分式的加法和减法——通分
分式的加法和减法——通分
是平路,第二条有1km的上坡路, 2km的下坡路,你在上坡路上
的骑车速度为v km/h, 在平路上的骑车速度为2 坡路上的骑车速度为3vkm/h,
vkm/h,
在你下能对这个
(1)当走第二条路时, 你从你家到学校需要多长时间? 结果进一步
(2)你走哪条路花费时间少? 少用多长时间？
化简吗？
示意图
3v
v1 2
，1 x2 - x
；
解 最简公分母是 x(x-1).
1 x
=
x-1 ， x( x -1)
1 x2 -
x
=
x(
1 x - 1)
.
( 2)
x
1 2 -4
，4-x2x
.
最简公分母是 2(x+2)(x-2).
1 x2 -4
=
2(
x
2 +2)(
x
-
2)
，
x 4-2x
=
x -2( x - 2)
=
-
2(x
x( x + 2) + 2)( x - 2)
.
小结
1、把各分式化成相同分母的分式叫做分式的通分.
2、确定最简公分母的一般步骤
（1）找系数：如果各分母的系数都是整数，那么取它们 的最小公倍数。
（2）找字母：凡各分母因式中出现的所有字母或含字母 的式子都要选取。
（3）找指数：取分母因式中出现的所有字母或含字母的 式子中指数最大的。
（4）当分母是多项时，应先将各分母分解因式，再确定 最简公分母。
（5）分母的系数若是负数时，应利用符号法则，把负号 提取到分式前面。
作业
必做：同步作业相关习题 选做：预习异分母分式的加法和减法
分式的运算技巧
分式概念形如（A、B是整式，B中含有字母）的式子叫做分式。
其中A叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。
且当分式的分子的次数低于分母的次数时，我们把这个分式叫做真分式；当分式的分子的次数高于分母的次数时，我们把这个分式叫做假分式。
注意：判断一个式子是否是分式，不要看式子是否是的形式，关键要满足：分式的分母中必须含有字母，分子分母均为整式。
无需考虑该分式是否有意义，即分母是否为零。
由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性。
方法：数看结果，式看形。
分式条件:1.分式有意义条件：分母不为0。
2.分式值为0条件：分子为0且分母不为0。
3.分式值为正(负)数条件：分子分母同号得正，异号得负。
4.分式值为1的条件：分子=分母≠0。
5.分式值为-1的条件：分子分母互为相反数，且都不为0。
代数式分类整式和分式统称为有理式。
带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式。
无理式和有理式统称代数式。
分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。
用式子表示为：（A,B,C为整式，且B、C≠0）运算法则约分根据分式基本性质，可以把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。
约分的关键是确定分式中分子与分母的公因式。
约分步骤：1.如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去。
2.分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。
公因式的提取方法：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。
最简分式：一个分式不能约分时，这个分式称为最简分式。
约分时，一般将一个分式化为最简分式。
通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。
分式的乘法法则：（1）两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。
（2）两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。
分式的加法和减法通分.doc
分式的加法和减法---- 通分一、教学目标1 、知识与技能目标： 使学生会进行异分母分式的通分。
2、过程与方法目标： 使学生经历探索异分母分式通分的过程， 培养学生归纳、总结、类比的能力。
3、情感态度与价值观目标： 鼓励学生积极主动的参与到“教”与“学”的双边活动中，通过研究解决问题的方法，培养学生大胆猜想，积极探究的学习态度，发展学生的思维能力和表达能力。
二、教学重难点教学重点：会确定异分母分式的最简公分母并对其进行通分。
教学难点：异分母分式的通分。
三、教学过程第一阶段：创设情境，引入新课幻灯片出示一个学生比较熟悉的路程应用题，鼓励学生自主解决。
从你家到学校两条路 , 每一个条路都是 km 其中第一条是平路 , 第二条有 km 的上3 . 1坡路, 2 km 的下坡路, 你在上坡路上的骑车速度为v km h , 在平路上的骑车速度为2/vkm h在下坡路上的骑车速度为3 vkm h 那么: (1) 当走第二条路时 , 你从你家到学校/ ,/ ,需要多长时间 ? (2) 你走哪条路花费时间少 ? 少用多长时间？示意图3vv122v这样，学生就得到了两道异分母分式加减运算的式子：（ 1）12 (h) v 3v（2） (1 2 )3(h).v 3v 2v得到结果，教师反问学生：你能对这个结果进一步化简吗？学生发现现有的知识无法解决这个问题，这时教师引出新课内容，板书课题，这样既能激发学生的好奇心，又能调动学生的学习兴趣。
第二阶段：合作探索，学习新知这一阶段分为 3 个环节：1、想一想：（1）异分母的分数如何加减？目的是引导学生复习回顾小学学习的分数的加减法的法则：先通分，把异分母分数化为同分母的分数，然后再加减。
（2）类比分数的加减法则，你能归纳出分式的加减法则吗？让学生思考并小组讨论，先让学生概括总结，教师指导补充：先通分，变为同分母的分式后再加减。
2、议一议：在分式中如何通分呢？让学生做一做：+ = , -= , +=，小组讨论怎样找各分母的最小公倍数。
分式运算的八种技巧
分式运算的八种技巧分式运算是数学中的一项基础知识，通过巧妙地运用一些技巧，可以简化分式的计算过程，提高计算的效率。
下面将介绍分式运算的八种技巧。
一、分式的通分当两个或多个分式进行加减运算时，需要先进行通分。
通分的目的是使分母相同，从而方便进行分式的加减运算。
二、分式的化简对于分子和分母同时包含因式的分式，可以通过因式分解进行化简。
化简后的分式通常更简洁、易于计算。
三、分式的约分对于分子和分母有公因式的分式，可以通过约分将其化简为最简形式。
约分可以简化计算过程，并且可以减小分子和分母的数字的大小，便于观察和把握。
四、分式的乘法和除法分式的乘法和除法相对简单，只需要将分子与分子相乘，分母与分母相乘即可。
当进行分数的除法运算时，可以将除法转化为乘法，将除法运算转化为分数的倒数，再进行乘法运算。
五、分式的加法和减法分式的加法和减法需要进行通分。
通分后，先对分子进行加减运算，再保持分母不变。
最后结果的分子分母可以进一步进行约分，化简为最简分数形式。
六、分式的分数化整数当分子大于分母时，可以进行分数化整数的运算。
将分子除以分母，得到一个整数，再将余数定为新的分子，保持分母不变，即可将分数化为带分数的形式。
七、小数转分数将小数转化为分数可以更方便地进行运算和比较。
通过将小数的小数位数与整数的数量级相匹配，将小数乘以适当的十的幂，然后化成最简分数即可。
八、分式的比较大小对两个分式进行比较大小的时候，可以化为相同分母的分数，然后比较分子的大小。
若分子相同，再比较分母的大小。
通过掌握这些分式运算的技巧，可以更加熟练地进行分式的计算，提高计算的准确性和效率。
同时，可以将复杂的分式化简为简单形式，便于理解和运算。
八年级下册数学分式的加减法
八年级下册数学分式的加减法摘要：一、分式的基本概念1.分式的定义2.分式的组成部分3.分式的基本性质二、分式的加减法1.分式加法的规则2.分式减法的规则3.分式加减混合运算的顺序三、分式的加减法实际应用1.实际问题中的分式加减法2.利用分式的加减法解决实际问题正文：一、分式的基本概念分式是数学中一种常见的表达形式，它由分子和分母组成，用斜杠“/”表示。
分式的定义是：如果A 和B 是两个整式，并且B 不等于零，那么我们用A 除以B 所得到的商A/B 就叫做分式。
分式的组成部分包括分子、分母和分数线，其中分子和分母都是整式，分数线表示分式的开始和结束。
分式的基本性质有：分子和分母同时乘以或除以一个非零数，分式的值不变；分子和分母同时加上或减去一个相同的数，分式的值不变。
二、分式的加减法分式的加减法是数学中常见的运算，其规则如下：1.分式加法：对于两个分式A/B 和C/D，如果它们的分母相同，那么它们的和就是(A+C)/B；如果分母不同，需要将它们通分，然后将分子相加，分母保持不变。
2.分式减法：对于两个分式A/B 和C/D，如果它们的分母相同，那么它们的差就是(A-C)/B；如果分母不同，需要将它们通分，然后将分子相减，分母保持不变。
3.分式加减混合运算的顺序：在没有括号的情况下，先进行乘除运算，再进行加减运算。
如果有括号，先进行括号内的运算。
三、分式的加减法实际应用分式的加减法在实际问题中有很多应用，例如在物理、化学、地理等学科中，常常需要用分式的加减法来解决问题。
例如，在化学中，可能会遇到需要将两种物质的摩尔质量相加或相减的问题，这时候就需要用到分式的加减法。
在解决实际问题时，我们需要先将问题抽象成数学模型，然后根据问题中给出的条件，选择合适的数学方法，包括分式的加减法，来解决问题。
以上就是八年级下册数学分式的加减法的内容。
分式的加减法是数学中重要的基本概念和基本运算，它在解决实际问题中有着广泛的应用。
分式运算公式
分式运算公式分式是数学中常见的一种表示形式，由分子和分母组成的比值。
在运算中，我们常常需要对分式进行加减乘除等操作。
下面将介绍分式运算的公式以及具体的计算方法。
1. 分式加法公式：a/b + c/d = (ad + bc) / bd这个公式表示了两个分式相加后的结果。
要进行分式的加法，首先将两个分式的分母进行通分，然后将分子相加，最后将得到的结果的分子和分母写在一个新的分式中即可。
2. 分式减法公式：a/b - c/d = (ad - bc) / bd与分式加法公式类似，分式的减法也需要先通分，然后将分子相减，最后得到的结果写在一个新的分式中。
3. 分式乘法公式：(a/b) * (c/d) = ac / bd分式的乘法只需要将两个分式的分子相乘，分母相乘，然后将结果写在一个新的分式中。
4. 分式除法公式：(a/b) / (c/d) = ad / bc分式的除法可以转化为乘法，即将除法转化为被除数乘以倒数的形式，然后按照分式乘法的计算方法进行运算。
在进行分式运算时，我们还需要注意以下几点：1. 通分：在分式加法和减法中，通分是必要的。
要通分，需要找到两个分数的最小公倍数作为新分数的分母，并将分子按比例扩大或缩小。
2. 约分：在分式的结果中，如果分子和分母有公因数，可以进行约分化简，将它们的最大公因数约去。
3. 分母为零：在运算时，分母不能为零，否则分式将无意义。
下面通过一些例子来演示分式运算的具体过程：例题1：计算 1/2 + 1/3解：首先将两个分数进行通分，分母取2和3的最小公倍数6，将分子按比例扩大或缩小，得到 3/6 和 2/6。
然后将分子相加，得到 5/6，所以结果为 5/6。
例题2：计算 3/4 * 2/5解：将分子相乘，分母相乘，得到 6/20。
然后可以进行约分，将分子和分母同时除以它们的最大公因数2，得到 3/10，所以结果为 3/10。
通过以上的分式运算公式和例子，我们可以看到，掌握了分式的运算方法，就能够轻松地进行分式的加减乘除等运算。
分式的四则运算
分式的四则运算分式是数学中常见的一种表达形式，可以用于表示一部分与整体的比例关系。
在数学运算中，我们同样可以对分式进行四则运算，包括加法、减法、乘法和除法。
下面将分式的四则运算进行详细介绍。
一、分式的加法分式的加法可以通过以下步骤进行：步骤1：将两个分式的分母相同，如果分母不同，则需要进行通分。
通分的方法是将两个分母的最小公倍数作为共同的分母。
步骤2：将通分后的两个分式的分子相加，并保持分母不变。
步骤3：将相加后的分子化简为最简形式，即求分子与分母的最大公约数，然后将分子和分母同时除以最大公约数。
举例说明：假设有两个分式：a/b 和 c/d。
首先判断分母是否相同，如果不同，则需要进行通分。
假设最小公倍数为lcm(b, d)。
通分后的分式为：a*lcm(d/b) / b*lcm(d/b) 和 c*lcm(b/d) / d*lcm(b/d)。
将通分后的分子相加，得到：(a*lcm(d/b) + c*lcm(b/d)) /(b*lcm(d/b))。
最后化简为最简形式。
二、分式的减法分式的减法与加法类似，可以通过以下步骤进行：步骤1：将两个分式的分母相同，如果分母不同，则需要进行通分。
步骤2：将通分后的两个分式的分子相减，并保持分母不变。
步骤3：将相减后的分子化简为最简形式。
举例说明：假设有两个分式：a/b 和 c/d。
首先判断分母是否相同，如果不同，则需要进行通分。
假设最小公倍数为lcm(b, d)。
通分后的分式为：a*lcm(d/b) / b*lcm(d/b) 和 c*lcm(b/d) / d*lcm(b/d)。
将通分后的分子相减，得到：(a*lcm(d/b) - c*lcm(b/d)) / (b*lcm(d/b))。
最后化简为最简形式。
三、分式的乘法分式的乘法可以通过以下步骤进行：步骤1：将两个分式的分子相乘，同时将两个分式的分母相乘。
步骤2：将相乘后的分子和分母化简为最简形式。
举例说明：假设有两个分式：a/b 和 c/d。
分式的加法和减法运算
分式的加法和减法运算分式是数学中常见的表示形式，它由两个数的比值构成，其中一个数称为分子，另一个数称为分母。
在分式的运算中，我们需要掌握分式的加法和减法运算规则。
下面将详细介绍分式的加法和减法运算。
一、分式加法运算两个分式的加法运算规则如下：1. 分母相同的情况下，直接将分子相加，分母保持不变。
例如，计算1/3 + 2/3 = 3/3，即分子相加得到3，分母保持不变。
2. 分母不同的情况下，需要进行通分操作，即找到它们的最小公倍数作为新的分母，然后将分子按照对应关系乘上对应的倍数，最后将新的分子相加得到结果。
例如，计算1/4 + 2/3，首先找到4和3的最小公倍数为12，然后将1/4乘以3/3得到3/12，将2/3乘以4/4得到8/12，最后3/12 + 8/12 = 11/12。
在分式加法运算中，需要注意分子相加，而分母保持不变或找到最小公倍数进行通分操作。
二、分式减法运算两个分式的减法运算规则如下：1. 分母相同的情况下，直接将分子相减，分母保持不变。
例如，计算5/6 - 2/6 = 3/6，即分子相减得到3，分母保持不变。
2. 分母不同的情况下，需要进行通分操作，即找到它们的最小公倍数作为新的分母，然后将分子按照对应关系乘上对应的倍数，最后将新的分子相减得到结果。
例如，计算3/5 - 1/3，首先找到5和3的最小公倍数为15，然后将3/5乘以3/3得到9/15，将1/3乘以5/5得到5/15，最后9/15 - 5/15 =4/15。
在分式减法运算中，需要注意分子相减，而分母保持不变或找到最小公倍数进行通分操作。
综上所述，分式的加法和减法运算需要根据分母是否相同来进行不同的处理。
如果分母相同，直接将分子相加或相减；如果分母不同，需要进行通分操作，然后将分子相加或相减。
掌握了分式的加法和减法运算规则，我们就可以灵活运用分式进行数学计算，解决实际问题。
通过以上对分式的加法和减法运算规则的解释，相信您已经掌握了相关知识，并能够熟练进行分式的加减运算。
分式的加减运算
分式的加减运算分式是数学中常见的一种运算形式，它由两个整数之间用横线分隔的表示方式构成。
分式的加减运算是指对两个分式进行相加或相减的操作。
在进行分式的加减运算时，需要注意分母的处理以及通分的方法。
下面将详细介绍分式的加减运算。
1. 分式的加法分式的加法是指在两个分式之间进行加法运算。
当两个分式的分母相同时，可以直接对分子进行相加，分母保持不变。
例如：a/b + c/b = (a + c)/b如果两个分式的分母不相同，需要进行通分处理，将分母转化为相同的值，再进行加法运算。
通分的方法一般是求两个分母的最小公倍数，然后将分子和分母同时乘以相应的倍数，使得两个分数的分母相同。
例如：a/b + c/d = (ad + bc)/(bd)2. 分式的减法分式的减法是指在两个分式之间进行减法运算。
与加法类似，当两个分式的分母相同时，可以直接对分子进行相减，分母保持不变。
例如：a/b - c/b = (a - c)/b如果两个分式的分母不相同，同样需要进行通分处理，将分母转化为相同的值，再进行减法运算。
例如：a/b - c/d = (ad - bc)/(bd)需要注意的是，通分后得到的分子可能还需要进行化简，即将分式中的分子和分母同时除以它们的最大公约数，使得分子和分母互质。
这一步是为了保证分式的最简形式。
综上所述，分式的加减运算需要根据分母是否相同来分情况进行处理。
如果分母相同，则直接对分子进行加减运算；如果分母不同，则需要进行通分处理后再进行运算。
同时，在运算过程中还需要注意对结果进行化简，使得分式保持最简形式。
通过掌握分式的加减运算规则和通分的方法，我们可以更加灵活地处理分式计算，解决实际问题中的运算需求。
在实际应用中，我们经常会遇到需要对分式进行加减运算的场景，如比例题、分数题等。
因此，熟练掌握分式的加减运算对于数学学习和日常生活都具有重要意义。
（以上为参考内容，具体表达可以根据实际情况进行修改）。
分式的加减法
分式的加减法分式是数学中常见的一种表达形式，它由分子和分母组成，用于表示两个数的比值或者部分与整体的关系。
分式的加减法就是对两个或多个分式进行相加或相减的运算。
本文将介绍分式的加减法的基本原理和具体操作方法。
一、分式的加法分式的加法就是将两个分式相加，要求它们的分母相同。
具体的操作步骤如下：1. 找出需要进行加法运算的分式，保持分子和分母的不变；2. 确保这些分式的分母相同，如果分母不同，需要通过通分将它们的分母转化为相同的值；3. 将这些分式的分子相加，保持分母不变，得到加法结果；4. 对加法结果进行约分，如果可以约分的话；5. 最后得到的结果即为加法的答案。
例如，计算1/3 + 1/4的结果。
首先，分母不同，需要进行通分，得到4/12 + 3/12 = 7/12。
最后，7/12为所求的答案。
二、分式的减法分式的减法与加法类似，也需要求出相同的分母。
具体的操作步骤如下：1. 找出需要进行减法运算的分式，保持分子和分母的不变；2. 确保这些分式的分母相同，如果分母不同，需要通过通分将它们的分母转化为相同的值；3. 将这些分式的分子相减，保持分母不变，得到减法结果；4. 对减法结果进行约分，如果可以约分的话；5. 最后得到的结果即为减法的答案。
例如，计算3/4 - 1/3的结果。
分母不同，需要进行通分，得到9/12 - 4/12 = 5/12。
最后，5/12为所求的答案。
三、分式的加减混合运算对于分式的加减混合运算，按照运算顺序逐步进行。
先进行加法，再进行减法。
具体操作如下：1. 找出需要进行加减混合运算的分式，保持分子和分母的不变；2. 对这些分式进行加法运算，得到加法结果；3. 再对加法结果进行减法运算，得到减法结果；4. 对减法结果进行约分，如果可以约分的话；5. 最后得到的结果即为加减混合运算的答案。
例如，计算2/3 + 1/4 - 5/6的结果。
首先，需要进行通分，得到8/12 + 3/12 - 10/12 = 1/12。
分式的加法与减法方法
分式的加法与减法方法分式是数学中常见的一种表示形式，它由分子和分母构成，分子表示被分割的部分，分母表示整体的数量或者部分的总量。
分式的加法和减法是我们在学习分式运算中需要掌握的基本操作，下面将详细介绍分式的加法与减法方法。
一、分式的加法分式的加法就是将两个分式相加，主要有以下几个步骤：1. 检查两个分式的分母是否相同，如果相同，可以直接进行合并；如果不同，需要先找到它们的最小公倍数作为通分的分母。
2. 对于相同分母的分式，只需要将它们的分子相加，分母保持不变。
3. 对于不同分母的分式，需要进行通分，将它们转化为相同分母的分式，再进行相加。
4. 最后，对相加后的分式进行约分，得到最简形式。
以下是一个例子来说明分式的加法方法：例：计算1/3 + 2/5首先，检查两个分式的分母，发现它们不相同。
然后，找到它们的最小公倍数，即15，作为通分的分母。
将1/3转化为15的分式：(1/3) × (5/5) = 5/15将2/5转化为15的分式：(2/5) × (3/3) = 6/15现在，两个分式的分母相同，可以进行合并：1/3 + 2/5 = 5/15 + 6/15 = 11/15最后，对分式11/15进行约分，得到最简形式：11/15所以，1/3 + 2/5 = 11/15二、分式的减法分式的减法与加法类似，也需要进行通分才能进行相减运算，具体步骤如下：1. 检查两个分式的分母是否相同，如果相同，可直接进行相减；如果不同，需要先找到它们的最小公倍数作为通分的分母。
2. 对于相同分母的分式，只需要将它们的分子相减，分母保持不变。
3. 对于不同分母的分式，需要进行通分，将它们转化为相同分母的分式，再进行相减。
4. 最后，对相减后的分式进行约分，得到最简形式。
以下是一个例子来说明分式的减法方法：例：计算3/4 - 1/6首先，发现两个分式的分母不相同。
然后，找到它们的最小公倍数，即12，作为通分的分母。
分式的加减(提高)知识讲解
分式的加减（提高）【学习目标】1．能利用分式的基本性质通分．2．会进行同分母分式的加减法．3．会进行异分母分式的加减法．【要点梳理】【高清课堂403995 分式的加减运算 知识讲解】要点一、同分母分式的加减同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；上述法则可用式子表为：a b a b c c c±±=. 要点诠释：（1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误.（2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式.要点二、异分母分式的加减异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.上述法则可用式子表为：a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=. 要点诠释：（1）异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法.（2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式.【典型例题】类型一、同分母分式的加减【高清课堂403995 分式的加减运算 例1】1、计算：（1）22256343333a b b a a b a bc ba c cba +-++-；（2）2222()()a b a b b a ---； （3）22m n n m n m m n n m ++----； （4）33()()x y x y y x ---． 【答案与解析】解：（1）原式2(56)(34)(3)3a b b a a b a bc ++--+=225634323a b b a a b a bc a c++---==． （2）2222()()a b a b b a ---222222()2()()()a b a b a b a b a b a b-=-==----； （3）22m n n m n m m n n m ++----22221m n n m m n n m n m n m n m n m n m n m ++---=--===-----； （4）33()()x y x y y x ---333()()()x y x y x y x y x y +=+=---． 【总结升华】根据乘法交换律有222333a bc ba c cba ==，所以本题是三个同分母分式的加减法，根据法则：分母不变，分子相加减．注意把分子看成一个整体用括号括起来，再加减．仔细观察分母中2()a b -与2()b a -，()n m -与()m n -、3()x y -与3()y x -的互相转化中符号的变化．类型二、异分母分式的加减2、（新罗区校级月考）计算：．【答案与解析】解：原式=． 【总结升华】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 举一反三：【变式】计算（1）（2016·十堰）222442242x x x x x x-+-++-+； （2）222()()()()()()a b c b c a c b a a b a c b c b a c b c a ------++------． 【答案】 解：（1）222442242x x x x x x-+-++-+ ()()()()2222222x x x x x x--=+++-+ ()22222x x x x x --=++++ ()()()()()2222222x x x x x x x x x x x -+-=+++++ ()2222242x x x x x x x -+-++=+()23322x x x x +-=+； （2）原式111111a c a b b a b c c a c b=+++++------ 1111110a c a c a b a b b c b c =-+-+-=------．3、 化简222236523256x x x x x x x x ++++-++++ 【答案与解析】 解：原式2244113256x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ 22443256x x x x =+++++ 44(1)(2)(2)(3)x x x x =+++++ 4(3)4(1)(1)(2)(3)(2)(3)(1)x x x x x x x x ++=+++++++ 816(1)(2)(3)x x x x +=+++ 8(1)(3)x x =++． 【总结升华】本题按照常规方法先将所有的分母进行因式分解，然后通分计算，不难发现：所有的分子计算较复杂．通过观察不妨将每一个分式化简使它们的分子变得简单，然后再计算就非常的容易了．所以，在进行分式化简时不能盲目地计算，首先应该观察分式的特点，然后选择合适的计算方法．举一反三：【变式】某商场文具专柜以每支a （a 为整数）元的价格购进一批“英雄”牌钢笔，决定每支加价2元销售，由于这种品牌的钢笔价格廉、质量好、外观美，很快就被销售一空，结账时，售货员发现这批钢笔的销售总额为(399a ＋805)元．你能根据上面的信息求出文具专柜共购进了多少支钢笔吗?每支钢笔的进价是多少元?【答案】解：设文具专柜共购进了钢笔y 支， 则39980539979877399222a a y a a a +++===++++． 因为a 为正整数，y 也为正整数，所以a ＋2是7的正约数， 所以a ＋2＝7或a ＋2＝1．所以a ＝5或a ＝－1(不合题意，舍去)．所以当a ＝5时，y ＝400．即文具专柜共购进了400支钢笔，每支进价为5元．类型三、分式的加减运算的应用4、 已知34(1)(2)12x A B x x x x -=+----，求整式A ，B ． 【思路点拨】首先对等式的右边进行通分，可得(2)(1)(1)(2)A x B x x x -+---．已知两个分式相等，分母相等，则分子也相等，即34()(2)x A B x A B -=+-+．多项式恒等即对应项的系数相等，由待定系数法可得3,(2)4,A B A B +=⎧⎨-+=-⎩可求得A ，B ． 【答案与解析】 解法一：由已知得34(2)(1)(1)(2)(1)(2)x A x B x x x x x --+-=----， 即34()(2)(1)(2)(1)(2)x A B x A B x x x x -+-+=----． 所以3,24,A B A B +=⎧⎨+=⎩ 所以1,2.A B =⎧⎨=⎩解法二：等式两边同时乘以(1)(2)x x --，得34(2)(1)x A x B x -=-+-，令1x =，则A ＝1．令2x =，则B ＝2．所以A ＝１，B ＝2．【总结升华】解法一是利用多项式恒等，则对应项的系数分别相等，列出方程组，求出A ，B 的值．解法二是运用特殊值法，因为多项式恒等，与x 取值无关，故令x ＝1，x ＝2简化式子，求出A ，B 的值．举一反三：【变式】（2015春•东台市校级期中）已知计算结果是，求常数A 、B 的值． 解：因为===所以，解得，所以常数A的值是1，B的值是2．。
分式运算中的常用技巧与方法
分式运算中的常用技巧与方法分式运算是数学中常见的运算形式之一，它涉及到有理数的运算和表示。
在分式运算中，有一些常用的技巧和方法可以帮助我们更好地进行运算。
以下是一些常见的分式运算技巧和方法。
1.分式化简：分式化简是分式运算的基础技巧。
化简分式可以使运算更加简便。
化简分式的方法包括因式分解、约分等。
例如，对于分式$\frac{12}{18}$，可以化简为$\frac{2}{3}$，使得运算更加简单。
2.公约数与公倍数：在分式运算中，找到分子和分母的公约数或公倍数可以帮助我们进行约分和通分。
例如，对于分式$\frac{6}{15}$，我们可以同时约分分子和分母的公约数2，得到$\frac{3}{5}$。
又如，对于分式$\frac{1}{4}$和$\frac{1}{6}$，我们可以找到它们的最小公倍数12，通分得到$\frac{3}{12}$和$\frac{2}{12}$。
3.分数的乘法和除法：在分式的乘法中，我们可以直接将分子相乘，分母相乘。
例如，对于分式$\frac{2}{3}$和$\frac{4}{5}$的乘法运算，可以直接得到$\frac{8}{15}$。
在分式的除法中，我们可以将除法转换为乘法，即将除数的倒数乘以被除数，例如，$\frac{2}{3}$除以$\frac{4}{5}$等价于$\frac{2}{3}*\frac{5}{4}=\frac{10}{12}$，然后再化简得到$\frac{5}{6}$。
4.分数的加法和减法：在分式的加法和减法中，我们需要找到它们的公共分母，然后将分子相加或相减。
例如，对于分式$\frac{1}{4}$和$\frac{2}{3}$的加法运算，我们需要将它们通分为$\frac{3}{12}$和$\frac{8}{12}$，然后再相加得到$\frac{11}{12}$。
对于减法运算，也是类似的步骤，例如，$\frac{2}{3}$减去$\frac{1}{4}$等价于$\frac{8}{12}$减去$\frac{3}{12}$，得到$\frac{5}{12}$。
分式的加法运算
分式的加法运算分式是数学中常见的一种表达方式，它由一个分子和一个分母组成，分子表示被分割的数，分母表示分割成的份数。
分式的加法运算是将两个分式相加，得到一个新的分式结果。
本文将详细介绍分式的加法运算的步骤和计算方法。
一、分式的加法运算步骤分式的加法运算主要包括以下几个步骤：1. 确定两个分式的分母是否相同。
如果两个分式的分母相同，直接将分子相加即可；如果分母不同，则需要先通过通分的方式将分母转化为相同的形式。
2. 对于分母相同的情况，将两个分式的分子相加，得到新的分子。
3. 将得到的新的分子写在原有的分母下方，得到最终的结果。
下面通过例子来说明分式的加法运算步骤。
例子1：计算分式1/3 + 2/3。
解：由于两个分式的分母相同，直接将分子相加，得到(1 + 2)/3 =3/3。
例子2：计算分式1/4 + 2/5。
解：由于两个分式的分母不同，需要先将分母转化为相同的形式。
可以通过求两个分母的最小公倍数（LCM）来得到最小公分母。
分母4和5的最小公倍数是20，因此可以将分式1/4转化为5/20，将分式2/5转化为8/20。
然后将两个分式的分子相加，得到(5 + 8)/20 = 13/20。
二、分式的加法运算计算方法分式的加法运算的计算方法主要有两种：通分法和通约法。
1. 通分法：当两个分式的分母不同的时候，可以通过通分的方式将分母转化为相同的形式，然后进行加法运算。
通分法的步骤如下：（1）将两个分式的分母进行乘法运算，得到最小公倍数（LCM）。
（2）将两个分式的分子分别乘以相应的倍数，使得分母相同。
（3）将得到的新的分子相加，得到最终的结果。
2. 通约法：当两个分式的分母相同或已经转化为相同的形式时，可以直接将分子相加。
通约法的步骤如下：将两个分式的分子相加，然后将结果写在原有的分母下方，得到最终的结果。
三、分式的加法运算实例下面通过实例来进一步说明分式的加法运算方法。
例子3：计算分式3/8 + 5/12。
分式通分的7种技巧
通分是解决分式加减的基础,要解决好分式的运算,就必须掌握好分式的通分问题。
通分时常常是先找出最简公分母,将其变为同分母分式,然后再加减。
可在实际运算时,有时找最简公分母十分麻烦,或者在进行通分时,将面临着复杂、繁烦的计算,甚至走进“死胡同”,因此有必要掌握一些常用的通分技巧和方法,这样能使问题变得简单,即化难为易。
现介绍几种常用的通分技巧,供同学们在学习时合理选用。
一、分组通分例1 计算-+-。
分析经观察发现,分母的结构有如下特点:a+2与a-2相乘、a+1与a-1相乘可分别构成平方差,故本题可先合理搭配,采用分组通分的方法来解。
解原式=-+-=+=。
点评根据分母的结构特点合理分组后再进行通分,可简化运算。
二、逐步通分例2 计算:+++。
分析四个分式分母迥然不同,如果先找最简公分母再通分,结果只能劳而无功。
若把前两个分式通分化简,将结果再与第三个分式通分,依次类推,逐步通分,可使问题得到解决。
解原式=++=++=+=。
三、整体通分例3 计算:x+y+。
分析一个整式与分式相加减,将整式当做一个整体,看做分母为1的分式,再通分。
解原式=(x+y)+=+= + =。
四、分解因式,约分后通分例4 计算-。
分析观察发现各分式的分子、分母均可分解因式,故应先分解因式,约分后再通分。
解原式=- =-==。
点评当分式的分子、分母可分解因式时,一般应先分解因式,进行约分后再通分。
五、改变排序,一次通分例5 计算++。
分析这是轮换式问题,对这样的问题可通过适当改变字母的排列顺序来找到公分母,然后再进行通分。
解原式=++=++==0。
点评面对轮换式的问题,采用这种先行变序、再行通分的方法,常常一次通分就能成功解题。
六、常量代换,自然通分例6 设abc=1,试求++的值。
分析根据分式的结构特点和已知条件,运用分式的基本性质和常量代换的方法,本题可获巧解。
解原式=++=++==1。
点评本题的解法很巧妙,它是在认真分析题目特点的基础上,利用分式的基本性质和常量代换,使其由“山重水复”变为“柳暗花明”的。
分式加减法和通分教案
教学过程预设问题：1、怎样确定最简公分母、怎样进行通分？2、通分时需要注意的问题？（一）创设情境，导入新课一、课前学习： 1、分式2226x x y 、2236y x y 、2246xy x y 有什么共同点？试将它们分别化成最简分式。
2、下列分式213x y 、212x y 、23x y 分母不相同，试将它们变形成分母相同的分式。
3、什么是最简公分母？4、（1）分式2342527,,2912c a a b a b--的最简公分母是 ； （2）分式x x 312-与922-x 的最简公分母是 。
5、什么是分数的通分？依据是什么？6、通分：（1） 3b a、2ab c - ； （2）y x -1，y x +1； （二）自探、合探例1、通分：（1）b a 21，21ab （2）221y x -，xy x +21. (三)、学生展示与评价归纳：通分的关键是什么？(四)、再探例2、通分：（1）)3)(4(2--+x x x ，)3)(4(2x x x ---； （2）3))((y x y x x -+，2))((x y x y y -+； （五）教师点拨、精讲课堂小结1、最简公分母：确定几个分式的最简公分母，首先应把各分母因式分解，然后取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，即取各分母系数的最小公倍数与各因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母是最简公分母。
2、分式通分：注意点和步骤。
（体现教学中教师的主导作用，以及教学中教师与学生平等的交流和探讨）(六)、巩固练习完成教材第17页练习 1、2题(七)、课堂检测1、写出下列各组分式的最简公分母：（1）xx x 31,21,1；_____________ （2）ab c ，bc a ，ac b ；________________ （3）xz xz y x 45,34,2123；_____________ （4）32)1(,)1(,1a z a y a x ---；_______________ 2、通分：（1）231x ，xy 125； （2）xy c z xy x y 34,65,222； （3）x x +21，x x -21.； （4）x x +21，1212++-x x ；(八)、作业 ：教材第19页习题1、2小题(九)、课后反思：10.4分式的加减法---通分一、课前学习：1、分式2226x x y 、2236y x y 、2246xy x y 有什么共同点？试将它们分别化成最简分式。
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分式的加法和减法
---- 通分
一、教学目标
1、知识与技能目标：使学生会进行异分母分式的通分。
2、过程与方法目标：使学生经历探索异分母分式通分的过程，培养学生归纳、总结、类比的能力。
3、情感态度与价值观目标：鼓励学生积极主动的参与到“教”与“学”的双边活动中，通过研究解决问题的方法，培养学生大胆猜想，积极探究的学习态度，发展学生的思维能力和表达能力。
二、教学重难点
教学重点：会确定异分母分式的最简公分母并对其进行通分。
教学难点：异分母分式的通分。
三、教学过程
第一阶段：创设情境，引入新课
幻灯片出示一个学生比较熟悉的路程应用题，鼓励学生自主解决。
从你家到学校两条路,每一个条路都是 3km . 其中第一条是平路,第二条有1km 的上坡路, 2km 的下坡路,你在上坡路上的骑车速度为v km /h , 在平路上的骑车速度为2 vkm /h , 在下坡路上的骑车速度为3vkm /h , 那么: (1)当走第二条路时, 你从你家到学校需要多长时间?
(2)你走哪条路花费时间少? 少用多长时间？
这样，学生就得到了两道异分母分式加减运算的式子：
（1）
（2） 得到结果，教师反问学生：你能对这个结果进一步化简吗？
)(32h v
v +1).(23321(h v
v v -+
学生发现现有的知识无法解决这个问题，这时教师引出新课内容，板书课题，这样既能激发学生的好奇心，又能调动学生的学习兴趣。
第二阶段：合作探索，学习新知
这一阶段分为3个环节：
1、想一想：
（1）异分母的分数如何加减？
目的是引导学生复习回顾小学学习的分数的加减法的法则：先通分，把异分母分数化为同分母的分数，然后再加减。
（2）类比分数的加减法则，你能归纳出分式的加减法则吗？
让学生思考并小组讨论，先让学生概括总结，教师指导补充：先通分，变为同分母的分式后再加减。
2、议一议：
在分式中如何通分呢？
让学生做一做：+= , - = , + = ，小组讨论怎样找各分母的最小
公倍数。
再自学课本25页”动脑筋”：如何把分式，通分？并理解如何找最简公分母。
让学生在讨论中体会怎样在运算中通分，通过交流讨论找到解决问题的策略和方法。
从而引出最简公分母的定义：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母。
3、练一练：
通分：（1），
（2），
学生自主完成，教师引导学生总结概括通分的一般步骤：
1.找最简公分母。
2.分别将原来的各分式的分子和分母同乘一个适当的整式。
第三阶段：例题练习，应用新知
让学生在知识的及时运用中，初步体验学习的快乐。
例题分为2个层次：
例题讲解:
例1：通分（1），
（2），，
教师引导学生口述过程,让学生进一步理解怎样找最简公分母，怎样将各分式通分。
巩固练习一
学生自主完成课本27页练习第1题
先让学生独立尝试，在学生解决问题的过程中教师进行巡视，并找出有代表性解法的同学板书。
例2：通分（1），
（2），
教师引导学生怎样找分母是多项式的分式的最简公分母，怎样将各分式通分。
巩固练习二
做课本27页练习第2题，提升学生实际运用的能力。
第四阶段：全课总结，畅谈收获
让学生小组讨论，再次归纳总结本节课的重点：
（1）本节课的主要内容是：异分母分式的通分。
（2）通分前先确定最简公分母，然后分别将原来各分式的分子和分母同乘一个适当的整式，将其化为同分母的分式。
第五阶段：布置作业
根据学生的个体差异，采用分层的方法，必做与选做相结合，以满足不同层次学生学习的需要。
而且通过选做题，让学有余力的学生提前预习满足他们对知识的需求，并为下节课“异分母分式的加法和减法”的学习奠定基础。
必做：同步作业相关习题
选做：预习异分母分式的加法和减法。