徐芝纶弹性力学第三版习题解答

o
τ yx σ y
τ
P
xy
CX
σ
x
+
∂σ x ∂x
dx
y
σx
Y
τ
yx
+
∂τ yx ∂y
dy
τ xy
+
∂τ xy ∂x
dx
σ
y
+
∂σ y ∂y
dy
4
ΣmP
=
0,σ yδ dx
dx 2
− ⎛⎜τ xy ⎝
+
∂τ xy ∂x
dx
⎞ ⎟ ⎠
δ
dydx
+
⎛ ⎜⎝
σ
x
+
∂σ x ∂x
dx ⎞⎟⎠δ dy
dy 2
⎞ ⎟ ⎠P
dxdy
+
式中
⎛ ⎜⎝
∂f ∂x
⎞ ⎟⎠P
,
⎛ ⎜ ⎝
∂f ∂y
⎞ ⎟ ⎠P
等表示在点
(
xP
,
yP
)
处的一阶偏导数。
若设 f (x + dx, y) = σ y (x, y) 并令 dy = 0 ，得
5
σyA
=σy
+
∂σ y ∂x
dx
+
1 2
∂2σ y ∂x2
dx2
+
1 6
∂3σ y ∂x3
=
1 E
⎣⎡σ x
−
μ
σy +σz
⎦⎤
=
1− μ E
2
⎛⎜σ ⎝
x
−
μ 1− μ
σ
y
⎞⎪
⎟ ⎠
⎪⎪
⎬
(c)
εy
=
1 E
⎣⎡σ y
−
μ (σ z
+ σ x )⎤⎦
=
1− μ2 E
⎛ ⎜ ⎝
σ
y
−μ 1− μ
σx
⎞⎪ ⎟⎠⎪⎪
γ xy
=
1 G
τ
xy
,
γ
zx
=
1 G
τ
zx
=
0, γ
yz
=
1 G
τ
yz
=
0
⎪ ⎪⎭
徐芝纶弹性力学(第三版)习题解答
尹久仁
2005 湘潭大学
1
第二章
2-1 如果某一问题中，σ z = τ zx = τ zy = 0 ，只存在平面应力分量σ x ,σ y ,τ xy ，且它们不沿 z 方向 变化，仅为 x, y 的函数，试考虑此问题是否就是平面应力问题？
解 由于平面问题具有相同的平衡微分方程和几何方程，现将σ z = τ zx = τ zy = 0 代入下列方程
θ
+εy
⎞ ⎟⎠
⎪⎪σ z ⎪
=
E 1+ μ
⎛μ
⎜ ⎝
1
−
2μ
θ
+εz
⎞ ⎟ ⎠
=
0
⎪⎪τ yz ⎩
=
E 2(1 +
μ)
γ
yz
=
0,τ zx
=
E 2(1 +
μ) γ zx
=
0,τ xy
=
E 2(1 +
γ μ)
xy
其中θ = ε x + ε y + ε z 为体积应变，改写之，则有
εx
=
1 E
⎡⎣σ x
么？
解：
基本方程
基本假定
适用条件
平衡微分方程 连续性，小变形，均匀性
任意条件
几何方程
连续性，小变形，均匀性
小变形
物理方程
连续性，小变形，均匀性，完全弹性，各向同性 完全弹性，发生泊松变形
2-8 试列出下列两图所示问题的全部边界条件。在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积 分的应力边界条件。
o
h1 x
(a) ρ g
h2 b
y (h2 b)
q
Fn o (b) M Fs
y
h2
x
h2 q1
l (l h,δ = 1)
解：边界 y = 0 ，
σ y y=0 = −ρ gh1, τ yx y=0 = 0
边界 y = h2
u = 0, v = 0
y=h 2
y = h2
边界 x = 0
σ x x=0 = −ρ gy(0 ≤ y ≤ h2 ), τ yx x=0 = 0
= τ yx
+
∂τ yx ∂x
dx
τ yxD
= τ yx
+
∂τ yx ∂x
dx +
∂τ yx ∂y
dy
⎧⎪⎨− ⎪⎩
1 2
⎡ ⎢σ x ⎣
+
⎛ ⎜
σ
x
⎝
+
∂σ x ∂y
dy
⎞⎤ ⎟⎥
t
⎫⎪ ⎬
dy
⎠⎦ ⎪⎭
+
⎪⎧ ⎨ ⎪⎩
1 2
⎡⎛ ⎢⎣⎜⎝
σ
x
+
∂σ x ∂x
dx
⎞ ⎟⎠
+
⎛ ⎜
σ
x
⎝
+
∂σ x ∂x
dx
+
∂σ x ∂y
dy
⎞⎤ ⎟⎥
t
⎪⎫ ⎬
dy
⎠⎦ ⎪⎭
− ⎨⎧⎪− ⎪⎩
1 2
⎡ ⎢τ ⎣⎢
yx
+
⎜⎛τ ⎝
yx
+
∂τ yx ∂x
dx
⎞⎤ ⎟⎥
t
⎫⎪ ⎬
dx
⎠⎥⎦ ⎪⎭
(d)
+
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
1 2
⎡⎢⎛⎜τ ⎢⎣⎝
yx
+
∂τ yx ∂y
⎞ dy ⎟
⎠
+
⎛⎜τ ⎝
yx
+
∂τ yx ∂x
dx
+
∂τ yx ∂y
x
−
1
μ −μ
σ
y
⎞ ⎟ ⎠
⎪⎨⎪ε y ⎪
=
1− μ2 E
⎛ ⎜⎝
σ
y
−
1
μ −
μ
σ
x
⎞ ⎟⎠
⎪ ⎪γ yz ⎪⎩
=
1 G
τ
yz
这正是平面应变的广义虎克定律。同时，在平面应变问题中，ε z = 0 ，当沿 z 方向的应力并不为零，
且有
σ z = μ (σ x + σ y ).
2-3 试分析说明，在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层 中，图 2-11，其应力状态接近于平面应力的情况。
解 由于平面问题具有相同的平衡微分方程和几何方程，现将 ε z = γ zx = γ zy = 0 代入下列方程
⎧⎪ε x ⎪
=
1 E
[σ
x
− μ(σ y
+ σ z )]
⎪⎪ε y ⎨
=
1 E
[σ
y
− μ(σ z
+ σ x )]
⎪ε ⎪
z
=
1 E
[σ
z
−
μ(σ x
+ σ y )]
⎪
⎪γ ⎩
yz
=
1 G
σ
y
−μ 1− μ
σx
⎞ ⎟⎠
⎪⎪ ⎬ ⎪
γ yz
=
1 G
τ
yz
=
2 (1 +
E
μ ) τ yz
⎪ ⎪ ⎪⎭
2-5 在图 2-3 的微分体中，若将对形心的力矩平衡条
件 Σmc = 0 ，改为对角点的力矩平衡条件，试问将导出什
么形式的方程？
解：若选取图示 P 点为矩心，并设单元体厚度为
δ = 1，则
x
fP ，则把 f (xP + dx, yP + dy) 展开为 Taylor 级数时，就求得邻近点 x = xP + dx, y = yP + dy 处的
函数值为：
τ yxP
τ yxA
o
x
σ yP
(b)
τ xyP
σ xP
P
σ yA
σ xA
τ xyA
A
X
Y
τ xyB
B σ xB
D
σ xD
τ xyD
σ yB
解：设薄层的厚度为 δ ，由于 z 方向不受力，即 σ z = τ zx = τ zy = 0
若薄层足够小，则可认为在其厚度 δ 范围内上述三应力保持与表
面一致，考虑上述近似，则有
x z oy
⎧ ⎪σ x ⎪
=
E 1+ μ
⎛μ
⎜ ⎝
1−
2μ
θ
+εx
⎞ ⎟ ⎠
⎪ ⎪σ ⎪ ⎨
y
=
E 1+ μ
⎛μ ⎜⎝ 1− 2μ
dx3
+
(b)
可见 PA 微分面上的应力分量σ y 是按非线性规律变化的。
同样，如设 f (x, y) = σ x (x, y) 。并令 dx = 0 ，又得
σ xB
=σx
+
∂σ x ∂y
dy +
1 2
∂2σ x ∂y 2
dy 2
+
1 6
∂3σ x ∂y3
dy3
+
(c)
可见 PB 微分面上的应力分量σ x 是按非线性规律变化的。
性，所以τ xz = 0,τ yz = 0 。
又因为两个固定的刚性平而只阻止周边受压弹性薄板的膨胀，即只阻止板内点在 z 方向的移
动．所以位移分量 w = 0 ，因而应变分量 ε z = 0 。再由各向同性体的广义虎克定律
( ) εz
=
1 E
⎣⎡σ
z
−
μ
σx +σy
⎤⎦ = 0
⎫ ⎪ ⎪
( ) εx
⎞ ⎟⎠
dx
=
qb2 12
对于图(a)所示 OA 边，我们有
∫ τb 0 xy
δ dx
y=0
=
0
∫ σb 0y
δ dx
y=0
=
qb 2
∫ σb 0y
y=0
⎛ ⎜⎝
x
−
b 2
⎞⎟⎠ δ
dx
=
qb2 12
由此可见，两问题是静力等效的。
2-10 检验平面问题中的位移分量是否为正确解答的条件是什么？ 解：应满足形变协调方程，即相容方程：
y b,δ = 1)
(b)
解： 对于图(a)所示 OA 边，根据 S-N 原理，有
7
∫ ∫ τb 0 xy
δ dx
y=0
=
τb
0 xy
dx
y=0
=0
∫ ∫ σb 0y
δ dx
y=0
=
b qx dx = qb
0b
2
∫ ∫ σb 0y
y=0
⎛ ⎜⎝
x
−
b 2
⎞⎟⎠δ
dx
=
b 0
qx b
⎛ ⎜⎝
x
−
b 2
上有
ox
z
σ z z=±t 2 ≠ 0,τ zx z=±t 2 = τ zy z=±t 2 = 0
(a)
由于板很薄，周边压力又不沿厚度方向变化，也就是说板不会产生弯
y
曲，可以认为在整个弹性薄板的所有各点除有与板面相同的应力分量
σ z ≠ 0,τ zx = τ zy = 0
(b)
此外，还有σ x ,σ y ,τ xy 它们仅是 x, y 的函数，与 z 无关。注意剪应力的互等
σ yD
τ yxB
τ yxD
f (xP
+ dx, yP
+ dy) =
f
(
xP
,
yP
)
+
⎛ ⎜⎝
∂f ∂x
⎞ ⎟⎠P
dx
+
⎛ ⎜ ⎝
∂f ∂y
⎞ ⎟ ⎠P
dy
+
(a)
1 ⎛ ∂2 f
2!
⎜ ⎝
∂x2
⎞ ⎟ ⎠P
dx2
+
1 ⎛ ∂2 f
2!
⎜ ⎝
∂y 2
⎞ ⎟ ⎠P
dy 2
+
⎛ ⎜ ⎝
∂2 f ∂x∂y
因此，各点的应力值分别为
σ xP = σ x
σ xB
=σx
+
∂σ x ∂y
dy
σ yP = σ y
σ yB
=σy
+
∂σ y ∂y
dy
σ xA
=
σx
+
∂σ x ∂x
dx
σ xD
=σx
+
∂σ x ∂x
dx +
∂σ x ∂y
dy
τ xyP = τ xy
τ xyB
= τ xy
+
∂τ xy ∂y
dy
σ yA
=σy
− μσ x )
γ xy
=
1 G
τ
xy
这正是平面应力的广义虎克定律。同时，在平面应力问题中，σ z = 0 ，当沿 z 方向的应变并不为零，
而有
εz
=
−
μ E
(σ x
+ σ y ).
2-2 如果某一问题中，ε z = γ zx = γ zy = 0 ，只存在平面应变分量 ε x ,ε y ,γ xy ，且它们不沿 z 方向 变化，仅为 x, y 的函数，试考虑此问题是否就是平面应变问题？
+
∂σ y ∂x
dx
σ yD
=σy
+
∂σ y ∂x
dx +
∂σ y ∂y
dy
τ yxP = τ yx
τ yxB
= τ yx
+
∂τ yx ∂y
dy
τ xyA
= τ xy
+
∂τ xy ∂x
dx
τ xyD
= τ xy
+
∂τ xy ∂x
dx +
∂τ xy ∂y
dy
由六面体的平衡条件 ΣX = 0 ，得
τ yxA
dy
⎞⎤ ⎟⎥
t
⎫⎪ ⎬
dx
⎠⎥⎦ ⎪⎭
+ Xtdxdy = 0 式中 t 为六面体厚度。
将式(d)展开约简以后，两边除以 tdxdy ，得 ∂σ x + ∂τ yx + X = 0 ∂x ∂y
同样由 ΣY = 0 ，得
6
∂τ xy + ∂σ y + Y = 0. ∂x ∂y
2-7 在导出平面问题的三套基本方程时，分别应用了哪些基本假定？这些方程的适用条件是什
提示：当考虑至二阶微量的条件下，上两题都将得出相同于式(2-1)和式(2-2)的平衡条件。
解：所谓单元体各面上应力分量不是均匀分布，即应力分量是随 x, y 逐点变化的，P, A, B, D 点
处的应力是不同的，应力是一个函数 f (x, y) 。设此函数在点 x = xP , y = yP 处的值为 f (xP , yP ) 或
+ ⎛⎜τ yx ⎝
+
∂τ yx ∂y
dy ⎞⎟δ dxdy ⎠
−
⎛ ⎜
σ
y
⎝
+
∂σ y ∂y
dy
⎞ ⎟
δ
dxwenku.baidu.com
⎠
dx 2
− σ xδ dy
dy 2
+
X δ dxdy
dy 2
− Yδ dxdy
dx 2
=
0
化简后两边同时除以 δ dxdy ，忽略二阶以上的微量，则有
τ yx = τ xy
2-6 在图 2-3 的微分体中，若考虑每一面上的应力分量不是均匀分布的，试问将导出什么形式的 平衡微分方程？
可见，ε x ,ε y ,γ yz 仅是 x 和 y 的函数，且 ε z = γ zx = γ zy = 0 。可见符合平面应变问题的两个判别条件，
所以问题得证。同时，由式(c)还得到平面应变问题的物理方程
εx
=
1− μ2 E
⎛ ⎜ ⎝
σ
x
−μ 1− μ
σ
y
⎞ ⎟ ⎠
⎫ ⎪ ⎪
εy
=
1− μ2 E
⎛ ⎝⎜
边界 x = b
σ x x=h = −ρ gy(0 ≤ y ≤ h2 ), τ yx x=h = 0
2-9 试应用圣维南原理，列出图所示的两个问题中 OA 边的三个积分的应力边界条件，并比较两
者的面力是否是静力等效？
q x
oA
b h
F
M x
o
A F = qb
2
h
bb 22
M = qb2 12
y (a) (h
⎧⎪ε x ⎪
=
1 E
[σ
x
− μ(σ y
+ σ z )]
⎪⎪ε y ⎨
=
1 E
[σ
y
− μ(σ z
+ σ x )]
⎪⎪ε z
=
1 E
[σ
z
− μ(σ x
+ σ y )]
⎪
⎪γ ⎩
yz
=
1 G
τ
yz
,
γ
zx
=
1 G
τ
zx
,
γ
xy
=
1 G
τ
xy
则有
εx
=
1 E
(σ x
− μσ y )
εy
=
1 E
(σ y
−
μσ y
⎤⎦
⎫ ⎪ ⎪
εy
=
1 E
⎡⎣σ y
−
μσ x
⎤⎦
⎪ ⎬ ⎪
γ xy
=
1 G
τ
xy
⎪ ⎪⎭
可见在 δ 范围内为平面应力状态。
3
2-4 试分析说明，在板面上处处受法向约束且不受切向面力作用的等
厚度薄板中，如图示，当板边上只受 x, y 向的面力或约束，且不沿厚度变
化时，其应变状态接近于平面应变的情况。 解： 由图知，两个刚性平面与弹性薄板为光滑接触，所以在薄板板面
τ
yz
,
γ
zx
=
1 G
τ
zx
,
γ
xy
=
1 G
τ
xy
则有
2
也就是
⎧⎪ε x ⎪
=
1 E
[σ
x
− μ(σ y
+ σ z )]
⎪⎪ε y ⎨
=
1 E
[σ
y
−
μ(σ z
+ σ x )]
⎪⎪0
=
1 E
[σ z
−
μ(σ x
+ σ y )]
⎪
⎪γ ⎩
yz
=
1 G
τ
yz
⎧ ⎪ε x ⎪
=
1− μ2 E
⎛ ⎜ ⎝
σ