北航理论力学复习

O
z
vA
C： 能求角加速度的大小和方向； D： 能求刚体对定点的动量矩大小和方向。
即:
精确结果
M o const , 方向沿节线.
陀螺规则进动的基本公式: 已知运动 → 力
二、莱沙尔(Henri Resal)定理
在定系中:
dLo Mo dt
定理: 刚体对固定点 o 的动量矩 Lo 的端点的速度，等于作用 于该刚体的所有外力对同一点的主矩.
13
三、陀螺近似理论
Mo J z' (J z' Je ) cos 0 ω ω
αe αr ωe ωr
ω ωe ωr
刚体的角加速度:
α dωe dωr dt dt
dωe d ' ωr ωe ωr dt dt αe αr
刚体的角加速度:
α αe αr ωe ωr
3
动系为一般运动时点的加速度合成
速度合成：
v a ve v r
vo ' ω ro ' M vr
例：如图所示，已知质量为m的定点运动陀螺做规则进动( >0为 常量)，其质心C到球铰链O的距离为L，该陀螺对质量对称轴z的 转动惯量为 J，且以 2 绕 z 轴高速旋转，z 轴与z1 轴的夹角为 . 求：陀螺的进动角速度 1 、铰链 O 的约束力在铅垂方向的分量
FN 和水平方向的分量 F 的大小。
J z 'ω ω
14
四、陀螺近似理论的莱沙尔解释
相对于定系:
ωa ω ω ωa x ' i ' y ' j ' ( z ' )k ' Lo J x 'x ' i ' J y ' y ' j ' J z 'z ' k ' J e x ' i ' J e y ' j ' J z ' ( z ' )k '
z
ω
ω
z'
一、陀螺规则进动的条件
问题性质：已知运动, 求力 。
y
x'
Mo J z' (J z' Je ) cos 0 ω ω
即:
x
o
y'
M o const , 方向沿节线.
精确结果
12
陀螺规则进动的基本公式: 已知运动 → 力
Mo J z' (J z' Je ) cos 0 ω ω
z
ω
ω
z'
y
x'Βιβλιοθήκη Baidu
x
o
y'

90
Lo J z ' k ' J z 'ω Lo J e ω J z 'ω
15
则当刚体作规则进动时， Lo 的矢端划出一圆。
当刚体作规则进动时，Lo 的矢端划出一圆。
dLo ω Lo dt
z
ω
z'
Lo
由莱沙尔定理:
z
d
Mo J z' (J z' Je ) cos 0 ω ω
精确结果
0
A
0 90 当： (2)
(1)
M o J z 'ω ω

18
B
例：确定一个正方体在空间的位置需要___________个独立的参数。 A：3； B：4； C：5； D ：6 .
a ax ' i ' a y ' j ' az ' k '
：动系的角速度
da di ' dj ' dk ' ax ' i ' a y ' j ' az ' k ' ax ' ay ' az ' dt dt dt dt d 'a ω a dt
2
绕相交轴转动的合成
刚体的角速度:
例：在光滑水平面上运动的刚性球的自由度是___________。 A：3； B：4； C：5； D：6 .
19
例：如图所示，定点运动的圆锥在水平固定圆盘上纯滚动。若
圆锥底面中心点 D 作匀速圆周运动，则该圆锥的角速度矢量 与角加速度矢量 的关系是______ 。 A：平行于； B： 垂直于； C：为零矢量； D ：为非零矢量。
如果:
则:


Mo J z' (J z' Je ) cos 0 ω ω
0 90
J z 'ω ω
如果：
cos 0 ω ω 则也有： M o J z ' ( J z ' J e )
转动，AB 轴通过光滑球铰 A 与铅垂轴 z 相连接，如图示。若 AB
轴的长度为 d=3R 且不计其质量，圆盘作规则进动，求水平轴 AB 绕铅垂轴 z 的进动角速度大小 0 以及球铰链 A 水平方向的约束力 的大小 FAB .
0 =___________；
FAB =__________。
陀螺规则进动的基本公式: 已知运动 → 力
的转动加速度的大小 a AR 和向轴加速度的大小 a AN .
a AR =____________；
a AN =______________
O
ω
A
α
27
例：正方形刚体绕 O 点作定点运动，已知在图示瞬时其上 A、B
两点的速度方向，如图所示，则此时该刚体角速度矢量 平行
于__________。 A： A、B 两点连线；
理论力学总结
1
矢量的绝对导数与相对导数
对于标量函数: 对于矢量函数:
a f (t )
a ax i a y j az k
da f '(t ) dt
da di dj dk a i a j a k ax i a y j az k ax a y az x y z dt dt dt dt
dva dve dvr dt dt dt dvo ' dω dro ' M dvr ro ' M ω dt dt dt dt dvo ' dω d ' ro ' M d ' vr ro ' M ω ω ro ' M ω vr dt dt dt dt d ' ro ' M d ' vr ao ' α ro ' M ω ω ro ' M ω ω vr dt dt 重合点的加速度 vr ar
例：图示薄圆盘半径为 R，求M点的速度 v M 、转动加速度 a R
和向轴加速度 a N 的大小。
M
v M ωa BM a R α BM
α ωa vM
例：正棱长为 L 的正方体形绕 O 点作定点运动，已知在图示瞬
时该刚体的角速度 与角加速度 ，求该瞬时正方体上顶点 A
20
例：如图所示，定点运动的圆锥在水平固定圆盘上纯滚动。若
圆锥底面中心点 D 作匀速圆周运动，AC 为圆锥与圆盘接触的母
线。在图示瞬时， C 点的加速度矢量 aC 的方向__________ 。
A：平行于AC；
B： 垂直于AC且平行于AB；
C：垂直于ABC三点确定的平面； D：不能确定。
例：如图所示，具有固定点 A 的圆锥在固定的圆盘上纯滚动，圆
dL M o o ω Lo dt
Lo J z 'ω
( )
M o J z 'ω ω
y
Lo J e ω J z 'ω M o J z 'ω ω
( 90)
x
o
16
与精确解比较:
Mo J z' (J z' Je ) cos 0 ω ω
和向轴加速度 a N 的大小。
v M ωa OM (ω0 ω) OM ω0 OM
vM 0 R
a N (ω0 ω) vM
2 aN 2 0 0 R
o
α ω0 (ω0 ω) ω0 ω
a R α OM
0
aR 0 R
ac
J c M C ( F )
条件：刚体有质量对称面，且其平行于运动平面
刚体动力学
动力学普遍定理
刚体定轴转动微分方程
动静法
定轴转动刚体惯性力
J z M z ( F )
FIx m( 2 xc yc ) FIy m( xc 2 yc ) FIz 0
M Ix J xz 2 J yz M Iy 2 J xz J yz M Iz J z
加速度合成：
aa ae ar ac
刚体一般运动的运动微分方程
d mvc e Fi dt
投影到定系：
maC M ( Fi e )
d ' mvc e Ω mvc Fi 投影到动系： dt
r dLrc d' L c M ( Fi e ) 投影到动系： Ω Lrc M ( Fi e ) dt dt
要求：画出受力图、加速度图；给出解题基本理论和基本步骤。 解: 1. 取陀螺研究; 3. 由动量矩定理:
C
2. 受力分析:
FN
1 J 2 sin mgL sin 1
4. 由动量定理(质心运动定理):
mg
F
0 FN mg
mL12 sin F 17
例：质量为 m 半径为 R 的均质薄圆盘以匀角速度 绕水平轴 AB
10
第10章要求
定量方面
定点运动刚体上点的速度和加速度公式应用; 能计算定点运动刚体的动量矩; 能计算定点运动刚体的动能; 能计算陀螺力矩;
能求解与例10-1和例10-2相同题型的问题。 对高速自转的陀螺，其对定点的动量矩近似为
Lo J z 'ω
11
陀螺近似理论
陀 螺： 满足条件 J x ' J y ' 的定点运动刚体。
定点运动刚体的任意有限位移，可以绕通过固定点的某一 轴经过一次转动来实现。
定点运动刚体有限位移的顺序不可交换. 定点运动刚体无限小位移的顺序可交换.
定点运动刚体的角位移不能用矢量表示，但无穷小角位移 可以用矢量表示。 定点运动刚体的角速度\角加速度可以用矢量表示。 了解欧拉运动学方程. 了解欧拉动力学方程. 自转\进动\章动概念.
z
B： 平行于 Oz 轴； C： 平行于 Oy 轴；
O
y
A
vA
x
D：
平行于 Ox 轴。
vB
B
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例：已知质量为 m 棱长为 L 的正方形刚体绕 O 点作定点运动， 已知在图示瞬时其顶点 A、B两点速度矢量满足关系式 v A v B (垂直于 OAB 平面)方向，且 v A u . 根据已知条件，能求刚体 的哪些物理量？ A： B： 只能确定其角速度矢量所在平面； 能求角速度的大小和方向；
刚体动力学
刚体运动微分方程 一般运动刚体惯性力
ma c F
FIR
ω
M Ic
C
d ' J C ω dt M C (F )
ω J C ω
α
FI mac
ac
M IC J C α ω J C ω
第10章要求
定性理论
ω
ω ：进动角速度
例：若定点运动刚体角速度矢量 的大小为非零常量，其方向
始终变化，则该刚体的角加速度矢量 可能是________。
A：
α 0 ；
α ω, α 0
B：
C： D：
；
α ω, α 0 ；
为非零常矢量。
24
例：图示薄圆盘半径为 R，求M点的速度 v M 、转动加速度 a R
锥的顶角为90，母线长为 L，已知圆锥底面中心点 D 作匀速圆周 运动，其速度为 v，方向垂直平面 ABC 向外。求圆锥的角速度 、 角加速度 和圆锥底面上最高点 B 的加速度 a B 的大小。
=__________ ， =__________， a B =__________。
22
ω：自转角速度
其中 为动系的角速度。
刚体动力学
动力学普遍定理
平移刚体(等同质点)
动静法
平移刚体惯性力
c
ma c F
FI ac
c
ac
FI mac
刚体动力学
动力学普遍定理
平面运动刚体运动方程
动静法
平面运动刚体惯性力

FIR

M Ic c
c
ma c F
ac
FI mac M Ic J c