数理统计复习题第八章
概率论与数理统计第八章习题
概率论与数理统计习题 第八章 假设检验习题8-1 某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为（%） 3.25 3.27 3.24 3.26 3.24设测定值总体服从正态分布，但参数均未知。
问在α=0.01下能否接受假设：这批矿砂的镍含量均值为3.25。
解：设测定值总体X ～N （μ，σ 2），μ，σ 2均未知步骤：（1）提出假设检验H 0：μ=3.25; H 1：μ≠3.25 （2）选取检验统计量为)1(~25.3--=n t nSX t（3）H 0的拒绝域为| t |≥).1(2-n t α（4）n=5, α = 0.01，由计算知01304.0)(11,252.3512=--==∑=i iX Xn S x查表t 0.005(4)=4.6041, )1(343.0501304.025.3252.3||2-<=-=n t t α（5）故在α = 0.01下，接受假设H 0习题8-2 要求一种元件平均使用寿命不得低于1000小时，生产者从一批这种元件中随机抽取25件，测得其寿命的平均值为950小时。
已知该种元件寿命服从标准差为σ=100小时的正态分布。
试在显著性水平α=0.05下判定这批元件是否合格？设总体均值为μ，μ未知。
即需检验假设01:1000,:1000H H μμ≥ 。
解：步骤：（1）:0H μ≥1000；H 1：μ<1000；（σ =100已知） （2）H 0的拒绝域为αz nσx -≤-1000（3）n =25，α = 0.05，950=x ， 计算知645.15.225100100005.0=-<-=-z x（4）故在α = 0.05下，拒绝H 0，即认为这批元件不合格。
习题8-3 下表分别给出两个文学家马克·吐温（Mark Twain ）的8篇小品文以及斯诺特格拉斯（Snodgrass ）的10篇小品文中由3个字母组成的单字的比例。
个作家所写的小品文中包含由3个字母组成的单字的比例是否有显著的差异（取0.05α=）？h =1significance =0.0013 ci =0.0101 0.0343 stats = tstat: 3.8781 df: 16 sd: 0.0121h=1, 拒绝原假设,认为两个作家所写的小品文中包含由3个字母组成的词的比例有显著的差异。
概率论与数理统计第八章习题课
第八章 习题课一、 填空题1．设总体),(~2σμN X ,样本容量为n ，X 和2S 分别为样本均值和样本方差, 在显著性水平α下，（1）若2σ已知，检验假设00:μμ≥H 的统计量U = ，拒绝域为 ，（2）若2σ未知，检验假设00:μμ≤H 的统计量T = ，拒绝域为 ；2．设总体),(~2σμN X ，原假设为00:μμ=H（1）若拒绝域为)),1((+∞-n t α，则相应的备择假设为1H :___________，（2）若拒绝域为)),1(())1(,(22+∞-⋃--∞n t n t αα，则相应的备择假设为1H : ；二、 选择题1．在假设检验中,记0H 为待检假设，则称( )为第二类错误.()A 0H 为真，接受0H ()B 0H 不真，接受0H()C 0H 为真，拒绝1H ()D 0H 不真，拒绝0H2．在假设检验中，u 检验和t 检验都是关于总体均值的假设检验，当总体方差未知时，可选用（ ）)(A t 检验法 )(B u 检验法)(C t 检验法或u 检验法 )(D 其他检验法3．正态总体),(~2σμN X （2σ未知），n X X X ，，， 21是来自总体X 的样本，对假设检验问题1:0≤μH ；1:1>μH ，若取得显著性水平05.0=α，则其拒绝域为（ ）)(A 0.051X u -> )(B )1(105.0-+>n t n SX)(C0.051(1)X n ->- )(D 0.051()X n >- 三、解答题 1．已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布()24.55,0.108N .现在测得了9炉铁水，其平均含碳量为4.484，如果估计方差没有变化，可否认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55(0.05)α=？2. 设某种电池的工作时间),50(~2σN X ，2σ未知，从一批要出厂的电池中随机抽取了10个，观察到它们的工作时间分别为48，51，46，48，47，50，46，49，52 ，51问在显著性水平0.01α=下，可否认为50<μ？。
概率论与数理统计习题解答(第8章)
第八章 假 设 检 验三、解答题1. 某种零件的长度服从正态分布，方差σ2 = 1.21，随机抽取6件，记录其长度（毫米）分别为32.46，31.54，30.10，29.76，31.67，31.23在显著性水平α = 0.01下，能否认为这批零件的平均长度为32.50毫米？ 解：这是单个正态总体均值比较的问题，若设该种零件的长度),(~2σμN X ，则需要检验的是：00:μμ=H 01:μμ≠H由于2σ已知，选取nX Z σμ0-=为检验统计量，在显著水平α = 0.01下，0H 的拒绝域为：}|{|}|{|005.02Z z Z z ≥=≥α查表得 2.575829005.0=Z ，现由n =6, 31.1266711∑===ni i x n x ,1.1=σ, 50.320=μ计算得：3.0581561.132.5-31.126670==-=nX z σμ005.0Z z >可知，z 落入拒绝域中，故在0.01的显著水平下应拒绝0H ，不能认为这批零件的平均长度为32.50毫米。
EXCEL 实验结果：2. 正常人的脉搏平均每分钟72次，某医生测得10例“四乙基铅中毒”患者的脉搏数如下：54，67，68，78，70，66，67，65，69，70已知人的脉搏次数服从正态分布，问在显著水平α = 0.05下，“四乙基铅中毒”患者的脉搏和正常人的脉搏有无显著差异？解：这是单个正态总体均值比较的问题，若设“四乙基铅中毒”患者的脉搏数),(~2σμN X ，则需要检验的是：00:μμ=H 01:μμ≠H由于方差未知，选取ns X T 0μ-=为检验统计量，在显著水平α = 0.05下，0H 的拒绝域为：)}9(|{|)}1(|{|2/05.02t t n t t ≥=-≥α查表得 2.26215716)9(025.0=t ，现由n =10, 67.411∑===n i i x n x , ()35.155555611122∑==--=n i i x x n s ， 计算得2.45335761035.1555556724.670=-=-=nsX t μ)9(025.0t t >可知，t 落入拒绝域中，故在0.05的显著水平下应拒绝0H ，“四乙基铅中毒”患者的脉搏和正常人的脉搏有显著差异。
概率论与数理统计第八章试题
第八章试题1.设总体X 服从正态分布N （μ，1），x 1，x 2，…，x n 为来自该总体的样本，x 为样本均值，s 为样本标准差，欲检验假设H 0∶μ=μ0，H 1∶μ≠μ0，则检验用的统计量是（ ）A.n /s x 0μ-B.)(0μ-x nC.10-μ-n /s xD.)(10μ--x n2．设总体X~N （μ，σ2），X 1，X 2，…，X n 为来自该总体的一个样本，X 为样本均值，S 2为样本方差.对假设检验问题：H 0：μ=μ0↔H 1：μ≠μ0，在σ2未知的情况下，应该选用的检验统计量为（ ） A ．nX σμ0- B ．1--n X σμC ．nS X 0μ-D ．10--n SX μ3．在假设检验问题中，犯第一类错误的概率α的意义是（）A．在H0不成立的条件下，经检验H0被拒绝的概率B．在H0不成立的条件下，经检验H0被接受的概率C．在H0成立的条件下，经检验H0被拒绝的概率D．在H0成立的条件下，经检验H0被接受的概率4．设总体X~N （μ,σ2），σ2未知，X为样本均值，S n 2=n1∑=-n1i iXX()2，S 2=1n 1-∑=-n 1i iXX()2，检验假设H 0:μ=μ0时采用的统计量是（ ）A ．Z=n /X 0σμ- B ．T=n /S X n 0μ-C ．T=n /S X 0μ- D ．T=n /X 0σμ-5.设样本x 1，x 2，…，x n 来自正态总体N （μ，9），假设检验问题为H 0∶μ=0，H 1∶μ≠0，则在显著性水平α下，检验的拒绝域W=___________。
6.设0.05是假设检验中犯第一类错误的概率，H 0为原假设，则P {拒绝H 0｜H 0真}=___________。
7．设总体X~N （μ,σ2），X 1，X 2，…，X n 为来自该总体的一个样本.对假设检验问题2021220::σσσσ≠↔=H H ，在μ未知的情况下，应该选用的检验统计量为___________.三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）8．假设某校考生数学成绩服从正态分布，随机抽取25位考生的数学成绩，算得平均成绩61 x 分，标准差s=15分.若在显著性水平0.05下是否可以认为全体考生的数学平均成绩为70分？（附：t 0.025(24)=2.0639）9．某日从饮料生产线随机抽取16瓶饮料，分别测得重量（单位：克）后算出样本均值x =502.92及样本标准差s =12.假设瓶装饮料的重量服从正态分布N （2,σμ），其中σ2未知，问该日生产的瓶装饮料的平均重量是否为500克？（α=0.05） （附：t 0.025(15)=2.13）五、应用题（本大题共1小题，10分）10. 假设某城市购房业主的年龄服从正态分布,根据长期统计资料表明业主年龄X~N(35,52).今年随机抽取400名业主进行统计调研,业主平均年龄为30岁.在01.0=α下检验业主年龄是否显著减小.(58.2,32.2005.001.0==u u )11．设某商场的日营业额为X万元，已知在正常情况下X服从正态分布N（3.864，0.2）十一黄金周的前五天营业额分别为：4.28、4.40、4.42、4.35、4.37（万元）假设标准差不变，问十一黄金周是否显著增加了商场的营业额．（取α=0.01，μ0.01=2.32，μ0.005=2.58）。
数理统计复习题第八章
第七章 假设检验三、典型题解例1：某车间用一台包装机包装葡萄糖, 包得的袋装糖重是一个随机变量, 它服从正态分布.当机器正常时, 其均值为0.5千克, 标准差为0.015千克.某日开工后为检验包装机是否正常, 随机地抽取它所包装的糖9袋, 称得净重为(千克):0.498 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512,问机器是否正常?解: 根据样本值判断5.05.0≠=μμ还是.提出两个对立假设0100:5.0:μμμμ≠==H H 和选择统计量：)1,0(~/0N nX Z σμ-=取定0.05，则/20.0251.96,zz 又已知9, 0.015, n 由样本计算得0.511x ，02.2 1.96/xn，于是拒绝假设0H , 认为包装机工作不正常.例2：某工厂生产的固体燃料推进器的燃烧率服从正态分布),(2σμN ，s cm s cm /2,/40==σμ，现用新方法生产了一批推进器，从中随机取25n 只，测得燃烧率的样本均值为s cm x /25.41=.设在新方法下总体均方差仍为s cm /2，问这批推进器的燃烧率是否较以往生产的推进器的燃烧率有显著的提高？（取显著性水平05.0=α） 解：根据题意需要检验假设00:40H （即假设新方法没有提高了燃烧率）,10:H （即假设新方法提高了燃烧率）,这是右边检验问题，拒绝域为00.051.645/xzz n，由3.125 1.645/xzn可得z 值落到拒绝域中故在显著性水平0.05 下拒绝0 H .即认为这批推进器的燃烧率较以往有显著提高.例3：某切割机在正常工作时, 切割每段金属棒的平均长度为10.5cm, 标准差是0.15cm, 今从一批产品中随机的抽取15段进行测量, 其结果如下:7.102.107.105.108.106.109.102.103.103.105.104.101.106.104.10假定切割的长度服从正态分布, 且标准差没有变化, 试问该机工作是否正常? （取显著性水平05.0=α） 解：因为2~(,), 0.15X N ，要检验假设 0:10.5,H 1:10.5H其中,15=n ,48.10=x ,05.0=α 15/15.05.1048.10/0-=-n x σμ则,516.0-=查表得,645.105.0=z 于是0.050.5161.645/xz n，故接受0H ，认为该机工作正常.例4：如果在例3中只假定切割的长度服从正态分布, 问该机切割的金属棒的平均长度有无显著变化?解：依题意22~(,), ,X N 均为未知，要检验假设01:10.5,:10.5,H H,15=n ,48.10=x ,05.0=α,237.0=s 010.4810.50.327/0.237/15xts n，查t 分布表得：/20.025(1)(14)2.14480.327,tn t t故接受0 H ，认为金属棒的平均长度无显著变化.例5：某种电子元件的寿命X (以小时计)服从正态分布,2,σμ均为未知. 现测得16只元件的寿命如下:159280101212224379179264222362168250149260485170问是否有理由认为元件的平均寿命大于225(小时)? 解：依题意需检验假设 ,225:,225:100>=≤μμμH H 取0.05, ,16=n ,5.241=x ,7259.98=s 查表得：0.05(15)1.75310.6685 /xt ts n故接受0 H ，认为原件的平均寿命不大于225小时.例6：在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法的建议是否会增加钢的得率, 试验是在同一只平炉上进行的. 每炼一炉钢时除操作方法外, 其它条件都尽可能做到相同.先采用标准方法炼一炉, 然后用建议的新方法炼一炉, 以后交替进行, 各炼10炉, 其得率分别为(1)标准方法: 78.1, 72.4, 76.2, 74.3, 77.4, 78.4, 76.0, 75.5, 76.7, 77.3； (2)新方法:79.1, 81.0, 77.3, 79.1, 80.0, 78.1, 79.1, 77.3, 80.2, 82.1； 设这两个样本相互独立, 且分别来自正态总体，问建议的新操作方法能否提高得率? （取0.05）解：需要检验假设012112: 0, :0.H H 分别求出标准方法和新方法下的样本均值和样本方差：,101=n ,23.76=x ,325.321=s ,102=n ,43.79=y ,225.222=s且22212(101)(101) 2.775,10102ws s s 查表可知0.05(18)1.7341,t 查表7-1知其拒绝域).2(21-+-≤n n t t α因为111010x y ts 295.4-=,7341.1)18(05.0-=-≤t 所以拒绝0, H 即认为建议的新操作方法较原来的方法为优.例7：有两台光谱仪Ix , Iy ,用来测量材料中某种金属的含量, 为鉴定它们的测量结果有无显著差异, 制备了9件试块(它们的成分、金属含量、均匀性等各不相同), 现在分别用这两台机器对每一试块测量一次, 得到9对观察值如下:()()()11.013.012.011.018.018.012.009.010.0%89.077.068.059.078.032.052.021.010.0%00.190.080.070.060.050.040.030.020.0%---=y x d y x 问能否认为这两台仪器的测量结果有显著的差异? )01.0(=α解：本题中的数据是成对的, 即对同一试块测出一对数据, 我们看到一对与另一对之间的差异是由各种因素, 如材料成分、金属含量、均匀性等因素引起的. [这也表明不能将光谱仪Ix 对9个试块的测量结果(即表中第一行)看成是一个样本, 同样也不能将表中第二行看成一个样本, 因此不能用表7-3中第1栏的检验法作检验].而同一对中两个数据的差异则可看成是仅由这两台仪器性能的差异所引起的. 这样, 局限于各对中两个数据来比较就能排除种种其他因素, 而只考虑单独由仪器的性能所产生的影响.表中第三行表示各对数据的差,i i i y x d -=设12,,,n d d d 来自正态总体2(,)dN ，这里d，2均为未知，若两台机器的性能一样,则对各数据的差异12,,,n d d d 属随机误差随机误差可以认为服从正态分布, 其均值为零.要检验假设01:0, :0.ddH H 设12,,,,n d d d 的样本均值d 样本方差2,s 按表7-1中第1栏中关于单个正态分布均值的 t 检验, 知拒绝域为：,)1(/02/-≥-=n t ns d t α由9,n ,3554.3)8()8(005.02/==t t α,06.0=d ,1227.0=s 可知 1.4673.3554,t 所以接受认为这两台仪器0 H ，认为这两台仪器的测量结果无显著的差异.例8:某厂生产的某种型号的电池, 其寿命长期以来服从方差 2σ =5000 (2小时) 的正态分布, 现有一批这种电池, 从它生产情况来看, 寿命的波动性有所变化. 现随机的取26只电池, 测出其寿命的样本方差29200(2小时). 问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化?（0.02） 解：要检验假设2201:5000,:5000,H H,26=n ,02.0=α,500020=σ,314.44)25()1(201.022/==-χχαn,524.11)25()1(299.022/1==--χχαn拒绝域为: )1(22≤-σs n ,524.11 )1( 22≥-σs n 或44.314因为220(1)2592004644.3145000n s ，所以拒绝0 H ，认为这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化.例9:一自动车床加工零件的长度服从正态分布),(2σμN ，原来加工精度18.020=σ，经过一段时间生产后，抽取这车床所加工的31=n 个零件，测得数据如下所示：问这一车床是否保持原来得加工精度.解：由题意要检验假设18.0:;18.0:2120≠=σσH H ，此时我们只要考虑单侧的情形，由题中所给的数据计算得：∑==-=712125.4418.0)(i i x x n χ，对于给定的05.0=α，查自由度为301=-n 的2χ分布分位数表得临界值8.43)30(295.0=χ，此时)30(295.02χχ>，因此拒绝原假设0H ，这说明自动车床工作一段时间后精度变差.对于单个正态总体有关方差检验的问题，我们可用2χ—检验来解决，但如果要比较两个正态总体的方差是否相等，我们就要用下面的F —检验. 例10: 一枚骰子掷了100次，得结果如下表点数123456频数i f13 14 20 17 15 21在05.0=α下，检验这枚骰子石头均匀？ 解：用X 表示骰子掷出的点数，{}i P xi p ，1,2,...,6i =.如果骰子是均匀的的，则1/6ip ，1,2,...,6i =.检验假设0H ：1/6ip计算统计量2χ的观察值，得2222100100100100[(13)(14)...(21)] 3.26666查表得20.05(61)11.071.经比较知220.053.2(61)11.071故接受，认为骰子是均匀的.四、练习题1.某工厂在正常情况下生产电灯泡的使用寿命（单位：小时）服从正态分布2(1600,80)N .某天从该厂生产的一批灯泡中随机抽取10个，测得它们的寿命均值1548x 小时.如果灯泡寿命的标准差不变，能否认为该天生产的灯泡寿命均值1600小时？参考答案：0.0252.06 1.96U U =>=，即认为该天生产的灯泡的寿命均值1600小时.2.某化学日用品有限责任公司用包装机包装洗衣粉, 洗衣粉包装机在正常工作时, 装包量)2,500(~2N X (单位:g ), 每天开工后, 需先检验包装机工作是否正常. 某天开工后,在桩号的洗衣粉中任取9袋, 其重量如下:503,510,497,498,498,506,502,499,505假设总体标准差σ不变,即,2=σ 试问这天包装机工作是否正常?)05.0(=α 参考答案：，3.已知某种电子元件的平均寿命为3000小时.采用新技术后抽查20个，测得电子元件寿命的样本均值3100x小时，样本标准差170s 小时.设电子元件的寿命服从正态分布，试问采用新技术后电子元件的平均寿命是否有显著提高？(取显著性水平0.01)参考答案：0.992.63(19)2.54tt ，认为采用新技术后电子元件的平均寿命有显著提高.4. 某次考试学生成绩服从正态分布，从中随机抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5，标准差为15，在显著性水平0.05α=下，是否可认为这次考试全体考生的平均成绩高于70分？参考答案：0.051.4 1.6869t t =-<=，故认为这次考试全体考生成绩不高于70分. 5.从甲地发送讯号到乙地，甲地发送的真实讯号值为，而乙地收到的讯号值是服从正态分布2(,)N 的随机变量.现甲地重复发送同一讯号9次，乙地收到的讯号平均值为8.15，标准差为0.2，试问乙地是否有理由猜测甲地发送的讯号值为8？如果已知00.22，结论又该如何呢？(取显著性水平0.05)参考答案：0.975|| 2.25(8) 2.306t t =<=,即可猜测甲地发送的讯号值为8. 6.自动车床加工的某种零件的直径(单位：mm )服从正态分布2~(,)X N ，原来的加工精度20.09.经过一段时间后，需要检验是否保持原有加工精度，为此，从该车床加工的零件中抽取30个，测得数据如下： 36问加工精度是否变差(显著性水平0.05)？参考答案：220.9543.3(29)42.6,即可认为该自动车床的加工精度变差了.7.某灯泡厂在采用一种新工艺的前后，分别抽取10个灯泡进行寿命(单位：小时)检测，计算得到：采用新工艺前灯泡寿命的样本均值为2460，样本标准差为56；采用新工艺后灯泡寿命的样本均值为2550，样本标准差为48.设灯泡的寿命服从正态分布，是否可以认为采用新工艺后灯泡的平均寿命有显著提高(取显著性水平0.01)?参考答案：因为未知方差未知，为此先检验假设2222012112::H H ，得0.951.36(9,9) 3.18F F ,即认为两者无显著差异，再检验012112::H H 得，0.993.86(18)2.55tt ，可认为采用新工艺后灯泡的平均寿命有显著提高.8.机床厂某日从两台机器所加工的同一种零件中，分别抽取若干个测量其尺寸，得： 甲机器的：6.2,5.7,6.5,6.0,6.3,5.8,5.7,6.0,6.0,5.8,6.0;乙机器的：5.6,5.9,5.6,5.7,5.8,6.0,5.5,5.7,5.5.问这两台机器的加工精度是否有显著差异(0.05）？参考答案：0.9750.0250.02511(10,8) 2.13(10,8) 4.30(8,10) 3.85F F F F ==<=<=，即没有发现两台机器加工零件的尺寸的精度有显著性差别.9.某校毕业班历年语文毕业成绩接近2(78.5,7.6)N 今年毕业40名学生，平均分数76.4分，有人说这届学生的语文水平和历届学生相比不相上下，这个说法能接受吗（显著性水平0.05）？参考答案：0.0251.75 1.96U U =<=，故可以认为这届学生的语文水平和历届学生相比不相上下.10.某厂生产的电子元件，其电阻值服从正态分布，其平均电阻值2.6()Ω，今该厂换了一种材料生产同类产品，从中抽查了20个，测得其样本电阻均值为3.0()Ω，样本标准差0.11S =()Ω，问新材料生产的元件其平均电阻较之原来的元件的平均电阻是否有明显的提高（0.05）？参考答案：0.0516.26(19) 1.729t t =>=，认为换材料后电阻平均值有明显提高. 11. 已知某种溶液中水分含量2~(,)X N ，要求平均水分含量不低于0.5%，今测定该溶液9个样本，得到平均水分含量为0.451%，均方差S=0.039%试在显著性水平0.05下，检验溶液水分含量是否合格.参考答案：0.053.77(8) 1.8595t t =-<=，即认为溶液水分含量低于0.5%，不合格. 12. 某车间生产铜丝，其中一个主要质量指标是折断力大小，用X 表示该车间生产的铜丝的折断力，根据过去资料来看，可以认为X 服从2(,)N μσ，0285,4,kg kg μσ==今换了一批原材料，从性能上看，估计折断力的方差不会有什么大变化，但不知道折断力的大小与原先有无差别？从现今产品中任取10根，测得折断力数据如下：289,286,285,284,285,285,286,286,298,292. （单位：kg ）. 参考答案：先检验方差22200:4H σσ==2210:H σσ≠得2220.9750.025(9) 2.7010.65(9)19.0χχχ=<=<=，故认为方差无变化.在方差224σ=已知的条件下，检验 00:285H μμ==，10:H μμ≠，得0.0252.05 1.96U U =>=，故认为铜丝折断力大小与原先有显著性差异.13.为研究某地两民族间家庭规模是否有所不同，各做了如下的独立的随机抽样：民族甲：调查户数112n =，均值1 6.8X =，方差1 1.5S = 民族甲：调查户数212n =，均值2 5.3X =，方差20.9S =试问能否认为甲民族的家庭平均人口高于乙民族的家庭平均人口（显著性水平0.05α=，并认为家庭人口服从正态分布，且方差相等）？参考答案：0.0250.4951<(22) 2.0739t t ==，故认为甲民族的家庭平均人口高于不乙民族的家庭平均人口.14.某卷烟厂生产甲，乙两种香烟，分别对它们的尼古丁含量（单位：毫克）作了测定，结果如下：甲：抽取子样数为6，均值25.50X =，方差21 6.25S = 乙：抽取子样数为6，均值25.67Y =，方差229.22S =试问这两种香烟的尼姑丁含量有无显著差异（显著性水平0.05α=，并认为这两种烟的尼古丁含量都服从正态分布，且方差相等）？参考答案：0.025-0.1059<(10) 2.2281t t ==，故认为两种香烟尼姑丁含量无显著差异. 15.用两种工艺生产的某种电子元件的抗击穿强度X 和Y 为随机变量，分布分别为211(,)N μσ和222(,)N μσ（单位：V ）.某日分别抽取9只和6只样品，测得抗击穿强度数据分别为19,,x x 和16,,,y y 算得99211370.80,15280.17,ii i i xx ====∑∑66211204.60,6978.93.ii i i yy ====∑∑检验X 和Y 的方差有无明显差异（取0.05）.参考答案：0.9750.0250.025(8,5)1/(5,8)0.14790.9693(8,5) 4.82F F F F ==<=<=，认为X Y 和的方差无明显差异.16.需要比较两种汽车用的燃料的辛烷值，得数据：燃料的辛烷值越高，燃料质量越好，因燃料较燃料A 总体价格便宜，因此，如果两种辛烷值相同时，则使用燃料B.设两总体的分布均为正态的，而且两样本相互独立，问应采用哪种燃料（取0.1α=）？参考答案：先检验两个总体方差是否有显著性差异，得0.050.950.051(11,11) 2.820.926(11,11)0.355(11,11)F F F F =>=>==，故可认为两种燃料总体的方差相等. 再检验01:0,:0A B A B H H μμμμ-=->，0.012.19(22) 2.5083t t =<=，采用燃料B .17.某厂近年来发生了63次试过，按星期几统计如下问：事故的发生是否与星期几有关？（05.0=α） 参考答案：220.051.66(61)11.071，故事故发生与星期几没有关系.。
第八章试题答案 概率论与数理统计
第八章试题一、单项选择题(本大题共l0小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设总体X 服从正态分布N （μ，1），x 1，x 2，…，x n 为来自该总体的样本，x为样本均值，s 为样本标准差，欲检验假设H 0∶μ=μ0，H 1∶μ≠μ0，则检验用的统计量是（ ） A.n/s x 0μ- B.)(0μ-x n C.10-μ-n /s xD.)(10μ--x n答案：B2．设总体X~N （μ，σ2），X 1，X 2，…，X n 为来自该总体的一个样本，X为样本均值，S 2为样本方差.对假设检验问题：H 0：μ=μ0↔H 1：μ≠μ0，在σ2未知的情况下，应该选用的检验统计量为（ ） A ．nX σμ0- B ．1--n X σμ C ．nSX 0μ-D ．1--n SX μ答案：C3．在假设检验问题中，犯第一类错误的概率α的意义是（ ） A ．在H 0不成立的条件下，经检验H 0被拒绝的概率B ．在H 0不成立的条件下，经检验H 0被接受的概率C ．在H 0成立的条件下，经检验H 0被拒绝的概率D ．在H 0成立的条件下，经检验H 0被接受的概率 答案：C4．设总体X~N （μ,σ2），σ2未知，X为样本均值，S n 2=n1∑=-n1i iXX()2，S 2=1n 1-∑=-n1i iXX()2，检验假设H 0:μ=μ0时采用的统计量是（ ） A ．Z=n/X 0σμ- B ．T=n/S X n 0μ- C ．T=n/S X 0μ-D ．T=n/X 0σμ-答案：C4. .对正态总体的数学期望μ进行假设检验，如果在显著水平0.05下接受H0：μ=μ0，那么在显著水平0.01下，下列结论中正确的是( )A.必接受H0B.可能接受H0，也可能拒绝H0C.必拒绝H0D.不接受，也不拒绝H0答案：A二、填空题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
《概率论与数理统计》习题及答案第八章
《概率论与数理统计》习题及答案第⼋章《概率论与数理统计》习题及答案第⼋章1. 设x.,x2,,%…是从总体X中抽岀的样本，假设X服从参数为兄的指数分布，⼏未知，给泄⼊〉0和显著性⽔平a(Ovavl),试求假设H o的⼒$检验统计量及否建域.解选统汁量*=2⼈⼯⼄=2如庆则Z2 -Z2(2n) ?对于给宦的显著性⽔平a,査z'分布表求出临界值加⑵"，使加⑵2))=Q因z2 > z2 > 所以(F"： (2/1)) => (/2 > /； (2n)),从⽽a = P{X2 > 加⑵“} n P{r > Za(2/0)可见仏:2>^的否定域为Z2>Z；(2?).2. 某种零件的尺⼨⽅差为O-2=1.21,对⼀批这类零件检查6件得尺⼨数据(毫⽶)：，，，，，。
设零件尺⼨服从正态分布，问这批零件的平均尺⼨能否认为是毫⽶(a = O.O5).解问题是在/已知的条件下检验假设：“ = 32.50Ho的否定域为1“ l> u af2u0(n5 = 1.96 ,因1“ 1=6.77 >1.96,所以否泄弘，即不能认为平均尺⼨是亳⽶。
3. 设某产品的指标服从正态分布，它的标准差为b = 100,今抽了⼀个容量为26的样本，计算平均值1580,问在显著性⽔平a = 0.05下，能否认为这批产品的指标的期望值“不低于1600。
解问题是在b?已知的条件下检验假设://>1600的否定域为u < -u a/2,其中X-1600 r-r 1580-1600 c , “11 = ------------ V26 = ------------------- x 5.1 = —1.02.100 100⼀叫05 =—1.64.因为// =-1.02>-1.64 =-M005,所以接受H(>,即可以认为这批产品的指标的期望值“不低于1600.4. ⼀种元件，要求其使⽤寿命不低于1000⼩时，现在从这批元件中任取25件，测得其寿命平均值为950⼩时，已知该元件寿命服从标准差为o-=100 ⼩时的正态分布，问这批元件是否合格(<7=0.05)解设元件寿命为X,则X~N(“，IO。
概率论与数理统计习题解答(第8章)
第八章 假 设 检 验三、解答题1. 某种零件的长度服从正态分布，方差2= 1.21，随机抽取6件，记录其长度（毫米）分别为32.46，31.54，30.10，29.76，31.67，31.23在显著性水平 = 0.01下，能否认为这批零件的平均长度为32.50毫米？ 解：这是单个正态总体均值比较的问题，若设该种零件的长度),(~2σμN X ，则需要检验的是：00:μμ=H 01:μμ≠H由于2σ已知，选取nX Z σμ0-=为检验统计量，在显著水平 = 0.01下，0H 的拒绝域为：}|{|}|{|005.02Z z Z z ≥=≥α查表得 2.575829005.0=Z ，现由n =6, 31.1266711∑===ni i x n x ,1.1=σ, 50.320=μ计算得：3.0581561.132.5-31.126670==-=nX z σμ005.0Z z >可知，z 落入拒绝域中，故在0.01的显著水平下应拒绝0H ，不能认为这批零件的平均长度为32.50毫米。
EXCEL 实验结果：2. 正常人的脉搏平均每分钟72次，某医生测得10例“四乙基铅中毒”患者的脉搏数如下：54，67，68，78，70，66，67，65，69，70已知人的脉搏次数服从正态分布，问在显著水平 = 0.05下，“四乙基铅中毒”患者的脉搏和正常人的脉搏有无显著差异？解：这是单个正态总体均值比较的问题，若设“四乙基铅中毒”患者的脉搏数),(~2σμN X ，则需要检验的是：0:μμ=H1:μμ≠H由于方差未知，选取ns X T 0μ-=为检验统计量，在显著水平 = 0.05下，0H 的拒绝域为：)}9(|{|)}1(|{|2/05.02t t n t t ≥=-≥α查表得 2.26215716)9(025.0=t ，现由n =10, 67.411∑===n i i x n x , ()35.155555611122∑==--=n i i x x n s ， 计算得2.45335761035.1555556724.670=-=-=nsX t μ)9(025.0t t >可知，t 落入拒绝域中，故在0.05的显著水平下应拒绝0H ，“四乙基铅中毒”患者的脉搏和正常人的脉搏有显著差异。
第八章 数理统计基础
分院 专业 班级 姓名 学号封 装 线一：填空题1、来自正态总体()20~σ，N X 的一个简单随机样本为n X X X ,21 ，，，则样本的样本容量为_______， =⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=n i i X n E 11______，=⎪⎭⎫⎝⎛∑=n i i X n D 11_________。
2、已知()22,50~N X ，X 为样本均值，样本容量为9，则()=<48X P 。
（用标准正态分布()Φ表示）3、设n X X X ,21 ，，，是总体()2~σμ，N X 的样本，X ，2S 分别是样本平均值和样本方差，则nX σμ-服从_____________分布4、设总体X 的分布中含有未知参数θ，2,1∧∧θθ，是由n X X X ,21 ，，样本所确定的两个统计量,对于给定的()10<<αα有αθθθ-=⎪⎭⎫⎝⎛<<∧∧121P ，则随机区间__________ 为θ的置信水平为__________的置信区间. 5、设n X X X ,21 ，，是总体()2~σμ，N X 的样本，当2σ为已知时，则μ的置信水平为α-1的置信区间为 。
6、设n X X X ,21 ，，来自总体X 简单随机样本，则n X X X ,21 ，，满足（1），（2）。
二、计算题1、n X X X ,21 ，，来自参数为λ的泊松分布总体的一个样本，试求λ的矩估计量。
2、已知()25~，μN X ，随机抽取容量为16的样本，求得样本平均值为65=x ，则μ的置信度为0.95的置信区间()96.1025.0=Z ，3、设n X X X ,21 ，，是总体()21~σ，N X 的一个样本,且()2σ=X D ,求2σ的矩估计量2ˆσ。
4、体X 其中()10<<θθ为未知参数。
试求θ的矩估计量5、设n X X X ,21 ，，为总体X 的一个样本，总体X 的概率密度函数为()⎩⎨⎧≤≤=-其他,010,1x x x f θθ， 其中0>θ为未知参数。
概率论与数理统计习题解答(第8章)
第八章 假 设 检 验三、解答题1. 某种零件的长度服从正态分布，方差σ2 = 1.21，随机抽取6件，记录其长度（毫米）分别为32.46，31.54，30.10，29.76，31.67，31.23在显著性水平α = 0.01下，能否认为这批零件的平均长度为32.50毫米？ 解：这是单个正态总体均值比较的问题，若设该种零件的长度),(~2σμN X ，则需要检验的是：00:μμ=H 01:μμ≠H由于2σ已知，选取nX Z σμ0-=为检验统计量，在显著水平α = 0.01下，0H 的拒绝域为：}|{|}|{|005.02Z z Z z ≥=≥α查表得 2.575829005.0=Z ，现由n =6, 31.1266711∑===ni i x n x ,1.1=σ, 50.320=μ计算得：3.0581561.132.5-31.126670==-=nX z σμ005.0Z z >可知，z 落入拒绝域中，故在0.01的显著水平下应拒绝0H ，不能认为这批零件的平均长度为32.50毫米。
EXCEL 实验结果：2. 正常人的脉搏平均每分钟72次，某医生测得10例“四乙基铅中毒”患者的脉搏数如下：54，67，68，78，70，66，67，65，69，70已知人的脉搏次数服从正态分布，问在显著水平α = 0.05下，“四乙基铅中毒”患者的脉搏和正常人的脉搏有无显著差异？解：这是单个正态总体均值比较的问题，若设“四乙基铅中毒”患者的脉搏数),(~2σμN X ，则需要检验的是：0:μμ=H1:μμ≠H由于方差未知，选取ns X T 0μ-=为检验统计量，在显著水平α = 0.05下，0H 的拒绝域为：)}9(|{|)}1(|{|2/05.02t t n t t ≥=-≥α查表得 2.26215716)9(025.0=t ，现由n =10, 67.411∑===n i i x n x , ()35.155555611122∑==--=n i i x x n s ， 计算得2.45335761035.1555556724.670=-=-=nsX t μ)9(025.0t t >可知，t 落入拒绝域中，故在0.05的显著水平下应拒绝0H ，“四乙基铅中毒”患者的脉搏和正常人的脉搏有显著差异。
概论论与数理统计：第八章假设检验(浙大第四版)
χ2 =
(n − 1) s 2
σ 02
, 拒 绝 域 为 {χ >
2
2 χα (n − 1)} , 由
3
n = 9, s = 0.007, χ 02.05 (8) = 15.504 ,算得 χ 2 = 15.68 > 15.504, 因此拒绝原假设 H 0 ,即认
为这批导线的标准差显著地偏大. 6、解 设枪弹甲、乙的速度分别为 x, y ,并设 x ~ N ( μ1 , σ 1 ), y ~ N ( μ 2 , σ 2 ) .
x−y 1 1 + n1 n2
其中
2 sw =
2 (n1 − 1) s12 + (n2 − 1) s 2 n1 + n2 − 2
拒绝域为 C = ⎨| t |≥ t α (n1 + n 2 − 2)⎬ .
⎧ ⎩
⎫ ⎭
2
由于 n1 , n 2 很大,故有 t 0.025 (218) ≈ z 0.025 = 1.96 将 x = 2805, y = 2680, 以上数据代入上式 计算可得 | t |= 8.206 > 1.96 ,故拒绝原假设 H 0 ,可以认为两个总体的平均值有显著差异, 即 两种枪弹在速度方面有显著差异. 综上所述,两种枪弹在速度方面有显著差异但在均匀性方面没有显著差异. 7、解 设马克吐温与思诺特格拉斯的小品文中由 3 个字母组成的词的比例分别为 x, y ,并且 由题意可设 x ~ N ( μ1 , σ ) , y ~ N ( μ 2 , σ ) ,本题是在显著性水平 α = 0.05 下检验假设:
⎧ ⎩
⎫ ⎭
2
已 知 n1 = 8, n 2 = 10 , 查 表 得 t 0.025 (16) = 2.1199, , 经 计 算 得 , x = 0.2319, s1 = 0.01456,
概率论与数理统计第8章例题
第八章例题1.在假设检验中，检验水平α的意义是：原假设0H 成立，经检验被____________的概率(填写“拒绝”或“接受”) 拒绝2.在假设检验中，犯第一类错误是指___ 弃真。
即0H 正确却被拒绝 __3. ),(~2σμN X ,当2σ未知时，为检验假设00:μμ=H 须构造统计量__________ nS x /μ- 4.从已知标准差 5.2σ=的正态总体中，抽取容量为16的样本，算得样本均值27.56x =，试在显著水平0.05α=之下，检验假设0:26H μ=.(0.025 1.96u =) 解：0:26H μ=)1,0(~/00N n x U σμ-=；0.05α=，/20.025 1.96u u α==； 算得 1.2u ==； 由于0.025u u <，所以在显著水平0.05α=之下，接受假设0:26H μ=.5.某产品按规定每包重为10kg ，现从中抽取6包进行测试，得9.7 10.1 9.8 10.0 10.2 9.6若包重服从正态分布2(,)N μσ，且20.05σ=，问在显著性水平为0.05α=下，包的平均重量是否为10kg ？（0.025 1.96u =） 解01:10,:10.H H μμ=≠令, 9.9x =0.025||||| 1.095u 1.96x u ===<= 所以可以认为重量为10kg6. 工厂某电子元件平均使用寿命为3000小时，采用新的生产设备后，从中随机抽取20个,测得这批电子元件的平均寿命X =3100小时,样本标准差为S=170小时,设电子元件的寿命X 服从正态分布N ()2,σμ,试检验用了新生产设备后产品质量是否显著改变？(显著性水平01.0=α,54.2)19(01.0=t )解 0H :μ=3000, 1H :3000>μ0.01(19)t 显著改变 7. 设罐头番茄汁中维生素C 含量服从正态分布。
规定每罐维生素C 的平均含量为21毫克。
概率论与数理统计习题及答案第八章
习题8-11.填空题(1) 假设检验易犯的两类错误分别是____________和__________.解第一类错误(弃真错误); 第二类错误(取伪错误).(2) 犯第一类错误的概率越大, 则右侧检验的临界值(点)越_____, 同时犯第二类错误的概率越_____.解小, 小.2. 已知一批零件的长度X(单位:cm)服从正态分布(,1)Nμ, 从中随机地抽取16个零件, 得到长度的平均值为40cm. 求:(1) 取显著性水平α=0.05时, 均值μ的双侧假设检验的拒绝域;(2) μ的置信水平为0.95的置信区间;(3) 问题(1)和(2)的结果有什么关系.解(1) 计算得到拒绝域为(-∞, 39.51)∪(40.49, +∞).(2) 已知x=40, σ =1,α = 0.05, 查表可得0.02521.96,z zα==所求置信区间为22()(40 1.96,40 1.96),x z x zαα+=-(39.51,40.49).=(3) 对于显著性水平α=0.05, μ的双侧假设检验的接受域恰为μ的置信水平为0.95的置信区间.习题8-21.填空题(1) 设总体2~(,)X Nμσ,12,,,nX X X是来自总体X的样本. 对于检验假设H:μμ=(μμ≥或μμ≤), 当2σ未知时的检验统计量是,H为真时该检验统计量服从分布; 给定显著性水平为α, 关于μ的双侧检验的拒绝域为, 左侧检验的拒绝域为, 右侧检验的拒绝域为__________.解Xt=; 自由度为n-1的t分布;2t tα…;t tα-…;t tα….2. 统计资料表明某市人均年收入服从2150μ=元的正态分布. 对该市从事某种职业的职工调查30人, 算得人均年收入为2280x=元, 样本标准差476s=元. 取显著性水平0.1, 试检验该种职业家庭人均年收入是否高于该市人均年收入?解由于总体方差未知, 故提出假设H0:μ≤μ0=2150; H1:μ>μ0.对于α=0.1,选取检验统计量X t =拒绝域为t >)1(-n t α=t 0.1(29)=1.3114.代入数据n =30, x =2280, s =476, 得到4959.130476215022800=-=-=n s x t μ>1.3114.所以拒绝原假设, 可以认为该种职业家庭人均年收入高于市人均年收入.3. 从某种试验物中取出24个样品，测量其发热量, 算得平均值11958, 样本标准差316s =．设发热量服从正态分布. 取显著性水平α=0.05, 问是否可认为该试验物发热量的期望值为12100?解 提出假设 H 0: μ=μ0=12100; H 1:μ≠μ0 .对于α=0.05,选取检验统计量X t =, 拒绝域为|t |>)1(2-n t α=t 0.025(23)=2.0687代入数据n =24, x =11958, s =316, 得到|| 2.20144x t ===>2.0687.所以拒绝原假设, 不能认为该试验物发热量的期望值为12100.4．从某锌矿的东西两支矿脉中, 各抽取容量分别为9和8的样品, 计算其样本含锌量(%)的平均值与方差分别为:东支: 0.230,x =2110.1337,9;n s ==西支: 0.269,y =2220.1736,8s n ==.假定东、西两支矿脉的含锌量都服从正态分布. 取显著性水平0.05α=, 问能否认为两支矿脉的含锌量相同?解 提出假设 H 0:μ1-μ2=0 ; H 1: μ1-μ2≠0.已知α=0.05, 210.230,0.1337x s ==, 220.269,0.1736y s ==,129,8,n n ==选取检验统计量X Y t =, 22112212(1)(1)2w n S n S S n n -+-=+-,拒绝域为|t |>120.0252(2)(15) 2.1315.t n n t α+-==因为2222112212(1)(1)(91)0.1337(81)0.17360.392982wn s n s s n n -+--⨯+-⨯===+-+-,||0.2058x y t ===<2.1315,所以不能拒绝原假设, 可以认为两支矿脉的含锌量相同.习题8-3一、 填空题1. 设总体2~(,)X N μσ, 12,,,n X X X 是来自总体X 的样本, 则检验假设0H :220σσ=(220σσ≥或220σσ≤), 当μ未知时的检验统计量是 , 0H 为真时该检验统计量服从 分布; 给定显著性水平α, 关于σ2的双侧检验的拒绝域为 , 左侧检验的拒绝域为 , 右侧检验的拒绝域为__________.解 2220(1)n S χσ-=; 2(1)n χ-; 2212(1)n αχχ--≤或222(1)n αχχ-≥;221(1)n αχχ--≤;22(1)n αχχ-≥. 2. 为测定某种溶液中的水分, 由它的10个测定值算出样本标准差的观察值0.037s =％. 设测定值总体服从正态分布, 2σ为总体方差, 2σ未知. 试在0.05α=下检验假设0:0.04H σ≥%; 1:0.04H σ<%.解 只需考虑假设 022:0.04)%H ≥(σ; 122:(0.04)%H <σ . 对于α=0.05, 选取检验统计量2220(1)n S χσ-=, 拒绝域为22210.95(1)(9) 3.325n αχχχ--==≤.代入数据10=n ,220(0.04%)=σ, s 2=(0.037%)2, 计算得到222220(1)(101)(0.037%)(0.04%)n S --⨯==χσ=7.701>3.325,不落在拒绝域内,所以在水平α=0.05下接受H 0, 即认为σ≥0.04%.3. 有容量为100的样本, 其样本均值观察值 2.7x =, 而10021225（）i i x -x ==∑.试以0.01α=检验假设H 0: σ2=2.5．解 提出假设 2201: 2.5;: 2.5.H H σσ=≠对于α=0.01, 选取检验统计量2220(1)n S χσ-=, 拒绝域为22220.9950.995121(1)(99)(2n z αχχχ--=≈+≤=65.67,或22220.0050.00521(1)(99)(2n z αχχχ-=≈≥=137.96.代入数据n =100, 2(1)225,n s -=得到2220(1)2252.5n s χσ-===90.因为65.67<90<137.96, 即χ2的观察值不落在拒绝域内, 所以在水平α=0.01下接受H 0, 即认为σ2=2.5.习题8-41..试在显著性水平α=0.025下检验H 0: X 的概率密度2,01,()0,.x x f x <<⎧=⎨⎩其它解 因为22/4(1)/41(1){}2,4416i i i i i i i p P X x x ----=<==⎰≤d i =1, 2, 3, 4.待检假设 02,01,:()0,.x x H X f x <<⎧=⎨⎩ 其它列计算表如表8-1所示, 算得2421() 1.83.i i i if np npχ=-==∑表8-1 第1题数据处理查表知20.025(3)9.348,χ= 经比较知220.0251.83(3)9.348,χχ=<=故接受H 0, 认为X 的概率密度为2,01,()0,.x x f x <<⎧=⎨⎩其它2. 在显著性水平α=0.05下, 检验这枚骰子是否均匀.解 用X 表示骰子掷出的点数, P {X =i }=p i , i =1, 2, …, 6. 如果骰子是均匀的, 则p i =16, i =1, 2, …, 6. 因此待检假设01:6i H p =, i =1, 2, …, 6. 计算检验统计量221()ni i i if np np χ=-=∑的值, 得2222222100100100[(13)(14)(20)666100100100100(17)(15)(21)]66663.2.χ=-+-+-+-+-+-÷=查表知20.05(61)11.071,χ-= 经比较知220.053.2(5)11.071,χχ=<= 故接受H 0, 认为骰子是均匀的.。
概率论与数理统计练习题第八章答案
第八章 假设检验（一）一、选择题：1．假设检验中，显著性水平为α，则[ B ](A) 犯第二类错误的概率不超过α (B) 犯第一类错误的概率不超过α(C) α是小于等于%10的一个数，无具体意义 (D) 可信度为α-1.2．设某产品使用寿命X 服从正态分布，要求平均寿命不低于1000小时，现从一批这种产品中随机抽出25只，测得平均寿命为950小时，方差为100小时，检验这批产品是否合格可用 [ A ]（A ）t 检验法 （B ）2χ检验法 （C ）Z 检验法 （U 检验法） （D ）F检验法3．从一批零件中随机抽出100个测量其直径，测得的平均直径为5.2cm ，标准方差为1.6cm ，若这批零件的直径是符合标准5cm ，采用了t 检验法，在显著性水平α下，接受域为[ A ]（A ）2||(99)<t t α （B ）2||(100)<t t α （C ）2||(99)≥t t α （D ）2||(100)≥t t α4．设样本12,,,n X X X 来自正态分布2~(,)X N μσ，在进行假设检验时，采用统计量X t =是对于[ C ]（A ）μ未知，检验220σσ= （B ）μ已知，检验220σσ=（C ）2σ未知，检验0μμ= （D ）2σ已知，检验0μμ=二、计算题：1．已知某炼铁厂铁水含碳量在正常情况下，服从正态分布2(4.52,0.108)N ，现在测定了5炉铁水，其含碳量分别为4.29 4.33 4.77 4.35 4.36若标准差不变，给定显著性水平05.0=α，问（1）现在所炼铁水总体均值μ有无显著性变化？（2）若有显著性变化，可否认为现在生产的铁水总体均值 4.52μ<？010.02522: 4.52,: 4.52~(0,1)0.05 1.964.421,0.108|| 2.07 1.96H H x Z N z x Z μμασμ=≠========>提出假设： 选统计量 在给定显著性水平下，取临界值为， 由于 计算 所以，现在所炼铁水总体均值有显、.二著性变化。
概率论与数理统计习题及答案第八章
《概率论与数理统计》习题及答案第 八 章1．设12,,,n X X X L 是从总体X 中抽出的样本，假设X 服从参数为λ的指数分布，λ未知，给定00λ>和显著性水平(01)αα<<，试求假设00:H λλ≥的2χ检验统计量及否定域.解 00:H λλ≥ 选统计量 200122nii XnX χλλ===∑记212nii Xχλ==∑%则22~(2)n χχ%，对于给定的显著性水平α，查2χ分布表求出临界值2(2)n αχ，使22((2))P n αχχα≥=% 因 22χχ>%，所以2222((2))((2))n n ααχχχχ≥⊃≥%，从而 2222{(2)}{(2)}P n P n αααχχχχ=≥≥≥% 可见00:H λλ≥的否定域为22(2)n αχχ≥.2．某种零件的尺寸方差为21.21σ=，对一批这类零件检查6件得尺寸数据（毫米）：, , , , , 。
设零件尺寸服从正态分布，问这批零件的平均尺寸能否认为是毫米（0.05α=）.解 问题是在2σ已知的条件下检验假设0:32.50H μ= 0H 的否定域为/2||u u α≥ 其中29.4632.502.45 6.771.1X u -==⨯=-0.0251.96u =，因|| 6.77 1.96u =>，所以否定0H ，即不能认为平均尺寸是毫米。
3．设某产品的指标服从正态分布，它的标准差为100σ=，今抽了一个容量为26的样本，计算平均值1580，问在显著性水平0.05α=下，能否认为这批产品的指标的期望值μ不低于1600。
解 问题是在2σ已知的条件下检验假设0:1600H μ≥0H 的否定域为/2u u α<-，其中 158016005.1 1.02100X u -==⨯=-.0.051.64u -=-.因为0.051.02 1.64u u =->-=-，所以接受0H ，即可以认为这批产品的指标的期望值μ不低于1600.4．一种元件，要求其使用寿命不低于1000小时，现在从这批元件中任取25件，测得其寿命平均值为950小时，已知该元件寿命服从标准差为100σ=小时的正态分布，问这批元件是否合格（0.05α=）解 设元件寿命为X ，则2~(,100)X N μ，问题是检验假设0:1000H μ≥. 0H 的否定域为0.05u u ≤-，其中95010005 2.5100X u -==⨯=-0.05 1.64u = 因为0.052.5 1.64u u =-<-= 所以否定0H ，即元件不合格.5．某批矿砂的5个样品中镍含量经测定为(%)X ： 3.25,3.27,3.24,3.26,3.24设测定值服从正态分布，问能否认为这批矿砂的镍含量为3.25(0.01)α=解 问题是在2σ未知的条件下检验假设0: 3.25H μ=0H 的否定域为 /2||(4)t t α>522113.252,(5)0.00017,0.0134i i X S X X S ===-⨯==∑0.005(4) 4.6041t =3.252 3.252.240.3450.013X t -==⨯=因为0.005||0.345 4.6041(4)t t =<= 所以接受0H ，即可以认为这批矿砂的镍含量为.6．糖厂用自动打包机打包，每包标准重量为100公斤，每天开工后要检验一次打包机工作是否正常，某日开工后测得9包重量（单位：公斤）如下：99.3,98.7,100.5,101.2,98.3,99.7,99.5,102.1,100.5 问该日打包机工作是否正常（0.05α=；已知包重服从正态分布）解 99.98X =，92211(()) 1.478i i S X X ==-=∑， 1.21S =，问题是检验假设0:100H μ=0H 的否定域为/2||(8)t t α≥. 其中99.9810030.051.21X t -==⨯=-0.025(8) 2.306t =因为0.025||0.05 2.306(8)t t =<= 所以接受0H ，即该日打包机工作正常.7．按照规定，每100克罐头番茄汁中，维生素C 的含量不得少于21毫克，现从某厂生产的一批罐头中抽取17个，测得维生素C 的含量（单位：毫克）如下22,21,20,23,21,19,15,13,16, 23,17,20,29,18,22,16,25.已知维生素C 的含量服从正态分布，试检验这批罐头的维生素含量是否合格。
《概率论与数理统计》习题及答案 第八章
《概率论与数理统计》习题及答案第 八 章1.设12,,,n X X X 是从总体X 中抽出的样本,假设X 服从参数为λ的指数分布，λ未知,给定00λ>和显著性水平(01)αα<<，试求假设00:H λλ≥的2χ检验统计量及否定域. 解 00:H λλ≥选统计量 200122nii XnX χλλ===∑记212nii Xχλ==∑则22~(2)n χχ,对于给定的显著性水平α，查2χ分布表求出临界值2(2)n αχ,使22((2))P n αχχα≥=因 22χχ>，所以2222((2))((2))n n ααχχχχ≥⊃≥，从而 2222{(2)}{(2)}P n P n αααχχχχ=≥≥≥ 可见00:H λλ≥的否定域为22(2)n αχχ≥.2．某种零件的尺寸方差为21.21σ=,对一批这类零件检查6件得尺寸数据（毫米）：32．５6, 29.6６, 31.64, 30.00, 2１.87, 3１．0３。
设零件尺寸服从正态分布,问这批零件的平均尺寸能否认为是3２.50毫米(0.05α=）．解 问题是在2σ已知的条件下检验假设0:32.50H μ= 0H 的否定域为/2||u u α≥ 其中29.4632.502.45 6.771.1X u -==⨯=-0.0251.96u =，因|| 6.77 1.96u =>,所以否定0H ，即不能认为平均尺寸是3２．５毫米。
3．设某产品的指标服从正态分布,它的标准差为100σ=，今抽了一个容量为26的样本,计算平均值15８0，问在显著性水平0.05α=下,能否认为这批产品的指标的期望值μ不低于160０。
解 问题是在2σ已知的条件下检验假设0:1600H μ≥0H 的否定域为/2u u α<-，其中 158016005.1 1.02100X u -==⨯=-.0.051.64u -=-.因为0.051.02 1.64u u =->-=-,所以接受0H ，即可以认为这批产品的指标的期望值μ不低于１600.４．一种元件,要求其使用寿命不低于1０00小时，现在从这批元件中任取２５件,测得其寿命平均值为９5０小时,已知该元件寿命服从标准差为100σ=小时的正态分布，问这批元件是否合格?（0.05α=)解 设元件寿命为X ，则2~(,100)X N μ,问题是检验假设0:1000H μ≥． 0H 的否定域为0.05u u ≤-，其中95010005 2.5100X u -==⨯=-0.05 1.64u = 因为0.052.5 1.64u u =-<-= 所以否定0H ,即元件不合格.5.某批矿砂的５个样品中镍含量经测定为(%)X : 3.25,3.27,3.24,3.26,3.24设测定值服从正态分布,问能否认为这批矿砂的镍含量为3.25(0.01)α=？解 问题是在2σ未知的条件下检验假设0: 3.25H μ=0H 的否定域为 /2||(4)t t α>522113.252,(5)0.00017,0.0134i i X S X X S ===-⨯==∑0.005(4) 4.6041t =3.252 3.252.240.3450.013X t -==⨯=因为0.005||0.345 4.6041(4)t t =<=所以接受0H ，即可以认为这批矿砂的镍含量为3．２5.6．糖厂用自动打包机打包，每包标准重量为１00公斤，每天开工后要检验一次打包机工作是否正常，某日开工后测得9包重量(单位：公斤)如下: 99.3,98.7,100.5,101.2,98.3,99.7,99.5,102.1,100.5 问该日打包机工作是否正常(0.05α=；已知包重服从正态分布)?解 99.98X =,92211(()) 1.478i i S X X ==-=∑， 1.21S =,问题是检验假设0:100H μ=0H 的否定域为/2||(8)t t α≥. 其中99.9810030.051.21X t -==⨯=-0.025(8) 2.306t =因为0.025||0.05 2.306(8)t t =<= 所以接受0H ，即该日打包机工作正常.7．按照规定,每10０克罐头番茄汁中，维生素C 的含量不得少于2１毫克，现从某厂生产的一批罐头中抽取1７个,测得维生素C 的含量（单位：毫克)如下 22,21,20,23,21,19,15,13,16, 23,17,20,29,18,22,16,25.已知维生素C 的含量服从正态分布,试检验这批罐头的维生素含量是否合格。
概率论与数理统计第八章课后习题及参考答案
概率论与数理统计第八章课后习题及参考答案1．设某产品指标服从正态分布，它的均方差σ已知为150h ，今从一批产品中随机抽查26个，测得指标的平均值为1637h ．问在5%的显著性水平，能否认为这批产品的指标为1600h ？解：总体X ～)150,(2μN ，检验假设为0H ：1600=μ，1H ：1600≠μ．采用U 检验法，选取统计量nX U /00σμ-=，当0H 成立时，U ～)1,0(N ，由已知，有1637=x ，26=n ，05.0=α，查正态分布表得96.1025.0=u ，该检验法的拒绝域为}96.1{>u ．将观测值代入检验统计量得2577.142.293726/150********==-=u ，显然96.12577.1<=u ，故接受0H ，即可认为这批产品的指标为1600h ．2．正常人的脉搏平均为72次/min ，现某医生从铅中毒患者中抽取10个人，测得其脉搏(单位：次/min)如下：54，67，68，78，70，66，67，70，65，69设脉搏服从正态分布，问在显著性水平05.0=α下，铅中毒患者与正常人的脉搏是否有显著性差异？解：本题是在未知方差2σ的条件下，检验总体均值72=μ．取检验统计量为nS X T /0μ-=，检验假设为0H ：720==μμ，1H ：72≠μ．当0H 成立时，T ～)1(-n t ，由已知，有4.67=x ，93.5=s ，05.0=α，查t 分布表得262.2)9(025.0=t ，将观测值代入检验统计量得45.288.16.410/93.5724.67/0-=-=-=-=n s x t μ，显然)9(262.2447.2025.0t t =>=，故拒绝0H ，即铅中毒患者与正常人的脉搏有显著性差异．3．测定某溶液中的水分，得到10个测定值，经统计%452.0=x ，22037.0=s ，该溶液中的水分含量X ～),(2σμN ，μ与2σ未知，试问在显著性水平05.0=α下该溶液水分含量均值μ是否超过5%？解：这是在总体方差2σ未知的情况下，关于均值μ的单侧检验．检验假设为0H ：%5.0≤μ，1H ：%5.0>μ．此假设等价于检验假设0H ：%5.0=μ，1H ：%5.0>μ．由于2σ未知，取检验统计量为nS X T /0μ-=．当0H 成立时，T ～)1(-n t ，拒绝域为)}1(/{0-≤-n t n s x αμ，将观测值代入检验统计量得709.1)5.052.0(10/0=-=-=ns x t μ，由05.0=α，查t 分布表得833.1)9(05.0=t ，显然)9(833.1709.105.0t t =<=，所以接受0H ，即该溶液水分含量均值μ是否超过5%．4．甲、乙两个品种作物，分别用10块地试种，产量结果97.30=x ，79.21=y ，7.2621=s ，1.1222=s ．设甲、乙品种产量分别服从正态分布),(21σμN 和),(22σμN ，试问在01.0=α下，这两种品种的产量是否有显著性差异？解：这是在方差相等但未知的情况下检验两正态总体的均值是否相等的问题．检验假设为0H ：21μμ=，1H ：21μμ≠．由题可知，22221σσσ==未知，因此取检验统计量nm n m mn S n S m YX T +-+-+--=)2()1()1(2221，当0H 为真时，T ～)2(-+n m t ，该检验法的拒绝域为)}2({2/-+>n m t t α．由题设，10==n m ，97.30=x ，79.21=y ，7.2621=s ，1.1222=s ．将其代入检验统计量得n m n m mn S n S m yx t +-+-+--=)2()1()1(222166.4201810101.1297.26979.2197.30=⨯⨯⨯+⨯-=，由01.0=α，查t 分布表得878.2)18()2(005.02/==-+t n m t α．显然)18(878.266.4005.0t t t =>=，因此，拒绝0H ，即这两种品种的产量有显著性差异．5．某纯净水生产厂用自动灌装机装纯净水，该自动灌装机正常罐装量X ～)4.0,18(2N ，现测量某厂9个罐装样品的灌装量(单位：L)如下：0.18，6.17，3.17，2.18，1.18，5.18，9.17，1.18，3.18在显著性水平05.0=α下，试问：(1)该天罐装是否合格？(2)罐装量精度是否在标准范围内？解：(1)检验罐装是否合格，即检验均值是否为18，故提出假设0H ：18=μ，1H ：18≠μ，由于方差224.0=σ已知，取检验统计量为nX U /00σμ-=，当0H 为真时，U ～)1,0(N ，该检验法的拒绝域为}{2/αu u ≥．由题可知，9=n ，18=x ，将其代入检验统计量得09/4.01818/00=-=-=n x u σμ，由05.0=α，查标准正态分布表得96.1025.0=u ，显然，025.096.10u u =<=，故接受0H ，即该天罐装合格．(2)检验罐装量精度是否在标准范围内，即检验假设0H ：224.0≤σ，1H ：224.0>σ，此假设等价于0H ：224.0=σ，1H ：224.0>σ．由于18=μ已知，选取检验统计量为∑=-=n i i X12202)18(1σχ，当0H 为真时，2χ～)(2n χ，该检验法的拒绝域为)}({22n αχχ≥．由已知计算得625.6)18(112202=-=∑=n i i x σχ，查2χ分布表得307.18)10(205.0=χ，由此知)10(307.18625.6205.02χχ=<=，故接受0H ，即罐装量精度在标准范围内．6．某厂生产某型号电池，其寿命长期以来服从方差221600h =σ的正态分布，现从中抽取25只进行测量，得222500h s =，问在显著性水平05.0=α下，这批电池的波动性较以往有无显著变化？解：这是在均值未知的条件下，对正态总体方差的检验问题．检验假设为0H ：202σσ=，1H ：202σσ≠，其中160020=σ，取检验统计量为222)1(σχS n -=．当0H 为真时，2χ～)(2n χ，对于给定的显著性水平，该检验法的拒绝域为)}1({22/12-≤-n αχχ或)}1({22/2-≥n αχχ．将观测值25002=s 代入检验统计量得5.371600250024)1(222=⨯=-=σχs n ．对于05.0=α，查2χ分布表得401.12)24()1(2975.022/1==--χχαn ，364.39)24()1(2025.022/==-χχαn ，由于)24(364.395.37401.12)24(2025.022975.0χχχ=<=<=，故接受0H ，即这批电池的波动性较以往无显著变化．7．某工厂生产一批保险丝，从中任取10根试验熔化时间，得60=x ，8.1202=s ，设熔化时间服从正态分布),(2σμN ，在01.0=α下，试问熔化时间的方差是否大于100？解：本题是在均值未知的条件下，检验2σ是否大于100，是关于2σ的单侧检验问题．检验假设为0H ：1002≥σ，1H ：1002<σ，此假设等价于0H ：1002=σ，1H ：1002<σ，这是左侧检验问题，取检验统计量为2022)1(σχS n -=，当0H 为真时，2χ～)(2n χ，该检验法的拒绝域为)}1({212-≤-n αχχ．将10=n ，10020=σ，8.1202=s ，代入上述统计量得87.101008.1209)1(2022=⨯=-=σχs n ．对于01.0=α，查2χ分布表得0879.2)9(299.0=χ，显然)9(0879.287.10299.02χχ=>=，接受0H ，即熔化时间的方差大于100．本题如果将检验假设设为0H ：1002≤σ，1H ：1002>σ，即进行右侧检验，统计量得选取如上，则该检验法的拒绝域为)}1({22-≥n αχχ．对于01.0=α，查2χ分布表得666.21)9(201.0=χ，显然)9(666.2187.10201.02χχ=<=，接受0H ，即熔化时间的方差不大于100．注：若选取的显著性水平为3.0=α，用MATLAB 计算得6564.10)9(23.0=χ，从而有)9(6564.1087.1023.02χχ=<=，则应拒绝原假设，即熔化时间的方差大于100．上述结果说明了在观测值接近临界值时，原假设不同的取法会导致检验结果的不一样，如果用-p 值检验法则可避免上述矛盾．8．设有两个来自不同正态总体的样本，4=m ，5=n ，60.0=x ，25.2=y ，07.1521=s ，81.1022=s ．在显著性水平05.0=α下，试检验两个样本是否来自相同方差的总体？解：记两正态总体为),(211σμN 和),(222σμN ，其中1μ和2μ未知．检验假设为0H ：2221σσ=，1H ：2221σσ≠．取检验统计量为2221S S F =，当0H 为真时，F ～)1,1(--n m F ，该检验法的拒绝域为)}1,1({2/1--≤-n m F F α或)}1,1({2/--≥n m F F α．由题可知，05.0=α，4=m ，5=n ，将观测值代入检验统计量得39.181.1007.152221===s s F ，查F 分布表得98.9)4,3()1,1(025.02/1==---F n m F α，066.010.151)3,4(1)4,3()1,1(025.0975.02/====--F F n m F α．由此知)4,3(98.939.1066.0)4,3(025.0975.0F F =<<=，观测值没有落入拒绝域内，接受0H ，即两个样本来自相同方差的总体．9．某厂的生产管理员认为该厂第一道工序加工完的产品送到第二道工序进行加工之前的平均等待时间超过90min ．现对100件产品的随机抽样结果的平均等待时间为96min ，样本标准差为30min ．问抽样的结果是否支持该管理员的看法？(05.0=α)．解：这是非正态总体均值的检验问题，用X 表示第一道工序加工完的产品送到第二道工序进行加工之前的等待时间，设其均值为μ，依题意，检验假设为0H ：90≤μ，1H ：90>μ．由于100=n 为大样本，故用U 检验法．总体标准差σ未知，用样本标准差S 代替．取检验统计量为100/90S X U -=，当0H 为真时，近似地有U ～)1,0(N ，该检验法的拒绝域为}{αu u >．由题可知，96=x ，30=s ，100=n ．对于05.0=α，查标准正态分布表得645.105.0==u u α．将观测值代入检验统计量得2100/309096100/90=-=-=s x u ，显然，05.0645.12u u =>=，故拒绝0H ，即平均等待时间超过90分钟，也即支持该管理员的看法．10．一位中学校长在报纸上看到这样的报道：“这一城市的初中学生平均每周看8h 电视．”她认为她所领导的学校，学生看电视时间明显小于该数字．为此，她向学校的100名初中学生作了调查，得知平均每周看电视的时间5.6=x h ，样本标准差为2=s h ，问是否可以认为校长的看法是对的？(05.0=α)解：初中生每周看电视的时间不服从正态分布，这是非正态总体均值的假设检验问题．检验假设为0H ：8=μ，1H ：8<μ．由于100=n 为大样本，故用U 检验法，取检验统计量为nS X U /μ-=，当0H 为真时，近似地有U ～)1,0(N ，该检验法的拒绝域为}{αu u -<．由题可知，5.6=x ，2=s ，100=n ．对于05.0=α，查标准正态分布表得645.105.0==u u α．将观测值代入检验算统计量得5.7100/285.6-=-=u ，显然，05.0645.15.7u u -=-<-=，故拒绝0H ，即初中生平均每周看电视的时间少于8小时，这位校长的看法是对的．11．已知某种电子元件的使用寿命X (单位：h)服从指数分布)(λE ．抽查100个元件，得样本均值950=x h ．能否认为参数001.0=λ？(05.0=α)解：X ～)(λE ，λ1)(=X E ，21)(λ=X D ，由中心极限定理知，当n 充分大时，近似地有n X n X U )1(/1/1-=-=λλλ～)1,0(N ．由题可知001.00=λ，检验假设可设为0H ：0λλ=，1H ：0λλ≠．取检验统计量为n X n X U )1(/1/1000-=-=λλλ，当0H 为真时，近似地有U ～)1,0(N ，该检验法的拒绝域为}{2/αu u ≤．由题知，100=n ，950=x ，05.0=α，查标准正态分布表知96.1025.02/==u u α．将观测值代入检验统计量得5.0-=u ，显然，025.096.15.0u u =<=，故接受0H ，即可以认为参数001.0=λ．12．某地区主管工业的负责人收到一份报告，该报告中说他主管的工厂中执行环境保护条例的厂家不足60%，这位负责人认为应不低于60%，于是他在该地区众多的工厂中随机抽查了60个厂家，结果发现有33家执行了环境保护条例，那么由他本人的调查结果能否证明那份报告中的说法有问题？(05.0=α)解：设执行环境保护条例的厂家所占的比率为p ，则检验假设为0H ：6.0≥p ，1H ：6.0<p ，上述假设等价于0H ：6.0=p ，1H ：6.0<p ．引入随机变量⎩⎨⎧=.,0,,1条例抽到的厂家为执行环保例抽到的厂家执行环保条X 则X ～),1(p B ，p X E =)(，)1()(p p X D -=，由中心极限定理，当0H 为真时，统计量60/)6.01(6.06.0/)1(000--=--=X n p p p X U 近似地服从)1,0(N ．对于显著性水平05.0=α，查标准正态分布表得645.105.0==u u α，由此可知05.0}645.160/)6.01(6.06.0{≈-<--X P ．以U 作为检验统计量，该检验法的拒绝域为}645.1{05.0-=-<u u ．将55.06033==x 代入上述检验统计量，得791.060/)6.01(6.06.055.0/)1(000-=--=--=n p p p x u ，显然，05.0645.1791.0u u -=->-=，故接受0H ，即执行环保条例的厂家不低于60%，也即由他本人的调查结果证明那份报告中的说法有问题．13．从选取A 中抽取300名选民的选票，从选取B 中抽取200名选民的选票，在这两组选票中，分别有168票和96票支持所选候选人，试在显著性水平05.0=α下，检验两个选区之间对候选人的支持是否存在差异．解：这是检验两个比率是否相等的问题，检验假设为0H ：21p p =，1H ：21p p ≠．取检验统计量为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=m n p p p pU 11)ˆ1(ˆˆˆ21，其中)(1ˆ2121m n Y Y Y X X X mn p ++++++++= 是21p p p ==的点估计．当0H 为真时，近似地有U ～)1,0(N ．由题可知300=n ，168=n μ，200=m ，96=m μ，又56.0300168ˆ1==p ，48.020096ˆ2==p ，528.0500264ˆ==++=m n p m n μμ．由此得统计量的观测值为755.11201472.0528.048.056.0=⨯⨯-=u ，由05.0)96.1(==>αU P ，得拒绝域为}96.1{>u ，因为96.1755.1<=u ，故接受0H ，即两个选区之间对候选人的支持无显著性差异．。
概率论与数理统计第8章假设检验习题及答案
62第8章 假设检验一、填空题1、 对正态总体的数学期望m 进行假设检验，如果在显著性水平0.05下，接受假设00:m m =H ，那么在显著性水平0.01下，必然接受0H 。
2、在对总体参数的假设检验中，若给定显著性水平为a ，则犯第一类错误的概率是a 。
3、设总体),(N ~X 2s m ，样本n 21X ,X ,X ，2s未知，则00:H m =m ，01:H m <m 的拒绝域为 )}1(/{0--<-n t nS X a m ，其中显著性水平为a 。
4、设n 21X ,X ,X 是来自正态总体),(N 2s m 的简单随机样本，其中2,sm 未知，记å==n1i i X n 1X ，则假设0:H 0=m 的t 检验使用统计量=T Qn n X )1(-.二、计算题1、某食品厂用自动装罐机装罐头食品，规定标准重量为250克，标准差不超过3克时机器工作 为正常，每天定时检验机器情况，现抽取16罐，测得平均重量252=X 克，样本标准差4=S 克，假定罐头重量服从正态分布，试问该机器工作是否正常？解：设重量),(~2s m N X05.016==a n 4252==S X(1)检验假设250:0=m H 250:1¹m H ， 因为2s 未知，在0H 成立下，)15(~/250t nS X T -=拒绝域为)}15(|{|025.0tT >，查表得1315.2)5(025.0=¹t由样本值算得1315.22<=T ，故接受0H (2)检验假设9:20=s H9:201>s H因为m 未知，选统计量 222)1(s S n x -=在0H 成立条件下，2x 服从)15(2x 分布，拒绝域为)}15({205.02x x >，查表得996.24)15(205.0=x ，现算得966.24667.26916152>=´=x 拒绝0H ，综合(1)和(2)得，以为机器工作不正常2、一种电子元件，要求其使用寿命不得低于1000小时，现在从一批这种元件中随机抽取25 件，测得其寿命平均值为950小时，已知该种元件寿命服从标准差100=s 小时正态分布， 试在显著性水平0.05下确定这批产品是否合格. 解：设元件寿命),(~2s m N X ，2s 已知10002=s，05.0,950,25===a X n检验假设1000:0=m H1000:1<m H在2s 已知条件下，设统计量)1,0(~/1000N nX s m -=拒绝域为}{05.0mm<，查表得645.195.005.0-=-=m m而645.15.2205025/1001000950-<-=-=-=m拒绝假设0H 选择备择假设1H ，所以以为这批产品不合格.3. 对 显 著 水 平 a ， 检 验假 设 H 0 ; m = m 0， H 1 ; m ¹ m 0， 问当 m 0， m ， a 一定 时 ， 增大样本量 n 必 能 使 犯 第 二 类 错 误 概 率 b减 少 对 吗 ？并 说 明 理 由 。
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第七章 假设检验三、典型题解例1：某车间用一台包装机包装葡萄糖, 包得的袋装糖重是一个随机变量, 它服从正态分布.当机器正常时, 其均值为0.5千克, 标准差为0.015千克.某日开工后为检验包装机是否正常, 随机地抽取它所包装的糖9袋, 称得净重为(千克):0.498 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512,问机器是否正常?解: 根据样本值判断5.05.0≠=μμ还是.提出两个对立假设0100:5.0:μμμμ≠==H H 和选择统计量：)1,0(~/0N nX Z σμ-=取定0.05，则/20.0251.96,zz 又已知9, 0.015, n 由样本计算得0.511x ，02.2 1.96/xn，于是拒绝假设0H , 认为包装机工作不正常.例2：某工厂生产的固体燃料推进器的燃烧率服从正态分布),(2σμN ，s cm s cm /2,/40==σμ，现用新方法生产了一批推进器，从中随机取25n 只，测得燃烧率的样本均值为s cm x /25.41=.设在新方法下总体均方差仍为s cm /2，问这批推进器的燃烧率是否较以往生产的推进器的燃烧率有显著的提高？（取显著性水平05.0=α） 解：根据题意需要检验假设00:40H （即假设新方法没有提高了燃烧率）,10:H （即假设新方法提高了燃烧率）,这是右边检验问题，拒绝域为00.051.645/xzz n，由3.125 1.645/xzn可得z 值落到拒绝域中故在显著性水平0.05 下拒绝0 H .即认为这批推进器的燃烧率较以往有显著提高.例3：某切割机在正常工作时, 切割每段金属棒的平均长度为10.5cm, 标准差是0.15cm, 今从一批产品中随机的抽取15段进行测量, 其结果如下:7.102.107.105.108.106.109.102.103.103.105.104.101.106.104.10假定切割的长度服从正态分布, 且标准差没有变化, 试问该机工作是否正常? （取显著性水平05.0=α） 解：因为2~(,), 0.15X N ，要检验假设 0:10.5,H 1:10.5H其中,15=n ,48.10=x ,05.0=α 15/15.05.1048.10/0-=-n x σμ则,516.0-=查表得,645.105.0=z 于是0.050.5161.645/xz n，故接受0H ，认为该机工作正常.例4：如果在例3中只假定切割的长度服从正态分布, 问该机切割的金属棒的平均长度有无显著变化?解：依题意22~(,), ,X N 均为未知，要检验假设01:10.5,:10.5,H H,15=n ,48.10=x ,05.0=α,237.0=s 010.4810.50.327/0.237/15xts n，查t 分布表得：/20.025(1)(14)2.14480.327,tn t t故接受0 H ，认为金属棒的平均长度无显著变化.例5：某种电子元件的寿命X (以小时计)服从正态分布,2,σμ均为未知. 现测得16只元件的寿命如下:159280101212224379179264222362168250149260485170问是否有理由认为元件的平均寿命大于225(小时)? 解：依题意需检验假设 ,225:,225:100>=≤μμμH H 取0.05, ,16=n ,5.241=x ,7259.98=s 查表得：0.05(15)1.75310.6685 /xt ts n故接受0 H ，认为原件的平均寿命不大于225小时.例6：在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法的建议是否会增加钢的得率, 试验是在同一只平炉上进行的. 每炼一炉钢时除操作方法外, 其它条件都尽可能做到相同.先采用标准方法炼一炉, 然后用建议的新方法炼一炉, 以后交替进行, 各炼10炉, 其得率分别为(1)标准方法: 78.1, 72.4, 76.2, 74.3, 77.4, 78.4, 76.0, 75.5, 76.7, 77.3； (2)新方法:79.1, 81.0, 77.3, 79.1, 80.0, 78.1, 79.1, 77.3, 80.2, 82.1； 设这两个样本相互独立, 且分别来自正态总体，问建议的新操作方法能否提高得率? （取0.05）解：需要检验假设012112: 0, :0.H H 分别求出标准方法和新方法下的样本均值和样本方差：,101=n ,23.76=x ,325.321=s ,102=n ,43.79=y ,225.222=s且22212(101)(101) 2.775,10102ws s s 查表可知0.05(18)1.7341,t 查表7-1知其拒绝域).2(21-+-≤n n t t α因为111010x y ts 295.4-=,7341.1)18(05.0-=-≤t 所以拒绝0, H 即认为建议的新操作方法较原来的方法为优.例7：有两台光谱仪Ix , Iy ,用来测量材料中某种金属的含量, 为鉴定它们的测量结果有无显著差异, 制备了9件试块(它们的成分、金属含量、均匀性等各不相同), 现在分别用这两台机器对每一试块测量一次, 得到9对观察值如下:()()()11.013.012.011.018.018.012.009.010.0%89.077.068.059.078.032.052.021.010.0%00.190.080.070.060.050.040.030.020.0%---=y x d y x 问能否认为这两台仪器的测量结果有显著的差异? )01.0(=α解：本题中的数据是成对的, 即对同一试块测出一对数据, 我们看到一对与另一对之间的差异是由各种因素, 如材料成分、金属含量、均匀性等因素引起的. [这也表明不能将光谱仪Ix 对9个试块的测量结果(即表中第一行)看成是一个样本, 同样也不能将表中第二行看成一个样本, 因此不能用表7-3中第1栏的检验法作检验].而同一对中两个数据的差异则可看成是仅由这两台仪器性能的差异所引起的. 这样, 局限于各对中两个数据来比较就能排除种种其他因素, 而只考虑单独由仪器的性能所产生的影响.表中第三行表示各对数据的差,i i i y x d -=设12,,,n d d d 来自正态总体2(,)dN ，这里d，2均为未知，若两台机器的性能一样,则对各数据的差异12,,,n d d d 属随机误差随机误差可以认为服从正态分布, 其均值为零.要检验假设01:0, :0.ddH H 设12,,,,n d d d 的样本均值d 样本方差2,s 按表7-1中第1栏中关于单个正态分布均值的 t 检验, 知拒绝域为：,)1(/02/-≥-=n t ns d t α由9,n ,3554.3)8()8(005.02/==t t α,06.0=d ,1227.0=s 可知 1.4673.3554,t 所以接受认为这两台仪器0 H ，认为这两台仪器的测量结果无显著的差异.例8:某厂生产的某种型号的电池, 其寿命长期以来服从方差 2σ =5000 (2小时) 的正态分布, 现有一批这种电池, 从它生产情况来看, 寿命的波动性有所变化. 现随机的取26只电池, 测出其寿命的样本方差29200(2小时). 问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化?（0.02） 解：要检验假设2201:5000,:5000,H H,26=n ,02.0=α,500020=σ,314.44)25()1(201.022/==-χχαn,524.11)25()1(299.022/1==--χχαn拒绝域为: )1(22≤-σs n ,524.11 )1( 22≥-σs n 或44.314因为220(1)2592004644.3145000n s ，所以拒绝0 H ，认为这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化.例9:一自动车床加工零件的长度服从正态分布),(2σμN ，原来加工精度18.020=σ，经过一段时间生产后，抽取这车床所加工的31=n 个零件，测得数据如下所示：问这一车床是否保持原来得加工精度.解：由题意要检验假设18.0:;18.0:2120≠=σσH H ，此时我们只要考虑单侧的情形，由题中所给的数据计算得：∑==-=712125.4418.0)(i i x x n χ，对于给定的05.0=α，查自由度为301=-n 的2χ分布分位数表得临界值8.43)30(295.0=χ，此时)30(295.02χχ>，因此拒绝原假设0H ，这说明自动车床工作一段时间后精度变差.对于单个正态总体有关方差检验的问题，我们可用2χ—检验来解决，但如果要比较两个正态总体的方差是否相等，我们就要用下面的F —检验. 例10: 一枚骰子掷了100次，得结果如下表点数123456频数i f13 14 20 17 15 21在05.0=α下，检验这枚骰子石头均匀？ 解：用X 表示骰子掷出的点数，{}i P xi p ，1,2,...,6i =.如果骰子是均匀的的，则1/6ip ，1,2,...,6i =.检验假设0H ：1/6ip计算统计量2χ的观察值，得2222100100100100[(13)(14)...(21)] 3.26666查表得20.05(61)11.071.经比较知220.053.2(61)11.071故接受，认为骰子是均匀的.四、练习题1.某工厂在正常情况下生产电灯泡的使用寿命（单位：小时）服从正态分布2(1600,80)N .某天从该厂生产的一批灯泡中随机抽取10个，测得它们的寿命均值1548x 小时.如果灯泡寿命的标准差不变，能否认为该天生产的灯泡寿命均值1600小时？参考答案：0.0252.06 1.96U U =>=，即认为该天生产的灯泡的寿命均值1600小时.2.某化学日用品有限责任公司用包装机包装洗衣粉, 洗衣粉包装机在正常工作时, 装包量)2,500(~2N X (单位:g ), 每天开工后, 需先检验包装机工作是否正常. 某天开工后,在桩号的洗衣粉中任取9袋, 其重量如下:503,510,497,498,498,506,502,499,505假设总体标准差σ不变,即,2=σ 试问这天包装机工作是否正常?)05.0(=α 参考答案：，3.已知某种电子元件的平均寿命为3000小时.采用新技术后抽查20个，测得电子元件寿命的样本均值3100x小时，样本标准差170s 小时.设电子元件的寿命服从正态分布，试问采用新技术后电子元件的平均寿命是否有显著提高？(取显著性水平0.01)参考答案：0.992.63(19)2.54tt ，认为采用新技术后电子元件的平均寿命有显著提高.4. 某次考试学生成绩服从正态分布，从中随机抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5，标准差为15，在显著性水平0.05α=下，是否可认为这次考试全体考生的平均成绩高于70分？参考答案：0.051.4 1.6869t t =-<=，故认为这次考试全体考生成绩不高于70分. 5.从甲地发送讯号到乙地，甲地发送的真实讯号值为，而乙地收到的讯号值是服从正态分布2(,)N 的随机变量.现甲地重复发送同一讯号9次，乙地收到的讯号平均值为8.15，标准差为0.2，试问乙地是否有理由猜测甲地发送的讯号值为8？如果已知00.22，结论又该如何呢？(取显著性水平0.05)参考答案：0.975|| 2.25(8) 2.306t t =<=,即可猜测甲地发送的讯号值为8. 6.自动车床加工的某种零件的直径(单位：mm )服从正态分布2~(,)X N ，原来的加工精度20.09.经过一段时间后，需要检验是否保持原有加工精度，为此，从该车床加工的零件中抽取30个，测得数据如下： 36问加工精度是否变差(显著性水平0.05)？参考答案：220.9543.3(29)42.6,即可认为该自动车床的加工精度变差了.7.某灯泡厂在采用一种新工艺的前后，分别抽取10个灯泡进行寿命(单位：小时)检测，计算得到：采用新工艺前灯泡寿命的样本均值为2460，样本标准差为56；采用新工艺后灯泡寿命的样本均值为2550，样本标准差为48.设灯泡的寿命服从正态分布，是否可以认为采用新工艺后灯泡的平均寿命有显著提高(取显著性水平0.01)?参考答案：因为未知方差未知，为此先检验假设2222012112::H H ，得0.951.36(9,9) 3.18F F ,即认为两者无显著差异，再检验012112::H H 得，0.993.86(18)2.55tt ，可认为采用新工艺后灯泡的平均寿命有显著提高.8.机床厂某日从两台机器所加工的同一种零件中，分别抽取若干个测量其尺寸，得： 甲机器的：6.2,5.7,6.5,6.0,6.3,5.8,5.7,6.0,6.0,5.8,6.0;乙机器的：5.6,5.9,5.6,5.7,5.8,6.0,5.5,5.7,5.5.问这两台机器的加工精度是否有显著差异(0.05）？参考答案：0.9750.0250.02511(10,8) 2.13(10,8) 4.30(8,10) 3.85F F F F ==<=<=，即没有发现两台机器加工零件的尺寸的精度有显著性差别.9.某校毕业班历年语文毕业成绩接近2(78.5,7.6)N 今年毕业40名学生，平均分数76.4分，有人说这届学生的语文水平和历届学生相比不相上下，这个说法能接受吗（显著性水平0.05）？参考答案：0.0251.75 1.96U U =<=，故可以认为这届学生的语文水平和历届学生相比不相上下.10.某厂生产的电子元件，其电阻值服从正态分布，其平均电阻值2.6()Ω，今该厂换了一种材料生产同类产品，从中抽查了20个，测得其样本电阻均值为3.0()Ω，样本标准差0.11S =()Ω，问新材料生产的元件其平均电阻较之原来的元件的平均电阻是否有明显的提高（0.05）？参考答案：0.0516.26(19) 1.729t t =>=，认为换材料后电阻平均值有明显提高. 11. 已知某种溶液中水分含量2~(,)X N ，要求平均水分含量不低于0.5%，今测定该溶液9个样本，得到平均水分含量为0.451%，均方差S=0.039%试在显著性水平0.05下，检验溶液水分含量是否合格.参考答案：0.053.77(8) 1.8595t t =-<=，即认为溶液水分含量低于0.5%，不合格. 12. 某车间生产铜丝，其中一个主要质量指标是折断力大小，用X 表示该车间生产的铜丝的折断力，根据过去资料来看，可以认为X 服从2(,)N μσ，0285,4,kg kg μσ==今换了一批原材料，从性能上看，估计折断力的方差不会有什么大变化，但不知道折断力的大小与原先有无差别？从现今产品中任取10根，测得折断力数据如下：289,286,285,284,285,285,286,286,298,292. （单位：kg ）. 参考答案：先检验方差22200:4H σσ==2210:H σσ≠得2220.9750.025(9) 2.7010.65(9)19.0χχχ=<=<=，故认为方差无变化.在方差224σ=已知的条件下，检验 00:285H μμ==，10:H μμ≠，得0.0252.05 1.96U U =>=，故认为铜丝折断力大小与原先有显著性差异.13.为研究某地两民族间家庭规模是否有所不同，各做了如下的独立的随机抽样：民族甲：调查户数112n =，均值1 6.8X =，方差1 1.5S = 民族甲：调查户数212n =，均值2 5.3X =，方差20.9S =试问能否认为甲民族的家庭平均人口高于乙民族的家庭平均人口（显著性水平0.05α=，并认为家庭人口服从正态分布，且方差相等）？参考答案：0.0250.4951<(22) 2.0739t t ==，故认为甲民族的家庭平均人口高于不乙民族的家庭平均人口.14.某卷烟厂生产甲，乙两种香烟，分别对它们的尼古丁含量（单位：毫克）作了测定，结果如下：甲：抽取子样数为6，均值25.50X =，方差21 6.25S = 乙：抽取子样数为6，均值25.67Y =，方差229.22S =试问这两种香烟的尼姑丁含量有无显著差异（显著性水平0.05α=，并认为这两种烟的尼古丁含量都服从正态分布，且方差相等）？参考答案：0.025-0.1059<(10) 2.2281t t ==，故认为两种香烟尼姑丁含量无显著差异. 15.用两种工艺生产的某种电子元件的抗击穿强度X 和Y 为随机变量，分布分别为211(,)N μσ和222(,)N μσ（单位：V ）.某日分别抽取9只和6只样品，测得抗击穿强度数据分别为19,,x x 和16,,,y y 算得99211370.80,15280.17,ii i i xx ====∑∑66211204.60,6978.93.ii i i yy ====∑∑检验X 和Y 的方差有无明显差异（取0.05）.参考答案：0.9750.0250.025(8,5)1/(5,8)0.14790.9693(8,5) 4.82F F F F ==<=<=，认为X Y 和的方差无明显差异.16.需要比较两种汽车用的燃料的辛烷值，得数据：燃料的辛烷值越高，燃料质量越好，因燃料较燃料A 总体价格便宜，因此，如果两种辛烷值相同时，则使用燃料B.设两总体的分布均为正态的，而且两样本相互独立，问应采用哪种燃料（取0.1α=）？参考答案：先检验两个总体方差是否有显著性差异，得0.050.950.051(11,11) 2.820.926(11,11)0.355(11,11)F F F F =>=>==，故可认为两种燃料总体的方差相等. 再检验01:0,:0A B A B H H μμμμ-=->，0.012.19(22) 2.5083t t =<=，采用燃料B .17.某厂近年来发生了63次试过，按星期几统计如下问：事故的发生是否与星期几有关？（05.0=α） 参考答案：220.051.66(61)11.071，故事故发生与星期几没有关系.。