D1_1二阶与三阶行列式

a11
a12
a13 a23 0, a33
的系数行列式 D a21 a22
a31 a32
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a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 b1
则三元线性方程组的解为:
D1 x1 , D
D2 x2 , D
D3 x3 . D
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1
2 -4
例2. 计算三阶行列式 D - 2 2 1 -3 4 -2 解 按对角线法则，有
D 1 2 ( 2 ) 2 1 ( 3 ) ( 4 ) ( 2 ) 4
a11
a12
a21 a22
,
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a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
D a11 a12 ,
a21 a22
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a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
(6) 式称为数表 (5) 所确定的三阶行列式.
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对角线法则 a11 a12
a13 a23 a33
a21 a31
a22 a32
解
1 D 2 1
2 1 1
3 1 1 1 2 3 1 1
1
1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 3 1 5 0,
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同理可得
1 2
1 a22 :
a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 ,
2 a12 : a12a21 x1 a12a22 x2 b2a12 ,
两式相减消去x2，得
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（a11a22 a12a21）x1 b1a22 a12b2 ;
记
a12 a22 a32 a12 a22 a32
a13 a23 , a33 a13 a23 , a33
D1 b2 b3 b1
即
D1 b2 b3
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a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 a11 a12 a13 a23 a33 D a21 a22 a31 a32
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a11
a12
a13 a23 a33 b1 b2 . b3
D a21 a22 a31 a32 a11 a12 D3 a21 a22 a31 a32
b1 D1 b2 b3 a11
a12 a22 a32 b1
a13 a23 , a33 a13 a23 , a33
D2 a21 b2 a31 b3
线 性 代 数与 空间解析几何
线性代数 (Linear Algebra) 起源于对二维和三维直角
坐标系的研究, 通过解析几何，线性代数得以被具体
表示。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似
为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学
和社会科学中。
例：某工厂计划生产甲、乙、丙三种产品，这三 种产品都需要A、B两种原料，生产一件甲产品 需要A种原料3千克，B种原料1千克，生产一件 乙产品需要A种原料2千克，B种原料2千克，生 产一件丙产品需要A种原料1千克，B种原料3千 克。现有A种原料1200千克，现有B种原料800千 克。如果生产一件甲产品的利润是30元，生产一 件乙产品的利润是40元，生产一件丙产品的利润 是35元。问甲、乙、丙三种产品各生产多少能使 利润的总额最大？
2 2 D1 1 0 1 D3 2 1 1 1
1 1 1 5, 0
1 1
2 1 0
1 3 10, 1
3 5, D2 2
2 2 1 1
故方程组的解为: D1 D2 x1 1, x2 2, D D
D3 x3 1. D
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D1 b1 b2 a12 a22 ,
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
D a11 a12
a21 a22
,
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a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
D1 b1 b2 a12 a22 ,
若记
a12 a22
a13 a23 ,
D1 b2
或
b1 b2 b 1
b3 a32 a33 a11 a12 a13 D a21 a22 a31 a32 a23 a33
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a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 b1
D2 a21 b2 a31 b3
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3
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a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 a11
a11a22 a12a21 .
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二阶行列式的计算
主对角线
对角线法则
a11a22 a12a21 .
a11
a 21
a12 a22
副对角线
a11 x1 a12 x2 b1 , 对于二元线性方程组 a21 x1 a22 x2 b2 .
若记
D
系数行列式
得
b1
a13 a23 , a33 b1 b2 . b3
D2 a21 b2 a31 b3
a11 a12 a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , D3 a21 a22 a x a x a x b ; a31 a32 31 1 32 2 33 3 3
分析：由题意可列表如下：
原料A数量 原料B数量 利润（元） （千克） （千克）
产品 生产甲种 产品一件
3
1
30
生产乙种 产品一件
生产丙种 产品一件 限额数量
2
1 1200
2
3 800
40
35
设计划生产x件甲种产品，生产y件乙种产品， 生产z件丙种产品，则获得利润为：
f=30x+40y+35z 其中满足x, y, z下列条件： 3x+2y+z=1200
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a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 a11
得
b1
a13 a23 , a33 a11 a12 a13 a23 a33 D a21 a22 a31 a32
分母都为原方程组的系数行列式.
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例1. 求解二元线性方程组
解
3 x1 2 x 2 12, 2 x1 x 2 1. 3 2 3 ( 4) 7 0, D 2 1
12 2 1 1
D1
14, D2
3 12 2 1
21,
D1 14 D2 21 x1 2, x2 3. D 7 D 7
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二、三阶行列式
定义 设有9个数排成3行 3列的数表
a11 a12 a 21 a22
记 a11
a13 a 23 a 33 ( 5)
a 31 a32
a12 a13 a23 a33
a21 a22 a31 a32
1 1 4 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 4 ) 2 ( 3 )
4 6 32 4 8 24 14.
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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1 1
例3. 求解方程 2 3
1 x 0. x2
4 9
解 方程左端
D 3 x 2 4 x 18 9 x 2 x 2 12
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
D2 a11 b1 .
a21 b2
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则二元线性方程组的解为
b1
a12
a11
b1
D1 b2 a22 x1 , D a11 a12 a21 a22
注意
D2 a21 b2 x2 . D a11 a12 a21 a22
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
注意 兰线上三元素的乘积冠以正号，黄线上三 元素的乘积冠以负号．
说明 1. 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
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2. 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行, 不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为 负. 利用三阶行列式求解三元线性方程组 a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , 如果三元线性方程组 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3
x 2 5 x 6,
由 x 2 5 x 6 0 解得
x 2 或 x 3.
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例4.
解线性方程组 x1 2 x2 x3 2, 2 x1 x2 3 x3 1, x x x 0. 1 2 3 由于方程组的系数行列式
类似地，消去x1，得
（a11a22 a12a21）x2 a11b2 b1a21 ,
方程组的解为 当a11a22 a12a21 0 时，
b1a22 a12b2 a11b2 b1a21 x1 ， x2 . a11a22 a12a21 a11a22 a12a21
由方程组的四个系数确定.
（3）
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定义 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排
称列）的数表
a11 a12 a21 a22 ( 4)
表达式 a11a22 a12a21称为数表（）所确定的二阶 4 行列式，并记作 a11 a21 a12 a22 ( 5)
即
D
a11
a12
a21 a22
x+2y+3z=800
第一章
行列式
行列式的定义 行列式的性质 行列式的计算 应用：Cramer法则
第一章
1.1 二阶与三阶行列式
一、二阶行列式的引入
二、三阶行列式
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一、二阶行列式的引入
用消元法解二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
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三、小结
二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方 程组引入的. 二阶与三阶行列式的计算 对角线法则
a11
a12
a21 a22
a11 a12
a11a22 a12a21 .
a13
a21 a22 a31 a32
a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31, a33