机器人操作的数学导论——刚体运动(1——3)

二、三维空间中的旋转运动
2.2 旋转的指数坐标
研究物体绕给定轴转过一定角度的旋转运动，w∈R3表旋转方向的单位 矢量，θ ∈R为旋转角度，则该旋转运动可表示为：
R(w, ) Baidu Nhomakorabeae
通过数学方法可以得到：
ˆ w
ˆ ˆ ˆ e w I w sin w2 (1 cos )
当||w||≠1时，上式可修正为：
0 式中(a )^ a3 a 2 a3 0 a1 a2 a1 0
后面常用符号â来代替(a)^ 引理2.1 对给定的R∈SO(3)和v,w∈R3,则存在下列性质
R(v×w)=(Rv) ×(Rw) (两矢量叉积的旋转=旋转的叉积）
R(w)^RT=(Rw)^ 定理2.2 旋转运动是刚体变换 旋转矩阵R∈SO(3)是一个刚体变换
三、三维空间中的刚体运动
如右图刚体的位姿可以表示为（pab,Rab)
记为式1
三、三维空间中的刚体运动
3.1 齐次坐标法
那么齐次坐标表示为
刚体变换的组合将构成新的变换：
定理2.5 SE（3）中的元素表示刚体运动
三、三维空间中的刚体运动
3.2 刚体运动的指数坐标和运动旋量
首先定义一个群se(3)：
二、三维空间中的旋转运动
2.2 旋转的指数坐标
定理2.3 指数变换是SO（3）上的满射变换 对给定的R∈SO(3),存在w∈R3,||w||=1及θ ∈R，使R=exp((w)^θ ) 定理2.4 任意姿态R∈SO(3)等效于绕固定轴w∈R3,θ ∈[0,2π ] 该法并不唯一，当R=I时，W（θ取0）有无穷多中。
二、三维空间中的旋转运动
旋转矩阵对点的最用： 对坐标系B中的点qb(xb yb zb),可得其在A坐标系中的坐标 qa=Rabqb 旋转矩阵对矢量的作用： 对坐标系B中的矢量Vb=qb-pb,则 Rab(Vb)=Rabqb-Rabpb=qa-pa=Va
二、三维空间中的旋转运动
两矢量的叉积是一个线性算子，可用表示为：a×b=(a)^b
对于一运动旋量来说，指数变换反映的是刚体的相对运动， 每一个刚体变换都可写为某个运动旋量的指数。
三、三维空间中的刚体运动
3.2 刚体运动的指数坐标和运动旋量
定理2.7 建立在SE（3）的指数变换是满射变换
3.3 旋量：运动旋量的几何表示
se(3)中的元素 称为运动旋量
三、三维空间中的刚体运动
3.3 旋量：运动旋量的几何表示
3.3 旋量：运动旋量的几何表示
上式对任意的p∈R3均成立，故用旋量表示的刚体运动为：
定理：旋量运动与旋量是一一对应 的 对于给定的旋量，其轴为l、节距为h、大小为M，则存在单位旋量 ξ ，使得与该旋量有关的刚体运动由运动旋量Mξ 产生。
三、三维空间中的刚体运动
3.3 旋量：运动旋量的几何表示
定理(Chasles定理) 任意刚体运动均可通过绕一轴的转动加上平行 于该 轴的移动实现。
旋量运动： 旋量包括轴l、节距 h及大小M。旋量运动 表示绕轴l旋转M=θ再沿 与l平行的方向移动hθ。 如果h=∞,那么相应的旋 量运动即为沿旋转轴移 动距离为M的平动。
三、三维空间中的刚体运动
3.3 旋量：运动旋量的几何表示
分析右图点p的运动， p点最终位置坐标为：
齐次坐标表示为
三、三维空间中的刚体运动
刚体运动
一、刚体变换 二、三维空间中的旋转运动
三、三维空间中的刚体运动
一、刚体变换
刚体运动是物体上任意两质点间距离始终保持不变的连续运动。 刚体从一位置到另一位置的刚体运动称为刚体位移（平动与转动）。
刚体变换： 满足下列条件的变换g:R3->R3为刚体变换： 1)长度不变： 3 对任意点 p, q R , 均有 g( p) g(q) p q 2）叉积不变：
将满足这两个性质的3×3矩阵的集合记为SO（3），可 用旋转矩阵表示刚体变换
二、三维空间中的旋转运动
群：对于用算子。构成的二元运算集合G，若满足下面条件则构成一个群。
物体相对于定坐标系的每一次旋转，对应于 一个该形式矩阵 可以证明SO（3）是一个以单位矩阵I作为单位元素、以矩阵乘法作为 群运算的群。 旋转矩阵可通过矩阵相乘来组成新的旋转矩阵： Rac=RabRbc 上式称为旋转的合成法则
二、三维空间中的旋转运动
2.3 四元数
四元数可用与描述空间旋转运动，它是一个矢量，一般形式为：
简洁表达式为：Q=（q0,q），其中q0∈R,q∈R3
二、三维空间中的旋转运动
2.3 四元数
两四元数内积：
给定Q=（q0,q），其中q0∈R,q∈R3，可获得相应的旋转
描述旋转群还可以使用欧拉角来描述。
定理2.6 从se(3)到SE（3）的指数变换
三、三维空间中的刚体运动
3.2 刚体运动的指数坐标和运动旋量
描述的不是点在不同坐标系间的变换，而是点 由初始位置p(0)∈R3到经如下刚体转动后的位置坐标间的变换
上式中p(θ),p(0)均在同一坐标系中表示。类似，若gab(0)表示刚 体相对于A系的起始位姿，，那么现对于A系的最终位姿为：
对于任意矢量 R 3 , 均有g (v w) g (v) g (w) v,w
二、三维空间中的旋转运动
旋转矩阵： Rab=[xab yab zab] 物体相对于定坐标系的每一次旋转，对应于 一个该形式矩阵 旋转矩阵性质： 设R 3×3为旋转矩阵，则： R ① RRT=I ② detR=+1 (右手坐标系）