第4章 n维向量空间复习过程
第4章 n 维向量空间 第3-5节
(k1 1 k 2 2 k m m )
(k1 ) 1 (k 2 ) 2 (k m ) m
L
\
L 是一个向量空间
线性相关向量组； 3 A中任意向量可以由A1唯一的线性表示.
定理 4.7
向量组A : α1 ,α2 , ,αm的部分向量组 A1 : α1 ,α2 , ,αr (r m)是A的最大线性无关组
rank α1 ,α2 , ,αr rank α1 ,α2 , ,αm r
i cij j 在矩阵(1 , 2 , , m )中
j 1
r
把第j列乘以 - cij 加到第i列上去，
后面的m r列全变成0， (1 , 2 ,, m ) (1 , 2 ,, r , 0, ,0) 所以，rank(1 , 2 ,, m ) rank(1 , 2 ,, r , 0, ,0) r
练习：求下面向量组的一个极大无关组与秩
1 1，2，1）， 2 0，1， 1） （ 1， 2， （ 2，5， 3 2， 3， 1， （ 0， 3）， 4 1，0， 1 （ 1， 4， ）
解(利用求矩阵的秩来求)： 1 1 2 0 设A 3 2 1 4 2 1 1 1 2 2 1 1 2 1 5 1 0 2 1 5 1 0 0 2 1 5 1 0 0 3 1 3 0 0 2 2 2 0 1 0 4 1 1 2 1 2 1 2 1 5 1 0 0 0 0 0 2 2 2 2
4.1 n 维向量空间
ai bi , i 1,2,, n
零向量 负向量
0 (0,0,,0)
(a1 ,a2 ,,an )
三维向量的线性运算满足八条运算规律
1. 2.( ) ( ) 3. 0 4. 0
是否是 R2 的子空间？
x1 , x2 , x1 x2 0,
y1 , y2 V1
y1 y2 0,
x1 y1 , x2 y2 ( x1 y1 ) ( x2 y2 ) 0
V1
x1 , x2 , R, x1 x2 0, V1
5.1 6.k ( l ) ( kl)
7.k l k l 8.k k k
n 维向量的线性运算也满足八条运算规律
1. 2.( ) ( ) 3. 0 4. 0
则 0 或a1 a2 an 0
0或 0
线性方程组的矩阵表示:
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 , a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 , a m 1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm .
a1n b1 a11 a12 a a 21 x 22 x a 2 n b2 x1 2 n a a a b m1 m2 mn m
5.1 6.k ( l ) ( kl)
7.k l k l 8.k k k
哈尔滨工业大学数学系 第四章 N维向量
(β1, β2 ,L, βt )=(α1,α2 ,L,αm )Km×t 则 β1, β2 ,L, βt线性无关 R(K)=t (K列满秩 列满秩) 列满秩
即 β1, β2 ,L, βt线性相关 特别地,当m=t时 线性无关 β1, β2 ,L, βm R(K)<t (K不列满秩 不列满秩) 不列满秩 |K|≠0 (K可逆 可逆) 可逆 |K|=0 (K不可逆 不可逆) 不可逆
哈尔滨工业大学数学系
第四章 n 维 向 量
n维向量
n维向量的概念及其线性运算 向量组线性相关与线性无关 向量组的秩 向量空间 欧式空间
维向量的概念及其线性运算 概念及其 4.1 n维向量的概念及其线性运算
1.定义:数域F内的n个数a 1.定义:数域F内的n个数a1，a2，…，an组成的 定义 ， 有序数组—称为数域 上的（ 称为数域F 有序数组 称为数域F上的（n维）向量 a1 列 ， α 记作： 记作： =(a1，a2，…，an ) 或 α= a2 向 行向量 an 量 几个名词： 复向量、实向量、 几个名词： 复向量、实向量、Rn、 负向量( )、 负向量( −α)、零向量 相等 α = β
0
1
2
m
km
（充分 充分性）假设 α1,α2 ,L,αm 线性相关 充分 假设 则存在不全为零的数k 不全为零的数 则存在不全为零的数 1, k2 , …,km使 k1 α1,α2 ,L,αm k2 = 0 即 AK = 0 且 K ≠ 0 ( ) km R(A) ≤m-1 矛盾. R(A)+R(K) ≤m 注: 1.矩阵An×m的列向量组 α1,α2 ,L,αm线性相关 矩阵A 矩阵 R（A）<m (A不列满秩 列满秩) 列满秩 2.矩阵 n×m的行向量组线性无关 矩阵A 矩阵 R（A）=n (A行满秩 行满秩) 行满秩 3.n阶方阵 的列(行)向量组线性无关 的列( 阶方阵A的列 (A满秩 满秩) 满秩 |A|≠0
北京工业大学线性代数第四章第一节 n 维向量空间
n
向量组 1 , 2 , , n 称为矩阵A 的列向量组．
10
类似地, 矩阵A (aij )mn 又有m个n维行向量
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 am 2 a1n 1 1 a 2 n 2 2 ， a in i m a mn m
23
例4 已知
1 1, 4, 0, 2，2 2, 7, 1, 3， 3 0, 1, 1, a , 3, 10, b, 4 , 不能由1 ,2 ,3 线性表出? ⑴ a , b为何值时， 能由1 ,2 ,3 线性表出且表示法 ⑵ a , b 为何值时，
, n
n xn 是否有解。
n xn
,n 线 性表出.
19
＊若方程组 1 x1 2 x2
有解，则 可以由1 ,2 ,
n xn
,n 线 性表出.
且方程组的一组解就是表出系数． ① 若方程组有唯一解，则 可以由1 ,2 , ,n 线性表出且表示法唯一. ② 若方程组有无穷多解，则
1
第一节 n 维向量空间
一． n 维向量空间的概念 二．向量与矩阵的关系 三．向量的线性组合与线性表出
2
一． n 维向量空间的概念 一个mn矩阵的每一行都是由n个数组成 的有序数组,其每一列都是由m个数组成的有序 数组。 n元线性方程组的一个解也是由n个数 组成的有序数组。所以研究线性方程组解的结 构离不开有序数组。 1.定义:由数域P 中n 个数组成的有序数组称为 数域P 上的一个n 维向量，用小写的希腊字母 , , …表示．
第四章(n维向量)
简记为B: 1, 2, …, s, C : 1, 2, …, m. 若i = ai11 + ai22 + …+ aiss, i =1,2,…,m, 即
a11 a 21 = m cm 1 cm 2 cmn a m 1
初等列变换
1 0 B 0 0
无法通过初等行变换实现
矩阵C与B的列向量组等价, 但行向量组不等价.
第四章 n维向量
§4.1 n维向量空间
1 0 A= 0 0
0 0 B= 0 1
矩阵A与B等价, 但它们的 行向量组不等价, 列向量组也不等价.
第四章 n维向量
§4.1 n维向量空间
A = BN 矩阵A与B的列向量组等价 (列等价)
B = AM
第四章 n维向量
§4.1 n维向量空间
1 0 (1) A 1 0
初等行变换
1 0 B 0 0
无法通过初等列变换实现
矩阵A与B的行向量组等价, 但列向量组不等价.
(1)
1 1 C 0 0
—— 1, 2, …, s与1, …, t等价
第四章 n维向量
§4.1 n维向量空间
例3. I: 1 = (1, 1), 2 = (1, 1), 3 = (2, 1), II: 1 = (1, 0), 2 = (1, 2). 1 + 1 , = 3 1 , = 3 + 1 , 1= 2 1 2 2 2 2 1 2 2 3 2 1 2 2
若j = b1j1 + b2j2 + …+ bsjs , j =1,2,…,n, 即
数学线性代数n维向量空间
线性方程组(4.2)可表示为两种矩阵方程：
(1). 将所有系数构成一个系数矩阵A
a11 a12 L
a21 M
a22 M
L M
an1 an2 L
即：AX B
a1m x1 b1
a2m M
# 向量加法和向量的数乘满足的运算规律:
1 加法交换律: α + β = β + α； 2 加法结合律 : α β γ α β γ ; 3 α Ο α; 4 α α O; 51 α α; 6 k(lα) (kl)α; 7 k(α β) kα kβ 8 (k l)α kα lα
# 向量α和β的差为 α - β = α + (- β) = (a1 - b1, a2 - b2 ,L , an - bn )T
# 实向量a :向量a的分量都是实数; # 复向量b :向量b的分量都是复数。 定义4.1 所有n维实向量(real vector)的集合称为, n维实向量空间，记为R n，即
第四章 n维向量空间
第一节 n维向量的概念 第二节 向量的线性表示与线性相关 第三节 等价向量组 第四节 线性方程组的结构 第五节 向量空间的子空间
4.1 n维向量的概念
由第一章知道
行向量(1 n矩阵) 列向量(n 1矩阵)
通称：n维向量
n个数构成的有序数组
a1
本章所称的n维向量指n维列向量：a= a1, a2 ,L
证(1) β可由向量α1 ,α2 ,L ,αm线性表示
存在m个数x1, x2 ,L , xm，使得
x1α1 x2α2 L xmαm β
方程组 AX β 有解
线性代数N维向量空间基与维数
§ 4.4 向量空间
12 解: 0 1
1 0
1 1 1
1 1 1
初等 行变换
1 0 0
2 1 0
1 1 0
1 1 0
可见dim L(A1, A2, A3, A4) = 2, A1, A2是L(A1, A2, A3, A4)的一组基.
注: 此外A1, A3也是L(A1, A2, A3, A4)的一组基. 还有A1, A4.
分别为x, y, 则
x = Py, y = P1x.
证明: = (1, 2, …, r)x = (1, 2, …, r)y = (1, 2, …, r)Py
(1, 2, …, r)(x Py) = 0. 又因为1, 2, …, r线性无关,
所以x Py = 0, 即x = Py, 进而y = P1x.
L(A1, A2, …, As)——A的列空间(column space) dimL(A1, A2, …, As) = 秩(A).
1 2 1 1Biblioteka 例3. 设A = [A1, A2, A3, A4] = 0 1 1 1 ,
1 0 1 1
求L(A1, A2, A3, A4)的一组基和维数.
第四章 n维列向量空间
事实上, 对于这个例子, 除了A3, A4以外, A1, A2, A3, A4中任意两个向量都构成 L(A1, A2, A3, A4)的一组基.
第四章 n维列向量空间
三. 向量在基下的坐标
1, 2, …, r——V 的一组基,
§ 4.4 向量空间
由定义, 对V, 唯一的一组有序实数 k1, k2, …, kr使得 = k11+k22+…+krr .
则称V是Rn的一个子空间(subspace), 或直接 称为一个(实)向量空间(real vector space). 仅含有零向量0的集合{0}关于向量的线性运 算也构成一个向量空间.
线性代数-N维向量空间-第5节-标准正交基
n
[, ] = i=1aibi = T.
第四章 n维列向量空间
2. 内积的基本性质
(1) 对称性: [, ] = [, ];
§ 4.5 内积与正交矩阵
(2) 线性性: [k11+k22,] = k1[1, ]+k2[2,];
(3) [, ] 0; 且[, ] = 0 = 0 .
(3) 三角不等式(Triangle Inequality):
| +| |||| + ||||.
第四章 n维列向量空间
§ 4.5 内积与正交矩阵
5. 长度为1的向量称为单位向量(unit vector).
对于非零向量, ||||1是一个单位向量.
——单位化/标准化(normalize).
(i,j1,2,
i j
,n),
故Ae1，Ae2，…，Aen也是一个标准正交组.
第四章 n维列向量空间
§4.5 内积与正交矩阵
§4.5 内积与正交矩阵
一. Rn中向量的内积, 长度和夹角
1. 设 =(a1, a2, …, an)T, =(b1, b2, …, bn)T,
则称实数
n
i=1aibi
为向量
与
的内积
(inner/dot/scalar product).
记为[, ], 即
(4) (Cauchy-Schwartz Inequality) |[, ]| [, ] [, ].
考察y = [, ]x2 + 2[, ]x + [, ].
n
=
i=1
(xai
+
bi)2
0
第四章 n维向量
§4.2
向量组的线性相关性
可写成
( a1 a 2
x1 x2 an ) =b xn
即
x1a1 + x2a 2 + + xna n = b ,
T
其中a j = (a1 j , a2 j ,, amj ) ( j = 1,2,, n)
b = (b1, b2 ,, bm )T
§4.2
向量组的线性相关性
给定向量组T：a1,a2, …,am和向量b, 如果存在一组 实数 k1 , k2 , … , km , 使 b = k1a1+k2a2+…+kmam 则称向量 b 是向量组T的线性组合或称向量 b 可由向 量组 T 线性表示 例4.5 若记 e1=(1,0, …,0),e2=(0,1, …,0)，…，en=(0,0, …,1)
分量全是实数的向量叫做实向量，
分量是复数的向量叫做复向量。
§4.1 n 维向量及其线性运算
注： 1.a = ( x1 ,x2 , … ,xn) ——n维行向量；
x1
a=
x2
——n维列向量;
xn
2.若向量的所有分量都等于0，则称该向量为零向 量，在不引起混淆的情况下，简记为0.
§4.1 n 维向量及其线性运算
的n+s维 向量组b1,b2, …,bm仍线性无关。
§4.3 向量组的秩
§4.3
向量组的秩
一、向量组的极大线性无关组
定义4.5 设向量组T的一个部分组 {a1 , a 2 , , a r } T， 若满足 (1) a1 , a 2 , , a r 线性无关；
(2)向量组T 中每一个向量均可由 {a1 , a 2 , , a r } 线性表示 则称 {a1 , a 2 , , a r } 是向量组T的一个极大
4-1 n维向量空间
例6 设向量组1 , 2 , 3 线性无关. 证明:
(3)向量组的一个部分组线性相关,则整体线性相关. 例7 设A是 n阶矩阵, 是n维列向量,若存在正 Am1 , Am , 则 整数m,使得 m1 , A ,, A 线性无关. (证明见黑板)
定义2 在向量组(I) 1 , 2 ,, m 中， 如果存在r个向量 i1 , i 2 ,, ir ，满足： （无关性） (1) i1 , i 2 ,, ir 线性无关；
性质： (1)每个向量组与其极大无关组等价。
(2) 一个向量组的极大无关组可以不唯一，但都是 等价的，且所含向量个数相等。
推论2 若线性无关的向量组 1 , 2 ,, t 与线 性无关的向量组 1 , 2 ,, s 等价,则 t s
(2) (I)中每个向量都可由i1 , i 2 ,, ir线性表示。 （极大性） 则称i1 , i 2 ,, ir是向量组(I) 的一个极大线性 无关向量组(简称极大无关组)。
由此可得,教材中的定理4.3-4.5(见page127).
推论1 n个n维向量的向量组线性无关
向量组的行列式 0.
R n中向量个数超过n的向量组必线性相关 推论2
R n中的n个向量1 , 2 ,, n 线性无 推论3 如果 R n中任何一个向量都可以由1 , 2 ,, n 线 关，则 性表示，且表示法唯一。
定义4 实数域R上的全体n维向量，当定义 了上述向量的加法和数乘运算后，就称其为 实数域R上的n维向量空间，记作 R n。
定义5 设 V 是 R 的一个非空子集,如果
n
(1) V 对向量的加法是封闭的,即
第4章 n维向量空间
# 实 向 量 a : 向 量 a的 分 量 都 是 实 数 ; # 复 向 量 b : 向 量 b的 分 量 都 是 复 数 。 定 义 4 . 1 所 有 n维 实 向 量 ( r e a l v e c t o r )的 集 合 称 为 , n维 实 向 量 空 间 ， 记 为 ， 即
例 4.1 判 断 向 量 β = -3, 2, 0, 5 是 否 可 由 向 量 ,
T
e 1 (1, 0, 0, 0 ) , e 2 ( 0, 1, 0, 0 ) ,
T T
e 3 ( 0, 0, 1, 0 ) , e 4 ( 0, 0, 0, 1 )
T
T
线性表示。 解 因 = - 3 e 1 2 e 2 0 e 3 5 e 4， 所 以 β 可 由 e 1 , e 2 , e 3 , e 4
T
a1 a2 a n
复习若干概念： # 向 量 α a1 , a 2 , , a n
T
和 β b1 , b 2 , , b n
T
相等
对应分量都相等 a i bi 1 i n # 向 量 α , β的 和 : α β a 1 b2 , a 2 b2 , , a n bn # 向 量 0 ,0 , , 0 称 为 零 向 量 ， 用 O 表 示 。
即 ： x1 α1 x 2 α 2 x m α m β
定 理 4.1 ( 1 ) 向 量 β 可 由 向 量 α 1 , α 2 , , α m 线 性 表 示 的 充 要 条 件 是 ： ra n k ( α 1 , α 2 , , α m ) ra n k ( α 1 , α 2 , , α m , β ) ( 2 ) 向 量 β 可 由 向 量 α 1 , α 2 , , α m 惟 一 线 性 表 示 的 充 要 条 件 是 ： ra n k ( α 1 , α 2 , , α m ) ra n k ( α 1 , α 2 , , α m , β ) m 。 证 (1 ) β 可 由 向 量 α 1 , α 2 , , α m 线 性 表 示 x1 α1 x 2 α 2 x m α m 方 程 组 A X β 有 解 其中A 存 在 m 个 数 x 1 , x 2 , , x m ， 使 得
第4章 n维向量空间
第4章 n 维向量空间 §4.1 n 维向量定义1 n 个有次序的数n a a a ,,,21 所组成的数组),,,(21n a a a 称为n 维向量, 这n 个数称为该向量的n 个分量, 第i 个数i a 称为第i 个分量.n 维向量可写成一行，称为行向量，也可以写成一列,称为列向量.向量常用黑体小写字母βα、、、b a 等表示,即n 维列向量记为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a 21α,n 维行向量记为),,,(21n αααα =.行向量与列向量的计算按矩阵的运算规则进行运算.例 设.)1,0,1,0(,)2,4,7,1(,)3,1,0,2(T T T =-=-=γβα(1) 求 γβα32-+; (2) 若有x , 满足,0253=++-x γβα 求.x 解（1）γβα32-+T T T )1,0,1,0(3)2,4,7,1()3,1,0,2(2--+-=.)1,2,4,5(T =（2）由,0253=++-x γβα得x )53(21γβα-+-=])1,0,1,0(5)2,4,7,1()3,1,0,2(3[21T T T --+--=.)8,2/7,1,2/5(T --= 在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”称为向量，并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象. 引入坐标系后，又定义了向量的坐标表示式（三个有次序实数），这就是上面定义的3维向量. 因此，当3≤n 时，n 维向量可以把有向线段作为其几何形象. 当3>n 时，n 维向量没有直观的几何形象.§4.2 向量组的线性相关性1、向量组的概念若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合称为向量组.例如，一个n m ⨯矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211每一列⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mj j j j a a a 21α),2,1(n j =组成的向量组n ααα,,,21 称为矩阵A的列向量组，而由矩阵A 的的每一行),,2,1(),,,(21m i a a a T in i i i ==α组成的向量组m ααα,,,21 称为矩阵A 的行向量组.反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵。
[理学]第四章 n 维向量空间_OK
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,
,
,
线性相关
ar1 ar2
arn
21
即向量组1
,
2
,
,
线性相关
m
推论（2）
若干n维向量组1,2, ,m线性无关,则 把每个向量任意添加 s 个分量后,
所得向量组 '1, '2, , 'm 线性无关
证：反证法。设 '1, '2, , 'm 线性相关，
则去掉每个向量的s个分量后得到的
即：rank(α1,α2 , ,αm ) rank(α1,α2 , ,αm , )
(2) β可由向量α1 ,α2 , ,αm惟一地线性表示
存在m个惟一的数x1, x2 , , xm，使得
xα1 1 x2α2 xmαm
方程组 AX 有惟一解
其中A (α1 ,α2 , ,αm ), X (x1 ,x2 , ,xm )T
向量组线性相关，
则整个向量组也必定线性相关,引起矛盾.
所以,它的任意一个部分向量组也必线性无关. 15
定理4.3 向量组1,2 , ,m线性相关 方程x11 x22 xmm O有非零解 rank(1,2 , ,m ) r m
向量组1,2 , ,m线性无关 方程x11 x22 xmm O只有零解 rank(1,2 , ,m ) m
3 (1, 3, 6,3)T ,4 (2, 1,3, 4)T
问：
4是否可由1，
2，
线性表示？
3
1 5 1 2 1 5
解：1，
2，
3，
4
2 3
5 12
3 6
1
0
3 0
3 0
1
11
3
线代第四章第一---三节
一、向量的内积
x1 y1 x2 y2 , , β= 1．定义 设有 n 维列向量α = ⋮ ⋮ xn yn
令 (α , β ) = x1 y1 + x2 y2 + ⋯ + xn yn
称 (α , β ) 为 向 量 α 与 β 的 内 积 .
设α 1 , α 2 ,⋯ , α r 为一组线性无 关的向量,
取β 1 = α 1
( β1 ,α 2 ) β2 = α2 − β1 , ( β1 , β1 ) ( β1 ,α 3 ) (β 2 ,α 3 ) β3 = α3 − β1 − β2 ( β1 , β1 ) (β 2 , β 2 )
⋯⋯⋯⋯
只含有零向量的向量空间称为0维向量空间， 说明:（1）只含有零向量的向量空间称为0维向量空间， 说明 因此它没有基． 看作向量组， （2）若把向量空间V 看作向量组，则V 的基就 是向量组的极大无关组, 的维数即向量组的秩. 是向量组的极大无关组, V 的维数即向量组的秩. （3）若向量组 α 1 ,α 2 ,⋯ ,α r 是向量空间V 的一 ） 个基， 个基，则V 可表示为V = α α = λ1α1 + ⋯+ λrαr ; λ1 ,⋯, λr ∈ R
c为任意常数
2 取 η = −1 ， 1
将η 单位化
1 6 1 6
T
η 2 α= = η 6
−
17
练习： 用施密特正交化方法将下列向量组标准正交化
α1 = ( 1 1 1 1) , α 2 = ( 3 3 −1 −1) , α 3 = ( −2 0 6 8 )
定理1 若n维向量α1 , α 2 ,⋯ , α r 是一组正交的非零向量, 则α 1 , α 2 , ⋯ , α r 线性 无关 .
《线性代数》课件-第4章 n元向量空间
§4.1 n元向量组的线性相关性第四章 n元向量空间线性表示定义11122=+++s sk k k βααα 为表示系数. 12,,,s k k k 若存在数 ， 12,,,∈s k k k 使得 例如， 则称向量 可由向量组 线性表示， 12,,,s αααβ零向量是任意向量组的线性组合，这是因为12000s =⋅+⋅++⋅0ααα.向量组中的任意一个向量都可由该向量组线性表示, 12,,,s ααα这是因为11100100,-+=⋅++⋅+⋅+⋅++⋅i i i i s αααααα(1,2,,).=i s 给定 中的向量和向量组 12,,,s ，αααn β1111212212221212,,,⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦s s ns n n n ns b a a a b a a a b a a a 设；，βααα一般地：121122,⇔=+++s s s x x x x x x ，，，βααα.存在数使得12,,,s 可由线性表示βααα11112211211222221122,,,+++=⎧⎪+++=⎪⇔⎨⎪⎪+++=⎩s s s s n n ns s na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b 非齐次线性方程组有解.则1122s ⇔⨯+++=s s n x x x 非齐次线性方程组有解.αααβ12,,,s 可由线性表示β ααα1212,,,,,,A A ⇔==s s 矩阵[]的秩等于矩阵[]的秩.αααααα,β结论则称向量组 向量组的线性相关性()12,,,s αααⅠ:1122+++=0s s k k k ααα，给定 中的向量组 n()12,,,s ，αααⅠ:12,,,s k k k ，如果存在不全为零的数 使否则称()Ⅰ向量组线性无关（linearly independent ）. 线性相关（linearly dependent ）. 定义2===；123[1,0],[0,1],[1,3] 向量组线性相关ααα例如，()向量组线性无关Ⅰ注 1122+++=0.s s k k k才有ααα120====时s k k k 只有，===；123[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1] 向量组线性无关εεε例如， 12,,,n n n 在中，元基本向量组线性无关.εεε()=⇔=s 时当组线性相关1,ⅠO；α()=⇔s 时当组线性相关分量对应成比例122,Ⅰ与；αα()≥⇔s 时当组线性相关2,Ⅰ()1-s 个组中至少有一个向量能由其余Ⅰ向量线性表示.()=⇔≠s 时当组线性无关1,ⅠO；α()=⇔s 时当组线性无关分量对应不成比例122,Ⅰ与；αα()≥⇔s 时当组线性无关2,Ⅰ()1-s 个组中每一个向量都不能由其余Ⅰ向量线性表示.线性相关的几何意义：两向量共线，三向量共面.线性无关的几何意义：两向量不共线，三向量不共面.(1) 若部分组线性相关，则整组必线性相关； (2) 若整组线性无关，则任一非空部分组必线性无关； 包含零向量或成比例向量在内的向量组必线性相关.例如， 结论部分组的整组的线性相关性的关系11121212221212,,,.⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦m m nm n n nm a a a a a a a a a 设则ααα1122⇔⨯+++=0m m n m x x x 齐次线性方程组ααα12,,m , 线性相关ααα有非零解12[,,]A =m ,令矩阵ααα12[,,]A ⇔=m m ,.矩阵的秩小于向量个数ααα（线性无关）.(仅有零解）. (等于向量个数m, 即矩阵A 列满秩）.n m （）时，.1当小于向量个数该向量组一定线性相关=n m （），2当时特别地，1212,,|,,|0⇔≠n n ,,.向量组线性无关行列式αααααα1212,,|,,|0⇔=n n ,,.向量组线性相关行列式αααααα相应地，可以得到关于行向量组的结论.定理1()12s ,,,设向量组Ⅰ:线性无关,ααα()12s ,,,而向量组Ⅱ:,αααβ线性相关，()，则向量可由向量组Ⅰ线性表示且表示方式惟一.β证明思路 只需证明非齐次线性方程组 1122+++=s s x x x αααβ有唯一解, 即证明1212,,,,,,A A ====矩阵的秩矩阵的秩s s s [][].αααααα,β()12s ,,,A 由向量组线性无关知矩阵的秩为s ，Ⅰ:,ααα()12s ,,,1A +由向量组线性相关知矩阵的秩小于s ，Ⅱ:,,αααβ事实上，()12s ,,,,则向量组Ⅱ:也线性无关.αααβ()()1A A ≤+所以=<s r r s ,()().A A 即有==r s r 推论1()12s ,,,设向量组Ⅰ:线性无关,ααα()若向量不能由向量组Ⅰ线性β表示，§4.2.1 向量组的秩(1) 第四章 n元向量空间向量组的线性表示及等价定义1()()1212:,,,:,,,设有两个向量组及s t ⅠⅡ，αααβββ()个向量都能由向量组线性表示Ⅰ，()如果组中的每Ⅱ则称向量组(II)能由向量组(I)线性表示. 则称这两个向量组等价. 如果向量组(I)与向量组(II)能互相线性表示， ()()()()()()⎫⎪⇒⎬⎪⎭Ⅱ可由Ⅰ线性表示Ⅲ可由Ⅰ线性表示；Ⅲ可由Ⅱ线性表示 向量组间的线性表示关系不满足对称性，但满足①反身性，即任一向量组可由自身线性表示；②传递性即， 向量组间的等价满足反身性，对称性和传递性.注1234[1,2,3,1],[1,2,3,1],[1,1,1,1],[0,2,4,1].αααα==----=---=已知向量组1234123134I ,,,II ,,III ,,αααααααααα记向量组（）（线性相关）；（）（线性相关）；（）（线性无关），1I III 2I II 则 （）向量组（）与（）等价； （）向量组（）与（）不是等价的.例1()()1212:,,,:,,,设向量组可由向量组线性表示s t ⅠⅡ，αααβββ().≤组线性无关,则s t Ⅰ定理1若向量.等价的线性无关组必包含有相同个数的向量推论1基本定理1212,,,,≤如果向量组的一个部分组满足r s i i i r s (I),(II),()：αααααα12,,向量组线性无关r i i i ①(II),；ααα则称向量组为向量组的一个(II)(I)极大线性无关部分组，简称极大无关组.12,,原向量组的任一向量都能被部分组线性表示r i i i ②(I)(II),，ααα定义2• 只含零向量的向量组没有极大无关组；• 线性无关向量组的极大无关组是其本身； • 一般来说，线性相关组的极大无关组不唯一；注 向量组的极大无关组===求向量组的极大无关组.ααα123[1,0],[0,1],[1,3] 例向量组的任一极大无关组与向量组自身等价.命题1向量组的任意两个极大无关组等价.注1 ，向量组的任两个极大无关组所含向量的个与极大无关组的选数都相同取无关.注212,,,向量组的极大无关组所含向量的个数称为该向量s ααα0.规定只含零向量的向量组的秩为 ()12,,,.记作s r ααα组的秩，定义3向量组的秩===的秩为2.向量组ααα123[1,0],[0,1],[1,3] 例 等价的向量组秩相等.注向量组的秩与线性相关性的联系向量组线性无关当且仅当 12s ,,,ααα()12s .=r s ,,,ααα向量组线性相关当且仅当 12s ,,,ααα()12s .<r s ,,,ααα定理211121212221212,,,.⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦s s ns n n ns a a a a a a a a a 设则ααα12[,,]A =s ,令矩阵ααα12s [,,]A ⇔=s ,.矩阵的秩小于向量个数ααα（即矩阵A 列满秩）.向量组线性相关 12s ,,,ααα向量组线性无关 12s ,,,ααα12s [,,]A ⇔=s ,.矩阵的秩等于向量个数ααα 矩阵的秩与线性相关性的联系§4.2.2 向量组的秩(2) 第四章 n元向量空间A ⨯⎡⎤=⎣⎦ij n m a 1212[,,,]⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦m n ，ββαααβ设矩阵其中 12,,,∈nm ααα为矩阵 A 的行向量组， 为矩阵 A 的列向量组.12,,,∈mn βββ定义 矩阵A 的行向量组的秩称为A 的行秩， 矩阵A 的列向量组的秩称为A 的列秩.矩阵的行秩和列秩是矩阵的秩的另两种刻画.A ⎡⎤=⨯⎣⎦设是数域上的矩阵, 则ij a n m .A A A 的行秩的列秩的秩==定理证 若A =O ，结论显然成立；设 ,A O ≠并设A 的秩等于r ，先证明A 的列秩=A 的秩= r.因为A 的秩等于r ，则A 中必存在一个r 阶非零子式， r D 而子式 所在 r D 的A 的r 个列向量构成一个列满秩矩阵，因此A 的这r 个列向量线性无关. 另外A 的任意 r +1个列向量都线性相关. 否则，可假设A 的某 r +1个列线性无关， 则这 r +1个列向量所构成的矩阵列满秩，即它的秩为r +1.于是矩阵A 中存在一个r +1阶非零子式， 这与A 的秩为r 相矛盾.从而非零子式所在的r 个列是A 的列向量组 的一个极大无关组， r D 因而A 的列秩= r =A 的秩.因为A 的行秩= 的列秩 T A T ()A =r ()A =r = A 的列秩， 故定理得证.对于n 元向量所构成的向量组，在一般情况下，以矩阵的秩为 工具，可以很好地解决：求向量组的秩以及判断该向量组的 线性相关性等问题.例1()()1212,,,,,,证明若中的向量组 可由 线性表示，n s t ⅠⅡαααβββ()().≤则r r ⅠⅡ命题112,,,∈nm ααα若向量组 的秩为r ， 则该向量组中任意 r 个线性无关的向量就是一个极大无关组. 命题2如果矩阵A 经过有限次初等行变换化为矩阵B ， 列向量组有相同的线性相关性.则A 和B 中对应的1212[,,,][,,,].A B ==m m ，αααβββ设矩阵 取矩阵A 的s 个列向量 12,,,s j j j ααα1212[,,,][,,,]A B =−−−−→=m m 初等行变换，αααβββ及矩阵B 中对应的s 个列向量12,,,.j j js βββ当 有 121211[,,,][,,,]A B =−−−−→=s j j j j j js 初等行变换，αααβββ从而线性方程组1212+++=0s j j s j x x x ααα1212+++=0m j j s j x x x βββ与同解，故向量组与 有相同的线性相关性. 12,,,sj j j ααα12,,,mj j j βββ证T T T 123T T 45[1,0,1,1],[2,1,2,0],[2,1,0,1],[0,1,2,1],[0,0,2,1]=-=-=--=-=-求向量组的秩和一个极大无关组.ααααα例2解令12200011101202210111A -⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦1220001110,0011100000R -⎡⎤⎢⎥--⎢⎥−−−−→=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦初等行变换（行阶梯矩阵）125(,,,)()3,A ==r r ααα125,,,ααα123,,ααα是向量组 的一个极大无关组.§4.3 n元向量空间第四章n元向量空间n 元向量空间及其子空间{}1212[,,,],,,nn n n a a a a a a =∈数域上全体元向量的集合记为：1212[,,,],[,,,],∀=∈∀=∈nnn n a a a b b b αβ1122[,,,];+=+++∈nn n a b a b a b αβ加法运算 数乘运算 12[,,,].∀∈=∈nn k k ka ka ka ， α因为， 所以 是一个非空集合. [0,0,,0]=∈0nn因此 对于线性运算是封闭的.n并且线性运算满足如下八条运算律：(1),;∀∈+=+n 对，有α,β αββα1212(4)[,,,],[,,,],..();∀=∈∃-=---∈+-=0nnn n a a a a a a s t αααα(2),()();∀∈++=++n 对，有α,βγαβγαβγ(3)[0,0,,0],..,;∃=∈∀∈+=00nns t 有ααα(5)1;∀∈⋅=n 对，有ααα(6),,()();∀∈∀∈=nk l k l kl 对，有ααα(7),,();∀∈∀∈+=+nk l k l k l 对，有αααα(8),().∀∈∀∈+=+nk k k k 对，，有αβαβαβ（零元素）（负元素）{}12[,,,]1,2,,∈=nn i a a a a i n =|,n 数域上元向量的全体是一个非空集合， 对于向量的加法以及数乘两种运算封闭， 八条运算律， 称为数域 上的n 元向量空间（vector space ）. 定义1且满足 设W 是向量空间 的子集，如果集合W 非空， n 且集合W 对于向量的加法及数乘两种运算封闭， 则称W 为 的子空间（subspace ），n.<nW 记为 定义21,.∀∈+∈∀∈∀∈∈W W W k W k W 非空，且满足条件：（），，有；（2) ，有αβαβααW 为 的子空间n{}0nn及是的平凡子空间；{}T31=[,,0],∈<W x y x y ,例2例1 {}T32=[,,1],∈W x y x y ；而不是的子空间12∈ns 向量组，，，的线性组合的全体ααα例312,,,n s 是的子空间，称之为由生向量组空，成的子间ααα{}()1122s1211,2,,1,2,,,,,==+++∈=⎧⎫=∈==⎨⎬⎩⎭∑s s i i i i s i W k k k k i s k k i s L ，，ααααααα12,,,s 称为该子空间的一个生成元.ααα根据子空间的定义，验证非空及线性运算的封闭性；根据例3 的结论，验证具有线性生成结构，从而为生成子空间.证明子空间的常用方法{}T 31=[,,0],∈<W x y x y ,例如， 1001000⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦x y x y 12,=+∈x y x y ，εε3112.=<W L （，）εε子空间的基和维数 12,,,向量组线性无关r ①；ααα12,,,则称向量组为子空间的一个r W ααα基（basis ）， 12,,,中任一个向量都可由 线性表示r W ②，ααα定义3向量组的极大无关组设W 是 的一个子空间， n若W 中的有序向量组满足： 12,,,r ααα正整数r 为子空间W 的维数（dimension ），记作dim W =r , 并称W 为r 维子空间.{}dim{}0.=00零子空间没有基规定；注子空间的基不唯一，但维数是确定的.12,,,, n n n n 元基本向量组就是 元向量空间 的一个基称为εεε例如， ,n nn n 从而的维数是因此也将称作维向量空间.P n 的标准基，注 .中任意个线性无关的向量都是它的一个基nn例4dim 2=且W .T{[,,3],}=-+∀∈W a b a b b a b 证明集合 是 的子空间，并求 3W 的基和维数.证明显然W 非空， 并且W 中的每一个向量1111303--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦a b a b a b b 12=+∈， ，，a b ab αα[][]TT121,1,0,1,1,3.==-其中αα312,.=这说明因此是的子空间W L （），αα[][]TT121,1,0,1,1,3==-又线性无关从而为的一个基W ，，αα§4.4 线性方程组解的结构第四章n元向量空间111122121122221122000.+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x ，，，AX ⇔=（矩阵形式）0记齐次线性方程组111212122211n n m m mn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 的系数矩阵为 12X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦n x x x 未知数向量为{}A X AX A X ∈==0的解集是的子空间nnN 0 ，()=注2注1 齐次线性方程组解的线性组合还是解.性质11212AX AX =+=0 0 若是 的解则也是的解，.η,ηηη性质2()AX AX =∀∈=0 0 若是 的解则 也是的解k k ，.ηη齐次线性方程组的基础解系定义1当 有非零解时， AX =0如果解向量满足： 12,,,t ηηη(1)线性无关； 12,,,t ηηη(2)的任一解可由 线性表示， 12,,,t ηηηAX =0则称为方程组 的一个基础解系. 12,,,t ηηηAX =01122X =+++t t k k k ，ηηη12,,,其中是任意常数t k k k .()12(),,,A =t N L ηηη{}11221,2,,=+++∈=t t i k k k k i t ，ηηη如果为齐次线性方程组 的一个基础解系，则 12,,,t ηηηAX =0的通解可表示为 AX =0◆向量组的极大无关组不唯一，但不同极大无关组中所含向量个数相同.向量组的秩◆方程组的基础解系不唯一，但所含解向量的个数是唯AX 0解空间的维数一确定的.dim N(A)=如何求基础解系()A AX ⨯=<=0m n r r n 当时，方程组有非零解，1212,,,,,,++r r r n x x x x x x 不失一般性，不妨设为主变量，为自由变量111,1,10010000A --⎛⎫⎪ ⎪ ⎪−−−−→⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭n r r r n r b b b b 初等行变换A 则系数阵化为行简化阶梯形矩阵齐次线性方程组的基础解系11111,11,+-+-⎧=---⎪⎨⎪=---⎩r n r n rr r r n r nx b x b x x b x b x ⇔AX =011111,11,11+-+-++---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦r n r n r r r r n r n r r n n x b x b x x b x b x x x x x 通解为11121212212100010001++---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦r r r r r n b b b b b b x x x11121,12,12,,,.100010001n r r r r n r n rb b b b b b ------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ηηη记112212,.X ---=+++其中 为任意常数n r n r n r k k k k k k ，，，ηηη112212,,,,,++--===令其中为任意常数r r n n r n r x k x k x k k k k ，，，AX =0 则 的通解为为齐次线性方程组 的一个基础解系，且 12,,,t ηηηAX =0dim ().A =-N n r()AX A A ⨯=<0m n r n 若齐次线性方程组的系数矩阵的秩，则必有定理1基础解系，()A -n r 且任一基础解系所含解向量的个数为.123412341234123450,230,380,3970.x x x x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪+-+=⎪⎨-++=⎪⎪+-+=⎩例1求齐次线性方程组的一个基础解系，并写出通解.解 对方程组的系数矩阵初等行变换，得11511151112302743181000013970000A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦310127012200000000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
n维向量空间
② 向量通常写成一行=(a1, a2,…, an)
称之为行向量；
a1
向量写成一列
a2
称之为列向量；
an
2. 向量的相等
对于两个n维向量 =(a1, a2,…, an), = (b1, b2,…, bn)
如果其对应分量皆相等，即 ai= bi , i=1,2,…,n,
5) 1=
6) 结合律 k(l)= (kl)
7) (k+l)= k+l
8) k(+)= k+k 9) 0=0，(-1)=-, k0=0 10) 如果k0, 0, 则k0，即
如果k＝0，则 k=0或=0.
3、 n维向量空间
定义 数域P上的n维向量的全体，同 时考虑到定义在它们上的的加法和数 量乘法运算，称为数域P上的n维向量 空间，记作Pn。
则称向量与相等，记作 =．
3.一些特殊向量
零向量：分量全为零的向量称为零向 量，记作0．即０＝(0,0,…,0).
负向量：向量(a1, a2,…, an)称为 向量=(a1, a2,…, an)的负向量，记作.
二、n维向量的运算
定义 设=(a1, a2,…, an), = (b1, b2,…, bn), k 为数域P中的数，定义向量
向量a称为向量a零元特性0001k0010如果k0时考虑到定义在它们上的的加法和数量乘法运算称为数域p上的n维向量空间记作p
n维向量空间
一、n维向量的概念
1．定义 由数域P上的n个数组成的有序数组
(a1, a2,…, an) 称为数域P上的一个n维向量，称ai为该向 量的第i个分量,
注：
微积分：4-1 n维向量空间
0,a2 b2,,an bn T V1, 0,a2,,an T V1,
所以，V1 是向量空间。 (2) V2不是向量空间。
因 为若 1, a2 ,, an V2 ,
则2 2,2a2 ,,2an V2
18
(1)若当 V , V时,就有 V ,
则称V对加法封闭
(2)当 V , R时,就有 V ,
则称V对数乘封闭
定义 设V Rn，V ，若V对加法和数乘封闭
则称V是Rn的子空间 例 {0}和Rn是 两 个 特 殊 的 向 量 空 间。
17
例 判别下列集合是否为向量空间.
(1)V1 x 0, x2,, xn x2,, xn R (2)V2 x 1, x2,, xn x2,, xn R
V xa b ,R 是否为向量空间？
解 x1 1a 1b, x2 2a 2b V
x1 x2 (1a 1b) (2a 2b)
(1 1)a (2 2 )b V
k R, kx1 k(1a 1b) (k1)a (k1)b V
所以V是一个向量空间。
（这个向量空间称为由向量 a, b 生成的向量空间）
§4. 1 n维向量空间的概念 §4. 2 向量组的线性相关性 §4. 3 向量组的秩与最大无关组 §4. 4 线性方程组解的结构
1
§4.1 n维向量空间 一、n维向量空间的概念
二、Rn 的子空间
2
一、n 维向量空间的概念
几何空间中的向量：a : OP (a1, a2 , a3 )
向量的线性运算
点P的坐标
(a1 b1 , a2 b2 , , a3 b3 )
k (ka1 , ka2 , ka3 )
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第4章 n 维向量空间 §4.1 n 维向量定义 1 n 个有次序的数n a a a ,,,21 所组成的数组),,,(21n a a a 称为n 维向量,这n 个数称为该向量的n 个分量, 第i 个数i a 称为第i 个分量.n 维向量可写成一行，称为行向量，也可以写成一列,称为列向量.向量常用黑体小写字母 、、、b a 等表示,即n 维列向量记为n a a a 21 ,n 维行向量记为),,,(21n .行向量与列向量的计算按矩阵的运算规则进行运算.例 设.)1,0,1,0(,)2,4,7,1(,)3,1,0,2(T T T(1) 求 32 ; (2) 若有x , 满足,0253 x 求.x解（1）32 T T T )1,0,1,0(3)2,4,7,1()3,1,0,2(2 .)1,2,4,5(T（2）由,0253 x 得x )53(21])1,0,1,0(5)2,4,7,1()3,1,0,2(3[21T T T .)8,2/7,1,2/5(T 在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”称为向量，并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象. 引入坐标系后，又定义了向量的坐标表示式（三个有次序实数），这就是上面定义的3维向量. 因此，当3 n 时，n 维向量可以把有向线段作为其几何形象. 当3 n 时，n 维向量没有直观的几何形象.§4.2 向量组的线性相关性1、向量组的概念若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合称为向量组.例如，一个n m 矩阵mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211每一列mj j j j a a a 21 ),2,1(n j 组成的向量组n ,,,21 称为矩阵A的列向量组，而由矩阵A 的的每一行),,2,1(),,,(21m i a a a T in i i i 组成的向量组m ,,,21 称为矩阵A 的行向量组.反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵。
2、线性组合与线性表示定义2 给定向量组s A ,,,:21 ，对于任何一组实数s k k k ,,,21 , 表达式s s k k k2211称为向量组A 的一个线性组合, s k k k ,,,21 称为这个线性组合的系数.给定向量组s A ,,,:21 和向量 , 若存在一组数,,,,21s k k k 使,2211s s k k k则称向量 是向量组A 的线性组合, 又称向量 能由向量组A 线性表示(或线性表出).例 设).3,0,0,1(),1,4,0,3(),1,2,0,1(21 由于212 , 因此是21, 的线性组合.例2 n 维向量组T n T T )1,,0,0(,,)0,1,0(,)0,,0,1(21称为n 维单位坐标向量组，任意一个n 维向量T n a a a ),,,(21 都能由它们线性表示。
如何判断向量 能由向量组m ,,,21 线性表示？定理 1 向量 能由向量组m ,,,21 线性表示的充分必要条件是矩阵),,,(21m A 的秩等于矩阵),,,,(21 m B 的秩.例 判断向量T )11,1,3,4(1 与T )11,0,3,4(2 是否各为向量组,)5,1,2,1(1T T )1,1,1,2(2 的线性组合. 若是, 写出表示式.解 设,12211 k k 对矩阵)(121施以初等行变换:1115111312421990330550421000000110421000000110201 易见，秩 )(121 秩.2),(21 故1 可由21, 线性表示，且由上面的初等变换可取,21 k 12 k 使.2211 类似地，对矩阵),,(221 施以初等行变换:1115011312421990430550421000100110421易见, 秩,3)(221 秩.2)(21 故2 不能由21, 线性表示.3、向量组的线性相关性 (一)、线性相关性概念 定义 3 给定向量组,,,,:21s A 如果存在不全为零的数,,,,21s k k k使,02211 s s k k k则称向量组A 线性相关, 否则称为线性无关.注: ①包含零向量的任何向量组是线性相关的; ②向量组只含有一个向量 时，则（1）0 的充分必要条件是 是线性无关的； （2）0 的充分必要条件是 是线性相关的；③仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的对应分量成比例；④两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线, 三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面. 例1 设有3个向量(列向量):,421,221,101221不难验证,02321 因此321,, 是3个线性相关的3维向量. (二)、线性相关性的判定容易看出：向量组)2(,,,21 s s 线性相关的充必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余1 s 个向量线性表示.向量组m A ,,,:21 构成矩阵）（m A ,,,21 ，向量组A 的线性相关就是齐次线性方程组02211 m m x x x 有非零解。
定理2 向量组m ,,,21 线性相关的充要条件是它所构成的矩阵),,,(21m A 的秩小于向量的个数m ；向量组线性无关的充要条件是m A R )(例5 讨论n 维单位坐标向量组T n T T )1,,0,0(,,)0,1,0(,)0,,0,1(21的线性相关性.解 n 维单位坐标向量组构成的矩阵)(21n E ,,,100010001是n 阶单位矩阵.由,01 E 知n R )E (，即)(E R 等于向量组中向量的个数, 故此向量是线性无关的.例已知,1111 ,5202 ,7423试讨论向量组321,, 及21, 的线性相关性.解 ),,,321( A 7514212011213r r r r 5502202013252r r,000220201,32)(向量的个数 A r 故向量组,,,321 线性相关; 因前两个向量构成的矩阵的秩为2等于向量的个数，所以，向量组21, 线性无关. 例 判断下列向量组是否线性相关:.11134,1112,5121321解 对矩阵)(321 ,,施以初等行变换化为阶梯形矩阵:1115111312421990330550421000000110421秩,,,32)(321 所以向量组321 ,,线性相关.例9 证明：若向量组 ,,线性无关, 则向量组, , 亦线性无关.证 设有一组数,,,321k k k 使0)()()(321 k k k（1）成立，整理得0)()()(322131 k k k k k k由 ,,线性无关，故00322131k k k k k k （2）因为110011101,02 故方程组（2）仅有零解.即只有0321 k k k 时（1）式才成立. 因而向量组, , 线性无关.定理 (1)相关向量组增加向量后仍然相关， 线性无关的向量组减少向量后仍然线性无关.（2）无关向量组的每个向量增加分量后仍然线性无关. 相关向量组减少分量后仍然相关（3）当向量组的维数小于向量的个数时, 此向量组必线性相关.（4）若向量组m ,,,21 线性无关，而向量组 ,,,1m 线性相关, 则向量 可由m ,,,21 线性表示，且表示是唯一的§4.3 向量组的秩一、两个向量组的等价 定义4 设有两向量组,,,,:;,,,:2121s m B A若向量组B 中的每一个向量都能由向量组A 线性表示, 则称向量组B 能由向量组A 线性表示.若向量组A 与向量组B 能相互线性表示, 则称这两个向量组等价.按定义, 若向量组B 能由向量组A 线性表示, 则存在),,2,1(,,,21t j k k k sj j j使,),,,(21212211sj j j s s sj j j j k k k k k k所以,),,,(),,,(2122221112112121st s s t t s t k k k k k kk k k其中矩阵t s ij t s k K )(称为这一线性表示的系数矩阵.若,n t t s n s B A C 则矩阵C 的列向量组能由矩阵A 的列向量组线性表示, B 为这一表示的系数矩阵.,),,,(),,,(212221112112121sn s s n s n b b bbn b bb b bc c c 而矩阵C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示,A 为这一表示的系数矩阵.T s T T ms m m s s T m T T a a a a a a a a a2121222211121121所以，矩阵A 经初等行变换变为矩阵B ，则矩阵A 的行向量组与矩阵B 行向量组等价；矩阵A 经初等列变换变为矩阵B ，则矩阵A 的列向量组与矩阵B 列向量组等价。
二、极大线性无关组定义5 设有向量组,,,,:21s A 若在向量组A 中能选出r 个向量r ,,,21 , 满足(1) 向量组r A ,,,:210 线性无关;(2) 向量组A 中任意1 r 个向量(若有的话)都线性相关.则称向量组0A 是向量组A 的一个极大线性无关组(简称为极大无关组).注: 含有零向量的向量组没有极大无关组例 全体n 维向量构成的向量组记作n R , 求n R 的一个极大无关组. 解 因为n 维单位坐标向量构面的向量组n E ,,, 21:是线性无关的，又知，n R 中的任意1 n 个向量都线性相关，因此向量组E 是n R 的一个极大无关组 三、向量组的秩定义6 向量组s ,,,21 的极大无关组所含向量的个数称为该向量的秩, 记为),,,(21s r .规定: 由零向量组成的向量组的秩为0. 例 n R 的秩等于n . 三、矩阵与向量组秩的关系定理 设A 为n m 矩阵，则矩阵A 的秩等于它的列向量组的秩, 也等于它的行向量组的秩.可知，若r D 是矩阵A 的一个最高阶非零子式, 则r D 所在的r 列就是A 的列向量组的一个极大无关组; r D 所在的r行即是A 的行向量组的一个极大无关组.。
以向量组中各向量为列向量组成矩阵后，只作初等行变换将该矩阵化为行阶梯形矩阵，则可直接写出所求向量组的极大无关组；同理，也可以向量组中各向量为行向量组成矩阵，通过作初等列变换来求所求向量组的极大无关组.例 求向量组：T )5312(1 α，T )3134(2 α，T)7323(3 α，T )171514(4 α的秩和一个极大无关组定理5 若向量组B 能由向量组A 线性表示, 则 )()(A r B r .推论1 等价的向量组的秩相等.推论2 设n s s m n m B A C , 则)}.(),(min{)(B r A r C r推论3 设向量组B 是有向量组A 的部分组，若向量组B 线性无关，且向量组A 能由向量组B 线性表示，则向量组B 是向量组A 的一个极大无关组.§4.4 向量空间一、向量空间与子空间定义7 设V 为n 维向量的集合,若集合V 非空,且集合V 对于n 维向量的加法及数乘两种运算封闭, 即(1) 若,,V V 则V ; (2) 若,,R V 则V . 则称集合V 为R 上的向量空间.记所有n 维向量的集合为n R , 由n 维向量的线性运算规律,容易验证集合n R 对于加法及数乘两种运算封闭. 因而集合n R 构成一向量空间, 称n R 为n 维向量空间.注：3 n 时, 三维向量空间3R 表示实体空间;2 n 时, 维向量空间2R 二表示平面; 1 n 时,一维向量空间1R 表示数轴.3 n 时, n R 没有直观的几何形象.例 判别下列集合是否为向量空间},,|),,,0({221R x x x x x V n T n解1V 是向量空间. 因为对于1V 的任意两个元素,,,,T n a a )0(2 ,,,,12)0(V b b T n有122)0(V b a b a T n n ,,, .,,,12)0(V a a T n 例 判别下列集合是否为向量空间},,|),,,1({222R x x x x x V n T n解2V 不是向量空间.因为若,,,,,22)1(V a a T n 则.,,,,22)222(2V a a T n 例 设 ,为两个已知的n 维向量, 集合},|{R V试判断集合V 是否为向量空间. 解V是一个向量空间. 因为若,111 ,222则有,)()(212121V ,)()(111V k k k即V 关于向量的线性运算封闭.这个向量空间称为由向量 ,所生成的向量空间.注: 通常由向量组m a a a ,,,21 所生成的向量空间记为}.,,,|{212211R a a a V m m m定义8 设有向量空间1V 和2V , 若向量空间21V V , 则称1V 是2V 的子空间.例 3R 中过原点的平面是3R 的子空间二、向量空间的基与维数定义9 设V 是向量空间, 若有r 个向量V r ,,,21 , 且满足 (1) r ,,1 线性无关; (2)V中任一向量都可由r ,,1 线性表示.则称向量组r ,,1 为向量空间V 的一个基, 数r 称为向量空间V 的维数,记为r V dim 并称V 为r 维向量空间.注: (1) 只含零向量的向量空间称为0维向量空间, 它没有基;(2) 若把向量空间V 看作向量组,则V 的基就是向量组的极大无关组,V的维数就是向量组的秩;(3) 若向量组r ,,1 是向量空间V 的一个基,则V 可表示为}.,,,,|{2111R x x V r r r此时,V又称为由基r ,,1 所生成的向量空间.(4)如果在向量空间V 中取定一个基r a a a ,,,21 , 那么V 中任一向量x 可惟一地表示为,2211r r a a a x§4.5 线性方程组解的结构一、齐次线性方程组解的结构设有齐次线性方程组00221122221211212111n mn m m nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a (1)若记mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211,n x x x X 1 则方程组(1)可写为向量方程 0 AX (2)称方程(2)的解n x x x X 21为方程组(1)的解向量.齐次线性方程组解的性质:性质1 若21, 为方程组(2)的解, 则21 也是该方程组的解. 性质2 若1 为方程组(2)的解, k 为实数, 则1 k 也是(2)的解. 注: 齐次线性方程组若有非零解, 则它就有无穷多个解. 由性质知：线性方程组0 AX 的全体解向量所构成的集合对于加法和数乘是封闭的，因此构成一个向量空间. 称此向量空间为齐次线性方程组0 AX 的解空间.定义10 齐次线性方程组0 AX 的有限个解t ,,,21 满足: (1) t ,,,21 线性无关; (2)0 AX 的任意一个解均可由t ,,,21 线性表示.则称t ,,,21 是齐次线性方程组0 AX 的一个基础解系.注：方程组0 AX 的一个基础解系即为其解空间的一个基, 易见方程组0 AX 基础解系不是唯一的，其解空间也不是唯一的.按上述定义，若t ,,,21 是齐次线性方程组0 AX 的一个基础解系. 则0 AX 的通解可表示为 t t k k k X 2211其中t k k k ,,,21 为任意常数.当一个齐次线性方程组只有零解时, 该方程组没有基础解系; 而当一个齐次线性方程组有非零解时, 是否一定有基础解系呢? 如果有的话,怎样去求它的基础解系? 下面的定理回答了这两个问题.定理12 对齐次线性方程组0 AX ，若n r A r )(,则该方程组的基础解系一定存在，且每个基础解系中所含解向量的个数均等于r n , 其中n 是方程组所含未知量的个数.注：定理的证明过程实际上已给出了求齐次线性方程组的基础解系的方法.且若已知r n ,,,21 是线性方程组0 AX 的一个基础解系，则0 AX 的全部解可表为,2211r n r n c c c x(4)其中r n c c c ,,,21 为任意实数. 称表达式（4）线性方程组0 AX 的通解.例 求下列齐次线性方程组的一个基础解系:.0,0223,0322432143214321x x x x x x x x x x x x 解 对此方程组的系数矩阵作如下初等行变换:A111121233212323132r r r r111154105410 21r r11115410000031r r 000054101111 21r r0000541043012)1(r.000054104301于是原方程组可同解地变为:,5443432431x x x x x x 因此基础解系为 1(3,4,1,0),T .)1,0,5,4(2T例求齐次线性方程组 0377,02352,0432143214321x x x x x x x x x x x x 的基础解系与通解.解 对系数矩阵A 作初等行变换，化为行最简矩阵:A137723521111,00007/47/5107/37/201得到原方程组的同解方程组,)7/4()7/5()7/3()7/2(432431 x x x x x x令43x x ,01,10即得基础解系 1 ,017/57/2 2 ,107/47/3并由此得到通解4321x x x x 1C017/57/22C107/47/3).,(21R C C 二、非齐次线性方程组解的结构设有非齐次线性方程组mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 (5)它也可写作向量方程 b AX (6)性质3 设21, 是非齐次线性方程组b AX 的解, 则21 是对应的齐次线性方程组0 AX 的解.性质4 设 是非齐次线性方程组b AX 的解, 为对应的齐次线性方程组0 AX 的解，则 是非齐次线性方程组b AX 的解.定理13（结构定理） 设* 是非齐次线性方程组b AX 的一个解,是对应齐次线性方程组0 AX 的通解, 则* x 是非齐次线性方程组b AX 的通解.例 求线性方程组122202122432143214321x x x x x x x x x x x x 的通解例 求下列方程组的通解 123451234523457.3232,22623.x x x x x x x x x x x x x x解~A23621202312137111110000002/23312/1102/9202/101 由),()(~A r A r 知方程组有解.又,2)( A r ,3 r n 所以方程组有无穷多解. 且原方程组等价于方程组2/2332/2/922/5432531x x x x x x x令 543x x x ,001 ,010 .100分别代入等价方程组对应的齐次方程组中求得基础解系1 ,0012/12/12 ,010103 .10032求特解:令,0543 x x x 得,2/91 x .2/232 x故所求通解为1C x0012/12/12C010103C 10032 .0002/232/9其中,1C ,2C 3C 为任意常数.例 求解下列非齐次线性方程组:.0895,4433,13432143214321x x x x x x x x x x x x 解 对方程组的增广矩阵作如下初等变换：089514431311311)(~b A A 13123r r r r176401764011311 23r r 000001764011311 241r000004147231011311 21r r .000004147231045432301在上面的初等变换中没有作过列对换，因此可立即求出特解 和对应齐次线性方程组的基础解系：.104743,012323,00414521原方程组的解为 ,2211 c c x 其中21,c c 为任意数.。