
R1 R2 + R3 = 2Ω R1 + R2 时间常数为： 时间常数为： τ = L = 1 = 0.5s R′ 2
等效电阻为： 等效电阻为： R′ = 所以，全响应为： 所以，全响应为：
§ 7-6 一阶电路的全响应和三要素方法
全响应：当一个非零初始状态的一阶电路受到激励时 全响应：当一个非零初始状态的一阶电路受到激励时, S(t＝0) 电路中所产生的响应。 电路中所产生的响应。 R
一、全响应的两种分解 duC + uC = U 如图有 ： RC dt
则全响应为 ：
t
+ U － C
+ uC －
R2
uL
− 2t
u（t） u（∞） [u（0 +） u（∞） = C + C − C ]e C
−
t
（d）
τ
= −4e V
时开关S闭合 例2：如图（a）所示电路，在t=0时开关 闭合，S ：如图（ ）所示电路， 时开关 闭合， 闭合前电路已达稳态。求t≥0时uC(t) 和iC (t) 。 闭合前电路已达稳态。 时
+
uC（∞ ）
－
( d)
（3）求时间常数 。将电容断开，电压源短路，求得等效电阻为： ）求时间常数τ。将电容断开，电压源短路，求得等效电阻为：
4×4 = 4 kΩ 4+4 τ = RC = 4 × 103 × 2 × 10−6 = 8 × 10−3 s R =2+
(4) 根据全响wk.baidu.com表达式可得出电容的电压、电流响应分别为： 根据全响应表达式可得出电容的电压、电流响应分别为：
时开关S闭合 例1：如图所示电路原已稳定，t=0时开关 闭合， ：如图所示电路原已稳定， 时开关 闭合， 试求电感电压uL。
2Ω Ω R1 IS R2 Ω t=0 2Ω
（a）
1Ω Ω R3 L 1H
2Ω
3A
2Ω
（b）
1Ω
S
uL
L
iL
3A
解（1）求初始值：作t=0–等效电路如图（b）所示。则 ）求初始值： 等效电路如图（ ）所示。 有：
uC = U + [U 0 − U ]e τ
式中 ： U 0 = u（0 +） C
可见， 可见，电路的全响应可分解为稳态分量和暂态分量 之和。 之和。即： 全响应=稳态分量 暂态分量 稳态分量+暂态分量 全响应 稳态分量 暂态分量
下图给出了U 下图给出了 ＞U0时，uC随时间变化的曲线。
uC U U0 0 暂态分量 U0－U
−
f (t ) = f (∞)(1 − e τ )
式中， 是响应的稳态值。 式中， f(∞)是响应的稳态值。 是响应的稳态值 4.一阶电路的全响应 全响应就是初始状态不为零的电路在输入恒定直流激励下产生 的响应。其两种分解为： 的响应。其两种分解为：
t
f (t ) = f (0 + )e
−
τ
+ f (∞)(1 − e )
－
20 V 4kΩ
－
iC ( 0 + ) = − 2 . 5 m Α
(c)
时稳态等效电路如图（ ） （2）求稳态值 C(∞)、iC(∞) 。作t=∞时稳态等效电路如图（d）所 ）求稳态值u 、 时稳态等效电路如图 则有： 示，则有：
4kΩ 2kΩ iC（∞ ） + 20 V 4kΩ
－
4 uC (∞ ) = × 20 = 10V 4+4 iC (∞) = 0
− t
−
t
τ
f (t ) = [ f (0 + ) − f (∞) ]e + f (∞)
τ
(暂态响应)
(稳态响应)
5.一阶电路的三要素法 一阶电路的三要素法
一阶电路的响应f(t),由初始值 +)、稳态值 由初始值f(0 、稳态值f(∞)和时间常数 和时间常数τ 一阶电路的响应 由初始值 和时间常数 三要素所确定， 三要素所确定，利用三要素公式可以简便地求解一阶电路在直流 电源作用下的电路响应。全响应表达式为： 电源作用下的电路响应。全响应表达式为：