概率统计习题课讲课教案

一 随机事件及其概率1. ,,A B C 为三个随机事件，事件“,,A B C 不同时发生”可表示为 ， 事件“,,A B C 都不发生”可表示为 ，事件“,,A B C 至少发生两件”可表示为 。

2．从1，2，3，4中随机取出两个数，则组成的两位数是奇数的概率是 ， 事件“其中一个数是另一个数的两倍”的概率是 。

3. 有r 个球，随机地放在n 个盒子中(r n ≤)，则某指定的r 个盒子中各有一球的概率为_ __ __。

4．把3个球随机放入编号为1,2,3的三个盒子(每个盒子能容纳多个球)，则三个盒子各放入一球的概率是___________。

5. 设,A B 为随机事件，()0.7P A =, ()0.3P A B -=,则()P A B =__ ___。

6．事件A 发生必然导致事件B 发生，且()0.1,()0.2,P A P B ==，则()P A B =____。

7. 盒中有6个大小相同的球，4个黑球2个白球，甲乙丙三人先后从盒中各任取一球，取后不放回，则至少有一人取到白球的概率为___________。

8. 甲乙两个盒子，甲盒中有2个白球1个黑球，乙盒中有1个白球2个黑球，从甲盒中任取一球放入乙盒，再从乙盒中任取一球，取出白球的概率是 。

9．某球员进行投篮练习，设各次进球与否相互独立，且每次进球的概率相同，已知他三次投篮至少投中一次的概率是0.875，则他的投篮命中率是 。

10. 将一枚硬币抛掷3次，观察出现正面（记为H ）还是反面（记为T ），事件A ={恰有一次出现正面}，B ={至少有一次出现正面}，以集合的形式写出试验的样本空间Ω和事件,A B ，并求(),(),()P A P B P A B11. 已知()0.1,()0.2P A P B ==，在下列两种情况下分别计算()P A B 和()P A B ：(1) 如果事件,A B 互不相容； (2) 如果事件,A B 相互独立。

12. 盒中有3个黑球7个白球，从中任取一球，不放回，再任取一球，(1)若第一次取出的是白球，求第二次取出白球的概率 (2) 两次都取出白球的概率 (3) 第二次取出白球的概率 (4) 若第二次取出的是白球，求第一次取出白球的概率。

二 一维随机变量1．向平面区域{(,):1}x y x y +≤内随机投3个点，则3个点中恰有2个点落在第一象限内的概率是 。

2．设随机变量X 服从二项分布(3,0.3)B ，且2Y X =，{4}P Y == 。

3．设圆形区域的半径X 服从区间[0,2]上的均匀分布，则圆形区域的面积2Y X π=的数学期望()E Y =________。

4．设随机变量X 的密度函数()f x 对x R ∀∈，有()()f c x f c x +=- , c 是常数，则{}P X c >= ，()E X = 。

5．设随机变量X 的密度函数221(),()x x f x x R-+-=∈，则2()E X = 。

6．抽样调查结果表明：某地区考生的外语成绩X 服从正态分布2(,)N μσ， 平均成绩72μ=，已知80分以上者占总人数的20%，则考生的外语成绩在64分至80分之间的概率是 。

7．一袋中装有六只球，编号是1,2,3,4,5,6，从中随机取出三个球，X 表示取出的球的最小号码，求X 的分布律，数学期望和方差。

8. 试验E 只有两种结果：A 和A ，且(),01P A p p =<<，试验E 独立重复地进行，(1) X 表示事件A 首次发生时的试验次数，求X 的分布律和数学期望； (2) Y 表示事件A 第r 次发生时的试验次数(r 是任一正整数), 求Y 的分布律和数学期望。

9. 盒中有3个黑球2个白球，每次从中任取一球，直到取到白球为止，X 表示抽取次数，(1) 如果每次取出的球不放回，求X 的分布律和数学期望；(2) 如果每次取出的球放回盒中，求X 的分布律和数学期望。

10. 设连续型随机变量X 的密度函数,01()0,ax b x f x +≤≤⎧=⎨⎩其他，{0.5}0.625P X >=，(1) 确定常数,a b (2) 计算{10.5}P X -<< (3) 求()E X11. 设随机变量X 的分布函数是()arctan F x A B x =+，求(1) 常数,A B (2)X 的概率密度()f x （3）(1P X -≤≤12. 乘客在某公交车站等车的时间X 服从正态分布2(7,2)N ，（单位：分钟）(1) 求乘客的等车时间超过11分钟的概率((1)0.84Φ=,(2)0.98Φ=)(2) 若一小时内有100位乘客在此车站等车，其中等车时间超过11分钟的人数是Y ，写出Y 的分布律，并求一小时内至少有两人等车时间超过11分钟的概率。

13. 在某次200米游泳比赛中，运动员的成绩2(180,20)X N （单位：秒），(1)成绩位于前40%的运动员直接晋级，则用时低于多少秒(设为a )的运动员得以晋级？ (2)成绩位于后20%的运动员直接淘汰，则用时超过多少秒(设为b )的运动员被淘汰？((0.25)0.6,(0.84)0.8Φ=Φ=)14. 某人家住市区东郊，工作单位在西郊，上班有两条路线可选择：一条直穿市区，但可能塞车，所需时间(单位:分钟)服从正态分布2(30,10)N ；另一条环城高架，路程远但很少塞车，所需时间服从正态分布2(40,4)N ，为保证以较大概率上班不迟到，问：(1) 如果上班前50分钟出发，应选哪条路线？(2) 如果上班前45分钟出发，应选哪条路线？((1.25)0.8944,(1.5)0.9332,(2)0.9772,(2.5)0.9938)Φ=Φ=Φ=Φ=15. 设随机变量X 服从[0,1]上的均匀分布，证明：(1) ()Y a b a X =+-服从[,]a b 上的均匀分布；(2) ln Y X =-服从参数为1的指数分布。

16. 射箭比赛中的圆靶半径为0.5米, 设击中靶上任一同心圆内的概率与该圆的面积成正比,并设箭支都能中靶, (1) 以X 表示箭支落点与圆心的距离，证明：X的分布函数200()400.510.5x F x x x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩； (2) 如图，从圆心起每0.1米为一环，Y 表示射箭得到的环数，求Y 的分布律和数学期望。

17. (1) 设随机变量12,X X 相互独立，都服从参数为λ的泊松分布， 证明：12X X +服从参数为2λ的泊松分布；(2) 假设在一分钟内进入商场的顾客数X 服从参数为λ的泊松分布，相邻两位顾客进入商场的间隔时间是T ，求T 的分布函数(){}F t P T t =≤和密度函数()f t 。

(提示：由(1)可知，在t 分钟内进入商场的顾客数服从参数为t λ的泊松分布)三 二维随机变量1.设二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数(,)(1)(1),0,0ax by F x y e e x y --=-->>，则其联合密度函数(,)f x y = 。

2.设二维随机变量),(Y X 的联合密度,01(,)0,A y x f x y ≤≤≤⎧=⎨⎩其他, 则=A ，11{,}22P X Y ><= 。

3. 设二维随机变量),(Y X 的联合密度2,(,)0,c x y x f x y else ⎧≤≤=⎨⎩，则常数c = 5 4 3 2 14. 已知随机变量X 和Y 的分布律分别为0101~~0.750.250.50.5X Y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且{0}1P XY ==，则{0,0}P X Y === 。

5. 设随机变量X 和Y 相互独立，具有相同的分布律：11~1/21/2X -⎛⎫ ⎪⎝⎭则{}P X Y == ，{0}P X Y +== 。

6. 设随机变量(1,4)X N ，(0,16)Y N ，,X Y 相互独立，则21Z X Y =--服从的分布是 。

(需注明参数)7．甲乙两人约在7点到8点之间在车站碰头，设两人的到达时刻是随机的，记为),(Y X ，0,60X Y ≤≤，(1) 写出),(Y X 的联合密度函数(,)f x y ； (2) 在7:15，7:30，7:45，8:00各有一班车到站，如果两人见车就乘，求他们能乘坐同一班车的概率1p ，如果先到者最多等一班车，求他们能乘坐同一班车的概率2p 。

8．设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为,02,0(,)0,y Ae x y f x y -⎧≤≤>=⎨⎩其他 求 (1) 常数A ；(2) 关于X 和Y 的边缘密度函数)(),(y f x f Y X ，并判断X 和Y 是否相互独立？(3) 求()E XY9. 在区间(0,1)上随机取两个数X 和Y ，(1)写出(,)X Y 的联合密度函数(,)f x y ；(2) 求两数之和小于6/5的概率。

10. 盒中有5个大小相同的球，其中1个黑球2个白球2个红球，从中任取两个球，X 和Y 分别表示取出的白球数和红球数，(1) 求(,)X Y 的联合分布律与边缘分布律； (2) 求取出的白球数和红球数的数学期望。

四 大数定律与中心极限定理1. 设A n 是n 次独立重复试验中事件A 发生的次数，p 是事件A 发生的概率，则对任意正数ε，有lim A n n P p n ε→∞⎧⎫-≥=⎨⎬⎩⎭。

2. 测量一个零件的长度，测量n 次，得到一组测量值12,,,n X X X ⋯⋯，设零件的实际长度是a ，则对任意正数ε，有11lim n i n i P X a n ε→∞=⎧⎫-<=⎨⎬⎩⎭∑ 。

3. 设12,,,n X X X ⋯是来自于正态总体2(0,)N σ的样本，则对任意正数ε，2211lim n i n i P x n σε→∞=⎧⎫-≥=⎨⎬⎩⎭∑ 。

4. 设12,,,,n X X X ⋯⋯是相互独立的随机变量序列，(),()i i E X D X 存在，且(),1,2,i D X C i ≤=，则对任意正数ε，1111lim ()n ni i n i i P X E X n n ε→∞==⎧⎫-≥=⎨⎬⎩⎭∑∑ 5. 计算器在进行加法时，将每个加数舍入最近的整数，设所有的舍入误差X 都服从[-0.5,0.5]上的均匀分布且相互独立。

(1) 写出X 的密度函数，数学期望和方差；(2) 计算器将1200个数相加，用中心极限定理计算误差总和的绝对值小于10的概率。

((1)0.84Φ=)6. 抛掷一枚均匀硬币100次，其中正面向上的次数是X ，(1)写出X 的分布律，数学期望和方差 (2) 用中心极限定理计算正面向上的频率在0.45到0.55之间的概率((1)0.84Φ=)7. 从区间(0,1)中任取一个实数X ,称为随机数，(1) 证明：两个独立随机数的和12X X +的密度函数是,01()2,120x x f x x x else ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩， (2) 将1200个独立随机数相加，用中心极限定理计算总和在590到610之间的概率((1)0.84Φ=)五 数理统计1. 某商店100天销售电视机的情况有如下统计资料，则样本均值X = 。