第4章 n维向量空间复习过程

第4章 n 维向量空间 §4.1 n 维向量

定义 1 n 个有次序的数n a a a ,,,21 所组成的数组),,,(21n a a a 称为

n 维向量,

这n 个数称为该向量的n 个分量, 第i 个数i a 称为第i 个分量.

n 维向量可写成一行，称为行向量，也可以写成一列,称为列向量.

向量常用黑体小写字母 、、、b a 等表示,

即n 维列向量记为

n a a a 21 ,n 维行向量记为),,,(21n .

行向量与列向量的计算按矩阵的运算规则进行运算.

例 设.)1,0,1,0(,)2,4,7,1(,)3,1,0,2(T T T

(1) 求 32 ; (2) 若有x , 满足,0253 x 求

.x

解（1）

32 T T T )1,0,1,0(3)2,4,7,1()3,1,0,2(2 .)1,2,4,5(T

（2）由,0253 x 得

x )53(21

])1,0,1,0(5)2,4,7,1()3,1,0,2(3[2

1

T T T .)8,2/7,1,2/5(T 在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”称为向量，并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象. 引入坐标系后，又定义了向量的坐标表示式（三个有次序实数），这就是上面定义的3维向量. 因此，当3 n 时，n 维向量可以把有向线段作为其几何形象. 当3 n 时，n 维向量没有直观的几何形象.

§4.2 向量组的线性相关性

1、向量组的概念

若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合称为向量组.

例如，一个n m 矩阵

mn m m n n a a a a a a a a a A 21

222

2111211

每一列

mj j j j a a a 21 ),2,1(n j 组成的向量组n ,,,21 称为矩阵A

的列向量组，

而由矩阵A 的的每一行),,2,1(),,,(21m i a a a T in i i i 组成的向量组

m ,,,21 称为矩阵A 的行向量组.

反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵。 2、线性组合与线性表示

定义2 给定向量组s A ,,,:21 ，对于任何一组实数s k k k ,,,21 , 表达式s s k k k

2211称为向量组A 的一个线性组合, s k k k ,,,21 称为这

个线性组合的系数.

给定向量组s A ,,,:21 和向量 , 若存在一组数,,,,21s k k k 使

,2211s s k k k

则称向量 是向量组A 的线性组合, 又称向量 能由向量组A 线性表示(或线性表出).

例 设).3,0,0,1(),1,4,0,3(),1,2,0,1(21 由于212 , 因此

是21, 的线性组合.

例2 n 维向量组

T n T T )1,,0,0(,,)0,1,0(,)0,,0,1(21

称为n 维单位坐标向量组，任意一个n 维向量T n a a a ),,,(21 都能由它们线性表示。

如何判断向量 能由向量组m ,,,21 线性表示？

定理 1 向量 能由向量组m ,,,21 线性表示的充分必要条件是矩阵),,,(21m A 的秩等于矩阵),,,,(21 m B 的秩.

例 判断向量T )11,1,3,4(1 与T )11,0,3,4(2 是否各为向量组

,)5,1,2,1(1T T )1,1,1,2(2 的线性组合. 若是, 写出表示式.

解 设,12211 k k 对矩阵)(12

1

施以初等行变换:

1115111312421

990330550421

00000011

042

1

000000110201 易见，秩 )(12

1 秩.2),(21 故1 可由21, 线性表示，且由

上面的初等变换可取,21 k 12 k 使.2211 类似地，对矩阵),,(221 施以初等行变换:

1115011312421

990430550421

000100110421

易见, 秩,3)(22

1 秩.2)(21 故

2 不能由21, 线性表示.

3、向量组的线性相关性 (一)、线性相关性概念 定义 3 给定向量组

,

,,,:21s A 如果存在不全为零的数

,,,,21s k k k

使,02211 s s k k k

则称向量组A 线性相关, 否则称为

线性无关.

注: ①包含零向量的任何向量组是线性相关的; ②向量组只含有一个向量 时，则

（1）0 的充分必要条件是 是线性无关的； （2）0 的充分必要条件是 是线性相关的；

③仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个

向量的对应分量成比例；

④两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线, 三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面. 例1 设有3个向量(列向量):

,421,221,101221

不难验证,02321 因此321,, 是3个线性相关的3维向量. (二)、线性相关性的判定

容易看出：向量组)2(,,,21 s s 线性相关的充必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余1 s 个向量线性表示.

向量组m A ,,,:21 构成矩阵）（m A ,,,21 ，向量组A 的线性

相关就是齐次线性方程组02211 m m x x x 有非零解。

定理2 向量组m ,,,21 线性相关的充要条件是它所构成的矩阵),,,(21m A 的秩小于向量的个数m ；向量组线性无关的充要条件是m A R )(

例5 讨论n 维单位坐标向量组

T n T T )1,,0,0(,,)0,1,0(,)0,,0,1(21

的线性相关性.

解 n 维单位坐标向量组构成的矩阵