北师大版选修1-2高中数学第3章《推理与证明》导学案
高中数学第一章推理与证明全套教案北师大版选修2-2
例 2、试将平面上的圆与空间的球进行类比 .
圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合
.
球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合
.
圆
球
弦←→截面圆Leabharlann 2 3、32 12 ,
3 13
2 22 ,
3 23
21 ,
33
a ，由此我们猜想：
b
am （ a , b , m 均为正实数）
bm
这种由某类事物的部分对象具有某些特征
, 推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理
事实概栝出一般结论的推理 , 称为归纳推理 .( 简称：归纳 )
归纳推理的一般步骤：
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳
一．问题情境
从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一
株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子
.
他的思路是这样的：
茅草是齿形的；茅草能割破手 . 我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的
.
这个推理过程是归纳推理吗？
二．数学活动
我们再看几个类似的推理实例。
题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。
教学重点 ：了解合情推理的含义，能利用归纳进行简单的推理。 教学难点 ：用归纳进行推理，做出猜想。
教学过程 ：
一、课堂引入：
从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理。
见书上的三个推理案例，回答几个推理各有什么特点？都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是推理 的结构形式上表现出不同的特点，据此可分为合情推理与演绎推理
2) 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）
高中数学第三章推理与证明2数学证明教案(含解析)北师大版选修1_2
2数学证明数学证明看下面两个命题：(1)三角函数都是周期函数，y ＝tan x 是三角函数，所以y ＝tan x 是周期函数；(2)循环小数是有理数，0.332·是循环小数，所以0.332·是有理数． 问题1：这两个问题中的第一句都说明什么？ 提示：一般性道理． 问题2：第二句又说什么？提示：特殊示例． 问题3：第三句呢？提示：由一般性道理对特殊示例作出判断．1．演绎推理的一般模式三段论是最常见的一种演绎推理形式，包括 大前提：一般性道理； 小前提：研究对象的特殊情况； 结论：由大前提和小前提作出的判断． 2．合情推理与演绎推理的关系合情推理是认识世界、发现问题的基础，演绎推理是证明命题、建立理论体系的基础．1．数学问题的解决和证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，解决问题的关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提．2．三段论中的大前提提供了一个一般性原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般性原理与特殊情况的内在联系，从而得到了第三个命题——结论．3．三段论推理的结论正确与否，取决于两个前提是否正确，推理形式是否正确．把演绎推理写成三段论[例1](1)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的两底角，则∠A＝∠B.(2)以a n＝2n＋3为通项公式的数列{a n}为等差数列．[思路点拨] 首先分析出每个题的大前提、小前提及结论，再利用三段论形式写出来．[精解详析] (1)等腰三角形两底角相等，大前提∠A，∠B是等腰三角形的两底角，小前提∠A＝∠B.结论(2)数列{a n}中，如果当n≥2时，a n－a n－1为常数，则{a n}为等差数列，大前提通项公式a n＝2n＋3时，若n≥2，则a n－a n－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常数)，小前提以a n＝2n＋3为通项公式的数列为等差数列．结论[一点通] 三段论由大前提、小前提和结论组成．大前提提供一般性原理，小前提提供特殊情况，两者结合起来，体现一般性原理与特殊情况的内在联系，在用三段论写推理过程时，关键是明确命题的大、小前提，而大、小前提在书写过程中是可以省略的．1．推理“①矩形是平行四边形；②正方形是矩形；③正方形是平行四边形”中的小前提是( )A．①B．②C．③ D．①和②解析：选B ①是大前提，②是小前提，③是结论．2．“因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等．”此推理的大前提为( )A．正方形的对角线相等B．矩形的对角线相等C．等腰梯形的对角线相等D．矩形的对边平行且相等答案：B3．用三段论的形式写出下列演绎推理．(1)能被2整除的数都是偶数，34能被2整除，所以34是偶数．(2)奇函数f(x)若在x＝0处有定义，则必有f(0)＝0.现有f(x)＝x，x∈R是奇函数，则有f(0)＝0.解：(1)能被2整除的数都是偶数， (大前提)34能被2整除， (小前提)所以34是偶数． (结论)(2)奇函数f(x)若在x＝0处有定义，则必有f(0)＝0，(大前提)f(x)＝x，x∈R是奇函数，且在x＝0处有定义， (小前提)则有f(0)＝0.(结论)演绎推理的判断[例2](1)自然数是整数，大前提－6是整数，小前提所以，－6是自然数．结论(2)中国的大学分布在中国各地，大前提北京大学是中国的大学，小前提所以，北京大学分布在中国各地．结论(3)三角函数是周期函数，大前提y＝sin x(0＜x＜π)是三角函数，小前提y＝sin x(0＜x＜π)是周期函数．结论[思路点拨] 判断三段论推理是否正确，必须严格按其推理规则进行考察，其推理规则为：所有M都是P，S是M，则S是P.既要看大前提、小前提是否有误，也要看推理形式是否合乎规范．[精解详析] (1)推理形式错误，自然数是整数为大前提，小前提应是判断某数为自然数，而不是某数为整数．(2)推理形式错误，大前提中M是“中国的大学”，它的含义是中国的每一所大学，而小前提中的“中国的大学”仅表示中国的一所大学，二者是两个不同的概念，犯了偷换概念错误．(3)推理形式错误，大前提中的“三角函数”和小前提中的“三角函数”概念不同．[一点通] 判断演绎推理是否正确的方法(1)看推理形式是否为由一般到特殊的推理，只有由一般到特殊的推理才是演绎推理，这是最易出错的地方；(2)看大前提是否正确，大前提往往是定义、定理、性质等，注意其中有无前提条件；(3)看小前提是否正确，注意小前提必须在大前提范围之内；(4)看推理过程是否正确，即看由大前提、小前提得到的结论是否正确．4．某人进行了如下的“三段论”：如果f′(x0)＝0，则x＝x0是函数f(x)的极值点，因为函数f(x)＝x3在x＝0处的导数值f′(0)＝0，所以x＝0是函数f(x)＝x3的极值点．你认为以上推理的( )A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确解析：选A 若f′(x0)＝0，则x＝x0不一定是函数f(x)的极值点，如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点，故大前提错误．5．观察下面的演绎推理过程，判断正确的是( )大前提：若直线a⊥直线l，且直线b⊥直线l，则a∥b.小前提：正方体ABCDA1B1C1D1中，A1B1⊥AA1，且AD⊥AA1.结论：A1B1∥AD.A．推理正确B．大前提出错导致推理错误C．小前提出错导致推理错误D．仅结论错误解析：选B 由l⊥a，l⊥b得出a∥b只在平面内成立，在空间中不成立，故大前提错误.用三段论证明几何问题[例3] DE∥BA，求证：ED ＝AF，写出三段论形式的演绎推理．[思路点拨] 证明ED＝AF，可证明四边形AEDF为平行四边形．[精解详析] 因为同位角相等，两条直线平行，大前提∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提所以FD∥AE.结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提DE∥BA，且FD∥AE，小前提所以四边形AFDE为平行四边形．结论因为平行四边形的对边相等，大前提ED和AF为平行四边形AFDE的对边，小前提所以ED＝AF.结论[一点通](1)三段论推理的根据，从集合的观点来讲，就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.(2)在几何证明题中，每一步实际上都暗含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，把一般性原理用于特殊情况，从而得到结论．6．已知△ABC中，A＝30°，B＝45°，求证：a<b.证明：∵A＝30°，B＝45°，∴A<B.∴a<b.此问题的证明过程中蕴含的“三段论”中的大前提是________________．解析：大前提是三角形中“大边对大角，小边对小角”的一个结论．答案：在△ABC中，若A<B，则a<b7.如图，已知在梯形ABCD中，AB＝DC＝DA，AC和BD是梯形的对角线．求证：AC平分∠BCD.证明：∵等腰三角形两底角相等，大前提△ADC是等腰三角形，∠1和∠2是两个底角，小前提∴∠1＝∠2.结论∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，大前提∠1和∠3是平行线AD，BC被AC截得的内错角，小前提∴∠1＝∠3.结论∵等于同一个角的两个角相等，大前提∠2＝∠1，∠3＝∠1，小前提∴∠2＝∠3，即AC平分∠BCD.结论用三段论证明代数问题[例4] 已知n124成等差数列，又b n 1(n＝1，2,3，…)．证明：{b n}为等比数列．＝a2n[证明] ∵lg a1，lg a2，lg a4成等差数列，∴2lg a2＝lg a1＋lg a4，即a22＝a1a4.设{a n}的公差为d，即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，a1d＝d2，从而d(d－a1)＝0.①若d ＝0，{a n }为常数列，相应{b n }也是常数列，此时{b n }是首项为正数，公比为1的等比数列．②若d ＝a 1≠0，则a 2n ＝a 1＋(2n－1)d ＝2nd ，b n ＝1a 2n ＝12n d. 这时{b n }是首项b 1＝12d ，公比为12的等比数列．综上可知，{b n }为等比数列． [一点通](1)在证明或推理过程中，对于大前提，有一些是我们早已熟悉的公理、定理、定义、性质、公式，这些内容很多时候在证明或推理的过程中可以直接利用，不需再重新指出．因此，就会出现隐性三段论．(2)本题在推理过程中，好似未用到演绎推理的三段论，其实不然．只是大前提“等比数列的判定方法”在证明过程中省略，并不影响结论的正确性．8．“因为y ＝sin x 是区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的增函数，所以sin 3π7>sin 2π5”，上述推理中，大前提为________________，小前提为________________，结论为________________．答案：y ＝sin x 是区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的增函数 3π7∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，2π5∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，且3π7>2π5 sin 3π7>sin 2π59．已知函数f (x )＝ax＋bx ，其中a >0，b >0，x ∈(0，＋∞)，确定f (x )的单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性．解：设0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 1＋bx 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 2＋bx 2 ＝(x 2－x 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 1x 2－b .当0<x 1<x 2≤ab时，则 x 2－x 1>0,0<x 1x 2<a b ，ax 1x 2>b ，∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， ∴f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，a b 上是减少的．当x 2>x 1≥ab时，则 x 2－x 1>0，x 1x 2>a b ，ax 1x 2<b ，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫a b ，＋∞上是增加的．1．应用三段论解决问题时，首先应该明确什么是大前提和小前提．但为了叙述简洁，如果大前提是人们熟知的，则可以省略不写．2．合情推理与演绎推理是常见的两种推理方式，二者的主要区别与联系是： 推理方式 意义主要形式 结论的真假 合情推理 认识世界、发现问题的基础 归纳推理、 类比推理 不确定 演绎推理证明命题、建立理论体系的基础三段论真1．下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )A ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C ．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D ．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数解析：选B 对于A ，小前提与结论互换，错误；对于B ，符合演绎推理过程且结论正确；对于C 和D ，均为大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理三段论形式．故选B.2．“9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故此奇数是3的倍数”，上述推理是( )A ．小前提错B ．结论错C ．正确的D ．大前提错解析：选C ∵大前提，小前提，推理形式都正确，∴结论正确．3．在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足的条件是( )A ．a 2＜b 2＋c 2B ．a 2＝b 2＋c 2C ．a 2＞b 2＋c 2D ．a 2≤b 2＋c 2解析：选C 由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＜0，∴b 2＋c 2－a 2＜0，∴a 2＞b 2＋c 2.4．在证明f (x )＝2x ＋1为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f (x )＝2x ＋1满足增函数的定义是大前提；④函数f (x )＝2x ＋1满足增函数的定义是小前提．其中正确的命题是( )A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③解析：选A 根据三段论特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是f (x )＝2x ＋1满足增函数的定义；结论是f (x )＝2x ＋1为增函数，故①④正确．5.如图，α⊥β，α∩β＝l ，P ∈α，PO ⊥l 交l 于O ，则可以得到的结论是________．解析：由面面垂直的性质定理知PO ⊥β. 答案：PO ⊥β6．函数y ＝2x ＋5的图像是一条直线，用三段论表示为： 大前提：_____________________________________________； 小前提：_____________________________________________； 结 论：_____________________________________________. 答案：一次函数的图像是一条直线 函数y ＝2x ＋5是一次函数 函数y ＝2x ＋5的图像是一条直线7．已知a ，b ，m 均为正实数，b <a ，用三段论形式证明b a <b ＋ma ＋m. 证明：因为不等式(两边)同乘以一个正数，不等号不改变方向，(大前提)b <a ，m >0， (小前提)所以，mb <ma . (结论) 因为不等式两边同加上一个数，不等号不改变方向， (大前提)mb <ma ， (小前提)所以，mb ＋ab <ma ＋ab ，即b (a ＋m )<a (b ＋m )， (结论) 因为不等式两边同除以一个正数，不等号不改变方向， (大前提)b (a ＋m )<a (b ＋m )，a (a ＋m )>0， (小前提)所以，b a ＋m a a ＋m <a b ＋m a a ＋m ，即b a <b ＋ma ＋m. (结论)8.如图，正三棱柱ABC A 1B 1C 1的棱长均为a ，D ，E 分别为C 1C ，AB 的中点，A 1B 交AB 1于点G .(1)求证：A 1B ⊥AD ； (2)求证：CE ∥平面AB 1D .证明：(1)如图，连接A 1D ，DG ，BD ，∵三棱柱ABC A 1B 1C 1是棱长均为a 的正三棱柱， ∴四边形A 1ABB 1为正方形，∴A 1B ⊥AB 1. ∵D 是C 1C 的中点， ∴△A 1C 1D ≌△BCD ，∴A 1D ＝BD .∵G 为A 1B 的中点， ∴A 1B ⊥DG . 又∵DG ∩AB 1＝G ， ∴A 1B ⊥平面AB 1D ，又∵AD 平面AB 1D ，∴A 1B ⊥AD . (2)连接GE ，∵EG ∥A 1A ，DC ∥AA 1， ∴GE ∥DC .∵GE ＝12AA 1＝12a ，DC ＝12CC 1＝12a ，∴GE ＝DC .∴四边形GECD 为平行四边形，∴EC ∥GD .又∵E C ⃘平面AB 1D ，DG 平面AB 1D ， ∴EC ∥平面AB 1D .9．求证：函数f (x )＝2x－12x ＋1是奇函数且在定义域上是增函数．证明：f (x )＝2x＋1－22x＋1＝1－22x ＋1， 所以f (x )的定义域为R.f (－x )＋f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1－22－x＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x ＋1 ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋2x ＋22－x ＋1＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋2x ＋2·2x1＋2x＝2－21＋2x1＋2x＝2－2＝0，即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数． 任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－21＋2x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－21＋2x 2 ＝22x 1－2x 21＋2x 21＋2x 1，由于x 1<x 2，从而2x 1<2x 2，2x 1－2x 2<0. 所以f (x 1)<f (x 2)，故f (x )为增函数．。
高中数学(选修1—2)《归纳推理》教学设计
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ｌｌ １ ９５ ９ ２ｌ ７ ２３ ３１
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３ 通 过 本 节 学 习 ， 学 生 养 成 主 动 运 用 归 纳 推 理 思 维 的 ． 使
意识 和 习惯 。
４ 激 发 学 生 学 习 数 学 的 浓 厚 兴 趣 和 应 用 数 学 的 良好 品 ． 质 ， 步 形 成 发 现 新 知识 ， 决 新 问 题 的 能力 。 逐 解
理能力。
质 ， 利导 人本 节 新 课 。 顺 （ ） 二 引导 学生分析 总结 归纳思维解决数 学 问题 的方法步骤 。 １指 导 学 生 阅 读 课 本 例 题 ： １ 哥 德 巴 赫 猜 想 ；２） 拉 公 ． （） （ 欧 式 ；３ 数 列 通 项 公式 。 （） 通 过 以 上 三 个 实 例 的 学 习 理 解 ，使 学 生 对 归 纳 推 理 有 一 个 初 步 的感 性认 识 。 ２组 织 学 生 分 组 讨 论 ： 励 学 生积 极 思 考 ， 胆 发 表 自 己 ． 鼓 大 的看 法 与 见 解 ．结 合 教 材 内容 初 步 得 出归 纳 推 理 解 决 实 际 问 题 的“ 观察 规 律 一 猜 想 结 果一 检 验 论证 ” 方 法 步骤 。 的 ３教 师 总结 归 纳 推 理 概 念 。 ． 归 纳 推 理 是 根 据 一 类 事 物 中部 分 事 物 具 有 某 种 属 性 。 推 断 该 类 事 物 中所 有 事 物 都 具 有 这 种 属 性 的 一 种 推 理 形 式 。 它 是 由局 部 到 整 体 、 别 到 一 般 的 一 种思 维 方 式 。 个 （ ） 识 应 用 ． 题 训 练 三 知 解 例 ３将 正 奇 数 按 下 面 表 格 中 的 数 字 呈 现 的规 律填 入 各 方 ． 格 中， 则数 字 ５ 位 于 第 几 行 第 几 列 ？ ５
高中数学第三章推理与证明1.1.2类比推理教案含解析北师大版选修1_2
1．2 类比推理类比推理三角形有下面两个性质：(1)三角形的两边之和大于第三边； (2)三角形的面积等于高与底乘积的12.问题1：你能由三角形的这两个性质推测空间四面体的性质吗？试写出来． 提示：(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积； (2)四面体的体积等于底面积与高乘积的13.问题2：由三角形的性质推测四面体的性质体现了什么？提示：由一类事物的特征推断另一类事物的类似特征，即由特殊到特殊．定义特征由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，把这种推理过程称为类比推理. 类比推理是两类事物特征之间的推理.合情推理合情推理的含义(1)合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．(2)归纳推理和类比推理是最常见的合情推理．1．类比推理是从人们已经掌握了的事物特征，推测正在被研究中的事物的特征．所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠；2．类比推理以旧的知识作为基础，推测新的结果，具有发现功能．平面图形与空间几何体的类比[例1] (1)圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦； (2)与圆心距离相等的两弦长相等； (3)圆的周长C ＝πd (d 是直径)； (4)圆的面积S ＝πr 2.[思路点拨] 先找出相似的性质再类比，一般是点类比线、线类比面、面积类比体积． [精解详析] 圆与球有下列相似的性质：(1)圆是平面上到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合；球面是空间中到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合．(2)圆是平面内封闭的曲线所围成的对称图形；球是空间中封闭的曲面所围成的对称图形．通过与圆的有关性质类比，可以推测球的有关性质.圆球圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦 球心与截面(不经过球心的小圆面)圆心的连线垂直于截面与圆心距离相等的两条弦长相等与球心距离相等的两个截面的面积相等圆的周长C ＝πd 球的表面积S ＝πd 2圆的面积S ＝πr 2球的体积V ＝43πr 3[一点通] 解决此类问题，从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，将平面几何的相关结论类比到立体几何中，相关类比点如下：平面图形 立体图形 点 点、线 直线 直线、平面 边长 棱长、面积面积 体积 三角形 四面体 线线角 面面角 平行四边形平行六面体圆球1．下面类比结论错误的是( )A ．由“若△ABC 一边长为a ，此边上的高为h ，则此三角形的面积S ＝12ah ”类比得出“若一个扇形的弧长为l ，半径为R ，则此扇形的面积S ＝12lR ”B ．由“平行于同一条直线的两条直线平行”类比得出“平行于同一个平面的两个平面平行”C ．由“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”类比得出“在空间中，垂直于同一个平面的两个平面平行”D ．由“三角形的两边之和大于第三边”类比得出“凸四边形的三边之和大于第四边” 解析：选C 只有C 中结论错误，因为两个平面还有可能相交．2.如图所示，在△ABC 中，射影定理可表示为a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．解：如图所示，在四面体P ABC 中，S 1，S 2，S 3，S 分别表示△PAB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示平面PAB ，平面PBC ，平面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ.定义、定理与性质的类比[例2][精解详析] ①两实数相加后，结果是一个实数，两向量相加后，结果仍是向量； ②从运算律的角度考虑，它们都满足交换律和结合律， 即：a ＋b ＝b ＋a ，a ＋b ＝b ＋a ，(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )，(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )； ③从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，即减法运算， 即a ＋x ＝0与a ＋x ＝0都有唯一解，x ＝－a 与x ＝－a ；④在实数加法中，任意实数与0相加都不改变大小，即a ＋0＝a .在向量加法中，任意向量与零向量相加，既不改变该向量的大小，也不改变该向量的方向，即a ＋0＝a .[一点通] 运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象，本例中实数加法的对象为实数，向量加法的对象为向量，且都满足交换律与结合律，都存在逆运算，而且实数0与零向量0分别在实数加法和向量加法中占有特殊的地位．因此我们可以从这四个方面进行类比．3．试根据等式的性质猜想不等式的性质并填写下表.等式不等式a ＝b ⇒a ＋c ＝b＋c① a ＝b ⇒ac ＝bc ② a ＝b ⇒a 2＝b 2③答案：①a >b ⇒a ＋c >③a >b >0⇒a 2>b 2(说明：“>”也可改为“<”)4．已知等差数列{a n }的公差为d ，a m ，a n 是{a n }的任意两项(n ≠m )，则d ＝a n －a mn －m，类比上述性质，已知等比数列{b n }的公比为q ，b n ，b m 是{b n }的任意两项(n ≠m )，则q ＝________.解析：∵a n ＝a m qn －m，∴q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n a m 1n －m.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫a n a m 1n －m1．类比推理先要寻找合适的类比对象，如果类比的两类对象的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠．2．归纳推理与类比推理都是合情推理．归纳推理是从特殊过渡到一般的思想方法，类比推理是由此及彼和由彼及此的联想方法，归纳和类比离不开观察、分析、对比、联想，许多数学知识都是通过归纳与类比发现的．1．下列哪个平面图形与空间图形中的平行六面体作为类比对象较合适( ) A ．三角形 B ．梯形 C ．平行四边形D ．矩形解析：选C 从构成几何图形的几何元素的数目、位置关系、度量等方面考虑，用平行四边形作为平行六面体的类比对象较为合适．2．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c；类比这个结论可知：四面体P ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，四面体P ABC 的体积为V ，则r ＝( )A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4 D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4解析：选C 设内切球的球心为O ，所以可将四面体P ABC 分为四个小的三棱锥，即O ABC ，O PAB ，O PAC ，O PBC ，而四个小三棱锥的底面积分别是四面体P ABC 的四个面的面积，高是内切球的半径，所以V ＝13S 1r ＋13S 2r ＋13S 3r ＋13S 4r ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r ，∴r ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.3．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1b 2b 3…b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为( )A ．a 1a 2a 3…a 9＝29B ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝29C ．a 1a 2…a 9＝2×9D ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×9解析：选D 类比等比数列{b n }中b 1b 2b 3…b 9＝b 95，可得在等差数列{a n }中a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 5＝9×2.4．类比三角形中的性质： ①两边之和大于第三边； ②中位线长等于底边长的一半； ③三内角平分线交于一点． 可得四面体的对应性质：①任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；②过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于该顶点所对的面面积的14；③四面体的六个二面角的平分面交于一点． 其中类比推理方法正确的有( ) A ．① B ．①② C ．①②③D ．都不对解析：选C 以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确．5．在△ABC 中，D 为BC 的中点，则AD ―→＝12()AB ―→＋AC ―→ ，将命题类比到四面体中去，得到一个命题为：______________________________________.．解析：平面中线段的中点类比到空间为四面体中面的重心，顶点与中点的连线类比顶点和重心的连线．答案：在四面体A BCD 中，G 是△BCD 的重心，则AG ―→＝13()AB ―→＋AC ―→＋AD ―→ 6．运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一条固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得的线段的比都为k ，那么甲的面积是乙的面积的k 倍．你可以从给出的简单图形①②中体会这个原理．现在图③中的两个曲线方程分别是x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b＞0)与x 2＋y 2＝a 2，运用上面的原理，图③中椭圆的面积为__________．解析：由于椭圆与圆截y 轴所得线段之比为b a， 即k ＝b a，所以椭圆面积S ＝πa 2·b a＝πab . 答案：πab7．在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，则cos 2A ＋cos 2B ＝1，在空间中，给出四面体性质的猜想．解：如图，在Rt △ABC 中，cos 2A ＋cos 2B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＝a 2＋b2c 2＝1.于是把结论类比到四面体P A ′B ′C ′中，我们猜想，三棱锥P A ′B ′C ′中，若三个侧面PA ′B ′，PB ′C ′，PC ′A ′两两互相垂直，且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.8．在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和．(1)写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明； (2)写出该结论一个更为一般的情形(不必证明)．解：(1)在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和，则数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列，且公差为300.该结论是正确的．证明如下：∵等差数列{a n }的公差d ＝3， ∴(S 30－S 20)－(S 20－S 10)＝(a 21＋a 22＋…＋a 30)－(a 11＋a 12＋…＋a 20) ＝10d ＋10d ＋…＋10d ＝100d ＝300，10个同理可得：(S 40－S 30)－(S 30－S 20)＝300，所以数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30是等差数列，且公差为300. (2)在公差为d 的等差数列{a n }中， 若S n 是{a n }的前n 项和， 则对于任意k ∈N ＋， 数列S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，S 4k －S 3k 也成等差数列，且公差为k 2d .9．先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知a 1，a 2∈R ，a 1＋a 2＝1，求证a 21＋a 22≥12.证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2， 则f (x )＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋a 21＋a 22＝2x 2－2x ＋a 21＋a 22. 因为对一切x ∈R ，恒有f (x )≥0，所以Δ＝4－8(a 21＋a 22)≤0，所以a 21＋a 22≥12.(1)若a 1，a 2，…，a n ∈R ，a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，请写出上述结论的推广式； (2)类比上述证法，对你推广的结论加以证明． 解：(1)若a 1，a 2，…，a n ∈R ，a 1＋a 2＋…＋a n ＝1， 求证：a 21＋a 22＋…＋a 2n ≥1n.(2)证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2，则f (x )＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝nx 2－2x ＋a 21＋a 22＋…＋a 2n . 因为对一切x ∈R ，恒有f (x )≥0， 所以Δ＝4－4n (a 21＋a 22＋…＋a 2n )≤0.。
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第三章 推理与证明 分析法典例导航课件 北师大版选修1-2
1 证法三：(综合法，因为左边是分式型，利用基本不等式 x＋ x ≥2(x>0)使左边向整式型过渡) a b (法一 )∵ ＋ b ＋ ＋ a ≥2 b a a · b＋ 2 b b · a＝2 a a
a b ＋2 b，当且仅当 a＝b 时取等号，∴ ＋ ≥ a＋ b. b a
( 法二 ) ∵
1 x1，x2∈0，2且 x1≠x2.
x1＋x2 1 求证：2[f(x1)＋f(x2)]>f 2 .
x ＋x 1 2 1 证明： 要证 [f(x1)＋f(x2)]>f ， 2 2 2 1 1 －1 只需证：lgx －1＋lgx －1>2lg 1 2 x1＋x2 1 1 2 2 －1 只需证：x －1x －1> . x ＋ x 1 2 1 2 1 1 2 2 －1 ∵x －1x －1－ 1 2 x1＋x2
a b a a b b ＋ ( a＋ b)＝a＋b＋ ＋ ≥a ＋ b ＋ b a b a
2
a ab b · ＝a＋b＋2 ab＝( a＋ b)2，当且仅当 a＝b 时取等 b a
a b 号，∴ ＋ ≥ a＋ b. b a
设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若函数 f(x＋1)与 f(x)的图象 1 关于 y 轴对称．求证：f(x＋ )为偶函数． 2
π 已知 α，β≠kπ＋ (k∈Z)，且 2 ①sin θ＋cos θ＝2sin α，②sin θ· cos θ＝sin2β， 1－tan2α 1－tan2β 求证： 2 ＝ 2 . 1＋tan α 21＋tan β
[证明过程] 由①得(sin θ＋cos θ)2＝4sin2α， 即 1＋2sinθcos θ＝4sin2α 把②代入上式并整理得：4sin2α－2sin2β＝1 ③ 1－tan2α 1－tan2β 另一方面，要证 2 ＝ 2 ， 1＋tan α 21＋tan β sin2α sin2β 1－ 2 1－ 2 cos α cos β 只需证 ＝ 2 ， sin2α sin β 1＋ 2 1＋ 2 cos α 2 cos β
高中数学选修1-2第三章 推理与证明1_归纳与类比1_2类比推理-精选学习文档
1.2 类比推理一、教学目标1.知识与技能：（1）结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义；（2）能利用类比进行简单的推理；（3）体会并认识类比推理在数学发现和生活中的作用。
2.方法与过程：递进的了解、体会类比推理的思维过程；体验类比法在探究活动中：类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。
3.情感态度与价值观：体会类比法在数学发现中的基本作用：即通过类比，发现新问题、新结论；通过类比，发现解决问题的新方法。
培养分析问题的能力、学会解决问题的方法；增强探索问题的信心、收获论证成功的喜悦；体验数学发现的乐趣、领略数学方法的魅力！同时培养学生学数学、用数学，完善数学的正确数学意识。
二、教学重点：了解类比推理的含义，能利用类比进行简单的推理。
教学难点：培养学生“发现—猜想—证明”的推理能力。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）复习：归纳推理的概念：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都具有这种属性。
我们将这种推理方式称为归纳推理。
注意：利用归纳推理得出的结论不一定是正确的。
1.归纳推理的要点：由部分到整体、由个别到一般；2.典型例子方法归纳。
（二）引入新课：据科学史上的记载，光波概念的提出者，荷兰物理学家、数学家赫尔斯坦•惠更斯曾将光和声这两类现象进行比较，发现它们具有一系列相同的性质：如直线传播、有反射和干扰等。
又已知声是由一种周期运动所引起的、呈波动的状态，由此，惠更斯作出推理，光也可能有呈波动状态的属性，从而提出了光波这一科学概念。
惠更斯在这里运用的推理就是类比推理。
（三）例题探析例1：已知：“正三角形内一点到三边的距离之和是一个定值”，将空间与平面进行类比，空间中什么样的图形可以对应三角形？在对应图形中有与上述定理相应的结论吗？解：将空间与平面类比，正三角形对应正四面体，三角形的边对应四面体的面。
得到猜测：正四面体内一点到四个面距离之和是一个定值。
2019-2020年高中数学北师大版选修1-2第三章《推理与证明》(第1课时 合情推理)精品学案
2019-2020年高中数学北师大版选修1-2第三章《推理与证明》（第1课时合情推理）精品学案1.结合已学过的数学实例和生活实例,了解归纳推理与类比推理的含义.2.能利用归纳方法进行简单推理,体会并认识归纳推理在数学发展中的作用.3.掌握类比推理的一般方法,会对一些简单问题进行类比,得出新的结论,培养学生的类比推理能力.重点:了解合情推理的含义,能利用归纳进行简单的推理.难点:用归纳、类比进行推理,作出猜想.历史上,人们提出过许多永动机的设计方案,有人采用“螺旋汲水器”的原理,有人利用轮子惯性原理,有人利用水的浮力或毛细作用的原理,但均以失败告终.于是人们纷纷认为:不可能制造出永动机.问题1:他们为什么认为不可能制造出永动机?通过大量失败的例子归纳推理得到的,并由后人提出的能量守恒定律彻底说明永动机不可制造.问题2:归纳推理、类比推理及其特点(1)归纳推理:根据一类事物中部分事物具有某种属性,推断该类事物中每一个事物都有这种属性,我们把这种推理方式称为归纳推理.它具有以下几个特点:①归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.②利用归纳推理得出的结论不一定是正确的,但是可以为我们的研究提供一种方向.(2)类比推理:由于两类不同对象具有某些类似的特性,在此基础上,根据一类对象的其他特征,推断另一类对象也具有类似的其他特征,我们把这种推理过程称为类比推理.它具有以下几个特点:①类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果.②类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性,是一种从特殊到特殊的推理.③类比的结果不一定正确,但它却有发现的功能.问题3:归纳推理、类比推理的一般步骤(1)归纳推理:①通过观察个别情况发现某些相同的性质;②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想);如果归纳的个别情况越多,越具有代表性,那么推广的一般性命题就越可能为真.归纳推理的一般思维过程:①找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;②用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想;③检验猜想.类比推理的一般思维过程:问题4:合情推理及其意义归纳推理和类比推理都是最常见的合情推理.合情推理是根据实验与实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等),推测出某些结果的推理方式.尽管合情推理的结果不一定正确,但是,在数学、科学、经济和社会的历史发展中,合情推理有非常重要的价值,它是科学发现和创造的基础.数学中有一条三角形定理:三角形的两边之和大于第三边,根本不存在一条边大于其他两边之和的三角形.这个数学原理被一位科学家成功地运用到社会科学领域.他认为,历史上如果三个割据势力并存,就形成了三足鼎立,这是一种比较稳定的结构.如果强者侵犯了弱者,被侵犯的弱者就会与另一个弱者联合起来.结盟之后,两边之和大于第三边,稳定的三足结构就不会被破坏.只有当强者的力量超过了两个弱者之和,三国鼎立的局面才会结束.这位科学家利用类比推理表达自己的思想,使抽象的道理具体化,使论述更加形象,收到了良好的表达效果.1.数列{a n}的前四项为,1,,,由此可以归纳出该数列的一个通项公式为().A.a n=B.a n=C.a n=D.a n=【解析】将前四项分别写成,,,,即可作出归纳.【答案】B2.由数列1,10,100,1000,…猜测该数列的第n项可能是().A.10nB.10n-1C.10n+1D.11n【答案】B3.已知点A(x1,)、B(x2,)是函数y=x2的图像上任意不同两点,依据图像可知,线段AB总是位于A、B两点之间函数图像的上方,因此有结论>()2成立.运用类比思想方法可知,若点C(x1,lg x1)、D(x2,lg x2)是函数y=lg x(x>0)的图像上的不同两点,则类似地有成立.【解析】因为线段总是位于C、D两点之间函数图像的下方,所以有<lg.【答案】<lg4.观察圆周上n个点之间所连的弦,发现两个点可以连一条弦,3个点可以连3条弦,4个点可以连6条弦,5个点可以连10条弦,由此可以归纳出什么规律?【解析】设f(n)为n个点可连的弦的条数,则f(2)=1=,f(3)=3=,f(4)=6=,f(5)=10=,…,故f(n)=.归纳推理的应用已知函数f(x)=,设f1(x)=f(x),f n(x)=f n-1[f n-1(x)](n>1,n∈N+),则f3(x)的表达式为,猜想f n(x)(n∈N+)的表达式为.【方法指导】写出f1(x),f2(x),f3(x),观察f n(x)的特点,从而归纳出f n(x).【解析】由f1(x)=f(x)得f2(x)=f1[f1(x)]==,f3(x)=f2[f2(x)]==,…,由此猜想f n(x)=(n∈N+).【答案】f3(x)=f n(x)=(n∈N+)【小结】归纳推理的一般步骤:(1)经过观察个别情况发现某些相同的性质;(2)从已知的相同性质中推出一个有明确结论的一般性命题.利用类比推理猜想结论在等差数列{a n}中,若a10=0,则有等式a1+a2+…+a n=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N+)成立,类比上述性质,相应地:在等比数列{b n}中,若b9=1,则有等式成立.【方法指导】寻找类比对象,理解等差数列性质,结合等比数列性质给出结论.【解析】等差数列用减法定义性质用加法表述(若m,n,p,q∈N+,且m+n=p+q,则a m+a n=a p+a q);等比数列用除法定义性质用乘法表述(若m,n,p,q∈N+,且m+n=p+q,则a m·a n=a p·a q).由此,猜测本题的答案为b1b2…b n=b1b2…b17-n(n<17,n∈N+).【答案】b1b2…b n=b1b2…b17-n(n<17,n∈N+)【小结】本题考查等差数列与等比数列的类比.类比问题的关键是找好对应的类比对象,理解类比前问题成立的条件也是个关键.通过类比方法解题通过计算可得下列等式:22-12=2×1+132-22=2×2+142-32=2×3+1……(n+1)2-n2=2×n+1将以上各式分别相加得:(n+1)2-12=2×(1+2+3+…+n)+n,即1+2+3+…+n=.类比上述求法,请你求出12+22+32+…+n2的值.【方法指导】利用提示的思路求得(n+1)3-n3=3×n2+3×n+1,再叠加即可.【解析】23-13=3×12+3×1+133-23=3×22+3×2+143-33=3×32+3×3+1……(n+1)3-n3=3×n2+3×n+1将以上各式分别相加得:(n+1)3-13=3×(12+22+32+…+n2)+3×(1+2+3+…+n) +n,所以12+22+32+…+n2=[(n+1)3-1-n-3··n]=n(n+1)(2n+1).【小结】类比推理是由特殊到特殊的推理,其关键就是注重本质的推导方式,通过这种推导方式对解决另一个问题起到指导作用.(1)设函数f(x)=(x>0),观察:f1(x)=f(x)=,f2(x)=f(f1(x))=,f3(x)=f(f2(x))=,f4(x)=f(f3(x))=,……根据以上事实,由归纳推理可得:当n∈N+且n≥2时,f n(x)=f(f n-1(x))=.(2)观察下列等式:13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,…,根据上述规律,第五个．．．等式．．为.【解析】(1)观察给定的各个函数解析式,可知分子都为x,分母都为关于x的一次式的形式且各个式子的常数项分别为2,4,8,16,…,这样f n(x)对应的函数的分母的常数为2n,x的系数比常数少1即为2n-1,因此f n(x)=f(f n-1(x))=.(2)由题中等式可知第i个等式左边为1到i+1的立方和,右边为1+2+…+(i+1)的平方,所以第五个等式为13+23+33+43+53+63=212.【答案】(1)(2)13+23+33+43+53+63=212下列是用类比法进行猜测的几个结论:①由“a=b⇒ac=bc”类比得到“a>b⇒ac>bc”;②由“a(b+c)=ab+ac”类比得到“sin(A+B)=sin A+sin B”;③由“=(a>0,b>0,c>0)”类比得到“=(a>0,b>0,c>0)”;④由“分数的分子、分母同乘一个非零的数,分数值不变”类比得到“分数的分子、分母同乘一个非零的式子,分数值不变”.其中,正确结论的个数为().A.0B.1C.2D.3【解析】当c≤0时,①类比的结论不正确;②类比的结论是学生刚学习三角时经常出现的错误;③类比的结论也是学生在学习对数时常犯的错误,即类比推理的结论不一定正确;④类比的结论是正确的.【答案】B在平面上,若两个正三角形的边长之比为1∶2,则它们的面积比为1∶4,类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长的比为1∶2,求它们的体积之比.【解析】由类比推理得,若两个正四面体的棱长的比为1∶2,则它们的体积比为1∶8.下面计算验证,假设两个正四面体的棱长分别为1和2,如图,正四面体ABCD的棱长为1,取BC的中点E,作AO⊥ED于O,则OD=ED=×=,又在Rt△AOD中,AO===,则V正四面体ABCD=S△BCD·AO=××=.同理,可算得棱长为2的正四面体的体积V正四面体A'B'C'D'=2.∴V正四面体ABCD∶V正四面体A'B'C'D'=∶=1∶8.1.根据给出的数塔猜测123456×9+7等于().1×9+2=1112×9+3=111123×9+4=11111234×9+5=1111112345×9+6=111111A.1111110B.1111111C.1111112D.1111113【答案】B2.对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”,可类比猜想出:正四面体的内切球切于四面体().A.各正三角形内一点B.各正三角形的某高线上的点C.各正三角形的中心D.各正三角形外的某点【解析】正四面体的四个面都是正三角形,其内切球与正四面体的四个面相切于各正三角形的中心.【答案】C3.在数列{a n}中,a1=2,a n+1=(n∈N+),可以猜测数列的通项a n的表达式为.【答案】a n=(n∈N+)4.如图,在三棱锥S-ABC中,SA⊥SB,SB⊥SC,SA⊥SC,且SA、SB、SC和底面ABC所成的角分别为α1、α2、α3,三侧面△SBC、△SAC、△SAB的面积分别为S1、S2、S3,类比三角形中的正弦定理,给出空间情形的一个猜想.【解析】在△DEF中,由正弦定理得==,于是类比三角形中的正弦定理,在四面体S-ABC 中,猜想:==.(xx年·陕西卷)观察下列等式:12=112-22=-312-22+32=612-22+32-42=-10……照此规律,第n个等式可为.【解析】设等式右边的数的绝对值构成数列{a n},∵a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,…,a n-a n-1=n,以上所有等式相加可得a n-a1=2+3+4+…+n,即a n=1+2+3+…+n=,再观察各式的符号可知第n个等式为12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1·.【答案】12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1·1.观察(x2)'=2x,(x4)'=4x3,(cos x)'=-sin x,由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)等于().A.f(x)B.-f(x)C.g(x)D.-g(x)【解析】由给出的例子可以归纳推理得出:若函数f(x)是偶函数,则它的导函数是奇函数,因为定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),即函数f(x)是偶函数,所以它的导函数是奇函数,即有g(-x)=-g(x),故选D.【答案】D2.下图所示的是一串白黑相间排列的珠子,若按这种规律从左往右排起来,则第36颗珠子的颜色为().A.白色B.黑色C.白色的可能性大D.黑色的可能性大【解析】把三颗白珠子与两颗黑珠子看作一个整体,即5个珠子一个周期,故第36颗珠子与第1颗珠子的颜色相同.【答案】A3.已知经过计算和验证有下列正确的不等式:+<2,+<2,+<2,根据以上不等式的规律,写出对正实数m,n成立的条件不等式:.【答案】当m+n=20时,有+≤24.将全体正奇数排成一个三角形数阵:13 5791113151719……按照以上规律的排列,求第n(n≥3)行从左向右的第3个数.【解析】前n-1行有1+2+3+…+(n-1)=个数,加上第n行(n≥3)从左向右的3个数共有(-+3)个数,故第n(n≥3)行从左向右的第3个数为2(-+3)-1=n2-n+5.5.观察下列各式:72=49,73=343,74=2401,…,则7xx的末两位数字为().A.01B.43C.07D.49【解析】∵75=16807,76=117649,77=823543,78=5764801,…,发现74k-2的末两位数字为49,74k-1的末两位数为43,74k的末两位数为01,74k+1的末两位数为07,k∈N+,∵7xx=74×504-2,∴末两位数为49.【答案】D6.观察式子:1+<,1++<,1+++<,…,则可归纳出的式子为().A.1+++…+<(n≥2)B.1+++…+<(n≥2)C.1+++…+<(n≥2)D.1+++…+<(n≥2)【答案】C7.在平面几何体中,△ABC的内角∠C的平分线CE分AB所成线段的比=.把这个结论类比到空间:在三棱锥A—BCD中(如图),DEC平分二面角A—CD—B且与AB相交于E,则得到类比的结论是.【答案】=8.已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=-,且S n-1++2=0(n≥2,n∈N+),计算S1,S2,S3,S4,并猜想S n 的表达式.【解析】当n=1,S1=a1=-;当n=2时,=-2-S1=-,∴S2=-;当n=3时,=-2-S2=-,∴S3=-;当n=4时,=-2-S3=-,∴S4=-;猜想:S n=-(n∈N+).9.在公比为4的等比数列{b n}中,若T n是数列{b n}的前n项积,则有,,仍成等比数列,且公比为4100;类比上述结论,在公差为3的等差数列{a n}中,若S n是{a n}的前n项和,则有也成等差数列,且该等差数列的公差为.【答案】S20-S10,S30-S20,S40-S3030010.在数列{a n}中,a1=1,当n≥2时,其前n项和S满足=a n(S n-).(1)求,,,并求(不需证明);(2)求数列{a n}的通项公式.【解析】(1)当n≥2时,由a n=S n-S n-1和=a n(S n-),得=(S n-S n-1)(S n-),即=2+,所以=2+=2+1=3,=2+=5,=2+=7,……=2+=2n-1.(2)由(1)知S n=,当n≥2时,a n=S n-S n-1=-=-,显然a1=1不符合上述表达式,所以数列{a n}的通项公式为a n=。
2020北师大版高中数学选修1-2 课后习题：第三章 归纳推理
[A 组 基础巩固]1．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( ) A ．f (x ) B ．－f (x ) C ．g (x )D ．－g (x )解析：由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f (x )是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g (－x )＝－g (x )． 答案：D2．已知数列{a n }满足a 0＝1，a n ＝a 0＋a 1＋…＋a n －1(n ≥1)，则当n ≥1时，a n 等于( ) A ．2n B.12n (n ＋1) C ．2n －1D ．2n －1解析：a 0＝1，a 1＝a 0＝1，a 2＝a 0＋a 1＝2a 1＝2，a 3＝a 0＋a 1＋a 2＝2a 2＝4，a 4＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＝2a 3＝8，….猜想当n ≥1时，a n ＝2n －1. 答案：C3．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数的点数可以排成一个正三角形(如下图)．试求第七个三角形数是( ) A ．27 B ．28 C ．29D ．30解析：第七个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，故选B. 答案：B4．数列5,9,17,33，x ，…中的x 等于( ) A ．47 B ．65 C ．63D ．128解析：5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1， 归纳可得：x ＝26＋1＝65.答案：B5．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( ) A ．289 B ．1 024 C ．1 225D ．1 378解析：由图形可得三角形数构成的数列通项a n ＝n2(n ＋1)，同理可得正方形数构成的数列通项b n ＝n 2，若a 既是三角形数又是正方形数，则a ＋1为偶数，a 为奇数，故排除B 、D ；由n2(n ＋1)＝289＝17×17，知n ∉N ，所以排除A ，而1 225＝352＝35×35×22＝49×502＝1 225，满足题意，故选C. 答案：C6．f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N ＋)，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，推测当n ≥2时，有________． 解析：f (4)＝f (22)>2＋22，f (8)＝f (23)>3＋22，f (16)＝f (24)>4＋22，f (32)＝f (25)>5＋22.答案：f (2n )>n ＋227．观察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49照此规律，第五个等式应为________．解析：由于1＝12,2＋3＋4＝9＝32,3＋4＋5＋6＋7＝25＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72，所以第五个等式为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92＝81.答案：5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝818．观察下列不等式：1＋122<3 2，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，……照此规律，第五个．．．不等式为________．解析：归纳观察法．观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．∴第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116.答案：1＋122＋132＋142＋152＋162<1169．意大利数学家斐波那契在他的1228年版的《算经》一书中记述了有趣的兔子问题：假定每对大兔子每月能生一对小兔子，而每对小兔子过了一个月就可以长成大兔子，如果不发生死亡，那么由一对大兔子开始，一年后能有多少对大兔子呢？我们依次给出各个月的大兔子对数，并一直推算下去到无尽的月数，可得数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，…这就是斐波那契数列，此数列中，a1＝a2＝1，当n≥3时，归纳出a n与a n－1间的递推关系式．解析：因为2＝1＋1,3＝1＋2；5＝2＋3,8＝3＋5，…，逐项观察分析每项与其前几项的关系易得：从第三项起，它的每一项等于它的前面两项之和，即a n＝a n－1＋a n－2(n≥3，n∈N＋)．10．已知sin230°＋sin290°＋sin2150°＝32；sin25°＋sin265°＋sin2125°＝32，通过观察上述两等式的规律，请你写出对任意角度α都成立的一般性的命题，并给予证明． 解析：一般形式：sin 2α＋sin 2(α＋60°)＋sin 2(α＋120°)＝32.证明：左边＝1－cos 2α2＋1－cos (2α＋120°)2＋1－cos (2α＋240°)2＝32－12[cos 2α＋cos 2αcos 120°－sin 2αsin 120°＋cos 2α·cos 240°－sin 2αsin 240°] ＝32－12[cos 2α－12cos 2α－32sin 2α－12cos 2α＋32sin 2α]＝32＝右边 (将一般形式写成sin 2(α－60°)＋sin 2α＋sin 2(α＋60°)＝32，sin 2(α－240°)＋sin 2(α－120°)＋sin 2α＝32等均正确．) [B 组 能力提升]1．从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性( )解析：每行的各个方格中的白圈个数分别为9,8,7，排除B 项、D 项．黑圈按照依次向右，右边无圆圈则向下的顺序每次移动两格(下幅图中被消去的白圈不计算在移动格子内)，所以符合条件的只有C 项． 答案：C2．数列2,5,11,20，x,47，…中的x 的值为________．解析：5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9，看出x －20＝12,47－x ＝15，∴x ＝32. 答案：323．设函数f (x )＝xx ＋2(x >0)，观察：f 1(x )＝f (x )＝x x ＋2，f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x 3x ＋4， f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x7x ＋8， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x15x ＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N＋且n≥2时，f n(x)＝f(f n－1(x))＝________.解析：依题意，先求函数结果的分母中x项系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，…，可推知该数列的通项公式为a n＝2n－1.又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16，…，故其通项公式为b n＝2n.所以当n≥2时，f n(x)＝f(f n－1(x))＝x(2n－1)x＋2n.答案：x(2n－1)x＋2n4．(1)如图(a)(b)(c)(d)为四个平面图形．数一数，每个平面图形各有多少个顶点？多少条边？它们分别围成了多少个区域？请将结果填入下表(按填好的例子做)．(2)(3)现已知某个平面图形有1 005个顶点，且围成了1 005个区域，试根据以上关系确定这个图形有多少条边．解析：(1)填表如下：(2)由该表可以看出，所给四个平面图形的顶点数、边数及区域数之间有下述关系：4＋3－6＝1,8＋5－12＝1,6＋4－9＝1,10＋6－15＝1.所以我们可以推断：任何平面图形的顶点数、边数及区域数之间都有下述关系：顶点数＋区域数－边数＝1.(3)由上面所给的关系，可知所求平面图形的边数． 边数＝顶点数＋区域数－1＝1 005＋1 005－1＝2 009.5．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图①②③④所示，为她们刺绣的最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多，刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．(1)求出f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式； (3)求1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1的值． 解析：(1)f (5)＝41. (2)f (2)－f (1)＝4＝4×1， f (3)－f (2)＝8＝4×2， f (4)－f (3)＝12＝4×3， f (5)－f (4)＝16＝4×4， ……由上述规律，得f (n ＋1)－f (n )＝4n .∴f (n ＋1)＝f (n )＋4n ，f (n )＝f (n －1)＋4(n －1)＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2) ＝f (1)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4 ＝2n 2－2n ＋1.(3)当n ≥2时，1f (n )－1＝12n (n －1)＝12(1n －1－1n)，∴1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1＝1＋12[(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －1－1n )]＝1＋12(1－1n )＝32－12n .。
高中数学北师大版选修12第三章推理与证明第1课时合情推理精品学案
第1课时合情推理1.结合已学过的数学实例和生活实例,了解归纳推理与类比推理的含义.2.能利用归纳方法进行简单推理,体会并认识归纳推理在数学发展中的作用.3.掌握类比推理的一般方法,会对一些简单问题进行类比,得出新的结论,培养学生的类比推理能力.重点:了解合情推理的含义,能利用归纳进行简单的推理.难点:用归纳、类比进行推理,作出猜想.历史上,人们提出过许多永动机的设计方案,有人采用“螺旋汲水器”的原理,有人利用轮子惯性原理,有人利用水的浮力或毛细作用的原理,但均以失败告终.于是人们纷纷认为:不可能制造出永动机.问题1:他们为什么认为不可能制造出永动机?通过大量失败的例子归纳推理得到的,并由后人提出的能量守恒定律彻底说明永动机不可制造.问题2:归纳推理、类比推理及其特点(1)归纳推理:根据一类事物中部分事物具有某种属性,推断该类事物中每一个事物都有这种属性,我们把这种推理方式称为归纳推理.它具有以下几个特点:①归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.②利用归纳推理得出的结论不一定是正确的,但是可以为我们的研究提供一种方向.(2)类比推理:由于两类不同对象具有某些类似的特性,在此基础上,根据一类对象的其他特征,推断另一类对象也具有类似的其他特征,我们把这种推理过程称为类比推理.它具有以下几个特点:①类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果.②类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性,是一种从特殊到特殊的推理.③类比的结果不一定正确,但它却有发现的功能.问题3:归纳推理、类比推理的一般步骤(1)归纳推理:①通过观察个别情况发现某些相同的性质;②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想);如果归纳的个别情况越多,越具有代表性,那么推广的一般性命题就越可能为真.归纳推理的一般思维过程:实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论①找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;②用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想;③检验猜想.类比推理的一般思维过程:观察、比较→联想、类推→猜想新结论问题4:合情推理及其意义归纳推理和类比推理都是最常见的合情推理.合情推理是根据实验与实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等),推测出某些结果的推理方式.尽管合情推理的结果不一定正确,但是,在数学、科学、经济和社会的历史发展中,合情推理有非常重要的价值,它是科学发现和创造的基础.数学中有一条三角形定理:三角形的两边之和大于第三边,根本不存在一条边大于其他两边之和的三角形.这个数学原理被一位科学家成功地运用到社会科学领域.他认为,历史上如果三个割据势力并存,就形成了三足鼎立,这是一种比较稳定的结构.如果强者侵犯了弱者,被侵犯的弱者就会与另一个弱者联合起来.结盟之后,两边之和大于第三边,稳定的三足结构就不会被破坏.只有当强者的力量超过了两个弱者之和,三国鼎立的局面才会结束.这位科学家利用类比推理表达自己的思想,使抽象的道理具体化,使论述更加形象,收到了良好的表达效果.1.数列{a n}的前四项为,1,,,由此可以归纳出该数列的一个通项公式为().====【解析】将前四项分别写成,,,,即可作出归纳.【答案】B2.由数列1,10,100,1000,…猜测该数列的第n项可能是().+1【答案】B3.已知点A(x1,)、B(x2,)是函数y=x2的图像上任意不同两点,依据图像可知,线段AB总是位于A、B两点之间函数图像的上方,因此有结论>()2成立.运用类比思想方法可知,若点C(x1,lg x1)、D(x2,lg x2)是函数y=lg x(x>0)的图像上的不同两点,则类似地有成立.【解析】因为线段总是位于C、D两点之间函数图像的下方,所以有<lg.【答案】<lg4.观察圆周上n个点之间所连的弦,发现两个点可以连一条弦,3个点可以连3条弦,4个点可以连6条弦,5个点可以连10条弦,由此可以归纳出什么规律?【解析】设f(n)为n个点可连的弦的条数,则f(2)=1=,f(3)=3=,f(4)=6=,f(5)=10=,…,故f(n)=.归纳推理的应用已知函数f(x)=,设f1(x)=f(x),f n(x)=f n-1[f n-1(x)](n>1,n∈N+),则f3(x)的表达式为,猜想f n(x)(n∈N+)的表达式为.【方法指导】写出f1(x),f2(x),f3(x),观察f n(x)的特点,从而归纳出f n(x).【解析】由f1(x)=f(x)得f2(x)=f1[f1(x)]==,f3(x)=f2[f2(x)]==,…,由此猜想f n(x)=(n∈N+).【答案】f3(x)=f n(x)=(n∈N+)【小结】归纳推理的一般步骤:(1)经过观察个别情况发现某些相同的性质;(2)从已知的相同性质中推出一个有明确结论的一般性命题.利用类比推理猜想结论在等差数列{a n}中,若a10=0,则有等式a1+a2+…+a n=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N+)成立,类比上述性质,相应地:在等比数列{b n}中,若b9=1,则有等式成立.【方法指导】寻找类比对象,理解等差数列性质,结合等比数列性质给出结论.【解析】等差数列用减法定义性质用加法表述(若m,n,p,q∈N +,且m+n=p+q,则a m+a n=a p+a q);等比数列用除法定义性质用乘法表述(若m,n,p,q∈N +,且m+n=p+q,则a m·a n=a p·a q).由此,猜测本题的答案为b1b2…b n=b1b2…b17-n(n<17,n∈N+).【答案】b1b2…b n=b1b2…b17-n(n<17,n∈N+)【小结】本题考查等差数列与等比数列的类比.类比问题的关键是找好对应的类比对象,理解类比前问题成立的条件也是个关键.通过类比方法解题通过计算可得下列等式:22-12=2×1+132-22=2×2+142-32=2×3+1……(n+1)2-n2=2×n+1将以上各式分别相加得:(n+1)2-12=2×(1+2+3+…+n)+n,即1+2+3+…+n=.类比上述求法,请你求出12+22+32+…+n2的值.【方法指导】利用提示的思路求得(n+1)3-n3=3×n2+3×n+1,再叠加即可.【解析】23-13=3×12+3×1+133-23=3×22+3×2+143-33=3×32+3×3+1……(n+1)3-n3=3×n2+3×n+1将以上各式分别相加得:(n+1)3-13=3×(12+22+32+…+n2)+3×(1+2+3+…+n) +n,所以12+22+32+…+n2=[(n+1)3-1-n-3··n]=n(n+1)(2n+1).【小结】类比推理是由特殊到特殊的推理,其关键就是注重本质的推导方式,通过这种推导方式对解决另一个问题起到指导作用.(1)设函数f(x)=(x>0),观察:f1(x)=f(x)=,f2(x)=f(f1(x))=,f3(x)=f(f2(x))=,f4(x)=f(f3(x))=,……根据以上事实,由归纳推理可得:当n∈N+且n≥2时,f n(x)=f(f n-1(x))=.(2)观察下列等式:13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,…,根据上述规律,第五个．．．等式．．为.【解析】(1)观察给定的各个函数解析式,可知分子都为x,分母都为关于x的一次式的形式且各个式子的常数项分别为2,4,8,16,…,这样f n(x)对应的函数的分母的常数为2n,x的系数比常数少1即为2n-1,因此f n(x)=f(f n-1(x))=.(2)由题中等式可知第i个等式左边为1到i+1的立方和,右边为1+2+…+(i+1)的平方,所以第五个等式为13+23+33+43+53+63=212.【答案】(1)(2)13+23+33+43+53+63=212下列是用类比法进行猜测的几个结论:①由“a=b⇒ac=bc”类比得到“a>b⇒ac>bc”;②由“a(b+c)=ab+ac”类比得到“sin(A+B)=sin A+sin B”;③由“=(a>0,b>0,c>0)”类比得到“=(a>0,b>0,c>0)”;④由“分数的分子、分母同乘一个非零的数,分数值不变”类比得到“分数的分子、分母同乘一个非零的式子,分数值不变”.其中,正确结论的个数为().B.1【解析】当c≤0时,①类比的结论不正确;②类比的结论是学生刚学习三角时经常出现的错误;③类比的结论也是学生在学习对数时常犯的错误,即类比推理的结论不一定正确;④类比的结论是正确的.【答案】B在平面上,若两个正三角形的边长之比为1∶2,则它们的面积比为1∶4,类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长的比为1∶2,求它们的体积之比.【解析】由类比推理得,若两个正四面体的棱长的比为1∶2,则它们的体积比为1∶8.下面计算验证,假设两个正四面体的棱长分别为1和2,如图,正四面体ABCD的棱长为1,取BC的中点E,作AO⊥ED于O,则OD=ED=×=,又在Rt△AOD中,AO===,则V正四面体ABCD=S△BCD·AO=××=.同理,可算得棱长为2的正四面体的体积V正四面体A'B'C'D'=2.∴V正四面体ABCD∶V正四面体A'B'C'D'=∶=1∶8.1.根据给出的数塔猜测123456×9+7等于().1×9+2=1112×9+3=111123×9+4=11111234×9+5=1111112345×9+6=111111【答案】B2.对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”,可类比猜想出:正四面体的内切球切于四面体().A.各正三角形内一点B.各正三角形的某高线上的点C.各正三角形的中心D.各正三角形外的某点【解析】正四面体的四个面都是正三角形,其内切球与正四面体的四个面相切于各正三角形的中心.【答案】C3.在数列{a n}中,a1=2,a n+1=(n∈N+),可以猜测数列的通项a n的表达式为.【答案】a n=(n∈N+)4.如图,在三棱锥S-ABC中,SA⊥SB,SB⊥SC,SA⊥SC,且SA、SB、SC和底面ABC所成的角分别为α1、α2、α3,三侧面△SBC、△SAC、△SAB的面积分别为S1、S2、S3,类比三角形中的正弦定理,给出空间情形的一个猜想.【解析】在△DEF中,由正弦定理得==,于是类比三角形中的正弦定理,在四面体S-ABC 中,猜想:==.(2013年·陕西卷)观察下列等式:12=112-22=-312-22+32=612-22+32-42=-10……照此规律,第n个等式可为.【解析】设等式右边的数的绝对值构成数列{a n},∵a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,…,a n-a n-1=n,以上所有等式相加可得a n-a1=2+3+4+…+n,即a n=1+2+3+…+n=,再观察各式的符号可知第n个等式为12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1·.【答案】12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1·1.观察(x2)'=2x,(x4)'=4x3,(cos x)'=-sin x,由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)等于().(x)(x)(x)(x)【解析】由给出的例子可以归纳推理得出:若函数f(x)是偶函数,则它的导函数是奇函数,因为定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),即函数f(x)是偶函数,所以它的导函数是奇函数,即有g(-x)=-g(x),故选D.【答案】D2.下图所示的是一串白黑相间排列的珠子,若按这种规律从左往右排起来,则第36颗珠子的颜色为().A.白色B.黑色C.白色的可能性大D.黑色的可能性大【解析】把三颗白珠子与两颗黑珠子看作一个整体,即5个珠子一个周期,故第36颗珠子与第1颗珠子的颜色相同.【答案】A3.已知经过计算和验证有下列正确的不等式:+<2,+<2,+<2,根据以上不等式的规律,写出对正实数m,n成立的条件不等式:.【答案】当m+n=20时,有+≤24.将全体正奇数排成一个三角形数阵:13 5791113151719……按照以上规律的排列,求第n(n≥3)行从左向右的第3个数.【解析】前n-1行有1+2+3+…+(n-1)=个数,加上第n行(n≥3)从左向右的3个数共有(-+3)个数,故第n(n≥3)行从左向右的第3个数为2(-+3)-1=n2-n+5.5.观察下列各式:72=49,73=343,74=2401,…,则72014的末两位数字为()..43【解析】∵75=16807,76=117649,77=823543,78=5764801,…,发现74k-2的末两位数字为49,74k-1的末两位数为43,74k的末两位数为01,74k+1的末两位数为07,k∈N+,∵72014=74×504-2,∴末两位数为49.【答案】D6.观察式子:1+<,1++<,1+++<,…,则可归纳出的式子为().+++…+<(n≥2)+++…+<(n≥2)+++…+<(n≥2)+++…+<(n≥2)【答案】C7.在平面几何体中,△ABC的内角∠C的平分线CE分AB所成线段的比=.把这个结论类比到空间:在三棱锥A—BCD中(如图),DEC平分二面角A—CD—B且与AB相交于E,则得到类比的结论是.【答案】=8.已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=-,且S n-1++2=0(n≥2,n∈N+),计算S1,S2,S3,S4,并猜想S n 的表达式.【解析】当n=1,S1=a1=-;当n=2时,=-2-S1=-,∴S2=-;当n=3时,=-2-S2=-,∴S3=-;当n=4时,=-2-S3=-,∴S4=-;猜想:S n=-(n∈N+).9.在公比为4的等比数列{b n}中,若T n是数列{b n}的前n项积,则有,,仍成等比数列,且公比为4100;类比上述结论,在公差为3的等差数列{a n}中,若S n是{a n}的前n项和,则有也成等差数列,且该等差数列的公差为.【答案】S20-S10,S30-S20,S40-S3030010.在数列{a n}中,a1=1,当n≥2时,其前n项和S满足=a n(S n-).(1)求,,,并求(不需证明);(2)求数列{a n}的通项公式.【解析】(1)当n≥2时,由a n=S n-S n-1和=a n(S n-),得=(S n-S n-1)(S n-),即=2+,所以=2+=2+1=3,=2+=5,=2+=7,……=2+=2n-1.(2)由(1)知S n=,当n≥2时,a n=S n-S n-1=-=-,显然a1=1不符合上述表达式,所以数列{a n}的通项公式为a n=。
高中数学北师大版选修1-2第3章《推理与证明》导学案：合情推理(一)
1. 结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；2. 能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.2830在日常生活中我们常常遇到这样的现象：（1）看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，推断天要下雨；（2）八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯.以上例子可以得出推理是的思维过程.二、新课导学※学习探究※ 典型例题2，例1 观察下列等式：1+3=4=21+3+5=9=23，1+3+5+7=16=24，1+3+5+7+9=25=25，……你能猜想到一个怎样的结论？变式：观察下列等式：1=11+8=9，1+8+27=36，1+8+27+64=100，……你能猜想到一个怎样的结论？例2已知数列{}n a 的第一项11a =，且nnn a a a +=+11(1,2,3...)n =，试归纳出这个数列的通项公式.变式：在数列{n a }中，11()2n n na a a =+（2n ≥），试猜想这个数列的通项公式.※ 动手试试练1. .练2. 在数列{n a }中，11a =，122nn na a a +=+（*n N ∈）,试猜想这个数列的通项公式.三、总结提升 ※ 学习小结1．归纳推理的定义.2. 归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同的性质；①从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）. ※ 知识拓展1.费马猜想：法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对020213F =+=，121215F =+=，2222117F =+=，32321257F =+=，4242165537F =+=的观察，发现其结果都是素数，提出猜想：对所有的自然数n ，任何形如221nn F =+的数都是素数. 后来瑞士数学家欧拉发现5252142949672976416700417F =+==⨯不是素数，推翻费马猜想. 2.四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1.下列关于归纳推理的说法错误的是（ ）. A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程 B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程 C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确 D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能2.若2()41,f n n n n N =++∈，下列说法中正确的是（ ）. A.()f n 可以为偶数 B. ()f n 一定为奇数 C. ()f n 一定为质数 D. ()f n 必为合数2. 已知数列{n a }的前n 项和n S ，123a =-，满足12(2)n n n S a n S ++=≥，计算1234,,,,S S S S 并猜想n S 的表达式.。
【创新设计-课堂讲义】2022-2021学年高中数学北师大版选修1-2练习：第三章 推理与证明 4
明目标、知重点 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．1．反证法在证明数学命题时，先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相冲突，或与命题中的已知条件相冲突，或与假定相冲突，从而说明命题结论的反面不行能成立，由此断定命题的结论成立，这种证明方法叫作反证法．2．反证法的证题步骤(1)作出否定结论的假设；(2)进行推理，导出冲突；(3)否定假设，确定结论．[情境导学]王戎小时候，爱和小伴侣在路上玩耍．一天，他们发觉路边的一棵树上结满了李子，小伴侣一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小伴侣们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子肯定是苦的．”这就是有名的“道旁苦李”的故事．王戎的论述，运用的方法即是本节课所要学的方法——反证法．探究点一反证法的概念思考1通过情境导学得上述方法的一般模式是什么？答(1)假设原命题不成立(提出原命题的否定，即“李子苦”)，(2)以此为条件，经过正确的推理，最终得出一个结论(“早被路人摘光了”)，(3)判定该结论与事实(“树上结满李子”)冲突，因此说明假设错误，从而证明白原命题成立，这样的证明方法称为反证法．思考2反证法证明的关键是经过推理论证，得出冲突．反证法引出的冲突有几种状况？答(1)与原题中的条件冲突；(2)与定义、公理、定理、公式等冲突；(3)与假设冲突．思考3反证法主要适用于什么情形？答①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清楚；②假如从正面证明，需要分成多种情形进行分类争辩，而从反面进行证明，只要争辩一种或很少的几种情形．探究点二用反证法证明几何问题例1已知直线a，b和平面α，假如a⃘α，bα，且a∥b，求证：a∥α.证明由于a∥b，所以经过直线a，b 确定一个平面β.由于a⃘α，而aβ，所以α与β是两个不同的平面．由于bα，且bβ，所以α∩β＝b.下面用反证法证明直线a与平面α没有公共点．假设直线a与平面α有公共点P，如图所示，则P∈α∩β＝b，即点P 是直线a与b的公共点，这与a∥b冲突．所以a∥α.反思与感悟数学中的一些基础命题都是数学中我们经常用到的明显事实，它们的判定方法极少，宜用反证法证明．正难则反是运用反证法的常见思路，即一个命题的结论假如难以直接证明时，可考虑用反证法．跟踪训练1 如图，已知a∥b，a∩平面α＝A.求证：直线b与平面α必相交．证明假设b与平面α不相交，即bα或b∥α.①若bα，由于b∥a，a⃘α，所以a∥α，这与a∩α＝A相冲突；②如图所示，假如b∥α，则a，b确定平面β.明显α与β相交，设α∩β＝c，由于b∥α，所以b∥c.又a∥b，从而a∥c，且a⃘α，cα，则a∥α，这与a∩α＝A相冲突．由①②知，假设不成立，故直线b与平面α必相交．探究点三用反证法证明否定性命题例2 求证：2不是有理数．证明假设2是有理数．于是，存在互质的正整数m，n，使得2＝mn，从而有m＝2n ，因此m2＝2n2，所以m为偶数．于是可设m＝2k(k是正整数)，从而有4k2＝2n2，即n2＝2k2，所以n也为偶数．这与m，n互质冲突．由上述冲突可知假设错误，从而2不是有理数．反思与感悟当结论中含有“不”、“不是、“不行能”、“不存在”等否定形式的命题时，由于此类问题的反面比较具体，适于应用反证法．跟踪训练2已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：a，b，c不成等差数列．证明假设a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，即a＋c＋2ac＝4b，而b2＝ac，即b＝ac，∴a＋c＋2ac＝4ac，∴(a－c)2＝0.即a＝c，从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列冲突，故a，b，c不成等差数列．探究点四含至多、至少、唯一型命题的证明例3 若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根．证明假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个实根，设α、β为其中的两个实根．由于α≠β，不妨设α<β，又由于函数f(x)在[a，b]上是增函数，所以f(α)<f(β)．这与假设f(α)＝0＝f(β)冲突，所以方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根．反思与感悟当一个命题的结论有“最多”、“最少”、“至多”、“至少”、“唯一”等字样时，常用反证法来证明，用反证法证明时，留意精确写出命题的假设．跟踪训练3若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋π2，b＝y2－2z＋π3，c＝z2－2x＋π6.求证：a、b、c中至少有一个大于0.证明假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，所以a＋b＋c≤0，而a＋b＋c＝(x2－2y＋π2)＋(y2－2z＋π3)＋(z2－2x＋π6)＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3，所以a＋b＋c>0，这与a＋b＋c≤0冲突，故a、b、c中至少有一个大于0.1．证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设()A．三角形中至少有一个直角或钝角B．三角形中至少有两个直角或钝角C．三角形中没有直角或钝角D．三角形中三个角都是直角或钝角答案B2．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中()A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°答案B3．“a <b ”的反面应是( ) A ．a ≠b B ．a >b C ．a ＝b D ．a ＝b 或a >b 答案 D4．用反证法证明“在同一平面内，若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ”时，应假设( ) A ．a 不垂直于c B ．a ，b 都不垂直于c C ．a ⊥bD ．a 与b 相交答案 D5．已知a ≠0，证明：关于x 的方程ax ＝b 有且只有一个根．证明 由于a ≠0，因此方程至少有一个根x ＝ba.假如方程不止一个根，不妨设x 1，x 2是它的两个不同的根，即ax 1＝b ， ① ax 2＝b . ②①－②，得a (x 1－x 2)＝0.由于x 1≠x 2，所以x 1－x 2≠0，所以应有a ＝0，这与已知冲突，故假设错误． 所以，当a ≠0时，方程ax ＝b 有且只有一个根． [呈重点、现规律] 1．反证法证明的基本步骤(1)假设命题结论的反面是正确的；(反设)(2)从这个假设动身，经过规律推理，推出与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实冲突；(推缪) (3)由冲突判定假设不正确，从而确定原命题的结论是正确的．(结论) 2．反证法证题与“逆否命题法”的异同反证法的理论基础是逆否命题的等价性，但其证明思路不完全是证明一个命题的逆否命题．反证法在否定结论后，只要找到冲突即可，可以与题设冲突，也可以与假设冲突，还可以与定义、定理、公式、事实冲突．因此，反证法与证明逆否命题是不同的．一、基础过关1．反证法的关键是在正确的推理下得出冲突．这个冲突可以是( )①与已知条件冲突 ②与假设冲突 ③与定义、公理、定理冲突 ④与事实冲突A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②③④答案 D2．否定：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时正确的反设为( ) A ．a ，b ，c 都是偶数 B ．a ，b ，c 都是奇数 C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数 答案 D解析 自然数a ，b ，c 的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时正确的反设为“a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数”．3．有下列叙述：①“a >b ”的反面是“a <b ”；②“x ＝y ”的反面是“x >y 或x <y ”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 答案 B解析 ①错：应为a ≤b ；②对；③错：应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上；④错：应为三角形可以有2个或2个以上的钝角．4．用反证法证明命题：“a 、b ∈N ，ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( )A ．a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a ，b 不都能被5整除D ．a 不能被5整除答案 B解析 “至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a ，b 都不能被5整除”．5．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有有理根，那么a ，b ，c 中存在偶数”时，否定结论应为______________．答案 a ，b ，c 都不是偶数解析 a ，b ，c 中存在偶数即至少有一个偶数，其否定为a ，b ，c 都不是偶数． 6．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是__________________． 答案 存在一个三角形，其外角最多有一个钝角解析 “任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”．7．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 、b 、c 均为整数，且f (0)，f (1)均为奇数．求证：f (x )＝0无整数根． 证明 设f (x )＝0有一个整数根k ，则 ak 2＋bk ＝－c .①又∵f (0)＝c ，f (1)＝a ＋b ＋c 均为奇数，∴a ＋b 为偶数，当k 为偶数时，明显与①式冲突；当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1(n ∈Z )，则ak 2＋bk ＝(2n ＋1)·(2na ＋a ＋b )为偶数，也与①式冲突，故假设不成立，所以方程f (x )＝0无整数根． 二、力量提升8．已知x 1>0，x 1≠1且x n ＋1＝x n ·(x 2n ＋3)3x 2n ＋1(n ＝1,2，…)，试证：“数列{x n }对任意的正整数n 都满足x n >x n ＋1”，当此题用反证法否定结论时应为( ) A ．对任意的正整数n ，有x n ＝x n ＋1 B ．存在正整数n ，使x n ＝x n ＋1 C ．存在正整数n ，使x n ≥x n ＋1 D ．存在正整数n ，使x n ≤x n ＋1 答案 D解析 “任意”的反语是“存在一个”．9.设a ，b ，c 都是正数，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a ( )A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2 答案 C解析 假设a ＋1b <2，b ＋1c <2，c ＋1a<2，则(a ＋1b )＋(b ＋1c )＋(c ＋1a )<6.又(a ＋1b )＋(b ＋1c )＋(c ＋1a )＝(a ＋1a )＋(b ＋1b )＋(c ＋1c)≥2＋2＋2＝6，这与假设得到的不等式相冲突，从而假设不正确，所以这三个数至少有一个不小于2.10.若下列两个方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是__________________． 答案 a ≤－2或a ≥－1解析 若两方程均无实根，则Δ1＝(a －1)2－4a 2＝(3a －1)(－a －1)<0，∴a <－1或a >13.Δ2＝(2a )2＋8a ＝4a (a ＋2)<0，∴－2<a <0，故－2<a <－1.若两个方程至少有一个方程有实根，则a ≤－2或a ≥－1. 11．已知a ＋b ＋c >0，ab ＋bc ＋ca >0，abc >0. 求证：a >0，b >0，c >0. 证明 用反证法：假设a ，b ，c 不都是正数，由abc >0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数， 不妨设a <0，b <0，c >0，则由a ＋b ＋c >0， 可得c >－(a ＋b )，又a ＋b <0，∴c (a ＋b )<－(a ＋b )(a ＋b )， ab ＋c (a ＋b )<－(a ＋b )(a ＋b )＋ab ， 即ab ＋bc ＋ca <－a 2－ab －b 2， ∵a 2>0，ab >0，b 2>0，∴－a 2－ab －b 2＝－(a 2＋ab ＋b 2)<0， 即ab ＋bc ＋ca <0，这与已知ab ＋bc ＋ca >0冲突，所以假设不成立． 因此a >0，b >0，c >0成立．12．已知a ，b ，c ∈(0,1)，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不行能都大于14.证明 假设三个式子同时大于14，即(1－a )b >14，(1－b )c >14，(1－c )a >14，三式相乘得(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c >143，①又由于0<a <1，所以0<a (1－a )≤(a ＋1－a 2)2＝14.同理0<b (1－b )≤14，0<c (1－c )≤14，所以(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c ≤143，②①与②冲突，所以假设不成立，故原命题成立．三、探究与拓展13.已知f(x)是R上的增函数，a，b∈R.证明下面两个命题：(1)若a＋b＞0，则f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)；(2)若f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)，则a＋b＞0.证明(1)由于a＋b＞0，所以a＞－b，b＞－a，又由于f(x)是R上的增函数，所以f(a)＞f(－b)，f(b)＞f(－a)，由不等式的性质可知f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)．(2)假设a＋b≤0，则a≤－b，b≤－a，由于f(x)是R上的增函数，所以f(a)≤f(－b)，f(b)≤f(－a)，所以f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)，这与已知f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)冲突，所以假设不正确，所以原命题成立．。
【精编】北师大版高中数学选修1-2课件第3章推理与证明本章整合-精心整理
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证明:不妨设直线 a 与平面 α 相交,假设直线 b 不与平面 α 相交,则 b⫋α 或 b∥平面 α.
①若 b⫋α,由 a∥b,a⊈α,得 a∥α 或 a⫋α,这与“a 与平面 α 相交”矛盾. ②若 b∥α,则平面 α 内有直线 b',使 b'∥b. 而 a∥b,故 a∥b',因为 a⊈α,所以 a∥α,这与“a 与平面 α 相交”矛盾. 综上所述,假设不成立,则直线 b 与平面 α 只能相交.
只需证(2cos α-1)2≥0.上式显然成立. 所以原不等式成立,即 2sin 2α≤1s-cino���s���������.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题四 反证法
1.反证法是间接证明的一种基本方法,它不是直接证明结论,而是先否 定结论,在否定结论的基础上,运用正确的推理,导出矛盾,从而肯定结论的 真实性.在证明一些否定性命题、唯一性命题或含有“至多”、“至少”等字 句的命题时,正面证明较难,可考虑反证法,即“正难则反”.
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专题一
专题二
专题三
专题四
专题三 综合法与分析法
综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法,分析法既可用于寻 找解题思路,也可以是完整的证明过程.分析法与综合法相互转换、相互渗 透,充分利用这一辩证关系,在解题中综合法与分析法联合运用,转换解题思 路,增加解题途径.
选修1-2推理与证明导学案加课后作业及答案
2．1.1合情推理(一)【学习要求】1．了解归纳推理的含义，能利用归纳推理进行简单的推理．2．了解归纳推理在数学发展中的作用．【学法指导】归纳是推理常用的思维方法，其结论不一定正确，但具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养.【知识要点】1．推理：根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个，这种思维方式就是推理．推理一般由两部分组成：和________．2．合情推理：前提为真时，结论的推理，叫做合情推理．3．归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的都具有这种性质的推理．4．归纳推理具有如下的特点：（1）归纳推理是从到的推理；（2）由归纳推理得到的结论正确；（3）归纳推理是一种具有创造性的推理.【问题探究】探究点一归纳推理的定义问题1在日常生活中我们常常遇到这样一些问题：看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家等现象时，我们会得出一个判断——天要下雨了；张三今天没来上课，我们会推断——张三一定生病了；谚语说：“八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯”等，像上面的思维方式就是推理，请问你认为什么是推理？问题2在等差数列{a n}中：a1＝a1＋0d，a2＝a1＋d＝a1＋1d，a3＝a2＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝a1＋3d，……观察可得什么结论？问题3设f(n)＝n2＋n＋41，n∈N*，计算f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，…，f(10)的值，同时作出归纳推理，并用n＝40验证猜想的结论是否正确．探究点二归纳推理的应用例1已知数列{a n}的第1项a1＝1，且a n＋1＝a n1＋a n(n＝1,2,3，…)，试归纳出这个数列的通项公式．跟踪训练1已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝2a n＋1(n＝1,2,3，…)．（1）求a2，a3，a4，a5；（2）归纳猜想通项公式a n.例2在法国巴黎举行的第52届世兵赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2,3,4，…堆最底层(第一层)分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则f(3)＝______；f(n)＝______(答案用含n的代数式表示)．跟踪训练2在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，…由此猜想凸n(n≥4且n∈N*)边形有几条对角线？例3观察下列等式，并从中归纳出一般法则．（1）1＝12，1＋3＝22，1＋3＋5＝32，1＋3＋5＋7＝42，1＋3＋5＋7＋9＝52，……（2）1＝12，2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝524＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92，……跟踪训练3在△ABC中，不等式1A＋1B＋1C≥9成立；在四边形ABCD中，不等式1A＋1B＋1C＋1D≥16成立；在五边形ABCDE中，不等式1A＋1B＋1C＋1D＋1E≥253π成立．猜想在n边形A1A2…A n中有怎样的不等式成立_______．【当堂检测】1．已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若6＋ab＝6ab(a、b均为实数)．请推测a＝______，b＝________.2．将全体正整数排成一个三角形数阵：12 345 6789101112131415……………………按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________． 3．已知正项数列{a n }满足S n ＝12(a n ＋1a n)，求出a 1，a 2，a 3，a 4，并推测a n .【课堂小结】归纳推理的一般步骤（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理，发现某些相同的性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题，提出带有规律性的结论，即猜想，注意：一般性的命题往往要用字母表示，这时需注明字母的取值范围.【课后作业】一、基础过关1．数列5,9,17,33，x ，…中的x 等于( )A ．47B ．65C ．63D ．1282．已知a 1＝3，a 2＝6且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 33为( )A ．3B ．－3C ．6D ．－6 3．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111A ．1 111 110B ．1 111 111C ．1 111 112D ．1 111 1134．我们把1,4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正方形(如图)．试求第n 个正方形数是( )A ．n (n －1)B ．n (n ＋1)C ．n 2D ．(n ＋1)25．f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，推测当n ≥2时，有________．二、能力提升6．设x ∈R ，且x ≠0，若x ＋x －1＝3，猜想x 2n ＋x －2n (n ∈R *)的个位数字是________． 7．如图，观察图形规律，在其右下角的空格处画上合适的图形，应为________．8．如图所示四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为________．9．如图所示，图(a)是棱长为1的小正方体，图(b)、图(c)是由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第1层，第2层，…，第n 层．第n 层的小正方体的个数记为S n .解答下列问题．（1）按照要求填表：（2）S 10＝________.(3)S n ＝10．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }，可以推测：（1）b 2 012是数列{a n }中的第______项； （2）b 2k －1＝________.(用k 表示)11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1且S n －1＋1S n ＋2＝0(n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式．12．一条直线将平面分成2个部分，两条直线最多将平面分成4个部分． （1）3条直线最多将平面分成多少部分？（2）设n 条直线最多将平面分成f (n )部分，归纳出f (n ＋1)与f (n )的关系； （3）求出f (n )．三、探究与拓展13．在一容器内装有浓度r %的溶液a 升，注入浓度为p %的溶液14a 升，搅匀后再倒出溶液14a 升，这叫一次操作，设第n 次操作后容器内溶液的浓度为b n ，计算b 1、b 2、b 3，并归纳出计算公式bn ．2.1.1 合情推理(二)【学习要求】1．通过具体实例理解类比推理的意义． 2．会用类比推理对具体问题作出判断．【学法指导】类比推理是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式．归纳和类比是合情推理常用的思维方法，其结论不一定正确【知识要点】1．类比推理：根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有___________________________的推理，叫做类比推理(简称类比)． 2．类比推理的一般步骤：（1）找出两类事物之间的 ；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个 .【问题探究】探究点一 平面图形与立体图形间的类比阅读下面的推理，回答后面提出的问题：1．科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征： （1）火星也是绕太阳运行、绕轴自转的行星； （2）有大气层，在一年中也有季节变更；（3）火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存，等等．科学家猜想：火星上也可能有生命存在．2．根据等式的性质猜想不等式的性质．等式的性质： 猜想不等式的性质： （1）a ＝b ⇒a ＋c ＝b ＋c; （1）a >b ⇒a ＋c >b ＋c ； （2）a ＝b ⇒ac ＝bc; （2）a >b ⇒ac >bc ； （3）a ＝b ⇒a 2＝b 2等等. （3）a >b ⇒a 2>b 2等等． 问题1 这两个推理实例在思维方式上有什么共同特点？ 问题2 猜想正确吗？问题3 类比圆的特征，填写下表中球的有关特征例1 如图所示，面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为a i (i ＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为h i (i ＝1,2,3,4)，若a 11＝a 22＝a 33＝a 44＝k ，则h 1＋2h 2＋3h 3＋4h 4＝2Sk，类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i (i ＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为H i (i ＝1,2,3,4)，若S 11＝S 22＝S 33＝S 44＝K ，则H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4等于多少？跟踪训练1 在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则AB 2＋AC 2＝BC 2”．拓展到空间(如图)，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的结论是_________________________________________．探究点二 定义、定理或性质中的类比例2 在等差数列{a n }中，若a 10＝0，证明等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N ＋)成立，并类比上述性质相应在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有等式________成立．跟踪训练2 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．【当堂检测】1．下列说法正确的是 ( ) A ．由合情推理得出的结论一定是正确的 B ．合情推理必须有前提、有结论 C ．合情推理不能猜想D ．合情推理得出的结论不能判断正误2．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．3．若数列{c n }是等差数列，则当d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nn 时，数列{d n }也是等差数列，类比上述性质，若数列{a n }是各项均为正数的等比数列，则当b n ＝_________时，数列{b n }也是等比数列． 4．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面各正三角形的________．【课堂小结】1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向． 2．合情推理的过程概括为：从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想【课后作业】一、基础过关 1．下列推理正确的是( )A ．把a (b ＋c )与log a (x ＋y )类比，则有log a (x ＋y )＝log a x ＋log a yB ．把a (b ＋c )与sin (x ＋y )类比，则有sin(x ＋y )＝sin x ＋sin yC ．把a (b ＋c )与ax ＋y类比，则有ax ＋y＝a x ＋a yD ．把a (b ＋c )与a ·(b ＋c )类比，则有a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c 2．下面几种推理是合情推理的是( )①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°； ③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n －2)·180°.A ．①②B ．①③C ．①②④D ．②④3．在等差数列{a n }中，若a n <0，公差d >0，则有a 4·a 6>a 3·a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，q >1，则下列有关b 4，b 5，b 7，b 8的不等关系正确的是( )A ．b 4＋b 8>b 5＋b 7B ．b 5＋b 7>b 4＋b 8C ．b 4＋b 7>b 5＋b 8D ．b 4＋b 5>b 7＋b 84．已知扇形的弧长为l ，半径为的r ，类比三角形的面积公式：S ＝底×高2，可推知扇形面积公式S 扇＝________.5．类比平面直角坐标系中△ABC 的重心G (x ，y )的坐标公式⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 2＋x33y ＝y 1＋y 2＋y33(其中A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3))，猜想以A (x 1，y 1，z 1)、B (x 2，y 2，z 2)、C (x 3，y 3，z 3)、D (x 4，y 4，z 3)为顶点的四面体A —BCD 的重心G (x ，y ，z )的公式为________．6．公差为d (d ≠0)的等差数列{a n }中，S n 是{a n }的前n 项和，则数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也成等差数列，且公差为100d ，类比上述结论，相应地在公比为q (q ≠1)的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有_____________________________________． 二、能力提升7．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论仍然正确的是________．(填序号) ①如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交； ②如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直； ③如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交或平行； ④如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行．8．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质中，你认为比较恰当的是________．(填序号)①各棱长相等，同一顶点上的两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．9．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过定点(p,0)作两条互相垂直的直线l 1、l 2，若l 1与抛物线交于P 、Q 两点，l 2与抛物线交于M 、N 两点，l 1的斜率为k ，某同学已正确求得弦PQ 的中点坐标为(p k 2＋p ，pk)，请你写出弦MN 的中点坐标：________.10．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24.类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．11．如图(1)，在平面内有面积关系S △P A ′B ′S △P AB＝P A ′P A ·PB ′PB ，写出图(2)中类似的体积关系，并证明你的结论．12．如图所示，在△ABC 中，射影定理可表示为a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．三、探究与拓展13．已知在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，有1AD 2＝1AB 2＋1AC 2成立．那么在四面体A －BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明猜想是否正确及给出理由．2.1.2 演绎推理【学习要求】1．理解演绎推理的意义．2．掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理． 3．了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系．【学法指导】演绎推理是数学证明的主要工具，其一般模式是三段论．学习中要挖掘证明过程包含的推理思路，明确演绎推理的基本过程.【知识要点】1．演绎推理：由概念的定义或一些真命题，依照_____________得到 的过程，通常叫做演绎推理． 2．演绎推理的特征是：当前提为真时，结论 ． 3．演绎推理经常使用三段论推理，三段论一般可表示： ________________；所以，S 是P .【问题探究】探究点一 演绎推理与三段论问题1 分析下面几个推理，找出它们的共同点．（1）所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；（2）一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除； （3）三角函数都是周期函数，正切函数是三角函数，因此正切函数是周期函数；（4）两条直线平行，同旁内角互补．如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，那么∠A ＋∠B ＝180°. 问题2 演绎推理有什么特点？问题3 演绎推理的结论一定正确吗？ 问题4 演绎推理一般是怎样的模式？ 例1 将下列演绎推理写成三段论的形式．（1）平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分； （2）等腰三角形的两底角相等，∠A ，∠B 是等腰三角形的底角，则∠A ＝∠B ； （3）通项公式为a n ＝2n ＋3的数列{a n }为等差数列． 跟踪训练1 把下列推断写成三段论的形式：（1）因为△ABC 三边的长依次为3,4,5，所以△ABC 是直角三角形； （2）函数y ＝2x ＋5的图象是一条直线； （3）y ＝sin x (x ∈R)是周期函数． 探究点二 三段论的错误探究例2 指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因： （1）整数是自然数， 大前提 －3是整数， 小前提 －3是自然数． 结论 （2）常函数的导函数为0， 大前提 函数f (x )的导函数为0， 小前提 f (x )为常函数． 结论 （3）无限不循环小数是无理数， 大前提 13(0.333 33…)是无限不循环小数， 小前提 13是无理数．结论跟踪训练2 指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因： （1）因为中国的大学分布在中国各地， 大前提 北京大学是中国的大学， 小前提 所以北京大学分布在中国各地． 结论 （2）因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形， 大前提而菱形是所有边长都相等的凸多边形， 小前提 所以菱形是正多边形． 结论 探究点三 三段论的应用例3 如图，在锐角三角形ABC 中，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，D ，E 是垂足，求证：AB 的中点M 到点D ，E 的距离相等．跟踪训练3 已知：在空间四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，AD 的中点，如图所示， 求证：EF ∥平面BCD .【当堂检测】1．下面几种推理过程是演绎推理的是 ( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180° B ．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人C ．由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝⎛⎭⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式2．“因为对数函数y ＝log a x 是增函数(大前提)，又x y 31log =是对数函数(小前提)，所以y ＝x y 31log =是增函数(结论)．”下列说法正确的是 ( )A ．大前提错误导致结论错误B ．小前提错误导致结论错误C ．推理形式错误导致结论错误D ．大前提和小前提都错误导致结论错误3．推理：“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③所以三角形不是矩形．”中 的小前提是 ( ) A ．① B ．② C ．③ D ．①②4．把“函数y ＝x 2＋x ＋1的图象是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提：____________； 小前提：____________； 结论：____________.【课堂小结】1．演绎推理是从一般性原理出发，推出某个特殊情况的推理方法；只要前提和推理形式正确，通过演绎推理得到的结论一定正确．2．在数学中，证明命题的正确性都要使用演绎推理，推理的一般模式是三段论，证题过程中常省略三段论的大前提.【课后作业】一、基础过关 1． 下列表述正确的是( )①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理； ③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理； ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A ．①②③B ．②③④C ．②④⑤D ．①③⑤ 2． 下列说法不正确的是( )A ．演绎推理是由一般到特殊的推理B ．赋值法是演绎推理C ．三段论推理的一个前提是肯定判断，结论为否定判断，则另一前提是否定判断D ．归纳推理的结论都不可靠3． 正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin (x 2＋1)是奇函数．以上推理 ( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确4．“∵四边形ABCD 是矩形，∴四边形ABCD 的对角线相等．”以上推理的大前提是( )A ．正方形都是对角线相等的四边形B ．矩形都是对角线相等的四边形C ．等腰梯形都是对角线相等的四边形D ．矩形都是对边平行且相等的四边形 5． 给出演绎推理的“三段论”：直线平行于平面，则平行于平面内所有的直线；(大前提) 已知直线b ∥平面α，直线a ⊂平面α；(小前提) 则直线b ∥直线a .(结论) 那么这个推理是( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误 6． 下列几种推理过程是演绎推理的是( )A ．5和22可以比较大小B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C ．东升高中高二年级有15个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人D ．预测股票走势图 二、能力提升7．三段论：“①小宏在2013年的高考中考入了重点本科院校；②小宏在2013年的高考中只要正常发挥就能考入重点本科院校；③小宏在2013年的高考中正常发挥”中，“小前提”是__________(填序号)． 8．在求函数y ＝log 2x －2的定义域时，第一步推理中大前提是当a 有意义时，a ≥0；小前提是log 2x －2有意义；结论是__________________．9．由“(a 2＋a ＋1)x >3，得x >3a 2＋a ＋1”的推理过程中，其大前提是______________．10．对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如图(阴影区域及其边界)：其中为凸集的是________(写出所有凸集相应图形的序号)． 11．用演绎推理证明函数f (x )＝|sin x |是周期函数．12．设a >0，f (x )＝e x a ＋ae x 是R 上的偶函数，求a 的值．三、探究与拓展13．S 为△ABC 所在平面外一点，SA ⊥平面ABC ，平面SAB ⊥平面SBC .求证：AB ⊥BC .2.2.1 综合法与分析法(一)【学习要求】1．了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.2．理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题．【学法指导】综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，要结合实例了解两种证法的思考过程、特点.【知识要点】1． 和 是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式． 2．综合法是从 出发，经过 ，最后达到待证结论．3．分析法是从 出发，一步一步寻求结论成立的______，最后达到题设的已知条件，或已被证明的事实.【问题探究】 探究点一 综合法问题1 证明下面的问题，总结证明方法有什么特点？ 已知a ，b >0，求证：a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc .问题2 综合法又叫由因导果法，其推理过程是合情推理还是演绎推理？例1 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形． 跟踪训练1 在△ABC 中，AC AB ＝cos B cos C，证明：B ＝C . 探究点二 分析法问题1 回顾一下：均值不等式a ＋b2≥ab (a >0，b >0)是怎样证明的？问题2 证明过程有何特点？问题3 综合法和分析法的区别是什么？ 例2 求证：3＋7<2 5.跟踪训练2 求证：a －a －1<a －2－a －3(a ≥3)． 探究点三 综合法和分析法的综合应用问题 在实际证题中，怎样选用综合法和分析法？例3 已知α，β≠k π＋π2(k ∈Z)，且sin θ＋cos θ＝2sin α， ①sin θ·cos θ＝sin 2β.②求证：1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β＋tan 2β.跟踪训练3 若tan(α＋β)＝2tan α，求证：3sin β＝sin(2α＋β)．【当堂检测】1．下列表述：①综合法是由因导果法； ②综合法是顺推法； ③分析法是执果索因法； ④分析法是间接证明法； ⑤分析法是逆推法． 其中正确的语句有 ( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．欲证2－3<6－7成立，只需证( )A ．(2－3)2<(6－7)2B ．(2－6)2<(3－7)2C ．(2＋7)2<(3＋6)2D ．(2－3－6)2<(－7)2 3．求证：1log 519＋2log 319＋3log 219<2.4．已知1－tan α2＋tan α＝1，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)．【课堂小结】1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因． 2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语． 3．在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用.【课后作业】一、基础过关1． 已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是( )A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a c >bc ，则a >bC ．若a 3>b 3且ab <0，则1a >1bD ．若a 2>b 2且ab >0，则1a <1b2． A 、B 为△ABC 的内角，A >B 是sin A >sin B 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3． 已知直线l ，m ，平面α，β，且l ⊥α，m ⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ；②若l ⊥m ，则α∥β；③若α⊥β，则l ⊥m ；④若l ∥m ，则α⊥β. 其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．44． 设a ，b 都是正实数，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( )A ．1≤ab ≤a 2＋b 22B ．ab <1<a 2＋b 22C ．ab <a 2＋b 22<1D ．a 2＋b 22<ab <15． 已知a ，b 为非零实数，则使不等式：a b ＋ba≤－2成立的一个充分不必要条件是( )A ．ab >0B ．ab <0C ．a >0，b <0D ．a >0，b >0二、能力提升6． 设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x中最大的一个是( )A ．aB ．bC ．cD ．不能确定7． 已知a 、b 、c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝0，abc >0，则1a ＋1b ＋1c的值( )A ．一定是正数B ．一定是负数C ．可能是0D ．正、负不能确定8．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a ，b ，c 的大小关系为________． 9．已知p ＝a ＋1a －2(a >2)，q ＝2－a 2＋4a －2(a >2)，则p 、q 的大小关系为________．10．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，求实数a ，b 的取值范围．11．设a ≥b >0，求证：3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 212．已知a >0，1b －1a >1，求证：1＋a >11－b.三、探究与拓展13．已知a 、b 、c 是不全相等的正数，且0<x <1.求证：log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c .2.2.1 综合法与分析法(二)【学习要求】加深对综合法、分析法的理解，应用两种方法证明数学问题．【学法指导】通过本节课的学习，比较两种证明方法的优点，进而灵活选择证明方法，规范证明步骤，养成言之有理、论之有据的好习惯，提高思维能力.【双基检测】1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的 ( ) A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．等价条件2．用P 表示已知，Q 表示要证的结论，则综合法的推理形式为 ( ) A ．P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒Q B ．P ⇐Q 1→Q 1⇐Q 2→Q 2⇐Q 3→…→Q n ⇐Q C ．Q ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒P D ．Q ⇐Q 1→Q 1⇐Q 2→Q 2⇐Q 3→…→Q n ⇐P 3．已知p ：ab >0；q ：b a ＋ab≥2，则( )A ．p 是q 的充分而不必要条件B ．p 是q 的必要而不充分条件C ．p 是q 的充要条件D ．p 是q 的既不充分也不必要条件 4．要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C ．a ＋b 22－1－a 2b 2≤0 D ．(a 2－1)(b 2－1)≥05．给出下列命题：①a <b <0⇒b a <1；②a <b <0⇒a －2<b －2；③a >b ，c >d ，abcd ≠0⇒a c >b d ；④a ·b ≠0⇒|a ＋b ||a |＋|b |<1；⑤a >b >0，c >d >0⇒a d >bc.其中，真命题的序号是________． 【问题探究】题型一 选择恰当的方法证明不等式例1 设a ，b ，c 为任意三角形三边长，I ＝a ＋b ＋c ，S ＝ab ＋bc ＋ca ，试证：3S ≤I 2<4S . 跟踪训练1 （1）已知：a ，b ，c 都是正实数，且ab ＋bc ＋ca ＝1.求证：a ＋b ＋c ≥ 3. （2）已知a 、b 、c 为互不相等的正数且abc ＝1，求证：a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c .题型二 选择恰当的方法证明等式例2 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，对应的三边为a ，b ，c ，求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c .跟踪训练2 设实数a ，b ，c 成等比数列，非零实数x ，y 分别为a 与b ，b 与c 的等差中项，试证：a x ＋cy ＝2.题型三 选择恰当的方法证明空间图形的位置关系例3 如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E是PC 的中点．求证：（1）CD ⊥AE ；（2）PD ⊥平面ABE .跟踪训练3 如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，EF ∥AC ，AB ＝2，CE ＝EF ＝1.求证：（1）AF ∥平面BDE ； （2）CF ⊥平面BDE .【课堂小结】1．综合法的特点是：从已知看可知，逐步推出未知．2．分析法的特点是：从未知看需知，逐步靠拢已知． 3．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．【课后作业】一、基础过关1． 已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( )A ．a ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3 2． 已知a 、b 、c 、d ∈{正实数}，且a b <cd，则( )A ．a b <a ＋c b ＋d <c dB ．a ＋c b ＋d <a b <c dC ．a b <c d <a ＋c b ＋dD ．以上均可能3． 下面四个不等式：①a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ； ②a (1－a )≤14； ③b a ＋ab ≥2； ④(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2.其中恒成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4． 若实数a ，b 满足0<a <b ，且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( )A ．12B ．2abC ．a 2＋b 2D ．a5．设a ＝3－2，b ＝6－5，c ＝7－6，则a 、b 、c 的大小顺序是________．6． 如图所示，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，过A 作SB 的垂线，垂足为E ，过E 作SC 的垂线，垂足为F . 求证：AF ⊥SC .证明：要证AF ⊥SC ，只需证SC ⊥平面AEF ，只需证AE ⊥SC (因为______)，只需证______，只需证AE ⊥BC (因为________)，只需证BC ⊥平面SAB ，只需 证BC ⊥SA (因为________)．由SA ⊥平面ABC 可知，上式成立． 二、能力提升7． 命题甲：(14)x 、2－x 、2x －4成等比数列；命题乙：lg x 、lg(x ＋2)、lg(2x ＋1)成等差数列，则甲是乙的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8． 若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg(a ＋b 2)，则( )A ．R <P <QB ．P <Q <RC ．Q <P <RD ．P <R <Q9． 已知α、β为实数，给出下列三个论断：①αβ>0；②|α＋β|>5；③|α|>22，|β|>2 2.以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，你认为正确的命题是________． 10．如果a ，b 都是正数，且a ≠b ，求证：a b ＋ba>a＋b .11．已知a >0，求证： a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.12．已知a 、b 、c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1a －1)(1b －1)·(1c －1)≥8.13．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x (x >0)，对任意两个不相等的正数x 1、x 2，证明：当a ≤0时，f (x 1)＋f (x 2)2>f (x 1＋x 22)．三、探究与拓展14．已知a ，b ，c ，d ∈R ，求证：ac ＋bd ≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2).(你能用几种方法证明？)2.2.2 反证法【学习要求】1．了解反证法是间接证明的一种基本方法．2．理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．【学法指导】反证法需要逆向思维，难点是由假设推出矛盾，在学习中可通过动手证明体会反证法的内涵，归纳反证法的证题过程.【知识要点】1．定义一般地，由证明p ⇒q 转向证明：綈q ⇒r ⇒…⇒t ，t 与 矛盾，或与 矛盾．从而判定 为假，推出 为真的方法，叫做反证法． 2．反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与 矛盾或与___________________________矛盾，或与 矛盾等. 【问题探究】探究点一 反证法的概念问题1 王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．” 这就是著名的“道旁苦李”的故事．王戎的论述，运用了什么方法？ 问题2 上述方法的含义是什么？问题3 反证法证明的关键是经过推理论证，得出矛盾．反证法引出的矛盾有几种情况？问题4 反证法主要适用于什么情形？探究点二 用反证法证明定理、性质等一些事实结论例1 已知直线a ，b 和平面α，如果a ⊄α，b ⊂α，且a ∥b ，求证：a ∥α.跟踪训练1 已知：a ∥b ，a ∩平面α＝A，如图．求证：直线b 与平面α必相交．探究点三 用反证法证明否定性命题例2 求证：2不是有理数．跟踪训练2 已知三个正数a ，b ，c 成等比数列，但不成等差数列，求证：a ，b ，c 不成等差数列． 探究点四 用反证法证明“至多”、“至少”“唯一”型命题例3 若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，那么方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多有一个实根．跟踪训练3 若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6.求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0.【当堂检测】1．证明“在△ABC 中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设 ( ) A ．三角形中至少有一个直角或钝角 B ．三角形中至少有两个直角或钝角 C ．三角形中没有直角或钝角D ．三角形中三个角都是直角或钝角2．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中 ( ) A ．有一个内角小于60° B ．每一个内角都小于60° C ．有一个内角大于60° D ．每一个内角都大于60° 3．“a <b ”的反面应是 ( ) A ．a ≠b B ．a >b C ．a ＝b D ．a ＝b 或a >b4．用反证法证明“在同一平面内，若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ”时，应假设 ( ) A ．a 不垂直于c。
高中数学《推理与证明 综合》学案1 北师大版选修
高中数学《推理与证明综合》学案1 北师大版选修一、三维目标1、知识与技能：①培养学生运用归纳推理从部分对象中寻找共同特征或某种规律性的的能力；②培养学生运用类比推理寻找两类对象的类似特征的能力；③运用演绎推理的推理形式(三段论)进行推理的能力。
2、过程与方法：培养学生利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明的思维方式。
3、情感、态度与价值观：培养学生严密地思维推理习惯。
二、学习重难点重点:会用合情推理提出猜想,会用演绎推理进行推理论证,明确合情推理与演绎推理的区别与联系难点:发现两类对象的类似特征、在部分对象中寻找共同特征或规律。
三、考纲解读1、了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中的作用。
2、了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理。
3、了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。
四、知识链接1、推理：根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫、从结构上说,推理一般由两部分组成,一部分是已知的事实(或假设)叫做 ,一部分是由已知推出的判断,叫、2、合情推理: 根据已有的事实,经过观察、分析、、联想，再进行、类比，然后提出的推理叫合情推理。
3、合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。
简言之，归纳推理是由部分到、由个别到的推理（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到的推理。
五、基础检测1、下面几种推理是合情推理的是()①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180，归纳出所有三角形的内角和都是180；③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；④三角形的内角和是180，四边形的内角和是360，五边形的内角和是540，由此得出凸多边形的内角和是(n－2)180、2、下面给出了关于复数的四种类比推理：①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；②由向量a的性质|a|2＝a2类比得到复数z的性质|z|2＝z2；③方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)有两个不同实数根的条件是b2－4ac>0可以类比得到：方程az2＋bz＋c＝0(a，b，c∈C)有两个不同复数根的条件是b2－4ac>0；④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义、其中类比得到的结论错误的是()3、已知ai，bi∈R(i＝1,2,3，…，n)，a＋a＋…＋a＝1，b ＋b＋…＋b＝1，则a1b1＋a2b2＋…＋anbn的最大值为( )A、1B、2C、nD、24、如右图，圆周上按顺时针方向标有1,2,3,4,5五个点、一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点、若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则下一次跳两个点、该青蛙从5这点跳起，经xx次跳后它将停在的点是( )5、将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15………………根据以上排列规律，数阵中第n(n≥3)行的从左至右的第3个数是________、六、学习过程题型1 用归纳推理发现规律例1、通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。
高中数学 第三章 推理与证明 高考中的类比推理拓展资料素材 北师大版选修1-2
高考中的类比推理大数学家波利亚说过：“类比是某种类型的相似性，是一种更确定的和更概念性的相似。
”应用类比的关键就在于如何把关于对象在某些方面一致性说清楚。
类比是提出新问题和作出新发现的一个重要源泉，是一种较高层次的信息迁移。
例1、（2006湖北）半径为r 的圆的面积2)(r r S ⋅=π，周长r r C ⋅=π2)(，若将r 看作),0(+∞上的变量，则r r ⋅=⋅ππ2)'(2， ①，①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。
对于半径为R 的球，若将R 看作看作),0(+∞上的变量，请你写出类似于①的式子：_________________，②，②式可用语言叙述为___________.解：由提供的形式找出球的两个常用量体积、表面积公式，类似写出恰好成立，,34)(3R R V π=24)(R r S π=. 答案：①)'34(3R π.42R π= ②球的体积函数的导数等于球的表面积函数。
点评：主要考查类比意识考查学生分散思维，注意将圆的面积与周长与球的体积与表面积进行类比例2．（2000年上海高考第12题）在等差数列｛a n ｝中，若a 10=0，则有等式a 1＋a 2＋……＋a n =a 1＋a 2＋……＋a 19－n （n ＜19，n ∈N *）成立。
类比上述性质，相应地：在等比数列｛b n ｝中，若b 9=1，则有等式 成立。
分析：这是由一类事物（等差数列）到与其相似的一类事物（等比数列）间的类比。
在等差数列｛a n ｝前19项中，其中间一项a 10=0，则a 1＋a 19= a 2＋a 18=……= a n ＋a 20－n = a n ＋1＋a 19－n =2a 10=0，所以a 1＋a 2＋……＋a n ＋……＋a 19=0，即a 1＋a 2＋……＋a n =－a 19－a 18－…－a n ＋1，又∵a 1=－a 19， a 2=－a 18，…，a 19－n =－a n ＋1，∴ a 1＋a 2＋……＋a n =－a 19－a 18－…－a n ＋1= a 1＋a 2＋…＋a 19－n 。
高中数学 第三章 推理与证明 归纳推理教案 北师大版选修1-2
3.1归纳与类比归纳推理教材依据“归纳推理”是北京师范大学出版社出版的普通中学课程标准实验教科书数学（选修1－2）第三章第一节的内容。
教学目标：1.知识与技能目标：理解归纳推理的原理，并能运用解决一些简单的问题。
2.过程与方法目标：通过自主、合作与探究实现“一切以学生为中心”的理念。
3.情感、态度与价值观：感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。
教学重点：归纳推理的原理教学难点：归纳推理的具体应用。
教法学法：自主、合作探究教学教学准备：多媒体电脑、课件、空间多面体模型等教学过程：1.创设情景：1．情景㈠：苹果落地的故事，正是基于这个发现，牛顿大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“万有引力定理”思考：整个过程对你有什么启发？教师：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。
2．情景㈡：陈景润和他在“歌德巴赫猜想”证明中的伟大成就：任何一个大于4的偶数都可以写成两个奇素数之和。
如：6＝3+3，8＝3+5，10＝5+5, 12＝5+7，14＝7+7， 16＝5+11,…，1000＝29＋971，1002＝139＋863，……2.探求研究:探究1．学生根据自备的多面体进行观察，统计多面体的面数、顶点数和棱数；（学生实验与教师课件演示结合）探究2．观察、猜想它们之间是否有稳定的数量关系？探究3．整理所得结论，并尝试证明；若得证，则改写成定理，否则修改猜想，进一步尝试证明。
教师指导，合作交流，归纳：22V V V =棱柱棱台棱锥＝－，32E E E =棱柱棱台棱锥＝，1F F F 棱柱棱台棱锥＝＝＋，F+V-E=2等等，其中“F+V -E=2”为“欧拉公式”。
3.概念讲解结合情景问题和探究过程所得，教师引导学生完成归纳推理的概念及分析。
定义：根据一类事物的部分事物具有某种属性,推断该类事物的每一个都具有这种属性的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).说明：⑴归纳推理的作用：发现新事实，获得新结论；(2)归纳推理的一般步骤：试验、观察→概括、推广→猜测一般性结论→证明；⑶归纳推理的结论不一定成立。
高中数学 第三章 推理与证明 3 综合法与分析法教案(含解析)北师大版选修1-2-北师大版高二选修1
3综合法与分析法综合法阅读下面的例题．例：若实数a，b满足a＋b＝2，证明：2a＋2b≥4.证明：因为a＋b＝2，所以2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝222＝4，故2a＋2b≥4成立．问题1：本题利用了什么公式？提示：基本不等式．问题2：本题证明顺序是什么？提示：从已知到结论．综合法(1)含义：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明的思维方法，称为综合法．(2)思路：综合法的基本思路是“由因导果”．(3)模式：综合法可以用以下的框图表示：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q其中P为条件，Q为结论.分析法你们看过侦探小说《福尔摩斯探案集》吗？福尔摩斯在探案中的推理，给人印象太深刻了．有时，他先假定一个结论成立，然后逐步寻找这个结论成立的一个充分条件，直到找到一个明显的证据．问题1：福尔摩斯的推理如何入手？提示：从结论成立入手．问题2：他又是如何分析的？提示：逐步探寻每一结论成立的充分条件．问题3：这种分析问题方法在数学问题的证明中可以借鉴吗？提示：可以．分析法(1)含义：从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．这种证明问题的思维方法称为分析法．(2)思路：分析法的基本思路是“执果索因”．(3)模式：若用Q 表示要证明的结论，则分析法可以用如下的框图来表示：1．综合法是从“已知”看“可知”逐步推向未知，由因导果通过逐步推理寻找问题成立的必要条件．它的证明格式为：因为×××，所以×××，所以×××……所以×××成立．2．分析法证明问题时，是从“未知”看“需知”，执果索因逐步靠拢“已知”，通过逐步探索，寻找问题成立的充分条件．它的证明格式：要证×××，只需证×××，只需证×××……因为×××成立，所以×××成立．综合法的应用[例1] 已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，求证：a ＋b≥4.[思路点拨] 由已知条件出发，结合基本不等式，即可得出结论． [精解详析] 法一：∵a ，b 为正数，且a ＋b ＝1， ∴a ＋b ≥2ab ， ∴ab ≤12，∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab≥4.法二：∵a ，b 为正数， ∴a ＋b ≥2ab ＞0，1a ＋1b ≥21ab＞0，∴(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4，又a ＋b ＝1，∴1a ＋1b≥4.法三：∵a ，b 为正数，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b＝1＋b a ＋ab ＋1≥2＋2a b ·ba＝4， 当且仅当a ＝b 时，取“＝”号． [一点通] 综合法的解题步骤1．在△ABC 中，AC AB ＝cos Bcos C，证明B ＝C .证明：在△ABC 中，由正弦定理及已知得sin B sin C ＝cos Bcos C .于是sin B cos C －cos B sin C＝0，即sin(B －C )＝0，因为－π<B －C <π，从而B －C ＝0，所以B ＝C .2．已知点P 是直角三角形ABC 所在平面外的一点，O 是斜边AB 的中点，并且PA ＝PB ＝PC .求证：PO ⊥平面ABC . 证明：连接OC ，如图所示，∵AB 是Rt △ABC 的斜边，O 是AB 的中点，∴OA ＝OB ＝OC . 又∵PA ＝PB ＝PC ，∴PO ⊥AB ，且△POA ≌△POC ， ∴∠POA ＝∠POC . ∴∠POC ＝90°，即PO ⊥AB ，PO ⊥OC ，且AB ∩OC ＝O ，所以PO ⊥平面ABC .分析法的应用[例2] 当a ＋b >0时，求证： a 2＋b 2≥22(a ＋b )． [思路点拨] 条件和结论的联系不明确，考虑用分析法证明，将要证明的不等式一步步转化为较简单的不等式．[精解详析] 要证 a 2＋b 2≥22(a ＋b )， 只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤22a ＋b 2， 即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab .因为a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立， 所以a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． [一点通] 分析法是“执果索因”，一步步寻找结论成立的充分条件．它是从求证的结论出发，逆向分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知，这种证明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的，它的常见书写表达式是“要证……，只需证……”．3．求证：3＋6<4＋ 5.证明：欲证不等式3＋6<4＋5成立， 只需证3＋218＋6<4＋220＋5成立， 即证18<20成立， 即证18<20成立．由于18<20成立，故3＋6<4＋ 5.4.如图所示，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，过A 作SB 的垂线，垂足为E ，过E 作SC 的垂线，垂足为F ，求证：AF ⊥SC .证明：要证AF ⊥SC ，只需证SC ⊥平面AEF ， 只需证AE ⊥SC (因为EF ⊥SC )．只需证AE ⊥平面SBC ， 只需证AE ⊥BC (因为AE ⊥SB )， 只需证BC ⊥平面SAB ， 只需证BC ⊥SA (因为AB ⊥BC )， 由SA ⊥平面ABC 可知，BC ⊥SA 成立． ∴AF ⊥SC .综合法和分析法的应用[例3] 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，记A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c.[思路点拨] 综合分析此题，利用等差数列的性质及余弦定理即可得证． [精解详析] 要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋cb ＋c ＝3， 即证明c a ＋b ＋ab ＋c＝1，所以只需证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )， 即证明c 2＋a 2＝ac ＋b 2.(*)∵△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列， ∴∠B ＝60°.由余弦定理，得b 2＝c 2＋a 2－2ac cos 60°. ∴b 2＝c 2＋a 2－ac .代入(*)式，等式成立． ∴c 2＋a 2＝ac ＋b 2成立．故命题得证．[一点通] 综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P ；若由P 可推出Q ，即可得证．5．设x ，y ∈(0，＋∞)，求证：12(x ＋y )2＋14(x ＋y )≥x y ＋y x .证明：原不等式等价于2(x ＋y )2＋x ＋y ≥4x y ＋4y x ，即证(x ＋y )[2(x ＋y )＋1]≥2xy (2x ＋2y )．∵x ，y ∈(0，＋∞)， ∴x ＋y ≥2xy >0.∴只需证2(x ＋y )＋1≥2x ＋2y ，即证⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋14≥x ＋y . ∵x ＋14≥x ，y ＋14≥y ，当且仅当x ＝y ＝14时，等号成立，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋14≥x ＋y 成立． ∴12(x ＋y )2＋14(x ＋y )≥x y ＋y x . 6．证明函数f (x )＝log 2(x 2＋1＋x )是奇函数． 证明：∵x 2＋1>|x |， ∴x 2＋1＋x >0恒成立，∴f (x )＝log 2(x 2＋1＋x )的定义域为R ， ∴要证函数y ＝log 2(x 2＋1＋x )是奇函数， 只需证f (－x )＝－f (x )，只需证log 2(x 2＋1－x )＋log 2(x 2＋1＋x )＝0， 只需证log 2[(x 2＋1－x )(x 2＋1＋x )]＝0， ∵(x 2＋1－x )(x 2＋1＋x )＝x 2＋1－x 2＝1， 而log 21＝0.∴上式成立．故函数f (x )＝log 2(x 2＋1＋x )是奇函数．分析法与综合法的优缺点：综合法和分析法是直接证明的两种基本方法，两种方法各有优缺点．分析法解题方向较为明确，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后用综合法有条理地表述解题过程．1．下列表述：①综合法是由因导果法； ②综合法是顺推法； ③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法； ⑤分析法是逆推法． 其中正确的说法有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个解析：选C 由分析法、综合法的定义知①②③⑤正确.2．2．平面内有四边形ABCD 和点O ，OA ―→＋OC ―→＝OB ―→＋OD ―→，则四边形ABCD 为( ) A ．菱形 B ．梯形 C ．矩形D ．平行四边形解析：选D ∵OA ―→＋OC ―→＝OB ―→＋OD ―→， ∴OA ―→－OB ―→＝OD ―→－OC ―→.∴BA ―→＝CD ―→. ∴四边形ABCD 为平行四边形．3．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( ) A ．a ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3解析：选C ∵a ＋b ＝2≥2ab ，∴ab ≤1. ∵a 2＋b 2＝4－2ab ，∴a 2＋b 2≥2.4．用分析法证明命题“已知a －b ＝1.求证：a 2－b 2＋2a －4b －3＝0.”最后要具备的等式为( )A ．a ＝bB ．a ＋b ＝1C ．a ＋b ＝－3D ．a －b ＝1解析：选D 要证a 2－b 2＋2a －4b －3＝0，即证a 2＋2a ＋1＝b 2＋4b ＋4，即(a ＋1)2＝(b ＋2)2，即证|a ＋1|＝|b ＋2|， 即证a ＋1＝b ＋2或a ＋1＝－b －2，故a －b ＝1或a ＋b ＝－3，而a －b ＝1为已知条件，也是使等式成立的充分条件． 5．将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 22≥ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证________，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立．答案：a 2＋b 2－2ab ≥0 (a －b )2≥0 (a －b )2≥06．设向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，(a －b )⊥c ，a ⊥b ，若|a |＝1，则|a |2＋|b |2＋|c |2的值是________．解析：∵a ＋b ＋c ＝0，a·b ＝0，∴c ＝－(a ＋b )． ∴|c |2＝(a ＋b )2＝1＋b 2. 由(a －b )·c ＝0，∴(a －b )·[－(a ＋b )]＝－|a |2＋|b |2＝0. ∴|a |2＝|b |2＝1. ∴|a |2＋|b |2＋|c |2＝4. 答案：47．求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大． 证明：设圆和正方形的周长为L ，则圆的面积为π⎝ ⎛⎭⎪⎫L 2π2，正方形的面积为⎝ ⎛⎭⎪⎫L 42，则本题即证π⎝⎛⎭⎪⎫L 2π2>⎝ ⎛⎭⎪⎫L 42.要证π⎝ ⎛⎭⎪⎫L 2π2>⎝ ⎛⎭⎪⎫L 42，只需证πL 24π2>L 216，只需证1π>14，即证4>π.因为4>π显然成立，所以π⎝⎛⎭⎪⎫L 2π2>⎝ ⎛⎭⎪⎫L 42.故原命题成立．8．求证：x 2－3x ＋4x 2＋3x ＋4≤7.证明：因为x 2＋3x ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋74>0，所以要证x 2－3x ＋4x 2＋3x ＋4≤7，只需证x 2－3x ＋4≤7(x 2＋3x ＋4)， 只需证x 2＋4x ＋4≥0.因为x 2＋4x ＋4＝(x ＋2)2≥0成立，所以x 2－3x ＋4x 2＋3x ＋4≤7成立．9．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若函数f (x ＋1)与f (x )的图像关于y 轴对称．求证：f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数．证明：要证f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数，只需证f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12的对称轴为x ＝0. 只需证－b 2a －12＝0.只需证a ＝－b .∵函数f (x ＋1)与f (x )的图像关于y 轴对称， 即x ＝－b 2a －1与x ＝－b2a关于y 轴对称．∴－b 2a －1＝－－b2a，∴a ＝－b .∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数．。
高中数学 第3章《推理与证明》导学案(无答案)北师大版选修1-2
陕西省榆林育才中学高中数学 第3章《推理与证明》导学案（无答案）北师大版选修1-2学习目标1. 了解合情推理和演绎推理的含义；2. 能用归纳和类比进行简单的推理；掌握演绎推理的基本模式；3. 能用综合法和分析法进行数学证明；4. 能用反证法进行数学证明. 学习过程一、课前准备（预习教材P 28~ P 55，找出疑惑之处）复习1：归纳推理是由 到 的推理. 类比推理是由 到 的推理. 合情推理的结论 . 演绎推理是由 到 的推理.演绎推理的结论 .复习2：综合法是由 导 ;分析法是由 索 .直接证明的两种方法: 和 ;是间接证明的一种基本方法.二、新课导学※ 学习探究探究任务一：合情推理与演绎推理问题：合情推理与演绎推理是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性.你能举出几个用合情推理和演绎推理的例子吗？探究任务一：直接证明和间接证明问题：你能分别说出这几种证明方法的特点吗？结合自己以往的数学学习经历，说说一般在什么情况下，你会选择什么相应的证明方法？※ 典型例题例1 已知数列{}n a 的通项公式21()(1)n a n N n +=∈+， 记12()(1)(1)(1)n f n a a a =--⋅⋅⋅-，试通过计算(1),(2),(3)f f f 的值，推测出()f n 的值.变式：已知数列()()1111,,,,1335572121n n ⨯⨯⨯-+⑴求出1234,,,S S S S ；⑵猜想前n 项和n S .（理科）（3）并用数学归纳法证明你的猜想是否正确？变式：如右图所示，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，过A 作SB 的垂线，垂足为E ，过E 作SC 的垂线，垂足为F ，求证：⑴SAB BC ⊥面；⑵AF SC ⊥.小结：证明问题对思维的深刻性、严谨性和灵活性有较高的要求.※ 动手试试练1. 求证：当220x bx c ++=有两个不相等的非零实数根时，0bc ≠.A BC S F E练2. 数列{}n a 满足*2,n n S n a n N =-∈（1）计算1234,,,a a a a ，并由此猜想通项公式n a ；（2）用数学归纳法证明（1）中的结论.（理科）三、总结提升※ 学习小结※ 知识拓展 帽子颜色问题“有3顶黑帽子，2顶白帽.让三个人从前到后站成一排，给他们每个人头上戴一顶帽子.每个人都看不见自己戴的帽子的颜色，却只能看见站在前面那些人的帽子颜色.（所以最后一个人可以看见前面两个人头上帽子的颜色，中间那个人看得见前面那个人的帽子颜色但看不见在他后面那个人的帽子颜色，而最前面那个人谁的帽子都看不见.现在从最后那个人开始，问他是不是知道自己戴的帽子颜色，如果他回答说不知道，就继续问他前面那个人.事实上他们三个戴的都是黑帽子，那么最前面那个人一定会知道自己戴的是黑帽子.为什么? 学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.C 3H 8C 2H 6CH 4H H H H H H H HH H H H H H C C C C CH H H H C A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律，1. 求证22y ax bx c =++,22y bx cx a =++, 22y cx ax b =++(,,a b c 是互不相等的实数),3条抛物线至少有一条与x 轴有两个交点.。
高中数学(北师大版)选修1-2教案：第3章 数学证明 参考学案
3.2数学证明学习目标结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。
学习过程：一、预习：1、引言：小明是一名高二年级的学生，17岁，迷恋上网络，沉迷于虚拟的世界当中。
由于每月的零花钱不够用，便向亲戚要钱，但这仍然满足不了需求，于是就产生了歹念，强行向路人抢取钱财。
但小明却说我是未成年人而且就抢了50元，这应该不会很严重吧？？？如果你是法官，你会如何判决呢？小明到底是不是犯罪呢？分析上面的问题：大前提：刑法规定抢劫罪是以非法占有为目的，使用暴力、胁迫或其他方法，强行劫取公私财物的行为。
其刑事责任年龄起点为14周岁，对财物的数额没有要求。
小前提：小明超过14周岁，强行向路人抢取钱财50元。
结论：小明犯了抢劫罪。
2、我们知道合情推理所得结论不一定正确,那么怎样推理所得的结论就一定正确呢?又怎样证明一个结论呢?3、三段论的基本格式：4、归纳：三段论是指由两个简单判断作前提和一个简单判断作结论组成的演绎推理。
三段论中三个简单判断只包含三个不同的概念，每个概念都重复出现一次。
这三个概念都有专门名称：结论中的宾词叫“大词”，结论中的主词叫“小词”，结论不出现的那个概念叫“中词”，在两个前提中，包含大词的叫“大前提”，包含小词的叫“小前提”。
演绎推理的特点:1．演绎推理的前提是一般性原理，演绎所得的的结论是蕴含于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴含于前提之中，因此演绎推理是由一般到特殊的推理；2、在演绎推理中，前提于结论之间存在着必然的联系，只要前提和推理形式是正确的，结论必定正确。
因此演绎推理是数学中严格的证明工具。
3、在演绎推理是一种收敛性的思维方法，它较少创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学论证和系统化。
二、课堂训练：例1、把“函数y=x 2+x+1的图象是一条抛物线”恢复成完全三段论例2. D,E,F 分别是BC,CA,AB 上的点,∠BFD=∠A,DE ∥BA,求证：ED=AF例3、已知a,b,m 均为正实数，b<a ，求证：ma mb a b ++〈三、练习：1、把下列推理恢复成完全的三段论是直角三角形；，所以，，三边长依次为）因为（ABC ABC ∆∆54312、下面说法正确的有（ ）（1）演绎推理是由一般到特殊的推理；（2）演绎推理得到的结论一定是正确的；（3）演绎推理一般模式是“三段论”形式；（4）演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关。
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高中数学 第3章《推理与证明》导学案
北师大版选修1-2
学习目标 1. 了解合情推理和演绎推理的含义；
2. 能用归纳和类比进行简单的推理；掌握演绎推理的基本模式；
3. 能用综合法和分析法进行数学证明；
4. 能用反证法进行数学证明. 学习过程
一、课前准备
（预习教材P 28~ P 55，找出疑惑之处）
复习1：归纳推理是由 到 的推理. 类比推理是由 到 的推理. 合情推理的结论 . 演绎推理是由 到 的推理.
演绎推理的结论 .
复习2：综合法是由 导 ;
分析法是由 索 .
直接证明的两种方法: 和 ;
是间接证明的一种基本方法.
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：合情推理与演绎推理
问题：合情推理与演绎推理是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性.你能举出几个用合情推理和演绎推理的例子吗？
探究任务一：直接证明和间接证明
问题：你能分别说出这几种证明方法的特点吗？结合自己以往的数学学习经历，说说一般在什么情况下，你会选择什么相应的证明方法？
※ 典型例题
例1 已知数列{}n a 的通项公式
2
1()(1)n a n N n +=∈+， 记12()(1)(1)(1)n f n a a a =--⋅⋅⋅-，试通过计算(1),(2),(3)f f f 的值，推测出()f n 的值.
变式：已知数列()()1111
,,,,1335572121n n ⨯⨯⨯-
+
⑴求出1234,,,S S S S ；⑵猜想前n 项和n S .
（理科）（3）并用数学归纳法证明你的猜想是否正确？
变式：如右图所示，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，过A 作SB 的垂线，垂足为E ，过E 作SC 的垂线，垂足为F ，求证：⑴SAB BC ⊥面；⑵AF SC ⊥.
A B
C S F E
小结：证明问题对思维的深刻性、严谨性和灵活性有较高的要求.
※ 动手试试
练1. 求证：当220x bx c ++=有两个不相等的非零实数根时，0bc ≠.
练2. 数列{}n a 满足*2,n n S n a n N =-∈
（1）计算1234,,,a a a a ，并由此猜想通项公式n a ；
（2）用数学归纳法证明（1）中的结论.（理科）
三、总结提升
※ 学习小结
※ 知识拓展 帽子颜色问题
“有3顶黑帽子，2顶白帽.让三个人从前到后站成一排，给他们每个人头上戴一顶帽子.每个人都看不见自己戴的帽子的颜色，却只能看见站在前面那些人的帽子颜色.（所以最后一个人可以看
C 3H 8C 2H 6
CH 4H H H H H H H H
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H H H H C 见前面两个人头上帽子的颜色，中间那个人看得见前面那个人的帽子颜色但看不见在他后面那个人的帽子颜色，而最前面那个人谁的帽子都看不见.现在从最后那个人开始，问他是不是知道自己戴的帽子颜色，如果他回答说不知道，就继续问他前面那个人.事实上他们三个戴的都是黑帽子，那
么最前面那个人一定会知道自己戴的是黑帽子.为什么?
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律，
1. 求证22y ax bx c =++,22y bx cx a =++,
22y cx ax b =++(,,a b c 是互不相等的实数),3条抛物线至少有一条与x 轴有两个交点.。