江苏省高三上学期期末数学试卷
高三数学上学期期末考试试题扫描版
江苏省扬州市高三数学上学期期末考试试题（扫描版）扬州市2021—2021学年度第一学期期末调研测试试题 高 三 数 学 参 考 答 案 第一部分1. {}0 2．12-3. R x ∈∃,0322<-+x x 4. 13 5. 156.7. -2 8. 17 9. 221412x y -= 10.(][)12-∞-+∞，，11.112.12 13. [2,3] 14. e 14.解：点(0,1)A ，(1,0)B ，设(,log )a P x x ，则()()1,1,log 1log 1a a AB AP x x x x ⋅=-⋅-=-+．依题()f x log 1a x x =-+在(0,)+∞上有最小值2且(1)2f =，故1x =是()f x 的极值点，即最小值点．1ln 1'()1ln ln x a f x x a x a -=-=，若01a <<，'()0f x >，()f x 单调增，在(0,)+∞无最小值；故1a >，设'()0f x =，则log a x e =，当(0,log )a x e ∈时，'()0f x <，当(log ,)a x e ∈+∞时，'()0f x >，从而当且仅当log a x e=时，()f x 取最小值，所以log 1a e =，a e=．15⑴由图，212,()1433T A ==--=，得4T =，2πω=，则()2sin()26f x x ππ=+， ……3分 由22()2sin()2323f πϕ=⋅+=，得sin()13πϕ+=，所以2()32k k Z ππϕπ+=+∈， 又02πϕ<<，得6πϕ=，所以()2sin()26f x x ππ=+； ……7分⑵(1)()2sin()2cos()sin()2626212y f x f x x x x ππππππ=-+=+-+=-， ……10分 因为15[,]22x ∈，故762126x ππππ≤-≤，则1sin()12212x ππ-≤-≤，即()f x ≤≤， 所以函数(1)()y f x f x =-+的值域为[． ……14分16⑴解：E 为AC 中点．理由如下： 平面PDE 交AC 于E ，即平面PDE平面ABC DE =，而//BC 平面PDE ，BC ⊂平面ABC ，所以//BC DE ， ……4分PACDE在ABC ∆中，因为D 为AB 的中点，所以E 为AC 中点； ……7分 ⑵证：因为PA PB =，D 为AB 的中点，所以AB PD ⊥， 因为平面PCD ⊥平面ABC ，平面PCD平面ABC CD =，在锐角PCD ∆所在平面内作PO CD ⊥于O ，则PO ⊥平面ABC ，…10分 因为AB ⊂平面ABC ，所以PO AB ⊥ 又POPD P =，,PO PD ⊂平面PCD ，则AB ⊥平面PCD ，又PC ⊂平面PCD ，所以AB PC ⊥． ……14分 17.解⑴因为BC 过椭圆M 的中心，所以22BC OC OB ==，又,2AC BC BC AC ⊥=，所以OAC ∆是以角C 为直角的等腰直角三角形， ……3分则(,0),(,),(,),2222a a a a A a C B AB --=，所以2222()()221a a a b -+=，则223a b =，所以222,c b e ==； ……7分⑵ABC ∆的外接圆圆心为AB 中点(,)44a aP，半径为4a ，则ABC ∆的外接圆为：2225()()448a a x y a -+-= ……10分 令0x =，54a y =或4a y =-，所以5()944a a--=，得6a =，92=得6a =）所以所求的椭圆方程为2213612x y +=． ……15分18⑴以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立坐标系．设(,)P m n ，PABCD O∵02πθ<<，tan θ=cos 14θ=，sin 14θ=，则9sin 2m OP θ=⋅=，cos n OP θ=⋅=， ……4分 依题意，AB ⊥OA ，则OA=92，OB=2OA=9，商业中心到A 、B 两处的距离和为13.5km ． ……7分⑵方式1：当AB 与x 轴不垂直时，设AB：9()2y k x =-，①令0y =，得92A x =；由题意，直线OB的方程为y =，②解①②联立的方程组，得B x =，∴2B OB x ===∴92y OA OB =+=++0A x >，0B x >，得k >0k <． ……11分'y =='0y =，得k =，当k <时，'0y <，y是减函数；当0k <<时，'0y >，y 是增函数，∴当k =时，y 有极小值为9km；当k>'0y <，y 是减函数，结合⑴知13.5y >km ． 综上所述，商业中心到A 、B 两处的距离和最短为9km ，此时OA=6km ，OB=3km ，方式2：如图，过P 作PM//OA 交OB 于M ，PN//OB 交OA 于N ，设∠BAO=α，△OPN 中sin(90)sin(30)sin120PN ON OPθθ︒==--，得PN=1，ON=4=PM ，△PNA 中∠NPA=120°-α∴sin sin(120)PN NA αα︒=-得sin(120)sin NA αα︒-= 同理在△PMB 中，sin sin(120)BM PM αα︒=-，得4sin sin(120)MB αα︒=-， sin(120)4sin 1459sin sin(120)y OA OB αααα︒︒-=+=+++≥+=-， ……13分当且仅当sin(120)4sin sin sin(120)αααα︒︒-=-即sin(120)2sin αα︒-=即tan α=时取等号．方式3：若设点()B m ，则AB9292y x m -=-，得4(4,0)21A m +-，∴4424211492121OA OB m m m m +=++=-+++≥--， ……13分 当且仅当42121m m -=-即32m =时取等号．方式4：设(,0)A n ，AB：92x nn -=-，得2142Bx n =+-， 442441(4)5944B OA OB n x n n n n +=+=-+++=-++≥--， ……13分当且仅当444n n -=-即6n =时取等号．答：A 选地址离商业中心6km ，B 离商业中心3km 为最佳位置． ……15分19⑴12k =时，121()2n n n a a a ++=+，211n n n n a a a a+++-=-，所以数列{}n a 是等差数列， ……1分 此时首项11a =，公差211d a a a =-=-，数列{}n a 的前n 项和是1(1)(1)2n S n n n a =+--， ……3分故12015201520152014(1)2a a =+⨯⨯-，即112014(1)2a a =+⨯-，得1a =； ……4分（没有过程，直接写1a =不给分）⑵设数列{}n a 是等比数列，则它的公比21a q aa ==，所以1m m a a -=，1m m a a +=，12m m a a ++=， ……6分①若1m a +为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112mm m a aa -+=+，解得：1a =，不合题意；②若ma 为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m aa a -+=+，化简得：220a a +-=，解得2a =-（舍1）；11122215m m m m m m a a a k a a a a a +-++====-+++； ③若2m a +为等差中项，则212m m ma a a ++=+，即112m m m aa a +-=+，化简得：2210a a --=，解得12a =-；11122215m m m m m m a a a k a a a a a +-++====-+++； ……9分综上可得，满足要求的实数k 有且仅有一个，25k =-； ……10分⑶12k =-则121()2n n n a a a ++=-+，211()n n n n a a a a ++++=-+，32211()n n n n n na a a a a a ++++++=-+=+， ……12分当n 是偶数时，12341n n n S a a a a a a -=++++++12341()()()n n a a a a a a -=++++++12()(1)22n na a a =+=+，当n 是奇数时，12341n n n S a a a a a a -=++++++123451()()()n n a a a a a a a -=+++++++1231()2n a a a -=++1121[()]2n a a a -=+-+11(1)2n a -=-+，1n =也适合上式， ……15分综上可得，n S ⎧=⎨⎩11(1),2(1),2n a n a --++n n 是奇数是偶数． ……16分20.⑴解: (0)1f =，'()xf x e =，'(0)1f =， (0)g c =，'()2g x ax b =+，'(0)g b =， ……2分依题意：⎧⎨⎩(0)(0)'(0)'(0)1f g f g ==-，所以⎧⎨⎩1,1c b ==-； ……4分⑵解: 1a c ==，0b =时，2()1g x x =+， ……5分 ①0x =时，(0)1f =，(0)1g =，即()()f x g x = ②0x <时，()1f x <，()1g x >，即()()f x g x <③0x >时，令2()()()1x h x f x g x e x =-=--,则'()2xh x e x =-. 设()'()=2x k x h x e x =-，则'()=2xk x e -， 当ln 2x <时, '()0,()k x k x <单调递减;当ln 2x >时, '()0,()k x k x >单调递增.所以当ln 2x =时, ()k x 取得极小值, 且极小值为ln 2(ln 2)2ln 22ln 40k e =-=->因此,当0x >时, ()(0)0h x h >>,即()g()f x x >. ……9分 综上，当0x <时,()()f x g x <；当0x =时, ()()f x g x =；当0x >时, ()g()f x x >． ……10分 ⑶证法一：①若01a <≤，由⑵知，当0x >时, 21xe x >+.即22xe x ax >≥， 所以，01a <≤时，取0m =，即有当()x m ∈+∞，，恒有2x e ax >.②若1a ≥,()g()f x x >即2x e ax >，等价于2ln()x ax >即2ln ln x x a >+ 令()2ln ln t x x x a =--,则22'()1x t x x x -=-=.当2x >时,'()0,()t x t x >在(2,)+∞内单调递增. 取20x ae =,则202x e ≥>，所以()t x 在0(,)x +∞内单调递增.又2220()2ln ln 43ln 743ln t x e a e a a e a a a a =--=-->--4(1)3(ln )0a a a =-+->即存在2m ae =,当()x m ∈+∞，时，恒有()()f x g x >. ……15分综上，对任意给定的正数a ，总存在正数m ，使得当()x m ∈+∞，，恒有()()f x g x >. ……16分证法二：设2()x e h x x =，则3(2)'()x e x h x x -=，当(0,2)x ∈时，'()0h x <，()h x 单调减，当(2,)x ∈+∞时，'()0h x >，()h x 单调增，故()h x 在(0,)+∞上有最小值，2(2)4e h =， ……12分 ①若24e a <，则()2h x >在(0,)+∞上恒成立， 即当24e a <时，存在0m =，使当(,)x m ∈+∞时,恒有()()f x g x >； ②若24e a =，存在2m =，使当(,)x m ∈+∞时,恒有()()f x g x >； ③若24e a >，同证明一的②， ……15分 综上可得，对任意给定的正数a ，总存在m ,当(,)x m ∈+∞时,恒有()()f x g x >. ……16分第二部分（加试部分） 21．A ．设(,)P x y 是曲线1C 上任意一点，点(,)P x y 在矩阵A 对应的变换下变为点(,)P x y '''则有10102x x y y ⎡⎤'⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥' ⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即12x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩……5分 又因为点(,)P x y '''曲线222:14x C y +=上， 故22()()14x y ''+=，从而22()()142x y +=所以曲线1C 的方程是 224x y +=． ……10分B．由cos()4πρθ-=，得曲线1C 的直角坐标系的方程为10x y ++=, ……3分由2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩，得曲线2C 的普通方程为21(11)x y x +=-≤≤, ……7分 由2101x y x y ++=⎧⎨+=⎩，得220x x --=，即2x =（舍去）或1x =-，所以曲线1C 与曲线2C 交点的直角坐标为(1,0)-． ……10分22．在甲靶射击命中记作A ,不中记作A ；在乙靶射击命中记作B ,不中记作B ，其中221331(),()1,(),()1333444P A P A P B P B ==-===-=……2分 ⑴ξ的所有可能取值为0,2,3,4，则1111(0)()()()()34448P P ABB P A P B P B ξ====⨯⨯=，(2)())()()()()()()P P ABB P ABB P A P B P B P A P B P B ξ==+=+(131113634434448=⨯⨯+⨯⨯=，2(3)()3P P A ξ===，1339(4)()()()()34448P P ABB P A P B P B ξ====⨯⨯=．ξ的分布列为：1629023434848348E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=， ……7分⑵射手选择方案1通过测试的概率为1P ，选择方案2通过测试的概率为2P ,12931(3)34848P P ξ=≥=+=；21333133327(3)()()()4444444432P P P BBB P BBB P BB ξ=≥=++=⨯⨯+⨯⨯+⨯=, ……9分因为21P P >，所以应选择方案2通过测试的概率更大． ……10分23⑴当2n =时，01224x a a a =++，0{0,1}a ∈，1{0,1}a ∈，21a =，故满足条件的x 共有4个，分别为：004x =++，024x =++，104x =++，124x =++,它们的和是22． ……4分 ⑵由题意得，0121,,,,n a a a a -各有n 种取法；na 有1n -种取法，由分步计数原理可得0121,,,,n a a a a -的分歧取法共有(1)(1)n n n n n n n ⋅⋅⋅-=-，即满足条件的x 共有(1)nn n -个， ……6分 当a 分别取0,1,2,,1n -时，121,,,n a a a -各有n 种取法，na 有1n -种取法，故nA 中所有含a 项的和为21(1)(0121)(1)2n n n n n nn --++++--=；同理，nA 中所有含1a 项的和为21(1)(0121)(1)2n n n n n n n n n--++++--⋅=⋅；nA 中所有含2a 项的和为2122(1)(0121)(1)2n n n n n n n n n--++++--⋅=⋅；…… nA 中所有含1n a -项的和为2111(1)(0121)(1)2n n n n n n n n n nn----++++--⋅=⋅；当na 分别取1,2,,1i n =-时，0121,,,,n a a a a -各有n 种取法，故nA 中所有含na 项的和为1(1)(121)2n nnnn n n n n n+-+++-⋅=⋅； 所以n A =2121(1)(1)(1)22n n n nn n n n n n nn+---+++++⋅；21(1)1(1)212n n n n n n n n n n n +---=⋅+⋅-1(1)(1)2n n n n n n n +-=+-故1()1n n f n n n +=+-． ……10分。
江苏省南通市2022-2023学年高三上学期期末考试 数学含答案
2022～2023学年高三年级模拟试卷数 学（答案在最后）(满分：150分 考试时间：120分钟)2023．1一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中只有一个选项符合要求．1. 已知集合A ＝{x ∈N |－1<x <3}，B ＝{x |x 2≤3}, 则A ∩B ＝( )A. {x |－1<x ≤3 }B. {x |0≤x ≤3 }C. {0，1}D. {1}2. (3 ＋i)(cos 60°－isin 60°)＝( ) A. －i B. 2C. 1－3 iD. 3 －i3. 已知向量a ＝(2，－3)，b ＝(m ，1)，若|a ＋2b |＝|a －2b |，则m ＝( ) A. 32 B. －32 C. 23 D. －234. 已知一个正四棱台形油槽可以装煤油200 L ，若它的上、下底面边长分别为60 cm 和40 cm ，则它的深度约为( )A. 115 cmB. 79 cmC. 56 cmD. 26 cm5. 某城市地铁1号线从A 站到D 站共有6个站点．甲、乙二人同时从A 站上车，准备在B ，C ，D 站中的某个站点下车．若他们在这3个站点中的某个站点下车是等可能的，则甲、乙二人在不同站点下车的概率为( )A. 14B. 13C. 23D. 346. 已知定义在R 上的函数f (x )的图象连续不间断，有下列四个命题： 甲：f (x )是奇函数； 乙：f (x )的图象关于点(2，0)对称； 丙：f (22)＝0; 丁；f (x ＋6)＝f (x ).如果有且仅有一个假命题，则该命题是( ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁7. 已知双曲线：x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，过点F 作一条渐近线的垂线，垂足为M .若△MOF 的重心G 在双曲线上，则双曲线的离心率为( )A. 22B. 7C. 6D. 5 8. 已知a ＝e －1.1, b ＝12，c ＝1－ln (e －1)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. c <a <bB. a <b <cC. a <c <bD. c <b <a二、 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 下列说法正确的是( )A. 数据1，3，3，5，5，5，7，9，11的众数和第60百分位数都为5B. 样本相关系数r 越大，成对样本数据的线性相关程度也越强C. 若随机变量ξ服从二项分布B (8，34 )，则方差D (2ξ)＝6D. 若随机变量X 服从正态分布N (0，1)，则P (|X |＜12 )＝2P (X ＞12 )10. 已知函数f (x )＝sin ωx －3 cos ωx (ω>0)的最小正周期为π，则( )A. ω＝2B. 点(－5π6 ， 0)是f (x )图象的一个对称中心C. f (x )在(π3 ，11π12)上单调递减D. 将f (x )的图象上所有的点向左平移π3 个单位长度，可得到y ＝cos (2x －π6 )的图象11. 过直线l ：2x ＋y ＝5上一点P 作圆O ：x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A, B ，则( ) A. 若直线AB ∥l ，则|AB |＝5 B. cos ∠APB 的最小值为35C. 直线AB 过定点(25 ，15 )D. 线段AB 的中点P 的轨迹长度为510π 12. 已知在三棱锥P ABC 中，P A ⊥PB, AB ⊥BC ，P A ＝PB ＝1, AB ＝BC, 设二面角P ABC 的大小为θ，M 是PC 的中点．当θ变化时，下列说法正确的是( )A. 存在θ，使得P A ⊥BCB. 存在θ，使得PC ⊥平面P ABC. 点M 在某个球面上运动D. 当θ＝π2 时， 三棱锥P ABC 外接球的体积为43 π三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. (x 2－x －2)5的展开式中含x 项的系数是________．14. 若抛物线x 2＝12y 上的一点P 到坐标原点O 的距离为27 ，则点P 到该抛物线焦点的距离为________．15. 已知直线y ＝ kx ＋b 是曲线y ＝ln (1＋x )与y ＝2＋ln x 的公切线，则k ＋b ＝________．16. 已知数列{a n }满足a n ＋1>a n >0，a 2n ＋1 ＝a n ＋1＋a n ，则首项a 1的取值范围是________；当a 1＝65 时，记b n ＝（－1）n a n －1 ，且k < i ＝12 023b i <k ＋1，则整数k ＝________．四、 解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17. (本小题满分10分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1－2a n ＝3n －4. (1) 求证：{a n ＋3n －1}是等比数列； (2) 设数列{a n } 的前n 项和为S n ，求S n .18. (本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且3cos C ＝2sin A sin B. (1) 求sin Csin A sin B的最小值；(2) 若A ＝π6，a ＝7 ，求c 及△ABC 的面积．19. (本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，平面PAB ⊥平面PBC.(1) 求证：AB ⊥BC ；(2) 若PA ＝AB ，M 为PC 上的点，当PC 与平面ABM 所成角的正弦值最大时，求PMPC 的值．20. (本小题满分12分)2022年卡塔尔世界杯决赛于当地时间12月18日进行，最终阿根廷通过点球大战总比分7∶5战胜法国，夺得冠军，根据比赛规则：淘汰赛阶段常规比赛时间为90分钟，若在90分钟结束时进球数持平，需进行30分钟的加时赛，若加时赛仍是平局，则采用“点球大战”的方式决定胜负．“点球大战”的规则如下：① 两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；② 如果在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5轮最多可能射中的球数，则不需要再踢(例如：第4轮结束时，双方“点球大战”的进球数比为2∶0，则不需要再踢第5轮)；③ 若前5轮“点球大战”中双方进球数持平，则从第6轮起，双方每轮各派1人踢点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜出．(1) 假设踢点球的球员等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也只有35 的可能性将球扑出．若球员射门均在门内，在一次“点球大战”中，求门将在前4次扑出点球的个数X 的分布列和数学期望．(2) 现有甲、乙两队在决赛中相遇，常规赛和加时赛后双方0∶0战平，需要通过“点球大战”来决定冠军．设甲队每名队员射进点球的概率均为34 ，乙队每名队员射进点球的概率均为23，假设每轮点球中进球与否互不影响，各轮结果也互不影响．① 若甲队先踢点球，求在第3轮结束时，甲队踢进了3个球并获得冠军的概率； ② 求“点球大战”在第7轮结束，且乙队以6∶5获得冠军的概率．21.(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞1≥b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2作直线l(与x 轴不重合)交C 于M ，N 两点，且当M 为C 的上顶点时，△MNF 1的周长为8, 面积为837.(1) 求C 的方程；(2) 若A 是C 的右项点，设直线l ，AM ，AN 的斜率分别为k ，k 1，k 2，求证：k(1k 1 ＋1k 2)为定值．22.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln x －a （x ＋1）x －1 .(1) 当a ＝－1时，求f(x)的单调区间；(2) 若f(x)有两个零点x 1，x 2(x 1<x 2)，求a 的取值范围，并证明1ln x 1＋a ＋1ln x 2＋a＜0.2022～2023学年高三年级模拟试卷(南通)数学参考答案及评分标准1. C2. D3. A4. B5. C6. D7. B8. C9. AC 10. ABD 11. BC 12. ACD 13. －80 14. 5 15. 3－ln 2 16. 0＜a 1＜2 －517. 解：(1) 由a n ＋1－2a n ＝3n －4，得a n ＋1＋3n ＋2＝2(a n ＋3n －1).(2分) 因为a 1＝1，所以a n ＋3n －1≠0，所以a n ＋1＋3（n ＋1）－1a n ＋3n －1 ＝2，(4分)所以{a n ＋3n －1}是等比数列，且公比为2.(5分) (2) 由a 1＝1，得a 1＋3×1－1＝3，所以a n ＋3n －1＝3×2n －1，即a n ＝3×2n －1－(3n －1).(7分) 所以S n＝3(1＋21＋22＋…＋2n －1)－[2＋5＋8＋…＋(3n －1)]＝3×1－2n1－2－n [2＋（3n －1）]2 ＝3(2n －1)－n （3n ＋1）2.(10分)18. 解：(1) 因为3cos C ＝2sin A sin B ，所以－3(cos A cos B －sin A sin B )＝2sin A sin B ，即sin A sin B ＝3cos A cos B . 因为cos A cos B >0，所以tan A tan B ＝3.(2分) 所以sin C sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B sin A sin B ＝tan A ＋tan B tan A tan B ＝1tan A ＋1tan B≥21tan A ·1tan B ＝233，(4分) 当且仅当tan A ＝tan B ＝3 时，等号成立，所以sin C sin A sin B 的最小值为233 .(6分)(2) 因为A ＝π6 ，由(1)得，tan B ＝3tan A ＝33 .因为B ∈(0，π)，所以sin B ＝32114 ，cos B ＝714 ，(8分)所以sin C ＝sin (B ＋π6 )＝32 sin B ＋12 cos B ＝5714 .由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得c ＝a sin Csin A＝5，(10分)所以△ABC 的面积为12 ac sin B ＝12 ×7 ×5×32114 ＝1534 .(12分)19. 解：(1) 如图，过点A 作AE ⊥PB ，垂足为E .因为平面P AB ⊥平面PBC ，平面P AB ⊂平面PBC ＝PB ，AE ⊂平面P AB ，AE ⊥PB ，所以AE ⊥平面PBC .(2分)因为BC ⊂平面PBC ，所以AE ⊥BC .又P A ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥BC . 因为AE ∩P A ＝A ，AE ，P A ⊂平面P AB ， 所以BC ⊥平面P AB .(4分)又AB ⊂平面P AB ，所以AB ⊥BC .(6分)(2) 以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．由底面ABCD 是菱形，且AB ⊥BC ，得底面ABCD 为正方形， 设P A ＝AB ＝1，则B (1，0，0)，C (1，1，0)，P (0，0，1)， 所以AB → ＝(1，0，0)，PC →＝(1，1，－1)，设PM → ＝λPC → ＝(λ，λ，－λ)(0≤λ≤1)，则AM → ＝AP → ＋PM →＝(λ，λ，1－λ). 设平面ABM 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥AB →，n ⊥AM →， ，即⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝x ＝0，n ·AM →＝λx ＋λy ＋（1－λ）z ＝0，当0≤λ<1时，取n ＝(0，1，－λ1－λ ).(8分)设PC 与平面ABM 所成角为θ， 则sin θ＝|cos 〈n ，PC →〉|＝|1＋λ1－λ|3×1＋（λ1－λ）2＝13×2λ2－2λ＋1，(10分)当λ＝12 时，sin θ的最大值为63 .当λ＝1时，sin θ＝33 ＜63， 所以PC 与平面ABM 所成角的正弦值为63 ，此时PM PC ＝12 .(12分) 20. 解：(1) 根据题意，门将每次扑中点球的概率p ＝13 ×35 ＝15 .(2分)(解法1)X 的所有可能取值为0，1，2，3，4.P (X ＝0)＝C 04 p 0(1－p )4＝256625 ；P (X ＝1)＝C 14 p 1(1－p )3＝256625 ； P (X ＝2)＝C 24 p 2(1－p )2＝96625 ；P (X ＝3)＝C 34 p 3(1－p )＝16625 ； P (X ＝4)＝C 44 p 4(1－p )0＝1625.(4分)所以X 的概率分布列为数学期望E (X )＝0×256625 ＋1×256625 ＋2×96625 ＋3×16625 ＋4×1625 ＝45 .(5分)(解法2)X ～B (4，15 )，所以X 的概率分布列为(4分)数学期望E (X )＝4×15 ＝45.(5分)(2) ① 甲队先踢点球，第三轮结束时甲队踢进了3个球，并获得冠军，则乙队没有进球，所以甲队获得冠军的概率为(34 )3×(1－23 )3＝164.(7分)② 点球在第7轮结束，且乙队以6∶5获胜，所以前5轮战平，且第6轮战平，第7轮乙队1∶0胜甲队. 当前5轮两队为4∶4时，乙队胜出的概率为[C 45 (34 )4×14 ×C 45 (23 )4×13 ]×(34 ×23 )×(14 ×23 )＝252 304.(9分) 当前5轮两队为5∶5时，乙队胜出的概率为[C 55 (34 )5×C 55 23 )5]×(14 ×13 )×(14 ×23 )＝12 304.(11分) 因为上述两个事件互斥，所以乙队胜出的概率为252 304 ＋12 304 ＝131 152.(12分) 21. 解：(1) 由题意得4a ＝8，即a ＝2，所以椭圆C ：x 24 ＋y 2b2 ＝1.(1分)当M 为C 的上顶点时，直线l 为：x c ＋y b ＝1，联立方程组x 24 ＋y 2b 2 ＝1，解得x ＝8cc 2＋4 ，y ＝b （c 2－4）c 2＋4.(3分)又△MNF 1的面积为837 ，所以12 b ·2c ＋12 b （4－c 2）c 2＋4 ·2c ＝837 ，即7bc ＝3 (c 2＋4)， 所以7c ·4－c 2 ＝3 (c 2＋4)，解得c 2＝3或c 2＝413 ，于是b 2＝1或b 2＝4813 .(5分)因为0<b ≤1，所以b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(6分)(2) 椭圆C 的右焦点为F 2(3 ，0)，直线l 的方程为y ＝k (x －3 )，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k （x －3）， 消y 得(1＋4k 2)x 2－83 k 2x ＋12k 2－4＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝83k 21＋4k 2 ，x 1x 2＝12k 2－41＋4k 2，(8分)所以1k 1 ＋1k 2 ＝x 1－2y 1 ＋x 2－2y 2 ＝x 1－2k （x 1－3） ＋x 2－2k （x 2－3） ＝1k ·(x 1－2x 1－3 ＋x 2－2x 2－3 )＝1k·2x 1x 2－（2＋3）（x 1＋x 2）＋43x 1x 2－3（x 1＋x 2）＋3＝1k ·2（12k 2－4）－（2＋3）×83k 2＋43（1＋4k 2）（12k 2－4）－3×83k 2＋3（1＋4k 2）＝1k (8－43 )，所以k (1k 1 ＋1k 2 )＝8－43 为定值．(12分) 22. 解：(1) f (x )的定义域为(0，1)∪(1，＋∞).当a ＝－1时，f (x )＝ln x ＋x ＋1x －1 ，导函数f ′(x )＝x 2－4x ＋1x （x －1）2.(2分)令f ′(x )>0，得0<x <2－3 或x >2＋3 ；令f ′(x )<0，得2－3 <x <2＋3 且x ≠1；所以f (x )的单调递增区间为(0，2－3 )和(2＋3 ，＋∞)，单调递减区间为(2－3 ，1)和(1，2＋3 ).(4分)(2) 当a ＝0时，f (x )只有1个零点，不符合题意；当a <0时，若0<x <1，则f (x )<0； 若x >1，则f (x )>0，不符合题意，所以a >0.当a >0时，f ′(x )＝1x ＋2a（x －1）2＞0，所以f (x )在(0，1)和(1，＋∞)上均单调递增．当x >1时，由f (e a )＝－2ae a －1 <0，f (e3a ＋1)＝ln e3a ＋1－a （e 3a ＋1＋1）e 3a ＋1－1 ＝（3a ＋1）（e 3a ＋1－1）－a （e 3a ＋1＋1）e 3a ＋1－1＞3a （e 3a ＋1－1）－a （e 3a ＋1＋1）e 3a ＋1－1 ＝2a （e 3a ＋1－2）e 3a ＋1－1 ＞0， 所以f (x )在(1，＋∞)内有一个零点； 当0<x <1，同理f (e －a )＝2a e a－1＞0，f (e －3a －1)＜0， 所以f (x )在(0，1)上有一个零点， 所以a 的取值范围是(0，＋∞).(8分) 因为f (x )的两个零点为x 1，x 2，所以ln x 1＝a （x 1＋1）x 1－1 ，即ln x 1＋a ＝2ax 1x 1－1 ，所以1ln x 1＋a ＝x 1－12ax 1 .同理，1ln x 2＋a＝x 2－12ax 2 ，所以1ln x 1＋a ＋1ln x 2＋a＝x 1－12ax 1 ＋x 2－12ax 2 ＝12a [2－(1x 1 ＋1x 2 )].(10分)若f (x )＝0，即ln x －a （x ＋1）x －1 ＝0，则ln 1x －a （1x ＋1）1x－1 ＝－ln x ＋a （x ＋1）x －1＝－f (x )＝0，所以f(x)的两个零点x1，x2互为倒数，即x2＝1x1，所以1x1＋1x2＝x1＋1x1>2(等号不成立)，所以2－(1x1＋1x2)<0，所以1ln x1＋a ＋1ln x2＋a＝x1－12ax1＋x2－12ax2＝12a[2－(1x1＋1x2)]＜0.所以得证．(12分)。
2024届江苏省南京市、盐城市高三上学期期末调研数学及答案
盐城市、南京市2023—2024学年度第一学期期末调研测试高 三 数 学 2024.01注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．第 Ⅰ 卷(选择题 共60分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2＋3i)(2－3i)＝A ．5B ．－1C ．1D ．72．已知集合A ＝{0，1，2}，B ＝{x |y ＝lg(－x 2＋2x )，则A ∩B ＝A ．{0，1，2}B ．{1}C ．{0}D ．(0，2)3．已知x ＞0，y ＞0，则x ＋y ≥2是xy ≥1的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．下列函数中是偶函数的是A ．y ＝e x ＋eB ．y ＝e x －eC ．y ＝e ＋e e －eD ．y ＝(e x ＋e )(e x －e )5．从4位男同学、5位女同学中选出3位同学，男女生都要有的选法有A ．140种B ．44种C ．70种D ．252种6．已知反比例函数y ＝k x (k ≠0)的图象是双曲线，其两条渐近线为x 轴和y 轴，两条渐近线的夹角为π2，将双曲线绕其中心旋转可使其渐近线变为直线y ＝±x ，由此可求得其离心率为2．已知函数y ＝33x ＋1x的图象也是双曲线，其两条渐近线为直线y ＝33x 和y 轴，则该双曲线的离心率是A ．3 B ．23 C ．233 D ．4337．已知直线l 与椭圆x 9＋y 3＝1在第二象限交于A ，B 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，若|AM |＝|BN |，则l 的倾斜角是A ．π6B ．π3C ．π4D ．5π128．平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝a ·b ＝2，|a ＋b ＋c |＝1，则(a ＋c )·(b ＋c )的最小值是A ．－3B ．3－23C ．4－23D ．－23二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．《中华人民共和国国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要》中明确提出要创新实施文化惠民工程，提升基层综合性文化服务中心功能，广泛开展群众性文化活动．某乡镇为了考核甲、乙两村的文化惠民工程，在两村的村民中进行满意度测评，满分100分，规定：得分不低于80分的为“高度满意”，得分低于60分的为“不满意”．经统计发现甲村的评分X 和乙村的评分Y 都近似服从正态分布，其中X ~N (70，σ12)，Y ~N (75，σ22)，0＜σ1＜σ2，则A ．X 对应的正态曲线比Y 对应的正态曲线更扁平B ．甲村的平均分低于乙村的平均分C ．甲村的高度满意率与不满意率相等D ．乙村的高度满意率比不满意率大10．已知{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和，满足a 3＝2a 1＋a 2，则下列说法中正确的有A ．若{a n }是正项数列，则{a n }是单调递增数列B ．S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 一定是等比数列C ．若存在M ＞0，使|a n |≤M 对n ∈N *都成立，则{|a n |}是等差数列D ．若存在M ＞0，使|a n |≤M 对n ∈N *都成立，则{S n }是等差数列11．设M ，N ，P 为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)图象上三点，其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2，已知M ，N 是函数f (x )的图象与x 轴相邻的两个交点，P 是图象在M ，N 之间的最高点，若MP 2＋2MN ·NP ＝0，△MNP 的面积是3，M 点的坐标是(－12，0)，则A ．A ＝2B ．ω＝π2C ．φ＝π4D ．函数f (x )在M ，N 间的图象上存在点Q ，使得QM ·QN ＜012．在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，AD ＝CD ＝2，四棱锥P －ABCD 的外接球为球O ，则A ．AB ⊥BC B ．V P －ABCD ＞2V P －ACDC ．V P －ABCD ＝2V O －ABCD D ．点O 不可能在平面PBC 内第 Ⅱ 卷(非选择题 共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．满足f (xy )＝f (x )＋f (y )的函数f (x )可以为f (x )＝ ▲ ．(写出一个即可)14．tan π8－1tan π8＝ ▲ ．15．抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴．已知点F 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞1)的焦点，从点F 出发的光线经抛物线上一点反射后，反射光线经过点(10，1)，若入射光线和反射光线所在直线都与圆E ：(x －116)2＋y 2＝1相切，则p 的值是 ▲ ．16．若数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝n 2(n ∈N *)，则a 100＝ ▲ ．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内)17．(本小题满分10分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ＋S n ＝1．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{b n }满足a n b n ＝cos n π2，求{b n }的前50项和T 50．18．(本小题满分12分)在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为正方形，AB ＝AA 1＝2，∠A 1AB ＝π3，侧面CDD 1C 1⊥底面ABCD ．(1)求证：平面A 1BC ⊥平面CDD 1C 1；(2)求直线AB 1和平面A 1BC 1所成角的正弦值．(第18题图)19．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且c tan B＝(2a－c)tan C．(1)求角B的大小；(2)若点D在边AC上，BD平分∠ABC，b＝23，求BD长的最大值．20．(本小题满分12分)春节临近，为了吸引顾客，我市某大型商超策划了抽奖活动，计划如下：有A、B、C三个抽奖项目，它们之间相互不影响，每个项目每位顾客至多参加一次，项目A中奖的概率是14，项目B和C中奖的概率都是25．(1)若规定每位参加活动的顾客需要依次参加A、B、C三个项目，如果A、B、C三个项目全部中奖，顾客将获得100元奖券；如果仅有两个项目中奖，他将获得50元奖券；否则就没有奖券．求每位顾客获得奖券金额的期望；(2)若规定每位顾客等可能地参加三个项目中的一个项目．已知某顾客中奖了，求他参加的是A项目的概率．21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝e－ln xx(m∈R)．(1)当m＝1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的图象与x轴相切，求证：1＋ln2＜m＜2＋ln6．22．(本小题满分12分)已知双曲线C：y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点是F1，F2，顶点A(0，－2)，点M是双曲线C上一个动点，且|MF12－MF22|的最小值是85．(1)求双曲线C的方程；(2)设点P是y轴上异于C的顶点和坐标原点O的一个定点，直线l过点P且平行于x轴，直线m过点P且与双曲线C交于B，D两点，直线AB，AD分别与直线l交于G，H两点．若O，A，G，H四点共圆，求点P 的坐标．。
江苏省苏北四市(徐州市、淮安市、宿迁市、连云港市)高三上学期期末数学试卷(解析版)
江苏省苏北四市（徐州市、淮安市、宿迁市、连云港市）2022届高三（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设全集U＝R，集合A＝{x|1＜x＜4}，集合B＝{x|0＜x＜2}，则集合A∩（∁U B）＝（）A．（1，2）B．（1，2〗C．（2，4）D．〖2，4）2．（5分）已知复数z满足z（1+i）＝4i，则|z|＝（）A．1B．C．2D．23．（5分）不等式成立的一个充分条件是（）A．x＜﹣1B．x＞﹣1C．﹣1＜x＜0D．0＜x＜14．（5分）某地元旦汇演有2男3女共5名主持人站成一排，则舞台站位时男女间隔的不同排法共有（）A．12种B．24种C．72种D．120种5．（5分）已知向量＝（x，1），＝（2，y），＝（1，﹣2），且∥，⊥，则|2﹣|＝（）A．3B．C．D．6．（5分）已知抛物线C1：y2＝2px（p＞0）的焦点F为椭圆C2：＝1（a＞b＞0）的右焦点，且C1与C2的公共弦经过F，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．7．（5分）如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为30°，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点M，N到容器底部的距离分别是12和18，则容器内液体的体积是（）A．15πB．36πC．45πD．48π8．（5分）记〖x〗表示不超过实数x的最大整数，记a n＝〖log8n〗，则的值为（）A．5479B．5485C．5475D．5482二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．（5分）已知的展开式中共有7项，则（）A．所有项的二项式系数和为64B．所有项的系数和为1C．二项式系数最大的项为第4项D．有理项共4项10．（5分）将函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的图象向左平移个单位长度后得到y＝g（x）的图象如图，则（）A．f（x）为奇函数B．f（x）在区间上单调递增C．方程f（x）＝1在（0，2π）内有4个实数根D．f（x）的解析式可以是11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若对于曲线y＝f（x）上的任意点P，都存在曲线y＝f（x）上的点Q，使得＝0成立，则称函数f（x）具备“⊗性质”．则下列函数具备“⊗性质”的是（）A．y＝x+1B．y＝cos2x C．y＝D．y＝e x﹣212．（5分）如图，一张长、宽分别为，1的矩形纸，A，B，C，D分别是其四条边的中点．现将其沿图中虚线折起，使得P1，P2，P3，P4四点重合为一点P，从而得到一个多面体．则（）A．在该多面体中，B．该多面体是三棱锥C．在该多面体中，平面BAD⊥平面BCDD．该多面体的体积为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022-2023学年江苏省苏州市高三上学期期末数学试卷及答案
2022-2023学年江苏省苏州市高三上学期期末数学试卷及答案注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本卷共6页，包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第12题）、填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）．本卷满分150分，答题时间为120分钟，答题结束后，请将答题卡交回．2、答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则实数b 的值为（{}220,A x x x x =-<∈Z{}0,B b =A B ⋂≠∅） A. B. 0C. 1D. 21-【答案】C 【解析】【分析】求出集合，根据，可得答案.A AB ⋂≠∅【详解】化简得，，由，A {}{}{}(2)0,02,1A x x x x x x x =-<∈=<<∈=Z Z {}0,B b =且，故.A B ⋂≠∅1b =故选：C2. 已知（，i 为虚数单位）（ ） ii 2ix y =--,x y ∈R =A.15【答案】B 【解析】 【分析】根据（，i 为虚数单位），利用复数相等求得，代入ii 2ix y =--,x y ∈R ,x y求解.【详解】解：因为（，i 为虚数单位）， ii 2ix y =--,x y ∈R 所以， ()()()i 2i i 12i==i 2i 2i 2i 55x y +-=-+--+所以， 12,=55x y =-，==故选：B 3. 设，，，则（ ） a =52b =2log 6c =A.B.C.D.a b c <<b a c <<b c a <<c a b <<【答案】A 【解析】【分析】根据幂函数以及对数函数的单调性，结合关键无理数的估计值，可得答案. 【详解】，22512log 22log 22b ==+=+，22222333log 6log 4log 4log 2log 222c ⎛⎫==⨯=+=+ ⎪⎝⎭，则， 225322log 2log 22<=<=+<+a b c <<故选：A.4. 已知通过某种圆筒型保温层的热流量，其中，分别为保温层的内()12212πln ln l t t Φr r λ-=-1r 2r 外半径（单位：mm ），，分别为保温层内外表面的温度（单位：℃），l 为保温层的长度1t 2t （单位：m ），为保温层的导热系数（单位：）．某电厂为了减少热损失，准备λW/(m )⋅℃在直径为120 mm 、外壁面温度为250℃的蒸汽管道外表面覆盖这种保温层，根据安全操作规定，保温层外表面温度应控制为50℃．经测试，当保温层的厚度为30 mm 时，每米长管道的热损失为300 W ．若要使每米长管道的热损失不超过150 W ，则覆盖的保温层厚度至少Φl Φl为（ ）A. 60 mmB. 65 mmC. 70 mmD. 75 mm【答案】D 【解析】 【分析】由已知求得，然后代入不等式求得的范围即Φl2πλ2π(25050)150ln(60)ln 60d λ-≤+-d 可．【详解】由题意可得，()12212πln ln t t Φl r r λ-=-，，2π(25050)300ln 90ln 60λ-=-332πln 22λ=设覆盖的保温层厚度至少为，(mm),0>d d 则，，2π(25050)150ln(60)ln 60d λ-≤+-33ln322ln(60)ln 604d ≤+-整理可得，即，解得， 960ln ln 460+≤d 960460+≤d 75d ≥故选：D ．5. 若的展开式中的系数为60，则的最小值为（ ）6a bx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2x 22a b +A. 2C. 3D. 51+【答案】C 【解析】【分析】由二项式定理求得的关系,然后由均值不等式求得最小值． ,a b 【详解】，令，，6626166C ()()C rrr r r r r r aT bx a b x x---+==262r -=4r =所以，∴，4246C 60a b=244a b =，当且仅当 ，即22222444411322a b b b b b b +=+=++≥=24412b b =时等号成立，b =故选：C ．6. 在平面直角坐标系中，已知双曲线C ：（，）的左顶点为xOy 22221x y a b-=0a >0b >，右焦点为F ，过点F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足A 为Q ．若，，成等差数列，则C 的离心率为（ ）OQ QF OA B.C. 232【答案】B 【解析】【分析】不妨设渐近线方程为，计算点坐标得到，，b y x a =P 2a OQc =2a QF c c=-，根据等差数列性质得到，解得答案.OA a =321e e=+【详解】，，不妨设渐近线方程为，则直线为：(),0A a -(),0F c by x a=PF ，()ay x c b=--，解得，故，，， ()b y x aa y x cb ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩2a x cab y c⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2a OQ c =2a QF c c =-OA a =，，成等差数列，故，整理得到，OQ QF OA 222a a c a c c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭321e e =+解得或（舍）. 32e =1e =-故选：B7. 已知正四面体的棱长为，为棱上的动点（端点、除外），过点作平ABCD 1P AB A B P 面垂直于，与正四面体的表面相交．记，将交线围成的图形面积表示为αAB αAP x =S x 的函数，则的图象大致为（ ）()f x ()S f x =A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】取线段的中点，连接、，证明出平面，分析可知平面AB O OC OD AB ⊥OCD 与平面平行或重合，分、、三种情况讨论，计算出αOCD 102x <<12x =112x <<OCD 的面积，利用三角形相似可得出的表达式，即可得出合适的选项. ()f x 【详解】取线段的中点，连接、，AB O OC OD 因为、为等边三角形，为的中点，则，，ABC ABD △O AB OC AB ⊥OD AB ⊥，、平面，平面，OC OD O ⋂= OC OD ⊂OCD AB ∴⊥OCD 因为平面，所以，平面与平面平行或重合， AB ⊥ααOCD且 OD OC ===取的中点，连接，则， CD M OM OM CD ⊥且OM ==12OCD S CD OM =⋅=△①当时，平面平面，平面平面， 102x <<//αOCD α ABC PE =平面平面，，同理可知，，， OCD ABC OC =//PE OC ∴//PF OD //EF CD 所以，，故， PE AE EF AF PFOC AC CD AD OD====PEF OCD △∽△如下图所示：则，则； 224OCD S AP x S AO ⎛⎫== ⎪⎝⎭△()2S f x ==②当时，； 12x=12S f ⎛⎫== ⎪⎝⎭③当时，平面平面，平面平面， 112x <<//αOCD α ABC PE =平面平面，，同理可知，，， OCD ABC OC =//PE OC ∴//PF OD //EF CD 所以，，故， PE BE EF BF PFOC BC CD BD OD====PEF OCD △∽△如下图所示：则，则. ()2241OCD S BP x S BO ⎛⎫==- ⎪⎝⎭△())21S f x x ==-综上所述，，故函数的图象如C选项中的图象. ())221,0211,12x S f x x x <≤==-<<()f x 故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查函数图象的识别，解题的关键对分类讨论，求出函数x ()f x 的解析式，进而辨别出函数的图象.()f x 8. 已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数.记函数()f x R (1)f x +(2)f x +，则（ ）()2(21)1g x f x =++3112k k g =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑A. 25 B. 27C. 29D. 31【答案】D 【解析】【分析】由已知条件得函数的图象点对称也关于直线对称，由此求得其是周()f x (1,0)2x =期函数，周期是4，由中心对称得，然后求得，(2)(4)0f f +=(2)(3)(4)(5)0+++=f f f f 代入计算可得．【详解】为奇函数，是由向左平移1个单位得到， (1)f x +(1)f x +()f x 则的图象关于点对称，所以，，()f x (1,0)(2)()f x f x -=-(1)0f =为偶函数，是由向左平移2个单位得到，(2)f x +(2)f x +()f x 则的图象关于直线对称，所以，则， ()f x 2x =(2)(2)f x f x -=+(3)0f =所以，从而，(2)()f x f x +=-(4)(2)()f x f x f x +=-+=是周期函数，且周期为4，所以，()f x (21)0,Z f k k -=∈因为的图象关于直线对称，也关于点对称， ()f x 2x =(1,0)所以的图象关于点对称，所以， ()f x (3,0)(2)(4)0f f +=所以，(2)(3)(4)(5)0+++=f f f f 所以[][]3117(2)(3)(4)(5)(2)(3)(4)0(1)==+++++=++∑k f f f f f k f f f 因为，，()2(1)12=++k g f k Z k ∈所以，313111231(3121)==+⎛⎫=+= ⎪⎝⎭∑∑k k f k k g 故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知向量，的夹角为60°，，，则与向量的夹角为锐角的向量有a b2a = 1b = a b - （ ）A.B.C.D.b a b + 2a b - 2b a - 【答案】BC 【解析】【分析】显然不可能平行，因此只要计算出数量积为正即可．【详解】由已知各选项中向量与向量不平行， a b -，21cos 601a b ⋅=⨯⨯︒=， 2()110a b b a b b -⋅=⋅-=-= ，22()()4130a b a b a b -⋅+=-=-=> ， 22()(2)324312130a b a b a a b b -⋅-=-⋅+=-⨯+⨯=> ，22()(2)232431160a b b a a a b b -⋅-=-+⋅-=-⨯+⨯-=-< 只有BC 选项符合题意． 故选：BC ．10. 已知函数，则（ ） π()sin cos 6f x x x x ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭A. 的周期为B. 直线()f x 2π32y x =+()y f x =的切线C. 在上单调递增D. 点是曲线的对()f x R ππ,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭()y f x =称中心 【答案】BCD 【解析】【分析】判断是否相等即可判断A ；根据导数的几何意义即可判断B ；利()()2π,f x f x +用导数计算即可判断C ；构造函数，再判断函数的奇偶性即可()ππ33g x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()g x 判断D.【详解】解：对于A ，因为， ()()π2πsin cos 2π6f x x x x f x ⎛⎫+=++++≠ ⎪⎝⎭所以不是函数的周期，故A 错误；2π()f x对于B ，， ππ()sin cos cos 66f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设切点为，()()00,x f x ，()πsin 16f x x ⎛⎫'=--+ ⎪⎝⎭令，则， ()032f x '=0π1sin 62x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭可取，则， 00x =()0f =所以过点的切线方程为 ⎛ ⎝32y x =所以直线的切线，故B 正确； 32y x =+()y f x =对于C ，， ()πsin 16f x x ⎛⎫'=--+ ⎪⎝⎭因为，所以， []πsin 1,16x ⎛⎫--∈- ⎪⎝⎭()πsin 106f x x ⎛⎫'=--+≥ ⎪⎝⎭所以在上单调递增，故C()f x R 对于D ，令，()πππcos sin 332g x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为， ()()sin g x x x g x -=--=-所以函数是奇函数，关于原点对称， ()g x 又因函数是由函数先向右平移个单位，再向上平移个单位所得的， ()g x ()f x π3π3所以函数点是曲线的对称中心，故D 正确. ππ,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭()y f x =故选：BCD.11. 已知正方体的棱长为，，，其中1111ABCD A B C D -11BP BD λ= 1CQ CC μ=，，则下列说法中正确的有（ ）[]0,1λ∈[]0,1μ∈A. 若平面，则B. 若平面，则PQ ⊂1AB C 13λμ+=//PQ ABCD 12λμ==C. 存在，，使得D. 存在，使得对于任意的，都有λμ35PQ =λμPQ BD ⊥【答案】AD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，根据共面向量定理可判断选项A ，利用直线方向向量和面法向量垂直可判断线面平行，可判断选项B ，通过向量求得模长，根据条件判断方程是否有解，可判断C ，向量数量积为，可判断D.0【详解】以为原点，所在直线为建立空间直角坐标系. D 1,,DA DC DD ,,x y z 因为正方体的棱长为，1111ABCD A B C D -11(1,1,1)BD =--面为点，.11,,Q CC CQ CC PQ μ∈=⊂1,AB C Q ∴C 0μ∴=设， 1(1,0,0)(1,1,1)(0,1,0)(,,)DP xDA yDB zDC x y z x y y z y =++=++=++又,1(1,1,0)(1,1,0)(,,)(1,1,)DP DB BP BD λλλλλλλ=+=+=+--=--1112,,12,x y y z x y z y λλλλλλ+=-⎧⎪∴+=-∴=-==-⎨⎪=⎩又因为点面， P ∈1,AB C 113x y z λ∴++=∴=所以若平面，则，故A 正确. PQ ⊂1AB C 13λμ+=面的法向量，ABCD (0,0,1)m =,1(,,),(1,1,0)BP BD B λλλλ==--(1,1,),P λλλ∴--,1(0,0,),(0,1,0)CQ CC C μμ==,(0,1,)Q μ∴(1,,)PQ λλμλ∴=--平面,， //PQ ABCD PQ m ∴⊥，故B 错误.0μλμλ∴-==，, 222222(1)()32(1)1PQ λλμλλλμμ=-++-=-+++ 若,,35PQ =2925PQ ∴=22932(1)125λλμμ∴-+++=,221632(1)025λλμμ∴-+++=,[]1112(1),0,1,(1),3333λμμμ⎡⎤=+∈+∈⎢⎥⎣⎦令， 2216()32(1)25g λλλμμ=-+++易得，(0)0,(1)0g g >>， 2211116((1))3(1)2(1)(1)39325g μμμμμ+=⨯+-++++，22222321231()0337532756μμμ=-+=-+->在无解，故C 错误.()0g λ∴=[]0,1λ∈,,(1,,)PQ λλμλ=--(1,1,0)BD = ,故D 正确.1,0,2PQ BD PQ BD λ⊥⋅=∴= 故选：AD12. 中国蹴鞠已有两千三百多年的历史，于2004年被国际足联正式确认为世界足球运动的起源．蹴鞠在2022年卡塔尔世界杯上再次成为文化交流的媒介，走到世界舞台的中央，诉说中国传统非遗故事．为弘扬中华传统文化，我市四所高中各自组建了蹴鞠队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次（积分多者名次靠前，积分同者名次并列），积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时（ ） 13A. 四支球队的积分总和可能为15分B. 甲队胜3场且乙队胜1场的概率为523C. 可能会出现三支球队积分相同且和第四支球队积分不同的情况D. 丙队在输了第一场的情况下，其积分仍超过其余三支球队的积分的概率为 583【答案】ACD 【解析】【分析】举例比赛的各种得分情况判断AC ，由互斥事件与独立事件的概率公式计算概率判断BD ．【详解】四支球队共6场比赛，例如甲胜乙、丙、丁，而乙、丙、丁之间平，则甲得9分，乙、丙、丁各得2分，AC 均正确； 每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则甲队胜3场且乙队胜1场的概率为13，B 错； 31251124(C 3333⨯⨯⨯=丙队在输了第一场的情况下，其积分仍超过其余三支球队的积分， 三队中选一队与丙比赛，丙输，，例如是丙甲， 131C 3⨯若丙与乙、丁的两场比赛一赢一平，则丙只得4分，这时，甲乙、甲丁两场比赛中甲只能输，否则甲的分数不小于4分，不合题意，在甲输的情况下，乙、丁已有3分，那个它们之间的比赛无论什么情况， 乙、丁中有一人得分不小于4分，不合题意，若丙全赢（概率是）时，丙得6分，其他3人分数最高为5分，这时甲乙，甲丁两场21(3比赛中甲不能赢否则甲的分数不小于6分，只有平或输，一平一输，概率，如平乙，输丁，则乙丁比赛时，丁不能赢，概率， 1221C (323两场均平，概率是，乙丁这场比赛无论结论如何均符合题意，21(3两场甲都输，概率是，乙丁这场比赛只能平，概率是21()313综上概率为，D 正确．12122232511121118C ()[C (()()33333333⨯⨯⨯⨯⨯++⨯=故选：ACD ．【点睛】难点点睛：本题考查独立的概率与互斥事件的概率公式，难点在于分析丙在输第一场的情况下如何才能使得分超过其他三人，方法是结合列举法对六场比赛结果分步分析，确定每人的得分使之合乎题意．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知圆台的上、下底面半径分别为4和5，高为2，则该圆台的侧面积为________．【答案】 【解析】【分析】直接利用侧面积公式计算得到答案.【详解】圆台的侧面积为.()()πππ9S r l R r =+=+=⨯=故答案为：14. 在平面直角坐标系中，已知圆C ：，过点的直xOy 22((2)4x y -+-=(0,1)M -线l 交C 于A ，B 两点，且，请写出一条满足上述条件的l 的方程：MA AB =________________．【答案】（答案不唯一，也满足） 0x =1y x =-【解析】【分析】分别讨论直线l 斜率存在、不存在的情况，设C 到直线的距离为d ，由MA AB =得.-【详解】由题意得，半径，，故在圆)2C 2r =2MC ==>(0,1)M -外，设C 到直线的距离为d ， 由得MA AB =，解得，=d =当直线l 斜率不存在时，即，此时0x =d =当直线l 斜率存在时，设为，即，则1y kx =-10kx y --=d，解得.3=k =1y x =-故答案为：（答案不唯一，也满足） 0x =1y =-15. 记函数（）的最小正周期为T ，给出下列三个命题： π()sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0ω>甲：；3T >乙：在区间上单调递减；()f x 1,12⎛⎫⎪⎝⎭丙：在区间上恰有三个极值点．()f x (0,3)若这三个命题中有且仅有一个假命题，则假命题是________（填“甲”、“已”或“丙”）；ω的取值范围是________． 【答案】 ①. 甲 ②. 7π10π,99⎛⎤⎥⎝⎦【解析】【分析】甲，利用三角函数的周期性求出；乙，利用三角函数的单调性求出2π3ω<；丙，利用函数的极值点定义求出，结合已知可知甲是假命题，2π4π33ω≤≤7π10π99ω<≤进而求解.【详解】对于甲，，即，解得； 3T >2π3ω>2π3ω<对于乙，，，112x << π62ππ66x ωωω∴<<+++由正弦函数的单调性得，解得， ππ2π262,Z π3π2π62k k k ωω⎧+≥+⎪⎪∈⎨⎪+≤+⎪⎩2π4π4π2π,Z 33k k k ω+≤≤+∈又，故，又，则，故，且0ω>2π4π03k +>Z k ∈0k ≥2π2π4π33k ω≥+≥， 2π4π4π4π,033k x k k +≤≤+≥对于丙，，， 03x << πππ6636x ωω<++∴<由正弦函数的极值点得，解得； 35ππ7π262ω+≤<7π10π99ω<≤由这三个命题中有且仅有一个假命题，假设乙是假命题，则甲、丙是真命题，但显然甲、丙矛盾，故该假设不成立； 假设丙是假命题，则甲、乙是真命题，但显然甲、乙矛盾，故该假设不成立； 所以假命题是甲，则乙、丙是真命题，取交集的取值范围是. ω7π10π,99⎛⎤⎥⎝⎦故答案为：甲，. 7π10π,99⎛⎤⎥⎝⎦16. 若对任意，关于x 的不等式恒成立，则实数a 的最,m n ∈R 2()e x n m n x m a --≤-+-大值为________． 【答案】##0.75 34【解析】【分析】不等式化为恒成立，22()e ()()e ()x n x n a x m m n x m x m x n --≤-+-+=-+-+--由于都是任意实数，因此不等式右边相当于两个函数相加：,,m n x 2()()y x m x m =-+-和，后者设，由导数求得其最小值，前者由二次函数性质得e ()x n y x n -=--e ()x x f x =-最小值，两者相加即得最小值，从而得的范围，得出结论．a 【详解】原不等式化为恒成22()e ()()e ()x n x n a x m m n x m x m x n --≤-+-+=-+-+--立，由于是任意实数，也是任意实数，∴与是任意实数，它们之间没有任何,m n x x m -x n -影响，，当且仅当时等号成立，22111()()()244-+-=-+-≥-x m x m x m 12x m -=-设，则，e ()x xf x =-()e 1xf x '=-时，，单调递减，时，，单调递增，0x <()0f x '<()f x 0x >()0f x '>()f x 所以， min ()(0)1f x f ==所以的最小值是1，e ()x n x n ---所以的最小值是， 2()()e ()x n x m x m x n --+-+--13144-+=从而，的最大值是．34a ≤a 34故答案为：．34【点睛】关键点点睛：不等式恒成立求参数范围问题，一般可采用分离参数法转化为求函数的最值，本题分离参数后，关键是对变量的理解，本题中由于都是任意实数，因此,,m n x 题中与可以看作是两个不同的变量，因此不等式右边转化为两个函数的和，分x m -x n -别求出其最小值后得出结论．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，．ABC cos 2b B =c =（1）求A ；（2）若，点D 在边BC 上，，求AD ． tan 2C =2ADB BAC ∠=∠【答案】（1）； π4（2. 【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求得，再利用余弦定理求解作2222b a b +-=答.（2）利用（1）的结论，结合同角公式及和角的余弦公式求出三角函数值，再利用正弦定理求解作答. 【小问1详解】在中，由，，由余弦定理得ABC cos 2b B +=c =cos 2ac B b =-，2222cos a c b ac B =+-即，整理得，由余弦定理得，22224b a b -=-+2222b a b +-=222cos 2b c aA bc+-=， cos A ===(0,π)A ∈所以. π4A =【小问2详解】因为，即，而，则tan 2C =sin 2cos 0C C =>22sin cos 1C C +=sin C =cos C=所以，cos cos()(cos cos sin sin )B A C A C A C =-+=--=-=又，则显然是锐角三角形，由（1）知，(0,π)B ∈sin B ==ABC ，π22ADB BAC∠=∠=点D是边BC 上的高所在直线与BC 的交点，在边BC 上，符合题意， 在中，， Rt △ABD sin AD AB B ===所以． AD =18. 记为数列的前n 项和，已知，． n S {}n a 212a a =12n n S a n +=（1）求的通项公式；{}n a （2）若数列满足求中的最大项与最小项．{}n b 1,1,,2,21n n a n b a n n =⎧⎪=⎨≥⎪+⎩{}n b 【答案】（1）()*n a n n =∈N（2）最大项为，最小项为 11b =225b =【解析】【分析】（1）两种方法解，方法一：先利用已知条件求出，然后根据已知条件建立方程，1a 相减后变形构造数列利用递推公式求得数列的通项公式；方法二：利用数列和与项的递推公式构造项和项的递推公式，然后，根据项和项的递推公式进而求得数列的通项公式； （2）由（1）写出的表达式，作差法比较数列的单调性，分析最大项和最小项即可. n b 【小问1详解】 法一： 在中， 12n n S a n +=令，得， 1n =11a =故， 2122a a ==因为，① ()21n n S n a =+所以，②()()11211n n S n a ++=++，得，②①-112(1)1n n n a n a na ++=+-+即，③1(1)1n n n a na +-=-当时，将③式两边同时除以，2n ≥(1)n n -得， 11111n n a a n n n n +=+---所以， 121111121n n a a a n n +---====-- 所以当时，， 2n ≥n a n =又因为，所以；11a =()*n a n n =∈N 法二：因为①， ()21n n S n a =+所以②()()11211n n S n a ++=++，得，②①-112(1)1n n n a n a na ++=+-+即③， 1(1)1n n n a na +-=-从而④，21(1)1n n na n a ++=+-得，-④③211(1)(1)n n n n na n a n a na +++--=+-即， 212n n n a a a +++=所以为等差数列． {}n a 在中， 12n n S a n +=令，得，故， 1n =11a =2122a a ==又因为为等差数列，所以；{}n a ()*n a n n =∈N 【小问2详解】由（1）得，1,1,221n n b n n n =⎧⎪=⎨≥⎪+⎩当时，2n ≥， 11102321(23)(21)n n n n b b n n n n ++-=-=>++++且，1112122n n b n n ==<++所以，2341112b b b b <<<<<= 所以中的最大项为，最小项为． {}n b 11b =225b =19. 新能源汽车作为战略性新兴产业，代表汽车产业的发展方向，发展新能源汽车，对改善能源消费结构、减少空气污染、推动汽车产业和交通运输行业转型升级具有积极意义，经过十多年的精心培育，我国新能源汽车产业取得了显著成绩，产销量连续四年全球第一，保有量居全球首位．（1）已知某公司生产的新能源汽车电池的使用寿命（单位：万公里）服从正态分布ξ，问：该公司每月生产的2万块电池中，大约有多少块电池的使用寿命可以超过(60,16)N 68万公里？参考数据：若随机变量，则，(,)N ξμσ~()0.683P μσξμσ-≤≤+≈，．(22)0.955P μσξμσ-≤≤+≈(33)0.997P μσξμσ-≤≤+≈（2）下表给出了我国2017~2021年新能源汽车保有量y （单位：万辆）的数据．年份 2017 2018 2019 2020 2021 年份代码x 1 2 3 4 5 新能源汽车保有量y153260381492784经计算，变量的样本相关系数，变量与的样本相关系数． ,x y 10.946r ≈2x y 20.985r ≈①试判断与哪一个更适合作为与之间的回归方程模型？ y bx a =+2y bx a =+y x ②根据①的判断结果，求出关于的回归方程（精确到0.1），并预测2023年我国新能源y x 汽车保有量． 参考数据：令（），计算得，，，2i i t x=1,2,3,4,5i =414y =517704i i i x y ==∑5132094i i i t y ==∑．52979iit=∑参考公式：在回归方程中，，． y bta =+ 1221ni ii nii t y nt yb tnt==-=-∑∑ a y bt=- 【答案】（1）450块（2）①更适合作为y 与x 之间的回归方程模型；②. 2y bx a =+ 224.9140.1y x =+【解析】【分析】（1）根据正态分布计算概率；（2）相关系数绝对值越大相关性越强，根据给出公式，代入数据计算可得回归方程. 【小问1详解】因为新能源汽车电池的使用寿命，()260,4N ξ~所以， ()12210.955(68)0.022522P P μσξμσξ--≤≤+->===所以块．200000.0225450⨯=答：每月生产的万块电池中，使用寿命超过万公里的大约有块； 268450【小问2详解】①因为，所以更适合作为y 与x 之间的回归方程模型．21r r >2y bx a =+②因为，2222212345115t ++++==，122213209451141424.9979511ni ii ni i t y nt ybt nt==--⨯⨯==≈-⨯-∑∑ ， 41424.911140.1a y bt=-=-⨯= 所以． 224.9140.124.9140.1y t x =+=+当时，万辆． 7x = 24.949140.11360.2y =⨯+=答：年我国新能源汽车保有量约为万辆．20231360.220. 如图1，在长方形ABCD 中，已知，，E 为CD 中点，F 为线段EC 上（端2AB =1BC =点E ，C 除外）的动点，过点D 作AF 的垂线分别交AF ，AB 于O ，K 两点．现将折起，DAF △使得（如图2）．DK AB ⊥（1）证明：平面平面； ABD ⊥ABC （2）求直线DF 与平面所成角的最大值． ABC 【答案】（1）证明见解析 （2）π6【解析】【分析】（1）先证平面，得平面，所以，再证AF ⊥ODK DK ⊂ODK AF DK ⊥DK ⊥平面，从而得证面面垂直；ABC（2）直线DF 与平面所成角为，记，设（），ABCF DFK ∠DFK θ∠=DF x =12x <<由，得，计算，利用基本不等式得最大值，从而得角的最大FDA DAK !!1AK x=sin θ值．【小问1详解】因为，，，平面，， AF OK ⊥AF OD ⊥OD OK ⊂ODK OD OK O = 所以平面．AF ⊥ODK 因为平面，所以．DK ⊂ODK AF DK ⊥又因为，，平面，， DK AB ⊥AB AF ⊂ABC AB AF A = 所以平面．DK ⊥ABC 因为平面，所以平面平面． DK ⊂ABD ABD ⊥ABC 【小问2详解】连结FK ，由（1）可知，直线DF 与平面所成角为，记． ABCF DFK ∠DFK θ∠=在图1中，因为，所以， DK AF ⊥90DFA FDK ︒∠+∠=又因为，所以． 90FDA FDK ADK ∠︒=∠+∠=DFA ADK ∠=∠又因为，所以． 90FDA DAK ︒∠=∠=FDA DAK !!设（），由，得，解得． DF x =12x <<DF DA AD AK =11x AK =1AK x=在图2中，因为，所以 DK AB ⊥DK ==所以， 1sin 2DK DF θ===≤当且仅当时等号成立，x =又因为，所以的最大值为，π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦θπ6即直线DF 与平面所成角的最大值为． ABC π621. 在平面直角坐标系中，已知抛物线：的焦点与椭圆：xOy 1C 22x py =2C 22143x y+=的右焦点关于直线对称． y x =（1）求的标准方程；1C （2）若直线与相切，且与相交于A ，B 两点，求面积的最大值．l 1C 2C AOB （注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点） 【答案】（1） 24x y =（2 【解析】【分析】（1）求出椭圆焦点坐标，根据的焦点与的右焦点关于直线对称，可求1C 2C y x =得抛物线焦点坐标，进而求得抛物线方程.（2）根据直线与相切，设出直线方程与椭圆方程联立，求得弦长和点到直线的l 1C AB O 距离，写出面积，化简利用重要不等式求最值. AOB 【小问1详解】因为的右焦点为，的焦点与的右焦点关于直线对称， 2C (1,0)1C 2C y x =所以的焦点为， 1C (0,1)所以，即，所以的标准方程为． 12p=2p =1C 24x y =【小问2详解】 设与相切于点（），因为，所以，l 1C ()22,P t t 0t ≠214y x =2x y '=所以的斜率，所以的方程为． l 22tk t ==l 2y tx t =-由得，222,1,43y tx t x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩()22343484120t x t x t +-+-=因为，所以（*）．()()624Δ644344120t tt=-+->42430t t --<设，，由韦达定理可知，，()11,A x y ()22,B x y 3122834t xx t +=+412241234t x x t -=+所以：AB===．==又因为点O 到直线l 的距离d =所以的面积AOB 1122S ABd =⋅⋅=， ()424432t t t -+++=≤=当且仅当，即时等号成立， 2t =2t =此时满足（*）， 42340t t --<所以AOB (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、圆锥曲线的条件；(2)强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 22. 已知函数． ()ln(1)2axf x x x =+-+（1）若时，，求实数a 的取值范围； 0x ≥()0f x ≥（2）讨论的零点个数． ()f x 【答案】（1） 2a ≤（2）答案见解析 【解析】【分析】（1）根据题意，求导，得到，对进行分类讨论，可22(42)(1)()(1)(2)x a x f x x x '+-+=++a得的单调性，进而求得的时候，实数a 的取值范围.()f x ()0f x ≥（2）通过分类讨论，可得函数的单调性，进而得到的图像，根据数形结合，可a ()f x ()f x 得的零点个数. ()f x 【小问1详解】的定义域是，．()f x (1,)-+∞22212(42)(1)()1(2)(1)(2)a x a x f x x x x x +'-+=-=++++①当时，，所以在上单调递增， 2a ≤()0f x '≥()f x (1,)-+∞又因为，所以当时，，满足题意； (0)0f =0x ≥()(0)0f x f ≥=②当时，令， 2a >22()(42)(1)(42)(42)g x x a x x a x a =+-+=+-+-由，得，． ()0g x =1(2)0x a =--<2(2)0x a -=+>当时，，，所以在上单调递减， ()20,x x ∈()0g x <()0f x '<()f x ()20,x 所以，不满足题意． ()()200f x f <=综上所述，． 2a ≤【小问2详解】①当时，由（1）可得在上单调递增，且， 2a ≤()f x (1,)-+∞(0)0f =所以在上存在1个零点；()f x (1,)-+∞②当时，由（1）可得必有两根，，2a >()0g x =1x 2x 又因为，所以，．(1)10g -=>(0)420g a =-<1(1,0)x ∈-2(0,)x ∈+∞x()11,x -1x()12,x x2x()2,x +∞()f x '＋0 －0 ＋()f x 单调递增 极大值()1f x 单调递减 极小值()2f x 单调递增当时，因为，所以在上存在1个零点， ()12,x x x ∈(0)0f =()f x ()12,x x 且，；()()100f x f >=()()200f x f <=当时，因为，()11,x x ∈-()()e 12ee 1ln e 0e 1e l---------=-=<++a aa a aaa a f ，而在单调递增，且，而，故1e 10--<-<a ()f x 1(0,)x 1()0f x '=(e 1)0a g -->，所以在上存在1个零点；11e 1a x --<-<()f x ()11,x -当时，因为， ()2,x x ∈+∞()()e 12e 1ln e 0e 1e 1a a a a aa af --=-=>++，而在单调递增，且，而， e 10a ->()f x 2(,)x +∞2()0f x '=(e 1)0ag ->所以，所以在上存在1个零点．2e 1ax ->()f x ()2,x +∞从而在上存在3个零点．()f x ()1,-+∞综上所述，当时，存在1个零点；当时，存在3个零点．2a ≤()f x 2a >()f x 【点睛】思路点睛：通过求导，得到，通过分析导数，得到的图像，通过数形结()f x '()f x 合，可求得不等式恒成立时，参数的取值范围，以及相应的的零点个数()f x。
江苏省海安市2022-2023学年高三上学期期末考试数学试卷含答案
2022～2023学年高三年级模拟试卷数 学(满分：150分 考试时间：120分钟)2023．1一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中只有一个选项符合要求．1. 已知全集U ＝{x |－2＜x ＜3}，集合A ＝{x |－1＜x ≤1}，则∁U A ＝( ) A. (－1，1] B. (－2，－1]∪(1，3) C. [－1，1) D. (－2，－1)∪[1，3)2. 若复数z 在复平面内对应的点在直线y ＝1上，且z ＝i z ，则z ＝( )A. 1－iB. 1＋iC. －1＋iD. －1－i3. (x －1x)6的二项展开式中的常数项是( )A. －20B. －15C. 15D. 204. 经验表明，树高y 与胸径x 具有线性关系，为了解回归方程的拟合效果，利用下列数据计算残差，用来绘制残差图．胸径x /cm 18.2 19.1 22.3 24.5 26.2 树高的观测值y /m 18.9 19.4 20.8 22.8 24.8 树高的预测值y /m 18.6 19.3 21.5 23.0 24.4A. 0.4，－1.8B. 1.8，－0.4C. 0.4，－0.7D. 0.7，－0.4 5. 为测量河对岸的直塔AB 的高度，选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C ，D ，测得∠BCD 的大小为60°，点C ，D 的距离为200 m ，在点C 处测得塔顶A 的仰角为45°，在点D 处测得塔顶A 的仰角为30°，则直塔AB 的高为( )A. 100 mB. 1003 mC. (2003 －200)mD. 200 m 6. 已知圆心均在x 轴上的两圆外切，半径分别为r 1，r 2(r 1＜r 2)，若两圆的一条公切线的方程为y ＝24 (x ＋3)，则r 2r 1 ＝( )A. 43B. 2C. 54D. 3 7. 设G 为△ABC 的重心，则GA → ＋2GB → ＋3GC →＝( )A. 0B. AC →C. BC →D. AB →8. 设a ＝110 e 19 ，b ＝19 ，c ＝2ln 32，则( )A. a ＜b ＜cB. a ＜c ＜bC. c ＜b ＜aD. b ＜a ＜c 二、 选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AE → ＝13 AA 1，CF →＝23CC 1，则 ( )A. EF ⊥BDB. EC 1∥平面ABFC. EF ⊥平面B 1CD 1D. 直线EF 与直线BD 1异面10. 已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，点M ，N 均在C 上，若△FMN 是以F 为直角顶点的等腰三角形，则MN ＝( )A. 2－12B. 2 －1C.2＋12D. 2 ＋1 11. 已知等差数列{a n }中，当且仅当n ＝7时，S n 取得最大值．记数列{S nn}的前k 项和为T k ，则下列结论正确的是( )A. 若S 6＝S 8，则当且仅当k ＝13时，T k 取得最大值B. 若S 6＜S 8，则当且仅当k ＝14时，T k 取得最大值C. 若S 6＞S 8，则当且仅当k ＝15时，T k 取得最大值D. 若∃m ∈N *，S m ＝0，则当k ＝13或14时，T k 取得最大值12. 将样本空间Ω视为一个单位正方形，任一事件均可用其中的区域表示，事件发生的概率为对应区域的面积．在如图所示的单位正方形中，区域Ⅰ表示事件AB ，区域Ⅱ表示事件A B ，区域Ⅰ和Ⅲ表示事件B ，则区域Ⅳ的面积为( )A. P (AB )B. P (A ＋B )C. P (A |B )P (B )D. P (A )P (B )三、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知sin(π－x )＝13 ，x ∈(0，π2)，则tan x ＝________．14. 已知椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，若△PF 1F 2是以F 1为顶点的等腰三角形，且cos ∠F 1PF 2＝34，则C 的离心率e ＝________．15. 设过直线x ＝2上一点A 作曲线y ＝x 3－3x 的切线有且只有两条，则满足题设的一个点A 的纵坐标为________．16. 已知球O 的表面积为100π cm 2，P 是球O 内的定点，OP ＝10 cm ，过P 的动直线交球面于A ，B 两点，AB ＝45 cm ，则球心O 到AB 的距离为________cm ；若点A ，B 的轨迹分别为圆台O 1O 2的上、下底面的圆周，则圆台O 1O 2的体积为________cm 3.四、 解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17. (本小题满分10分)已知数列{a n }中，a 1，a 2，a 3，…，a 6成等差数列，a 5，a 6，a 7，…成等比数列，a 2＝－10，a 6＝2.(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 记数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＞0，求n 的最小值．已知四边形ABCD内接于圆O，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝120°，AC平分∠BAD.(1) 求圆O的半径；(2) 求AC的长．如图，已知菱形ABCD 的边长为2，∠ABC ＝60°，E 为AC 的中点，将△ACD 沿AC 翻折使点D 至点D ′.(1) 求证：平面BD ′E ⊥平面ABC ；(2) 若三棱锥D ′ABC 的体积为223，求二面角D ′ABC 的余弦值．20. (本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行乒乓球单打比赛，约定：随机选择两人打第一局，获胜者与第三人进行下一局的比赛，先获胜两局者为优胜者，比赛结束．已知每局比赛均无平局，且甲赢乙的概率为13 ，甲赢丙的概率为13 ，乙赢丙的概率为12.(1) 若甲、乙两人打第一局，求丙成为优胜者的概率； (2) 求恰好打完2局结束比赛的概率．已知双曲线C过点(3，2)，且C的渐近线方程为y＝±33x.(1) 求C的方程；(2) 设A为C的右顶点，过点P(－23，0)的直线与圆O：x2＋y2＝3交于点M，N，直线AM，AN与C的另一交点分别为D，E，求证：直线DE过定点．已知0＜a＜1，函数f(x)＝x＋a x－1，g(x)＝x＋1＋log a x.(1) 若g(e)＝e，求函数f(x)的极小值；(2) 若函数y＝f(x)－g(x)存在唯一的零点，求a的取值范围．2022～2023学年高三年级模拟试卷(海安)数学参考答案及评分标准1. B2. D3. C4. C5. A6. B7. B8. D9. AB 10. BD 11. BD 12. BC13. 24 14. 25 15. 2(答案不唯一，－6也正确) 16. 5 65103 π17. 解：(1) 设等差数列a 1，a 2，a 3，…，a 6的公差为d .因为a 2＝－10，a 6＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝－10，a 1＋5d ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－13，d ＝3，所以a n ＝－13＋(n －1)×3＝3n －16(1≤n ≤5，n ∈N *).(3分)设等比数列a 5，a 6，a 7，…的公比为q ，则q ＝a 6a 5 ＝2－1＝－2，所以a n ＝－(－2)n －5(n ≥6，n ∈N *).综上，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n －16，1≤n ≤5，－（－2）n －5，n ≥6， n ∈N *.(5分) (2) 由(1)知，当n ≤5时，a n ＜0，要使S n ＞0，则n ≥6，(6分)此时S n ＝(a 1＋a 2＋…＋a 5)＋(a 6＋…＋a n )＝5×(－13)＋5×42 ×3＋2[1－（－2）n －5]1－（－2）＝－35＋2[1－（－2）n －5]3.(8分)由S n ＞0，得(－2)n －5＜－1032，所以(n －5)必为奇数，此时2n －5＞1032，所以n －5的最小值为7，所以n 的最小值为12.(10分)18. 解：(1) 设圆O 的半径为R .在△ABD 中，由余弦定理BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos ∠BAD ，得BD 2＝32＋52－2×3×5×(－12)＝49，所以BD ＝7.(3分)在圆O 的内接△ABD 中，由正弦定理，得2R ＝BD sin ∠BAD ＝7sin 120°＝1433 ，故R ＝733 ，所以圆O 的半径为733.(6分)(2) 因为四边形ABCD 内接于圆O ，所以∠BAD ＋∠BCD ＝180°. 又∠BAD ＝120°，故∠BCD ＝60°.因为AC 平分∠BAD ，所以∠BAC ＝60°.(8分)(解法1)因为AC 平分∠BAD ，所以BC ＝CD ，所以BC ＝CD .又因为∠BCD ＝60°，所以△BCD 为正三角形，所以BC ＝BD ＝7.(10分)(解法2)在圆O 的内接△ABC 中，由正弦定理，得BCsin ∠BAC＝2R .所以BC ＝2R ·sin 60°＝1433 ×32＝7.(10分)在△ABC 中，由余弦定理BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠BAC ， 得72＝32＋AC 2－2×3×AC ×cos 60°，即AC 2－3AC －40＝0，解得AC ＝8或AC ＝－5， 因为AC ＞0，所以AC ＝8，所以AC 的长为8.(12分)19. (1) 证明：由菱形ABCD 知，D ′A ＝D ′C ，又E 为AC 的中点，所以D ′E ⊥AC ， 同理，可得BE ⊥AC .(2分)因为D ′E, BE ⊂平面BD ′E, D ′E ∩BE ＝E ，所以AC ⊥平面BD ′E . 因为AC ⊂平面ABC ，所以平面BD ′E ⊥平面ABC .(4分)(2) 解：过点D ′作D ′H ⊥BE 交BE 于点H ，由(1) 知，平面BD ′E ⊥平面ABC .又平面BD ′E ∩平面ABC ＝BE ，D ′H ⊂平面D ′BE, 所以D ′H ⊥平面ABC .(6分)因为三棱锥D ′ABC 的体积为223 ，所以13 ×34 ×22×D ′H ＝223 ，解得D ′H ＝263 .(8分)在Rt △D ′EH 中，D ′E ＝3 ， 所以EH ＝33 ，于是BH ＝BE －EH ＝233. (解法1)如图，以E 为坐标原点，EA ，EB 分别为x 轴、y 轴，过点E 与平面ABC 垂直的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则A (1，0，0)，B (0，3 ，0)，D ′(0，33 ，263)，所以AB →＝(－1，3 ，0)，BD ′→＝(0，－233 ，263).设平面D ′AB 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则n ·AB → ＝0，n ·BD ′→＝0，即－x ＋3 y ＝0，－233y ＋263z ＝0，令x ＝6 ，得y ＝2 ，z ＝1，所以n ＝(6 ，2 ，1).(10分)又平面ABC 的一个法向量m ＝(0，0，1)，所以cos 〈n ，m 〉＝n·m|n |×|m | ＝19×1 ＝13，所以二面角D ′ABC 的余弦值为13.(12分)(解法2)过点H 作HF ⊥AB 交AB 于点F ，连接D ′F .因为D ′H ⊥平面ABC ，根据三垂线定理，得AB ⊥D ′F ， 所以∠D ′FH 是二面角D ′ABC 的平面角．(10分)在Rt △BFH 中，HF ＝BH sin 30°＝33.在Rt △D ′HF 中，D ′F ＝D ′H 2＋HF 2 ＝3 ，所以cos ∠D ′FH ＝HF D ′F ＝13 ，所以二面角D ′ABC 的余弦值为13.(12分)20. 解：(1) 记“第i 局甲胜、乙胜、丙胜”分别为事件A i ，B i ，C i ，i ＝1，2，3，4，记“丙成为优胜者”为事件D ，则D ＝A 1C 2C 3＋B 1C 2C 3，(2分)所以P (D )＝P (A 1C 2C 3＋B 1C 2C 3)＝P (A 1C 2C 3)＋P (B 1C 2C 3) ＝P (A 1)P (C 2|A 1)P (C 3|A 1C 2)＋P (B 1)P (C 2|B 1)P (C 3|B 1C 2)(4分) ＝13 ×(1－13 )×(1－12 )＋(1－13 )×(1－12 )×(1－13 )＝19 ＋29 ＝13， 所以丙成为优胜者的概率是13.(6分)(2) 记“甲、乙打第一局“为事件A ，“甲、丙打第一局”为事件B ，“乙、丙打第一局”为事件C ，“恰打完2局比赛结束”为事件E ，其中A ，B ，C 两两互斥，且和为样本空间，依题意，P (A )＝P (B )＝P (C )＝13.所以P (E |A )＝P (A 1A 2＋B 1B 2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)P (A 2|A 1)＋P (B 1)P (B 2|B 1) ＝13 ×13 ＋23 ×12 ＝49. 同理可得，P (E |B )＝13 ×13 ＋23 ×12 ＝49 ，P (E |C )＝12 ×23 ＋12 ×23 ＝23.(9分)根据全概率公式知，P (E )＝P (AE )＋P (BE )＋P (CE )＝P (E |A )P (A )＋P (E |B )P (B )＋P (E |C )P (C )＝49 ×13 ＋49 ×13 ＋23 ×13 ＝1427， 所以恰好打完2局结束比赛的概率为1427 .(12分)21. (1) 解：当x ＝3时，代入y ＝33x ，得y ＝3 ＞2 ，所以双曲线C 的焦点在x 轴上．(2分)不妨设双曲线C 的方程为x 23－y 2＝λ(λ＞0)，将点(3，2 )代入，得λ＝1，所以C 的方程为x 23－y 2＝1.(4分)(2) 证明：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，由(1)知A (3 ，0).(5分)因为P ，M ，N 三点共线，所以y 1x 1＋23 ＝y 2x 2＋23(不妨记为k ).则(x 1＋23 )y 2－(x 2＋23 )y 1＝0，即x 1y 2－x 2y 1＝23 (y 1－y 2).(6分)设直线AM 的方程为y ＝y 1x 1－3(x －3 ).由⎩⎨⎧y ＝y 1x 1－3（x －3），x23－y 2＝1 消去y 并整理，得(2x 21 －3 x 1－3)x 2＋33 y 21 x ＋3(x 21 ＋3 x 1－6)＝0.则3 x 3＝3（x 1－3）（x 1＋23）（x 1－3）（2x 1＋3） ，故x 3＝3（x 1＋23）2x 1＋3 ，y 3＝－3y 12x 1＋3.(8分)同理可得，x 4＝3（x 2＋23）2x 2＋3 ，y 4＝－3y 22x 2＋3.所以直线DE 的斜率＝－3y 12x 1＋3＋3y 22x 2＋33（x 1＋23）2x 1＋3－3（x 2＋23）2x 2＋3＝2（x 1y 2－x 2y 1）＋3（y 2－y 1）33（x 2－x 1）＝43（y 1－y 2）＋3（y 2－y 1）33（x 2－x 1）＝－y 2－y 1x 2－x 1 ＝－k .(10分)所以直线DE 的方程为y ＋3y 12x 1＋3 ＝－k [x －3（x 1＋23）2x 1＋3]，即y ＝－kx ＋3k （x 1＋23）2x 1＋3 －3y 12x 1＋3.又因为y 1＝k (x 1＋23 )，所以y ＝－kx .所以直线DE 过定点(0，0).(12分)22. 解：(1)由g (e)＝e ，得e ＋1＋log a e ＝e ，即log a e ＝－1，所以a ＝1e.(1分)所以f (x )＝x ＋e 1－x ，则f ′(x )＝1－e 1－x ，令f ′(x )＝0，得x ＝1.(3分) 当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＜0，故f (x )在(－∞，1)上单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(1，＋∞)上单调递增， 所以函数f (x )的极小值为f (1)＝2.(5分)(2) 记p (x )＝f (x )－g (x )＝a x －1－log a x －1，因为0＜a ＜1，所以ln a ＜0，则p ′(x )＝a x －1ln a －1x ln a ＝xa x －1ln 2a －1x ln a.记q (x )＝xa x －1ln 2a －1，则q ′(x )＝(a x －1＋xa x －1ln a )ln 2a ＝(1＋x ln a )a x －1ln 2a .令q ′(x )＝0，得x ＝－1ln a，记其为t (t ＞0)，此时a ＝e －1t .当x ∈(0，t )时，q ′(x )＞0，故q (x )在(0，t )上单调递增；当x ∈(t ，＋∞)时，q ′(x )＜0，故q (x )在(t ，＋∞)上单调递减，所以q (x )在x ＝t 处取得极大值q (t )＝t (e －1t )t －1(－1t )2－1＝1te 1t －1－1.(7分)不难发现函数y ＝1t e 1t －1－1在t ∈(0，＋∞)上单调递减，且正数零点为1.当t ≥1，即1e≤a ＜1时，有q (t )≤0，故p ′(x )≥0, 所以p (x )单调递增．又p (1)＝0，所以函数p (x )有唯一的零点，所以1e≤a ＜1.(9分)当0＜t <1，即0<a ＜1e时，有q (t )>0，因为q (1)＝ln 2a －1＞0，q (1a )＝1a ·a 1a －1·ln 2a －1＜0(*)，所以q (x )在区间(1，1a)内存在唯一零点，记为x 0， 所以p (x )在(1，x 0)上单调递减，在(x 0，1a)上单调递增．因为p (x 0)＜p (1)＝0，p (1a )＝a 1a －1＞0，所以函数p (x )在区间(x 0，1a)内存在唯一的零点，记为x ′0(x ′0＞x 0＞1)，这与p (1)＝0矛盾，所以0＜a ＜1e 不符合题意，故舍去．综上，a 的取值范围是[1e，1).(12分)附(*)：q (1a )＝1a ·a 1a －1·ln 2a －1＝a 1a －2·ln 2a －1＝(a 12a －1·ln a －1)(a 12a －1·ln a ＋1).易知a 12a －1·ln a －1＜0，又a 12a －1·ln a ＋1＝－(1a )1－12a ln 1a＋1.若－(1a )1－12a ln 1a ＋1＞0，则(1a )1－12a ln 1a ＜1.令t ＝1a，t ＞e ，则t 1－t 2 ln t ＜1，即ln (t 1－t2ln t )＜0，从而(1－t 2 )ln t ＋ln (ln t )＜0，又(1－t 2 )ln t ＋ln (ln t )＜(1－t 2 )ln t ＋ln t －1＝(2－t2)ln t－1.令φ(t )＝(2－t 2 )ln t －1，t ＞e ，则φ′(t )＝－12 ln t ＋(2－t 2 )1t ＝－12 ln t ＋2t －12 ，又φ″(t )＝－12t －2t2 ＜0，故φ′(t )在(e ，＋∞)上单调递减，所以φ′(t )＜φ′(e)＝－1＋2e ＜0，所以φ(t )在(e ，＋∞)上单调递减，所以φ(t )＜φ(e)＝1－e 2 ＜0，所以q (1a)＜0.注：缺少(*)式证明，扣1分。
2023-2024学年江苏省连云港市高三(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省连云港市高三（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数z 满足（1+i ）•z ＝i ，则此复数z 的虚部为（ ） A ．12B ．−12C ．12iD ．−12i2．已知集合S ＝{x |x ＝k −12，k ∈Z }，T ＝{x |x ＝2k +12，k ∈Z }，则S ∩T ＝（ ）A ．SB ．TC ．ZD ．R3．随机变量X ～N （2，σ2），若P （X ≤1.5）＝m ，P （2≤X ≤2.5）＝1﹣3m ，则P （X ≤2.5）＝（ ） A ．0.25B ．0.5C ．0.75D ．0.854．图1是蜂房正对着蜜蜂巢穴开口的截面图，它是由许多个正六边形互相紧挨在一起构成．可以看出蜂房的底部是由三个大小相同的菱形组成，且这三个菱形不在一个平面上．研究表明蜂房底部的菱形相似于菱形十二面体的表面菱形，图2是一个菱形十二面体，它是由十二个相同的菱形围成的几何体，也可以看作正方体的各个正方形面上扣上一个正四棱锥（如图3），且平面ABCD 与平面ATBS 的夹角为45°，则cos ∠ASB ＝（ ）A ．√22B ．√32 C ．13D ．2√235．某学校广播站有6个节目准备分2天播出，每天播出3个，其中学习经验介绍和新闻报道两个节目必须在第一天播出，谈话节目必须在第二天播出，则不同的播出方案共有（ ） A ．108种B ．90种C ．72种D ．36种6．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的左顶点为M ，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线交C 于A ，B 两点，若∠AMB 为锐角，则C 的离心率的取值范围是（ ） A ．（1，√3）B ．（1，2）C ．（√3，+∞）D ．（2，+∞）7．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝4，A =π3，且BE 为边AC 上的高，AD 为边BC 上的中线，则AD →•BE →的值为（ ）A ．2B ．﹣2C ．6D ．﹣68．已知a ＝ln 3，b ＝log 2e ，c =6(2−ln2)e，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022-2023学年江苏省各地高三数学第一学期期末考试试题含解析
2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知命题p ：“关于x 的方程240x x a -+=有实根”，若p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[)1,+∞B ．1,C ．(),1-∞D ．(],1-∞2．已知纯虚数z 满足()122i z ai -=+，其中i 为虚数单位，则实数a 等于（ ） A ．1-B ．1C ．2-D ．23．已知函数()2()2ln (0)f x a e x x a =->，1,1D e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦若所有点(,())s f t ，(,)s t D ∈所构成的平面区域面积为2e 1-，则a =（ ）A ．eB ．1e 2- C ．1D ．2e e - 4．某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[20,40)（单位：元）的同学有34人，则n 的值为（ ）A ．100B ．1000C ．90D ．905．明代数学家程大位（1533~1606年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若输出的y 的值为2，则输入的x 的值为（ ）A ．74B ．5627C ．2D ．164816．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点()()0,0E t t >.已知动点P 在双曲线C 的右支上，且点2,,P E F 不共线.若2PEF ∆的周长的最小值为4b ，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．23,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭B ．231,3⎛⎤⎥ ⎝⎦C ．)3,⎡+∞⎣D ．(1,3⎤⎦7．如图在直角坐标系xOy 中，过原点O 作曲线()210y x x =+≥的切线，切点为P ，过点P 分别作x 、y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，在矩形OAPB 中随机选取一点，则它在阴影部分的概率为（ ）A ．16B ．15C ．14D ．128．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗为十升).问，米几何？”下图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S =15(单位：升)，则输入的k 的值为（ ） A ．45B ．60C ．75D ．1009．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（ ）（注：2222(1)(21)1236n n n n ++++++=）A ．1624B ．1024C ．1198D ．156010．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1512,90a S ==，则等差数列{}n a 公差d =（ ） A ．2B ．32C ．3D ．411．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中错误的是（ ） A ．若m //α，α//β，则m //β或m β⊂B ．若m //n ，m //α，n α⊄，则n //αC ．若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥D ．若m n ⊥，m α⊥，则n //α 12．设全集U=R ，集合()2log 41{|}A x x =-≤，()()35{|}0B x x x =-->，则()U B A =（ ）A ．[2]5，B ．[2]3，C ．[)24，D ．[)34，二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省南通市高三(上)期末数学试卷 (1)
江苏省南通市高三（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．（5分）已知集合A＝{1，3，5}，B＝{2，3}，则集合A∪B中的元素个数为．2．（5分）已知复数z＝a+3i（i为虚数单位），若z2是纯虚数，则实数a的值为．3．（5分）已知双曲线C：x2﹣y2＝1，则点（4，0）到C的渐近线的距离为．4．（5分）已知命题p：x＞4，命题q：x2﹣5x+4≥0，那么p是q的条件（选填“充分不必要”、“充要”、“既不充分也不必要”）．5．（5分）函数f（x）＝的定义域为．6．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则A＝．7．（5分）设等差数列{a n}的公差为d，其前n项和为S n，若a4+a10＝0，2S12＝S2+10，则d 的值为．8．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1﹣BB1D1D的体积为．9．（5分）已知函数f（x）＝sin x（x∈[0，π]）和函数g（x）＝tan x的图象相交于A，B，C三点，则△ABC的面积为．10．（5分）设m，n为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，给出下列命题：①若m∥α，m∥β，则α∥β；②若m⊥α，m∥β，则α⊥β；③若m∥α，m∥n，则n∥α；④若m⊥α，α∥β，则m⊥β．其中的正确命题序号是．11．（5分）设x＞0，y＞0，向量＝（1﹣x，4），＝（x，﹣y），若∥，则x+y的最小值为．12．（5分）已知函数f（x）＝e x﹣e﹣x﹣2x，则不等式f（x2﹣4）+f（3x）＞0的解集为．13．（5分）已知函数，若函数g（x）＝f（x）﹣a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是．14．（5分）已知直线l：y＝kx+3与圆C：x2+y2﹣2y＝0无公共点，AB为圆C的直径，若在直线l上存在点P使得，则直线l的斜率k的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，计90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点．（1）求的值；（2）若角β满足，求cosβ的值．16．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B为菱形，且∠A1AB＝60°，AC＝BC，D是AB的中点．（1）求证：BC1∥平面A1DC；（2）求证：平面A1DC⊥平面ABC．17．（14分）已知椭圆的左右焦点坐标为，且椭圆E经过点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设点M是椭圆E上位于第一象限内的动点，A，B分别为椭圆E的左顶点和下顶点，直线MB与x轴交于点C，直线MA与y轴交于点D，求四边形ABCD的面积．18．（16分）某海警基地码头O的正西方向30海里处有海礁界碑A，过点A且与AO成60°角（即北偏东30°）的直线l为此处的一段领海与公海的分界线（如图所示）．在码头O 的正西方向且距离O点12海里的领海海面P处有一艘可疑船停留，基地指挥部决定在测定可疑船的行驶方向后，海警巡逻艇从O处即刻出发．若巡逻艇以可疑船的航速的λ倍（λ＞1）前去拦截，假定巡逻艇和可疑船在拦截过程中均未改变航向航速，将在点Q 处截获可疑船．（1）若可疑船的航速为10海里/小时，λ＝2，且可疑船沿北偏西30°的方向朝公海逃跑，求巡逻艇成功拦截可疑船所用的时间．（2）若要确保在领海内（包括分界线）成功拦截可疑船，求λ的最小值．19．（16分）已知函数f（x）＝ax3+bx2+4a，（a，b为常数）（1）若a＝1，b＝3．①求函数f（x）在区间[﹣4，2]上的最大值及最小值．②若过点（1，t）可作函数f（x）的三条不同的切线，求实数t的取值范围．（2）当x∈[1，4]时，不等式0≤f（x）≤4x2恒成立，求a+b的取值范围．20．（16分）已知正项等比数列{a n}的前n项和为，且a3＝a2+2，a2•a4＝16．数列{b n}的前n项和为T n，且．（1）求数列{a n}的通项公式及其前n项和S n；（2）证明数列{b n}为等差数列，并求出{b n}的通项公式；（3）设数列，问是否存在正整数m，n，l（m＜n＜l），使得c m，c n，c l成等差数列，若存在，求出所有满足要求的m，n，l；若不存在，请说明理由．三、附加卷21．[选做题]已知二阶矩阵M属于特征值3的一个特征向量为，并且矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）变成点（9，15），求出矩阵M．22．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2sinθ，直线l的参数方程是（t为参数）．设直线l与x轴的交点是M，N是曲线C上一动点，求MN的最大值．23．某市有A，B，C，D四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A的概率为，游览B、C和D的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立．（1）求该游客至多游览一个景点的概率；（2）用随机变量X表示该游客游览的景点的个数，求X的概率分布和数学期望E（X）．24．已知抛物线C：y2＝2px经过点P（1，2），过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O为原点，＝λ，＝μ，求证：+为定值．江苏省南通市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．（5分）已知集合A＝{1，3，5}，B＝{2，3}，则集合A∪B中的元素个数为4．【解答】解：∵集合A＝{1，3，5}，B＝{2，3}，∴A∪B＝{1，2，3，5}，∴集合A∪B中的元素个数为4．故答案为：4．2．（5分）已知复数z＝a+3i（i为虚数单位），若z2是纯虚数，则实数a的值为±3．【解答】解：∵z＝a+3i，∴z2＝（a+3i）2＝（a2﹣9）+6ai，由z2是纯虚数，得，解得：a＝±3．故答案为：±3．3．（5分）已知双曲线C：x2﹣y2＝1，则点（4，0）到C的渐近线的距离为2．【解答】解：双曲线C：x2﹣y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，点（4，0）到C的渐近线的距离为d＝＝2．故答案为：2．4．（5分）已知命题p：x＞4，命题q：x2﹣5x+4≥0，那么p是q的充分不必要条件（选填“充分不必要”、“充要”、“既不充分也不必要”）．【解答】解：命题q：x2﹣5x+4≥0⇔x≤1，或x≥4，∵命题p：x＞4；故p是q的：充分不必要条件，故答案为：充分不必要5．（5分）函数f（x）＝的定义域为[e2，+∞）．【解答】解：要使f（x）有意义，则：lnx﹣2≥0；∴x≥e2；∴f（x）的定义域为：[e2，+∞）．故答案为：[e2，+∞）．6．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则A＝．【解答】解：∵，∴由正弦定理，可得：sin B＝＝＝，∵b＜c，B∈（0，），∴B＝，∴A＝π﹣B﹣C＝π﹣﹣＝．故答案为：．7．（5分）设等差数列{a n}的公差为d，其前n项和为S n，若a4+a10＝0，2S12＝S2+10，则d 的值为﹣10．【解答】解：由a4+a10＝0，2S12＝S2+10，可得，解得d＝﹣10，故答案：﹣108．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1﹣BB1D1D的体积为．【解答】解：由题意可知四棱锥A1﹣BB1D1D的底面是矩形，边长：1和，四棱锥的高：A1C1＝．则四棱锥A1﹣BB1D1D的体积为：＝．故答案为：．9．（5分）已知函数f（x）＝sin x（x∈[0，π]）和函数g（x）＝tan x的图象相交于A，B，C三点，则△ABC的面积为π．【解答】解：根据题意，令sin x＝tan x，即sin x（1﹣）＝0，解得sin x＝0，或1﹣＝0，即sin x＝0或cos x＝．又x∈[0，π]，∴x＝0或x＝π，或x＝arccos，∴点A（0，0），B（π，0），C（arccos，），∴△ABC的面积为•|AB|•|y C|＝＝π，故答案为：．10．（5分）设m，n为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，给出下列命题：①若m∥α，m∥β，则α∥β；②若m⊥α，m∥β，则α⊥β；③若m∥α，m∥n，则n∥α；④若m⊥α，α∥β，则m⊥β．其中的正确命题序号是②④．【解答】解：由m，n为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，知：在①中，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故①错误；在②中，若m⊥α，m∥β，则由面面垂直的判断定理得α⊥β，故②正确；在③中，若m∥α，m∥n，则n∥α或n⊂α，故③错误；在④中，若m⊥α，α∥β，则由线面垂直的判定定理得m⊥β，故④正确．故答案为：②④．11．（5分）设x＞0，y＞0，向量＝（1﹣x，4），＝（x，﹣y），若∥，则x+y的最小值为9．【解答】解：因为∥，所以4x+（1﹣x）y＝0，又x＞0，y＞0，所以+＝1，故x+y＝（+）（x+y）＝5++≥9．当＝，+＝1同时成立，即x＝3，y＝6时，等号成立．（x+y）min＝9．故答案为：9．12．（5分）已知函数f（x）＝e x﹣e﹣x﹣2x，则不等式f（x2﹣4）+f（3x）＞0的解集为{x|x ＞1或x＜﹣4}．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝e x﹣e﹣x﹣2x，有f（﹣x）＝e﹣x﹣e x﹣2（﹣x）＝﹣（e x﹣e﹣x﹣2x）＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，又由f′（x）＝e x+e﹣x﹣2＝e x+﹣2≥0，即函数f（x）在R上为增函数，则f（x2﹣4）+f（3x）＞0⇒f（x2﹣4）＞﹣f（3x）⇒f（x2﹣4）＞﹣f（3x）⇒f（x2﹣4）＞f（﹣3x）⇒x2﹣4＞﹣3x，即x2+3x﹣4＞0，解可得：x＞1或x＜﹣4，故答案为：{x|x＞1或x＜﹣4}．13．（5分）已知函数，若函数g（x）＝f（x）﹣a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（1，2]．【解答】解：函数g（x）＝f（x）﹣a有三个不同的零点，即方程f（x）﹣a＝0有三个不同的实数根，作出y＝f（x）与y＝a的图象如图：由图可知，要使函数g（x）＝f（x）﹣a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（1，2]．故答案为：（1，2]．14．（5分）已知直线l：y＝kx+3与圆C：x2+y2﹣2y＝0无公共点，AB为圆C的直径，若在直线l上存在点P使得，则直线l的斜率k的取值范围是（﹣，﹣1]∪[1，）．【解答】解：直线l：y＝kx+3与圆C：x2+y2﹣2y＝0无公共点，可得＞1，解得﹣＜k＜，设P（m，n），由题意可得+＝2，两边平方可得2+2+2•＝42，即为2[m2+（n﹣1）2+1]+2＝4（m2+（n﹣1）2），化为m2+（n﹣1）2＝2，即有P在直线l上，又在圆x2+（y﹣1）2＝2上，可得≤，解得k≥1或k≤﹣1，综上可得k∈（﹣，﹣1]∪[1，）．故答案为：（﹣，﹣1]∪[1，）．二、解答题（本大题共6小题，计90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点．（1）求的值；（2）若角β满足，求cosβ的值．【解答】解：（1）∵角α的终边经过点，∴∴…………（4分）∴…………（7分）（2）∵，∴…………（9分）∵β＝（α+β）﹣α，∴cosβ＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα∴当时，；…………（11分）当时，…………（13分）综上所述：或…………（14分）16．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B为菱形，且∠A1AB＝60°，AC＝BC，D是AB的中点．（1）求证：BC1∥平面A1DC；（2）求证：平面A1DC⊥平面ABC．【解答】（1）证明：连结C1A，设AC1∩A1C＝E，连结DE．∵三棱柱的侧面AA1C1C是平行四边形，∴E为AC1中点在△ABC1中，又∵D是AB的中点，∴DE∥BC1．∵DE⊂平面A1DC，BC1不包含于平面A1DC，∴BC1∥平面A1DC（2）证明：∵ABB1A1为菱形，且∠A1AB＝60°，∴△A1AB为正三角形∵D是AB的中点，∴AB⊥A1D．∵AC＝BC，D是AB的中点，∴AB⊥CD．∵A1D∩CD＝D，∴AB⊥平面A1DC．∵AB⊂平面ABC，∴平面A1DC⊥平面ABC．17．（14分）已知椭圆的左右焦点坐标为，且椭圆E经过点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设点M是椭圆E上位于第一象限内的动点，A，B分别为椭圆E的左顶点和下顶点，直线MB与x轴交于点C，直线MA与y轴交于点D，求四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）因为椭圆焦点坐标为，且过点，所以，所以a＝2，…………（3分）从而，故椭圆的方程为．…………（6分）（2）设点M（x0，y0）（0＜x0＜2，0＜y0＜1），C（m，0），D（0，n），因为A（﹣2，0），且A，D，M三点共线，所以，解得，所以，…………（8分）同理得，…………（10分）因此，＝，…………（12分）因为点M（x0，y0）在椭圆上，所以，即，代入上式得：．∴四边形ABCD的面积为2．…………（14分）18．（16分）某海警基地码头O的正西方向30海里处有海礁界碑A，过点A且与AO成60°角（即北偏东30°）的直线l为此处的一段领海与公海的分界线（如图所示）．在码头O 的正西方向且距离O点12海里的领海海面P处有一艘可疑船停留，基地指挥部决定在测定可疑船的行驶方向后，海警巡逻艇从O处即刻出发．若巡逻艇以可疑船的航速的λ倍（λ＞1）前去拦截，假定巡逻艇和可疑船在拦截过程中均未改变航向航速，将在点Q 处截获可疑船．（1）若可疑船的航速为10海里/小时，λ＝2，且可疑船沿北偏西30°的方向朝公海逃跑，求巡逻艇成功拦截可疑船所用的时间．（2）若要确保在领海内（包括分界线）成功拦截可疑船，求λ的最小值．【解答】解：（1）因为巡逻艇的航速是可疑船的航速的2倍，可疑船的航速为10海里/小时，所以巡逻艇的航速为20海里/小时，且OQ＝2PQ，设PQ＝a，则OQ＝2a；又可疑船沿北偏西30°的方向朝公海逃跑，所以∠QPO＝120°，…………（2分）在△OPQ中，有OQ2＝OP2+PQ2﹣2OP•PQ cos∠OPQ，即4a2＝a2+144﹣2×12a cos120°，故a2﹣4a﹣48＝0，解得（负值舍去）；……（5分）所以巡逻艇成功拦截可疑船所用时间为小时；…………（7分）（2）以O为坐标原点，AO的方向为x轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，则P（﹣12，0），A（﹣30，0），设Q（x，y），因为巡逻艇的航速是可疑船的航速的λ倍，所以OQ＝λPQ，故x2+y2＝λ2[（x+12）2+y2]，即；故可疑船被截获的轨迹是以为圆心，以为半径的圆；…………（10分）又直线l的方程为，即，要确保在领海内（包括分界线）成功拦截可疑船，则：圆心在直线下方，且Q的轨迹与直线l至多只有一个公共点，所以且；…………（13分）即，解得，故要确保在领海内（包括分界线）成功拦截可疑船，则．…………（16分）19．（16分）已知函数f（x）＝ax3+bx2+4a，（a，b为常数）（1）若a＝1，b＝3．①求函数f（x）在区间[﹣4，2]上的最大值及最小值．②若过点（1，t）可作函数f（x）的三条不同的切线，求实数t的取值范围．（2）当x ∈[1，4]时，不等式0≤f （x ）≤4x 2恒成立，求a +b 的取值范围．【解答】解：（1）因为a ＝1，b ＝3，所以f （x ）＝x 3+3x 2+4，从而f '（x ）＝3x 2+6x ．①令f '（x ）＝0，解得x ＝﹣2或x ＝0，列表：x﹣4（﹣4，﹣2）﹣2（﹣2，0）0（0，2）2f '（x ）+﹣+f （x ）﹣12↗8↘4↗24所以，f （x ）max ＝f （2）＝24，f （x ）min ＝﹣12．…………（4分）②设曲线f （x ）切线的切点坐标为，则，故切线方程为，因为切线过点（1，t ），所以，即，…………（6分）令，则，所以，当x 0∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）时，g '（x 0）＞0，此时g （x 0）单调递增，当x 0∈（﹣1，1）时，g '（x 0）＜0，此时g （x 0）单调递减，所以g （x 0）极小值＝g （1）＝t ﹣8，g （x 0）极大值＝g （﹣1）＝t ，要使过点（1，t ）可以作函数f （x ）的三条切线，则需，解得0＜t ＜8．…………（9分）（2）当x ∈[1，4]时，不等式0≤ax 3+bx 2+4a ≤4x 2等价于，………（11分）令，则，所以，当x ∈（1，2）时，h '（x ）＜0，此时函数单调递减；当x ∈（2，4）时，h '（x ）＞0，此时函数单调递增，故h （x ）min ＝3，h （x ）max ＝5．…………（13分）若a＝0，则0≤b≤4，此时0≤a+b≤4；若a≠0，则，从而a+b＝2（3a+b）﹣（5a+b）∈[﹣4，8]；综上可得﹣4≤a+b≤8．…………（16分）20．（16分）已知正项等比数列{a n}的前n项和为，且a3＝a2+2，a2•a4＝16．数列{b n}的前n项和为T n，且．（1）求数列{a n}的通项公式及其前n项和S n；（2）证明数列{b n}为等差数列，并求出{b n}的通项公式；（3）设数列，问是否存在正整数m，n，l（m＜n＜l），使得c m，c n，c l成等差数列，若存在，求出所有满足要求的m，n，l；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设正项等比数列{a n}的公比为q（q＞0），则由a2•a4＝16，得，从而a3＝4，又由a3＝a2+2，得a2＝2，因此，，所以，．（2）方法一：因为，所以，从而数列是以为首项，为公差的等差数列，故，故，当n≥2时，，且n＝1时适合，因此，b n＝n，从而当n≥2时，b n﹣b n﹣1＝1为常数，所以，数列{b n}为等差数列．方法二：因为，所以，当n≥2时，有，两式相减得：nT n+1＝2nT n﹣nT n﹣1+n，即T n+1＝2T n﹣T n﹣1+1，故T n+1﹣T n＝T n﹣T n﹣1+1，即b n+1＝b n+1，又由得T2＝2T1+1＝3，从而b2＝T2﹣T1＝2，故b2﹣b1＝1，所以，数列{b n}为等差数列．（3）因为，所以，假设存在存在正整数m，n，l（m＜n＜l），使得c m，c n，c l成等差数列，则，即，令，则原问题等价于存在正整数m'，n'，l'（3≤m'＜n'＜l'），使得，即2d n'＝d m'+d l'成立．因为（因为n≥3），故数列{d n}单调递增，若l'﹣n'≥2，即l'≥n'+2，则d l'≥d n'+2，从而，即d l'＞2d n'，而2d n'＝d m'+d l'，因此，d m'＜0，这与d m'＞0恒成立矛盾，故只能有l'﹣n'＝1，即l'＝n'+1，从而，故，即，（*）①若n'为奇数，则记，从而，因为数列单调递增，所以数列单调递减，故当n'≥4时，，而2m'∈N*，故t∉N，因此，（*）式无正整数解．②若n'为偶数，则记，即，同理可得（*）无正整数解．综上，不存在存在正整数m'，n'，l'（3≤m'＜n'＜l'），使得c m'，c n'，c l'成等差数列，也即不存在正整数m，n，l（m＜n＜l），使得c m，c n，c l成等差数列．三、附加卷21．[选做题]已知二阶矩阵M属于特征值3的一个特征向量为，并且矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）变成点（9，15），求出矩阵M．【解答】解：设，由题意有，，且，∴，解得，∴．22．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2sinθ，直线l的参数方程是（t为参数）．设直线l与x轴的交点是M，N是曲线C上一动点，求MN的最大值．【解答】解：曲线C的极坐标方程可化为ρ2＝2ρsinθ．又x2+y2＝ρ2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2y＝0．将直线l的参数方程消去t化为直角坐标方程：，令y＝0，得x＝2，即M点的坐标为（2，0）．又曲线C的圆心坐标为（0，1），半径r＝1，则，∴．23．某市有A，B，C，D四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A的概率为，游览B、C和D的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立．（1）求该游客至多游览一个景点的概率；（2）用随机变量X表示该游客游览的景点的个数，求X的概率分布和数学期望E（X）．【解答】解：（1）记“该游客游览i个景点”为事件A i，则i＝0，1；所以，；所以该游客至多游览一座山的概率为；…………（4分）（2）由题意知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4；计算，，，，，所以X的概率分布为：X01234P…………（8分）数学期望为；答：X的数学期望为．…………（10分）24．已知抛物线C：y2＝2px经过点P（1，2），过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O为原点，＝λ，＝μ，求证：+为定值．【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线C：y2＝2px经过点P（1，2），∴4＝2p，解得p＝2，设过点（0，1）的直线方程为y＝kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）联立方程组可得，消y可得k2x2+（2k﹣4）x+1＝0，∴△＝（2k﹣4）2﹣4k2＞0，且k≠0解得k＜1，且k≠0，x1+x2＝﹣，x1x2＝，又∵PA、PB要与y轴相交，∴直线l不能经过点（1，﹣2），即k≠﹣3，故直线l的斜率的取值范围（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0）∪（0，1）；（Ⅱ）证明：设点M（0，y M），N（0，y N），则＝（0，y M﹣1），＝（0，﹣1）因为＝λ，所以y M﹣1＝﹣y M﹣1，故λ＝1﹣y M，同理μ＝1﹣y N，直线PA的方程为y﹣2＝（x﹣1）＝（x﹣1）＝（x﹣1），令x＝0，得y M＝，同理可得y N＝，因为+＝+＝+＝＝＝＝＝＝2，∴+＝2，∴+为定值．。
江苏省常州市高级中学2025届数学高三第一学期期末考试试题含解析
江苏省常州市高级中学2025届数学高三第一学期期末考试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线2222:1x y a bΓ-=(0,0)a b >>的一条渐近线为l ，圆22:()4C x c y -+=与l 相切于点A ，若12AF F ∆的面积为23，则双曲线Γ的离心率为（ ）A ．2B ．233C ．73D ．2132．已知向量()()1,2,2,2a b λ==-，且a b ⊥，则λ等于（ ） A ．4B ．3C ．2D ．13．若复数z 满足(1)12i z i +=+，则||z =( )A ．22B ．32C ．102D ．124．在平面直角坐标系xOy 中，已知角θ的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在直线2y x =上，则3sin 22πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．45 B ．45-C ．35D ．355．如图，这是某校高三年级甲、乙两班在上学期的5次数学测试的班级平均分的茎叶图，则下列说法不正确的是（ ）A ．甲班的数学成绩平均分的平均水平高于乙班B ．甲班的数学成绩的平均分比乙班稳定C ．甲班的数学成绩平均分的中位数高于乙班D ．甲、乙两班这5次数学测试的总平均分是1036．已知函数()f x 是R 上的偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，函数()f x 是单调递减函数，则()2log 5f ，31log 5f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()5log 3f 的大小关系是（ ）A ．()()3521log log 3log 55f f f <<⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()()3251log log 5log 35f f f <<⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()()5321log 3log log 55f f f ⎪<⎛⎫⎝⎭< D ．()()2351log 5log log 35f f f ⎪<⎛⎫⎝⎭< 7．为得到的图象，只需要将的图象（ ）A ．向左平移个单位B ．向左平移个单位C ．向右平移个单位D ．向右平移个单位8．已知集合1,2,3,4,6{}5,A =的所有三个元素的子集记为123,,,*,n B B B B n N ⋯∈．记i b 为集合i B 中的最大元素，则123n b b b b +++⋯+=（ ） A ．45B ．105C ．150D ．2109．设(1)1i z i +⋅=-，则复数z 的模等于( ) A ．2B ．2C ．1D ．310．已知数列{}n a 的通项公式为22n a n =+，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（ ）A ．10112020B ．20192020C ．20202021D ．1010202111．过抛物线22x py =（0p >）的焦点且倾斜角为α的直线交抛物线于两点A B ，.2AF BF =，且A 在第一象限，则cos2α=（ ）A ．55B ．35C ．79D ．23512．一个组合体的三视图如图所示（图中网格小正方形的边长为1），则该几何体的体积是（ ）A ．122π-B ．21π-C ．22π-D ．24π-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022-2023学年江苏省常州市高三数学第一学期期末考试试题含解析
2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知(2)f x +是偶函数，()f x 在(]2-∞，上单调递减，(0)0f =，则(23)0f x ->的解集是A ．2()(2)3-∞+∞，，B ．2(2)3，C ．22()33-，D ．22()()33-∞-+∞，， 2．如图，在圆锥SO 中，AB ，CD 为底面圆的两条直径，AB ∩CD ＝O ，且AB ⊥CD ，SO ＝OB ＝3，SE 14SB =.，异面直线SC 与OE 所成角的正切值为（ ）A ．222B ．53C ．1316D ．1133．下边程序框图的算法源于我国古代的中国剩余定理.把运算“正整数N 除以正整数m 所得的余数是n ”记为“(mod )N n m ≡”，例如71(mod 2)≡.执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）A ．16B ．17C ．18D ．194．若复数z 满足1(120)z i -=,则复数z 在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．已知双曲线2222:1(0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线E 上的一点，且212||PF PF =.若直线2PF 与双曲线E 的渐近线交于点M ，且M 为2PF 的中点，则双曲线E 的渐近线方程为( )A ．13y x =± B ．12y x =± C ．2y x =± D ．3y x =± 6．在311(21)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．77．若某几何体的三视图（单位:cm ）如图所示，则此几何体的体积是（ ）A ．36 cm 3B ．48 cm 3C ．60 cm 3D ．72 cm 3 8．已知下列命题： ①“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”；②已知,p q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题；③“2019a >”是“2020a >”的充分不必要条件；④“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题为真命题.其中真命题的序号为（ ）A ．③④B ．①②C ．①③D ．②④ 9．已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若弦AB的长为254，则AF BF =（ ）A ．2或12B ．3或13C ．4或14D ．5或15 10．复数12i i --的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限11．如图，圆锥底面半径为2，体积为223π，AB 、CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点，已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离等于（ ）A ．12B ．1C ．104D 5 12．复数()1z i i -=（i 为虚数单位），则z 的共轭复数在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省最新高三上学期期末数学试卷后附答案
江苏省最新高三上学期期末数学试卷后附答案1．设集合{}|0A x x =>，{}1|2B x x -=<≤，则A B =________．2．复数21i z =-，（其中i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数为_______． 3．命题“22,4x x∀≥≥”的否定是_______．4．从3男2女共5名学生中任选2人参加座谈会，则选出的2人恰好为1男1女的概率为________．5．根据如图所示的伪代码可知，输出的结果为________．6．已知向量()()2,1,1,1a b ==- ，若a b - 与ma b +垂直，则m 的值为________． 7．设不等式104x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩表示的平面区域为M ，若直线2y kx =-上存在M 内的点，则实数k 的取值范围是_______． 8．已知()()23,0,0x x f x g x x ⎧->⎪=⎨<⎪⎩是奇函数，则()()2f g -=________． 9．设公比不为1的等比数列{}n a 满足31218a a a =-，且2a ，4a ，3a 成等差数列，则数列{}n a 的前4项和为_______． 10．设()2πsin 2f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间为_______．11．已知圆锥的侧面展开图为一个圆心角为120︒，且面积为3π的扇形，则该圆锥的体积等于________.12．设P 为有公共焦点1F ，2F 的椭圆1C 与双曲线2C 的一个交点，且12PF PF ⊥，椭圆1C 的离心率为1e ，双曲线2C 的离心率为2e ，若123ee =，则1e =________．13．若函数()f x 在[](),m n m n <上的值域恰好为[],m n ，则称()f x 为函数的一个“等值映射区间”．下列函数：①21y x =-；②22log y x =+；③21x y =-；④11y x =-．其中，存在唯一一个“等值映射区间”的函数有_______个．14．已知0a >，0b >，2c >，且2a b +=，则2ac c c b ab +-+的最小值为________．15．（14分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2s i n c o s 12B C A ++=，D 为BC 上一点，且1344AD AB AC =+．（1）求sin A 的值； （2）若a =5b =，求AD 的长．16．（14分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，AP ⊥平面PCD ，E ，F 分别为PC ,AB 的中点．求证：（1）平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）EF ∥平面PAD ．17．（14分）某地拟在一个形水面()90PABQ A B ∠=∠=︒上修一条堤坝（E 在AP 上，N在BQ 上），围出一个封闭区域EABN ，用以种植水生植物．为了美观起见，决定从AB 上点M 处分别向点E ，N 拉2条分割线ME ，MN ，将所围区域分成3个部分（如图），每部分种植不同的水生植物．已知AB a =，EM BM =，90MEN ∠=︒，设所拉分割线总长度为l ．（1）设2AME θ∠=，求用θ表示的l 函数表达式，并写出定义域； （2）求l 的最小值． 18．（16分）已知椭圆22143x y +=，动直线l 与椭圆交于B ，C 两点（B 在第一象限）．（1）若点B 的坐标为31,2⎛⎫⎪⎝⎭，求OBC △面积的最大值； （2）设()11B x y ，，()22C x y ，，且1230y y +=，求OBC △当面积最大时，直线l 的方程．19．（16分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，()*12,S ,3n n na a r r n ⎛⎫==+∈∈ ⎪⎝⎭R N ．（1）求r 的值及数列{}n a 的通项公式； （2）设()*n nnb n a =∈N ，记{}n b 的前n 项和为n T ． ①当*n ∈N 时，2nn TT λ<-恒成立，求实数λ的取值范围；②求证：存在关于n 的整式()g n ，使得()()1i 111n nn T T g n -=+=-∑ 对一切2n ≥，*n ∈N 都成立．20．（16分）已知()()21f x x mx m =++∈R ，()e x g x =．（1）当[]0,2x ∈时，()()()F x f x g x =-为增函数，求实数m 的取值范围；（2）若()1,0m ∈-，设函数()()()()15,44f x G x H x x gx ==-+，求证：对任意1x ，[]21,1x m ∈-，()()12G x H x <恒成立．加试题说明：解答时，应写出文字说明、证明过程或演算步骤. [选修4-4：坐标系与参数方程]21．设极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴．已知曲线C 的极坐标方程为8sin ρθ= （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线2x ty t =⎧⎨=+⎩（t 为参数）与曲线C交于A ，B 两点，求AB 的长．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知变换T 将平面上的点()11,,0,12⎛⎫ ⎪⎝⎭分别变换为点93,2,,442⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．设变换T 对应的矩阵为M ． （1）求矩阵M ；（2）求矩阵M 的特征值．23．某小区停车场的收费标准为：每车每次停车时间不超过2小时免费，超过2小时的部分每小时收费1元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲乙两人独立来停车场停车（各停车一次），且两人停车时间均不超过5小时．设甲、乙两人停车时间（小时）与取车概率如表所示．（1）求甲、乙两人所付车费相同的概率；（2）设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．24．如图，四棱锥P ABCD-中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，∥，90AD BCPA AB BC===，2∠=∠=︒，1BAD CBAAD=，E，F，G分别为BC，PD，PC的中点．（1）求EF与DG所成角的余弦值；（2）若M为EF上一点，N为DG上一点，是否存在MN，使得MN⊥平面PBC？若存在，求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．江苏省高三上学期期末数学试卷答案1．{}2|0x x <≤ 2．1i - 3．202,4xx ∃≥<4．35 5．70 6．14 7．[]2,5 8．1 9．5810．π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦111213．2 1415．解：（1）∵2sin cos 12B CA ++=， ∴()1cos sin 12B C A +++=，即2sin cos 1A A -=， (2)分∴()222sin 1cos A A -=，即25sin 4sin 0A A -=，∵()0,πA ∈， ∴sin 0A >，∴4sin 5A =，3cos 5A =…6分（2）∵a =5b =，3cos 5A =，∴由余弦定理可得：233225255c c -=+⨯⨯，即：2670c c -=-，解得：7c =，…10分∵1344AD AB AC =+， ∴2229349933cos 25+75=2516168161685c b AD bc A =++=+⨯⨯⨯⨯ ， (12)分∴5AD =…14分16．证明：（1）∵AP ⊥平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， ∴AP CD ⊥，∵ABCD 为矩形，∴AD CD ⊥，…2分又∵AP AD A = ，AP ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， ∴CD ⊥平面PAD ，…4分 ∵CD ⊂平面ABCD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD …6分（2）连接AC ，BD 交于点O ，连接OF ， ∵ABCD 为矩形，∴O 点为中点， ∵E 为PC 中点， ∴OE PA ∥，∵OE ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ， ∴OE ∥平面PAD ，…8分同理可得：OF ∥平面PAD ，…10分 ∵OE OF O = ，∴平面//OEF 平面PAD ，…12分∵EF ⊂平面OEF ， ∴EF ∥PAD …14分17．解：（1）∵EM BM =，B MEN ∠=∠， ∴BMN EMN △≌△， ∴BNM MNE ∠=∠， ∵2AME θ∠=， ∴BNM MNE θ∠=∠=， 设MN x =，在BMN △中，sin BM x θ=，∴sin EM BM x θ==， ∴EAM △中，cos 2sin cos 2AM EM x θθθ==， ∵AM BM a +=， ∴sin cos 2sin x x a θθθ+=， ∴sin cos2sin ax θθθ=+， ∴()a 2sin 1sin l EM MN θθ=+=-，π 0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭； （2）令()()sin 1sin f θθθ=-，sin 0,2θ⎛∈ ⎝⎭， ∴()14f θ≤， 当且仅当π6θ=时，取得最大值14，此时2min l a =．18．解：（1）直线OB 的方程为：32y x =，即320x y -=，设经过点C 且平行于直线OB 的直线l '方程为：32y x b =+．则当l '与椭圆只有一个公共点时，OBC △的面积最大．联立2214332x y y x b ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，化为：223330xbx b ++=-，由()2291230b b ∆=-=-，解得b =±b =C ⎛ ⎝⎭；当b =-C ⎭．12OBC S ≤△（2）直线l 与y 轴不垂直，设直线lx my n =+，联立22143x my nx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化为：()2223463120m y mny n +-++=， ∴122634mn y y m -+=+，212231234n y y m -=+ ．∵1230yy +=，∴12334nm y m =+，22124 34n y m -=+， ∴()22222294 3434m n n m m -=++，∴2223431m n m +=+．∴212122661223434OBCm n m Sn y y n y m m ====++- △． ∵B 在第一象限，∴21123034m nx my n n m =+=+>+，∴0n >． ∵10y>，∴0m >．2661313OBC m S m m m∴==≤=++△当且仅当m =n =．此时直线l的方程为：x y +，即0y -=．19．（1）解：1n =时，11113r S a a ⎛⎫+=⎪⎭⨯⎝=，解得23r =， ∴23n nn S a +=． 2n ≥时，1113n n S a n --+= ． 两式相减可得：12313n n n n a a a n -+=-+ ． ∴111n n a n a n -+=-，()2n ≥．∴()123211232111432112321n n n n n n n a a a a a n n n a a n n a a a a a n n n -----+-===+--- ，1n =时也适合． ∴()1n a n n =+． （2）①解：11n n n b a n ==+，111231n T n =++++ ，21112321n T n =++++ ∴21112321n n T T n n n =+-+++++ ，令2nn n BT T =-，则()()()111134022********n n n B B n n n n n n ++=+-=>++++-++，因此数列{}n B 单调递增， ∴()13n min B =．∵当*n ∈N 时，2nn TT λ<-恒成立，∴13λ<． ②证明：由①可得：2n ≥时111n n T T n -=+-，即()1111n n n n T nT T --=-++，∴2n ≥时，()111n ii T -=+∑()()()21321 32431n n T T T T n T nT -=++---+⎡+⎤⎣⎦()()11211n n n T T n T ==+--+．∴存在关于n 的整式()1g n n =+，使得()()1111n nn i TT g n -=+=-∑ 对一切2n ≥，*n ∈N 都成立．20．解：（1）∵()21e x F x x mx =++-， ∴()2e x F x x m '=+-，∵[]0,2x ∈时，()F x 是增函数， ∴()0F x '≥即2e 0xx m +-≥在[]0,2上恒成立，即e2xm x ≥-在[]0,2恒成立，令()e 2x h x x =-，[]0,2x ∈，则()e 2x h x '=-，令()0h x '=，解得：ln 2x =， ∴()h x 在[]0,ln 2递减，在[]ln 2,2递增， ∵()01h =，()22e 41h =->， ∴()()22e4max h x h =-=；（2）()21e x x mx G x ++=，则()()()11e xx x m G x -⎡--⎤⎣⎦'=-，对任意1x ，[]21,1x m ∈-，()()12G x H x <恒成立， 即证()()max min G x H x ≤， ∵[]1,1x m ∈-， ∴()G x 在[]1,1m -递增，()()121e mmax mG x G m --=-=， ∵()H x 在[]1,1m -递减，()()()151144min H x H m m =-=--+， 要证()()max min G x H x ≤， 即证()12151e 44m m m --≤--+， 即证()()142e 51m m m --≤⎡--⎤⎣⎦， 令1m t -=，则()1,2t ∈， 设()()()e 541x r x x x =--+，[]1,2x ∈，即()5e e 44x x r x x x --=-，()()4e 42e 40x x r x x -'≥-=->，∴()r x 在[]1,2递增， ∵()14e 80r =->， ∴()()e 541x x x -≥+， 从而有()1152144e mmm ---+≥-， 即当[]1,1x m ∈-，()()12G x H x <恒成立．21．解：（1）曲线C 的极坐标方程为8sin ρθ=，即28sin ρρθ=．∴曲线C 的直角坐标方程为228xy y +=．（2）设直线2x ty t =⎧⎨=+⎩（t 为参数）的直角坐标方程为2y x =+．228x y y +=，配方为()22416x y +-=，可得圆心()0,4C ，半径4r =．∴圆心C到直线的距离d ==∴AB ==22．解：（1）设M =a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则194122a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎣⎦⎣⎦，30214a b c d ⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即为1924122324a b c d b d ⎧+=⎪⎪⎪+=-⎪⎨⎪=-⎪⎪⎪=⎩，即3a =，32b =-，4c =-，4d =，则M =33244⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦； （2）设矩阵M 的特征多项式为()f λ， 可得()f λ=33244λλ--()()234676λλλλ=-=---+， 令()0f λ=，可得1λ=或6λ=．23．解：（1）由题意得113126x x +=∴=． 1111632y y ++=∴=． 记甲乙两人所付车费相同的事件为A ，()11111122663629P A =⨯+⨯+⨯=，甲、乙两人所付车费相同的概率为29．（2）设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量ξ，ξ的所有取值为0，1，2，3，4，5．()1012P ξ==， ()111171236636P ξ==⨯+⨯=，()111111126663223P ξ==⨯+⨯+⨯=，()111111136663626P ξ==⨯+⨯+⨯=，()111154636236P ξ==⨯+⨯=， ()11156212P ξ==⨯=．所以ξ的分布列为：∴ξ的数学期望01234512363636123E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=24．解：（1）以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,2,0D ，()0,0,1P ， ∵E 、F 、G 分别为BC 、PD 、PC 的中点，∴11,,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，10,1,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，111,,222G ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴111,,22EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，131,,222DG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭设EF 与DG 所成角为θ，则cos EF DG EF DGθ== ∴EF 与DG（2）设平面PBC的法向量为(),,n x y z =，∵()0,1,0BC = ，()1,0,1PB =- ， ∴00n BC y n PB x z ⎧==⎪⎨=-=⎪⎩，取1x =，得()1,0,1n = ， M 为EF上一点，N 为DG 上一点， 若存在MN，使得MN ⊥平面PBC，则MN n∥，设()111,,M x y z ，()222,,N x y z ，则1221210x x z z y y -=-⎧⎨-=⎩，①∵点M ，N 分别是线段EF 与DG 上的点，∴,EM EF DN tDG λ== ， ∵11111,,2EM x y z ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，()222,2,DN x y z =- ，∴1111112212x y z λλλ⎧⎪-=-⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩，且2221232212x t y t z t ⎧=⎪⎪⎪-=-⎨⎪⎪=⎪⎩，② 把②代入①，得31302221111222t t t λλλ⎧--+=⎪⎪⎨⎪+-=-⎪⎩，解得2379t λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴151,,363M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，757,,16618N ⎛⎫⎪⎝⎭．江苏省无锡市2017届高三上学期期末数学试卷解析1．【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|x＞0}，B={x|﹣1＜x≤2}，∴A∩B={x|0＜x≤2}，故答案为：{x|0＜x≤2}2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．【解答】解： =，则复数z的共轭复数为：1﹣i．故答案为：1﹣i．3．【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题是否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x≥2，x2≥4”的否定是：∃x0≥2，x02＜4．故答案为：∃x0≥2，x02＜4．4．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数n==10，再求出选出的2人恰好为1男1女包含的基本事件个数m=，由此能求出选出的2人恰好为1男1女的概率．【解答】解：从3男2女共5名学生中任选2人参加座谈会，基本事件总数n==10，选出的2人恰好为1男1女包含的基本事件个数m=，∴选出的2人恰好为1男1女的概率p==．故答案为：．5．【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的S，i的值，可得当i=9时不满足条件i＜8，退出循环，输出S的值为70．【解答】解：模拟程序的运行，可得i=1，S=﹣2满足条件i＜8，执行循环体，i=3，S=7满足条件i＜8，执行循环体，i=5，S=22满足条件i＜8，执行循环体，i=7，S=43满足条件i＜8，执行循环体，i=9，S=70不满足条件i＜8，退出循环，输出S的值为70．故答案为：70．6．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】运用向量的数乘及加法运算求出向量若与，然后再由垂直向量的数量积为0列式求解m的值【解答】解：∵向量，∴=（1，2），=（2m+1，m﹣1），∵与垂直∴（）（）=0，即2m+1+2（m﹣1）=0，解得m=，故答案为：7．【考点】简单线性规划．【分析】由题意，做出不等式组对应的可行域，由于函数y=kx+1的图象是过点A（0，﹣2），斜率为k的直线l，故由图即可得出其范围．．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，如图．因为函数y=kx﹣2的图象是过点A（0，﹣2），且斜率为k的直线l，由图知，当直线l过点B（1，3）时，k取最大值=5，当直线l过点C（2，2）时，k取最小值=2，故实数k的取值范围是[2，5]．故答案为：[2，5]．8．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可．【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴g（﹣2）=f（﹣2）=﹣f（2）=﹣（22﹣3）=﹣1，则f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（2﹣3）=1，故f（g（﹣2））=1，故答案为：19．解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2，a4，a3成等差数列，∴2a4=a2+a3，∴=a2+a2q，化为：2q2﹣q﹣1=0，q≠1，解得q=﹣．∵，∴ =﹣，解得a1=1．则数列{a n}的前4项和==．故答案为：．10．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】根据三角函数的辅助角公式进行化简结合三角函数的性质进行求解即可．【解答】解： =sin2x+sinxcosx=（1﹣cos2x）+sin2x=sin（2x﹣）+，由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，∵x∈，∴当k=0时，﹣≤x≤，即0≤x≤，即函数f（x）在上的单调递增区间为[0，]，故答案为：[0，]．11．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】设圆锥的母线为l，底面半径为r，由已知条件求出l=3，r=1，从而求出圆锥的高，由此能求出圆锥的体积．【解答】解：设圆锥的母线为l，底面半径为r，∵3π=πl2，∴l=3，∴120°=×360°，∴r=1，∴圆锥的高是=2，∴圆锥的体积是×π×12×2=．故答案为：．12．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆的几何性质可得， =b12tanθ，根据双曲线的几何性质可得， =以及离心率以及a，b，c的关系即可求出答案．【解答】解：设∠F1AF2=2θ根据椭圆的几何性质可得， =b12tanθ=b12，∵e1=，∴a1=，∴b12=a12﹣c2=c2（﹣1）根据双曲线的几何性质可得， ==b22，∵e2=a2=∴b22=c2﹣a22=c2（1﹣），∴c2（﹣1）=c2（1﹣），即+=2，∵3e1=e2，∴e1=故答案为：13．【考点】函数的值域．【分析】若函数f（x）在[m，n]（m＜n）上的值域恰好为[m，n]，则称f（x）为函数的一个“等值映射区间”．根据新定义可知，“等值映射区间”即是函数与另一函数y=x有两个交点．即可判断．【解答】解：根据新定义可知，“等值映射区间”即是函数与另一函数y=x有两个交点．对于①y=x2﹣1；根据新定义可得：x2﹣1=x，方程有两个解，即函数y=x2﹣1与函数y=x有两个交点．故①是；对于②y=2+log2x；根据新定义可得：2+log2x=x，即函数y=2+log2x与函数y=x有一个交点．故②不是；对于③y=2x﹣1；根据新定义可得：2x﹣1=x，即函数y=2x﹣1与函数y=x 有一个交点．故③不是；对于④；根据新定义可得：x2﹣x=1，方程有两个解，即函数与函数y=x有两个交点．故④是；故答案为：2．14．【考点】基本不等式．【分析】由2=，先将+﹣变形为，运用基本不等式可得最小值，再求c+= [（c﹣2）++1]的最小值，运用基本不等式即可得到所求值．【解答】解：a＞0，b＞0，c＞2，且a+b=2，则=c（+﹣）+=+，由2=，可得==≥=，当且仅当b =a 时，取得等号．则原式≥c +=[（c ﹣2）++1]≥ [2+1]=+．当且仅当c =2+时，取得等号． 则所求最小值为+．故答案为：+．15．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用降幂公式，三角形内角和定理，诱导公式化简已知可得5sin 2A ﹣4sinA =0，结合范围A ∈（0，π），即可解得sinA 的值． （2）由余弦定理可得c 2﹣6c ﹣7=0，解得c 的值，利用平面向量的运算可求2的值，进而可求AD 的值．【解答】解：（1）∵2sin cos 12B CA ++=， ∴()1cos sin 12B C A +++=，即2sin cos 1A A -=， (2)分∴()222sin 1cos A A -=，即25sin 4sin 0A A -=，∵()0,πA ∈， ∴sin 0A >， ∴4sin 5A =，3cos 5A =…6分（2）∵a =5b =，3cos 5A =，∴由余弦定理可得：233225255c c -=+⨯⨯，即：2670c c -=-，解得：7c =，…10分∵1344AD AB AC =+， ∴2229349933cos 25+75=2516168161685c b AD bc A =++=+⨯⨯⨯⨯ ，…12分∴5AD =…14分16．【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定． 【分析】（1）利用线面垂直的性质可证AP ⊥CD ，又ABCD 为矩形，AD ⊥CD ，利用线面垂直的判定定理可证CD ⊥平面PAD ，利用面面垂直的判定可证平面PAD ⊥平面ABCD ．（2）连接AC ，BD 交于点O ，连接OE ，OF ，由ABCD 为矩形，O 点为AC 中点，可证OE ∥PA ，进而可证OE ∥平面PAD ，同理可得：OF ∥平面PAD ，通过证明平面OEF ∥平面PAD ，即可证明EF ∥平面PAD ． 【解答】证明：（1）∵AP ⊥平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， ∴AP CD ⊥，∵ABCD 为矩形，∴AD CD ⊥，…2分又∵AP AD A = ，AP ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， ∴CD ⊥平面PAD ，…4分 ∵CD ⊂平面ABCD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD …6分（2）连接AC ，BD 交于点O ，连接OF ， ∵ABCD 为矩形，∴O 点为中点， ∵E 为PC 中点，∴//OE PA ，∵OE ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ， ∴//OE 平面PAD ，…8分同理可得：//OF 平面PAD ，…10分 ∵OE OF O = ，∴平面//OEF 平面PAD ，…12分 ∵EF ⊂平面OEF ， ∴//EF PAD (14)分17．【考点】在实际问题中建立三角函数模型．【分析】（1）设2AME θ∠=，求出EM ，MN ，即可求用θ表示的l 函数表达式，并写出定义域；（2）令f （θ）=sin θ（1﹣sin θ），sin θ∈（0，），即可求l 的最小值．【解答】解：（1）∵EM BM =，B MEN ∠=∠， ∴BMN EMN △≌△， ∴BNM MNE ∠=∠， ∵2AME θ∠=， ∴BNM MNE θ∠=∠=， 设MN x =，在BMN △中，sin BM x θ=，∴sin EM BM x θ==， ∴EAM △中，cos 2sin cos 2AM EM x θθθ==， ∵AM BM a +=，∴sin cos 2sin x x a θθθ+=， ∴sin cos2sin ax θθθ=+， ∴()a 2sin 1sin l EM MN θθ=+=-，π 0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭； （2）令()()sin 1sin f θθθ=-，sin θ⎛∈ ⎝⎭， ∴()14f θ≤， 当且仅当π6θ=时，取得最大值14，此时2minla =．18．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）直线OB 的方程为：y =x ，即3x ﹣2y =0，设经过点C 且平行于直线OB 的直线l ′方程为：y =x +b ．则当l ′与椭圆只有一个公共点时，△OBC 的面积最大．此时直线与椭圆相切．（2）直线l 与y 轴不垂直，设直线l 的方程为：x =my +n ，与椭圆方程联立化为：（3m 2+4）y 2+6mny +3n 2﹣12=0， 利用根与系数的关系及其3y 1+y 2=0，可得n 2=．则S △OBC =•|y 1﹣y 2|=2|n ||y 1|==．进而得出结论．【解答】解：（1）直线OB 的方程为：32y x =，即320x y -=，设经过点C 且平行于直线OB 的直线l '方程为：32y x b =+．则当l '与椭圆只有一个公共点时，OBC △的面积最大．联立2214332x y y x b ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，化为：223330xbx b ++=-，由()2291230b b ∆=-=-，解得b =±b =C ⎛ ⎝⎭；当b =-C⎭．12OBCS≤△（2）直线l与y轴不垂直，设直线l的方程为：x my n=+，联立22143x my nx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化为：()2223463120m y mny n+-++=，∴122634mny ym-+=+，212231234ny ym-=+∙．∵1230y y+=，∴12334nmym=+，22124y34nm-=+，∴()222222943434m n nmm-=++，∴2223431mnm+=+．∴212122661223434OBCm n mS n y y n ym m=∙===+-+△．∵B在第一象限，∴2112334m nx my n nm=+=+>+，∴0n>．∵10y>，∴0m>．∴2661313OBCmSm mm==≤++△m=时取等号．此时n．此时直线l的方程为：x y+，即0y-=．19．【考点】数列的求和；数列与不等式的综合．【分析】（1）n=1时，S1=a1×=a1，解得r，可得S n=a n．利用递推关系可得=，（n≥2）．利用“累乘求积”方法可得a n．（2）①b n==，T n=+…+，T2n=…+，作差可得数列{T2n﹣T n}的单调性．利用当n∈N*时，λ＜T2n﹣T n恒成立，可得λ的求值范围．②由①可得：n≥2时T n﹣T n﹣1=，即（n+1）T n﹣nT n﹣1=T n﹣1+1，n ≥2时，可得=（n +1）T n ﹣1．即可得出．【解答】（1）解：1n =时，11113r S a a ⎛⎫+= ⎪⎭⨯⎝=，解得23r =，∴23n n n S a +=． 2n ≥时，1113n n S a n --+∙=． 两式相减可得：12313n n n n a a a n -+=-+∙．∴111n n a n a n -+=-，()2n ≥． ∴()123211232111432112321n n n n n n n a a a a a n n n a a n n a a a a a n n n -----+-=∙∙∙=∙∙∙∙∙∙=+--- ，n =1时也适合．∴()1n a n n =+． （2）①解：11n n n b a n ==+，111231n T n =++++ ，21112321n T n =++++ ∴21112321n n T T n n n =+-+++++ ，令2n n n B T T =-，则()()()11113402223222232n n n B B n n n n n n ++=+-=>++++-++，因此数列{}n B 单调递增，∴()13n min B =． ∵当*n ∈N 时，2n n T T λ<-恒成立，∴13λ<． ②证明：由①可得：2n ≥时111n n T T n -=+-，即()1111n n n n T nT T --=-++，∴2n ≥时，()111n ii T -=+∑()()()21321 32431n n T T T T n T nT -=++---⋯+⎡+⎤⎣⎦()()11211n n n T T n T ==+--+．∴存在关于n 的整式()1g n n =+，使得()()1111n nn i TT g n -=+=∙-∑对一切2n ≥，*n ∈N 都成立．20．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数F （x ）的导数，分离参数，问题转化为m ≥e x ﹣2x 在[0，2]恒成立，令h （x ）=e x ﹣2x ，x ∈[0，2]，根据函数的单调性求出m 的范围即可；（2）问题转化为证G （x ）max ≤H （x ）min ，根据函数的单调性分别求出G （x ）的最大值和H （x ）的最小值，从而证出结论． 【解答】解：（1）∵()21e x F x x mx =++-， ∴()2e x F x x m '=+-，∵[]0,2x ∈时，()F x 是增函数， ∴()0F x '≥即2e 0xx m +-≥在[]0,2上恒成立，即e2xm x ≥-在[]0,2恒成立，令()e 2x h x x =-，[]0,2x ∈，则()e 2x h x '=-，令()0h x '=，解得：ln 2x = ln 2x =， ∴()h x 在[]0,ln 2递减，在[]ln 2,2递增， ∵()01h =，()22e 41h =->， ∴()()22e4max h x h =-=；（2）()21e x x mx G x ++=，则()()()11'e xx x m G x -⎡--⎤⎣⎦=-，对任意1x ，[]21,1x m ∈-，()()12G x H x <恒成立， 即证()()max min G x H x ≤， ∵[]1,1x m ∈-， ∴()G x 在[]1,1m -递增，()()121mmax mG x G m e --=-=， ∵()H x 在[]1,1m -递减，()()()151144min H x H m m =-=--+， 要证()()max min G x H x ≤， 即证()12151e 44m m m --≤--+， 即证()()142e 51m m m --≤⎡--⎤⎣⎦， 令1m t -=，则()1,2t ∈， 设()()()e 541x r x x x =--+，[]1,2x ∈， 即()5e e 44x x r x x x --=-，()()4e 42e 40x x r x x --≥-'=>，∴()r x 在[]1,2递增， ∵()14e 80r =->， ∴()()e 541x x x -≥+， 从而有()1152144e mmm ---+≥-， 即当[]1,1x m ∈-，()()12G x H x <恒成立． 21．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C 的极坐标方程为ρ=8sin θ，即ρ2=8ρsin θ．利用互化公式可得曲线C 的直角坐标方程． （2）设直线（t 为参数）的直角坐标方程为y =x +2．x 2+y 2=8y ，配方为x 2+（y ﹣4）2=16，可得圆心C （0，4），半径r =4．求出圆心C 到直线的距离d ．可得|AB |=2．【解答】解：（1）曲线C 的极坐标方程为8sin ρθ=，即28sin ρρθ=．∴曲线C 的直角坐标方程为228xy y +=．（2）设直线2x ty t =⎧⎨=+⎩（t 为参数）的直角坐标方程为2y x =+．228x y y +=，配方为()22416x y +-=，可得圆心()0,4C ，半径4r =． ∴圆心C到直线的距离d ==∴AB == 22.【考点】特征向量的意义；几种特殊的矩阵变换．【分析】（1）设M =，由矩阵变换可得方程组，解方程即可得到所求；（2）设矩阵M 的特征多项式为f （λ），可得特征多项式，解方程可得特征值．【解答】解：（1）设M =a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则194122a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎣⎦⎣⎦， 30214a b c d ⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即为1924122324a b c d b d ⎧+=⎪⎪⎪+=-⎪⎨⎪=-⎪⎪⎪=⎩，即3a =，32b =-，4c =-，4d =， 则M =33244⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦； （2）设矩阵M 的特征多项式为()f λ，可得()f λ=33244λλ--()()234676λλλλ=-=---+，令()0f λ=，可得1λ=或6λ=．23.【分析】（1）首先求出x 、y ，个人停车所付费用相同即停车时间相同：都不超过两小时、都在两小时以上且不超过三小时和都超过三小时且不超过四小时三类求解即可．（2）随机变量ξ的所有取值为0，1、2，3，4，5，由独立事件的概率分别求概率，列出分布列，再由期望的公式求期望即可．【解答】解：（1）由题意得113126x x +=∴=．1111632y y ++=∴=． 记甲乙两人所付车费相同的事件为A ，()11111122663629P A =⨯+⨯+⨯=， 甲、乙两人所付车费相同的概率为29．（2）设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量ξ，ξ的所有取值为0，1、2，3，4，5．()1012P ξ==，()111171236636P ξ==⨯+⨯=，()111111126663223P ξ==⨯+⨯+⨯=， ()111111136663626P ξ==⨯+⨯+⨯= ()111154636236P ξ==⨯+⨯=，()11156212P ξ==⨯=． 所以ξ的分布列为：∴ξ的数学期望171151701234512363636123E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 24．【考点】直线与平面垂直的判定；异面直线及其所成的角．【分析】（1）以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出EF 与DG 所成角的余弦值． （2）求出平面PBC 的法向量，若存在MN ，使得MN ⊥平面PBC ，则∥，由此利用向量法能求出结果．【解答】解：（1）以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,2,0D ，()0,0,1P ， ∵E 、F 、G 分别为BC 、PD 、PC 的中点， ∴11,,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,1,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 111,,222G ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴111,,22EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ， 131,,222DG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭设EF 与DG 所成角为θ，则cos EF DG EF DG θ∙==∙ ∴EF 与DG（2）设平面PBC的法向量为(),,n x y z = ，∵()0,1,0BC = ，()1,0,1PB =- ， ∴00n BC y n PB x z ⎧∙==⎪⎨∙=-=⎪⎩，取1x =，得()1,0,1n = ， M 为EF 上一点，N 为DG 上一点，若存在MN，使得MN ⊥平面PBC ，则//MN n ， 设()111,,M x y z ，()222,,N x y z ，则1221210x x z z y y -=-⎧⎨-=⎩，① ∵点M ，N 分别是线段EF 与DG 上的点，∴,EM EF DN tDG λ== ， ∵11111,,2EM x y z ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()222,2,DN x y z =- ， ∴1111112212x y z λλλ⎧⎪-=-⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩，且2221232212x t y t z t ⎧=⎪⎪⎪-=-⎨⎪⎪=⎪⎩，② 把②代入①，得31302221111222t t t λλλ⎧--+=⎪⎪⎨⎪+-=-⎪⎩，解得2379t λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴151,,363M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，757,,16618N ⎛⎫ ⎪⎝⎭．。
江苏省 高三数学上学期期末考试
秋学期高三期末考试数 学 试 题注意事项： 1．本试卷包含填空题（第1题—第14题）、解答题（第15题—第20题），本卷满分160分，考试时间为120分钟，考试结束后，请将答题卷交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卷的规定位置。
3．请在答题卷上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效，作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔， 请注意字体工整，笔迹清楚。
4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
5．请保持答题卷卷面清洁，不要折叠、破损，一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卷的相应位．．．．．．．置上．．。
1．设集合{}{}25,log (3),,(,)R A a B a b a b =+=∈，若{}1A B =，则A B = ．2．已知复数2(2)(1)i z m m =-+-对应的点位于第二象限，则实数m 的范围为 ．3．若命题“R x ∃∈，使得2(1)10x a x +-+≤”为假命题，则实数a 的范围为 ．4．某算法的程序框图如图，若输入4,2,6a b c ===，则输出的结果为 ．5．某人午休醒来，发觉表停了，他打开收音机想收听电台整点报时，则他等待的时间短于5分钟的概率为 ．6．已知s i n63x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则25s i n si n63x x ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= ． 7．已知向量(2,1),(1,0)a b =-=，则23a b -= ．8．设双曲线的渐近线方程为230x y ±=，则双曲线的离心率为 ．9．已知数列{}n a 的前n 项和S n =n 2—7n, 且满足16＜a k +a k +1＜22,则正整数k = ．10．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1BB 的中点，AC 、BD 交于点O ，则1D O 与平面AMC 成的角为 度．11．y=x 3+ax +1的一条切线方程为y =2x +1，则a = ． 12．不等式12sin x a y x+≥-+对一切非零实数,x y 均成立，则实数a 的范围为 ． 13．已知函数2()2f x x x =+，若存在实数t ，当[1,]x m ∈时，()3f x t x +≤恒成立，则实数m 的最大值为 ．14．已知函数f （x ）=|x 2－2|，若f （a ）≥f （b ），且0≤a ≤b ，则满足条件的点（a ，b ）所围成区域的面积为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 在边长为6cm 的正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，M 、N 分别为AB 、CF 的中点，现沿AE 、AF 、EF 折叠，使B 、C 、D 三点重合，构成一个三棱锥． （1）判别MN 与平面AEF 的位置关系，并给出证明； （2）求多面体E -AFMN 的体积．16．（本小题满分14分）已知△ABC 中，||10AC =,||5AD =,DB AD 115=,0CD AB =．（1）求AB AC -；（2）设BAC θ∠=，且已知4cos()5x θ+=，02x π-<<，求sin x ．17．（本小题满分14分） 已知 A 、B 两地相距2R ，以AB 为直径作一个半圆，在半圆上取一点C ，连接AC 、BC ，在三角形ABC 内种草坪（如图），M 、N 分别为弧AC 、弧BC 的中点，在三角形AMC 、三角形BNC 内种花，其余是空地．设花坛的面积为1S ，草坪的面积为2S ，取ABC θ∠=．MFB D AF（1）用θ及R 表示1S 和2S ； （2）求12S S 的最小值．18．（本小题满分16分）已知椭圆 2214x y +=的左顶点为A ，过A 作两条互相垂直的弦AM 、AN 交椭圆于M 、N 两点．（1）当直线AM 的斜率为1时，求点M 的坐标； （2）当直线AM 的斜率变化时，直线MN 是否过x 轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点，若不过定点，请说明理由．19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的首项135a =，13,1,2,21nn n a a n a +==+．（1）求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； （2） 记12111n nS a a a =++，若100n S <，求最大的正整数n ． （3）是否存在互不相等的正整数,,m s n ，使,,m s n 成等差数列，且1,1,1m s n a a a ---成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．20．（本小题满分16分）对于定义在区间D 上的函数()x f 和()x g ，如果对于任意D x ∈，都有()()1||≤-x g x f 成立，那么称函数()x f 在区间D 上可被函数()x g 替代．AF（1）若()()x x g xx x f ln ,12=-=，试判断在区间[],1[e ]上()x f 能否被()x g 替代？ （2）记()(),ln f x x g x x ==，证明()x f 在1(,)(1)m m m>上不能被()x g 替代；（3）设x x x g ax x a x f +-=-=221)(,ln )(，若()x f 在区间],1[e 上能被()x g 替代，求实数a 的范围．参考答案一、填空题1．{}1,1,5- 2． 3．(1,3)- 4．65．112678 9．8 10．90 11．2 12．[]1,3 13．8 14．2π二、解答题： 15．（1）因翻折后B 、C 、D 重合（如图）， 所以MN 应是ABF ∆的一条中位线，………………3分则////M AF MN AEF MN AEF AF AEF ⎫⎪⊄⇒⎬⊂⎪⎭平面平面平面．………7分 （2）因为}AB BE AB AB AF⊥⇒⊥⊥平面BEF ，……………9分且6,3AB BE BF ===，∴9A BEF V -=，………………………………………11分又3,4E AFMN AFMN E ABF ABF V S V S --∆== ∴274E AFMN V -=（cm 3）．………………………14分 16．（1）由已知115=，即115DB AD =，∵|5,AD =｜ ∴||11DB =，………………………………………2分 ∵0CD AB =， ∴CD AB ⊥， ………………………3分 在Rt △BCD 中，222BC BD CD =+,又222CD AC AD =-, ∴2222196BC BD AC AD =+-=， ………………5分∴||||14AB AC BC -==．…………………………………………6分 （2）在△ABC 中，21cos =∠BAC ， ∴3πθ=．……………………………7分即4cos()cos()35x x πθ+=+=， 3sin()35x π+=±， …………………9分而0,2633x x ππππ-<<-<+<， …………………………………………10分则1sin()sin()sin 2633x πππ-=-<+<=……………………………12分∴3sin()35x π+=，∴sin sin[()]33x x ππ=+-=． ……………14分17．（1）因为ABC θ∠=，则2sin ,2cos AC R BC R θθ==， 则22212sin cos sin 22S AC BC R R θθθ=⋅==．………………………3分 设AB 的中点为O ，连MO 、NO ，则,MO AC NO BC ⊥⊥． 易得三角形AMC 的面积为2sin (1cos )R θθ-， …………………………5分 三角形BNC 的面积为2cos (1sin )R θθ-， …………………………………7分 ∴1S =2sin (1cos )R θθ-+2sin (1sin )R θθ-2(sin cos 2sin cos )R θθθθ=+-．………………………………………8分（2）∵2122(sin cos 2sin cos )sin cos 12sin cos 2sin cos S R S R θθθθθθθθθθ+-+==-，…………………10分令sin cos (1t θθ+=∈，则22sin cos 1t θθ=-．∴12211111S t S t t t=-=---．……………………………………………12分∴12S S1．……………………………………14分18．（1）直线AM 的斜率为1时，直线AM ：2y x =+， ……………………1分 代入椭圆方程并化简得：2516120x x ++=， ………………………2分解之得1262,5x x =-=-，∴64(,)55M -．………………………4分 （2）设直线AM 的斜率为k ，则AM ：(2)y k x =+，则22(2),1,4y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 化简得：2222(14)161640k x k x k +++-=．……………6分∵此方程有一根为2-，∴222814M k x k -=+， …………………………7分 同理可得22284N k x k -=+．…………………………8分由（1）知若存在定点，则此点必为6(,0)5P -．……………………9分∵2222228(2)5146286445145M MP M k k y kk k k k x k -++===--+++，…………………11分同理可计算得2544PN kk k =-．……………………13分∴直线MN 过x 轴上的一定点6(,0)5P -．………………………………16分19．（1）∵112133n n a a +=+，∴1111133n n a a +-=-，………………………2分且∵1110a -≠，∴110()*N nn a -≠∈， ……………………………3分∴数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列．…………………………………4分 （2）由（1）可求得11211()33n n a --=⨯，∴112()13n n a =⨯+．…………… 5分2121111112()333n n n S n a a a =+++=++++11113321313n n n n +-=+⋅=+--，…7分若100n S <，则111003nn +-<，∴max 99n =．……………………9分 （3）假设存在，则22,(1)(1)(1)m n s m n s a a a +=-⋅-=-， ………………10分∵332n n n a =+，∴2333(1)(1)(1)323232n m snm s -⋅-=-+++．……………12分 化简得：3323mns+=⋅，………………………………………13分∵33223m n s +≥=⋅，当且仅当m n =时等号成立．………………………15分又,,m n s 互不相等，∴不存在．…………………………………………16分20．∵ ()x xx x g x f ln 12)(--=-， 令x x x x h ln 12)(--=，∵02221121)(222>-+=-+='x xx x x x h ，……2分 ∴)(x h 在],1[e 上单调增，∴]112,21[)(---∈ee x h ．…………………3分∴1)()(≤-x g x f ，即在区间[],1[e ]上()x f 能被()x g 替代．………………4分 （2）令()()()ln t x f x g x x x =-=-．11()1x t x x x-'=-=，………………………………5分 且当1x <时，()0t x '<；当1x >时，()0t x '>，…………6分()(1)1t x t ∴≥=，即()()ln 1f x g x x x -=-≥，……………7分∴()x f 在1(,)(1)m m m>上不能被()x g 替代．…………………8分 （3）∵()x f 在区间],1[e 上能被()x g 替代，即1)()(≤-x g x f 对于],1[e x ∈恒成立．∴121ln 2≤-+-x x ax x a ．121ln 12≤-+-≤-x x ax x a ， ……………9分由（2）知，当],1[e x ∈时，0ln >-x x 恒成立，∴有① x x x x a ln 1212-+-≤ ，…………………………………10分令xx x x x F ln 121)(2-+-=，∵22)ln ()121)(11()ln )(1()(x x x x x x x x x F -+-----='2)ln ()1ln 121)(1(x x x x x x ---+-=， 由（1）的结果可知111ln 02x x x+-->，……………11分∴)(x F '恒大于零，∴21≤a ．………………12分② x x x x a ln 1212---≥ ，………………13分 令xx x x x G ln 121)(2---=，∵22)ln ()121)(11()ln )(1()(x x x x x x x x x G -------='2)ln ()1ln 121)(1(x x x x x x -+-+-=，∵11111ln 1ln 022x x x x x x+-+>+-->，……………………14分∴)(x G '恒大于零，∴)1(2222---≥e e e a ， ……………15分即实数a 的范围为2221.2(1)2e e a e --≤≤- ……………16分。
江苏省南京市、盐城市2022届高三上学期期末考试数学试卷
2021～2022学年高三年级期末试卷数 学(满分：150分 考试时间：120分钟) 2022．1一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合M ＝{y|y ＝sin x ，x ∈R}，N ＝{y|y ＝2x，x ∈R)，则M∩N＝( ) A. [－1，＋∞) B. [－1，0) C. [0，1] D. (0，1]2. 在等比数列{a n }中，公比为q.已知a 1＝1，则0<q<1是数列{a n }单调递减的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3. 某中学高三(1)班有50名学生，在一次高三模拟考试中，经统计得：数学成绩X ～N(110，100)，则估计该班数学得分大于120分的学生人数为( )(参考数据：P(|X －μ|<σ)≈0.68，P(|X －μ|<2σ)≈0.95) A. 16 B. 10 C. 8 D. 24. 若f(α)＝cos α＋isin α(i 为虚数单位)，则[f(α)]2＝( )A. f (α)B. f (2α)C. 2f (α)D.f(α2) 5. 已知直线2x ＋y ＋a ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝( )A. －4或2B. －2或4C. －1± 3D. －1± 66. 在平面直角坐标系xOy 中，设A(1，0)，B(3，4)，向量OC →＝xOA →＋yOB →，x ＋y ＝6，则|AC →|的最小值为( )A. 1B. 2C. 5D. 2 57. 已知α＋β＝π4(α>0，β>0)，则tan α＋tan β的最小值为( )A.22B. 1C. －2－2 2D. －2＋2 2 8. 已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －4，x≤4，（x －16）2－143，x>4，则当x≥0时，f(2x )与f(x 2)的大小关系是( )A. f(2x)≤f(x 2) B. f(2x)≥f(x 2)C. f(2x )＝f(x 2) D. 不确定二、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 若函数f(x) ＝cos 2x ＋sin x ，则关于f(x)的性质说法正确的有( ) A. 偶函数 B. 最小正周期为πC. 既有最大值也有最小值D. 有无数个零点10. 若椭圆C ：x 29＋y2b 2＝1(b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，则下列b 的值能使以F 1F 2为直径的圆与椭圆C 有公共点的有( )A. b ＝ 2B. b ＝ 3C. b ＝2D. b ＝ 511. 若数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1，记在数列{a n }的前n ＋2(n∈N *)项中任取两项都是正数的概率为P n ，则( )A. P 1＝13B. P 2n <P 2n ＋2C. P 2n －1<P 2nD. P 2n －1＋P 2n <P 2n ＋1＋P 2n ＋212. 如图，在四棱锥PABCD 中，已知PA⊥底面ABCD ，底面ABCD 为等腰梯形，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝CD ＝1，BC ＝PA ＝2.记四棱锥PABCD 的外接球为球O ，平面PAD 与平面PBC 的交线为l ，BC 的中点为E ，则( )A. l ∥BCB. AB ⊥PCC. 平面P DE⊥平面PADD. l 被球O 截得的弦长为1三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若f(x)＝(x ＋3)5＋(x ＋m)5是奇函数，则m ＝________．14. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若a ＝3b ，则cos B 的最小值是________． 15. 计算机是二十世纪最伟大的发明之一，被广泛地应用于人们的工作与生活之中，计算机在进行数的计算处理时，使用的是二进制，一个十进制数n(n∈N *)可以表示成二进制数(a 0a 1a 2…a k )2，k ∈N ，则n ＝a 0·2k ＋a 1·2k －1＋a 2·2k －2＋…＋a k ·20，其中a 0＝1，当i≥1时a i ∈{0，1}．若记a 0，a 1，a 2，…，a k 中1的个数为f(n)，则满足k ＝6，f(n)＝3的n 的个数为________．16. 已知：若函数f(x)，g(x)在R 上可导，f(x)＝g(x)，则f′(x)＝g′(x).又英国数学家泰勒发现了一个恒等式e 2x＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n＋…，则a 0＝________，＝________．(第一空2分，第二空3分)四、 解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. (本小题满分10分)从①sin D ＝sin A ；② S △ABC ＝3S △BCD ；③DB → ·DC →＝－4这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并完成解答．已知点D 在△ABC 内，cos A>cos D ，AB ＝6，AC ＝BD ＝4，CD ＝2，若________，求△ABC 的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18. (本小题满分12分)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋4，数列{b n }的首项为b 1＝2. (1) 若{b n }是公差为3的等差数列，求证：{ab n }也是等差数列； (2) 若{ab n }是公比为2的等比数列，求数列{b n }的前n 项和． 19. (本小题满分12分)佩戴头盔是一项对家庭与社会负责的表现，某市对此不断进行安全教育．下表是该市某主干路口连续4年监控设备抓拍到的驾驶员不戴头盔的统计数据：年度 2018 2019 2020 2021 年度序号x 1 2 3 4 不戴头盔人数y1 2501 0501 000900(1) 请利用所给数据求不戴头盔人数y与年度序号x之间的回归直线方程y＝b x＋a，并估算该路口2022年不戴头盔的人数；(2) 交警统计2018～2021年通过该路口的开电瓶车出事故的50人，分析不戴头盔行为与事故是否伤亡的关系，得到下表，能否有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关？不戴头盔戴头盔伤亡7 3不伤亡13 27参考公式和数据：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.87920. (本小题满分12分)在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AA 1＝13，AB ＝8，BC ＝6，AB ⊥BC ，AB 1＝B 1C ，D 为AC 中点，平面AB 1C ⊥平面ABC.(1) 求证：B 1D ⊥平面ABC ；(2) 求直线C 1D 与平面AB 1C 所成角的正弦值．21. (本小题满分12分)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2 ＝1(a>0，b>0)的右顶点为A ，虚轴长为 2 ，两准线间的距离为263 .(1) 求双曲线C 的方程；(2) 设动直线l 与双曲线C 交于P ，Q 两点，已知AP⊥AQ，设点A 到动直线l 的距离为d ，求d 的最大值．22. (本小题满分12分)设函数f(x)＝－3ln x ＋x 3＋ax 2－2ax ，a ∈R. (1) 求函数f(x)在x ＝1处的切线方程；(2) 若x 1，x 2为函数f(x)的两个不等于1的极值点，设P(x 1，f(x 1)，Q(x 2，f(x 2))，记直线PQ 的斜率为k ，求证：k ＋2<x 1＋x 2.2021～2022学年高三年级期末试卷(南京、盐城) 数学参考答案及评分标准1. D2. C3. C4. B5. A6. D7. D8. B9. CD 10. ABC 11. AB 12. ABD 13. －3 14. 223 15. 15 16. 1 201117. 解：若选①.∵ cos A ＞cos D ，A ∈(0，π)，D ∈(0，π)，∴A ＜D.又sin D ＝sin A ，∴D ＋A ＝π，∴ cos D ＝－cos A ．(4分) 设BC ＝x ，在△ABC 与△BCD 中，由余弦定理得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝42＋62－x 22×4×6，cos D ＝DB 2＋DC 2－BC 22DB ·DC ＝42＋22－x22×4×2，∴42＋22－x 22×4×2＝－42＋62－x22×4×6，(6分) 解得x 2＝28, ∴ cos A ＝42＋62－282×4×6＝12.(8分)∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3，∴S △ABC ＝12AB·AC sin A ＝12×6×4×32＝6 3.(10分)若选②.∵S △ABC ＝3S △BCD ，∴12AB·AC sin A ＝3×12DB·DC sin D.又AB ＝6，AC ＝BD ＝4，CD ＝2，∴12×6×4sin A ＝3×12×4×2sin D ，∴ sin D ＝sin A ．(2分)∵ cos A>cos D ，A ∈(0，π)，D ∈(0，π)，∴A<D.又sin D ＝sin A ，∴D ＋A ＝π，∴ cos D ＝－cos A ．(4分) 设BC ＝x ，在△ABC 与△BCD 中由余弦定理得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝42＋62－x 22×4×6，cos D ＝DB 2＋DC 2－BC 22DB ·DC ＝42＋22－x22×4×2，∴42＋22－x 22×4×2＝－42＋62－x22×4×6，(6分) 解得x 2＝28，∴ cos A ＝42＋62－282×4×6＝12.(8分)∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3，∴S △ABC ＝12AB·AC sin A ＝12×6×4×32＝6 3.(10分)若选③.在△BCD 中，由余弦定理得BC 2＝DB 2＋DC 2－2DB×DC·cos D ＝DB 2＋DC 2－2DB →·DC →＝42＋22－2×(－4)＝28.(4分) 在△ABC 中，由余弦定理得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝42＋62－282×4×6＝12.(8分)∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3，∴S △ABC ＝12AB·AC sin A ＝12×6×4×32＝6 3.(10分)18. (1) 证明：∵ {b n }是公差为3的等差数列，∴b n ＋1－b n ＝3.(2分)又a n ＝2n ＋4，∴ab n ＋1－ab n ＝2(b n ＋1＋4)－2(b n ＋4)＝2(b n ＋1－b n )＝6， ∴ {ab n }是等差数列．(6分) 注：写出b n ＝3n －1得2分．(2) 解：∵ {a b n }是公比为2的等比数列，首项为ab 1＝a 2＝2×2＋4＝8，∴ab n ＝8×2n －1＝2n ＋2.(8分)又ab n ＝2b n ＋4＝2n ＋2，∴b n ＝2n ＋1－2，(10分) 则数列{b n }的前n 项和S n ＝(22－2)＋(23－2)＋…＋(2n ＋1－2)＝(22＋23＋…＋2n ＋1)－2n ＝2n ＋2－2n －4.(12分) 19. 解： (1) 775人(2) 提出假设H 0：不戴头盔行为与事故伤亡无关．由表中数据得K 2＝50×（7×27－3×13）210×30×40×20＝4.687 5>3.841.(9分)而P(K 2≥3.841)＝0.05，故有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关．(12分) 20. (1) 证明：∵ AB 1＝B 1C ，D 为AC 中点，∴ B 1D ⊥AC ，(2分)∵平面AB 1C⊥平面ABC ，平面AB 1C ∩平面ABC ＝AC ，B 1D ⊂平面AB 1C ， ∴ B 1D ⊥平面ABC.(5分)(2) 解：(解法1：向量法)在平面ABC 内过点D 分别作AB ，BC 的平行线，交AB ，BC 于点E ，F.由(1)知B 1D ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，以{DE → ，DF →，DB 1}为基底建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.(7分)∵ AB＝8，BC ＝6，∴ AC ＝10，BD ＝5. ∵ AA 1＝BB 1＝13，∴ B 1D ＝12，得D(0，0，0)，A(3，－4，0)，B(3，4，0)，C(－3，4，0)，B 1(0，0，12). 设点C 1(x ，y ，z)，由BC →＝B 1C 1，得(－6，0，0)＝(x ，y ，z －12)，即点C 1(－6，0，12)，则AC →＝(－6，8，0)，B 1C ＝(－3，4，－12)，C 1D ＝(6，0，－12). 设平面AB 1C 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，则⎩⎨⎧n ·AC →＝－6x ＋8y ＝0，n·B 1C ＝－3x ＋4y －12z ＝0，得3x ＝4y ，z ＝0. 不妨取x ＝4，得平面AB 1C 的一个法向量为n ＝(4，3，0).(10分) 设直线C 1D 与平面AB 1C 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，C 1D 〉|＝|n·C 1D||n|·|C 1D|＝|6×4＋0×3＋（－12）×0|5·62＋02＋（－12）2＝4525.(12分)(解法2：综合法)设B 1C ∩BC 1＝M ，由BM ＝MC 1知点C 1到平面AB 1C 的距离d 和点B 到平面AB 1C 的距离相等．过点B 作BH⊥AC，垂足为H ，连接C 1H(图略)，∵BH ⊥AC ，平面AB 1C ⊥平面ABC ，平面AB 1C ∩平面ABC ＝AC ，BH ⊂平面ABC ， ∴BH ⊥平面AB 1C ，则BH 为点B 到平面AB 1C 的距离．(7分)在Rt △ABC 中，易知d ＝BH ＝6×810＝245.(9分)由(1)知B 1D ⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，∴B 1D ⊥BC.∵B 1C 1∥BC ，∴B 1D ⊥B 1C 1，则△B 1DC 1为直角三角形． ∵AB ＝8，BC ＝6，AB ⊥BC ，∴AC ＝10，BD ＝5. ∵AA 1＝BB 1＝13，∴B 1D ＝12.∵B 1C 1＝BC ＝6，∴C 1D ＝62＋122＝6 5.(11分)设直线BC 1与平面AB 1C 所成的角为θ，则sin θ＝d C 1D ＝24565＝4525.(12分)(解法3)设B 1C ∩BC 1＝M ，由BM ＝MC 1知点C 1到平面AB 1C 的距离d 和点B 到平面AB 1C 的距离相等．利用等积法VB 1ABC ＝VBAB 1C ，求点B 到平面AB 1C 的距离．下同解法2.21. 解：(1) 由虚轴长为2知b ＝22，(1分) 由两准线间的距离为263知a 2c ＝63，(2分)平方得3a 4＝2c 2＝2(a 2＋b 2)＝2(a 2＋12)，解得a 2＝1，故双曲线方程为x 2－2y 2＝1.(4分)(2) ① 若动直线l 的斜率不存在，则设l ：x ＝t ，代入双曲线方程得P(t ，t 2－12)，Q(t ，－t 2－12).由AP⊥AQ，得(t －1)2－t 2－12＝0，解得t ＝3或t ＝1(舍)，此时点A 到l 的距离为d ＝2；(6分)②若动直线l 的斜率存在，则可设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，直线l ：y ＝kx ＋t ，代入双曲线的方程，得(1－2k 2)x 2－4ktx －(2t 2＋1)＝0，则x 1＋x 2＝4kt 1－2k 2，x 1x 2＝－2t 2＋11－2k2.(8分)由AP⊥AQ 知(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝0.由y ＝kx ＋t 可知(x 1－1)(x 2－1)＋(kx 1＋t)(kx 2＋t)＝0，化简：得(1＋k 2)x 1x 2＋(kt －1)(x 1＋x 2)＋t 2＋1＝0，代入x 1＋x 2＝4kt 1－2k 2，x 1x 2＝－2t 2＋11－2k 2，化简，得(3k ＋t)(k ＋t)＝0.(10分)若k ＋t ＝0，则直线经过右顶点A ，舍去；故3k ＋t ＝0，即直线经过定点M(3，0)，(11分) 则d≤AM＝2.综上①②，d 的最大值为2.(12分)注：也可建立d 关于k 的函数解析式来求最值，参照评分．22. 解：(1) 由f(x)＝－3ln x ＋x 3＋ax 2－2ax ，得f′(x)＝－3x ＋3x 2＋2ax －2a ，所以f′(1)＝0.又f(1)＝－3ln 1＋13＋a·12－2a·1＝1－a ，所以函数f(x)在x ＝1处的切线方程为y ＝1－a.(3分)(2) 由(1)得f′(x)＝x －1x [3x 2＋(2a ＋3)x ＋3]，因为x 1，x 2为函数f(x)的两个不等于1的极值点，且不妨设x 1>x 2>0，所以x 1＋x 2＝－2a ＋33，x 1x 2＝1，(5分)且需满足⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（2a ＋3）2－36>0，2a ＋3<0，所以a<－92，(6分)直线PQ 的斜率为k ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1＝3lnx 1x 2x 2－x 1＋x 22＋1＋x 21＋a(x 2＋x 1)－2a ，(7分)先证：ln x 1x 2>2（x 1－x 2）x 1＋x 2(x 1>x 2>0).证明：令x 1x 2＝u>1，不等式即证φ(u)＝ln u －2（u －1）u ＋1>0，所以φ′(u)＝1u －4（u ＋1）2＝（u －1）2u （u ＋1）2>0，所以φ(u)在(1，＋∞)上单调递增，所以φ(t)>φ(1)＝0，故不等式成立．(9分)所以k ＝3lnx 1x 2x 2－x 1＋(x 2＋x 1)2－2x 1x 2＋1＋a(x 2＋x 1)－2a<－6x 2＋x 1＋(x 2＋x 1)2－1＋a(x 2＋x 1)－2a.令x 1＋x 2＝t ，则a ＝－3t ＋32<－92，所以t>2，则k<－6t ＋t 2－1－3t ＋32(t －2)，所以k<（t －2）（t 2＋2t ＋3）t －（3t ＋3）（t －2）2＝t －22(－t ＋6t ＋1).因为t>2，所以k<t －22(－2＋62＋1)＝t －2，故k ＋2<x 1＋x 2.(12分)注：也可将k ＋2－(x 1＋x 2)放缩后转化为a 的函数．。
2023-2024学年江苏省苏州市高三(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省苏州市高三（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合U ＝R ，集合M ＝{x |log 2x ＜1}，N ＝{x |x ＞1}，则集合{x |0＜x ≤1}＝（ ） A ．M ∪NB ．M ∩NC ．（∁U M ）∩ND ．（∁U N ）∩M2．设i 为虚数单位，复数z 满足（3﹣i ）z ＝4+2i ，则|z |＝（ ） A ．√2B ．√3C ．2D ．43．2023年9月28日，沪宁沿江高速铁路开通运营，形成上海至南京间的第二条城际高速铁路，沪宁沿江高速铁路共设8座车站（如图）．为体验高铁速度，游览各地风光，甲乙两人准备同时从南京南站出发，甲随机选择金坛、武进、江阴、张家港中的一站下车，乙随机选择金坛、武进、江阴、张家港、常熟中的一站下车．已知两人不在同一站下车，则甲比乙晚下车的概率为（ ）A ．320B ．14C ．120D ．384．已知函数f （x ）＝cos （ωx +π3）+1（ω＞0）的最小正周期为π，则f （x ）在区间[0，π2]上的最大值为（ ） A ．12B ．1C ．32D ．25．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =π2，BC ＝2AD ＝2AB ＝2，以下底BC 所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为（ ） A ．2π3B ．4π3C ．5π3D ．2π6．在平面直角坐标系xOy 中，已知A 是圆C 1：x 2+（y ﹣3）2＝1上的一点，B ，C 是圆C 2：（x ﹣4）2+y 2＝4上的两点，则∠BAC 的最大值为（ ） A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π37．已知正实数a ，b ，c 满足2a+1a=2a ﹣a ，3b+1b =3b ﹣b ，4c+1c=4c ﹣c ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．a ＜c ＜bD ．b ＜a ＜c8．若sin π10是函数f （x ）＝ax 3﹣bx +1（a ，b ∈N *）的一个零点，则f （1）＝（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024届江苏省高三上学期期末考数学试题及答案
绝密★启用前江苏省2023—2024学年高三上学期期末迎考卷数 学注意事项:1. 本试卷共150分,考试用时120分钟.2. 答题前,考生务必将班级、姓名、学号填写在密封线内.一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A ={20,24},B ={20,23},则A ∪B 中合数的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知复数z =cos 2π3-32i(i 为虚数单位),则复数z 3=( )A. 1B. -1C. iD. -i3. 已知函数f (x )=cos(x +φ)-π2≤φ≤则“y =f (x )为奇函数”是“φ=π2”的( )A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分又不必要条件4. 平面上的三个力F 1,F 2,F 3作用于同一点,且处于平衡状态.已知F 1=(1,0),|F 2|=2,<F 1,F 2>=120°,则|F 3|=( )A. 12 B. 1 C.3 D. 25. 已知x 3+(a >0)的展开式中仅有第5项的系数最大,则实数a 的取值范围是( )(第6题)6. 如图,函数f (x )=2tan ωx +ω>0)的部分图象与x 轴相交于A ,B 两点,与y 轴相交于点C ,且△ABC的面积为π2,则ω的值为( )A. 1B. 2C. 3D. 47. 设数列{a n }满足2a n =a n +1+a n -1(n ≥2且n ∈N *),S n 是数列{a n }的前n 项和,且5S 7-7S 5=35,a 1=1,则数列2 024项和为( )A. 20242025B. 20252026C. 5061013D. 202340508. 已知函数f (x )=2x +3,x ≤0,(x -2)2,x >0,则函数g (x )=(f (x ))2-f (f (x ))的所有零点之和为( )A. 2B. 3C. 0D. 1二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9. 已知某地区秋季的昼夜温差X~N (μ,σ2),且P (X >9)=12,该地区某班级秋季每天感冒的人数y 关于昼夜温差x (单位:℃)的经验回归方程为y =b x +1,秋季某天该班级感冒的学生有9人,其中有4位男生,5位女生,则下列结论正确的是(参考数据:y =19,x =μ)( )A. 若P (X >11)=25,则P (7<X <9)=110B. 从这9人中随机抽取2人,其中至少有一位女生的概率为56C. 从这9人中随机抽取2人,其中男生人数ξ的期望为49D. 昼夜温差每提高1 ℃,该班级感冒的学生大约增加2人10. 已知函数f (x )=(x 2+ax +b )e x ,则下列结论正确的是( )A. 若函数f (x )无极值点,则f (x )没有零点B. 若函数f (x )无零点,则f (x )没有极值点C. 若函数f (x )恰有一个零点,则f (x )可能恰有一个极值点D. 若函数f (x )有两个零点,则f (x )一定有两个极值点11. 已知点A ,B 均在拋物线C :y 2=x 上,点P (0,3),则( )A. 直线PA 的斜率可能为110B. 线段PA 长度的最小值为5C. 若P ,A ,B 三点共线,则存在唯一的点B ,使得点A 为线段PB 的中点D. 若P ,A ,B 三点共线,则存在两个不同的点B ,使得点A 为线段PB 的中点12. 如图,四棱锥P -ABCD 的底面是梯形,BC ∥AD ,AB =BC =CD =1,AD =2,PA =PD =2,平面PAD ⊥平面ABCD ,O ,E 分别为线段AD ,PA 的中点,点Q 是底面ABCD 内(包括边界)的一个动点,则下列结论正确的是( )(第12题)A. AC ⊥BPB. 三棱锥B -AOE 外接球的体积为3π4C. 异面直线PC 与OE 所成角的余弦值为34D. 若直线PQ 与平面ABCD 所成的角为60°,则点Q 的轨迹长度为3π三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13. 若圆C 与直线3x -4y -12=0相切,且与圆x 2-2x +y 2=0相切于点A (2,0),写出一个符合要求的圆C 的标准方程: . 14. 计算:4sin 40°-tan 40°= .15. 与圆台的上、下底面及侧面都相切的球,称为圆台的内切球.若圆台的上、下底面半径分别为r 1, r 2,且2r 1+r 2=22,则它的内切球的体积的最大值为 .16. 反比例函数y =1x 的图象是双曲线(其渐近线分别为x 轴和y 轴),同样的,“对勾函数”y =mx +nx (m >0,n >0)的图象也是双曲线.设m =33,n =34,则此“对勾函数”所对应的双曲线的焦距为 . 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本小题满分10分)已知△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,c =2,2a =bc cos C +c.(1) 求角B 的大小;(2) 若BD =DC ,|AB |≠|AC |,∠CAD =π6,求△ABC 的面积.18. (本小题满分12分)抽屉里装有5双型号相同的手套,其中2双是非一次性手套,3双是一次性手套,每次使用手套时,从抽屉中随机取出1双(2只都为一次性手套或都为非一次性手套),若取出的是一次性手套,则使用后直接丢弃,若取出的是非一次性手套,则使用后经过清洗再次放入抽屉中.(1) 求在第2次取出的是非一次性手套的条件下,第1次取出的是一次性手套的概率;(2) 记取了3次后,取出的一次性手套的双数为X,求X的分布列及数学期望.19. (本小题满分12分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别为棱AA1,BB1的中点,AC⊥AB,AB=4,AC=3,AA1=6.(第19题)(1) 求证:CM⊥平面C1MN;(2) 求二面角C-C1N-M的正弦值.20. (本小题满分12分)已知函数f(x)=e x-ln x.a(1) 当a=1时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程;(2) 若0<a<1,求证:f(x)≥2+ln a.a21. (本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1=1,且对任意正整数m ,n 都有a m +n =a n +a m +2mn.(1) 求数列{a n }的通项公式;(2) 求数列{(-1)n a n }的前n 项和S n ,若存在正整数k ,使得2S k +S k +1=0,求k 的值;(3) 设b n =12ln 1+1a n+T n 是数列{b n }的前n 项和,求证:T n <nn +1.22. (本小题满分12分)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),点C (0,-1)和点D -85,-E 上.(1) 求椭圆E 的方程;(2) 设P 是椭圆上一点(异于C ,D ),直线PC ,PD 与x 轴分别交于M ,N 两点.证明:在x 轴上存在两点A ,B ,使得MB ·NA 是定值,并求此定值.江苏省2023-2024学年高三上学期期末迎考卷数学参考答案与评分标准1. C 解析:因为A ={20,24},B ={20,23},所以A ∪B ={20,23,24},则A ∪B 中的合数为20和24.2. A 解析:z =cos 2π3-32i=-12-32i,z 3=-12-32i 3=-18-338i+98+338i=1.3. C 解析:若y =f (x )为奇函数,则f (x )满足f (-x )=-f (x ),所以cos(-x +φ)=-cos(x +φ),则有cos x cos φ=0,则cos φ=0.因为-π2≤φ≤π2,所以φ=±π2,所以“y =f (x )为奇函数”是“φ=π2”的必要不充分条件.4. C 解析:由题意得F 1+F 2+F 3=0,所以-F 3=F 1+F 2,两边平方得|F 3|2=|F 1|2+2F 1·F 2+|F 2|2,即|F 3|2=1+2×1×2×所以|F 3|=3.5. A 解析:第r +1项的系数为C r 6a r ,由题意得C 46a 4>C 36a 3,C 46a 4>C 56a 5,解得43<a <52.6. B 解析:由题知|AB |=T =πω,由f (0)=2tan π4=2,得y C =2,所以S △ABC =12×2×πω=π2,所以ω=2.7. C 解析:由题意得2a n +1=a n +a n +2,n ∈N *,所以a n +1-a n =a n +2-a n +1,n ∈N *,则数列{a n }为等差数列,设公差为d.因为S n =na 1+n (n -1)2d ,所以S n n=a 1+n -12d ,S n +1n +1-S n n =d 2(常数),.因为5S 7-7S 5=35,所以S 77-S 55=1,的公差为12,所以S n n =S 11+(n -1)×12=1+n -12=n +12,所以n (n +1)4S n S n +1=1(n +1)(n +2)=1n +1-1n +2,所以2024∑n =1n (n +1)4S n S n +1=∑n ==12-12026=5061013.8. D 解析:因为g (x )=(f (x ))2-f (f (x )),所以令t =f (x ),则g (x )=t 2-f (t ),令g (x )=0,可得t 2=f (t ).当t >0时,由t 2=f (x ),可得t 2=(t -2)2,即-4t +4=0,解得t =1;当t ≤0时,由t 2=f (t ),可得t 2=2t +3,即t 2-2t -3=0,解得t =-1或t =3(舍去).所以t =±1,即f (x )=±1.当x >0时,令(x -2)2=1或(x -2)2=-1(舍去),解得x =1或x =3;当x ≤0时,令2x +3=±1,解得x =-1或x =-2.所以函数g (x )=(f (x ))2-f (f (x ))的零点之和为1+3-1-2=1.9. ABD 解析:对于A,因为P (X >9)=12,所以μ=9,所以P (X <7)=P (X >11)=25,所以P (7<X <9)=12-P (X <7)=110,故A 正确;对于B,P =1-C 24C 29=56,故B 正确;对于C,ξ服从超几何分布,且N =9,M =4,n =2,所以E (ξ)=nM N =89,故C 错误;对于D,因为y =19,x =9,所以19=9b +1,得b =2,故D 正确.10. AD 解析:令f (x )=0,得(x 2+ax +b )e x =0,即x 2+ax +b =0.Δ1=a 2-4b.当Δ1>0时,f (x )有两个零点;当Δ1=0时,f (x )有一个零点;当Δ1<0时,f (x )无零点.又f'(x )=[x 2+(a +2)x +a +b ]e x .令f'(x )=0,得x 2+(a +2)x +a +b =0.Δ2=(a +2)2-4(a +b )=a 2-4b +4.当Δ2>0时,f'(x )有两个变号零点,即f (x )有两个极值点;当Δ2≤0时,f'(x )没有变号零点,即f (x )没有极值点.对于A,因为f (x )没有极值点,所以Δ2=a 2-4b +4≤0,即a 2-4b ≤-4,故Δ1<0,所以f (x )没有零点,故A 正确;对于B,若f (x )没有零点,则Δ1=a 2-4b <0,此时Δ2=a 2-4b +4<4,当Δ2>0时,f (x )有两个极值点,故B 错误;对于C,若f (x )恰有一个零点,则Δ1=a 2-4b =0,此时Δ2=a 2-4b +4>0,故f (x )有两个极值点,故C 错误;对于D,若f (x )有两个零点,则Δ1=a 2-4b >0,此时Δ2=a 2-4b +4>0,故f (x )一定有两个极值点,故D 正确.11. BD 解析:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1=y 21,x 2=y 22.对于A,假设直线PA 的斜率为110,则k AP =y 1-3y 21=110⇒y 21-10y 1+30=0,由于Δ=100-120<0,则该方程无解,所以直线PA 的斜率不可能为110,故A 错误;对于B,|PA |=y 41+(3―y 1)2,记y =y 41+(3-y 1)2,则y'=4y 31-2(3-y 1),记g (y 1)=4y 31-2(3-y 1),则g'(y 1)=12y 21+2>0,y'=g (y 1)单调递增.由于y' y 1=1=0,因此,当y 1>1时,y'>0,y =y 41+(3-y 1)2单调递增,当y 1<1时,y'<0,y =y 41+(3-y 1)2单调递减,故当y 1=1时,y =y 41+(3-y 1)2取最小值5,因此|PA |=y 41+(3-y 1)2的最小值为5,故B 正确;对于C,若P ,A ,B 三点共线,A 为线段PB 的中点,则0+x 2=2x 1,3+y 2=2y 1,所以x 2=2x 1,y 2=2y 1-3.又y 21=x 1,y 22=x 2,所以(2y 1-3)2=x 2=2x 1=2y 21,即2y 21-12y 1+9=0,Δ=144-4×2×9=72>0,故2y 21-12y 1+9=0有两个不相等的实数根,所以满足条件的点B 不唯一,故C 错误,D 正确.12. AC 解析:易证四边形ABCO 为菱形,所以BO ⊥AC ,如图,连接PO ,因为PA =PD =2,O 为AD 中点,所以PO ⊥AD.因为平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAD ∩平面ABCD =AD ,PO ⊂平面PAD ,所以PO ⊥平面ABCD.因为AC ⊂平面ABCD ,所以PO ⊥AC.又PO ,OB ⊂平面POB ,PO ∩OB =O ,所以AC ⊥平面POB.又BP ⊂平面POB ,所以AC ⊥BP ,故A 正确.易证△AOE 为等腰直角三角形,△AOB 为等边三角形,且平面PAD ⊥平面ABCD ,所以三棱锥B -AOE 外接球的球心为等边三角形AOB 的中心,所以三棱锥B -AOE 外接球的半径为33,所以三棱锥B -AOE 外接球的体积为V =43π×=4327π,故B 错误.因为PD ∥OE ,所以∠CPD 为异面直线PC 与OE 所成的角(或其补角).因为PO =PD 2-OD 2=1,所以PC =PO 2+OC 2=2.在△PCD 中,由余弦定理,得cos ∠CPD =2+2―12×2×2=34,故C 正确.因为PO ⊥平面ABCD ,连接OQ ,PQ ,若直线PQ 与平面ABCD 所成的角为60°.则∠PQO =60°.因为PO =1,所以OQ =33,故点Q 的轨迹是以O 为圆心,33为半径的半圆,所以点Q 的轨迹长度为3π3,故D 错误.(第12题)(第13题)13. (x +1)2+y 2=9或(x -114)2+y 2=916 解析:由题知两圆心连线过点A (2,0),圆x 2-2x +y 2=0,即(x -1)2+y 2=1,圆心为(1,0),半径为1,故圆C 的圆心C 在x 轴上.①若两圆内切,则C (2-r ,0),故d =|3(2-r )-12|5=r ,解得r =3,则圆C 的标准方程为(x +1)2+y 2=9;②若两圆外切,则C (2+r ,0),故d =|3(2+r )-12|5=r ,解得r =34,则圆C 的标准方程为x +y 2=916.14. 3 解析:4sin 40°-tan 40°=4sin 40°-sin40°cos40°=4sin40°cos40°―sin40°cos40°=2sin80°―sin40°cos40°=2cos10°―sin40°cos40°=2cos(40°―30°)―sin40°cos40°=2cos40°cos30°+2sin40°sin30°―sin40°cos40°=3.15. 4π3 解析:如图,画出截面图.易得O 1B =BE =r 1,O 2C =CE =r 2,所以BC =r 1+r 2.记内切球的半径为R ,则O 1O 2=2R.过B 作BG ⊥DC ,垂足为G ,则CG =r 2-r 1,BG =O 1O 2=2R ,所以(r 1+r 2)2=4R 2+(r 2-r 1)2⇒4R 2=4r 1r 2=4⇒R ≤1,所以它的内切球的体积的最大值为43πR 3=4π3.(第15题)16. 22 解析:由题可得双曲线为y =33x +34x,所以渐近线为x =0及y =33x ,渐近线夹角为60°,则b a =33,所以焦点所在的直线方程为y =3x.由y =3x ,y =33x +34x,得3x =33x +34x,解得x =64,y =324或x =―64,y =―324.此时a =62,则b =22,所以c =a 2+b 2=2,则焦距为22.17. 解答:(1) 因为2a =bc cos C +c ,c =2,所以a =b cos C +1,所以由余弦定理得a =b a 2+b 2-c 22ab+1,所以2a 2=a 2+b 2-c 2+2a ,所以a 2+c 2-b 2=ac ,所以cos B =a 2+c 2-b 22ac=12.又B ∈(0,π),所以B =π3.(5分)(2) 设∠DCA =α,则∠ADB =α+π6,∠BAD =π2-α.在△ABD 中,=ADsin B ,即BD cos α=AD sin π3.在△ACD 中,由正弦定理有DC sin π6=AD sin α.因为BD =DC ,所以sin π6sin α=cos αsin π3,即sin αcosα=sin π6sin π3,所以sin 2α=32.因为α∈0,所以2α=π3或2α=2π3,所以α=π6或α=π3(舍去).(8分)当α=π6时,A =π2,AC △ABC 的面积为12×2×23=23.(10分)(第17题)18. 解答:(1) 设“第1次取出的是一次性手套”为事件A ,“第2次取出的是非一次性手套”为事件B ,则P (B )=35×12+25×25=2350,P (AB )=P (A )P (B |A )=35×12=310,所以在第2次取出的是非一次性手套的前提下,第1次取出的是一次性手套的概率为P (A |B )=P (AB )P (B )=1523.(5分)(2) 记取出的一次性手套的双数为X ,则X =0,1,2,3,P (X =0.064,P (X =1)=35×+25×35×12+×35=0.366,P (X =3)=35×24×13=0.1,则P (X =2)=1-0.064-0.366-0.1=0.47,则X 的分布列为X 0123P0.0640.3660.470.1数学期望E (X )=0.366+2×0.47+3×0.1=1.606.(12分)19. 解答:(1) 因为AC ⊥AB ,且平面ABC ⊥平面ACC 1A 1,平面ABC ∩平面ACC 1A 1=AC ,所以AB ⊥平面ACC 1A 1.又CM ⊂平面ACC 1A 1,所以AB ⊥CM.因为M ,N 分别为AA 1,BB 1的中点,所以MN ∥AB ,所以MN ⊥CM.因为AM =A 1M =3,AC =A 1C 1=3,所以CM =C 1M =9+9=32,所以CM 2+C 1M 2=18+18=36=C C 21,所以CM ⊥C 1M.又因为MN ,C 1M ⊂平面C 1MN ,MN ∩C 1M =M ,所以CM ⊥平面C 1MN.(5分)(2) 因为AA 1⊥平面ABC ,AB ⊥AC ,所以以A 为原点,分别以AB ,AC ,AA 1的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,所以C (0,3,0),C 1(0,3,6),M (0,0,3),N (4,0,3),所以CC 1=(0,0,6),C 1N =(4,-3,-3),CM =(0,-3,3).设平面CC 1N 的法向量为n =(x ,y ,z ),则n ·CC 1=0,n ·C 1N =0,即6z =0,4x -3y -3z =0,令x =3,则n =(3,4,0).由(1)知CM ⊥平面C 1MN ,故可取平面C 1MN 的一个法向量m =(0,-1,1),因为cos<m ,n >=m ·n |m ||n |=-225,故二面角C -C 1N -M =175.(12分)(第19题)20. 解答:(1) 当a =1时,f (x )=e x -ln x ⇒f'(x )=e x -1x (x >0),所以切线斜率k =f'(1)=e-1.又f (1)=e,所以f (x )在点A (1,e)处的切线方程为y -e=(e-1)(x -1),即y =(e-1)x +1.(5分)(2) f (x )=e x -ln x a ⇒f'(x )=e x -1ax =e x x >0),易知y =x e x 在(0,+∞)上单调递增,且y ∈(0,+∞),又0<a <1⇒1a >1,所以存在唯一x 0∈(0,+∞),使得x 0e x 0-1a =0,即e x 0=1ax 0⇔ln x 0=-x 0-ln a.当0<x <x 0时,f'(x )<0,f (x )为减函数,当x >x 0时,f'(x )>0,f (x )为增函数,所以f (x )min =f (x 0)=e x 0-ln x 0a =1ax 0+xa +ln a a =0+1x 0+ln a 2x 0×1x+ln a =2+ln aa,当且仅当x 0=1x 0,即x 0=1时等号成立.所以当0<a <1时,f (x )≥2+ln aa.(12分)21. 解答:(1) 由对任意正整数m ,n 都有a m +n =a n +a m +2mn ,令m =1,可得a n +1=a n +1+2n ,所以a n +1-a n =2n +1.当n ≥2时,a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n -1)=1+3+5+…+2n -1=n 2;当n =1时,a 1=1,符合上式,所以a n =n 2.(4分)(2) 由(1) 得a n =n 2,当n 为偶数时,S n =(-12+22)+(-32+42)+…+-(n -1)2+n 2=3+7+11+…+(2n -1)=n2(3+2n -1)2=n (n +1)2;当n 为奇数时,n -1为偶数,S n =S n -1+(-1)n a n S n -1-a n =n (n -1)2-n 2=-n 2-n2.综上所述,S n 为偶数,n 为奇数.若k 为偶数,则k +1为奇数,由2S k +S k +1=0,即k 2+k -(k +1)2+k +12=0,整理得k 2-k -2=0,解得k =-1(舍去)或k =2;若k 为奇数,则k +1为偶数,由2S k +S k +1=0,即-k 2-k +(k +1)2+k +12=0,整理得k 2-k -2=0,解得k =-1或k =2,均不合题意,舍去.综上,所求k 的值为2.(8分)(3) 由b n =12ln 1+1a n=ln 1+1n 2+1(n +1)2=ln n 2(n +1)2+n 2+(n +1)2n 2(n +1)2=ln n 2(n +1)2+n 2+n 2+2n +1n 2(n +1)2=lnn 2(n +1)2+2n (n +1)+1n 2(n +1)2=ln n (n +1)+1n (n +1)=ln 1=ln 1+1n结合当x >0时,ln (x +1)<x ,有b n =ln 1+1n <1n -1n +1,所以T n =b 1+b 2+b 3+…+b n =1-1n +1=nn +1.故T n <nn +1.(12分)22. 解答:(1) 将点C ,D 925b 2=1,解得a 2=4,b 2=1,所以椭圆E 的方程为x 24+y 2=1.(4分)(2) 设P (x 0,y 0),A (m ,0),B (n ,0).直线PD :y +35=令y =0,得x N =35x 0-85y 0y 0+35.直线PC :y =y 0+1x 0x -1,令y =0,得x M =x 0y 0+1.MB ·NA =n -x 0y 0+1m =(ny 0+n -x 0)(5my 0+8y 0+3m -3x 0)5y 20+8y 0+3.令5my 0+8y 0+3m =-3ny 0-3n ,则5m +8=-3n ,3m =-3n ,得n =4,m =-4,则MB ·NA =-3[(4y 0+4)2-x 20]5y 20+8y 0+3=-3[(4y 0+4)2-(4-4y 20)]5y 20+8y 0+3=-12(5y 20+8y 0+3)5y 20+8y 0+3=-12.故存在A (-4,0)和B (4,0),使得MB ·NA 是定值,且定值为-12.(12分)。
江苏省宿迁市2023年高三《数学》上学期期末试卷与参考答案
江苏省宿迁市2023年高三《数学》上学期期末试题与参考答案一､选择题本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集，集合，集合，则集合（ ）A B. C. D. 答案：D答案解析：由已知可得或，因此，，故选：D.2. 已知复数满足，则（ ）A. B.C. D.答案：C答案解析：由已知可得，因此，.故选：C.3.不等式成立的一个充分条件是（ ）A.B. .U =R {}14A x x =<<{}02B x x =<<()U A B = ð()1,2(]1,2()2,4[)2,4{0U B x x =≤ð}2x ≥{}24U A B x x ⋂=≤<ðz ()1i 4i z +=z =2()()()()4i 1i 4i2i 1i 22i 1i 1i 1i z -===-=+++-z ==10x x->1x <-1x >-C. D. 答案：C答案解析：或，因为或，所以不等式成立的一个充分条件是.故选：C4. 某地元旦汇演有2男3女共5名主持人站成一排，则舞台站位时男女间隔的不同排法共有（）A. 12种B. 24种C. 72种D. 120种答案：A答案解析：解：先排列2名男生共有种排法，再将3名女生插入到3名男生所形成的空隙中，共有种排法，所以舞台站位时男女间隔的不同排法共有种排法，故选：A.5. 已知向量，且，，则（ ）A. 3 B. C. D. 答案：B10x -<<01x<<()()211001101x x x x x x x x-->⇒>⇒+->⇒>10x -<<{}{|011x x x x ≠<<⊂}10x -<<10x x->01x <<22A 33A 232312A A =()()(),1,2,,1,2a x b y c ===- // a c b c ⊥2a b -=答案解析：向量，由得：，即，由得：，即，于是得，，，所以故选：B6. 已知拋物线的焦点为椭圆的右焦点，且与的公共弦经过，则椭圆的离心率为（ ）A.B.C.D.答案：A答案解析：依题意，椭圆的右焦点，则其左焦点，设过的与的公共弦在第一象限的端点为点P ，由抛物线与椭圆对称性知，轴，如图，直线PF 方程为：，由得点，于是得，()()(),1,2,,1,2a x b y c ===-// ac 21x -=12x =-b c ⊥ 220y -=1y =1(,1)2a =- ()2,1b =r 2(3,1)a b -=- 2a b -== 21:2(0)C y px p =>F 22222:1(0)x y C a b a b+=>>1C 2C F 1-2C (,0)2pF (,0)2p F '-F 1C 2C PF x ⊥2p x =222p x y px⎧=⎪⎨⎪=⎩(,)2p P p ||PF p =在中，，，则，因此，椭圆的长轴长，所以椭圆的离心率.故选：A7. 如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点，到容器底部的距离分别是12和18，则容器内液体的体积是（）A. B. C. D. 答案：C答案解析：如图为圆柱的轴截面图，过M 作容器壁的垂线，垂足为F,因为MN 平行于地面，故 ，椭圆长轴上的顶点，到容器底部的距离分别是12和18，故 ,在中，，PF F 'V 90PFF '∠= ||FF p '=||PF '=2C 2||||1)a PF PF p '=+=+||12FF e a '===-30 M N 15π36π45π48π30MNF ∠=︒M N 18126NF =-=Rt MFN △tan 30MF NF ︒==⨯的圆柱体积的一半，即为 ，故选：C.8. 记表示不超过实数的最大整数，记，则的值为（）A. 5479B. 5485C. 5475D. 5482答案：B答案解析：由题意可知，当时，；当时，；当时，；当时，，所以.故选：B二､多选题本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9. 已知的展开式中共有7项，则（ ）A. 所有项的二项式系数和为64B. 所有项的系数和为1C. 二项式系数最大的项为第4项D. 有理项共4项(1218)+2130452ππ⨯⨯⨯=[]x x []8log n a n =20221i i a =∑18n ≤<0n a =864n ≤<1n a =64512n ≤<2n a =5124096n ≤<3n a =20221705614482151135485i i a ==⨯+⨯+⨯+⨯=∑nx ⎛ ⎝答案：ACD答案解析：因为展开式中共有7项，所以，对于A ，所有项的二项式系数和为，所以A 正确，对于B ，令，则所有项的系数和为，所以B 错误，对于C ，由于二项式的展开项共有7项，所以二项式系数最大的项为第4项，所以C 正确，对于D ，的展开式的通项公式为，当时，展开式的项为有理项，所以有理项有4项，所以D 正确，故选：ACD10. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象如图，则（）A. 为奇函数B. 在区间上单调递增的nx ⎛⎝6n =6264=1x =6111264⎛⎫-= ⎪⎝⎭6x ⎛ ⎝366216612r rr r r r r T C x C x--+⎛⎛⎫==- ⎪ ⎝⎭⎝0,2,4,6r =()()sin f x A x ωϕ=+6π()y g x =()f x ()f x ,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭C. 方程在内有个实数根D. 的解析式可以是答案：BC答案解析：由图可知，函数的最小正周期为，，，所以，，则，可得，所以，，得，因为，则，所以，，将函数图象向右平移个单位可得到函数的图象，故.对于A 选项，因为，故函数不是奇函数，A 错；对于B 选项，当时，，故函数在区间上单调递增，B 对；对于C 选项，由，可得，当时，，所以，，C 对；的()1f x =()0,2π4()f x ()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()g x 453123T πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭22Tπω∴==()max 2A g x ==()()2sin 2g x x ϕ=+552sin 2126g ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5sin 16⎛⎫+= ⎪⎝⎭πϕ()52Z 62k k ππϕπ+=+∈()2Z 3k k πϕπ=-∈2πϕ<3πϕ=-()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()g x 6π()f x ()22sin 22sin 2633f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()202sin 03f π⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭()f x 63x ππ<<22033x ππ-<-<()f x ,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭()22sin 213f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭21sin 232x π⎛⎫-=⎪⎝⎭()0,2x π∈22102333x πππ-<-<2513172,,,36666x πππππ⎧⎫-∈⎨⎬⎩⎭对于D 选项，，D 错.故选：BC.11. 在平面直角坐标系中，若对于曲线上的任意点，都存在曲线上的点，使得成立，则称函数具备“性质”.则下列函数具备“性质”的是（ ）A. B. C. D. 答案：BD答案解析：选项A ，如图所示，曲线，当点取得时，要使得点满足成立，那么点落在直线上，而此时与两直线是平行的，不存在交点，故此时不满足在上存在点，使得成立，故选项A 错误；()22sin 22sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-≠-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭xOy ()y f x =P ()y f x =Q 0OP OQ ⋅=()f x ⊗⊗1y x =+2cos y x=ln x y x=e 2xy =-1y x =+P （-Q 0OP OQ ⋅= Q y x =1y x =+y x =1y x =+Q 0OP OQ ⋅=选项B ，如图所示，曲线，对于曲线上的任意点，都存在曲线上的点，使得成立，故选项B 正确；选项C ，如图所示，曲线，当点取得时，要使得点满足成立，那么点落在直线上，而此时与两曲线不存在交点，故此时不满足在上存在点，使得成立，故选项C 错误；2cos y x =2cos y x =P 2cos y x=Q 0OP OQ ⋅=ln xy x=P 10（，）Q 0OP OQ ⋅= Q 0y =ln x y x =0y =ln xy x=Q 0OP OQ ⋅=选项D ，如图所示，曲线，对于曲线上的任意点，都存在曲线上的点，使得成立，故选项D 正确；故选：BD12. 如图，一张长､的矩形纸，，分别是其四条边的中点.现将其沿图中虚线折起，使得四点重合为一点，从而得到一个多面体，则（）A. 在该多面体中，B. 该多面体是三棱锥C. 在该多面体中，平面平面D.该多面体的体积为答案：BCDe 2x y =-e 2x y =-P e 2xy =-Q 0OP OQ ⋅=,A B ,C D 1234,,,P P P P P BD =⊥BAD BCD112，1，分别是其四条边的中点，现将其沿图中虚线折起，使得四点重合为一点，且为的中点，从而得到一个多面体，所以该多面体是以为顶点的三棱锥，故B 正确；，，故A 不正确；由于，所以，，可得平面，则三棱锥的体积为，故D 正确；因为，，所以平面，又平面，可得平面平面，故C 正确.故选：BCD,,,A B C D 1234,,,P P P P P P BD ABCD ,,,A B C D AB BC CD DA ====1AC BD ==AP CP ==221+=AP CP ⊥BP CP ⊥BD ⊥ACP A BCD -1111133212ACP BD S ⨯⨯=⨯⨯=V AP BP ⊥AP CP ⊥AP ⊥BCD AP ⊂BAD ⊥BAD BCD三､填空题本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知直线与圆交于两点，为原点，且，则实数的值为__________.答案：答案解析：联立，设，则，因为，所以有，解得.故答案为：14. 设函数的定义域为，满足，且当时，，则的值为__________.答案：答案解析：因为函数的定义域为，满足，且当时，，所以:0l x y m +-=224x y +=,A B O 2OA OB ⋅=u u r u u u rm 2222022404x y m x mx m x y +-=⎧⇒-+-=⎨+=⎩1122(,),(,)A x x m B x x m -+-+212124,2m x x x x m -=+=212122()2OA OB x x m x x m ⋅=-++= 22242m m m --+=m =()f x R ()()12f x f x +=(]0,1x ∈()2f x x x =-72f ⎛⎫⎪⎝⎭2-()f x R ()()12f x f x +=(]0,1x ∈()2f x x x =-75512222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3212f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭342f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故答案为：15. 已知，则____________.答案：答案解析：因为，所以，因为，所以，所以，所以，所以，故答案为：.16. 已知一个棱长为的正方体木块可以在一个圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底面半径为2，母线长为4，则的最大值为__________.1412f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭182f ⎛⎫= ⎪⎝⎭118242⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭2-π3sin 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πtan 12α⎛⎫-= ⎪⎝⎭7-π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π2π7π,636α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭π3sin 065α⎛⎫+=> ⎪⎝⎭π2π,π63α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭π4cos 65α⎛⎫+===- ⎪⎝⎭π3sin π365tan 4π6cos 546ααα⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+===- ⎪⎛⎫⎝⎭-+ ⎪⎝⎭ππ3tan tan 1πππ644tan tan 73ππ1264111tan tan 464αααα⎛⎫+--- ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=+-===- ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦-⨯++ ⎪⎝⎭7-a a答案：答案解析：正方体木块可以在一个圆锥形容器内任意转动，则当正方体棱长a 最大时，正方体的外接球恰为圆锥的内切球，底面半径为2，母线长为4的圆锥轴截面正的内切圆O 是该圆锥内切球O 截面大圆，如图，正的高，则内切圆O 的半径即球半径，于是得球O 的内接正方体棱长a，所以的最大值为.故答案为：四､解答题本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.问题：在中，内角的43SAB △SAB △SO '==13R SO '==2R ==43a =a 4343cos cos 2b C B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭2ABC S BC =⋅V tan tan A C +=tan A C ABC V ,,A B C对边分别为，且__________.（1）求角；（2）若是锐角三角形，且，求的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 答案：（1）答案见解析（2）【小问1详解】选择①：条件即，由正弦定理可知，，在中，，所以，所以，且，即，所以；选择②：条件即，即，在中，，所以，则，所以.选择③：条件即，所以，在中，，所以.【小问2详解】由（1）知，，所以，,,a b c B ABC V 4c =a ()2,8sin cos b C B =sin sin cos B C C B =ABC V (),0,B C π∈sin 0,sin 0B C ≠≠sin B B =cos 0B ≠tan B =3B π=12sin cos 2ac B B ⨯=sin B B =ABC V ()0,B π∈sin 0B ≠cos 0B ≠tan B =3B π=)tan tan tan tan 1A C A C +=-()tan tan tan tan 1tan tan A CB AC A C+=-+=-=-ABC V (),0,B C π∈3B π=3B π=23A B C C ππ=--=-由正弦定理可知，，由是锐角三角形得，所以.所以，故的取值范围为.18. 已知数列满足.（1）设，求数列的通项公式；（2）设，求数列的前20项和.答案：（1）（2）小问1详解】由可知，，即，由可知，，所以是以12为首项，4为公比的等比数列，所以的通项公式为.【小问2详解】由（1）知，，所以,又符合上式,所以,【24sin sin 32sin sin C c A a C C π⎛⎫- ⎪⎝⎭===ABC V 0,220,32C A C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩62C ππ<<tan C >28a <<a ()2,8{}n a 12213,15,54n n n a a a a a ++===-1n n n b a a +=-{}n b ()210log 1n n c a =-+{}n c 20T 34nn b =⨯20260T =2154n n na a a ++=-()2114n n n n a a a a +++-=-14n nb b +=123,15a a ==12112b a a =-={}n b {}n b 112434n nn b -=⨯=⨯134nn n a a +-=⨯()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+ ()()123143444141,214n n n nn ---=++++==-≥- 13a =41nn a =-所以，所以的前20项和.19. 如图，在直三棱柱中，.（1）证明：；（2）设，若二面角的大小为，求.答案：（1）证明见解析. （2）.【小问1详解】证明：在直三棱柱中，平面，又平面，所以，又，所以四边形是正方形.连接，则，又平面，所以平面，又平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以.【小问2详解】以为正交基底建立空间直角坐标系，设，210log 4102nn C n =-=-{}n C 20864202430260T =++++++++= 111ABC A B C -111,AB AC AA A B B C ==⊥AB AC ⊥1BM BB λ= 11A MC C --4πλ12λ=1ABC ABC -1AA ⊥ABC ,AB AC ⊂ABC 11,AA AB AA AC ⊥⊥1AB AA =11ABB A 1AB 11AB A B ⊥1111111,,,A B B C AB B C B AB B C ⊥⋂=⊂ABC 1A B ⊥1AB C AC ⊂ABC 1A B AC ⊥111,,,AA AC AB AA A AB AA ⊥⋂=⊂11ABB A AC ⊥11ABB A AB ⊂1ABB A AB AC ⊥{},,AB AC AAA xyz -1AB =则，设，则设平面的法向量为，则即得，取，则平面的一个法向量为，考虑向量，满足所以是平面的一个法向量，因为二面角的大小为，所以，解得.20. 为了提高生产效率，某企业引进一条新的生产线，现要定期对产品进行检测.每次抽取100件产品作为样本，检测新产品中的某项质量指标数，根据测量结果得到如下频率分布直方图.()()()()111,0,0,0,1,0,0,0,1,1,0,1B C A B ()1,0,M λ()()111,0,1,0,1,1,A M A C λ=-=- ()()110,0,1,1,1,1,B B BC =-=--1A MC (),,m x y z =110,0,m A M m A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ()10,0,x z y z λ⎧+-=⎨-=⎩()1,,x z y z λ⎧=-⎨=⎩1z =1A MC ()1,1,1m λ=-()1,1,0n = 110,0,n B B n B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ()1,1,0n = 11BCC B 1A MC C --4πcos ,m n m n m n⋅===12λ=（1）指标数不在和之间的产品为次等品，试估计产品为次等品的概率；（2）技术评估可以认为，这种产品的质量指标数服从正态分布，其中近似为样本的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），计算值，并计算产品指标数落在内的概率.参考数据：，则，.答案：（1） （2），0.9544【小问1详解】由，解得，样本中指标数不在和之间的频率为，所以产品为次等品的概率估计值为.【小问2详解】依题意.所以，所以.21. 已知函数，.175.22.5X ()2,1.22N μμμ()17.56,22.44()2,X N μσ:()0.6826P X μσμσ-<<+=(22)0.9544P X μσμσ-<<+=0.0420μ=()10.090.220.330.240.081a a ⨯++++++=0.02a =175.22.5()0.02110.04⨯+=0.04170.02180.09190.22200.33210.24220.08230.0220μ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=()220,1.22X N ~(17.5622.44)(202 1.22202 1.22)0.9544P x P x <<=-⨯<<+⨯=()ln f x x =()25g x ax x=+-（1）证明：；（2）若函数的图象与的图象有两个不同的公共点，求实数的取值范围.答案：（1）证明见解析；（2）.【小问1详解】要证，即证：当时，不等式恒成立.令，则，故当时，，单调递增；当时，，单调递减.则，故.【小问2详解】解：由可得，构造函数，其中，则，当时，，，则，此时函数单调递增，当时，，，则，此时函数单调递减，所以，，令，则当时，，当时，，故存在时，使得，即，作出函数与的图象如下图所示：()f x <()f x ()g x a ()0,3()f x <()0,x ∈+∞ln 0x <()ln F x x =()1F x x =='04x <<()0F x '>()F x >4x ()0F x '<()F x ()()max 4ln 420F x F ==-<()f x <()()f x g x =22ln 52ln 52x x x x a x x x x +-=+-=()25ln 2x h x x x+=-0x >()()23315ln 444ln x x x x x x h x x x x ⋅-+--'=+=01x <<440x ->ln 0x <()0h x '>()h x 1x >440x -<ln 0x >()0h x '<()h x ()()max 13h x h ==()ln 52x x x x ϕ=+-1x >()520x x ϕ>->205x <<()520x x ϕ<-<02,15x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00x ϕ=()00h x =()h x y a =由图可知，当时，函数与的图象有个交点，因此，实数的取值范围是.22. 已知双曲线的虚轴长为4，且经过点.（1）求双曲线的标准方程；（2）双曲线的左､右顶点分别为，过左顶点作实轴的垂线交一条渐近线于点，过作直线分别交双曲线左､右两支于两点，直线分别交于两点.证明：四边形为平行四边形.答案：（1） （2）证明见解析【小问1详解】因为双曲线的虚轴长为4，且经过，所以解得所以双曲线的标准方程为.0<<3a ()h x y a =2a ()0,32222:1(0,0)x y C a b a b -=>>53,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C C 12,A A 1A :bl y x a=-T T ,P Q 22,A P A Q l ,M N 12A MA N 2214y x -=53,42⎛⎫ ⎪⎝⎭2224,2591,164b ab =⎧⎪⎨-=⎪⎩1,2.a b =⎧⎨=⎩2214y x -=小问2详解】联立得，由题意知过点的直线斜率存在，设过点的直线方程为，联立得，则，得，所以，因为，所以直线的方程为，联立解得，同理可得，所以因为【1,2,x y x =-⎧⎨=-⎩()1,2T -T T ()()()112221,,,,y k x P x y Q x y -=+()2221,1,4y k x y x ⎧-=+⎪⎨-=⎪⎩()()()2222424480,k x k k x k k --+-++=()()()22222444480k k k k k ∆=++-++>2k >-()221212224842,44k k k k x x x x k k -++++=⋅=--()21,0A 2A P ()1111y y x x =--()112,1,1y x y y x x =-⎧⎪⎨=-⎪-⎩()11121M y x y x =+-()22221N y x y x =+-()()()()121211221222212122M N y y kx k kx k x x y x y x k x k k x k+++++=+=++-+-++++()()()()()()21212122224422,22k k x x k k x x k k k x k k x k +++++++=⎡⎤⎡⎤++++⎣⎦⎣⎦()()()()212122224422k k x x k k x x k k +++++++()()()()()()222222248244422244k k k k k k k k k k k k -+++++++++-=-()()()()()22222248244404k k k k k k k k ⎡⎤-+++-++--⎣⎦==-即.所以对角线与互相平分，即四边形为平行四边形.0M N x x +=MN 2AA 2AMA N。
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江苏省高三上学期期末数学试卷
姓名:________
班级:________
成绩:________
一、 填空题 (共 14 题；共 14 分)
1. （1 分） (2019 高三上·通州月考) 已知集合
，
，则
=________.
2. （1 分） (2020·桂林模拟) 某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一
人、高二
人、高三 人中，抽取 人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为 ，那么高三被抽取的人数为________．
3. （1 分） (2020 高一下·胶州期中) 设复数
，则
________．
4. （1 分） (2019 高一上·阜阳月考) 已知
5. （1 分） 执行右侧的程序框图，若输入
，则输出
，则 ________.
________
6. （1 分） 从 2 男和 2 女四个志愿者中，任意选择两人在星期一、星期二参加某公益活动，每天一人，则星 期一安排一名男志愿者、星期二安排一名女志愿者的概率为________
7. （1 分） (2019·广西模拟) 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ， 若 a5=7，则 S9=________．
8. （1 分） (2019 高一下·衢州期中) 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则这些函数为“互为生 成函数”.给出下列函数：
⑴
；
⑵
；
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⑶ 其中与
；
⑷
.
构成“互为生成函数”的有________.（把所有可能的函数的序号都填上）
9.（1 分）(2020 高三上·温州期末) 在
中，
，
，且
，
，
其中
，且
________.
，若 ， 分别为线段 ， 中点，当线段
取最小值时
10. （1 分） (2019 高二上·随县期中) 已知圆 ： ， 分别为圆 ， 上的动点，点 是 轴上的动点，则
，圆 ：
，
的最小值为________．
11. （1 分） 要制作一个容器为 4m3 ， 高为 1m 的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米 20 元， 侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是________ （单位：元）
12. （1 分） (2018 高一下·金华期末) 已知公差不为零的等差数列 中，
等比数列， 的前 项和为 ，
.则数列 的前 项和
，且 ， ， 成 ________．
13. （1 分） (2016 高三上·定州期中) 已知方程 ln|x|﹣ax2+ 范围是________．
=0 有 4 个不同的实数根，則实数 a 的取值
14. （1 分） (2019 高二下·南宁期中) 已知向量 上存在增区间，则 t 的取值范围为________.
，若函数
在区间
二、 解答题 (共 6 题；共 45 分)
15. （5 分） (2017·嘉兴模拟) 在锐角△ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，若 A 满足 2cos2A+cos
（2A+ ）=﹣ ．
（Ⅰ）求 A 的值；
（Ⅱ）若 c=3，△ABC 的面积为 3 ，求 a 的值．
16. （5 分） (2020·江西模拟) 如图，直三棱柱
中，
，
，为
的中点.
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（I）若 E 为
上的一点，且
与直线
垂直，求
的值；
（Ⅱ）在（I）的条件下，设异面直线
与
所成的角为 45°，求直线
与平面
值.
成角的正弦
17. （10 分） (2020 高二上·长春月考) 已知椭圆的焦点在 轴上，长轴长为 6，焦距为
圆上的一点， ， 是该椭圆的两个焦点，若
，求：
（1） 椭圆的标准方程；
，设 P 为椭
（2）
的面积．
18. （5 分） 一片森林原来面积为 a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的 一半时，所用时间是 10 年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的 ， 已知到今年为止，森林剩余面
积为原来的 ， （1）求每年砍伐面积的百分比；
（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
（3）今后最多还能砍伐多少年？
19. （10 分） (2018 高二下·青铜峡期末) 已知函数
.
（1） 求函数
的单调区间；
（2） 若
恒成立，试确定实数 的取值范围.
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20. （10 分） (2018 高二上·莆田月考) 已知等比数列 项和为 .
满足
（1） 求数列 的通项公式；
（2） 数列 的通项公式为
，求数列
的前 项和 .
，数列 的前
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一、 填空题 (共 14 题；共 14 分)
答案：1-1、 考点：
参考答案
解析： 答案：2-1、 考点：
解析： 答案：3-1、 考点：
解析： 答案：4-1、
第 5 页 共 18 页
考点： 解析：
答案：5-1、 考点： 解析：
答案：6-1、 考点： 解析：
第 6 页 共 18 页
答案：7-1、 考点：
解析： 答案：8-1、 考点： 解析：
第 7 页 共 18 页
答案：9-1、 考点： 解析：
第 8 页 共 18 页
答案：10-1、 考点： 解析：
第 9 页 共 18 页
答案：11-1、 考点： 解析：
第 10 页 共 18 页
答案：12-1、考点：
解析：
答案：13-1、考点：
解析：
答案：14-1、
考点：
解析：
二、解答题 (共6题；共45分)
答案：15-1、考点：
解析：
考点：
解析：
答案：17-1、
答案：17-2、考点：
解析：
答案：18-1、考点：
解析：
答案：19-1、
答案：19-2、考点：
解析：
答案：20-1、
答案：20-2、考点：
解析：。