二项式排列组合

二项式定理与多项式

1．二项工定理∑=-∈=

+n

k k k n k n

n

n b a C

b a 0

*)()(N

2．二项展开式的通项 )0(1n r b a C T r

r n r n r ≤≤=-+它是展开式的第r+1项. 3．二项式系数 ).0(n r C r n ≤≤

4．二项式系数的性质

（1）).0(n k C C k n n k n ≤≤=-

（2）).10(111-≤≤+=---n k C C C k n k n k n （3）.1121++++++=+++++n k n n k n n n n n n n C C C C C （4）.2210n n n n n n C C C C =++++

（5）.21531420-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C

（6）.1

111----=

=k n k

n k n k n C k

n C nC kC 或 （7）).(n k m C C C C C C m

m k n m k n

m k m n m n m k k n ≤≤=⋅=⋅+---- 例题：求7)11(x

x +

+的展开式中的常数项. 【解】常数项为.3933

6672747172707=+++C C C C C C C 例题：求6

2)321(x x -+的展开式里x 5

的系数. 【解】 .16813)(35

6516464-=⋅+-⋅+C C C

例题：已知实数βα,均不为0，多项ββαα++-=x x x x f 23)(的三根为321,,x x x ，求 )111)((3

2

1

321x x x x x x ++++的值.

例题：d cx bx ax x x f ++++=234)(，其中d c b a ,,,为常数，如果,3)3(,2)2(,1)1(===f f f 求)]0()4([4

1f f +的值

常见题型及解法 一、求二项展开式

1．“n

b a )(+”型的展开式 例1．求4)13(x x +

的展开式；

2． “n

b a )(-”型的展开式 例2．求4)13(x

x -的展开式

3．二项式展开式的“逆用” 例题：计算c C C C n

n n

n n n n 3)1( (279313)

2

1

-++-+-； 解：原式=

n

n n n n n n n C C C C C )2()31()3(....)3()3()3(3

33

22

11

-=-=-++-+-+-+

二、通项公式的应用

1．确定二项式中的有关元素

例题：已知9

)2

(

x x a -的展开式中3x 的系数为49，常数a 的值为 1-=a

2．确定二项展开式的常数项 例题：103

)1

(x

x -

展开式中的常数项是 是210)1(6

106=-C

3．求单一二项式指定幂的系数 例题：（03全国）9

2

)21(x

x -

展开式中9x 的系数是 221-

三、求几个二项式的和（积）的展开式中的条件项的系数

例题：5432)1()1()1()1()1(-+---+---x x x x x 的展开式中，2

x 的系数等于 例题：（02全国）72)2)(1-+x x （的展开式中，3

x 项的系数是 1008。

四、利用二项式定理的性质解题 （1）求中间项 例题：求（10

3

)1

x

x -

的展开式的中间项； 解：6

5252x -。

（2）求有理项 例题：求103

)1

(x

x -

的展开式中有理项共有 项； 解：有4项。

总结：当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式；

当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不可约分数）时，那么这个代数式是无理式。 （3）求系数最大或最小项

例题：（00上海）在二项式11

)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是 ；462)1(5

5

11

-=-C 例题：求84)21(x

x +

展开式中系数最大的项；

例题：在（7

)y x -的展开式中，系数绝对值最大项是 五、利用“赋值法”求部分项系数，二项式系数和

例题：若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+， 则2312420)()(a a a a a +-++的值为 例题：设015

56

66

...)12(a x a x a x a x ++++=-， 则=++++6210...a a a a

2010年高考排列组合与二项式定理题目汇编

（2010全国卷2理数）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有

（A ）12种 （B ）18种 （C ）36种 （D ）54种 （2010江西理数）()8

2x

-展开式中不含．．4

x

项的系数的和为（ ）

A.-1

B.0

C.1

D.2

（2010重庆文数）某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天 . 若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有 （A ）30种 （B ）36种 （C ）42种 （D ）48种