八年级预科班数学资料
0126初二预科数学第二节 直角三角形(一)
0126初二预科数学第二节 直角三角形（一）【学习目标】1、 了解勾股定理及其逆定理的证明方法。
2、 结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。
【学习方法】自主探究与合作交流相结合。
【学习重难点】重点：勾股定理及其逆定理。
难点：结合具体例子了解逆命题的概念。
【学习过程】模块一 预习反馈一、学习准备1、直角三角形：有一个角是_____的三角形叫做直角三角形。
2、边的关系：直角三角形两条直角边的__________等于斜边的平方。
角的关系：直角三角形的两个锐角_________。
3、有两个角___________的三角形是直角三角形。
4、在直角三角形中，如果一个锐角等于30 ，那么它所对的直角边等于斜边的________。
5、阅读教材：第2节《直角三角形》二、教材精读6、用两种不同的方法表示右图梯形的面积。
解：①S 1= （上底+下底）×高= ②S 2= 。
因为S 1= S 2，所以 。
归纳：勾股定理：直角三角形两条直角边的__________等于斜边的平方。
7、已知：如图，在△ABC ，AB 2+AC 2=BC 2，求证：△ABC 是直角三角形。
证明：作出Rt △A ’B ’C ’，使∠A=90°，A ’B ’=AB ，A ’C ’=AC ，则B ’C ’2=_____________（勾股定理）∵AB 2+AC 2=BC 2 ，A ’B ’=AB ，A ’C ’=AC ，∴BC 2= B ’C ’2∴BC=_______∴在△ABC 和△A ’B ’C ’中，∴∠A=∠A ’=90°(全等三角形的对应角相等)≌△A ’B ’C ’ (______)因此，△ABC 是直角三角形。
21归纳：1、勾股定理的逆定理：∵AB 2+AC 2=BC 2，，∴∠___=90°（△ABC 是直角三角形）2、互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的______和______分别是另一个命题的______和_______，那么这两个命题称为__________，其中一个命题称为另一个命题的__________。
八年级上预科第一讲
一：勾股定理正定理 直角三角形两直角边 a、b 的平方和等于斜边 c 的平方。（即：a2+b2＝c2）
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主 要应用：
（1）已知直角三角形的两边求第三边（在 ABC 中， C 90 ，则 c2 a2 b2 ）
（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边
A．4 B． C． D．
14．适合下列条件的△ABC 中，直角三角形的个数为（ ） ①a=3，b=4，c=5；②a=6，∠A=45°； ③a=7，b=24，c=23；④∠A=38°，∠B=52°． A．1 个B．2 个C．3 个 D．4 个
3
方法三：
S梯形
1 2
(a
b)
(a
b)
，
S梯形
2SADE
S ABE
2
1 ab 2
1c 2
2
，化简
得证
三：勾股数
1
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 a2 b2 c2 中， a ， b ， c 为正整数时，称 a ， b ， c 为一组勾股数
②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如 3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13 ； 7,24,25 等
（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题
二、勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理
常见方法如下：
方法一： 4S
S正方形EFGH
八年级上预科四讲-勾股定理的应用二
BD 2 CD 2 2 AD 2 。
16、如图，有一块塑料矩形模板 ABCD，长为 8cm，宽为 4cm，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点 P 落在 AD 边上（不与 A、D 重合），在 AD 上适当移动三角 板顶点 P：能否使你的三角板两直角边分别通过点 B 与
点 C？若能，(1) 求 BP+CP 的值（2） 请你求出这时 AP 的长。
17．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，若 a：b=3：4，c=20，
则 a=
，b=
．
18．如图，在△ABC 中，AB=AC，AD 是△ABC 的角
平分线，若 BC=10，AD=12，则 AC=
．
19．如图，已知四边形 ABCD 中，AB=20cm，BC=15cm，CD=7cm，AD=24cm，
4
底面的直径。一蚂蚁从点 A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 C，试
求出爬行的最短路程。
C
3)、如图，有一个圆柱体，底面周长为 20 ㎝，高 AB 为 10 ㎝，在
圆柱的下底面 A 点处有一只蚂蚁，它想绕圆柱体侧面一周爬行到
它的顶端 C 点处，那么它所行走的路程是多少？
4)、如图，假如这是一个圆柱体的玻璃杯， AD 是杯底直径，C 是 A 杯口一点，其他已知条件不变，蚂蚁从外部点 A 处爬到杯子的内 壁到达高 CD 的中点 E 处，最短该走多远呢？(杯子的厚度不计） 5)、为筹备迎新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，
（A）11
（B）10
（C）9
（D）8
5. 若三角形三边长为 a、b、c，且满足等式 (a b)2 c 2 2ab ，则此三角形是（ ）.
2012暑假八年级预科数学资料
第一讲算数平方根、平方根一、知识与技能说出算术平方根、平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根、平方根。
开方与乘方是互逆运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根和平方根。
会用计算器求算术平方根。
重点：算术平方根、平方根的概念和求法。
难点：平方根的性质，平方根与算术平方根的区别与联系。
解决办法：抓住对平方根、算术平方根的概念的理解，并运用对比手段弄清有关概念之间的联系与区别。
二、例题解析例1、填表：例2、求下列各数的平方根：（1）100；（2）916；（3）0.25。
讨论正数的平方根有什么特点?0的平方根是多少?负数有平方根吗?归纳正数有________个平方根，它们_______；0的平方根是_________；负数_______。
注：正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
例3、求下列各式的值：三、能力提升（一）选择题1、若2x <则，化简2(2)3x x -+-=（ ）A ：－1B ：1C ：25x -D ：52x - 2、下列各组数中互为相反数的是（ ）A ：－2 与2(2)-B ：－2 与38-C ：－2 与12- D ：2与2-3、若51x +有意义，则x 能取的最小整数是（ ）A ：1-B ：0C ：1D ：2 4、下列等式正确的是（ ）A ：93164=± B ：711193-= C ：393-=- D ：21133⎛⎫-= ⎪⎝⎭5、已知：a =5，2b =7，，且a b a b +=+，则a b -的值为（ ）A ：2或12B ：2或－12C ：－2或12D ：－2或－12 6、如图： ，那么2()a b a b -++ 的结果是（ ） A ：－2b B ：2b C ：―2a D ：2a（二）填空题1、719的平方根是 ，25的算术平方根是 ；2、16的平方根是 ，如果a 的平方根是±3，则a= ；3、213-的相反数是 ， 的倒数是12-4、2(310)-= ；5、若10的整数部分是a ，则小数部分为 ；6、若a =3, b =2,且0ab <，则a －b= ；7、如果一个数的平方根是3+a 和152-a ，则这个数为 ； 8、大于－2小于5的整数是 ； 9、若11y x x =-+-，则20082008y x += ； （三）解答题1、计算 2226(21)(63)-+---2、求下列各式中的x 的值 ()23216x +=3、求值（1）、已知a 、b 满足0382=-++b a ，解关于x 的方程()122-=++a b x a 。
八年级上预科第二讲
11．如图 4 是一长方形公园，如果某人从 景点 A 走到 景点 C，则至少要走___ __米．
图4
图5
12．一个等腰直角三角形的面积是 8，则它的直角边长为______．
13．如图 5，以直角三角形的三边为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积 S1、S2、S 3 之 间的关系是______．
三、解答 题
勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；
联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
课堂练习
1．下列各组数中，以 a，b，c 为边的三角形不是 Rt△的是（ ）
A、a=1.5，b=2,c=3
B、a=7,b=24,c=25
C、a=6,b=8,c=10
A、60∶13 B、5∶12
C、12∶13
1
D、60∶169
5．如果 Rt△的两直角边长分别为 n2－1，2n（n>1），那么它的斜边长是（ ）
A、2n
B、n+1
C、n2－1
D、n2+1
6．已知 Rt△ABC 中，∠C=90°，若 a+b=14cm，c=10cm，则 Rt△ABC 的面积是（ ）
A、24cm2
3
14．如图 6，某人欲垂直横渡一条河，由于水流的影响，他实际上岸地点 C 偏离了想要 达 到的 B 点 140 米，（即 BC=140 米），其结果是他在水中实际游了 500 米（即 AC=500 米），求该河 AB 处的宽度． 1 5．如图 7，根据图上条件，求矩形 ABCD 的面积．
16．如图 8，一艘轮船以 16 海里 /时的速度离开港口 O，向东南方向 航行，另一艘船在 同样同时同地以 12 海里/时的速度向东北方向航行，它们离开港口半小时分别到达 A、 B，求 A、B 两点的距离? 17． 为了丰富少年儿童的业余文化生活，某社区在 如图 9 所示 AB 所在的直线上建一 图书阅览室，本社区有两所学校所在的位置在点 C 和 D 处．CA⊥AB 于 A，DB⊥AB 于 B， 已知 A B=25 km，CA=15km，DB=10km，试问：阅览室 E 应建在距 A 多少㎞处，才能 使它到 C、D 两所学校的距离相等？ 18．下面几组数：①7，8，9；②12，9，15；③m2+n2，m2﹣n2，2mn（m，n 均为正整数，m＞n）；④a2，a2+1，a2+2．其中一定能构成直角三角形的三边长 是（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 29．如图，韩彬同学从家（记作 A）出发向北偏东 30°的方向行走了 4000 米到 达超市（记作 B），然后再从超市出发向南偏东 60°的方向行走 3000 米到达卢 飞同学家（记作 C），则韩彬家到卢飞家的距离为（ ）
初二预科班数学讲义(打印稿)
复习部分一元一次方程的应用思维训练学习目标：1、巩固一元一次方程的解法2、通过列方程解数字问题，调配问题培养学生的思维能力学习重点：通过列方程解数字问题，调配问题培养学生的思维学习难点：寻找题中的数量关系学习过程：导入新课：前面我们已经体会到方程是刻画现实数量关系的重要工具，通过列方程可以帮我们解决许多的现实问题，今天我们进一步来学习一元一次方程的应用，感受方程的作用，数学的价值。
例题讲解：例1：一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为11，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的新数就比原数大63，求原来的两位数。
例2：三个连续奇数的和为39，求这三个奇数。
思路点拨：例1：要弄清楚数的表示方法：一个三位数，个位上的数字为a，十位上的数字为b，百位上的数字为c，则这个三位数为100c+10b+a。
设原来的两位数个位上的数为x，则十位上的数为（11-x）,则原来的两位数表示为10（11-x）+X,那么新两位数表示为(10x+11-x)所以10x+11-x-63=10(11-x)+X，解方程得x=9,则原来的两位数为29.例2：两个连续奇数，较大的比较小的大2，偶数是2n表示，奇数用2n+1或2n-1表示。
三个连续奇数设中间的奇数为（2n+1）,则另外两个为(2n+3),(2n-1),所以（2n+1）+（2n+3）+（2n-！）=39解这个方程的n= 6，那么这三个连续奇数为11，13,15.2、展示例3、例4例3：某车间有26个工人，每人平均每天可加工螺栓120个或螺母180个，要使每天加工的螺栓与螺母配套（一个螺栓配两个螺母），应如何分配加工螺栓和螺母的工人？例4：学校组织植树的活动，已知在甲处植树的有23人，在乙处植树的有17人，现调20人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树的人数的2倍，应调往甲、乙处各多少人？思路点拨：例3：注意配套的比例关系，一个螺栓配两个螺母，说明为使每天加工的螺栓和螺母配套，生产的螺母的数量要是螺栓的数量的2倍。
2020暑假八年级数学竞赛班预科资料
目录本资料共分四个模块：分别讲述完八年级上册内容与八年级下册前两章，为秋季的学习打下预科基础。
模块一：第一讲整式的乘法第二讲乘法公式第三讲整式的除法与提公因式法第四讲因式分解第五讲数学竞赛中的因式分解应用模块二：第六，七讲分式的运算与分式方程模块三：第八讲变量与函数第九讲正比例函数与一次函数第十讲用函数的观点看方程与不等式模块四：第十一讲勾股定理第十二讲勾股定理的逆定理第十三讲考试与总复习第十四，十五讲全等三角形与一次函数提高练习第一讲 整式的乘法一、课标要求（学习本章节需要达到的目的）1、掌握同底数幂的乘法；2、幂的乘方；3、积的乘方；4、整式的乘法法则及运算规律.教学重点：同底数幂的乘法及幂的乘方、积的乘方运算. 教学难点：整式的乘法. 二、知识疏理知识点1：同底数幂的乘法法则同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
nm n m a a a +=⋅(m, n 都是正整数)。
例1：计算。
(1)4322⨯ (2)251010⨯(3)54x x ⋅知识点2：幂的乘方幂的乘方，底数不变，指数相乘。
mnn m a a =)((m, n 都是正整数)注意：nm n m a a ≠)(例2：计算。
(1)(32)3(2)(a m )2(3)―(x m )5(4)(a 2)3·a 5知识点3：积的乘方积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
(ab )n ＝a n b n(n 为正整数)例3：计算。
(1)(ab )4(2)322)(y x -(3))()(2352xy x -⋅(4)322)(ab (5)22110⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛10知识点4：单项式的乘法法则单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
例4：计算：知识点5：单项式与多项式相乘的乘法法则单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
八年级数学下册预科辅导全册资料
(3)
x 1 y 1z 1
5 4 9
2
2 3
例 7.计算 (1) 3a b
2 3
2a b
3 2
6 3 (2) 2a 3a
2a
2
2 3
题型四 利用幂运算求值
例 8 .(1)若 a 0 ， 且a 2， 则a a 3，
例 2 计算 (1) m m
5 11
C. a 6 C. x 3 x m1
(3) (b) (b) (b)
2 3 5
D. a 5 D. x 3m x 3
(4) (b 2)
n 1
(2) a a a
2
5
(2 b) 2 n（ n 为正整数）
例 3.(1) 2 2015 2 2014 的值(
68
51
16
200
3300 的解,则 n 取最小整数的值为_____
版块二
课堂笔记Байду номын сангаас
整式乘法
单项式乘单项式:单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式出现的 字母，则连同它的指数作为积的一个因式 单项式乘多项式:单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 多项式乘多项式;多项式与多项式相乘， 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式每一项， 再把所得的积相加.
胡说数学系列之初二上预科 大智工作室数学教材研发中心胡路忠１５１１６１５６９４４
第一讲
版块一
课堂笔记
m n
整式乘法
幂运算
同底数幂的乘法:一般地，我们有： a a =_____________（ m、n 为正整数）即:同底数幂相乘，底数不变 当幂的底数为 1 和 a 时，有以下变形:
八年级上册预科班讲义
八年级上册预科班讲义第一讲：三角形全等知识点一：1. 全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等（2）全等三角形的对应角相等2. 全等三角形的判定定理：（1）三边对应相等的两个三角形全等，简记为“边边边定理”符号表示为：SSS （2）两边和两边所夹的角对应相等的两个三角形全等，简记为“边角边定理”符号表示为：SAS（3）两角和两角所夹的边对应相等的两个三角形全等，简记为“角边角定理”符号表示为：ASA（4）两角和其中一个角所对的边对应相等的两个三角形全等，简记为“角角边定理”符号表示为：AAS（5）直角三角形全等的判定定理：斜边和直角边对应相等的两个三角形全等，简记为：斜边直角边定理符号表示为：HL定理练习1、AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。
求证：BF=CF练习2、如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。
求证：AM是△ABC的中线。
FDC BAMFEC BA练习3、如图：AB=CD ，AE=DF ，CE=FB 。
求证：AF=DE 。
练习4、已知：如图所示，AB ＝AD ，BC ＝DC ，E 、F 分别是DC 、BC 的中点，求证： AE ＝AF 。
练习5、已知：如图, AC ⊥BC 于C , DE ⊥AC 于E , AD ⊥AB 于A , BC =AE ．若AB = 5 ,求AD 的长度FED C BAC练习6、如图：AB=AC ，ME ⊥AB ，MF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，ME=MF 。
求证：MB=MC练习7、如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE=AB ，AF=AC 。
求证：（1）EC=BF ；（2）EC ⊥BF练习8、如图,已知: AD 是BC 上的中线 ,且DF=DE ．求证:BE ∥CF ．BCMAF E AE BM CFD BEC FA练习9、如图所示，已知，AD 为△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，且有BF=AC ，FD=CD ，求证：B E ⊥AC知识点二角平分线的性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等 角平分线的判定定理： 到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上练习1、如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F 。
初二暑假预科
第一讲三角形1、三角形的基本概念类比猜一猜四边形的定义。
三角形和四边形的稳定性。
重点题型：复杂图形中数三角形的个数。
三角形的定义。
三角形是（）A．连接任意三点组成的图形B．由三条线段所组成的图形C．由三条线段首尾顺次相接组成的图形D．以上说法均不对⑤三角形分类：按边分，可分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形。
按角分，可分为直角三角形、锐角三角形和钝角三角形。
如下表：注意：每个三角形中至少有两个锐角，至多有一个钝角或直角。
三角形的三个内角中，最大的一个是锐角(直角或钝角)时，该三角形即为锐角三角形(直角三角形或钝角三角形)。
判断题：有一个角是直角的三角形叫直角三角形。
有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形。
有一个角是锐角的三角形叫锐角三角形。
例2：如图，一扇窗户打开后，用窗钩BC可将其固定，这里所运用的几何原理是( )A. 三角形的稳定性B. 两点之间线段最短C. 两点确定一条直线D. 垂线段最短2、三角形的角内角：三角形的每两条边所组成的角叫做三角形的内角，同一个三角形中，大边对大角。
外角：三角形的一边与另一边的(反向)延长线所组成的角叫做三角形的外角。
什么叫直角、锐角、钝角？三角形的边c b a 、、和C B A ∠∠∠、、的对应关系。
三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
（如何证明？初步思路引导。
）三角形的外角：三角形的外角与相邻的内角互为邻补角，每个内角有两个邻补角。
因此，三角形有六个外角，其中三个与另外三个相等，每个顶点有两个外角是相等的。
外角和？（三个角还是六个角？）例2：如图，在△ABC中，∠A = 90°，BD为∠ABC的平分线交AC于D，DE⊥BC，E 是BC的中点，求∠C的度数。
思考题：如图，在△ABC中，∠B = ∠C，D在BC上，∠BAD = 50°，在AC上取一点E，使得∠ADE = ∠AED，求∠EDC的度数。
角的思路总结：1、三个内角和180°；2、平角为180°；3、外角等于不相邻的两个内角和例5:⑴在∆ABC中，若∠A：∠B：∠C = 2：2：1，则∠A = ____，∠C = ____。
初二预科班数学讲义(打印稿)
复习部分一元一次方程的应用思维训练学习目标：1、巩固一元一次方程的解法2、通过列方程解数字问题，调配问题培养学生的思维能力学习重点：通过列方程解数字问题，调配问题培养学生的思维学习难点：寻找题中的数量关系学习过程：导入新课：前面我们已经体会到方程是刻画现实数量关系的重要工具，通过列方程可以帮我们解决许多的现实问题，今天我们进一步来学习一元一次方程的应用，感受方程的作用，数学的价值。
例题讲解：例1：一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为11，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的新数就比原数大63，求原来的两位数。
例2：三个连续奇数的和为39，求这三个奇数。
思路点拨：例1：要弄清楚数的表示方法：一个三位数，个位上的数字为a，十位上的数字为b，百位上的数字为c，则这个三位数为100c+10b+a。
设原来的两位数个位上的数为x，则十位上的数为（11-x）,则原来的两位数表示为10（11-x）+X,那么新两位数表示为(10x+11-x)所以10x+11-x-63=10(11-x)+X，解方程得x=9,则原来的两位数为29.例2：两个连续奇数，较大的比较小的大2，偶数是2n表示，奇数用2n+1或2n-1表示。
三个连续奇数设中间的奇数为（2n+1）,则另外两个为(2n+3),(2n-1),所以（2n+1）+（2n+3）+（2n-！）=39解这个方程的n= 6，那么这三个连续奇数为11，13,15.2、展示例3、例4例3：某车间有26个工人，每人平均每天可加工螺栓120个或螺母180个，要使每天加工的螺栓与螺母配套（一个螺栓配两个螺母），应如何分配加工螺栓和螺母的工人？例4：学校组织植树的活动，已知在甲处植树的有23人，在乙处植树的有17人，现调20人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树的人数的2倍，应调往甲、乙处各多少人？思路点拨：例3：注意配套的比例关系，一个螺栓配两个螺母，说明为使每天加工的螺栓和螺母配套，生产的螺母的数量要是螺栓的数量的2倍。
暑期班初二数学预科第2讲
年春船山英文学校期中）方程组 xx
y y
2 4
的解是（
）
x 1
A．
y
3
x 3
B．
y
1
x 2 C．y 2
x 2
D．
y
0
变式练习：
1、（2017
年春夏明翰中学期中）方程组 xx
y y
3 1
的解为（
）
A．
x
y
1 2
B．
x y
1 3
C．xy
1 3
D．
x
y
1 3
x y 8 2、（2016 年春夏明翰中学期中）已知三元一次方程组y z 6 ，则x y z （ ）
第
二讲ຫໍສະໝຸດ 第二讲：二元一次方程组学习目标
课前测
1、（2016 春夏明翰中学期中）在 2x-3y=5，3x-y+2z=0，2x=4，5x-y>0 中是二元一次方程的有（
A．1
B．2
C．3
D．4
2、（2017
年春衡阳市逸夫中学第一次月考）已知
x y
m n
，满足方程组 2x x2
y y
5 7
，则
m
n
的值
_______________． 变式练习： 1．（2017 春宜宾县校级期中）二元一次方程 2x+y=5 的正整数解有（ ）
A．一组 B．2 组 C．3 组 D．无数组
2．（2017 春海宁市校级月考）二元一次方程 3a+b=9 的正整数解有（ ） A．1 组 B．2 组 C．3 组 D．4 组
二、知识回顾
二、知识回顾
二、例题辨析
【考点 1、二元一次方程及二元一次方程组的定义】
0205初二预科数学§1.4 一元一次不等式
0205初二预科数学§1.4 一元一次不等式学习目标：1、理解解一元一次不等式的概念；2、会解简单的一元一次不等式，并能正确地将不等式的解集表示在数轴上。
3、能利用一元一次不等式解决简单的实际问题。
学习重点：一元一次不等式的解法；解一元一次不等式时，去分母及化系数为1，这两步当乘数是负数时改变不等号的方向。
学习难点：去分母及化系数为1，这两步当乘数是负数时改变不等号的方向。
学习过程第一单元一、自主学习（一）复习旧知1、含有未知数的等式叫 。
只含有___个未知数，且含未知数的项次数是1的方程叫 。
2、使方程成立的未知数的值叫做方程的 。
求方程的解的过程叫做 。
3、解一元一次方程的一般过程是：4、解方程：623+=-x x3722x x -=-（二）课前预习1、观察下列不等式：2x -5≥15 x ≤8.75 x ＜4 5+3x ＞240它们有什么共同点？归纳，得出概念：一元一次不等式： 叫做一元一次不等式。
2、直接写出不等式的解集：（1）－x ＜2； （2）1－x ＜x －1；3、解不等式5x －1＞8x ＋3，并把它的解集在数轴上表示出来：二、小组交流：1、同桌交流“自主学习”的答案。
2、你认为解一元一次不等式与解一元一次方程有何异同？过程提示： 移项 合并同类项化系数为1过程提示： 去分母 去括号 移项 合并同类项 化系数为1三、全班交流，例题学习：例1：解不等式x -3＜62+x ，并把它的解集表示在数轴上。
解： 移项得： x - ＜6 ……………………合并同类项得： ＜ …………………… 两边都除以3-得： x 1- …………………… 这个不等式的解集在数轴上表示如下:例1：解不等式22-x ≥37x -，并把它的解集表示在数轴上。
解： 去分母得: )2(3+x ≥)7(2x -去括号得: ≥移项得：合并同类项得：两边都除以5得：这个不等式的解集在数轴上表示如下:四、随堂练习：解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：（1）2x +1＞3； （2）3（2x +2）≥4(x -1)+7.五、课堂小结：1、 叫做一元一次不等式。
八年级预科班数学资料
八年级数学暑假预科资料学习目标：了解数的算术平方根及平方根的概念，并会用符号表示；理解平方与开方之间是互为逆运算的关系，会用计算器求一些正数的算术平方根重点：了解数的算术平方根及平方根的概念，会求某些非负数的平方根，会用根号表示一个数的平方根难点：是非负数以及被开方数a是非负数；正确区分算术平方根与平方根第1课时一.创设情景，导入新课请同学们欣赏本节导图，并回答问题，学校要举行金秋美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为252dm的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少dm？如果这块画布的面积是212dm？这个问题实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题（引入新课）二.合作交流，归纳概念：讨论：1、什么样的运算是平方运算？2、你还记得1～20之间整数的平方吗？一般地，如果一个正数x的平方为a，即2x a=，那么正数x叫做aa，其中a叫做被开方数(a≥0)另外：0的算术平方根是0注意：被开方数为非负数.探究：怎样用两个面积为1的正方形拼成一个面积为2的大正方形把两个小正方形沿对角剪开，将所得的四个直角形拼在一起，就的到一个面积为2的大正方形。
设大正方形的边长为x，则22x=由算术平方根的意义，x=讨论：在哪两个整数之间？思考：你能举些象这样的无限不循环小数吗？三.应用迁移，巩固提高例1.求下列各数的算术平方根⑴100 ⑵4964⑶⑷0 ⑸124点拨：由一个数的算术平方根的定义出发来解决问题思考：－4有算术平方根吗？例2.要使代数式3有意义，则x的取值范围是（）A. 2x ≠B. 2x ≥C. 2x >D. 2x ≤例3. 若()2130x y -++=，求,,x y z 的值。
拓展：已知21a -的算术平方根是3，31a b +-的算术平方根是4，c 2a b c +-的算术平方根 四.课堂跟踪反馈1、 非负数a 的算术平方根表示为___，225的算术平方根是____，0的算术平方根是________,_____===2、 _____, 0.64-的算术平方根____3、 若x 是49的算术平方根，则x =（ ）A. 7B. －7C. 49D.－494、 7=，则x 的算术平方根是（ ）5、 若()2130x y -++=，求,,x y z 的值。
八上预科一
八年级上册预科：第一章《勾股定理》(一）勾股定理及其逆定理一、 知识1. 11-19的平方：_______________________________________________________________________________________________________． 2. 勾股定理的验证：CABBACBACabc c ba3. 勾股定理：_______________________________________________________________________________________________________． 4. 勾股定理逆定理：_______________________________________________________________________________________________________．5. 勾股数：满足a 2+b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．常见勾股数有______________；_____________；________________；________________；_______________；__________________．二、精讲1. 一个直角三角形两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）A ．斜边长为25B ．三角形的周长为25C ．斜边长为5D ．三角形的面积为202. 如图，在Rt △ABC 和Rt △ACF 中，BC 长为3cm ，AB 长为4cm ，AF 长为12cm ，则正方形CDEF 的面积为_________．A B CDEFCB A S 1S 2S 3第2题图 第3题图3. 如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，分别以BC ，AB ，AC 为边向外作正方形，面积分别记为S 1，S 2，S 3．若S 2=4，S 3=6，则S 1=___________． 4. 如图，已知Rt △ABC 的两直角边长分别为6和8，分别以其三边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为___________．5. （1）等面积法是几何中一种常见的证明方法，可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”．例如，著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较长的直角边长都为a ，较短的直角边长都为b ，斜边长都为c ），大正方形的面积可以表示为c 2，也可以表示为214()2ab a b ⨯+-．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a ，b ，斜边长为c ，则a 2+b 2=c 2．图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理．图1b D Acc图2b aba ED CB A86C BA第4题图（2）试用勾股定理解决以下问题：如果直角三角形的两直角边长为3和4，则斜边上的高为________． 6. 如图，小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD 的面积是_________．DCBAB DES 1A FGS 2S 3C M N第6题图 第7题图7. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC >BC ，分别以AB ，BC ，CA 为一边向△ABC 外作正方形ABDE ，正方形BCMN ，正方形CAFG ，连接EF ，GM ，ND ．设△AEF ，△CGM ，△BND 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则下列结论正确的是（ ）A ．S 1=S 2=S 3B ．S 1=S 2<S 3C ．S 1=S 3<S 2D ．S 2=S 3<S 18. 如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c的面积分别为5和11，则b 的面积为______．9. 如图，从电线杆离地面8m 处向地面拉一条钢索，若这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6m ，那么需要多长的 钢索？lcba第8题图AB C DE F GH10. 小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处1米．请设法算出旗杆的高度．11. 下列各组数中不能作为直角三角形三边长的是（ ）A ．0.3，0.4，0.5B ．7，12，15C ．11，60，61D ．9，40，4112. 如图，在单位正方形组成的网格图中有AB ，CD ，EF ，GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）A ．CD ，EF ，GHB ．AB ，EF ，GHC ．AB ，CD ，GH D ．AB ，CD ，EF 13. 若三角形的三边长分别是222122221n n n n n ++++，，（n 为正整数），则三角形的最大内角等于_______度．14. 三边长分别是15，36，39的三角形是_______三角形.15. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．71520242571520242571520242525242015716. 一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角．工人师傅量得这个零件各边长如图2所示，这个零件符合要求吗？请说明理由．图2图1A BD CAB CD 1312435勾股定理及其逆定理（随堂测试）1．若三角形的三边长是：①5k ，12k ，13k （k >0）；②111345，，；③32，42，52；④0.3，0.4，0.5；⑤2n +1，2n ，2n 2+2n +1（n 为正整数）．则其中能构成直角三角形的是_______________．2．如图，在四边形ABCD 中，AD =3，AB =4，BC =12，CD =13，∠BAD =90°． （1）求BD 的长； （2）证明：BD ⊥BC ．BAD C（二）勾股定理的应用◆典例分析如图1，一个梯子AB 长2.5m ，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5m ，梯子滑动后停在DE 的位置上，如图2，测得BD 长为0.5m ，求梯子顶端A 下落了多少米．解法指导：直角三角形中，已知一直角边和斜边是勾股定理的重要应用之一．勾股定理：a 2＋b 2＝c 2的各种变式：a 2＝c 2－b 2，b 2＝c 2－a 2．应牢固掌握，灵活应用．分析：先利用勾股定理求出AC 与CE 的长，则梯子顶端A 下落的距离为AE ＝AC －CF ． 解：●体验中考1、（安徽）长为4m 的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了 m ．图1 图22.（湖北十堰）如图，在一次数学课外活动中，小明同学在点P处测得教学楼A位于北偏东60°方向，办公楼B位于南偏东45°方向．小明沿正东方向前进60米到达C处，此时测得教学楼A恰好位于正北方向，办公楼B正好位于正南方向．求教学楼A与办公楼B之间的距离（结果精确到0．1米）．（供选用的数据：2≈1．414，3≈1．732）●拓展提高1. 小明想测量教学楼的高度．他用一根绳子从楼顶垂下，发现绳子垂到地面后还多了2 ｍ，当他把绳子的下端拉开6 m后，发现绳子下端刚好接触地面，则教学楼的高为（）.A. 8 mB. 10 mC. 12 mD. 14 m2.如果梯子的底端离建筑物9 ｍ，那么15 ｍ长的梯子可以到达建筑物的高度是（）.A. 10 mB. 11 mC. 12 mD. 13 m3. 直角三角形三边的长分别为3、4、ｘ，则ｘ可能取的值有（）.A. 1个B. 2 个C. 3个D. 无数多个4、直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为7cm2，8cm2，则以斜边为边长的正方形的面积为_________ cm2．5、如图，矩形零件上两孔中心A、B的距离是多少（精确到个位）？随堂检测（应用）1、在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝15，AC＝17，以AB为直径作半圆，则此半圆的面积为__________2、已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为__________．3、如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m．同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′（）．A．小于1m B．大于1m C．等于1m D．小于或等于1m4、将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（）．A．h≤17cm B．h≥8cmC．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm5、如图，某公园内有一棵大树，为测量树高，小明C处用侧角仪测得树顶端A的仰角为30°，已知侧角仪高DC＝1.4m，BC＝30米，请帮助小明计算出树高AB．（取1.732，结果保留三个有效数字）作业（勾股定理）：1. 以下列长度的三条线段为边，不能组成直角三角形的是（ ）A ．1.5，2，2.5B ．9，12，15C ．7，24，25D ．1，1，22. 若三角形的三边长是：①5k ，12k ，13k （k >0）；②111345，，；③32，42，52；④11，60，61；⑤22(+)12(+)(+)+1m n m n m n ，，（m ，n 为正整数）．其中能构成直角三角形的有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，若BC =8，AB =17，则AC 的长是________．4. 已知甲、乙两人从同一点出发，甲往东走了12km ，乙往南走了5km ，这时甲、乙两人相距______．5. 如图，分别以直角三角形三边为直径作半圆，三个半圆的面积从小到大依次记为S 1，S 2，S 3，则S 1，S 2，S 3之间的关系是（ ） A ．S l +S 2>S 3 B ．S l +S 2< S 3 C ．S 1+S 2=S 3 D ．S 12+S 22=S 32S 1S 2S 37cmDCBAC BA第5题图 第6题图 第3题图6. 如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm7. 如图，每个小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD 的面积为_________．DCBAFED CB A第7题图 第8题图 8. 如图，在正方形ABCD 中，AB =4，AE =2，DF =1，则图中共有直角三角形________个．9. 如图，求出下列直角三角形中未知边的长度：b =_______，c =________.bc915102410. 如图，一架长25米的云梯斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米．（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向上滑动了几米？11. 已知一个三角形的三边长分别是5cm ，12cm ，13cm ，你能算出这个三角形的面积吗？12. 如图1是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a 和b ，斜边长为c ．图2是以c 为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．（1）画出拼成的这个图形的示意图，并用这个图形证明勾 股定理；（2）假设图1中的直角三角形有若干个，你能运用图1中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图并给出证明．B'A'O B A 图2图1acbbccc a。
八年级数学预科资料
前言本内容适合七年级进八年级学生暑假提高使用。
重点落实在奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高。
本内容难度适中，讲练结合，由浅入深，讲解与练习同步，是学生提高数学水平的好资料。
另外，在本次培训中，我们适当安排了实数、整式、函数方面的内容，给学生以学习上的提前量，对培养学生的学习兴趣有一定的帮助。
具体计划如下，以供参考：第一讲全等三角形（一）第二讲全等三角形（二）第三讲轴对称等腰三角形第四讲实数第五讲一次函数第六讲函数的综合应用第七讲不定方程与应用题第八讲整式的运算第九讲因式分解第十讲图论问题第十一讲整除的基本知识第十二讲归纳与枚举第十三讲复习考试第十四讲试卷讲评推理问题第一、二讲全等三角形一、课标要求全等形、能够完全重合的两个图形。
全等三角形、能够完全重合的两个三角形。
1. 全等三角形的判定方法有：“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL”2. 全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应角相等，对应线段（边、高、中线、角平分线）相等。
（2）全等三角形的周长、面积相等。
3. 构造三角形全等常用的基本方法有：“翻折”、“旋转”、“截取”、“倍长中线”，等等。
基础练习：1、如图，已知AB=AC，D、E分别为AB、AC上两点，∠B=∠C，求证：BD=CE．2、如图，已知点E、C在线段BF上，BE=CF，AB∥DE，∠ACB=∠F．求证：AC=DF．3、如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AC=AD．4、如图，已知：AD是BC上的中线，且DF=DE．求证：BE∥CF．5、如图，已知PB⊥BA，PC⊥CA，且PB=PC，D是PA上的一点，求证：BD=CD．6、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，AD=2.5cm，DE=1.7cm，求BE的长．基础过关：1、如图所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，结论：①EM=FN；②CD=DN；③∠FAN=∠EAM；④△ACN≌△ABM．其中正确的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个2、如图所示，AB=AC，要说明△ADC≌△AEB，需添加的条件不能是（）A、∠B=∠CB、AD=AEC、∠ADC=∠AEBD、DC=BE3、如图，给出下列四组条件：①AB=DE ，BC=EF ，AC=DF ；②AB=DE ，∠B=∠E ，BC=EF ；③∠B=∠E ，BC=EF ，∠C=∠F ；④AB=DE ，AC=DF ，∠B=∠E ．其中，能使△ABC ≌△DEF 的条件共有（ ）A 、1组B 、2组C 、3组D 、4组二、典例精讲【例1】下列说法：（1）有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等。
初二寒假预科八下第二章节2.1不等式基本性质与解集
2.1不等式基本性质与解集1.在数学表达式：＜0；②4x+3y＞0；③x=3；④x2+xy+y2；⑤x≠5；⑥x+2＞y+3中，不等式有( )A．1个 B．3个 C．4个 D．5个2.1．已知a，b，c都是实数，则关于三个不等式：a＞b，a＞b+c，c＜0的逻辑关系的表述，下列正确的是（）A．因为a＞b+c，所以a＞b，c＜0 B．因为a＞b+c，c＜0，所以a＞bC．因为a＞b，a＞b+c，所以c＜0 D．因为a＞b，c＜0，所以a＞b+c3.已知a＜b＜0，则下列式子中成立的是（）A．＜ B．ab＜1 C．＜1 D．＞14.．不等式1+x＜0的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．5.下列说法正确的是( )A．x=1是不等式2x＜1的解 B．x=3是不等式＜1的解集C．x＞2是不等式2x＜1的解集 D．不等式＜1的解集是x＜6.如图，已知直线y1=x+m与y2=kx﹣1相交于点P（﹣1，2），则关于x的不等式x+m＜kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7.某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过120分，他至少要答对多少道题？如果设小明答对x道题，则他答错或不答的题数为20﹣x．根据题意得（）A．10x﹣5（20﹣x）≥120 B．10x﹣5（20﹣x）≤120C．10x﹣5（20﹣x）＞120 D．10x﹣5（20﹣x）＜1208.某次知识竞赛共有30道选择题，答对一题得10分，若答错或不答一道题，则扣3分，要使总得分不少于70分则应该至少答对几道题？若设答对x题，可得式子为（）A．10x﹣3（30﹣x）＞70 B．10x﹣3（30﹣x）≤70C．10x﹣3x≥70 D．10x﹣3（30﹣x）≥709.(1)如图，数轴所表示的不等式的解集是．(2)如图，数轴所表示的不等式的解集是．1.某种商品的进价为600元，出售时标价为900元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则最低可打（）A．9折B．8折C．7折D．6折2.下列按条件列出的不等式中，正确的是（）A.a不是负数，则a＞0B.a与3的差不等于1，则a—3＜1C.a是不小于0的数，则a＞0D.a与b的和是非负数，则a＋b≥03.函数y=kx+b和函数y=ax+m的图象如图所示，求下列不等式（组）的解集（1）kx+b＜ax+m的解集是；（2）的解集是；（3）的解集是；（4）的解集是．4.一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③当x＜4时，y1＜y2；④b＜0．其中正确结论的个数是（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个5.不等式2X<6的非负整数解为( )A.0,1,2B.1,2C.0,-1,-2D.无数个6.若a ＜b ＜0，则21（b －a ）____0 7.一个两位数的十位数字是x ，个位数字比十位数字小3，并且这个两位数小于40，用 不等式表示数量关系．8.某校规定期中考试成绩的40%和期末考试成绩的60%的和作为学生成绩总成绩.该校 骆红同学期中数学考了85分,她希望自己学期总成绩不低于90分,她在期末考试中数学 至少应得多少分?(只列关系式)9.便利店老板从厂家购进A 、B 两种香醋，A 种香醋每瓶进价为6.5元，B 种香醋每瓶进价为8元，共购进140瓶，花了1000元，且该店A 种香醋售价8元，B 种香醋售价10元．（1）该店购进A 、B 两种香醋各多少瓶？（2）将购进的140瓶香醋全部售完可获利多少元？（3）老板计划再以原来的进价购进A 、B 两种香醋共200瓶，且投资不超过1420元，仍以原来的售价将这200瓶香醋售完，且确保获利不少于339元，请问有哪几种购货方案？。
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八年级预科班数学资料 Revised as of 23 November 2020八年级数学暑假预科资料学习目标：了解数的算术平方根及平方根的概念，并会用符号表示；理解平方与开方之间是互为逆运算的关系，会用计算器求一些正数的算术平方根重点：了解数的算术平方根及平方根的概念，会求某些非负数的平方根，会用根号表示一个数的平方根难点：a是非负数；正确区分算术平方根与平方根第1课时一.创设情景，导入新课请同学们欣赏本节导图，并回答问题，学校要举行金秋美术作品比赛，小欧很高dm的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块兴，他想裁出一块面积为25212dm正方形画布的边长应取多少dm如果这块画布的面积是2这个问题实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题（引入新课）二.合作交流，归纳概念：讨论：1、什么样的运算是平方运算2、你还记得1～20之间整数的平方吗，那么正数x叫做a的算术平方根，一般地，如果一个正数x的平方为a，即2x aa，其中a叫做被开方数(a≥0)另外：0的算术平方根是0注意：被开方数为非负数.探究：怎样用两个面积为1的正方形拼成一个面积为2的大正方形把两个小正方形沿对角剪开，将所得的四个直角形拼在一起，就的到一个面积为2的大正方形。
设大正方形的边长为x ，则22x =由算术平方根的意义，x =三.应用迁移，巩固提高例1. 求下列各数的算术平方根⑴100 ⑵4964 ⑶ ⑷0 ⑸124点拨：由一个数的算术平方根的定义出发来解决问题思考：－4有算术平方根吗例2.x 的取值范围是（ ） A. 2x ≠ B. 2x ≥ C. 2x > D. 2x ≤例3. 若()2130x y -++=，求,,x y z 的值。
拓展：已知21a -的算术平方根是3，31a b +-的算术平方根是4，c 分，求2a b c +-的算术平方根四.课堂跟踪反馈1、非负数a 的算术平方根表示为___，225的算术平方根是____，0的算术平方根是________,_____===2_____, 0.64-的算术平方根____3、若x是49的算术平方根，则x=（）A. 7B. －7C. 49D.－49=，则x的算术平方根是（）475、若()2x y-++=，求,,130x y z的值。
6、若a b a、b的值。
7、一个自然数的算术平方根为a，那么与这个自然数相邻的下一个自然数的算术平方根是_______第2课时㈠创设情景，导入新课复习提问：1、什么数的平方是49 2、平方得81的数有几个分别是什么3、一对互为相反数的平方有什么关系交流总结：由问题出发，认识到平方得一个正数的数有2个，并且互为相反数（引入新课）㈡合作交流，解读探究自主探索：独立看书，自学教材想一想：到底什么是平方根，它和我们已经认识的算术平方根有何关系⑴什么叫一个数的平方根如何用符号表示⑵根据平方根的定义，只有什么数才有平方根⑶什么叫开方[⑴如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根，用符号表示为：若2,x a x ==则；⑵只有非负数才有平方根；⑶求一个数a 的平方根的运算叫做开平方运算。
]练一练：求下列数的平方根⑴100 ⑵916⑶ ⑷16- ⑸ 0 总结归纳：1、正数有两个平方根，它们互为相反数2、0的平方根是03、负数没有平方根讨论：平方根与算术平方根之间有什么关系总结：1、平方根与算术平方根之间的区别⑴定义不同：如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根。
一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，是0本身；负数没有平方根。
如果2x a =，并且0x ≥，那么x 叫做a 的算术平方根。
一个正数的算术平方根只有一个，非负数的算术平方根一定是非负数⑵表示方法不同：正数a 的平方根表示为a ⑶平方根等于本身的数是0；算术平方根等于本身的数是0或12、平方根与算术平方根之间的联系⑴二者有着包含关系：平方根中包含算术平方根，算术平方根是平方根中的非负的那一个⑵存在条件相同，非负数才有平方根和算术平方根⑶0的平方根和0的算术平方根都是0㈢应用迁移，巩固提高例1 说出下列各数的平方根⑴ ⑵81121 ⑷164例2 说出下列各数的平方根各是什么⑴64 ⑵0 ⑶()20.4- ⑷2213⎛⎫- ⎪⎝⎭ ⑸16- ⑹()34- 点评：要从根本之处理解一个数的平方根的运算，从平方根的概念入手，同时要知道，只有非负数才有平方根例3 计算⑴ ⑶()1x < ㈣总结反思，拓展升华小结 1、平方根的定义及符号表示2、平方根与算术平方根的关系拓展 已知13705a b -++=，求：()a b a -的平方根 ㈤课堂跟踪反馈1、判断下列说法是否正确⑴5是25的算术平方根 （ ） ⑵56是2536的一个平方根 （ ） ⑶()24-的平方根是－4 （ ）⑷ 0的平方根与算术平方根都是0 （ ）2、____,=⑵____,=⑶____,=⑷____=37=，则_____x =，x 的平方根是_____4 ） A. 94± B. 94 C. 32± D. 325、给出下列各数：49, 22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭0, 4,- 3,-- ()3,-- ()45--，其中有平方根的数共有（ ）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个6、若一个数a 的平方根等于它本身，数b 的算术平方根也等于它本身，试求a b +的平方根。
7、求下列各数中的x 值⑴225x = ⑵2810x -= ⑶2449x = ⑷225360x -=82b =+，求a 、b 的值10、如果一个正数的两个平方根为1a +和27a -，请你求出这个正数第3课时立方根一、课前预习与导学（1）1的立方根是________，-1的立方根是________，0的立方根是________．（2）．求下列各数的立方根：（1）-827； （2）-（-0．216）； （3）10-3． 二、新课讲解（一）创设情境 导入新课导入 现有一只体积为216cm 3的正方体纸盒，它的每一条棱长是多少⑴在这个实际问题中，提出了怎样的一个计算问题⑵你能得到一个数，使这个数的立方等于216吗⑶从这个问题中可以抽象得到一个什么数学概念（二）合作交流 解读探究如果某种植物细胞可以近似看作是棱长为1的正方体，那么当它的体积增大1倍时，这个正方体的棱长是多少棱长为1的正方体的体积是1，设体积为2的正方体的棱长为x ，那么23=x一般地，如果一个数的立方等于a ，这个数就叫做a 的立方根，也称为三次方根；也就是说，如果a x =3，那么x 叫做a 的立方根，数a 的立方根记作3a ，读作“三次根号a ”。
例如：4的立方是64，所以4是64的立方根，记作4643=，又如23=x ，x 是2的立方根，记作32=x 。
[定义]求一个数的立方根的运算叫做开立方。
开立方和立方互为逆运算，因此求一个数的立方根可以通过立方运算来求。
例1：求下列各数的立方根 ⑴1258-，⑵126.0，⑶0，⑷3)3(- [总结]立方根的性质：正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0。
例2：求下列各式的值⑴33)8(-，⑵32)8(-，⑶33)7.0(，⑷316437- 例3：求下列各式中的x ⑴2783=x ，⑵64273=-x ，⑶125)1(3=-x例4：已知一个正方体的棱长是5cm ，再做一个正方体，使它的体积等于原正方体的体积的8倍，求要做的正方体的棱长。
三、小结⑴掌握立方根的定义和性质；⑵会求一个数的立方根； ⑶理解并掌握公式33333333)(,,)(a a a a a a ===[拓展]⑴64的立方根是______，平方根是_______⑵若a x =3，则x 叫做a 的_____，a 叫做x 的____四、课堂检测1、立方根等于本身的数是 （ ）A 、±1B 、1，0C 、±1，0D 、以上都不对2、若一个数的算术平方根等于这个数的立方根，则这个数是（ ）A 、±1B 、±1，0C 、0D 、0，13、下列说法中，错误的是（ ）A 、64的立方根是4B 、的是27131立方根C 、64的立方根是2 D 、125的立方根是±54、下列说法正确的是（ ）A 、1的立方根与平方根都是1B 、233a a =C 、38的平方根是2±D 、252128183=+=+5、求下列各数的立方根⑴027.0-，⑵512，⑶—729，⑷271746、求下列各式中的x 的值 ⑴8333=x ，⑵64)1(3=-x ，⑶0125273=-x ㈤课堂跟踪反馈1、当x x 时，2、的立方根是 ，的平方根是 ，3、－84、一个自然数的算术平方根是a ，那么与这个自然数相邻的下一个自然数的平方根是-------立方根是 --------5、解下列方程⑴3512x = ⑵3641250x -= ⑶()31216x -=-64=，且(20y -+=，求3x y z +-的值第4时实数一．基础知识回顾1．无理数的定义是：（ ）叫做无理数2. 有理数的定义是：（ ）叫有理数3．有理数与无理数的区别：有理数总可以用（）或（）表示；反过来，任何（）或（）也都是有理数。
而无理数是（）小数，有理数和无理数区别之根本是有限及无限循环和无限不循环。
有理数可以化成（），无理数不能化成（）。
4.常见的无理数类型(1)¨···(2)···(相邻两个1之间0的个数逐次加1)。
(3)有特定意义的数，如：π···(4).开方开不尽的数。
如：35,3。
二．实数1.概念：________和________统称为实数。
2.实数的有关性质：⑴a与b互为相反数〈=〉a+b=0⑵a与b互为倒数〈=〉ab=1⑶任何实数的绝对值都是非负数，即a≥0⑷互为相反数的两个数的绝对值相等, 即a=a⑸正数的倒数是正数;负数的倒数是负数;零没有倒数.3.实数分类;（1）定义分：（）（2 大小分：（）4.实数和数轴上的点的对应关系：实数和数轴上的点是一一对应的关系5.实数的大小比较（1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）正数大于零，零大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小。
6、实数中的非负数及其性质在实数范围内，正数和零统称为非负数我们已经学过的非负数有如下三种形式⑴任何一个实数a的绝对值是非负数，即a≥0⑵任何一个实数的平方是非负数，即2a≥0；⑶任何一个非负数a的算术平方根是非负数，即a≥0非负数有以下性质：⑴非负数有最小值零⑵有限个非负数之和仍然是非负数⑶几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。