3.1《不等式与不等关系--基本性质》课件(新人教必修5).
高中数学 3.1 不等式与不等关系课件 新人教A版必修5
a <b，则a-b为a负数b. a b 0
第三十一页，共43页。
例1．比较(bǐjiào)x2－x与x－2的大小.
解：(x2－x)－(x－2)
… … … …作差
= x2－2x +2 = (x－1)2 +1，… … … …变形
第十三页，共43页。
分析：设需A型卡车x辆，B型卡车y辆，依据题意应有如下不等关 系：
（1）出车辆数不得超过10辆； （2）运输(yùnshū)物资不得少于180吨； （3）每种类型的车辆数受实际条件限制。
我们还可以借助表格使问题(wèntí)明朗化， 表格如下:
A型
B型
限制
车辆数
x
y
10
运输物资
第八页，共43页。
“东方红一号”与“神舟七号”部分参数的对比见下表，请把表格补充 (bǔchōng)完整。
“东方红一号”与“神舟七号”部分(bù fen)参数对比表
近地点
s/km
远地点
s/km
绕地球一 周t/min
质量m/kg
“东方红
一号” 439
2384
114
173
（a）
“神舟七 号”（b）
200
分析： a m a bm b
第十二页，共43页。
典型例题： 例1、某运输公司(ɡōnɡ sī)接受了向抗震救 灾地区每天至少送180吨支援物资的任务。 已知该公司(ɡōnɡ sī)有8辆载重6吨的A型卡 车和4辆载重为10吨的B型卡车，有10名驾驶 员，每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次， B型卡车3次。列出调配车辆的数学关系式。
2x 8y 12000
3-1《不等式与不等关系》课件(共29张PPT)
abab0 a b ab 0 abab0
作差比较法
这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是推导不等式的性质Байду номын сангаас基础.
作差比较法其一般步骤是:
作差→变形→判断符号→确定大小.
因式分解、配方、 通分等手段
比较两个数(式)的大小的方法:
例2．比较x2－x与x－2的大小.
am a
am a
作差
变形 定符号 确定大小
问题探究（三）不等式的性质的应用
性质１:对称性
a<b
b>a
性质２:传递性
a b，b c a c
性质３:可加性
a b ac bc
性质４:同正可乘性
a b，c 0 ac bc a b，c 0 ac bc
性质５:加法法则 (同向不等式可相加)
故选A．
变式 5、给出下列结论： ①若 ac>bc，则 a>b； ②若 a<b，则 ac2<bc2； ③若1a<1b<0，则 a>b； ④若 a>b，c>d，则 a－c>b－d； ⑤若 a>b，c>d，则 ac>bd. 其中正确结论的序号是________．
[答案] ③
问题探究（四）利用不等式的性质求取值范围
例 6、已知－6<a<8,2<b<3，分别求 2a＋b，a－b，ab的取值范围．
分析:欲求 a－b 的取值范围，应先求－b 的取值范围，欲求 ab的取值范围，应先求1b的取值范围．
解析:∵－6<a<8，∴－12<2a<16， 又∵2<b<3，∴－10<2a＋b<19. ∵2<b<3，∴－3<－b<－2，∴－9<a－b<6. ∵2<b<3，∴13<1b<12， ∵－6<a<8，∴－2<ab<4.
高中数学新人教版必修五3.1不等关系与不等式PPT课件
[例 1] 某矿山车队有 4 辆载重为 10 t 的甲型卡车和 7 辆 载重为 6 t 的乙型卡车，有 9 名驾驶员．此车队每天至少要运 360 t 矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返 6 次，乙 型卡车每辆每天可往返 8 次，写出满足上述所有不等关系的不 等式．
[解] 设每天派出甲型卡车 x 辆，乙型卡车 y 辆．
[活学活用] 1．用不等式(组)表示下列问题中的不等关系： (1)限速 80 km/h 的路标； (2)桥头上限重 10 吨的标志； (3)某酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量 f 应不多 于 2.5%，蛋白质的含量 p 不少于 2.3%.
解：(1)设汽车行驶的速度为 v km/h， 则 v≤80. (2)设汽车的重量为 ω 吨，则 ω≤10.
推论(同向同正可乘性)： ac>>db>>00⇒ac>bd； (5)正数乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N*，n≥1)；
(6)正数开方性：a>b>0⇒n
n a>
b(n∈N*，n≥2)．
[化解疑难] 1．在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不 可强化或弱化成立的条件． 2．要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条 性质是否具有可逆性．
问题 3：若 a＞b，则 ac＞bc，对吗？试举例说明． 提示：不一定正确，若 a＝2，b＝1，c＝2 正确．c＝－2 时不正确．
[导入新知] 不等式的性质
(1)对称性：a>b⇔b<a； (2)传递性：a>b，b>c⇒a>c；
(3)可加性：a>b⇒a＋c>b＋c.
推论(同向可加性)： ac>>db⇒a＋c>b＋d； (4)可乘性： ac>>0b⇒ac>bc； ac<>0b⇒ac<bc；
高中数学人教必修五课件3.1不等关系与不等式
之前，我们已经学过了相等关系.5210⨯=a a 2a +=回顾知识大小相等相等的性质：（1）a=a(自反性）；（2）若a=b,则b=a(对称性）；（3）如果a ＝b ，且b ＝c ，那么a ＝c （传递性 ）.新课导入但是，我们知道，现实生活中，存在着很多不等关系.如：线段的长短不同.人们还经常用长与短，高与矮，轻与重，大与小，不超过或不少于来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系.a≤c 3x+2>6教学目标知识与能力1.通过具体情境建立不等观念，并能用不等式或不等式组表示不等关系；2.了解不等式或不等式组的实际背景；3.能用不等式或不等式组解决简单的实际问题.过程与方法1.采用探究法，按照阅读、思考、交流、分析，抽象归纳出数学模型，从具体到抽象再从抽象到具体的方法进行启发式教学；2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用 .情感态度与价值观1.通过具体情境，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系，鼓励学生用数学观点进行观察、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、改变学生的数学学习态度；2.学习过程中，通过对问题的探究思考、广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量.了解常用的不等关系，初步了解不等式的概念；学会判断不等关系.掌握常用的不等关系，学会现实生活像数学中的转化. 教学重难点重点难点例如，限速40km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度不超过40km/h ，写成不等式是什么呢？关键词“不超过”答：汽车的速度应不超过40km/h,不等式应为v≤40.数学中的不等关系某品牌酸奶的质量规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，写成不等式是什么？答：根据题意，上题写成不等式应为：f≥2.5%p≥2.3%多喝酸奶身体棒！！1、现实生活中很多量的不等关系可以用数学中量的不等关系表示；2、同学们在学习过程中应多于实际相结合，在现实中寻找不等关系.具体问题1.设点A与平面a的距离为d，B为平面a上任一点，则可以得到什么不等关系？答：应为d≤︱AB︱.AdB2.某种杂志原以2.5元的价格销售，可以售关键词“不低于”出8万本.据调查，每提高0.1元，销量减少2000本.那么，如把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？分析：若杂志的定价为x元，则销售的总收入为(8-(x-2.5)/0.1×0.2) ×x万元.那么不等关系“销售的总收入不低于20万元”可以表示成(8-(x-2.5)/0.1×0.2) ×x≥20.答：不等式为(8-(x-2.5)/0.1×0.2) ×x≥20.3.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管结成500mm和600mm两种.根据生产的要求，600mm 钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍.分析：假设截得500mm钢管x根，截得600mm的钢管y根.根据题意，应有如下关系:（1）截得两种钢管的总长度不能超过4000mm;(2)截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的三倍；（3）截得两种钢管的数量不能为负.要同时满足上述三个条件，可以用下面不等式组来表示：500x+600Y≤4003x≥yx≥0y≥01、同学们在现实生活中，应注重寓所学数学知识的结合；2、运用数学知识解决实际问题，可以使实际问题变得简化.我们知道，等式有一些基本性质，如“等式的两边加（减）同一个数，结果不变”.不等式知否也有类似的性质呢？从实数的基本性质（任意两个数的和与积都是正数）出发，我们可以证明常用的不等式的基本性质：()⇒1a >b,b >c a >c()c b c a b a 2+>+⇒>()bcac 0c b,a 3>⇒>>()bcac 0c b,a 4<⇒<>怎么证呢？？()ca 0c -a 0c -b b a 0c b 0b a 1>∴>⇒>+-∴--，〉，〉()c b c a 0c)(b c a 0b a b a 2+>+∴>+-+⇒>->，证明：()bcac 0bc ac b)c (a 0c 0,b a 0c b,a 3>⇒>-=-⇒>>-⇒>>()().类似与34要自己思考啊！>>⇒>>⇒+>+>>⇒>><⇒<(1)a b,b c a c(2)a b a c b c(3)a b,c 0ac bc(4)a b,c 0ac bc利用上述基本性质，可证明下述性质吗？ ()()()n n nn b a ,b a N n 0,b a 3bdac 0d c 0,b a 2db c a d c b,a 1>>⇒∈>>>⇒>>>>+>+⇒>>()d b c a 0d -c b -a 0d -c 0,b -a d c b,a d-c b -a d)(b c a 1+>+⇒>+∴>>∴>>+=+-+ ()bdac 0d)-b(c 0,b)-c(a 0;b 0,c 0,d -c 0,b -a d c b,a d)-b(c b)-c(a bd-cb cb ac bdac 2>∴>>⇒>>>>∴>>+=+-=- 证明：()()().b a .b,a )b (a ,b a .b a .b a n n n n n n n n n n n n >∴<<<>>矛盾假设用反证法证再根据数学归纳法得2由3() () ()>>⇒+>+ >>>>⇒>>>∈⇒>>n n n n1a b,c d a c b d2a b0,c d0ac bd3a b0,n N a b,a b某旅游团旅游，共80人.已知有甲乙两种客车，甲型号比乙型号少5辆；若只选甲型，则每辆车10人，车不够；若只选乙型车，则每辆9人，车多余.设甲型车x辆，用不等式表示题中的不等关系.解：设甲型车x辆，则有10x<809(x+5)>801a >b >0ab >0,>0ab 1111a >b ,ab ab b ac c c <0,>.a b因,所以于是即××>解： c c a >b >0,c <0,>.a b已知求：证课堂小结1、代数式的大小比较或证明通常用作差比较法；2、比较大小或证明的一般过程为：作差，化积，判断，结论；3、常用不等式：()c a c b b,a >⇒>>1()c b c a b a +>+⇒>2()bc ac 0c b,a >⇒>>3()bcac 0c b,a <⇒<>4()()()n n n n b a ,b a N n 0,b a bdac 0d c 0,b a d b c a d c b,a >>⇒∈>>>⇒>>>>+>+⇒>>765高考链接A.a 2 b 2B.ab 2a 2b （2007 上海）已知a, b 为非零实数，且a b ，则下列命题成立的是（ ）<<<<1122ab a b b a a b <C. D. C解析：若a<b<0，则a 2> b 2 ，A 不成立;若ab>0，a<b, a 2b<ab 2,B 不成立；若a=1,b=2，则D 不成立，故选C. 122,,,b a b a a b a b ∴==>课堂练习1、用不等关系表示下面的不等关系.（1）a与b的和是非正数；a+b≤0（2）在一个矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地。
人教版高中数学必修五3.1不等关系与不等式公开课教学课件 (共26张PPT)
500 x 600 y 4000
不等关系为不等式组：
3x y
x0 y0
【提升总结】 1. 将实际的不等关系写成对应的不等 式时，应注意实际问题中关键性的文字语 言与数学符号间的正确转换.
文字语言 大于 小于 大于等于 数学符号 文字语言 数学符号 ≤ ≥
＞
＜
至多
至少 不少于 不多于
x 2.5 0.2 x 20 8 0.1
问题3.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成
500mm和600mm两种,按照生产的要求,600mm钢 管的数量不能超过500mm钢管的3倍.怎样写出 满足上述所有不等关系的不等式呢?
解:设截得500mm的钢管数x根,截得600mm的钢管y根，则
如果a>b,c<0,那么ac<bc. 如果a>b,c=0,那么ac=bc.
注意：不等式两边同乘一个正数，不等式方向不变； 不等式两边同乘一个负数，不等式方向相反.
思考：证明不等式的下列性质： 性质5
如果a>b,c>d,则a+c>b+d.
(同向可加性)
注：同向不等式相加，所得不等式与原不等式同向.
证明：
(开方法则)
注意:当不等式两边都是正数时，不等式两 边同时开方所得的不等式和原不等式同向. 以上这些关于不等式的事实和性质是解决 不等式问题的基本依据.
三.不等式的基本性质：
性质1 性质2
a b, b c a c
abba
使用时注意弄 清每条性质的 条件和结论.
性质3
性质4
性质5 性质6 性质7 性质8
如果a>b,b>c,那么a>c.即 (传递性)
高中数学必修五：3.1不等关系与不等式课件(共18张PPT)
33
3
还有其它 解法吗?
两式相加得－1≤f(3) ≤20.
提示:整体构造 f (3) f (1) f (2) 利用对应系数相等
求的与 ,从而求其范围.
注意:本题中a与c是一个有联系的有机整体,不要割 断它们之间的联系
小结
不等式的性质
内
容
对称性
a b b a; a b b a
传递性 加法性质
所以 (a b) 0, 即b a 0, 所以b a.
性质1表明，把不等式的左边和右边交 换位置，所得不等式与原不等式异向，我 们把这种性质称为不等式的对称性。
性质2：如果a>b，b>c，那么a>（c. 传递性）
证明：a b，b c a b 0，b c 0
(a b) (b c) 0
3.1.2
不等关系与不等式
1. 用不等式或不等式组表示不等关系.
2. a b a b 0 a bab0 a b a b 0
3.比较两个代数式的大小——作差比较法
作差 →变形→判断符号 →得出结论
性质1：如果a>b，那么b<a；如果b<a， 那么a>b.
证明： 因为a b,所以a b 0，
b2
真
注:（1）运用不等式的性质时，应注意不等式成立的条件。
（2）一般地，要判断一个命题为真命题，必须严格加以证 明，要判断一个命题为假命题，可举反例，或者由题中条 件推出与结论相反的结果。
例1.已知 a > b >0, c <0, 求证
c
c ＞.
ab
证明：因为a > b >0, 所以 ab >0, 1 >0.
得a+c>b+d.
高中数学第三章不等式3.1不等式关系与不等式课件新人教A版必修5
为函数 y＝1x在(－∞，0)上单调递减，a<b<0，所以1a>1b，
故 D 正确．
答案：D
5．若 x＞1，y＞2，则： (1)2x＋y＞________； (2)xy＞________． 解析：(1)x＞1⇒2x＞2，2x＋y＞2＋2＝4；(2)xy＞2. 答案：(1)4 (2)2
类型 1 用不等式(组)表示不等关系 [典例 1] 分别写出满足下列条件的不等式： (1)一个两位数的个位数字 y 比十位数字 x 大，且这 个两位数小于 30； (2)某电脑用户计划用不超过 500 元的资金购买单价 分别为 60 元的单片软件 x 片和 70 元的盒装磁盘 y 盒．根 据需要，软件至少买 3 片，磁盘至少买 2 盒． 解：(1)y＞x＞0，30＞10x＋y＞9，且 x，y∈N*； (2)x≥3，y≥2，60x＋70y≤500，且 x，y∈N*.
同向 5
可加性
ac>>db⇒a＋c⑫>b＋d
同向同正 6
可乘性
ac>>db>>00⇒ac⑬>bd
7
可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)
8
可开方性
nn
a>b>0⇒ a> b(n∈N，n≥2)
[思考尝试·夯基] 1．思考义是指 x 不小于 2.( ) (2)若 a＜b 或 a＝b 之中有一个正确，则 a≤b 正 确．( ) (3)若 a＞b，则 ac＞bc 一定成立．( ) (4)若 a＋c＞b＋d，则 a＞b，c＞d.( )
解析：(1)正确．不等式 x≥2 表示 x＞2 或 x＝2，即 x 不小于 2，故此说法是正确的．(2)正确．不等式 a≤b 表示 a＜b 或 a＝b.故若 a＜b 或 a＝b 中有一个正确，则 a ≤b 一定正确．(3)错误．由不等式的可乘性知，当不等式 两端同乘以一个正数时，不等号方向不变，因此由 a＞b， 则 ac＞bc，不一定成立，故此说法是错误的．(4)错误．取 a＝4，c＝5，b＝6，d＝2，满足 a＋c＞b＋d，但不满足 a ＞b，故此说法错误．
3.1不等关系与不等式- 高中数学人教A版必修5课件(共42张PPT)
解析 ∵ab>0，bc－ad>0， ∴ac－db＝bc－abad>0，∴①正确； ∵ab>0，又ac－bd>0，即bc－abad>0， ∴bc－ad>0，∴②正确；
§3.1 不等关系与不等式
学习目标
1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系. 2.初步学会作差法、作商法比较两实数的大小. 3.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题.
知识点一 不等关系
1.现实世界与日常生活中，与等量关系一样，不等量关系也是自然界中存在着的基本数量关
系．例如
(1)a 大于 b
6.(2020·杭州模拟)已知a，b，c，d均为实数，有下列命题： ①若 ab>0，bc－ad>0，则ac－db>0；②若 ab>0，ac－db>0，则 bc－ad>0； ③若 bc－ad>0，ac－db>0，则 ab>0. 其中正确的命题是__①__②__③__.(填序号)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
若a>0，且a≠7，则
A.77aa<7aa7
B.77aa＝7aa7
√C.77aa>7aa7
D.77aa与7aa7的大小不确定
解析 777aaaa7＝77－aaa－7＝a77－a， 则当 a>7 时，0<a7<1,7－a<0， 则7a7－a>1，∴77aa>7aa7；
当 0<a<7 时，7a>1,7－a>0，
则7a7－a>1，∴77aa>7aa7.
综上，77aa>7aa7.
1.两个实数比较大小的方法
人教版高中数学必修(五)3.1不等关系与不等式课件(5)
从表格中你能获得什么信息？ 用数学关系来反映就是：
f 2.5%， p 2.3%.
5
一.问题情境
2.在数学中
B
C
B A
AB+A C>BC
AB<AB
A
AB-A C<BC
设点A与平面α的距离为d，B为平面α上的任意一 点，则d≤∣AB∣. A
B
α
现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着 大量的不等关系．这种不等关系都可用不等式来表示．
14
★课堂练习1★ 在下列各题的横线中填入适当的不等号. ⑴ ( 3 2) 2 _____ < 6 2 6;
2 ⑵ ( 6 1) 2 ____( 3 2) ; >
1 1 ⑶ _____ ; > 6 5 5 2
< a 4 a 5. ⑷设a 5 ， a 3 a 4 ____
a-b<0 ⇔ a<b,
a-b=0 ⇔ a=b.
9
四、不等式基本原理
a-b>0 ⇔ a>b, a-b<0 ⇔ a<b, a-b=0 ⇔ a=b.
比较两实数大小的方法 —作差比较法：
比较两个实数a与b的大小，可以归结为判断它们的差ab的符号；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们 的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号．
1
目标 重点 难点
（1）了解不等式的概念，掌握比较实数 大小的方法； （2）通过讲练结合，培养学生数形结合 能力和运算能力； （3）通过实际情境的设置，培养学生对 客观世界的认知能力。 比较实数大小的方法
作差后式子的变形
2
一.问题情境---不等关系是普遍存在的
高中数学 3.1.1不等式与不等式的性质课件 新人教A版必修5
∴当 x＞1 时，x3＞x2－x＋1；
当 x＝1 时，x3＝x2－x＋1；
当 x＜1 时，x3＜x2－x＋1.
点评：比较两数(式)的大小一般利用作差法，作差法比较两个数
(式)的大小的步骤可归纳为：作差→变形→判断符号→下结论．
精选ppt
题型3 实际应用
例 3 一个棱长为 2 的正方体的上底面有一点 A，下底面有一
3．1 不等关系与不等式
3．1.1 不等关系与不等式的性 质
精选ppt
栏 目 链 接
精选ppt
1.通过具体情境感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不 等关系，了解不等式(组)的实际背景．
2．学习用不等式(组)来描述不等关系，了解不等式(组)是研究不 等关系的数学工具，理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价 值．
3．了解不等式的基本性质．
精选ppt
栏 目 链 接
精选ppt
题型1 用不等式表示不等关系
例 1 分别写出满足下列条件的不等关系：
(1)一个两位数的个位数字 y 比十位数字 x 大，且这个两位数小
栏
于 30；
目
链
(2)某电脑用户计划用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元
接
的单片软件 x 片和 70 元的盒装磁盘 y 盒．根据需要，软件至少买 3
精选ppt
点 B，则 A、B 两点间的距离 d 满足的不等式为________．
栏
解析：最短距离是棱长 2，最长距离是正方体的对角线长 2 3，
目 链
接
故 2≤d≤2 3.
答案：2≤d≤2 3
点评：在用不等式表示不等关系时，应特别注意能否取等号的问
题，如“超过”或“不足”都不能取等号，而“不超过”则包含相等
高中数学人教版必修5课件：3.1不等关系与不等式(共27张PPT)
性质8：ab0 nanb(n N *,n2 )
(可开方性)
例 １ :已 知 a>b>0,c<0,求 证 a cb c
已a知 b0,cd0,求证 a： b dc
课堂练习
若a、b、c R，a b，则下列不等式成
立的是
（C ）
A. 1 1 ab
迹往往是执著者造成的。许多人惊奇地发现，他们之所以达不到自己孜孜以求的目标，是因为他们的主要目标太小、而且太模糊不清，使自己失去动力。如果你的主要 实现就会遥遥无期。因此，真正能激励你奋发向上的是确立一个既宏伟又具体的远大目标。实现目标的道路绝不是坦途。它总是呈现出一条波浪线，有起也有落，但你 你的时间表，框出你放松、调整、恢复元气的时间。即使你现在感觉不错，也要做好调整计划。这才是明智之举。在自己的事业波峰时，要给自己安排休整点。安排出 是离开自己挚爱的工作也要如此。只有这样，在你重新投入工作时才能更富激情。困难对于脑力运动者来说，不过是一场场艰辛的比赛。真正的运动者总是盼望比赛。 很难在生活中找到动力，如果学会了把握困难带来的机遇，你自然会动力陡生。所以，困难不可怕，可怕的是回避困难。大多数人通过别人对自己的印象和看法来看自 尤其正面反馈。但是，仅凭别人的一面之辞，把自己的个人形象建立在别人身上，就会面临严重束缚自己的。因此，只把这些溢美之词当作自己生活中的点缀。人生的 上找寻自己，应该经常自省。有时候我们不做一件事，是因为我们没有把握做好。我们感到自己“状态不佳”或精力不足时，往往会把必须做的事放在一边，或静等灵 些事你知道需要做却又提不起劲，尽管去做，不要怕犯错。给自己一点自嘲式幽默。抱一种打趣的心情来对待自己做不好的事情，一旦做起来了尽管乐在其中。所以， 要尽量放松。在脑电波开始平和你的中枢神经系统时，你可感受到自己的内在动力在不断增加。你很快会知道自己有何收获。自己能做的事，放松可以产生迎接挑战的 社会，面对工作，一切的未来都需要自己去把握。人一定要靠自己。命运如何眷顾，都不会去怜惜一个不努力的人，更不会去同情一个懒惰的人，一切都需要自己去努 一时的享受也只不过是过眼云烟，成功需要自己去努力。当今社会的快速发展，各行各业的疲软，再加上每年几百万毕业生涌向社会，社会生存压力太大，以至于所有 高自己。看着身边一个个同龄人那么优秀，看着朋友圈的老同学个个事业有成、买房买车，我们心急如梵，害怕被这个社会抛弃。所以努力、焦躁、急迫这些名词缠绕 变自己，太想早一日成为自己梦想中的那个自己。收藏各种技能学习资料，塞满了电脑各大硬盘；报名流行的各种付费社群，忙的人仰马翻；于是科比看四点钟的洛杉 早起打卡行动。其实……其实我们不觉得太心急了吗？这是有一次自己疲于奔命，病倒了，在医院打点滴时想到的。我时常恐慌，害怕自己浪费时间，就连在医院打点 浪费。想快点结束，所以乘着护士不在，自己偷偷的拨快了点滴速度。刚开始自己还能勉强受得了，过了差不多十分钟，真心忍不住了，只好叫护士帮我调到合适的速 就在想，平时做事和打点滴何尝不是一样，都是有一个度，你太急躁了、太想赶超，身体是受不了的。身体是革命的本钱，我们还年轻，还有大把的时间够我们改变， 前面的那个若是1都不存在了，后面再多的0又有什么用？我是一个急性子，做事风风火火的，所以对于想改变自己，是比任何人都要心急。这次病倒了，个人感觉完全 乎才导致的，病倒换来的努力根本是一钱不值。生病的那几天，我跟自己的大学老师打了一个电话，想让老师帮我解惑一下，自己到底是怎么了。别人也很努力啊，而 为啥他们反到身体倍棒而一无所获的自己却病倒了？老师开着电脑，�
人教版必修五第三章3.1.1《不等关系与不等式》(共23张PPT)
40
5、某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的 含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于 2.3%，用不等式可以表示为：( )
A. f ≥ 2.5%或p ≥ 2.3%
B. f ≥ 2.5%且p ≥ 2.3%
f ≥ 2.5% C. p ≥ 2.3%
我们用数学符号“≠”，“>”，“<”， “≥”，“≤”连接两个数或代数式，以表示 它们之间的不等关系。含有这些不等号的 式子叫做不等式。 数轴上的任意两点中，右边点对应的 实数比左边点对应的实数大。
a b ab 0 a b ab 0
作差比较法
这既是比较大小 ( 或证明大小 ) 的基本方 法,又是推导不等式的性质的基础.
作差比较法其一般步骤是: 作差→变形→判断符号→确定大小.
例1．比较x2－x与x－2的大小。 解：(x2－x)－(x－2)=x2－2x+2
=(x－1)2+1，
几个两边都是正数的同向不等式的两边 分别相乘，所得的不等式与原不等式同向。
推论2：（性质7）如果a>b>0，则an>bn， (n∈N+，n>1).
性质8如果a>b>0，则，
n
a b
n
(n∈N+，n>1).
常用的不等式的基本性质有: ⑴a b b a ; (对称性) ⑵ a b，b c a c ; (传递性) ⑶ a b a c b c , (可加性)此法则又称为移项法则; a b，c d a c b d (同向不等式可相加) a b，c 0 ac bc ⑷ (可乘性) a b，c 0 ac bc a b 0，c d 0 ac bd (正数同向不等式可相乘)
高中数学 第3章 不等式 3.1.1 不等关系与不等式 3.1.2 不等式的性质课件 新人教B版必修5
阶
段
段
一
三
3.1 不等关系与不等式
3.1.1 不等关系与不等式
学
阶 段 二
3.1.2 不等式的性质
业 分 层 测
评
1.了解不等式的性质.(重点) 2.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.(难点)
[基础·初探]
教材整理 1 不等关系与不等式 阅读教材 P61～P62 例 1，完成下列问题. 1.不等式的定义所含的两个要点 (1)不等符号_<_，_≤__，_>_，_≥_____或_≠__. (2)所表示的关系是不__等_关__系___.
推论 1
a＋b＞c⇒__a_＞_c_－_b____
推论 2
a＞b，c＞d⇒a_＋_c_＞__b＋__d___
性质 4 (可乘性)
a＞b，c＞0⇒a_c_＞_b_c__；a＞b，c＜0⇒_ac_＜_b_c___
推论 1
a＞b＞0，c＞d＞0⇒_a_c_＞_b_d___
推论 2
a＞b＞0⇒ _a_n_＞__b_n(_n_∈__N_＋ __，__n_＞__1_) _
[再练一题]
1.用不等式(组)表示下列问题中的不等关系：
(1)限速 80 km/h 的路标；
(2)桥头上限重 10 吨的标志；
(3)某酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量 f 应不多于 2.5%，蛋白质的
含量 p 不少于 2.3%. 【解】 (1)设汽车行驶的速度为 v km/h，则 v≤80.
(2)设汽车的重量为 ω 吨，则 ω≤10.
f≤2.5%，
(3)
p≥2.3%.
比XX较X 两数(式)的大小
比较下列各组中两个代数式的大小： (1)x2＋3 与 3x； (2)已知 a，b 为正数，且 a≠b，比较 a3＋b3 与 a2b＋ab2.
人教版高中数学必修五课件：3.1.1不等式性质(共15张PPT)
且n 2)
⑧开方法则：a>b>0 n a n b;
2.已知a b 0, c 0,求证：c c ab
3.已知a b 0,求证：b a ab
4.已知a b 0,求证： a b ba
5.已知a b 0, c d 0,求证：a b dc
满足的条件为a_b__1_或__a_b_ 2
6.若0
a
b
1, P
log 1
2
ab 2
,Q
1
2
(log
1 2
a
log 1
2
b),
M log 1 (a b),则P,Q, M的大小关系是__Q_>__P_>_M___
2
a bb a 0,又a,b, m都是正数,
m(b a) 0,b(b m) 0
m(b a) 0 即 a m a 0 a m a
b(b m)
bm b
bm b
补充练习:
1.已知a, b, c, d都是正数,且bc ad,
则 a , a c , a 2c , c 中最大的是( D)
若在上述溶液中再添加mk g白糖, 此时溶液的浓度
增加到a m , 将这个事实抽象为数学问题,并给出证明. bm
解 : 可以把上述事实抽象成 如下不等式问题 :
已知a, b, m都是正数 ,并且a b,则 a m a bm b
下面给出证明
a m a m(b a) b m b b(b m)
(7)若a b且 1 1 ，则a 0, b 0 ab
(8)若a b, 则 lg a lg b
[典型例题解析]
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比较两个数(式)的大小的方法:
作差,与零比较大小.
. 例2 已知x 0,比较( x 1) 与( x x 1)的大小
2 2 4 2
解: ( x 1) ( x x 1)
2 2 4 2
x 2x 1 x x 1 x
4 2 4 2
2
x 0 x 0, 2 2 4 2 ( x 1) ( x x 1) 0.
课堂小练
（1）实数x、y在数轴上的对应点的位置 如ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，用“＞”或“＜”填空：
(1)x+y
0
(2)xy
0
(3)x-y
0
x 0
y
（2）试指出等式成立的条件：
(a b) (b c) (c a) 0
2 2 2
（3）试指出不等式成立的条件：
(a b) (b c) (c a) 0
一、不等式与等式的比较
1、等式有哪些性质?
abba a b, b c a c
a b ac bc
a b a c b c(c 0)
a b a b (n N )
n n
类比出不等式有相类似的性质吗？
2、不等式的基本性质：
abba
2 2 2
二、例题解析 . 例1、 比较(a 3)(a 5)与(a 2)(a 4)的大小
解: (a 3)(a 5) (a 2)(a 4)
(a 2a 15) (a 2a 8)
2 2
7 0. (a 3)(a 5) (a 2)(a 4).
a b, b c a c
a b ac bc
a b a b ac bc ac bc c0 c 0
a b 0 a b (n N )
n n
3、比较两个实数的大小：
a b a b 0 a b a b 0 a b a b 0
某公司欲将一批不易存放的蔬菜，从地运到 地，有汽车、火车、直升飞机三种运输工具 可供选择，三种工具的主要参考数据如下：
运输工具途中速度（千米/时）途中费用（元/千
若这批蔬菜在运输过程（含装卸时间） 中的损耗为元/时，问：如何根据运输 距离的远近选择运输工具，使运输过 程中的费用与损耗之和最小？
2
即( x 1) ( x x 1).
2 2 4 2
《课课练5》P46/9.某电脑用户计划用不超过 元的资金购买单价分别为元，元的单片软件 和盒装磁盘，根据需要软件至少买件，磁盘 至少买盒，写出满足上述所有不等关系的不 等式。
《课课练5》P46/10据调查，某地区万从事 传统农业的农民，人均年收入为元，为了增 加农民的收入，当地政府积极引进资本，建 立各种加工企业，对当地的农产品进行深加 工，同时吸引当地部分农民进入加工企业工 作。据估计，如果有万人进入加工企业工作， 那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入 有望提高%。为使从事传统农业的农民的年 总收入不低于加工企业建立前的农民的年总 收入，怎样用不等式表示上述关系呢？