北航理论力学复习
北航理论力学复习课件
L，质点M相对管子的相对速度为 vr 。则图示瞬时，质 点M受到管子底部的滑动摩擦力的大小F=______；质 点M相对于管子的相对加速度 ar =____________。
N
A
M F
v Fe r
mar mg N F Fe Fc
A： 平衡力系； B： 力偶； C： 合力； D： 力螺旋。
7
4. 平面运动刚体上三个点A、B、C构成等边三角形，某瞬时 各点加速度或速度的矢量如图所示，则图中______所示的 运动是不可能的。
A： 图(a)；
B： 图(b)；
C： 图(a)和(b)。
B aB
aA
C aC
A
图(a)
B vB
vA
C vC
A： 一定增加 B： 一定不增加 C： 一定守恒
D： 多种可能,不能确定
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1. 若刚体绕其中心惯性主轴以匀角速度作定轴转动，则 下列答案正确的有___________。
A： 该刚体的动量为零
B： 该刚体对转轴的动量矩为零；
C： 该刚体的惯性力系等价于零力系； D： 该刚体是动平衡的。
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2.质量为m的均质圆盘在质量为m的均质板AB上纯滚动， 板放在水平面上。若在板上作用一水平常力 F (如图所 示)，系统由静止开始运动。当系统具有动能时，则 __________。
A: 摩擦力向左
B：摩擦力向右 C: 摩擦力大小为零
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4. 在惯性系中，若质点所受的合力始终指向某一固 定点，则该点可能作_B__C__D__。
4. 若质点的加速度始终垂直于速度(均不为零)，则该 点可能作__A__B__C_。
北京航空航天大学理论力学期末模拟试卷2.pdf
北京航空航天⼤学理论⼒学期末模拟试卷2.pdf理论⼒学AII 期末考试模拟试题⼀、选择题（将正确答案的字母填在空格内，每⼩题2分，共10分）1、对于具有定常约束的质点系，其动能T 最⼀般的形式可以表⽰成的函数。
A ：⼴义速度； B ：⼴义坐标； C: 时间t2、定点运动的圆锥ABC 在⽔平固定圆盘上纯滚动，如图1所⽰。
若圆锥底⾯圆⼼D 作匀速圆周运动，则该圆锥的⾓加速度⽮量α与⾓速度⽮量ω的关系是。
A ：α平⾏于ω；B ：α垂直于ω；C ：为零⽮量α；D ：为⾮零⽮量α图13、⼆⾃由度线性系统的振动周期与有关。
A ：⼴义质量；B ：⼴义刚度；C ：初始位置；D ：初始速度4、只应⽤第⼆类拉格朗⽇⽅程求出⾮⾃由质点系的约束⼒。
A ：⼀定能； B ：⼀定不能； C ：不⼀定能5、第⼆类拉格朗⽇⽅程可⽤于研究具有质点系的⼒学问题。
A ：完整约束； B ：定常约束； C ：⾮完整约束； D ：⾮定常约束注：第⼆类拉格朗⽇⽅程为：),,2,1(d d k j Q q T q T t j j j " ==。
其中k 为系统的⾃由度。
为对应于⼴义坐标的主动⼒的⼴义⼒。
j Q j q ⼆、填空题（将最简结果填在空格内，每空5分，共50分）1、质量为m 的质点M 可在半径为R 的圆环内运动，圆环以⾓速度ω（常⽮量）绕AB 轴作定轴转动，如图2所⽰。
θ为质点的⼴义坐标，此时质点的动能可以表⽰成，其中012T T T T ++=)2,1,0(=i Ti g为⼴义速度的i 次齐次函数。
求：=2T =1T=0T图2 图32、长为L 质量为m 的均质杆OA ⽤光滑柱铰链悬挂在天花板上，下端与刚度系数为k 的⽔平弹簧连接，杆铅垂时弹簧为原长，如图3所⽰。
求系统在平衡位置附近作微幅摆动的动⼒学⽅程。
动⼒学⽅程：。
3、圆盘相对正⽅形框架ABCD 以匀⾓速度02ω绕BC 轴转动，正⽅形框架以匀⾓速度0ω绕AB 轴转动，如图4所⽰。
北京航空航天大学理论力学第一学期总复习
习
BUAA
理论力学复习课
•静力学(几何静力学和分析静力学） •运动学（点的运动学、刚体的运动学） •动力学（质点动力学、质点系动力学、
动静法）
2021/4/19
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一、 静力学
• 静力学的基本概念与方法 • 平衡方程 • 虚位移原理 • 例题、思考题、问题
•静不定问题( statically indeterminate problem): 未知量的数目> 独立平衡方程的数目
思考题：确定图示系统是否为静定结构
A
D
A
D
F
F
B
B
L
L
LC
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(1)
L
L
(2)
LC
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例题: 均质杆AB和均质圆盘铰接，如图所示，杆和圆盘的质
量相同，杆与铅垂线的夹角为 ，圆盘与墙壁的摩擦系数为f.
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一、静力学的基本概念与基本原理和定理
•力系(force system): 作用在物体上的一组力 {F1,F2,,Fn}
•等效力系(equivalent force system): 对同一刚体产生相同作用效果的力系.
静力学的基本
{ F 1 ,F 2 , ,F n } { P 1 ,P 2 , ,P m } 概念、定义、 •合力(resultant force) ：与某力系等效的力 公理和定理。
空间任意力系简化 { F 1 ,F 2 , ,F n } { F R ,M O }
FR0,M O0
空间任意力系的平衡条件：
平衡
FR
北京航空航天大学理论力学第一学期总复习共32页
北京航空航天大学理论力学第一学期 总复习
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
北京航空航天大学951力学基础考纲
951力学基础考试大纲(2015版)注意：总分150分，理论力学部分占40%，材料力学部分占60%。
第一部分理论力学大纲静力学1、几何静力学（第1－3章）基本内容：静力学的基本公理，受力分析，力系简化的基本方法和有关力学量的基本计算，平衡方程的建立与求解，摩擦（滑动摩擦和滚动摩擦）问题，桁架内力的计算，平衡结构的静定性问题。
基本要求：深入理解静力学中有关的公理，熟练掌握刚体（刚体系）的受力分析，力系简化的基本方法和有关基本概念和基本量的计算，能够确定给定力系作用下独立平衡方程的数目，能够用定性和定量的方法研究刚体（刚体系）的平衡问题。
能够分析研究考虑摩擦时刚体或刚体系的平衡问题以及平面桁架的内力计算问题。
2、分析静力学（第4章）基本内容：各种力（重力、弹性力、有势力、摩擦力、合力、等效力系）的功，约束及其分类、广义坐标和自由度、虚位移与虚功、理想约束、虚位移原理及其应用、有势力作用下质点系平衡位置的稳定性。
基本要求：熟练计算各种力的功，能够确定系统的约束类型，确定系统的自由度和广义坐标，理解虚位移的基本概念，会判断约束是否是理想约束；能够熟练应用虚位移原理求解质点系平衡问题；会判断有势力作用下质点系平衡位置的稳定性。
动力学1、质点动力学（第五章）基本内容：质点的运动方程、速度、加速度的各种表示方法（矢量法、直角坐标法、自然坐标法）以及有关基本量的计算，质点运动微分方程，点的复合运动（三种运动分析、速度合成定理和加速度合成定理），质点相对运动动力学基本方程。
基本要求：熟练掌握质点运动方程、速度和加速度的各种表示方法和有关基本量的计算，能够熟练建立质点运动微分方程，对于简单的运动微分方程能够求解。
熟练应用点的复合运动的基本理论与方法研究点的复合运动（速度和加速度）问题，能够在非惯性参考系下建立质点相对运动动力学基本方程，具有对质点的运动学和动力学问题进行定性和定量分析的初步能力。
2、质点系动力学（第六章）基本内容：质点系的动量定理、变质量质点动力学方程、动量矩定理（包括对固定点、动点和质心的动量矩定理）、动能定理及其有关基本量的计算。
北航《理论力学(第二学期)》考题整理
,
aC
=
；
8、质量为 m，边长为 L 的正方形均质板静止放在光滑的水平
A
B
地面上。若在板上作用一水平冲量 I，使板获得最大的动能， 该冲量将如何作用在板上，则板获得的最大动能
5
D
图 10
C
北京航空航天大学交通科学与工程学院《理论力学（第二学期） 》复习资料
T=
。
2 （将冲量 I 的作用点和作用线画在图上，已知板对质心的转动惯量为 mL ）
3
系中的运动微分方程为：
。
mg cx ； A： mx
3
B： mx
D： mx
3 ； mg cx
3 ； mg cx
M mg
x
mg cx ； C： mx
3
E: A、B、C、D 中没有给出正确答案。
图1
o
2、圆盘 A 放在光滑的水平地面上运动，杆 AB 通过圆柱铰链与圆盘中心 A 连 接，系统在图示铅垂面内运动，如图 2 所示。若圆盘和杆为非匀质刚体，则 有: A:系统的机械能守恒； B:系统的动量在水平方向的投影守恒； C:圆盘对铰链 A 的动量矩守恒； D:AB 杆对铰链 A 的动量矩守恒。
O
A
图 11
B
10、质量为 m0 的物块放在水平面上，其上有一半径为 R 的半圆槽，质量为 m 的小 球 B 可在槽内运动，忽略所有摩擦，如图 12 所示。 （1）若取 , 作为系统的广义坐标，用广义速度和广义坐标给出系统在任意位 置时动能和势能的表达式（取坐标原点为势能零点,即 x0 （2）若初始时，小球在 A 处，系统从无初速 开始运动。给出系统拉格朗日方程的首次 积分。 系统的动能 T= 系统的势能 V= 广义动量积分： 广义能量积分：
北航理论力学s-ch3A
FAy A
MA
M
B
FBx
FAx a
FBy FBy
B
F
60
0
FC
C
FBx
2011-9-20
a
∑ Fx = 0 ∑ Fy = 0 M =0 ∑ B
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方法二： 方法二：
§3-1 刚体系的平衡
解：1、研究整体（刚化），画受力图 研究整体（刚化），画受力图 ）， B
05年9月8日下午 点06分，朝阳区某工地的塔吊在起吊一些预制板 年 月 日下午 日下午2点 分 构件时，第一根钢绳突然被绷断，紧接着吊臂开始变形， 构件时，第一根钢绳突然被绷断，紧接着吊臂开始变形，并向西南方向 倒下来，但无人员伤亡。 倒下来，但无人员伤亡。
2011-9-20 8
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三、刚体系的平衡问题
F
2a
FDx D
a
E 2a a a O
H
FCG
FDy
F
FDx
求出 FDy
FH
FDy
D
∑M ∑F
y
p
= 0 → FDy p
3、再研究AG 杆，求出 FGy 再研究
FGy G
2011-9-20
FGx
= 0 → FGy
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§3-1 刚体系的平衡
思考题：人重 < 板重P，若人有足够大的力量， 思考题：人重W > 板重 ，若人有足够大的力量，下图中能 维持平衡的是： 维持平衡的是：
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作业： 作业：3-9、3-10、3-12 10、
第三章 刚体系与结构的平衡
力学复习 北京航空航天大学物理
Δr
Δxi
Δyj
Δzk
理学院 物理系 陈强
(4)路程：物体运动时沿轨迹实际通过的路径长度称为
路程，用s 表示.
一般情况下 Δr Δs 但 dr ds
(5)速度：质点位置对时间的一阶导数称为速度 ，v dr dt
在直角坐标系中
v
v
xi
v
y
j
v
z
k
dx
i
dy
j
dz
k
dt dt dt
理学院 物理系 陈强
在直角坐标系中
r
xi
yj
zk
(2) 运动方程
在直角坐标系中
r(t)
x(t)i
y(t) j z(t)k
直角坐标系中分量表示 在自然坐标中
x x(t)
y
y(t)
z z(t)
s s(t)
(3)位移：由质点的初始位置指向末位置的矢量。
Δr r(t Δt) r(t)
在直角坐标系中
理学院 物理系 陈强
理学院 物理系 陈强
第4章 狭义相对论基础
§4.1 伽利略相对性原理和伽利略变换 §4.2 狭义相对论的基本假设与洛伦兹变换 §4.3 狭义相对论的时空观 §4.4 狭义相对论的速度变换 §4.5 狭义相对论动力学 *§4.6 广义相对论简介
理学院 物理系 陈强
1. 狭义相对论的基本假设
2 1
Md
1 2
J22
1 2
J12
(4) 刚体的重力势能 (5) 机械能守恒定律
Ep mghC
当 A外 A非保时内， 0
E Ek Ep 常量
5. 刚体绕定轴转动的角动量
(1) 刚体的角动量
北京航空航天大学理论力学2期末总复习PPT
( j 1,2,, k )
d L j dt q
L 0 q j
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当主动力部分为有势力时
总复习
d T j dt q T Q j ( j 1,2,, k ) q j L Q 'j q j
Fi Fix i Fiy j Fiz k
动力学普遍方程 的直角坐标形式
i i m i j m i k FIi m x y z
ri xi i yi j zi k
n n i 1
(F
i 1
n
ix
mi aix )xi ( Fiy mi aiy )yi ( Fiz mi aiz )zi 0
i 1
2
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总复习
例题：双摆由两个均质杆组成，初始时杆水平，求该瞬
时各杆的角加速度。已知杆的质量为M，杆长为L 解题步骤：
1：确定系统的自由度
2：建立加速度间的关系
3：确定惯性力 4：应用动力学普遍方程 求解
3
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总复习
设：具有完整理想约束的非自由质点系有 k 个自由度 系统的广义坐标为： q1 , q2 ,, qk
0 1 2 l0 l
定点运动刚体上点的速度和加速度
r
r r 速 度：v lim t 0 t dv d ( r ) r v a 加速度：
dt
dt
a aR a N
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B点的绝对速度和绝对加速度。
M g M o J z '
Mo M g 0
北航2018-2019理论力学期末试题
2018-2019学年第一学期理论力学A一、选择题（10分）1、两个平面汇交力系形成的平面力系，最多有几个独立的平衡方程（）A、4个B、3个C、2个D、1个2、请问右图所示结构中那个杆件受压？（F平行于1、2两杆）（）A、1杆B、2杆C、3杆D、无法确定3、已知水平面上的圆盘收到拉力和驱动力偶作用在水平面上纯滚动，如图3，问摩擦力的方向？（）A、与图示方向相同B、与图示方向相反C、恰好为零 D 条件不足无法判断4、结构如图4所示，正方形板件与水平杆铰接，同时被1、2两根绳子吊起。
此时将绳1剪断，则水平的横杆的受力情况为？（）A、受压力B、受拉力C、杆恰好为零力杆D、无法确定5、惯性力系为一个平衡力系是动平衡的（）A、充分条件B、必要条件C、充要条件二、填空题（60分）1、如图，空间结构如图所示。
其中，杆1、3、5竖直，2、4、6均与铅垂线成45°夹角，六根杆上面与一个正方形板件铰接，且在上面作用一驱动力偶M=LF，逆时针，如图所示。
问：F1=F6= （拉力为正）2、在右图所示的机构中，左侧的物体重力为W，在右侧杆上作用一驱动力偶M=aW。
求弹簧弹力大小F=3、如图所示，直角曲杆ACB上套有一圆环M,圆环同时连接一个两端固定的水平直杆，曲杆ACB以如图所示的角速度绕A轴转动，图示位置AC与水平杆夹角为45°，求牵连速度Ve=科氏加速度a c=4、如图，杆OA长为2r，以角速度ω逆时针转动，角加速度为0，通过长为2r的杆AB与一圆盘铰接。
圆盘半径为r，在曲率半径为R=2r的轨道内纯滚动。
当运动位于图示位置时，求圆盘B的角速度w B=圆盘B的角加速度ɑB=杆AB的角加速度ɑAB=5、如图，用两根对称的绳子将质量为m，长为L的杆AB水平吊起，两绳均与AB杆成45°角。
当剪断绳1时，求：AB的角加速度ɑAB=绳2中的张力F=6、如图所示，杆AB长L，质量为m；BC长为L（右边的杆），质量为2m；运动的角速度如图所示，求该结构的动量P=对A轴的动量矩L=三、计算题（30分）半径为R、质量m2=2m的均质圆盘的中心通过柱铰链与长为L、质量为m1=m的均质杆AB连接，杆的A端通过销钉与一个质量忽略不计的物块连接并在光滑水平滑道内运动，圆盘在水平地面上纯滚动，杆与水平地面的夹角为θ。
北航2021年 第二学期 理论力学复习题
北航2021年第二学期理论力学复习题北航2021年第二学期理论力学复习题《理论力学》课程学习练习题及参考解答一、填空题1.在介质中上抛一质量为m的小球，已知小球所受阻力r??kv，若选择坐标轴x铅直向上，则小球的运动微分方程为_____________________。
2.质点在运动过程中，在以下条件下，各并作何种运动？①at?0，an?0（请问）：；②at?0，an?0（请问）：；③at?0，an?0（请问）：；④at?0，an?0（请问）：。
3.质量为10kg的质点，受水平力f的作用，在光滑水平面上运动，设f?3?4t（t以s 计，f以n计），初瞬间（t?0）质点位于坐标原点，且其初速度为零。
则t?3s时，质点的位移等于_______________，速度等于_______________。
4.在平面极坐标系中，质点的径向加速度为__________；纵向加速度为_______。
5.哈密顿正则方程用泊松括号则表示为，。
6.质量m?2kg的重物m，摆在长l?0.5m的细绳下端，重物受水平冲击后赢得了速度v0?5m?s?1，则此时绳子的拉力等同于。
7.平面自然坐标系中的切向加速度为，法向加速度为。
8.如果fv，则力所作的功与毫无关系，只与的边线有关。
9.在南半球地面附近自南向北的气流有朝的偏向；而北半球的河流岸冲刷较为严重。
10.未知力的表达式为fx?axy，则该力作功与路径_（填上fy??az，fz??ax。
“有关”或“毫无关系”），该力_保守力（填上“就是”或“不是”）。
11.一质量组由质量分别为m0、2m0、3m0的三个质点组成，某时刻它们的位矢和速22度分别为r1?i?j、v1?2i、r2?j?k、v2?i、r3?k、v3?i?j?k。
则该时刻质点组相对于坐标原点的动量等于，相对于座标原点的动量矩等同于_。
12.一光滑水平直管中有一质量为m的小球，直管以恒定角速度?绕通过管子一端的竖直轴转动，若某一时刻，小球zoyapvxm1到达距o点的距离为a的p点，取x轴沿管，y轴竖直向上，并垂直于管，z轴水平向前，并于管面垂直，如图所示，此时小球相对于管子的速度为v，则惯性离心力大小为，方向为，科里奥利力大小为，方向为。
951-力学基础北航最新考研大纲
951力学基础考试大纲注意：总分150分，理论力学部分占40%，材料力学部分占60%。
第一部分理论力学大纲静力学1、几何静力学（第1－3章）基本内容：静力学的基本公理，受力分析，力系简化的基本方法和有关力学量的基本计算，平衡方程的建立与求解，摩擦（滑动摩擦和滚动摩擦）问题，桁架内力的计算，平衡结构的静定性问题。
基本要求：深入理解静力学中有关的公理，熟练掌握刚体（刚体系）的受力分析，力系简化的基本方法和有关基本概念和基本量的计算，能够确定给定力系作用下独立平衡方程的数目，能够用定性和定量的方法研究刚体（刚体系）的平衡问题。
能够分析研究考虑摩擦时刚体或刚体系的平衡问题以及平面桁架的内力计算问题。
2、分析静力学（第4章）基本内容：各种力（重力、弹性力、有势力、摩擦力、合力、等效力系）的功，约束及其分类、广义坐标和自由度、虚位移与虚功、理想约束、虚位移原理及其应用、有势力作用下质点系平衡位置的稳定性。
基本要求：熟练计算各种力的功，能够确定系统的约束类型，确定系统的自由度和广义坐标，理解虚位移的基本概念，会判断约束是否是理想约束；能够熟练应用虚位移原理求解质点系平衡问题；会判断有势力作用下质点系平衡位置的稳定性。
动力学1、质点动力学（第五章）基本内容：质点的运动方程、速度、加速度的各种表示方法（矢量法、直角坐标法、自然坐标法）以及有关基本量的计算，质点运动微分方程，点的复合运动（三种运动分析、速度合成定理和加速度合成定理），质点相对运动动力学基本方程。
基本要求：熟练掌握质点运动方程、速度和加速度的各种表示方法和有关基本量的计算，能够熟练建立质点运动微分方程，对于简单的运动微分方程能够求解。
熟练应用点的复合运动的基本理论与方法研究点的复合运动（速度和加速度）问题，能够在非惯性参考系下建立质点相对运动动力学基本方程，具有对质点的运动学和动力学问题进行定性和定量分析的初步能力。
2、质点系动力学（第六章）基本内容：质点系的动量定理、变质量质点动力学方程、动量矩定理（包括对固定点、动点和质心的动量矩定理）、动能定理及其有关基本量的计算。
北航理论力学习答案
ve
va
vr
动系：OC 杆； 定系：机座； 运动分析： 绝对运动：直线运动； 相对运动：直线运动； 牵连运动：定轴转动。 根据速度合成定理
va ve vr
有： va cos ve ，因为 AB 杆平动，所以 va v ， 由此可得： v cos ve ，OC 杆的角速度为
t aa
16 7 2 15.23 m / s 2 3 ，
1-20 解：取小环 M 为动点，OAB 杆为动系 运动分析 O M
vr B
va ve
A
绝对运动：直线运动； 相对运动：直线运动； 牵连运动：定轴转动。 由运动分析可知点的绝对速度、相对速度和牵连速度的方向如图所示， 其中：
ve OM
整理上式可得
l d g sin d a cos d
将上式积分：
l 2 g cos a sin c 2
vr2 ar a 1.78m/s 2 RB
n r
1-23 质量为 m 销钉 M 由水平槽带动，使其在半径为 r 的固定圆槽内运动。设水平槽以匀速
v 向上运动，不计摩擦。求图示瞬时，圆槽作用在销钉 M 上的约束力。
O O
F
r
v
M
r FO
v
M
mg
mg
解：销钉 M 上作用有水平槽的约束力 F 和圆槽的约束力 FO （如图所示） 。由于销钉 M 的运 动是给定的，所以先求销钉的加速度，在利用质点运动微分方程求约束力。取销钉为动点， 水平槽为动系。由运动分析可知销钉的速度图如图所示。 O
aen aat aC
将上式沿 a C 方向投影可得：
北航理论力学期末考试题
理论力学AII 期末考试模拟试题一、 选择题（将正确答案的字母填在空格内，每小题2分，共10分）1、对于具有定常约束的质点系，其动能T 最一般的形式可以表示成 的函数。
A ：广义速度； B ：广义坐标； C: 时间t2、定点运动的圆锥ABC 在水平固定圆盘上纯滚动，如图1所示。
若圆锥底面圆心D 作匀速圆周运动，则该圆锥的角加速度矢量α与角速度矢量ω的关系是 。
A ：α平行于ω；B ：α垂直于ω；C ：为零矢量α；D ：为非零矢量α图13、二自由度线性系统的振动周期与 有关。
A ：广义质量；B ：广义刚度；C ：初始位置；D ：初始速度4、只应用第二类拉格朗日方程 求出非自由质点系的约束力。
A ：一定能； B ：一定不能； C ：不一定能5、第二类拉格朗日方程可用于研究具有 质点系的力学问题。
A ：完整约束； B ：定常约束； C ：非完整约束； D ：非定常约束 注：第二类拉格朗日方程为：),,2,1(d d k j Q q T q T t j j j " ==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂。
其中k 为系统的自由度。
为对应于广义坐标的主动力的广义力。
j Q j q 二、 填空题（将最简结果填在空格内，每空5分，共50分）1、 质量为m 的质点M 可在半径为R 的圆环内运动，圆环以角速度ω（常矢量）绕AB 轴作定轴转动，如图2所示。
θ为质点的广义坐标，此时质点的动能可以表示成，其中012T T T T ++=)2,1,0(=i Ti g为广义速度的i 次齐次函数。
求：=2T =1T=0T图2 图32、长为L 质量为m 的均质杆OA 用光滑柱铰链悬挂在天花板上，下端与刚度系数为k 的水平弹簧连接，杆铅垂时弹簧为原长，如图3所示。
求系统在平衡位置附近作微幅摆动的动力学方程。
动力学方程： 。
3、圆盘相对正方形框架ABCD 以匀角速度02ω绕BC 轴转动，正方形框架以匀角速度0ω绕AB 轴转动，如图4所示。
北京航空航天大学理论力学第一学期总复习.ppt
M
vM
CV
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BUAA
4、平面图形上各点的加速度
aB
aA
aBnA
a
t BA
aBt A AB aBnA AB 2
y
y' aBt A
B
A
aBnA x'
o
aA x
•加速度瞬心：在某瞬时，平面图形上加速度为零的点。 当平面图形的角速度与角加速度不同时为零时，必存
处的静/动摩擦因数均为f。现欲以水平力F 拉动此物体。若F
较小未拉动物体时，根据已知条件 b 能分别求出A，B
两处的静摩擦力。若物体被拉动，则在其运动过程中A，B 两
处的摩擦力 b
相等。
FA
FI
FB
a：一定；
2019/11/16
b：一定不； c：不一定
26
BUAA
基本概念：惯性积、惯量主轴、
中心惯量主轴、动平衡、静平衡
在唯一的一点，在该瞬时其加速度为零。
要求：能熟练求解刚体平面运动和点的复合运动的综合 性问题。
2019/11/16
14
BUAA
思考题：半径为 R 的圆盘做平面运动，已知某瞬时圆盘边缘 上两点A、B的加速度a （大小、方向如图所示），试判 断下列结论哪些是正确的：
A：这种运动不存在； B：能求出圆盘的角速度（大小和方向） C：能求出圆盘上任一点的加速度； D：能求出圆盘的角加速度（大小和方向）
dp
dt
Fi(e) maC
miaCi
Fi ( e )
m dvC dt
Fi ( e )
dm dt
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αe αr ωe ωr
ω ωe ωr
刚体的角加速度:
α dωe dωr dt dt
dωe d ' ωr ωe ωr dt dt αe αr
刚体的角加速度:
α αe αr ωe ωr
3
动系为一般运动时点的加速度合成
速度合成：
v a ve v r
vo ' ω ro ' M vr
锥的顶角为90，母线长为 L，已知圆锥底面中心点 D 作匀速圆周 运动，其速度为 v，方向垂直平面 ABC 向外。求圆锥的角速度 、 角加速度 和圆锥底面上最高点 B 的加速度 a B 的大小。
=__________ ， =__________， a B =__________。
22
ω：自转角速度
例：图示薄圆盘半径为 R，求M点的速度 v M 、转动加速度 a R
和向轴加速度 a N 的大小。
M
v M ωa BM a R α BM
α ωa vM
例：正棱长为 L 的正方体形绕 O 点作定点运动，已知在图示瞬
时该刚体的角速度 与角加速度 ，求该瞬时正方体上顶点 A
定点运动刚体的任意有限位移，可以绕通过固定点的某一 轴经过一次转动来实现。
定点运动刚体有限位移的顺序不可交换. 定点运动刚体无限小位移的顺序可交换.
定点运动刚体的角位移不能用矢量表示，但无穷小角位移 可以用矢量表示。 定点运动刚体的角速度\角加速度可以用矢量表示。 了解欧拉运动学方程. 了解欧拉动力学方程. 自转\进动\章动概念.
要求：画出受力图、加速度图；给出解题基本理论和基本步骤。 解: 1. 取陀螺研究; 3. 由动量矩定理:
C
2. 受力分析:
FN
1 J 2 sin mgL sin 1
4. 由动量定理(质心运动定理):
mg
F
0 FN mg
mL12 sin F 17
例：质量为 m 半径为 R 的均质薄圆盘以匀角速度 绕水平轴 AB
20
例：如图所示，定点运动的圆锥在水平固定圆盘上纯滚动。若
圆锥底面中心点 D 作匀速圆周运动，AC 为圆锥与圆盘接触的母
线。在图示瞬时， C 点的加速度矢量 aC 的方向__________ 。
A：平行于AC；
B： 垂直于AC且平行于AB；
C：垂直于ABC三点确定的平面； D：不能确定。
例：如图所示，具有固定点 A 的圆锥在固定的圆盘上纯滚动，圆
z
d
Mo J z' (J z' Je ) cos 0 ω ω
精确结果
0
A
0 90 当： (2)
(1)
M o J z 'ω ω
18
B
例：确定一个正方体在空间的位置需要___________个独立的参数。 A：3； B：4； C：5； D ：6 .
其中 为动系的角速度。
刚体动力学
动力学普遍定理
平移刚体(等同质点)
动静法
平移刚体惯性力
c
ma c F
FI ac
c
ac
FI mac
刚体动力学
动力学普遍定理
平面运动刚体运动方程
动静法
平面运动刚体惯性力
Байду номын сангаасFIR
M Ic c
c
ma c F
ac
FI mac M Ic J c
ac
J c M C ( F )
条件：刚体有质量对称面，且其平行于运动平面
刚体动力学
动力学普遍定理
刚体定轴转动微分方程
动静法
定轴转动刚体惯性力
J z M z ( F )
FIx m( 2 xc yc ) FIy m( xc 2 yc ) FIz 0
M Ix J xz 2 J yz M Iy 2 J xz J yz M Iz J z
z
ω
ω
z'
一、陀螺规则进动的条件
问题性质：已知运动, 求力 。
y
x'
Mo J z' (J z' Je ) cos 0 ω ω
即:
x
o
y'
M o const , 方向沿节线.
精确结果
12
陀螺规则进动的基本公式: 已知运动 → 力
Mo J z' (J z' Je ) cos 0 ω ω
转动，AB 轴通过光滑球铰 A 与铅垂轴 z 相连接，如图示。若 AB
轴的长度为 d=3R 且不计其质量，圆盘作规则进动，求水平轴 AB 绕铅垂轴 z 的进动角速度大小 0 以及球铰链 A 水平方向的约束力 的大小 FAB .
0 =___________；
FAB =__________。
陀螺规则进动的基本公式: 已知运动 → 力
加速度合成：
aa ae ar ac
刚体一般运动的运动微分方程
d mvc e Fi dt
投影到定系：
maC M ( Fi e )
d ' mvc e Ω mvc Fi 投影到动系： dt
r dLrc d' L c M ( Fi e ) 投影到动系： Ω Lrc M ( Fi e ) dt dt
z
ω
ω
z'
y
x'
x
o
y'
90
Lo J z ' k ' J z 'ω Lo J e ω J z 'ω
15
则当刚体作规则进动时， Lo 的矢端划出一圆。
当刚体作规则进动时，Lo 的矢端划出一圆。
dLo ω Lo dt
z
ω
z'
Lo
由莱沙尔定理:
a ax ' i ' a y ' j ' az ' k '
：动系的角速度
da di ' dj ' dk ' ax ' i ' a y ' j ' az ' k ' ax ' ay ' az ' dt dt dt dt d 'a ω a dt
2
绕相交轴转动的合成
刚体的角速度:
10
第10章要求
定量方面
定点运动刚体上点的速度和加速度公式应用; 能计算定点运动刚体的动量矩; 能计算定点运动刚体的动能; 能计算陀螺力矩;
能求解与例10-1和例10-2相同题型的问题。 对高速自转的陀螺，其对定点的动量矩近似为
Lo J z 'ω
11
陀螺近似理论
陀 螺： 满足条件 J x ' J y ' 的定点运动刚体。
z
B： 平行于 Oz 轴； C： 平行于 Oy 轴；
O
y
A
vA
x
D：
平行于 Ox 轴。
vB
B
28
例：已知质量为 m 棱长为 L 的正方形刚体绕 O 点作定点运动， 已知在图示瞬时其顶点 A、B两点速度矢量满足关系式 v A v B (垂直于 OAB 平面)方向，且 v A u . 根据已知条件，能求刚体 的哪些物理量？ A： B： 只能确定其角速度矢量所在平面； 能求角速度的大小和方向；
和向轴加速度 a N 的大小。
v M ωa OM (ω0 ω) OM ω0 OM
vM 0 R
a N (ω0 ω) vM
2 aN 2 0 0 R
o
α ω0 (ω0 ω) ω0 ω
a R α OM
0
aR 0 R
理论力学总结
1
矢量的绝对导数与相对导数
对于标量函数: 对于矢量函数:
a f (t )
a ax i a y j az k
da f '(t ) dt
da di dj dk a i a j a k ax i a y j az k ax a y az x y z dt dt dt dt
dL M o o ω Lo dt
Lo J z 'ω
( )
M o J z 'ω ω
y
Lo J e ω J z 'ω M o J z 'ω ω
( 90)
x
o
16
与精确解比较:
Mo J z' (J z' Je ) cos 0 ω ω
刚体动力学
刚体运动微分方程 一般运动刚体惯性力
ma c F
FIR
ω
M Ic
C
d ' J C ω dt M C (F )
ω J C ω
α
FI mac
ac
M IC J C α ω J C ω
第10章要求
定性理论
例：如图所示，已知质量为m的定点运动陀螺做规则进动( >0为 常量)，其质心C到球铰链O的距离为L，该陀螺对质量对称轴z的 转动惯量为 J，且以 2 绕 z 轴高速旋转，z 轴与z1 轴的夹角为 . 求：陀螺的进动角速度 1 、铰链 O 的约束力在铅垂方向的分量
FN 和水平方向的分量 F 的大小。