机器人操作的数学导论——刚体运动(1——3)
(完整版)刚体的基本运动(可编辑修改word版)
第三章刚体力学§3.1 刚体运动的分析§3.2 角速度矢量§3.3 刚体运动微分方程§3.4 刚体平衡方程§3.5 转动惯量§3.6 刚体的平动与定轴转动§3.7 刚体的平面平行运动§3.1 刚体运动的分析一、描述刚体位置的独立变量1.刚体是特殊质点组 dr ij=0,注意:它是一种理想模型,形变大小可忽略时可视为刚体。
2.描述刚体位置的独立变数描述一个质点需(x,y,z), 对刚体是否用 3n 个变量？否,由于任意质点之间的距离不变, 如确定不在同一直线上的三点,即可确定刚体的位置,需 9 个变量，由于两点间的距离保持不变，所以共需 9-3=6 个变量即可。
刚体的任意运动=质心的平动+绕质心的转动，描述质心可用(x,y,z), 描述转轴可由α, β,γ。
二、刚体的运动分类1.平动：刚体在运动过程中，刚体上任意直线始终平行.任意一点均可代表刚体的运动，通常选质心为代表.需要三个独立变量,可以看成质点力学问题.(注意:平动未必是直线运动)2.定轴转动: 刚体上有两点不动,刚体绕过这两点的直线转动,该直线为转轴. 需要一个独立变量φ3.平面平行运动: 刚体上各点均平行于某一固定平面运动。
可以用平行于固定平面的截面代表刚体。
需要三个独立变量。
4.定点运动: 刚体中一点不动,刚体绕过固定点的瞬转转动。
需三个独立的欧拉角。
5.一般运动: 平动+转动§3.2 角速度矢量定轴转动时角位移用有向线段表示,右手法确定其方向.有向线段不一定是矢量,必须满足平行四边形法则,对定点转动时,不能直接推广,因不存在固定轴.ω = lim ∆n=d n刚体在 dt 时间内转过的角位移为 d n ，则角速度定义为角速度反映刚体转动的快慢。
∆t →0 ∆t dt线速度与角速度的关系：d r =d n ⨯r , ∴ v =d rdt=ω ⨯rF 1 F ⨯ M§3.3 刚体运动微分方程一、 基础知识1.力系：作用于刚体上里的集合。
第二章 刚体的基本运动
ω
角加速度矢ε
dω d (ωk ) ε εk dt dt
结论：角加速度矢ε为角速度矢ω对时间的一阶导数。 二、点的速度和加速度
点的速度矢
v = ×r 结论：绕定轴转动的刚体内任
M
R
z
O
v = ×r
一点的速度矢等于刚体的角速
度矢与该点矢径的矢积。
r A
点的加速度矢
dv d (ω r ) dω dr a r ω ε r ω v dt dt dt dt at= ×r ——切向加速度
φ(t ) φ(0) ωt
角速度ω（rad/s）与转 速n（r/min）的关系：
ε t2 φ(t ) φ(0) ω(0)t 2
由上述两式消去t得
2 ( t ) (0) 2 [ (t ) (0)] 2
2πn ω 0.1n 60
【例2-1】图示机构中套筒A套在摇杆O2B上并与曲柄 O1A以销钉连接。当O1A转动时通过套筒A带动O2B 杆 左右摆动。设O1A杆长为 r并以匀角速转动。设t=0 时O1A杆位于铅垂位置，写出O2B杆的转动方程并求 出其角速度及角加速度。 O1 【解】1）求O2B杆的转动方程 B 在三角形O1O2A中，由正弦定理知 l A r sin θ sin φ sin[π (φ θ )] φ arct an r l l r cos θ r sin ωt O2 arct an l r cos ωt 2）求O2B杆的角速度
它是一个代数量。
2
弧度/秒，用符号rad/s表示。 若ε与ω同号，表示加 速转动，异号则表示 它是一个代数量，符号规 减速转动。 定与转角符号规定一致。
四、两类特殊转动
第1章机器人数学基础资料
y2 y0
O2 x2
z1
O1
z2
x0
x1
z1
O1
x0
x1
O2 x2 z2
0 0 1 10
T20
1 0
0 1
0 0
20
0
0 0 0
1
y1
z0
O0
y2 y0
z1
O1
x0
x1
O2 x2 z2
0 1 0 30
T10T2
0 1
0 0
1 0
0 0
T20
0 0
0
0
0 0 1 10
T2 T10
1 0
y0
z1
y2 O1
z2 O2
x0
x1
当S2是沿动系运动时用T2右乘 T10
第二种情况：沿基系S0运动
y1
z0
S2与S1完全重合 再绕z0旋转90°再沿x0移动10
y2
O0
y0
0 1 0 10
T2
1 0
0 0
0 1
0
0
0 y1 0
0
1
y2
z0
O0
y0
z1 z2 O1
O2
x2
x0
x1
y1
z0
O0
齐次坐标（1 2 3 1）、（2 4 6 2）、（3 6 9 3） 均表示笛卡尔坐标下的空间点（1 2 3）
w = 1，为齐次坐标的规格化形式，即 P = [PX PY PZ 1]T
对于刚体位姿来说，采用齐次坐标和普通坐标没 有实质性的差别，却给矩阵运算提供了可行性和 方便性。 坐标轴的方向表示： i、j、k分别表示直角坐标系中X、Y、Z坐标轴的 单位矢量，用齐次坐标表示之，则有
3机器人运动学的数学基础
A点的旋转齐次变换为 ������′������ ������������������������ ������′������ = ������������������������ 0 ������′������ 0 1 −������������������������ ������������������������ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ������������ ������ ������ ������������ 1
3、机器人运动学的数学基础
齐次坐标下的平移变换
空间某一点A，坐标为(XA，YA，ZA)，当它平移至A点，坐标为(X为
������′������ = ������������ + ∆������ ������′������ = ������ ������ + ∆������ ������′������ = ������������ + ∆������ ������′������ 1 0 ������′������ = 0 1 0 0 ������′������ 0 0 1 0 ∆������ 0 ∆������ 1 ∆������ 0 1 ������������ ������ ������ ������������ 1
机器人的姿态：
①机械手的最前端的姿态，可以用三个旋转的角度来表现 ②姿态的表示常使用欧拉角或横滚角、俯仰角、偏转角
欧拉角（Z-Y-X）
欧拉角是每次沿着运动坐标系的各轴旋转而不是绕固定坐标系的 各轴旋转，这样三个一组的旋转被称作欧拉角。注意：每次旋转所 绕的轴的方向取决于上次旋转后的结果。
横滚角、俯仰角、偏转角
注意：矩阵相乘不具备可交换性，应注意变换顺序
ri = pij + Rij rj
机器人操作的数学导论——机器人动力学1
2、开链机器人动力学
2.1 开链机器人的拉格朗日函数 计算n个关节的开链机器人的动能，可将其中每一连杆动能求和， 定义一固连于第i杆质心的坐标系Li，则可得Li位形:
第i杆质心的物体速度为：
式中
ξ Ad1ˆ j j j
(e
e
ˆ i i
gsl i (0))
j
j i
为相对于第i连杆坐标系的第j个瞬时关节运动螺旋。
机器人的动力学及控制
1.拉格朗日方程
2.开链机器人动力学方程
1、拉格朗日方程
1.1 刚体的惯性 设V R3表示刚体的体积，ρ(r), r∈V是刚体的密度。如果物 体是均匀的，那么ρ(r)= ρ为常量。 刚体的质量可以表示为：
m (r )dV
V
刚体的质心是密度的加权平均：
r 1 (r )rdV mV
如图所示刚体，在质心建立 物体坐标系，g=(p,R)∈SE(3)为 物体相对于惯性坐标系的运动轨 迹，r∈R3为刚体上一点相对于 物体坐标系的坐标，现求刚体的 动能。
1、拉格朗日方程
1.1刚体的惯性 点在惯性坐标系的速度为：
物体的动能可用如下求得：
展开计算可得：
=
其中w为在物体坐标系中表示的刚体角速度，矩阵З ∈R3x3为物体坐标 系中的物体惯性张量
T=(1/2)VT
V=(1/2)(AdgV)T (Adg)-1
(AdgV)
=(AdgT)-1
选取三个坐标轴，使刚体的广义惯性矩阵为对角阵，则这三个轴 为刚体的惯性主轴。
1、拉格朗日方程
1.2 拉格朗日方程 定义拉格朗日函数示为：
式中T和V分别表示系统的动能和势能。 对于广义坐标为q∈Rm、拉格朗日函数为L的机械系统，其运动方 程为： 作用于第i个广 义坐标的外力 上式即为拉格朗日方程，将其写成矢量形式为：
工业机器人运动学-1数学基础
方向平移一个单位距离，构成平面 p，则
0
x x
y y
p = [ 0 0 1 -1]
图1.2 平面的描述
即 a = 0, b = 0, c = 1, d = -1, m = a2 + b2 + c2 = 1
平面p上任一点v为 v = [ x y 1 1 ]T，它与平面p的点乘为零，即 p • v = 0
第三章 工业机器人运动学
教学ppt
1
引言
要实现对工业机器人在空间运动轨迹的控制， 完成预定的作业任务，就必须知道机器人在空间瞬 时的位置与姿态。如何计算机器人手部在空间的位 姿是实现对机器人的控制首先要解决的问题。本章 讨论机器人运动学的基本问题，将引入齐次坐标变 换。推导出坐标变换方程；利用DH参数法，进行机 器人的位姿分析；介绍机器人正向和逆运动学的基 础知识。
经变换后的平面向量q与点向量v的点乘为
q ·v = p H-1 ·H u ＝ p ·u
（ 1.9）
与变换前平面p与点u的点乘相等，证明了变换的等效性。
教学ppt
9
1.4 平移变换（Translation transformation）
用向量 h ＝ a i + b j + c k 进行平移，其相应的H变换矩阵是
平面p上方任一点v，如 v = [ 0 0 2 1 ]T，它与平面p的点乘为一个正数，即 p • v = 1
平面p下方任一点v，如 v = [ 0 0 0 1 ]T，它与平面p的点乘为一个负数，即 p • v = -1
注意：平面 [ 0 0 0 0 ] 无定义。
教学ppt
8
1.3 变换(Transformation)
（1.1）
机器人技术基础课件第三章-机器人运动学精选全文完整版
如此类推，对于六连杆机器人，有下列矩阵：
06T 01T 12T 23T 34T 45T 56T
3.2 3.2 机械手运动学方程
26
0 6
T
3.1.4 连杆变换矩阵及其乘积
06T 01T12T 23T 34T 45T 56T
机器人运动学方程
此式右边表示了从固定参考系到手部坐标系的各连杆
一个六连杆机械手可具有六个自由度，每个连杆含 有一个自由度，并能在其运动范围内任意定位与定向。 其中三个自由度用于规定位置，而另外三个自由度用 来规定姿态。
8
3.1.1 连杆坐标系
机械手的运动方向
机器人手部的位置和姿态也可以
用固连于手部的坐标系{B}的位姿
来表示
关节轴为ZB， ZB轴的单位方向 矢量α称为接近矢量，指向朝外。
(1) 坐标系｛i-1｝绕xi-1轴转角αi-1，使Zi－1与Zi平行，算子为Rot(x, αi-1) ； (2) 沿Xi-1轴平移ai-1，使Zi－1和Zi共线， 算子为Trans(ai-1,0,0)； (3)绕Zi轴转角θi; 使得使Xi－1与Xi平行, 算子为Rot(z,θi)；
(4) 沿Zi轴平移di。使得i-1系和i系重合, 算子为Trans(0,0,di)。
3.2.1 机器人正运动学方程
连杆 i 1
2
3
连杆长 度ai-1
0
a0
a1
连杆偏距 di 0
0
d2
连杆扭角 αi-1 00
00
-900
关节角 θi
θ1(00) θ2(00) θ3(00)
3.2.1 机器人正运动学方程
该3自由度机器人的运动学方程为：
机器人导论第5章 速度和静力
VQ 0
既然它相对于 {B} 不变，显然从坐 标系 {A} 中看点 Q 的速度为旋转角 速度A B。为求点Q的速度，可用一 个直观的方法。图 5-5 所示为用两 个瞬时量表示矢量Q绕 A B 的旋转。 这是从坐标系{A}中观测到的。
由图5-5，可以计算出这个从坐标系{A}中观测到的矢量的方向和 大小的变化。第一，显然 AQ的微分增量一定垂直于 A B和 AQ ；第 二，从图5-5可以看出微分增量的大小为
位置矢量的微分
速度是需要研究的基本问题，可用下面符号表示某个矢量的微分：
B B Q t t Q t d B B VQ Q lim t 0 dt t
像其他矢量一样，速度矢量能在任意坐标系中描述，其参考坐标 系可以用左上标注明。因此，如果在坐标系{A}中表示式（5-1） 的速度矢量，可以写为：
i 1 在方程式（5-43）两边同时左乘 i R 度相对于坐标系{i+1}的表达式：
，可以得到连杆i+1的角速
i 1
ˆ i1 ii1Rii i 1 i1Z i 1
（5-45）
坐标系 {i+1} 原点的线速度等于坐标系 {i} 原点的线速度加上一个 由于连杆i的角速度引起的新的分量。这与式（5-13）描述的情况 完全相同。由于 i Pi 1 在坐标系{i}中是常数，所以其中一项就消失 了。因此有
EZ Y Z Z Y Z Z Y Z
例5.2 构造E矩阵，表示Z-Y-Z欧拉角与角速度矢量的关系，即求 式（5-41）中的EZ’Y’Z’。
应用式（2-72）和式（5-40），通过必要的符号微分，可以得到
EZ Y Z 0 s 0 c 0 1 c s s s c
3 机器人运动学熊有伦机器人技术基础
i 绕Z i 轴, 从X i 1旋转到X i的角度;
• 通常规定 ai 1 0 ,其余可正可负.按照上述规定的坐标系不是唯一的； • Zi的指向有两种选择;
• 如果关节轴相交, Xi轴的指向也有两种选择.
• 当相邻两轴平行时,坐标系原点可以任意选择. • 当关节为移动关节时,坐标系的选取具有一定任意性.
3.1.4操作臂运动学方程
i 1 i
T
{R}
{P} {Q}
变换矩阵：i 1 P 化简： 这里： 根据变换 过程：
i 1 i 1 i i 1 i i 1 i
i 1 R i 1 i
Q P i TR T T T P Q P i
P T
Ti P
Q P TR T T Q P iT
i 1 R
– 对于移动关节 n, 设定Xn轴的方向使之满足θn=0.0,当dn=0时, 选取坐标系{n} 的原点位于Xn-1轴与关节轴n的交点位置.
3.1.3连杆附加坐标系的规定
（3）在连杆坐标系中对连杆参数的归纳
a
i 1
沿X i 1轴, 从Z i 1到Z i的距离；
αi-1
i 1 绕X i 1轴, 从Z i 1到Z i的角度；
a3 d4 0 0 0 0 1 0 0 0 1 4 5 0 0 0 1 0 0 0 1 , 5T 6T s5 c5 s 6 c 6 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 不同的坐标系下D-H矩阵是不同的，关键是约定!!
3.1.2连杆连接的描述
（2） 连杆中的首尾连杆 • 对于运动链中的末端连杆,其参数习惯设为0,即
a0 an 0.0,0 n 0.0
6 刚体的基本运动
第六章 刚体的基本运动
vB = v A aB = a A
刚体的平行移动(平动 平动) §1 . 刚体的平行移动 平动 刚体平动特点总结： 刚体平动特点总结： 1、其上任一直线始终平行于它的初始位置； 、其上任一直线始终平行于它的初始位置； 2、任一点的轨迹可是直线也可是曲线； 、任一点的轨迹可是直线也可是曲线； 3、各点的运动轨迹形状相同； 、各点的运动轨迹形状相同； 4、任一瞬时各点的速度、加速度相等。 、任一瞬时各点的速度、加速度相等。 平动刚体的运动可以简化为一个点的运动 即:平动刚体的运动可以简化为一个点的运动。 平动刚体的运动可以简化为一个点的运动。
速度分布图
第六章 刚体的基本运动
加速度分布图
§3 轮系的传动比 1）齿轮传动： 传动比:
v = r1ω1 = r2ω2
ω1 r1
ω2 r2
ω1 r2 z2 i12 = = = ω2 r1 z1
2）带轮传动：
v
ω1 r1 r2 ω2
ω1 r2 i12 = = ω2 r1
第六章 刚体的基本运动
传动比？ 传动比？
第六章 刚体的基本运动
§2 刚体的定轴转动 转动刚体上点的运动几何特点： 转动刚体上点的运动几何特点： 1）轨迹： 在垂直于转轴的平面内作圆周运动。 在垂直于转轴的平面内作圆周运动。 2）速度：
v= d S d (ϕ R ) = = ωR dt dt
方向沿圆周的切线与角速度转向一致。 方向沿圆周的切线与角速度转向一致。 2）加速度： dv d dω v 2 (ωR ) 2 = (ωR ) = R =α R at = an = = = Rω 2 dt d t dt R ρ
第六章 刚体的基本运动
第六章 刚体的基本运动
刚体运动知识点总结
刚体运动知识点总结刚体运动是物理学中的一个重要研究领域，它涉及到力学、动力学等多个方面的知识。
在学习刚体运动的过程中，我们需要了解刚体的运动方式、刚体的平动和转动运动、刚体的运动方程、刚体动力学等知识点。
下面将针对这些知识点进行详细的总结和讨论。
一、刚体的运动方式刚体可以进行平动运动和转动运动。
在平动运动中，刚体上所有的点都以相同的速度和相同的方向运动。
在转动运动中，刚体绕着固定轴线旋转，使得刚体上的各个点绕着这个轴线做圆周运动。
刚体的平动运动可以分为匀速直线运动和变速直线运动两种情况。
在匀速直线运动中，刚体上各个点的速度大小和方向都保持不变；在变速直线运动中，刚体上各个点的速度大小和方向都在不断地变化。
刚体的转动运动可以分为定轴转动和不定轴转动两种情况。
在定轴转动中，刚体绕着固定的轴线旋转，而在不定轴转动中，刚体绕着移动的轴线旋转。
二、刚体的平动运动在学习刚体的平动运动时，我们通常关心刚体上各点的速度、加速度和位移等动力学量。
1. 速度：刚体上任意一点的速度可以表示为该点的瞬时线速度，即该点的位矢对时间的导数。
刚体上不同点的速度大小和方向可以不同，但它们的速度矢量之间满足相对运动关系。
2. 加速度：刚体上任意一点的加速度可以表示为该点的瞬时线加速度，即该点的速度对时间的导数。
刚体上不同点的加速度大小和方向可以不同，但它们的加速度矢量之间满足相对运动关系。
3. 位移：刚体上任意一点的位移可以表示为该点的位矢的变化量。
刚体上不同点的位移可以通过相对位移关系来描述。
刚体的平动运动可以通过运动方程来描述，其中包含了刚体上不同点的速度、加速度和位移之间的关系。
在解决刚体平动问题时，我们通常会使用牛顿运动定律和动量定理等知识来进行分析和求解。
三、刚体的转动运动在学习刚体的转动运动时，我们需要了解刚体绕着固定轴线旋转的运动规律，以及刚体上各点的角速度、角加速度和角位移等动力学量。
1. 角速度：刚体上任意一点的角速度可以表示为该点的瞬时角位置对时间的导数。
刚体定轴转动定律ppt课件
6.1 刚体的运动与描述
质点的运动只代表物体的平动，物体实际上是 有形状、大小的，它可以平动、转动，甚至更复杂 的运动。因此，对于机械运动的研究，只限于质点 的情况是不够的。
刚体是一种特殊的质点系，无论在多大外力作 用下，系统内任意两质点间的距离始终保持不变。 即物体的形状、大小都不变的固体称为刚体（rigid body ）。
• 形状和转轴确定后，J 与刚体
Al
的质量有关
Fe
例题2 ：
普通物理学教案
求长为L、质量为 m 的均匀细棒对端点 轴和中垂轴的转动惯量。
解： 取如图坐标 取质量元
A dm
B
L
x
dm dx
A
C
B
J1
L x2 dx mL2 / 3
0
L/2
L/2 x
L
J2
2 L
x2 dx
mL2
/ 12
2
J1 J2
刚体的平动
可用质心运动来代表整体的运动
1。质心的位矢
设N个质点m1,m2,,mN，
定义： 质心的位矢 rc
对应的位矢
miri mi
r1,
r2
rN
xc
1 M
mi
xi
yc
1 M
mi
yi
xc
1 M
xdm
yc
1 M
ydm
zc
1 M
mizi
zc
1 M
zdm
质心 重心
2。质质设质对心心m心所的的i运有受加速动质力速度定点度F：理求i外：和、：Vafcic内dMddM1dMMr则1Vtctc：mddmmdtdmi(tiddiMdai(rd1taiMvit1iiMmF1iFmiMr1ii)ivfmii)imvrificai0i F合外mmirii
《刚体运动教学》课件
在实际生活中，许多机械运动都可以看作是平动与转动的耦合，如机床的工作台、汽车的 转向等。因此，掌握平动与转动的耦合对于机械设计和制造等领域具有重要意义。
03
刚体的动力学
牛顿第二定律
总结词
描述物体运动状态改变与力之间的关系。
详细描述
牛顿第二定律指出，一个物体的加速度与作用在它上面的力成正比，与它的质 量成反比。公式表示为F=ma，其中F是力，m是质量，a是加速度。
空航天、车辆工程等领域。
06
刚体运动的实例分析
刚体的平面运动分析
平面运动定义
刚体在平面内运动，其上任意 一点都位于同一个平面上。
平面运动分类
根据刚体上任意一点是否做圆 周运动，分为刚体的平面滚动 和刚体的平面定轴转动。
平面运动特点
刚体上任意一点的速度方向与 该点所在平面的法线方向垂直 ，刚体上任意一点的加速度方 向沿该点的切线方向。
自由运动分类
根据刚体的运动状态，分为自由转 动和自由平动。
自由运动特点
自由转动中，刚体上任意一点绕通 过该点的某一轴线做匀角速度的转 动；自由平动中，刚体上任意一点 做匀速直线运动。
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刚体的定轴转动
刚体在运动过程中，其上任意两点始 终保持相同的角速度和角加速度，这 种运动称为定轴转动。
02
刚体的运动形式
平动
01 02
平动定义
刚体上任意两点始终保持相同的距离，即刚体在运动过程中，其上任意 两点的连线在运动过程中始终保持长度不变，这种运动称为刚体的平动 。
平动特点
刚体在平动过程中，其上任意一点的运动轨迹都是一个点，即刚体的平 动不会改变其上任意一点的相对位置。
第三章机器人的运动学
B R 表示坐标系{B}相对于{A}的方位， R 描述坐标系{A}相对于{B}的方 A B A 1 A T A B 位，且 B R 和 A R 都是正交矩阵，两者互逆。即 A R B R B R
例3.1 若从基坐标系
矩阵为
({B})到手爪坐标系
({E})的旋转变换
。（1）画出两坐标系的相互方位关系（不考虑{E}的
分别代表了ox，oy和oz轴的无穷远
点，用它们分别表示这三个坐标轴的方向。另外，
坐标原点， 没有意义。
代表
注意：位置矢量 究竟是3×1的直角坐标还是4×1的齐次坐标，应 根据上下文而定。
二、齐次变换
齐次变换矩阵是4×4的矩阵，它的完整形式可以看成是由 四个子矩阵组成：
R33 P31 旋转变换 位置矢量 T f13 11 透视变换 比例变换
pBO 1
综合地表示了平移和旋转变换。 对平移变换
A B
A
R I 33 (3阶单位矩阵)
对旋转变换
pBO ＝0 3（3行1列零向量） 1
一、齐次坐标
一般来说，以N+1维矢量表达N维位置矢量的方法称为齐次 坐标表示法。 在三维直角坐标系中，一个点可以表示 为 次坐标就是 ，它的齐
p p
A B
A p B R p A pBO —坐标旋转和坐标平移的复合变换 可规定一个过渡坐标系{C},{C}的坐标原点与{B}的方位重合，而{C} 的方位与{A}的相同，则
C A B B
C A p BR p BR p C A A B B
原点位置）；（2）如果给出OE({E}系的原点）在{B}中的位置矢
(完整word版)刚体的基本运动
第三章 刚体力学§3.1 刚体运动的分析 §3.2 角速度矢量 §3.3 刚体运动微分方程 §3.4 刚体平衡方程 §3.5 转动惯量 §3.6 刚体的平动与定轴转动 §3.7刚体的平面平行运动§3.1 刚体运动的分析 一、描述刚体位置的独立变量1.刚体是特殊质点组dr ij =0,注意:它是一种理想模型,形变大小可忽略时可视为刚体。
2.描述刚体位置的独立变数描述一个质点需(x,y,z), 对刚体是否用3n 个变量？否,由于任意质点之间的距离不变,如确定不在同一直线上的三点,即可确定刚体的位置,需9个变量，由于两点间的距离保持不变，所以共需9-3=6个变量即可。
刚体的任意运动=质心的平动+绕质心的转动，描述质心可用(x,y,z), 描述转轴可由α,β,γ。
二、刚体的运动分类1.平动：刚体在运动过程中，刚体上任意直线始终平行.任意一点均可代表刚体的运动，通常选质心为代表.需要三个独立变量,可以看成质点力学问题.(注意:平动未必是直线运动)2.定轴转动: 刚体上有两点不动,刚体绕过这两点的直线转动,该直线为转轴. 需要一个独立变量φ3.平面平行运动: 刚体上各点均平行于某一固定平面运动。
可以用平行于固定平面的截面代表刚体。
需要三个独立变量。
4.定点运动: 刚体中一点不动,刚体绕过固定点的瞬转转动。
需三个独立的欧拉角。
5.一般运动: 平动+转动 §3.2 角速度矢量定轴转动时角位移用有向线段表示,右手法确定其方向.有向线段不一定是矢量,必须满足平行四边形法则,对定点转动时,不能直接推广,因不存在固定轴.刚体在dt 时间内转过的角位移为d n ，则角速度定义为0limt d t dt ∆→∆==∆n nω角速度反映刚体转动的快慢。
线速度与角速度的关系：,t d d d d =⨯⨯∴==rv r n r ωr Q§3.3 刚体运动微分方程 一、 基础知识1.力系：作用于刚体上里的集合。
机器人操作的数学导论——机器人运动学
可以证明
均为反对 称矩阵
1、刚体速度
1.1转动速度
定义瞬时物体角速度
∈R3
由以上两式可得两种角速度的关系：
于是一点的速度可以表示为： 空间坐标系中： 物体坐标系中：
1、刚体速度
1.2 刚体速度 考虑刚体运动轨迹为单参数曲线 gab(t)∈SE(3)的一般情况
求取：
上式在形式上与运动旋量相似，类比旋转速度，定义空间速度
旋量的对偶积
用运动旋量坐标表示为：
2、力旋量和对偶旋量
2.3 对偶旋量
旋量系{S1，…，Sk}描述的是旋量{S1，…，Sk}的所有线性组 合构成的矢量空间。对偶旋量系是与Si对偶的所有旋量的集合。
旋量系与其对偶系的维数之和为6（在SE（3）中）。
旋量系和对偶旋量系可用于分析抓取及机构的可动性。
3、机器人运动学正解
机器人运动学正解指：在给定组成运动副的相邻连杆的相对位置 情况下，确定机器人末端执行器的位行。 机器人关节空间Q由机器人关节变量的所有可能值构成，这也 可以理解为机器人的位形空间。
运动学正解问题可用如下映射来表示：
运动学正解问题就是如何构造映射gst。
3、机器人运动学正解
对右图所示的两自由度机器人 的运动学正解映射可通过将由各关 节引起的刚体运动加以组合来构成。 T对S的位形
4、机器人的雅可比矩阵
4.1 雅可比矩阵 由前面知识知道，末端执行器的空间瞬时速度可表示为：
将上式写成
称矩阵 为机器人的空间雅可比矩阵，对任一位 形，它将关节速度矢量映射为对应的末端执行器速度。
4、机器人的雅可比矩阵
4.1 雅可比矩阵 用指数积公式来表示运动学正解，
S J ST ( ) 1' 2'
(完整word版)刚体的基本运动.doc
第三章刚体力学§3.1 刚体运动的分析§ 3.2 角速度矢量§3.3 刚体运动微分方程§ 3.4 刚体平衡方程§3.5 转动惯量§ 3.6 刚体的平动与定轴转动§3.7 刚体的平面平行运动§3.1 刚体运动的分析一、描述刚体位置的独立变量1. 刚体是特殊质点组dr ij =0, 注意 : 它是一种理想模型, 形变大小可忽略时可视为刚体。
2. 描述刚体位置的独立变数描述一个质点需(x,y,z),对刚体是否用3n 个变量？否 , 由于任意质点之间的距离不变如确定不在同一直线上的三点, 即可确定刚体的位置, 需 9 个变量，由于两点间的距离保持不变，所以共需9-3=6 个变量即可。
刚体的任意运动=质心的平动 +绕质心的转动，描述质心可用(x,y,z),描述转轴可由αβ, γ。
, ,二、刚体的运动分类1. 平动：刚体在运动过程中，刚体上任意直线始终平行.任意一点均可代表刚体的运动，通常选质心为代表. 需要三个独立变量, 可以看成质点力学问题.( 注意 : 平动未必是直线运动)2.定轴转动 : 刚体上有两点不动 , 刚体绕过这两点的直线转动 , 该直线为转轴 . 需要一个独立变量φ3.平面平行运动 : 刚体上各点均平行于某一固定平面运动。
可以用平行于固定平面的截面代表刚体。
需要三个独立变量。
4.定点运动 : 刚体中一点不动 , 刚体绕过固定点的瞬转转动。
需三个独立的欧拉角。
5.一般运动 : 平动 +转动§3.2角速度矢量定轴转动时角位移用有向线段表示 , 右手法确定其方向 . 有向线段不一定是矢量 , 必须满足平行四边形法则 , 对定点转动时 , 不能直接推广 , 因不存在固定轴 .ωlim n dnt dt 刚体在 dt 时间内转过的角位移为d n，则角速度定义为t 0角速度反映刚体转动的快慢。
Q dr dn r , v dr ωr线速度与角速度的关系：dt§3.3刚体运动微分方程一、基础知识1. 力系：作用于刚体上里的集合。
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定理2.6 从se(3)到SE（3）的指数变换
三、三维空间中的刚体运动
3.2 刚体运动的指数坐标和运动旋量
描述的不是点在不同坐标系间的变换，而是点 由初始位置p(0)∈R3到经如下刚体转动后的位置坐标间的变换
上式中p(θ),p(0)均在同一坐标系中表示。类似，若gab(0)表示刚 体相对于A系的起始位姿，，那么现对于A系的最终位姿为：
二、三维空间中的旋转运动
2.3 四元数
四元数可用与描述空间旋转运动，它是一个矢量，一般形式为：
简洁表达式为：Q=（q0,q），其中q0∈R,q∈R3
二、三维空间中的旋转运动
2.3 四元数
两四元数内积：
给定Q=（q0,q），其中q0∈R,q∈R3，可获得相应的旋转
描述旋转群还可以使用欧拉角来描述。
对于一运动旋量来说，指数变换反映的是刚体的相对运动， 每一个刚体变换都可写为某个运动旋量的指数。
三、三维空间中的刚体运动
3.2 刚体运动的指数坐标和运动旋量
定理2.7 建立在SE（3）的指数变换是满射变换
3.3 旋量：运动旋量的几何表示
se(3)中的元素 称为运动旋量
三、三维空间中的刚体运动
3.3 旋量：运动旋量的几何表示
将满足这两个性质的3×3矩阵的集合记为SO（3），可 用旋转矩阵表示刚体变换
二、三维空间中的旋转运动
群：对于用算子。构成的二元运算集合G，若满足下面条件则构成一个群。
物体相对于定坐标系的每一次旋转，对应于 一个该形式矩阵 可以证明SO（3）是一个以单位矩阵I作为单位元素、以矩阵乘法作为 群运算的群。 旋转矩阵可通过矩阵相乘来组成新的旋转矩阵： Rac=RabRbc 上式称为旋转的合成法则
刚体运动
一、刚体变换 二、三维空间中的旋转运动
三、三维空间中的刚体运动
一、刚体变换
刚体运动是物体上任意两质点间距离始终保持不变的移（平动与转动）。
刚体变换： 满足下列条件的变换g:R3->R3为刚体变换： 1)长度不变： 3 对任意点 p, q R , 均有 g( p) g(q) p q 2）叉积不变：
0 式中(a )^ a3 a 2 a3 0 a1 a2 a1 0
后面常用符号â来代替(a)^ 引理2.1 对给定的R∈SO(3)和v,w∈R3,则存在下列性质
R(v×w)=(Rv) ×(Rw) (两矢量叉积的旋转=旋转的叉积）
R(w)^RT=(Rw)^ 定理2.2 旋转运动是刚体变换 旋转矩阵R∈SO(3)是一个刚体变换
3.3 旋量：运动旋量的几何表示
上式对任意的p∈R3均成立，故用旋量表示的刚体运动为：
定理：旋量运动与旋量是一一对应 的 对于给定的旋量，其轴为l、节距为h、大小为M，则存在单位旋量 ξ ，使得与该旋量有关的刚体运动由运动旋量Mξ 产生。
三、三维空间中的刚体运动
3.3 旋量：运动旋量的几何表示
定理(Chasles定理) 任意刚体运动均可通过绕一轴的转动加上平行 于该 轴的移动实现。
三、三维空间中的刚体运动
如右图刚体的位姿可以表示为（pab,Rab)
记为式1
三、三维空间中的刚体运动
3.1 齐次坐标法
那么齐次坐标表示为
刚体变换的组合将构成新的变换：
定理2.5 SE（3）中的元素表示刚体运动
三、三维空间中的刚体运动
3.2 刚体运动的指数坐标和运动旋量
首先定义一个群se(3)：
旋量运动： 旋量包括轴l、节距 h及大小M。旋量运动 表示绕轴l旋转M=θ再沿 与l平行的方向移动hθ。 如果h=∞,那么相应的旋 量运动即为沿旋转轴移 动距离为M的平动。
三、三维空间中的刚体运动
3.3 旋量：运动旋量的几何表示
分析右图点p的运动， p点最终位置坐标为：
齐次坐标表示为
三、三维空间中的刚体运动
二、三维空间中的旋转运动
旋转矩阵对点的最用： 对坐标系B中的点qb(xb yb zb),可得其在A坐标系中的坐标 qa=Rabqb 旋转矩阵对矢量的作用： 对坐标系B中的矢量Vb=qb-pb,则 Rab(Vb)=Rabqb-Rabpb=qa-pa=Va
二、三维空间中的旋转运动
两矢量的叉积是一个线性算子，可用表示为：a×b=(a)^b
二、三维空间中的旋转运动
2.2 旋转的指数坐标
定理2.3 指数变换是SO（3）上的满射变换 对给定的R∈SO(3),存在w∈R3,||w||=1及θ ∈R，使R=exp((w)^θ ) 定理2.4 任意姿态R∈SO(3)等效于绕固定轴w∈R3,θ ∈[0,2π ] 该法并不唯一，当R=I时，W（θ取0）有无穷多中。
对于任意矢量 R 3 , 均有g (v w) g (v) g (w) v,w
二、三维空间中的旋转运动
旋转矩阵： Rab=[xab yab zab] 物体相对于定坐标系的每一次旋转，对应于 一个该形式矩阵 旋转矩阵性质： 设R 3×3为旋转矩阵，则： R ① RRT=I ② detR=+1 (右手坐标系）
二、三维空间中的旋转运动
2.2 旋转的指数坐标
研究物体绕给定轴转过一定角度的旋转运动，w∈R3表旋转方向的单位 矢量，θ ∈R为旋转角度，则该旋转运动可表示为：
R(w, ) e
通过数学方法可以得到：
ˆ w
ˆ ˆ ˆ e w I w sin w2 (1 cos )
当||w||≠1时，上式可修正为：