人教新课标版数学高二人教版必修四教案 任意角的三角函数(第二课时)
高中数学1.2.1任意角的三角函数二教案新人教A版必修4
课题 1.2.1 任意角的三角函数(二)教学目标知识与技能利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；利用三角函数线比较同名三角函数值的大小及表示角的范围。
过程与方法掌握用单位圆中的线段表示三角函数值；从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。
情感态度价值观学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神重点正弦、余弦、正切线的概念难点正弦、余弦、正切线的利用教学设计教学内容教学环节与活动设计探究点一三角函数的定义域任意角的三角函数是在坐标系中定义的，角的范围是使函数有意义的实数集．根据任意角三角函数的定义可知正弦函数y＝sin x的定义域是__；余弦函数y＝cos x的定义域是__；正切函数y＝tan x的定义域是____________________________．在此基础上，可以求一些简单的三角函数的定义域．例如：(1)函数y＝sin x＋tan x的定义域为_____________．答案{x|x∈R且x≠kπ＋π2，k∈Z}(2)函数y＝sin x的定义域为________________．答案{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}(3)函数y＝lg cos x的定义域为________________．答案{x|2kπ－π2<x<2kπ＋π2，k∈Z}问题1 请叙述正弦线、余弦线、正切线的作法？答过任意角α的终边与单位圆的交点P，过点P向x轴作垂线，垂足为M，则由垂足M指向点P的有向线段MP就叫做α的正弦线，位于x轴上，由原点指向垂足M的有向线段OM就是α的余弦线．过点A(1,0)作单位圆的切线，切线与角α的终边或其反向延长线交于点T，则由A指向交点T的有向线段AT教学内容教学环节与活动设计探究点三 三角函数线的应用三角函数线是三角函数的几何表示，是任意角的三角函数定义的一种“形”的补充，线段的长度表示了三角函数绝对值的大小，线段的方向表示了三角函数值的正负．仔细观察单位圆中三角函数线的变化规律，回答下列问题．问题1 若α为任意角，根据单位圆中正弦线和余弦线的变化规律可得：sin α的范围是 ；cos α的范围是.问题2 若α为第一象限角，证明sin α＋cos α>1.证明 设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，则sin α＝MP ，cos α＝OM ，OP ＝1. 在Rt △OMP 中，由两边之和大于第三边得MP ＋OM>OP ，即sin α＋cos α>1.问题3 若α为任意角，根据单位圆中正弦线和余弦线的变化规律探究sin2α＋cos2α与1的关系．解 当α的终边落在x 轴上时，sin α＝0，|cos α|＝1，sin2α＋cos2α＝1；当α的终边落在y 轴上时，|sin α|＝1，cos α＝0， sin2α＋cos2α＝1；当α的终边不落在坐标轴上时，sin α＝MP ，cos α＝OM.在Rt △OMP 中，|MP|2＋|OM|2＝|OP|2＝1. ∴sin2α＋cos2α＝1.综上所述，对于任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1. 例1 在单位圆中画出满足sin α＝12的角α的终边，并求角α的取值集合．解 已知角α的正弦值，可知MP ＝12，则P 点纵坐标为12.所以在y 轴上取点 ⎛⎭⎪⎫0，1.过这点作x 轴的平行线，交教教学内容教学环节与活动设计。
2020_2021学年高中数学第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数2教学教案新人教A版必修4
任意角的三角函数一、教学基本信息：⒈授课者：⒉课题：普通高中课程标准实验教科书《数学（必修4）》第一章“三角函数”，第二节“任意角的三角函数”第二课时。
二、指导思想与理论依据⒈指导思想：以问题为引导、以探究为过程、以发展为目标，面向全体、尊重个性。
⒉理论依据：建构主义认知心理学原理及单元教学设计原理建构主义心理学认为，认识并非是主体对于客观存在的简单的、被动的反映，而是一个主动的、不断深化的建构过程，即所有的知识意义都是通过内在表征过程主动建构出来的；在知识意义建构过程中，主体已有的知识、经验起着重要的作用，即所有知识意义是随着学习环境的变化而处于不断发展之中。
因此在教学中必须要让学生的知识建构过程处于一定的知识体系之中，既要利用已有的相关知识帮助学生对新知识产生内化，有要帮助学生将内化的知识与原有的知识融合产生相关知识的系统，以帮助他更好地理解知识。
教学设计时，要通过单元教学的设计原理，将一节的内容纳入到某一知识主题单元中，帮助学生从某一知识体系的整体上来认识新知识，从而有利于学生更好地对知识加以建构。
三、学习内容分析：三角函数是一个重要的基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型。
它的基础主要是几何中的相似形和圆，研究方法主要是代数中的图象分析和代数变形，三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来。
它在物理学、天文学、测量学等学科中都有重要的应用，它是解决实际问题的重要工具，它是学习数学中其他学科的基础。
在前课中，角的概念已经由锐角扩展到0°–360°内的角，再扩充到任意角，相应地，锐角三角函数概念也必须有所扩充。
任意角三角函数概念的出现是角的概念扩充的必然结果。
比较锐角三角函数与任意角三角函数这两个概念，共同点是，它们都是“比值”，不同点是锐角三角函数是“线段长度的比值”，而任意角三角函数是直角坐标系中“坐标与长度的比值，或者是坐标的比值”。
正是由于“比值”这一与在角的终边上所取点的位置无关的特点，因此，可以用角的终边与单位圆的交点的坐标（或坐标的比值）来表示任意角的三角函数，这是概念的核心。
高中数学 任意角的三角函数2教案 新人教A版必修4
某某省抚宁县第六中学高中数学必修4教案：任意角的三角函数2教学目标 知识与技能 1．理解并掌握有向线段的概念；2.正确利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来.过程与方法 画出正弦线，余弦线，正切线，观察体会情感态度价值观 培养数形结合思想重 点 正弦、余弦、正切函数值的几何表示.难 点 正弦、余弦、正切函数值的几何表示.关 键 正切线的正确画法教学方法及课前准备教学流程 多媒体辅助教学内容一、问题情境1．情境引入：我们已学过任意角三角函数，给出了任意角α的正弦、余弦、正切的定义.2．提出问题：能不能用几何元素表示三角函数值？例如，能不能用线段表示三角函数值？二、学生活动学生思考，讨论，回答.讨论可能沿着下面的方向进行：1.通过联想，可以提出问题1：在初中，我们知道锐角三角函数可以看成线段的比，那么，任意角的三角函数是否可以也看成是线段的比呢？2.明确问题，可以提出问题2：问题1的实际意义是什么？什么叫做三角函数？任意角的三角函数是怎样定义的？由此可以进一步明确问题1的意义.具体地，以正弦函数为例，当前的问题就是怎样用几何元素表示sin y r.（这里的y x ,是角α终边上任一点P 的坐标） 2.简化问题，可以提出问题3：能进一步简化问题吗？是否可以在角α的终边上取一个特殊点P ，使得三角函数值的表达式更为简单？结论是，当P 点在以原点为圆心，半径为1的圆（单位圆）上时，1r ，而ααcos ,sin 的函数值分别为点P 的纵坐标y 和横坐标x .三、建构数学（1）提出解决问题1的关键就这样解决问题4：怎样表示点的纵，横坐标？能不能用线段表示坐标？围绕着如下问题进行讨论：问题5：坐标是什么？问题6：能不能用线段表示坐标？能不能用线段表示数？怎样才能做到这点？问题7：和初中的锐角三角函数相比，我们现在面临的情况有什么不同？通过讨论，得到以下共识：为了用线段表示数，我们需要规定线段的方向.（2）给出有向线段、有向线段的数量、有向线段的长度的概念.下图x 轴上，CB BC AB ,,的数量分别是多少？有向线段的数量：2,2,2AB BC CB .（1）问题8：怎样用有向线段表示正弦函数值？围绕着问题8，作出表示正弦值的有向线段，得到正弦线的概念（2）由学生仿照正弦线，得到余弦线.sin ,cos MP OM .有向线段OM MP ,分别叫做角α的正弦线、余弦线. 小结：我们已经得到角α的正弦线、余弦线、正切线，它们都是与单位圆的弦有关的线段.（1）探索讨论问题9：能不能用有向线段表示角α的正切呢？问题10：正切函数值是怎样定义的？怎样才能简化定义中的表达式？这个表达式和正弦函数值的表达式有什么不同？怎样才能使表达式的分母为1？（2）先解决问题的一部分当角α的终边上存在横坐标为1的点时（这时角α的终边在y 轴的右侧），怎样用有向线段表示正切函数值？（3）再解决剩余的问题.当角α的终边上不存在横坐标为1的点时（这时角α的终边在y 轴的左侧），怎样用有向线段表示正切函数值？通过讨论，得到下面的结论.（4）正切线正切线一般可按如下方法作出：如下图所示，过点)0,1(A 作单位圆的切线（x 轴的垂线），它与角α终边所在直线交于点T ，则有向线段AT 即为角α的正切线.角。
高中数学任意角的三角函数(二)教案新人教A版必修4
4.3随意角的三角函数（二）教课目标：1. 理解并掌握各样三角函数在各象限内的符号.2. 理解并掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.教课要点：三角函数在各象限内的符号, 终边相同的角的同一三角函数值相等教课难点：正确理解三角函数可看作以“实数”为自变量的函数讲课种类：新讲课教课过程：一、复习引入：1. 设是一个随意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（ x,y ）则 P 与原点的距离r22x2y 20 x y2. 比值y叫做的正弦记作：sin y r r比值x叫做的余弦记作：cos x r r比值y叫做的正切记作：tan y x x比值x叫做的余切记作：cot xy yP(x, y)r以上四种函数，统称为三角函数 .3.突出研究的几个问题：①角是“随意角”，当=2k + (k Z) 时，与的同名三角函数值应当是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等②实质上，假如终边在座标轴上，上述定义相同合用③三角函数是以“比值”为函数值的函数④ r 0 而x,y 的正负是随象限的变化而不一样，故三角函数的符号应由象限确立 .⑤定义域：yR xRsin cosr ry|k , k Z tanx2二、解说新课：1.三角函数在各象限内的符号规律：sin>0sin>0cos<0cos>0tan<0tan>0cot<0cot>0sin<0sin<0cos>0cos<0tan<0tan>0cot<0cot>02.终边相同的角的同一三角函数值相等比如 390°和 -330 °都与30°终边地点相同，由三角函数定义可知它们的三角函数值相同，即sin390 ° =sin30 °cos390 ° =cos30°y sin(-330 °)=sin30 °cos(-330 ° )=cos30 °引诱公式一（此中 k Z）:用弧度制可写成240 0sin(k360 )sin sin(2k)sin-5100 cos(k360 )cos cos(2k)costan(k360 )tan tan(2k)tan这组公式的作用是可把随意角的三角函数值问题转变为0～2π间角的三角函数值问题．三、解说典范：例 1(1)cos250 °（2）sin()（3） tan （－ 672°） (4)tan(11)43例 2 求证角θ为第三象限角的充足必需条件是sin0 tan0例 3求以下三角函数的值(1)sin1480 ° 10′ (2)cos9（ 3）tan(11).46例 4求值： sin(-1320° )cos1110 ° +cos(-1020° )sin750 ° +tg4950 °．四、讲堂练习：1.确立以下各式的符号(1) sin100 °· cos240°(2)sin5+tan52. . x取什么 ,sin x cosx 存心?tan x3．若三角形的两内角，足 sin cos0，此三角形必⋯⋯（B）A 角三角形B角三角形C直角三角形 D 以上三种状况都可能4．假如第三象限角，以下各式中不建立的是⋯⋯⋯⋯⋯⋯（B）A： sin+cos0B：tan sin0C： cos cot0D：cot csc05．已知是第三象限角且cos0 ，是第几象限角？221sin 26．已知 1 ，第几象限角？2五、小本我要点了两个内容，一是三角函数在各象限内的符号，二是一公式，二者的作用分是：前者确立函数的符号，后者将随意角的三角函数化0°到 360°角的三角函数，两个内容是我往后学的基.六、后作：1.确立以下三角函数符号：(1)tan(556012 )(2)cos1652.化 tan2cot 211.sin 2cos2 a cos2sin 2。
【优质文档】必修4教案1.2.1任意角的三角函数(两课时)
特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：
MP
OM
MP b
sin
b ; cos
a ; tan
.
OP
OP
OM a
思考：上述锐角 的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示
. 那么 , 角的概念推广以
后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改， 以利推广到任意角呢？本节课就研究
.
难点 : 任意角的正弦、 余弦、 正切的定义 （包括这三种三角函数的定义域和函数值在各
象限的符号） ；三角函数线的正确理解 .
三、学法与教学用具
任意角的三角函数可以有不同的定义方法， 本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正
弦函数、余弦函数 . 表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了
3. 思考 : 如果知道角终边上一点 , 而这个点不是终边与单位圆的交点 , 该如何求它的三角
函数值呢 ?
前面我们已经知道 , 三角函数的值与点 P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关
.我
们只需计算点到原点的距离 r
2
2
x y , 那么 sin
y , cos
x2 y2
x
,
x2 y2
y
tan
. 所以，三角函数是以为自变量 , 以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函
以原点 O 为圆心 , 以单位长度为半径的圆 .
2. 思考 : 如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义 ?
如图 , 设 是一个任意角 , 它的终边与单位圆交于点 P ( x, y) , 那么 :
(1) y 叫做 的正弦 (sine), 记做 sin , 即 sin y ；
高中数学人教A版必修4第一章1.2.1 任意角的三角函数 第2课时 教案
4-1.2.1 任意角的三角函数（二）方案二：【学情分析】：（适用于平行班）三角函数是中学数学的重要内容之一，而三角函数线的概念及其应用不仅体现了数形结合的数学思想，又贯穿整个三角函数的教学.借助三角函数线可以推出三角函数公式，求解三角函数不等式，探索三角函数的图像和性质，……可以说,三角函数线是研究三角函数的有利工具.学习本节前,学生已经掌握任意角三角函数的定义,三角函数值在各象限的符号,以及诱导公式一,为三角函数线的寻找做好了知识准备.【教学目标】：（1）复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式；（2）掌握利用单位圆中的有向线段分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值，对三角函数的定义域、值域有更深的理解；（3）能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题，如利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围；（4）培养学生善于观察、勇于探索的数学能力，学习转化思想，提高解题能力.【教学重点】：三角函数线的作法及其简单应用.【教学难点】：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的几何形式表示出来.【教学突破点】：通过对有向线段的复习，分解教学难点，同时引导学生动手画图操作，通过观察、分析，获得新知.【教法、学法设计】：（1）教法选择：“引出问题、温故知新、分解难点、引导讨论、巩固应用”——启发式教学（2）学法选择：类比，达到知识迁移；动手实验，以理解知识；分析讨论，学会应用知识.【课前准备】：课件教学环节教学活动设计意图一、复习回顾1、三角函数的定义；2、三角函数在各象限角的符号；3、三角函数在轴上角的值；4、诱导公式（一）：终边相同的角的同一三角函数的值相等；要求：记忆.并指出，三角函数没有定义的地方一定是在轴上角，所以，凡是碰到轴上角时，要结合定义进行分析；并要求在理解的基础上记忆.巩固上节课内容，并为本节课的学习作铺垫二、设置疑问，点明主题前面我们学习了角的弧度制，角α弧度数的绝对值rl=α，其中l是以角α作为圆心角时所对弧的长，r是圆的半径.特别地, 当r =1时，l=α,此时的圆称为单位圆，这样就可以用单位圆中弧的长度表示所对圆心角弧度数的绝对值，那么能否用几何图形来表示任意角的正弦、余弦、正切函数值呢？这就是我们今天一起要研究的问题.既可以引出单位圆，又可以使学生通过类比联想主动、快速的探索出三角函数值的几何形式.起点，正弦线和正切线以此线段与坐标轴的公共点为起点，其中点A为定点（1，0）.六、巩固训练，提高能力例1 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：（1）3π；（2）136π-．学生先做,然后投影展示一个学生的作品,并强调三角函数线的位置和方向.解：图略．例2 利用三角函数线比较下列各组数的大小：(1)32sinπ与54sinπ;(2) cos32π与cos54π; (3) tan32π与tan54π解：如图可知：32sinπ>54sinπcos32π>cos54πtan32π< tan54π学生先做，教师引导学生利用三角函数线解题，并投影展示一个学生作品，强调数形结合思想．例3利用三角函数线画出适合下列条件的角α的终边：（1）21sin=α；（2）21cos-=α；（3）1tan=α.共同分析（1），设角α的终边与单位圆交于P(yx,),则αsin=y,所以要作出满足21sin=α的角的终边，只要在单位圆上找出纵坐标为21的巩固练习,准确掌握三角函数线的作法.巩固新知，提高运用知识的能力体会三角函数线的用处和实质.逆向思维,灵活运用三角函数线,并为利用三角函数线求解三角函数不等式(组)作铺垫.oBAT2T1P2 P1M2M1。
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过P 作x 轴的垂线，垂足为 长线交与点 过点昇(1,0)作单位圆的切线，它与角Q 的终边或其反向延4-1.2. 1任意角的三角函数(二)教学目的：知识目标：1•复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式；2. 利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；3. 利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。
能力目标：常握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有 更深的理解。
德育目标：学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；教学重点：正弦、余弦、正切线的概念。
教学难点：正弦、余弦、正切线的利用。
教学过程：一、复习引入：1. 三角函数的定义2. 诱导公式sin(2比r + a) = sin a{k e Z) cos(2k 兀 + a) = cos a(k G Z) tan(2^ + a) = tan a(k e Z) 练习1. tan600°fi<l 值是.D A. ------- 3B.—C.-V3D.V3 3 练习2. 若 sin cos > 0,则. BA.第一、二象限B.第一、三象限C.第一、四象限D.第二、四象限练习3. 若cosO > 0,且sin2& < 0则0的终边在C二、讲解新课:当角的终边上一点尸任丿)的坐标满足閉孑 =1时，有三角函数正弦、余弦、正切值的儿 何表示一一三角函数线。
1・有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。
规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。
有向线段：带有方向的线段。
2. 三角函数线的定义： 设任意角O 的顶点在原点0,始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P(xj),A.第一象B.第三象限C.第四象限D.第二象限 I rv由四个图看出：当角a 的终边不在坐标轴上时，有向线段OM = x.MP = y,于是有• y y xx 小， y MP AT “ sin<7 = —= — =y = MP , cos a = — = — = x = OM , tana = — = ----------------- = ------ -AT r 1 r 1 x OM OA我们就分别称有向线段MP.OM.AT 为正弦线、余弦线、正切线。
人教版数学必修四1.2.1《任意角的三角函数(2)》教案设计
1.2.1任意角的三角函数（2）教学内容解析三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型，是对函数模型的丰富，是对函数概念，性质，图像变换及函数应用的进一步深化，是函数概念的下位知识。
三角函数在物理学、天文学、地理学等学科中都有重要的应用，它是解决实际问题的重要工具，它是学习数学及其他学科的基础，因此，通过本章的学习可以培养学生的数学应用能力。
本节之前学生学习了函数的概念，指数函数、对数函数、幂函数和任意角弧度制，本节之后还要接着研究三角函数的图像和性质，并应用性质解决一些简单的具有周期现象的实际问题。
而本节内容是研究三角函数图像和性质的基础。
因此本节内容具有承上启下的作用。
任意角三角函数概念的重点是借助单位圆上点的圆周运动理解任意角的正弦、余弦的定义，它们是本节，乃至本章的基本概念，解决这一重点的关键是在直角坐标系中，借助单位圆、象限角等知识，抽象概括出三角函数，在这一过程中，学生可以感受到数形结合、运动变化、对应等数学思想方法．学生学情分析初中学习了函数的初步概念，研究了一次函数、二次函数、反比例函数的图像和性质，进入高中后从集合与对应的观点重新刻画了函数的概念，研究了指数函数、对数函数和幂函数的定义、图像和性质。
学生已具备了学习和研究一个新函数的知识基础和初步能力。
本节课之前的任意角和弧度制，学生已经知道了角的弧度数与实数一一对应，这为学生学习任意角的三角函数奠定了基础。
三角函数是 “从角的集合到坐标分量的集合”的对应关系，所以学生对任意角三角函数对应关系的理解要比从前学过的特殊函数困难些，这是教学的一个难点，所以需要借助单位圆上的圆周运动以直观的几何方式给出定义，通过合理的设计问题串突破该难点。
教学的另一个难点是，任意角三角函数的定义域是角的集合（或它的子集），需要 “把角的集合转化为实数集”．回顾前一节的弧度制学生可以自行解决该难点，并也体现了引入弧度制的必要性。
一、教学目标知识点：有向线段，正弦线、余弦线、正切线的概念，作三角函数线.能力点：逐步发现三角函数值与单位圆中的“有向线段”的对应，分类讨论及数形结合的数学思想的运用.教育点：让学生通过经历由不确定的对应建立确定的对应的过程，体会发现的艰辛，享受发现的乐趣.自主探究点：角的终边在坐标轴上时三角函数线的情况.考试点：利用三角函数线判断三角函数值或角的范围.易错易混点：三角函数线作为有向线段与一般线段的联系与区别.拓展点：利用三角函数线证明有关不等式.重点: 三角函数线的概念及应用.难点：理解三角函数线作为有向线段其方向规定的合理性，三角函数线的应用．二 教学过程引入新课前面我们学习了角的弧度制，角α弧度数的绝对值rl =α，其中l 是以角α作为圆心角时所对弧的长，r 是圆的半径.特别地, 当1=r时，l =α,此时的圆称为单位圆，这样就可以用单位圆中弧的长度表示所对圆心角弧度数的绝对值，那么能否用几何图形来表示任意角的正弦、余弦、正切函数值呢？这就是我们今天一起要研究的问题.【探究新知】探究1：有向线段的概念问题1：如果角α是第一象限角，它的三个三角函数值用定义如何来求？问题2：在求解中，αsin ，αcos 的值都是正数，你能分别用一条线段表示正、余弦值吗？问题3：如果角α的终边在其他象限内，αsin ，αcos 的值也与这两条线段的长度相等吗？若不相等，有什么关系？自己画出第四象限角并研究结论：1.规定了始点和终点，带有方向的线段叫做有向线段.2.规定：在直角坐标系内，线段从始点到终点与坐标轴同向时为正方向，反向时为负方向. 探究2：正弦线、余弦线问题4：探究1中，哪条有向线段可以表示正弦值和余弦值？问题5：若角α的终边在坐标轴上时，角α的正弦线和余弦线的含义如何？探究3：正切线问题6：如果角α是第一象限角，其终边与单位圆的交点为),y x P （，则x y =αtan ，能否比照正弦线、余弦线的得到，怎样用一个实数表示正切值？ 提示：利用已知，探究未知,加深学生对正切线的理解. 令xy =αtan 中的1=x .那么1y tan '==x y α中的'y 的值怎么用图象表示？在角α的终边上的点),1'y P （怎么找到？问题7：如果角α为第二、三象限角时，其终边与直线1=x 没有交点，若记终边的反向延长线与直线1=x 的交点为T ，)01(，A ，那么AT =αtan 还成立吗？问题8：若角α的终边在坐标轴上时，角α的正切线的含义如何？探究4：从三角函数线得出的结论（由学生自由发挥）教师给出几何画板的动态图四、【运用新知】例1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线（1）65π ； （2）π45 ； （3）3π-. 例2. 利用三角函数线，求角α的取值集合 （1）1sin 2α=（2）1cos 2α= （3）tan 1α=- 【设计意图】利用三角函数线的逆向应用，让学生在理解的基础上灵活应用三角函数线.变式练习：求适合下列条件的角的集合(1)1sin2α≥(2)tan1α<-五回顾总结：如何画一个角的三角函数线？【设计意图】总结知识点，加深对三角函数线的理解，突破重难点.第一步：作出角α的终边，与单位圆交于点P；第二步：过点P作x轴的垂线，设垂足为M，得正弦线MP、余弦线OM；第三步：过点)01(，A作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线的交点设为T，得角α的正切线AT.要注意：三角函数线是有向线段，在用字母表示这些线段时，要注意它们的方向，分清起点和终点，书写顺序不能颠倒.余弦线以原点为起点，正弦线和正切线以此线段与坐标轴的公共点为起点，其中点A为定点)01(，.教学反思本节课通过研究三角函数线的变化过程，让学生充分理解了三角函数的变化规律，为以后三角函数的性质学习打下了基础。
新人教版必修4第1章第1节任意角的三角函数(第二课时)
sin y cos x y tan x 0
x
问题 2:角的概念推广以后，我们应该如何推广到 任意角呢？ 新知：任意角三角函数的定义
设α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y), 那么：
（1）y叫做的正弦，记作sinα
（2）x叫做的余弦，记作cosα y （3） 叫做的正切，记作tanα x
思考：对于确定的角α ，上述三个比值是否随 点P在角α 的终边上的位置的改变而改变呢？为 什么？
二、新课导学 探究任务一：任意角的三角函数的定义.
问题1 能否通过取适当点而将表达式简化?
新知：在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度 为半径的圆叫做单位圆.
y r
O
P (x,y)
M 1x
变式练习
(其中r x y )
2 2
已知角的终边过点 P(12,5), 求角的三角函数值。
如果角的终边落在坐标轴呢？请完成下表。
角Байду номын сангаас 角的弧度数
sin cos tan
0。
90。
π 2
180。 270。
3π 2
360。
2
0 0 1 0
1
0
1
0
不存在
1 0
不存在
0
1 0
0
三、总结提升
§1.2.1任意角的三角函数（第一课时）
y
o
x
一、复习引入 锐角的三角函数如何定义？ A
P (x,y)
y r
O
y 对边 MP sin r 斜边 OP
M
B
x
邻边 OM x cos 斜边 OP r 对边 MP y x 0 tan 邻边 OM x
新人教版高中数学1-2-1任意角的三角函数(第2课时)教案必修四
高中数学 1.2.1 任意角的三角函数（第2课时）教案新人教版必修4教学目标：1．通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同角的同一三角函数值相等．2．正确利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来．教学重点：终边相同的角的同一三角函数值相等．教学难点：利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α的正弦、余弦、正切函数值用几何形式表示．教学方法：启发式教学．教学过程：一、问题情境1. 三角函数（正弦，余弦，正切函数）的概念．（两个定义）2. 三角函数（正弦，余弦，正切函数）的定义域．3. 三角函数（正弦，余弦，正切函数）值在各象限的符号．二、学生活动议一议：是否可以在角α的终边上取一个特殊点，使得三角函数值的表达式更为简单？三、建构数学1．问题引导学习单位圆，有向线段．2．三角函数线的定义：（1） （2） （3） （4）设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交点P (x ，y )．过P 作x 轴的垂线，垂足为M；过点A (1，0)作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交与点T ．由四个图看出：当角 的终边不在坐标轴上时，有向线段OM =x ，MP =y ，于是sin α=y r =y 1 =y =MP ，cos α=x r =x 1 =x =OM ，tan α=y x =MP OM =AT OA=AT ．我们就分 别称有向线段MP ，OM ，AT 为正弦线、余弦线、正切线．3．几点说明．①三条有向线段的位置：正弦线为α的终边与单位圆的交点到x 轴的垂直线段；余弦线在x 轴上；正切线在过单位圆与x 轴正方向的交点的切线上，三条有 向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外．②三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与α的终边的交点．③三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x 轴或y 轴同向的为正值，与x轴或y 轴反向的为负值．④三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面．四、数学应用1．例题．例1 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．（1）π3 ； （2）5π6 ； （3）－2π3 ； （4）－13π6． 例2 若0＜α＜π2，证明sin α＋cos α﹥1． 例3 比较大小．ππππππ54tan 32tan )(354cos 32cos )(254sin 32sin )(1与与与例4 利用单位圆写出符合下列条件的角x 的范围．;21sin )1(-<x .21cos )2(>x2．练习（1）利用三角函数线比较下列各组数的大小： ①54sin 32sin ππ与 ②54tan 32tan ππ与（2）若α∈（0，2π），sin α＜cos α，求α的范围五、要点归纳与方法小结：本节课学习了以下内容：1. 三角函数线的定义；2. 会画任意角的三角函数线；3. 利用单位圆比较三角函数值的大小，求角的范围.仅此学习交流之用谢谢。
(人教版)高中数学必修四教案(可打印修改)
一般地,我们有:所有与角 终边相同的角,连同角 在内,可构 成一个集合 S { | k 360, k Z} ,即任一与角 终边相同的角,都可以表示成 角 与整数个周角的和.
教学用具:电脑、投影机、三角板 四、教学设想
【创设情境】
思考:你的手表慢了 5 分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手
表快了 1.25
小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？
[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向
或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅
2.弧度制的定义 [展示投影]长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度角， 记作 1 rad ，或 1 弧度，或 1(单位可以省略不写). 3.探究:如图,半径为 r 的圆的圆心与原点重合,角 的终边与 x 轴的正半轴重合,交圆于点 A ,终边与圆交于点 B .请完成表格.
弧 AB 的 OB 旋转的方 AOB 的弧度 AOB 的度
立、割裂的关系.
2、过程与方法
创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度
制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公
式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正
确使用计算器.
3、情态与价值
通过本节的学习，使同学们掌握另一种度量角的单位制---弧度
制，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨
高中数学 任意角的三角函数(二)教案 新人教A版必修4
4.3 任意角的三角函数（二）教学目的：1.理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号.2.理解并掌握终边相同的角的同一三角函数值相等. 教学重点：三角函数在各象限内的符号,终边相同的角的同一三角函数值相等 教学难点：正确理解三角函数可看作以“实数”为自变量的函数 授课类型：新授课 教学过程：一、复习引入：1.设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ） 则P 与原点的距离02222>+=+=y x y x r2.比值r y叫做α的正弦 记作： r y =αsin 比值r x叫做α的余弦 记作： r x =αcos 比值xy叫做α的正切 记作： xy =αtan 比值y x叫做α的余切 记作： yx =αcot以上四种函数，统称为三角函数. 3.突出探究的几个问题：①角是“任意角”，当β=2k π+α(k ∈Z)时，β与α的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用 ③三角函数是以“比值”为函数值的函数④0>r 而x,y 的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定.⑤定义域：r y =αsin R r x=αcos R x y =αtan ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k ,2|ππαα 二、讲解新课：1. 三角函数在各象限内的符号规律：2. 终边相同的角的同一三角函数值相等例如390°和-330°都与30°终边位置相同，由三角函数定义可知它们的三角函数值相同，即sin390°=sin30° cos390°=cos30° sin(-330°)=sin30° cos(-330°)=cos30°诱导公式一（其中Z ∈k ）: 用弧度制可写成ααsin )360sin(=︒⋅+k απαsin )2sin(=+k ααcos )360cos(=︒⋅+k απαcos )2cos(=+k ααtan )360tan(=︒⋅+k απαtan )2tan(=+k这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题．三、讲解范例：例1(1)cos250° （2）)4sin(π-（3）tan （－672°） (4))311tan(π例2 求证角θ为第三象限角的充分必要条件是⎩⎨⎧><0tan 0sin θθ例3 求下列三角函数的值 (1)sin1480°10′ (2)49cosπ （3）)611tan(π-. 例4 求值：sin(-1320°)cos1110°+cos(-1020°)sin750°+tg4950°．四、课堂练习：1.确定下列各式的符号(1)sin100°·cos240° (2)sin5+tan5 2. .x 取什么值时,xxx tan cos sin +有意义?3．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为……（B ） A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 以上三种情况都可能 4．若是第三象限角，则下列各式中不成立的是………………（B ） A ：sin α+cos α<0 B ：tan α-sin α<0 C ：cos α-cot α<0 D ：cot αcsc α<0 5．已知θ是第三象限角且02cos<ϑ，问2ϑ是第几象限角？ 6．已知1212sin <⎪⎭⎫⎝⎛ϑ，则θ为第几象限角？五、小结 本节课我们重点讨论了两个内容，一是三角函数在各象限内的符号，二是一组公式，两者的作用分别是：前者确定函数值的符号，后者将任意角的三角函数化为0°到360°角的三角函数，这两个内容是我们日后学习的基础. 六、课后作业：1. 确定下列三角函数值符号： (1)tan(125560-) (2)cos516π2.化简ααααα222222sin 1cos 1cos sin cot tan -+--a .。
新人教版高中数学1.2.1任意角的三角函数(2)教案必修四
si n330°=-0.5,cos330°= =0.86,tan330°= =-0.58.
点评:进一步认识单位圆中的三角函数线.
4.三角函数线是三角函数的几何表示,它直观地刻画了三角函数的概念,与三角函数的定义结合起来,可以从数和形两 方面认识三角函数的定义,并使得对三角函数的定义域、函数值符号的变化规律、公式一等的理解容易了.
(5)三种有向线段的正负与坐标轴正反方向一致,三种有向线段的数量与三种三角函数值相同.
正弦线、余弦线、正切线统称为三 角函数线.
讨论结 分别与单位圆交于点P,Q,过A(1,0)作切线AT,交
图7
射线OP于点T,交射线OQ的反向延长线于T′,点P、Q在x轴上的射影分别为点M、N,则
课题
1.2.1任 意角的三角函数(2)
授课时间
4.14
课型
新授
二次修改意见
课时
1
授课人
科目
数学
主备
教学目标
知识与技能
1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义,理解三角函数是以实数为自变量的函数,并从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域,理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号.
教学设想
教法
引导探究
学法
自学探究
教具
多媒体直尺,圆规
课堂设计
一、目标展 示
同学们都在一些旅游景地或者在公园中见过大观览车,大家是否想过大观览车在转动过程中,座椅离地面的高度随着转动角度的变化而变化,二者之间有怎样的相依关系呢?
二.预习检测
问题①:回忆上节课学习的三角函数定义并思考:三角函数的定 义能否用几何中的方法来表示,应怎样表示呢?
高中数学必修四教案-任意角的三角函数第二课时
第一章第二节任意角的三角函数第二课时作者：苏飞文，南安侨光中学教师，本教学设计获福建省教学设计大赛二等奖整体设计教学内容分析本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好地理解任意角的三角函数的定义．在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用．《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．在本模块中，学生将通过实例学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有变化规律的问题中的作用．学生学习情况分析我们的课堂教学常用“高起点、大容量、快推进”的做法，忽略了知识的发生发展过程，以腾出更多的时间对学生加以反复的训练，无形增加了学生的负担，泯灭了学生学习的兴趣．我们虽然刻意地去改变教学的方式，但仍有太多旧时的痕迹，若为了新课程而新课程又会使得美景变成了幻影，失去新课程自然与清纯之味．所以如何进行《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称课程标准)的教学设计就很值得思考探索．如何让学生把对初中锐角三角函数的定义及解直角三角形的知识迁移到学习任意角的三角函数的定义中？《普通高中数学课程标准(实验)解读》中在三角函数的教学中，教师应该关注以下两点：第一、根据学生的生活经验，创设丰富的情境，例如单调弹簧振子，圆上一点的运动，以及音乐、波浪、潮汐、四季变化等实例，使学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规律，体会三角函数是刻画周期现象的重要模型以及三角函数模型的意义．第二、注重三角函数模型的运用即运用三角函数模型刻画和描述周期变化的现象(周期振荡现象)，解决一些实际问题，这也是《课程标准》在三角函数内容处理上的一个突出特点．根据《课程标准》的指导思想，任意角的三角函数的教学应该帮助学生解决好两个问题：其一：能从实际问题中识别并建立起三角函数的模型；其二：借助单位圆理解任意角三角函数的定义并认识其定义域、函数值的符号．设计理念本节课通过多媒体信息技术展示摩天轮旋转及生成的图象，让学生感受到数学来源于生活，数学应用于生活，激发同学们学习的乐趣．并通过问题的探究，体验“数学是过程的思想”，改变课程实施过程中的强调接受学习，死记硬背，机械训练的现状，倡导学生主动参与，乐于探究，勤于动手，培养学生收集和处理信息的能力，获得新知识的能力，分析与解决问题的能力以及交流合作的能力．教学目标1．借助摩天轮的情景问题很好地融合初中对三角函数的定义，也能在直角坐标系中，很好地将锐角三角函数的定义向任意角的三角函数过渡，通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好地理解任意角的三角函数的定义．2．从任意角的三角函数的定义认识其定义域、函数值的符号．3．能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题．教学重点与难点1．教学重点：任意角三角函数的定义．2．教学难点：正弦、余弦、正切函数的定义域．教学过程第一部分——情景引入问题1：如图1是一个摩天轮，假设它的中心离地面的高度为h0，它的直径为2R，逆时针方向匀速转动，转动一周需要360秒，若现在你坐在座舱中，从初始位置OA出发，过了30秒后，你离地面的高度h为多少？过了45秒呢？过了t秒呢？图1设计意图高中学生已经具有丰富的生活经验和一定的科学知识，因此选择感兴趣的、与其生活实际密切相关的素材，此情景设计应该有助于学生对知识的发生发展的理解．这个数学模型很好地融合了初中对三角函数的定义，也能放在直角坐标系中，很好地将锐角三角函数的定义向任意角的三角函数过渡，揭示函数的本质．第二部分——复习回顾锐角三角函数让学生自主思考如何解决问题：“过了30秒后，你离地面的高度为多少？”分析：作图如图2很容易知道：从起始位置OA运动30秒后到达P点位置，由题意知∠AOP＝30°，作PH 垂直地面交OA 于M ，又知MH ＝h 0，所以本问题转变成求PH 再次转变为求PM .图2要求PM 就是回到初中所学的解直角三角形的问题即锐角的三角函数．问题2：锐角α的正弦函数如何定义？学生自主探究：学生很容易得到图3sin α＝|MP ||OP |＝|MP |R⇒|MP |＝R sin α⇒|PH |＝h 0＋R sin α⇒h ＝h 0＋R sin α， 所以学生很自然得到“过了30秒后，过了45秒，你离地面的高度h 为多少”．h 1＝h 0＋R sin30°；h 2＝h 0＋R sin45°.教师总结：t °在锐角的范围中，h ＝h 0＋R sin t °.第三部分——引入新课问题3：请问t 的范围为多少？随着时间的推移，你离地面的高度h 为多少？能不能猜想h ＝h 0＋R sin t °？分析：若想做到这一点，就得把锐角的正弦推广到任意角的正弦．今天我们就要来学习任意角的三角函数．问题4：如图4建立直角坐标系，设点P (x P ，y P )，你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角α的正弦函数的定义吗？能否也定义其他函数(余弦、正切)?图4学生自主探究：sin α＝|MP ||OP |＝y P R， cos α＝|OM ||OP |＝x P R ，tan α＝|MP ||OM |＝y P x P. 问题5：改变终边上的点的位置，这三个比值会改变吗？为什么？分析：先由学生回答问题，教师再引导学生选几个点，计算比值，获得具体认识，并由相似三角形的性质证明．设计意图让学生深刻理解体会三角函数值不会随着终边上的点的位置的改变而改变，只与角有关系．通过摩天轮的演示，让学生感受到第一象限角的正弦可以跟锐角正弦的定义一样． 问题6：大家根据第一象限角的正弦函数的定义，能否也给出第二象限角的定义呢？学生自主探究：学生通过上面已知知识得到sin α＝|MP ||OP |＝y P R， 学生定义好第二象限角后，让学生自己算出摩天轮座舱在第150秒时，离地面的高度h?通过摩天轮知道：h ＝h 0＋R sin150°＝h 1＝h 0＋R sin30°，由此得到：sin150°＝12. 设计意图通过这个，让学生检验当α为第二象限角时sin α＝|MP ||OP |＝y P R是否正确． 问题7：当α为第三象限或第四象限角时，sin α＝|MP ||OP |能成立吗？ 设计意图让学生通过模型，检验定义是否正确，从中让学生自己发现正、负符号的偏差．(可以让学生取t ＝210，从而h ＝h 0＋R sin210°，得到sin210°＝－12，发现这与sin α＝|MP ||OP |不相符，实际上是sin α＝－|MP ||OP |.) 教师总结：我们通过这个模型知道如何在某些范围内计算自己此时离地面的高度，用数学模型h ＝h 0＋R sin t °来表示，当摩天轮转动时，角度的概念也不知不觉地推广到了任意角，对于任意角的正弦不能只是依赖于角所在的直角三角形中的对边的长度比斜边长度了，我们更应该用点P 的横坐标来代替|MP |或－|MP |，那么这样就能够很好地表示出任意角的正弦函数的定义．第四部分——给出任意角的三角函数的定义如图5，已知点P (x ，y )为角α终边上的点，点P 到顶点O 的距离为R ，则图5sin α＝y R (α∈R )cos α＝x R (α∈R ) tan α＝y x (α≠π2＋k π) 分析：让学生通过刚才的模型进一步体验任意角三角函数的定义要点：点、点的坐标、点到顶点的距离．问题8：当摩天轮的半径R ＝1时，三角函数的定义会发生怎样的变化？学生自主探究：sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x .教师引导学生进行对比，学生通过对比发现取到原点的距离为1的点可以使表达式简化．教师进一步给出单位圆的定义．给出下列表格，让学生自己补充完整.及时归纳总结有利学生对所学知识的巩固和掌握．第五部分——例题讲解例1已知角α的终边经过点P 0(－3，－4)，求角α的正弦、余弦和正切值．分析：让学生现学现卖，用上面的定义二就可以得到答案．例2求5π3的正弦、余弦和正切值． 学生自主探究：让学生自己思考并独立完成．然后与课本的解答对比一下，发现本题的难点．教师讲解：本题题意很简单，但是如何入手却是难点，关键是对本节课的三角函数定义的要点有没有领会清楚(任意角三角函数的定义要点：点、点的坐标、点到顶点的距离)，因此本题的重点之处是如何利用单位圆找到这个点P ，如图6可以知道∠POM ＝π3，又点P 在第四象限，得到P (12，－32)，这样就可以很容易得到本题的答案．图6不妨让学生取R ＝|OP |＝4，能否也得到点P 的坐标，得到的三角函数值是否与单位圆的一样？这样可以让学生更深刻地体验三角函数的定义．例3求证：当且仅当下列不等式组成立时，角θ为第三象限角．⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ<0，tan θ>0.①② 活动：教师引导学生讨论验证在不同的象限内各个三角函数值的符号有什么样的关系，提示学生从三角函数的定义出发来探究其内在的关系．可以知道：三角函数的定义告诉我们，各三角函数在各象限内的符号，取决于x ，y 的符号，当点P 在第一、二象限时，纵坐标y >0，点P 在第三、四象限时，纵坐标y <0，所以正弦函数值对于第一、二象限角是正的，对于第三、四象限角是负的；同样地，余弦函数在第一、四象限是正的，在第二、三象限是负的；正切函数在第一、三象限是正的，在第二、四象限是负的．第六部分——巩固练习练习1.例2变式：求7π6的正弦、余弦和正切值． 练习2.问题9：通过观察摩天轮的旋转，三角函数的角的终边所在象限不同，请说说三角函数在各个象限内的三角函数值的符号．独立完成课本本节的“探究”．设计意图练习1、练习2的设计与例2、例3衔接，主要目的是帮助学生巩固三角函数的本质特征，引导学生从定义出发利用坐标平面内的点的坐标特征自主探究三角函数的有关问题的思想方法．并在特殊情形中体会数形结合的思想方法．第七部分——小结与作业学生自我总结作业：课本本节练习1,2,3教学反思1．教学设计紧扣课程标准的要求，重点放在任意角的三角函数的理解上．背景创设是学生熟悉的摩天轮，认知过程符合学生的认知特点和学生的身心发展规律——具体到抽象，现象到本质，特殊到一般，这样有利于学生的思考．2．情景设计的数学模型很好地融合初中对三角函数的定义，也能很好地引入在直角坐标系中，很好地将锐角三角函数的定义向任意角的三角函数过渡，同时能够揭示函数的本质．3．通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，让学生在情境中活动，在活动中体验数学与自然和社会的联系、新旧知识的内在联系，在体验中领悟数学的价值，它渗透了蕴涵在知识中的思想方法和研究性学习的策略，使学生在理解数学的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展．这和课程标准的理念是一致的．4．《标准》把发展学生的数学应用意识和创新意识作为其目标之一， 在教学中不仅要突出知识的来龙去脉还要为学生创设应用实践的空间， 促进学生在学习和实践过程中形成和发展数学应用意识，提高学生的直觉猜想、归纳抽象、数学地提出、分析、解决问题的能力， 发展学生的数学应用意识和创新意识，使其上升为一种数学意识，自觉地对客观事物中蕴涵的一些数学模式作出思考和判断．在解答问题的过程中体验到从数学的角度运用学过的数学思想、数学思维、数学方法去观察生活、分析自然现象、解决实际问题的策略， 使学生认识到数学原来就来自身边的现实世界，是认识和解决我们生活和工作中问题的有力武器，同时也获得了进行数学探究的切身体验和能力．增进了他们对数学的理解和应用数学的信心．。
高中数学必修四(人教新A版)教案4任意角的三角函数2
（ 1 ） sin 2 与 sin 4
3
5
（3） cot 2 与 cot 4
3
5
解： 如图可知：
（ 2 ） tan 2 与 tan 4
3
5
sin 2 sin 4
3
5
tan 2 tan 4
3
5
cot 2 cot 4
3
5
三、巩固与练习
S2
S1 B
P2 P1
o
A
M2 M1 S1
课
2
2
后
反
思
3
3
T2
T1
1．利用余弦线比较 cos 64 , cos 285 的大小；
学生独立完 成
2．若 ，则比较 sin 、 cos 、 tan 的大小；
教
1．4三角函数2线的定义；
学 3．2分．别会根画据任下意列角条的件三，角写函出数角线；的取值范围： 小
结 （13）．c利os用 单 位3圆比；较三（角2函）数ta值n的大小1，；求角的（范3）围s。in 3 ．
tan y MP AT AT ． x OM OA
我们就分别称有向线段 MP,OM , AT 2为正弦线、余弦线、正切线。
说明：
高中数学必修四课时教案
教
① 三 的条 垂有 直向 线线 段段 ；的 余位 弦问置 线题： 在与正x情轴弦境上线及；为教正 切师的线终活在边动过与单单位位圆圆与的交x 轴点正到方x 向轴
学生活动
y
P
教
A
Mo
x
学
T 过
yT P A
oM x
程
（Ⅱ）
y
及
T
高中数学 121任意角的三角函数教案 新人教版必修4 教案
《任意角的三角函数》教案一、教学任务分析知识目标：位圆理解任意角的三角函数的定义；α终边上一点，会求角α的各三角函数值；3.从定义认识三角函数的定义域、函数值的符号，理解诱导公式（一）能力目标：1.理解并掌握任意角的三角函数的定义；2.树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；单问题。
情感目标：1．使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（实数）与三角函数值（实数）之间的一种对应；2.学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；二、教学重点、难点教学重点：任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义教学难点：用单位圆上的点的坐标刻画三角函数。
理解三角函数就是实数与实数之间的一种对应三、教学情景设计问1 你能回忆一下锐角三角函数的定义吗？在AB Rt ∆中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，锐角A 的正弦、余弦、正切依次为,,a b a sinA cosA tanA c c b ===。
从学生原有的认知出发，来认识任意角三角函数的定义。
从角度到实数（三角函数值）之间的对应。
问2 如何用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数?引导学生用坐标法来研究锐角三角函数。
以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x 轴的非负半轴重合。
问3 改变终边上的点的位置，这三个比值会改变？为什么？说明比值与终边上的点的位置无关，只与角α的终边有关。
引导学生利用相似三角形的性质证明。
问4 能否通过取适当的点使表达式简化呢？引出单位圆的定义，三角函数的定义。
体现简约思想，从特殊到一般的思想。
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点),(y x P ，那么：（1）y 叫做α的正弦，记作αsin ，即y =αsin ；（2）x 叫做α的余弦，记作αcos ，即x =αcos ；（3）x y 叫做α的正切，记作αtan ，即)0(tan ≠=x xy α。
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第二课时任意角的三角函数（二）
【复习回顾】
1、三角函数的定义；
2、三角函数在各象限角的符号；
3、三角函数在轴上角的值；
4、诱导公式（一）：终边相同的角的同一三角函数的值相等；
5、三角函数的定义域.
要求：记忆.并指出，三角函数没有定义的地方一定是在轴上角，所以，
凡是碰到轴上角时，要结合定义进行分析；并要求在理解的基础上记忆.
【探究新知】
1．引入：角是一个图形概念，也是一个数量概念（弧度数）.作为角的
函数——三角函数是一个数量概念（比值），但它是否也是一个图形概念
呢？换句话说，能否用几何方式来表示三角函数呢？
2．[边描述边画]以坐标原点为圆心，Array以单位长度1为半径画一个圆，这个圆
就叫做单位圆（注意：这个单位长度不
一定就是1厘米或1米）.当角α为第一
象限角时，则其终边与单位圆必有一个
交点(,)
P x y，过点P作PM x
⊥轴交x轴于
点M，则请你观察:
根据三角函数的定义：|||||sin|
MP yα
==；|||||cos|
==
OM xα
随着α在第一象限内转动，MP、OM是否也跟着变化？
3．思考：（1）为了去掉上述等式中的绝对值符号，能否给线段MP、OM规定一个适当的方向，使它们的取值与点P的坐标一致？
（2）你能借助单位圆，找到一条如MP、OM一样的线段来表示角α的正切值吗？
我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角α的终边不在坐标轴时,以O为始点、M为终点，规定：
当线段OM与x轴同向时，OM的方向为正向，且有正值x；当线段OM 与x轴反向时，OM的方向为负向，且有正值x；其中x为P点的横坐标.这样,无论那种情况都有
==
OM xα
cos
同理,当角α的终边不在x轴上时,以M为始点、P为终点，规定：
当线段MP与y轴同向时，MP的方向为正向，且有正值y；当线段MP与y轴反向
时，MP的方向为负向，且有正值y；其中y为P点的横坐标.这样,无论那种情况都有
==
sin
MP yα
4.像MP OM
、这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段（direct line segment）.
5.如何用有向线段来表示角α的正切呢?
如上图,过点(1,0)
A作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与α的终边交于点T,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OA AT
、,我们有
tan y AT x
α== 我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP OM AT 、、,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.
6.探究：（1）当角α的终边在第二、第三、第四象限时，你能分别作出它们的正弦线、余弦线和正切线吗？
（2）当α的终边与x 轴或y 轴重合时，又是怎样的情形呢？
7.例题讲解
例1．已知42ππα<<，试比较,tan ,sin ,cos αααα的大小.
处理:师生共同分析解答,目的体会三角函数线的用处和实质.
8.练习19P 第1,2,3,4题
9学习小结
(1)了解有向线段的概念.
(2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来.
(3)体会三角函数线的简单应用.
【评价设计】
1． 作业：
比较下列各三角函数值的大小(不能使用计算器)
(1)sin15︒、tan15︒ （2）'cos15018︒、cos121︒ （3）5π、tan 5π
2．练习三角函数线的作图.。