D1_1二阶与三阶行列式
武汉大学线性代数-01 第一章
2019/11/29
16
逆序数为奇数的排列称为奇排列。 逆序数为偶数的排列称为偶排列。
例如：123 t = 0 为偶排列， 321 t = 3 为奇排列， 312 t = 2 为偶排列。
19 5
24 10
18 5 1 12 5 2 0 0
18 5 5 2
c1 3c4
0 0 01 00 01
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40
4 1 10 3 8 1 10 3
12 1 18 5 0 1 18 5
40
0 0 5 2 0 0 5 2
0 0 ann
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22
(2) 下三角形行列式
a11
D
a21
0 a22
0
0
a11a22 ann
a a a
n1
n2
nn
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(3) 对角行列式
a11
D
a22
a11a22 ann
ann
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(4) 副对角行列式
(1)t a1 p1 a2 p2 anpn
称为 n 阶行列式 (n≥1)，记作
a11 a12 a1n a21 a22 a2n
an1 an2 ann
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例1：写出四阶行列式中含有因子 a11a 23 的项。
a11a 23a34a 42
a11a 23a32a 44
第一节 二阶与三阶行列式
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
n 阶行列式定义
将n2个数排成n行n列的数表，按下列规
则计算出的数，即
D ( 1) a1 p1 a 2 p2 a np n n! a n1 a nn
2 D1 ( 1) ( 1) 1 x1 , 2 D ( 1) ( 2) 2
( 1) D2 x2 2 ( 1) ( 2) D
2
1 , 2
2 2 ( 1) ( 1) D3 x3 2 D ( 1) ( 2)
ci 2 ai 1b12 ai 2b22 ainbn 2 , (i 1,2,, n)
D
a11 a 21 a n1 1
a12 a1n a 22 a 2 n a n 2 a nn 1 1
再证唯一性.假设
x j c j , j 1,2,, n 也是(1)的解.
在(2)两端同时乘以cj
a11 a1 j c j a1n cjD an1 anj c j ann
a11 (a11c1 a1 j c j a1n cn ) a1n an1 (an1c1 anj c j anncn ) ann
例6.2 问λ在什么条件下,方程组
ì λx1 + x2 = 0, ï ï í ï ï î x1 + λx2 = 0
有非零解？
解 由定理6.5知，若方程组有非零解，则其系数行列
式必为零.
D
1
1
0 2 1 0,
线性代数ppt课件
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
x2
a11b2 a11a22
b1a21 a12a21
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
x2
a11b2 a11a22
b1a21 a12a21
5
第一章 行列式
我们用符号
aa1211表aa示1222代数和a11a22a12a21
解： 1 3 … （2n-1） 2 4 … 2k… （2n)
D3x24x189x2x212x25x6
即x25x60
x2或x3
值得注意的是：四阶及四阶以上行列式没有像二、三阶 行列式那样的对角线法则
13
第一章 行列式 §1-2 全排列及其逆序数
[引例]用1、2、3三个数字 可以组成多少个没有重复数字的 三位数？
[解依] 次选定百位数、十位数、个位数。 百位数有3种选法 十位数有2种选法 个位数有1种选法 所以可以组成6个没有重复数字的三位数 这6个三位数是 123 132 213 231 312 321
十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。 十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。
3
第一章 行列式
莱布尼茨：历史上少见的通才，被誉为 十七世纪的亚里士多德。在数学上，他 和牛顿先后独立发明了微积分。在哲学 上，莱布尼茨的“乐观主义”最为著名 。 他对物理学的发展也做出了重大贡献 。
并称它为三阶行列式。
10
第一章 行列式
2、行列式中的相关术语
行列式的元素、行、列、主对角线、副对角线 3、三阶行列式的计算 （对角线法则或沙路法则 ）
线性代数第一章15
a11 a 21 D a n1
a1i a1n a11 a 2 i a 2 n a 21 a ni a nn a n1
i a1 n a1 a a2n 2i a a nn ni
性质６ 把行列式的某一列（行）的各元素乘以 同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行 列式值不变． a11 a1i a1 j a1n
1 7 5 1 7 5 6 6 2 3 5 8 , 3 5 8 6 6 2
1 7 6 6 3 5
7 1 5 2 6 6 2. 5 3 8 8
5
交换 i , j 两行，记作 ri rj . 交换 i , j 两列，记作 ci c j .
1 7 5 1 7 5 r2 r3 6 6 2 3 5 8 , 3 5 8 6 6 2
2. 二阶行列式的计算
主对角线 副对角线
对角线法则
a11a22 a12a21 .
a11
a12
a21
a22
对于二元线性方程组
若记
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
a11 a12 D , a21 a22
系数行列式
b1 D1 b2
DT
a11 a21 an1 a12 a22 an 2
an1 an 2 ann
T
a1n a2 n ann
行列式 D 称为行列式 D 的转置行列式.
二、行列式的性质
性质1 行列式与它的转置行列式相等.
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此 行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.
矩阵论基础1.1二阶和三阶行列式
矩阵论基础1.1⼆阶和三阶⾏列式第⼀节⼆阶和三阶⾏列式在介绍⾏列式概念之前，我们先构造⼀个数学玩具：把4个数放在⼀个正⽅形的四个⾓上，在加上两条竖线，即，规定这个玩具对应于⼀个结果：两个对⾓线上的数的乘积之差。
即例如所在⽅向的对⾓线称为主对⾓线，所在⽅向的对⾓线称为副对⾓线。
定义1 4个数称为⼀个⼆阶⾏列式；所在的⾏称为第⼀⾏，记为（r来源于英⽂row），所在的列称为第⼆列，记为（c来源于英⽂column），因其共有两⾏两列，所以称为⼆阶⾏列式，是第⼆⾏第⼀列的元素。
⼀般地⽤表⽰第i⾏第j列的元素，i是⾏标，j是列标。
可叙述为：⼆阶⾏列式的对应值等于主对⾓线上两元素之积减去的副对⾓线上⼆元素之积所得的差, 这⼀计算法则称为对⾓线法则.此玩具的⽤途在于：求解⽅程组⽤消元法，先消去所在的项，⽅程(2)´a11，⽅程(1)´a21得（3）-（4），得再消去所在的项，⽅程(2)´a12，⽅程(1)´a22得（5）-（6），得我们发现其规律为：若记是⽅程组的系数⾏列式，则是⽤常数项替代D中的第⼀列所得的⾏列式；是⽤常数项替代D中的第⼆列所得的⾏列式。
若D≠0，⽅程组的恰好是：,此规律被称为Cramer定理。
例1 求解⼆元线性⽅程组解：,,,因此 , .同理类推，⽤对⾓线法则可以定义3阶⾏列式如下：其中来⾃三条主对⾓线上三个元素的乘积，前⾯加正号；来⾃三条副对⾓线上三个元素的乘积，前⾯加负号。
例2 计算3阶⾏列式解：D=1×2×2+3×1×1+3×1×（-1）-1×2×3-（-1）×1×1-2×1×3=-7D1=6×2×2+4×1×1+11×1×（-1）-1×2×11-（-1）×1×6-2×1×4=-7D2=1×4×2+3×11×1+3×6×（-1）-1×4×3-（-1）×11×1-2×6×3=-14D3=1×2×11+3×1×6+3×1×4-6×2×3-4×1×1-11×1×3=--21实际上，D，D1，D2，D3来⾃线性⽅程组。
二阶与三阶行列式
(2)对角线法则 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号． 说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
2
3 (4) 7 0,
21
12 D1 1
2 14,
1
3 D2 2
12 1
21,
x1
D1 D
14 7
2,
x2
D2 D
21 3. 7
二、三阶行列式
定义 设有9个数排成3行3列的数表
a11 a12 a13
a21 a22 a23
(5)
记
a31 a32 a33
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 .列标
a31 a32 a33 行标 三阶行列式的计算
a11 a12 a13 a11 a12 (1)沙路法 D a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32 D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31.
称列）的数表
a11 a12
a21 a22
(4)
表达式 a11a22 a12a21称为数表（4）所确定的二阶
线代第一章
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可见，第一个位置有 3 种选择，第二个位置 有 2 种选择，第三个位置有 1 种选择，所以所有 的 3 级排列一共有
3 2 1 3! 6
个。显然，所有的 5 级排列一共有 5！= 120 个。 容易得出，n 级排列一共有 n! 个。而在 n
第一章
行列式
第一节 二阶与三阶行列式 第二节 n 阶行列式
第三节 行列式的性质
第四节 行列式的按行（列）展开 第五节 克莱姆法则
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第一节 二阶与三阶行列式
一、二阶行列式
二、三阶行列式 三、小结
一、二阶行列式
用消元法解二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
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a11 a12 a13 D a21 a22 a23 列标 a31 a32 a33 行标 三阶行列式的计算 a11 a12 a13 a11 a12 (1)沙路法 D a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32
D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 .
记 a11
a31
a21 a31
a12 a13 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a a a a a a a a a 11 23 32 12 21 33 13 22 31, a32 a33
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.
第1章 1、2、4、3节 行列式定义
„—‟三元素乘积取“+”号；
‘…‟三元素乘积取“-”号。
例2 计算三阶行列式
1 2 4 D 2 2 1 3 4 2
解:由主对角线法，有
D 1 2 ( 2 ) 2 1 ( 3 ) ( 4 ) ( 2 ) 4 ( 4 ) 2 ( 3 ) 2 ( 2 ) ( 2 ) 1 1 4 4 6 32 24 8 4
于是方程组的解为
D3 15 D1 55 D2 20 x1 11，x2 4, x3 3. D 5 D 5 D 5
思考与练习（三阶行列式） 1 1 1
1.解方程 1 2 1 x
x 1 6 2 x1 x 2 3 x 3 5 2.解线性方程组 3 x1 x 2 5 x 3 5 4x x x 9 2 3 1
i1…it…is …in,这种变换称为一个对换, 记为( isit).
例6
3421 1423 1243 1234
( 31)
( 42)
( 43)
5 2 1 0
结论： ①对换改变排列的奇偶性. ②任意一个n级排列与标准排列12…n都可以经过一 系列对换互变.
① 的证明 对换在相邻两数间发生，即
ann
jn n, jn1 n 1,, j2 2, j1 1时，
(123 n )
课程及扩大数学知识都将奠定必要的数学基础。 4、线性代数作为大学理工科的一门主要的数学基础课， 也是硕士研究生入学考试的一门重要课程。
教材与参考书
•1、教材：《线性代数》第五版，同济大学数学教研室 •2、参考书: 《线性代数附册 》学习辅导与习题选解 （同济第五 版），同济大学数学系， 高等教育出版社，2007.6
理解行列式的定义与性质;掌握三阶行列式的对角线计算方法;
第一章 行列式要求：1） 理解行列式的定义与性质；掌握三阶行列式的对角线计算方法； 2） 利用性质和展开定理会计算四阶行列式以及简单n 阶行列式。
3）掌握克莱姆法则。
1.1 二阶、三阶行列式知识点：二阶、三阶行列式的引入及特征。
一、2阶、3阶行列式由422=个数，按下列形式排成2行2列的方形22211211a a a a ， 记作 2D其被定义为一个数：2112221122211211a a a a a a a a -=，由933=个数组成的3行3列的3阶行列式，则按下列形式定义为一个数3D =332112322311312213322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++=一般2阶, 3阶行列式的计算可按对角线法得到。
例1 （1）计算243122421---- 的值。
（2）求094321112=x x的根。
解 （1）14243122421-=---- （2） 0)3)(2(94321112=--=x x x x三阶行列式定义的特征：（1） 共有3！=6项相加，其结果是一个数；（2） 每项有3个数相乘： 321321p p p a a a ，而每个数取自不同行不同列，即行足标固定为123，列足标则是1，2，3 的某个排列 321p p p ；（3） 每项的符号由列足标排列321p p p 的奇偶性决定，即符号是 )(321)1(p p p τ-。
故三阶行列式可写成321321321!3)(3332312322211312113)1(p p p p p p a a a a a a a a a a a a D ∑-==τ1.2 全排列与逆序数知识点： 排列； 逆序。
一、 排列定义1（排列） n 个（不同）自然数 n ,,2,1 组成的一个有序数组 n p p p ,,,21 称作为n 级排列，其中每个自然数 i p 称作（第 i 个）元素。
D1_1二阶与三阶行列式
2 2 D1 1 0 1 D3 2 1 1 1
1 1 1 5, 0
1 1
2 1 0
1 3 10, 1
3 5, D2 2
2 2 1 1
故方程组的解为: D1 D2 x1 1, x2 2, D D
D3 x3 1. D
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D2 a21 b2 a31 b3
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3
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a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 a11
由方程组的四个系数确定.
（3）
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定义 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排
称列）的数表
a11 a12 a21 a22 ( 4)
表达式 a11a22 a12a21称为数表（）所确定的二阶 4 行列式，并记作 a11 a21 a12 a22 ( 5)
即
D
a11
a12
a21 a22
记
a12 a22 a32 a12 a22 a32
a13 a23 , a33 a13 a23 , a33
D1 b2 b3 b1
即
D1 b2 b3
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同济大学《线性代数》 PPT课件
称为三阶行列式.
二阶行列式的对角线法则 并不适用！
三阶行列式的计算 ——对角线法则
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
实线上的三个元素的乘积冠正号， 虚线上的三个元素的乘积冠负号.
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31a12a21a33 a11a23a32
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
结论 三阶行列式可以用二阶行列式表示.
思考题 任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？
在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第j 列划后，
留下来的n－1阶行列式叫做元素 aij 的余子式，记作 M ij .
验证 1 7 5 6 6 2 196
175 3 5 8 196
358
662
175 175 于是 6 6 2 3 5 8
358 662
推论1 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.
证明 互换相同的两行，有 D D，所以
. D0
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个
结论 因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以行列 式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式.
二、行列式按行（列）展开法则
定理1 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应 的代数余子式乘积之和，即
D
ai1
Ai1
ai 2
Ai
2
L
二阶、三阶、n阶行列式
三,二阶行列式
a11 x1 + a12 x2 = b1 (1) 1,用消元法解二元线性 一次 方程组 一次)方程组 ,用消元法解二元线性(一次 a21 x1 + a22 x2 = b2 (2)
( a11 a 22 a12 a 21 ) x1 = b1a 22 b2 a12 ( a11 a 22 a12 a 21 ) x2 = b2 a11 b1a 21
b1 b2
a 12 a 22
a 12 a 22
主对角线 副对角线
主对角线的乘积- 主对角线的乘积-副对角线的乘积
行,列
两行两列故为二阶行列式
D1 = b1a 22 b2 a12 =
D2 = b2 a11 b1a 21 =
系数行列式
a 11 a 21
b1 b2
∵ D ≠ 0 ∴ 二元一次方程组有唯一解 x1 =
a11
-
a12 a22 a32
a13 a23 a33
+
a21 a31
对角线法则
沙路法则: 沙路法则:
a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 a13 a22 a31 a11a23 a32 a12 a21a33
a11 a21 a31
- -
a12 a22 a32
2,几种特殊的行列式 , (1),对角行列式—非主对角线上元素全为 的行列式. ,对角行列式 非主对角线上元素全为0的行列式 非主对角线上元素全为 的行列式.
λ1
D= 0 0 D= 0
λ2
= (1) N (12n ) λ1λ2 λn = λ1λ2 λn
λn
λ1 λ2
= ( 1) N ( n ( n 1)21) λ1λ2 λn = ( 1)
二阶三阶行列式计算方法
二阶三阶行列式计算方法在线性代数中，行列式是一个与矩阵相关的重要概念。
行列式具有许多重要的性质和应用，例如计算矩阵的逆、解线性方程组、计算几何体的体积等。
在本文中，我将介绍二阶和三阶行列式的计算方法。
1.二阶行列式的计算方法二阶行列式指的是一个由2x2矩阵组成的行列式。
一个二阶矩阵可以表示为：abcd二阶行列式的计算方法可以使用下面的公式：det(A) = ，a*d - b*c其中，a、b、c、d分别表示矩阵中的元素。
2.三阶行列式的计算方法三阶行列式指的是一个由3x3矩阵组成的行列式。
一个三阶矩阵可以表示为：abcdefghi三阶行列式的计算方法可以使用下面的公式：det(A) = a*(e*i - h*f) - b*(d*i - g*f) + c*(d*h - g*e)在这个公式中，每个元素与其所在行号和列号有关。
元素a与第一行第一列的乘积乘以一个二阶行列式，这个二阶行列式的元素是除去第一行第一列之后的所有元素。
元素b与第一行第二列的乘积乘以一个二阶行列式，这个二阶行列式的元素是除去第一行第二列之后的所有元素，以此类推。
最后，根据正负规律，将所有乘积相加得到最终的结果。
3.示例计算让我们通过一个具体的示例来计算一个二阶和一个三阶行列式。
a)计算二阶行列式：2345使用二阶行列式的公式，我们可以计算：det(A) = 2*5 - 3*4 = 10 - 12 = -2所以这个二阶行列式的结果是-2b)计算三阶行列式：123456789使用三阶行列式的公式，我们可以计算：det(A) = 1*(5*9 - 8*6) - 2*(4*9 - 7*6) + 3*(4*8 - 7*5)=1*(45-48)-2*(36-42)+3*(32-35)=-3+12-9=0所以这个三阶行列式的结果是0。
通过以上示例，我们可以理解二阶和三阶行列式的计算方法。
对于更高阶的行列式，可以使用类似的方法进行计算，但公式会变得更加复杂。
二阶、三阶行列式及n阶行列式的概念
( ji ) (ij ) 1
(2)不相邻对换
ik1 ks j jk1 ksi
需要进行 2s+1 次相邻对换. 所以对换改变排列的奇偶性.
定理2 全部 n(2)阶排列中奇偶排列 各占一半. 证 设 n !个 n 阶排列中有s(t)个奇(偶)排列
s t n!
D3 D1 D2 x1 , x2 , x2 D D D
3 0 4 1 1 2 4 1 1 4 1 2 3 2 1 2 1 0 10
问题：4 阶行列式应如何定义?
a11 a21 a31 a41 a12 a22 a32 a42 a13 a23 a33 a43 a14 a24 a34 a44
a11 a12 a a a a 0 D 11 22 12 21 a21 a22
b1 a12 D1 b1a22 a12b2 b2 a22
a11 b1 D2 a11b2 b1a21 a21 b2
当系数行列式 D 0时,则方程组有 唯一解,其解可表示为: D1 D2 x1 , x2 D D
为 3！项代数和; 每项为取自不同行列的3个元素之积; 行按自然顺序取时,每项符号由列标排 列的奇偶性决定.
n阶行列式定义: 定义
a11 a21 an1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
j1 j2 jn
(1)
( j1 j2 jn )
a1 j1 a2 j2 anjn
此行列式可简记为 de t (aij )nn 或 det(aij ).
归纳如下：
为 n!项代数和; 每项为取自不同行列的n个元素之积; 行按自然顺序取时,每项符号由列标排 列的奇偶性决定. 注 用定义只能计算一些简单的行列式.
线性代数_第一章
印证以上结论。
方法2 n个数中比i大的数有n- i个(i=1,2,…,n),若在排 列x1x2…xn中对i构成的逆序为li个,则在xnxn-1…x1中 对i构成的逆序为(n- i)-li,于是两排列中对i构成的 逆序之和为 表示 li+[(n-i)-li]= n-i (i=1,2,…,n) …… 从而 ( x1 x2 xn ) ( xn xn1 x1 ) n( n 1) ( n 1) ( n 2) 2 1 2 n( n 1) I .为所求 即 ( x n x n 1 x 1 ) 2
第1章 行列式
行列式是线性代数的一个重要组 成部分.它是研究矩阵、线性方程组、 特征多项式的重要工具.本章介绍了 n阶行列式的定义、性质及计算方 法，最后给出了它的一个简单应 用——克莱姆法则.
主要内容
1.1 1.2 1.3 1.4
n阶行列式的定义 行列式的性质 行列式按行（列）展开 克莱姆法则—行列式应用
是所有取自不同行、不同列n个元素的乘积 a1 j1 a2 j2 anjn ( j1 j2 jn ) 并冠以符号 ( 1) 的项的和.
(i) a1 j1 a 2 j2 a nj n 是取自不同行、不同列的n个元素乘积 (ii)行标按自然顺序排列，列标排列的奇偶性 ( j1 j2 jn ) 决定每一项的符号； (iii) 表示对所有的 j1 j2 jn 构成的n！个排列求和.
上三角行列式的值等于其主对角线上各元素的乘积 .
例5 计算
=-4-6+32-24-8-4
=-14
3 x1 x 2 x 3 26 例3 解线性方程组 2 x1 4 x 2 x 3 9 x1 2 x 2 x 3 16
第一章1,2,3节线性代数教案
第一章 行列式主要内容：排列N 阶行列式行列式的性质 行列式的计算 行列式展开定理 Cramer 法则§1.1 二阶与三阶行列式一、二阶行列式二元线性方程组11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩(1)(2)用消元法解：22(1):a ⨯1122112222122,a a x a a x b a +=12(2):a ⨯1221112222212,a a x a a x b a +=两式相减消去2x 得：112212*********();a a a a x b a a b -=- 类似地，消去1x 得：112212212112121(),a a a a x a b b a -=- 所以当112212210a a a a -≠时，方程组的有解：122122*********b a a b x a a a a -=-，112121*********.a b b ax a a a a -=- (3)引入行列式记号11122122a a a a 11221221a a a a =-，其中称ij a 为二阶行列式的元素， i 为行标，j为列标，其计算遵循对角线法则，即主对角线元素乘积减去副对角线元素的乘积。
从而上面二元线性方程组的解122122*********b a a b x a a a a -=-，112121211221221a b b ax a a a a -=-可以表示为：112222111122122,b a b a x a a a a = 111122211122122a b a b x a a a a =(4) 例1：求解二元线性方程组1212321221x x x x -=⎧⎨+=⎩解：由于323(4)70,21D -==--=≠ 112212(2)14,11D -==--= 231232421,21D ==-=- 因此，11142,7D x D === 22213.7D x D -===- 二、三阶行列式三元线性方程组111122133121122223323113223333a x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ (5) 同样可以用消元法求解，分析其解的结构后引入三阶行列式记号：111213212223313233a a a a a a a a a =112233122331132132a a a a a a a a a ++112332122133132231a a a a a a a a a ---，其计算遵循对角线法则。
线性代数(同济大学应用数学系第四版)1-1 2阶、3阶行列式
b1 . b2
记
系数行列式
b1 D1 = b2
a12 , a 22
a11 D2 = a 21
则二元线性方程组的解为
b1
a12
a11
b1
D1 b2 a22 x1 = , = D a11 a12 a21 a22
D2 a21 b2 x2 = . = D a11 a12 a21 a22
同理可得
−2 −2 1 D1 = 1 1 − 3 = − 5, 0 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ −1
−2 1 1 −2 −2 D2 = 2 1 − 3 = −10, D3 = 2 1 1 = − 5, −1 0 −1 0 −1 1 1
故方程组的解为: 故方程组的解为 D1 D2 x1 = x2 = = 1, = 2, D D
例1 求解二元线性方程组
3 x1 − 2 x2 = 12, 2 x1 + x2 = 1.
解
3 −2 = 3 − ( − 4 ) = 7 ≠ 0, D= 2 1
12 − 2 D1 = = 14, 1 1
3 12 = −21, D2 = 2 1
D1 14 ∴ x1 = = = 2, D 7
D1 x1 = , D
D2 x2 = , D
D3 x3 = . D
例4
解线性方程组
x3 = − 2, x1 − 2x 2 + 2x 1 + x 2 − 3x 3 = 1, − x + x − x = 0. 1 2 3
由于方程组的系数行列式 1 −2 1 D= 2 1 − 3 = 1 × 1 × ( − 1) + ( − 2 ) × ( − 3 ) × ( − 1) −1 1 −1 解
1_1_二阶三阶行列式
(1) × a21 − (2) × a11 得： y=
§1.1 二阶三阶行列式
二元线性方程组 { a11 x + a12 y = b1 a21 x + a22 y = b2 (1) (2)
用消元法解： (1) × a22 − (2) × a12 得： x= b1 a22 − a12 b2 a11 a22 − a12 a21 a11 b2 − b1 a21 a11 a22 − a12 a21
§1.1 二阶三阶行列式 6/12 ▹ ◃ △ ▽
三元线性方程组 a11 x + a12 y + a13 z = b1 a21 x + a22 y + a23 z = b2 a x + a y + a z = b 31 32 33 3 用消元法解： (2) × a13 − (1) × a23 得： (a21 a13 − a11 a23 )x + (a22 a13 − a12 a23 )y = b2 a13 − b1 a23 (3) × a13 − (1) × a33 得： (a31 a13 − a11 a33 )x + (a32 a13 − a12 a33 )y = b3 a13 − b1 a33
4/12 ▹ ◃ △ ▽
(1) × a21 − (2) × a11 得： y=
§1.1 二阶三阶行列式
定义二阶行列式： a11 a12 = a11 a21 − a12 a22 a21 a22 则方程的解可简单地表示为： b1 b2 x= a11 a21 a12 a22 , a12 a22 a11 a21 y= a11 a21 b1 b2 a12 a22
3/12 ▹ ◃ △ ▽
01 第一节 二阶与三阶行列式
第一章 行列式历史上，行列式的概念是在研究线性方程组的解的过程中产生的.如今，它在数学的许多分支中都有着非常广泛的应用，是一种常用的计算工具.特别是在本门课程中，它是研究后面线性方程组、矩阵及向量组的线性相关性的一种重要工具.第一节 二阶与三阶行列式二阶行列式与三阶行列式的内容在中学课程中已经涉及到,本节主要对这些知识进行复习与总结,它们是我们学习和讨论更高阶行列式计算的基础.分布图示★引言★ 二阶行列式 ★ 简例 ★ 二元线性方程组 ★ 例1★ 三阶行列式★ 例2 ★ 例3 ★ 三元线性方程组 ★ 例4★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题1-1内容要点一、二阶行列式2112221122211211a a a a a a a a -=二、二阶线性方程组⎩⎨⎧=+=+)2()1(22221211212111b x a x a b x a x a三、三阶行列式 333231232221131211a a a a a a a a a =.332112322311312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++三阶行列式有6项，每一项均为不同行不同列的三个元素之积再冠于正负号，其运算的规律性可用“对角线法则”或“沙路法则”来表述之。
四、三元线性方程组类似于二元线性方程组的讨论，对三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111,bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 记D =,333231232221131211a a a a a a a a a 1D =,333232322213121a a b a a b a a b2D =,333312322113111a b a a b a a b a 3D =,332312222111211b a a b a a b a a 若系数行列式D 0≠，则该方程组有唯一解：.,,332211DD x DD x DD x ===例题选讲例1 (E01) 解方程组.328322121⎩⎨⎧-=-=+x x x x解 D 2132-=13)2(2⨯--⨯=,7-=1D 2338--=)3(3)2(8-⨯--⨯=,7-=2D 3182-=18)3(2⨯--⨯=.14-=因,07≠-=D故所给方程组有唯一解1x DD 1=77--=,1=2x DD 2=714--=.2=例2 (E02) 计算三阶行列式61504321- 解 =-61504321601⨯⨯)1(52-⨯+043⨯⨯+)1(03-⨯⨯-051⨯⨯-624⨯⨯- 4810--=.58-=例3 (E03) 求解方程.094321112==xx D 解 方程左端 =D 23x x 4+18+12-x 9-22x -,652+-=x x由0652=+-x x 解得2=x 或.3=x例4 (E04) 解三元线性方程组.013222321321321⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-=+-x x x x x x x x x解 由于方程组的系数行列式=D 111312121---- =)1(11-⨯⨯)1()3()2(-⨯-⨯-+121⨯⨯+11)1(⨯⨯--1)3(1⨯-⨯-)1(2)2(-⨯⨯--5-=,0≠1D =11311122----,5-=2D =11312121----,10-=3D =011112221---,5-=故所求方程组的解为:,111==DD x ,222==DD x.133==DD x课堂练习1.设,14011a aD = 试给出0>D 的充分必要条件. 2.求一个二次多项式)(x f ，使 .28)3(,3)2(,0)1(=-==f f f。
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则三元线性方程组的解为:D1 1 , DD2 x2 , D
D3 x3 . D
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1
2 -4
例2. 计算三阶行列式 D - 2 2 1 -3 4 -2 解 按对角线法则，有
D 1 2 ( 2 ) 2 1 ( 3 ) ( 4 ) ( 2 ) 4
a11
a12
a13 a23 0, a33
的系数行列式 D a21 a22
a31 a32
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a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 b1
x+2y+3z=800
第一章
行列式
行列式的定义 行列式的性质 行列式的计算 应用：Cramer法则
第一章
1.1 二阶与三阶行列式
一、二阶行列式的引入
二、三阶行列式
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一、二阶行列式的引入
用消元法解二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
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a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 a11
得
b1
a13 a23 , a33 a11 a12 a13 a23 a33 D a21 a22 a31 a32
D1 b1 b2 a12 a22 ,
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
D a11 a12
a21 a22
,
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a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
D1 b1 b2 a12 a22 ,
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三、小结
二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方 程组引入的. 二阶与三阶行列式的计算 对角线法则
a11
a12
a21 a22
a11 a12
a11a22 a12a21 .
a13
a21 a22 a31 a32
a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31, a33
类似地，消去x1，得
（a11a22 a12a21）x2 a11b2 b1a21 ,
方程组的解为 当a11a22 a12a21 0 时，
b1a22 a12b2 a11b2 b1a21 x1 ， x2 . a11a22 a12a21 a11a22 a12a21
1 2
1 a22 :
a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 ,
2 a12 : a12a21 x1 a12a22 x2 b2a12 ,
两式相减消去x2，得
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（a11a22 a12a21）x1 b1a22 a12b2 ;
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
注意 兰线上三元素的乘积冠以正号，黄线上三 元素的乘积冠以负号．
说明 1. 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
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2. 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行, 不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为 负. 利用三阶行列式求解三元线性方程组 a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , 如果三元线性方程组 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3
D1 14 D2 21 x1 2, x2 3. D 7 D 7
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二、三阶行列式
定义 设有9个数排成3行 3列的数表
a11 a12 a 21 a22
记 a11
a13 a 23 a 33 ( 5)
a 31 a32
a12 a13 a23 a33
a21 a22 a31 a32
a11a22 a12a21 .
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二阶行列式的计算
主对角线
对角线法则
a11a22 a12a21 .
a11
a 21
a12 a22
副对角线
a11 x1 a12 x2 b1 , 对于二元线性方程组 a21 x1 a22 x2 b2 .
若记
D
系数行列式
a11
a12
a21 a22
,
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a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
D a11 a12 ,
a21 a22
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a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
得
b1
a13 a23 , a33 b1 b2 . b3
D2 a21 b2 a31 b3
a11 a12 a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , D3 a21 a22 a x a x a x b ; a31 a32 31 1 32 2 33 3 3
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a11
a12
a13 a23 a33 b1 b2 . b3
D a21 a22 a31 a32 a11 a12 D3 a21 a22 a31 a32
b1 D1 b2 b3 a11
a12 a22 a32 b1
a13 a23 , a33 a13 a23 , a33
D2 a21 b2 a31 b3
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
(6) 式称为数表 (5) 所确定的三阶行列式.
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对角线法则 a11 a12
a13 a23 a33
a21 a31
a22 a32
分母都为原方程组的系数行列式.
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例1. 求解二元线性方程组
解
3 x1 2 x 2 12, 2 x1 x 2 1. 3 2 3 ( 4) 7 0, D 2 1
12 2 1 1
D1
14, D2
3 12 2 1
21,
1 1 4 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 4 ) 2 ( 3 )
4 6 32 4 8 24 14.
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1 1
例3. 求解方程 2 3
1 x 0. x2
4 9
解 方程左端
D 3 x 2 4 x 18 9 x 2 x 2 12
解
1 D 2 1
2 1 1
3 1 1 1 2 3 1 1
1
1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 3 1 5 0,
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同理可得
若记
a12 a22
a13 a23 ,
D1 b2
或
b1 b2 b 1
b3 a32 a33 a11 a12 a13 D a21 a22 a31 a32 a23 a33
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a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 b1
D2 a21 b2 a31 b3
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3
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a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 a11
记
a12 a22 a32 a12 a22 a32
a13 a23 , a33 a13 a23 , a33
D1 b2 b3 b1
即
D1 b2 b3