2019-2020年高三数学三模试卷(理科) 含解析
2019-2020年高三第三次检测考试数学(理)试题 含答案
2019-2020年高三第三次检测考试数学(理)试题 含答案(1)选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分。
在下列各题的四个选项中,只有一项是最符合题意的)1. 定义}|{B x A x x B A ∉∈=-且,已知}4,3,1{},3,2{==B A 。
则=-B A ( )A. {1,4}B. {2}C. {1,2}D. {1,2,3} 【答案】B【KS5U 解析】因为}|{B x A x x B A ∉∈=-且,又}4,3,1{},3,2{==B A ,所以=-B A {2}。
2.已知,x y R ∈,为虚数单位,且(2)1x i y i --=-+,则(1)x yi ++的值为 ( )A .4B .i 44+C .4-D .i 2 【答案】C【KS5U 解析】因为(2)1x i y i --=-+,所以1,3,121y x y x -=-⎧==⎨-=⎩即,所以(1)x y i ++()()42124i i =+==-。
3. 设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和,若3184=S S ,则168S S 等于 ( )A. 91 B. 81 C. 31 D. 103【答案】D【KS5U 解析】因为}{n a 是等差数列,所以4841281612,,,S S S S S S S ---是等差数列,又3184=S S ,不妨设48,3S m S m ==则,所以数列4841281612,,,S S S S S S S ---的公差为m ,所以12816123,4S S m S S m -=-=,所以1610S m =,所以168S S 310=。
4.已知,,,a b c d 是实数,则“a b >且c d >”是“a c b d b c a d ⋅+⋅>⋅+⋅”的 ( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 【答案】A【KS5U 解析】因为c d >,所以0c d ->,又a b >,所以两边同时乘以()c d -,得:()()a c d b c d ->-,即a c b d b c a ⋅+⋅>⋅+⋅;若a c b d b c a ⋅+⋅>⋅+⋅,则()()a c d b c d->-,所以也可能a b <且c d <。
2019-2020年高三第三次质量检测数学(理)试题含答案(I).doc
2019-2020年高三第三次质量检测数学(理)试题含答案(I)一、选择题:本大12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设全集,{|(3)0},{|1},U R A x x x B x x ==+<=<- 则下图中 阴影部分表示的集合为A.{|31}x x -<<-B. }{3〈〈-x xC.{|0}x x >D.{|1}x x <- 【答案】A【Ks5u 解析】集合{|(3)0}{30}A x x x x x =+<=-<<,图中阴影部分为集合A B ,所以{31}AB x x =-<<-,选A.2." 2a ="是直线20ax y +=与直线1x y +=平行的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】C【Ks5u 解析】直线20ax y +=的斜截式方程为2a y x =-,斜率为2a-。
直线1x y +=的斜截式方程为1y x =-+,斜率为1-,要使两直线平行,则有12a-=-,解得2a =,所以"2a ="是直线20ax y +=与直线1x y +=平行的" 2a ="是直线20ax y +=与直线1x y +=平行的充要条件,选C.3.如图是某一几何体的三视图,则这个几何体的体积为( )1.A.4B.8C.16D.20 【答案】C【Ks5u 解析】由三视图可知,该几何体是一个四棱锥,四棱锥的高为4,底面为俯视图对应的矩形,俯视图的面积为2612⨯=,所以四棱锥的体积为1124163⨯⨯=,选C.4.已知∆ABC 中,a 、b 、c 分别为A ,B ,C 的对边, a=4,b=30∠=A ,则∠B 等于( )A.30B.30或150C.60D.60或120 【答案】D【Ks5u 解析】由正弦定理可知sin sin a b A B =。
2019-2020年高三三模试卷数学试题(理)含答案
2019-2020年高三三模试卷数学试题(理)含答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足34iz i z =+=,则A.1B.2 D.52.已知集合{}{}1012312A B x x =-=-<,,,,,,则R A C B ⋂= A.{}012,, B.{}13-, C.{}12, D.{}103-,, 3.若向量,a b 满足()26a b a b b ==+⋅=,且,则向量a b 与的夹角为A.30°B.45°C.60°D.90°4.已知命题()sin cos p R απαα∃∈-=:,;命题:0q m >是双曲线22221x y m m -=的离心率为.则下面结论正确的是A.()p q ∧⌝是真命题B.()p q ⌝∨是真命题C.p q ∧是假命题D.p q ∨是假命题5.下列函数中既是奇函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A.11221x y =++ B.11221x y =-+ C.11221x y =+- D.11221x y =-- 6.函数()()sin ln 2x f x x =+的图象可能是7.以下四个命题中:①从匀速传递的产品流水线上,质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测,这样的抽样是分层抽样;②两个随机变量的线性相关性越强,相关系数的绝对值越接近于1;③若数据123,,x x x ,…,n x 的方差为1,则1232,2,2,,2n x x x x ⋅⋅⋅的方差为2;④对分类变量X 与Y 的随机变量2k 的观测值k 来说,k 越小,判断“X 与Y 有关系”的把握程度越大.其中真命题的个数为A.1B.2C.3D.48.一个空间几何体的三视图如图,则该几何体的体积为A.B.C.3D.39.设点(),a b 是区域240,0,0.x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内的随机点,函数()241f x ax bx =-+在区间[)1,+∞上是增函数的概率为 A.12 B.13 C.14 D.1510.设函数()f x 的定义域为D ,若存在非零实数t 使得对于任意()()()x M M D x t D f x t f x ∈⊆+∈+≥,有,且,则称()f x 为M 上的“t 高调函数”. 如果定义域为R 的函数()f x 是奇函数,当()()220,x f x x a a f x ≥=--时,且为R 上的“t 高调函数”,那么实数a 的取值范围是A.22⎡-⎢⎣⎦B.[]1,1-C.1,2⎡-⎢⎣⎦D.2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦第II 卷(共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把正确答案填写在答题卡给定的横线上.11.某校组织数学竞赛,学生成绩()()()2100,,120,80100N P a P b ξσξξ-≥=<≤=, a b +=则_____________.12.执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为12,则输出的S 的值为_________.13.在222sin cos 3cos sin ,ABC a c b A C A C b ∆-===中,已知,且则____.14.若()()201422014012201421x a a x a x a x x R -=+++⋅⋅⋅+∈,则23201423201411112222a a a a a a ++⋅⋅⋅+=___________. 15.已知12,F F 分别是椭圆C 的左右焦点,A 是椭圆C 短轴的一个顶点,B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点,若12160F AF B ∠=∆,AF的面积为C 的方程为________.三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)已知函数()2sin cos sin sin ,44f x x x x x x x R ππ⎛⎫⎛⎫=+++-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (I )求()f x 的最小正周期和单调增区间;(II )若()0002x x x f x π⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭为的一个零点,求0cos 2x 的值.17. (本小题满分12分)某高校自主招生考试中,所有去面试的考生全部参加了“语言表达能力”和“竞争与团队意识”两个科目的测试,成绩分别为A 、B 、C 、D 、E 五个等级,某考场考生的两科测试成绩数据统计如图,其中“语言表达能力”成绩等级为B 的考生有10人.(I )求该考场考生中“竞争与团队意识”科目成绩等级为A 的人数;(II )已知等级A 、B 、C 、D 、E 分别对应5分,4分,3分,2分,1分.(i )求该考场学生“语言表达能力”科目的平均分(ii )求该考场共有10人得分大于7分,其中有2人10分,2人9分,6人8分,从这10人中随机抽取2人,求2人成绩之和的分布列和数学期望.18. (本小题满分12分)已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列,12482,,a a a a =,且成等比数列.(I )求数列{}n a 的通项;(II )设(){}1n n n b a --是等比数列,且257,71b b ==,求数列{}n b 的前n 项和n T .19. (本小题满分12分)在如图所示的几何体中,ABC ∆是边长为2的正三角形,BCD ∆为等腰直角三角形,且,2,BD CD AE AE ==⊥平面ABC ,平面BCD ⊥平面ABC.(I )求证:AC//平面BDE ;(II )求钝二面角C-DE-B 的余弦值.20. (本小题满分13分)设函数()2ln 2,f x x x ax a R =+-∈. (I )若函数()f x 在定义域内为增函数,求实数a 的取值范围;(II )设()()()()2102F x f x a F m F n =+==,若(其中0m n <<),且02m n x +=, 问:函数()()()00,F x x F x 在处的切线能否平行于x 轴?若能,求出该切线方程;若不能,请说明理由.21. (本小题满分14分)在直角坐标系xoy 中,曲线1C 的点均在圆()222:59C x y +-=外,且对1C 上任意一点M ,M 到直线2y =-的距离等于该点与圆2C 上点的距离的最小值.(I )求曲线1C 的方程;(II )设P 为直线4y =-上的一点,过P 作圆2C 的两条切线,分别与曲线1C 相交于点A ,B 和C ,D ,证明:四点A ,B ,C ,D 的横坐标之积为定值.。
2019-2020年高三三模数学试卷(理科) 含答案
2019-2020年高三三模数学试卷(理科) 含答案注意:1. 答卷前,考生务必在答题纸上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚; 2. 本试卷共有23道试题,满分150分,考试时间120分钟.一、填空题:(本大题满分56分,每小题4分)本大题共有14小题,考生应在答题纸相应的编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分. 1.若集合,集合,则 . 2.函数的反函数是 .3.过点且与直线垂直的直线的方程 .4.已知数列为等比数列,前项和为,且,,则此数列的公比 . 5.如果复数满足(是虚数单位),则的最大值为 1 . 6.函数的单调增区间为 () .7.行列式42354112k---中第行第列元素的代数余子式的值为,则实数= . 8.设是双曲线的两个焦点,是双曲线上的一点,且,则的周长 24 .9.设、、、是球面上的四个点,且在同一个平面内,,球心到该平面的距离是球半径的倍,则球的体积是 .10.掷两颗骰子得两数,则事件“两数之和为”的概率为 . 11.数列中,且,则数列前项的积等于 . 12.若均为平面单位向量,且,则 .(用坐标表示)13.在极坐标系中,动点从出发,沿极轴方向作匀速直线运动,速度为3米/秒,同时极轴绕极点按逆时针方向作等角速度旋转,角速度为2米/秒.则动点的极坐标方程 . 14.记符号表示集合中最小的数.已知无穷项的正整数数列满足,令{}()m i n |,k n b n a k k *=≥∈N ,若,则12201214......a a a b b b +++++++= 294 .二、选择题(本大题共有4题,满分20分) 每小题都给出四个选项,其中有且只有一个选项是正确的,选对得 5分,否则一律得零分.15.二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件是 ( D ) A .系数行列式 B .比例式C .向量不平行D . 直线111222,a x b y c a x b y c +=+=不平行16.用符号表示不小于的最小整数,如,.则方程在上实数解的个数为( D )A.0 B.1 C.2D.317.已知为椭圆的左顶点.如果存在过点的直线交椭圆于两点,使得,则的取值范围为( C )A.B.C.D.18.在圆锥中,已知高=2,底面圆的半径为,为母线上一点;根据圆锥曲线的定义,下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线,下面四个命题,正确的个数为( B )①圆的面积为;②椭圆的长轴为;③双曲线两渐近线的夹角为;④抛物线中焦点到准线的距离为.A.1 个B.2 个C.3个D.4个三、解答题(本大题共有5题,满分74分)解答下列各题必须写出必要的步骤.19.(本题满分12分)本题共有2个小题,第(1)小题满分5分,第(2)小题满分7分.如图,正方形所在平面与圆所在平面相交于,为圆的直径,线段为圆的弦,垂直于圆所在平面.(1)求证:平面;(2)设异面直线与所成的角为且,将(及其内部)绕所在直线旋转一周形成一几何体,求该几何体的体积.解:(1)证明:因为为圆的直径,所以,即…………2分又因为垂直于圆所在平面,所以………………………………………4分又所以平面…………………………………………………………5分(2)由题意知,将(及其内部)绕所在直线旋转一周形成一几何体的体积是两圆锥的体积之差.因为异面直线与所成的角为,且,所以,……………7分又因为,所以,在中,,………………………9分在中,,,所以…………………………10分所以该几何体的体积πππ34313122=⋅⋅-⋅⋅=AEDEAECEV……………………12分20.(本题满分14分)本题共有2个小题,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分8分.如图在半径为的圆形的材料中,要截出一个“十字形”,其为一正方形的四角截掉全等的小正方形所形成的图形.(为圆心)(1)若要使截出的“十字形”的边长相等()(图),此时边长为多少?(2)若要使截出的“十字形”的面积为最大(图),此时为多少?(用反三角函数表示)图(1) 图(2)解:(1)当“十字形”的边长相等时,过作交于,作⊥交于.设该“十字形”的边长为,则,. 在中,由勾股定理得,()2525322=⇒=+x x x …………………………5分 所以,边长………………………………………………………………………6分 (2)过作交于,作⊥交于.设∠,则5cos ,5sin OM DM θθ==. ,.…………………………………………8分 所以,“十字形”的面积为2222(2)4()100cos 100(cos sin )S OM NM θθθ=-=--1))2θϕ=+- ( 其中或) …………………………………10分 所以,当时, ………………………………………12分 此时,552arccos22-==∠πθDOE 或 ……………………………14分 21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分8分. 设函数对任意,都有,其中为常数.当时,. (1)设,在时的解析式及其值域; (2)设,求在时的值域.解:(1)当时,于是,又所以即……………………………………3分 即在时的值域为…6分(2)由于 )2,2[)2,2[)2,2[)2,1[),1[1322+=∞+n n只研究函数在值域即可……………………………………7分 对于得于是)2()2()2()(22nn x f a x f a x af x f ==== 所以 ………………………………………9分因为所以当为偶数时,在上单调减,值域为;且 ⊇⊇⊇⊇⊇],0(],0(],0(]1,0(242ka a a ………………………………………10分 当为奇数时,在上单调增,值域为且 ⊇⊇⊇⊇⊇-)0,[)0,[)0,[)0,[1253k aa a a ………………………………………12分 所以的值域为 …………………………………………………………14分22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第(1)小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分. 已知在数列中,.(1)设(),求数列的通项公式; (2)若⎩⎨⎧+=+奇数时当为偶数时当n a n a a nn n 211,求数列的前项和;(3)当时,是否存在一个常数,使对任意正整数都成立?如果存在,请求出的值,并证明;如果不存在,请说明理由.解:(1)由题意,令,比较得到,故有,所以数列是以为首项,为公比的等比数列,……2分因此,所以, .…………………………………4分(2)由题意可知,,所以,所以,所以数列是以2为首项,为公比的等比数列, 由,可得到,,又因为()12221222+==++n n n a a a ,所以…………………………6分由,同样可以求得 ,…………………………………8分所以m m m a a a a a a S 21243212++++++=-()()m m a a a a a a 2421231+++++++=-()()m m m m 22222221322-++++-+++=+)242()22(21m m m m --+--=++ ,即……………………………10分(3)因为在上单调递减且, 由,可知数列中的各项均满足由要证明不等式的结构可令,解得, 故猜想:12150122≤<-<<+n n a a ,………………………………………………13分 下面用数学归纳法证明:证明:(i )当时,,, 所以,命题成立;(ii )假设时,命题成立,即有12150122≤<-<<+k k a a , 由于在区间上单调递减, 所以 )1()()215()()0(122f a f f a f f k k ≥>->>+ 即12152101222<<-<<<++k k a a , 再次利用函数在区间上单调递减, 得到 )1()()215()()0(1222f a f f a f f k k >>->>++, 即12152103222<<-<<<++k k a a , 所以时命题也成立, 所以12150122≤<-<<+n n a a 即存在常数,使对任意正整数都成立.…………………16分23.(本题满分18分)本题共有3个小题,第(1)小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.如图,矩形中,,以矩形的中心为原点,过矩形的中心平行于的直线为轴,建立直角坐标系,(1)求到直线的距离之积为1的动点的轨迹;(2)若动点P 分别到线段中点的距离之积为4,求动点的轨迹方程,并指出曲线的性质(对称性、顶点、范围); (3)已知平面上的曲线及点,在上任取一点,线段长度的最小值称为点到曲线的距离.若动点到线段的距离与射线的距离之积为4,求动点的轨迹方程,并作出动点的大致轨迹.解:(1)设,则………………………………………………2分化简得. 故动点的轨迹为三条平行线;………………………4分(24.=()222241616.x y x ++-=化简得对称性:关于原点、轴对称; (6)分顶点:()()(),,0,0-;…………………8分 范围: ……………………………10分作图如图(不计分)(3)同时从几何和代数角度进行分析当时,1y =-12分2A当时,或,…………………14分y=+,……………16分当时,1作轨迹大致如图.分三个区域给分:①在直线的下方:两段曲线;②在两直线之间:三条平行线;③在直线的上方:三条曲线.………………………………………………18分④⑤⑥2019-2020年高三三模物理试题含答案说明:1.本试卷考试时间120分钟,满分150分,共33题.第30、31、32、33题要求写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤.只写出最后答案,而未写出主要演算过程的,不能得分.2.所有答案必须全部填写在答题纸上.注意试题题号与答题纸上的编号一一对应,不能错位.写在试卷上的答案一律不给分.一.单项选择题.(共16分,每小題2分,每小题只有一个正确选项,答案填写在答题卡上.)1.下列单位中属于国际单位制(SI)基本单位的是A.千克B.千米C.千焦D.千帕2.最早发现静止点电荷间相互作用规律的科学家是A.安培B.法拉第C.麦克斯韦D.库仑3.下列不属于...电磁波的是A.红外线B.X射线C.β射线D.γ射线4.汤姆生发现了电子并由此提出了原子结构的葡萄干蛋糕模型,他发现电子的实验基础是A.α粒子散射实验B.阴极射线实验C.α粒子轰击铍核实验D.α粒子轰击氮核实验5.关于物体的内能,以下说法正确的是A.热量不能自发地从低温物体传给高温物体B.晶体熔化时吸收热量,分子平均动能一定增大C.物体的温度升高,表示物体内所有分子的动能都增大D.电流通过电阻使电阻发热,是因为电源和电阻间的“热传递”6.物体同时受到同一平面内三个共点力的作用,下列几组力的合力可能为零的是A.1N、2N、4N B.3N、6N、10N C.4N、8N、13N D.5N、12N、12N7.如图,一质量为M的不均匀三角板AOB,OA⊥OB且OA=OB=L,O点为水平固定转动轴,现用一水平拉力拉住A点,维持三角板处于OA竖直的静止状态,拉力大小为F,重力加速度为g,则三角板重心到AO的距离为A.B.C.D.8.在输液时,药液有时会从针口流出体外,为了及时发现,某人设计了一种自动报警装置,电路如图所示.定值电阻R、探测器S电阻均保持不变.M是贴在针口处的传感器,当接触到药液时其电阻R M会发生明显变化,导致S两端电压U增大,装置发出警报,此时A.R M变大,且R越大,探测器S越灵敏B.R M变大,且R越小,探测器S越灵敏C.R M变小,且R越大,探测器S越灵敏D.R M变小,且R越小,探测器S越灵敏二.单项选择题.(共24分,每小题3分,每小题只有一个正确选项,答案填写在答题卡上.) 9.根据爱因斯坦光子说理论,光子能量E 等于(h 为普朗克常量,c 、λ分别为真空中的光速和波长)A .hc λB .h λcC .h λD .h λ10.下列各图中的绝缘直杆粗细不计、长度相同,所带电荷量已在图中标出,且电荷均匀分布,各直杆间彼此绝缘.坐标原点O 处电场强度最大的是图11.如图所示,自动卸货车始终静止在水平地面上,车厢在液压机的作用下,θ角逐渐增大且货物相对车厢静止........,对这一过程,下列说法正确的是 A .货物受到的摩擦力不变 B .货物受到的支持力增大 C .货物的机械能保持不变D .货物受到的支持力对货物做正功12.如图所示,一定质量的理想气体,经过图线A→B→C→A 的状态变化过程,AB 的延长线过O 点,CA 与纵轴平行.由图线可知A .A→B 过程气体压强不变,密度减小 B .B→C 过程气体压强增大,密度增大 C .B→C 过程气体温度升高,密度减小D .C→A 过程气体温度不变,密度增大13.运动学中有人认为引入“加速度变化率Δa /Δt ”很有必要,它能引起人的心理效应,车辆的平稳加速(即加速度基本不变)使人感到很舒服,否则人感到极不舒服。
2019-2020年高三第三次模拟数学理试题 含答案
绝密★启用前2019-2020年高三第三次模拟数学理试题 含答案注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷(选择题 60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,若,则实数=A.3B.2C.2或 3D.0或2或32.复数为的共轭复数,则A .B .C .D . 3.函数的零点个数为A.1B.2C.3D.4 4. 某程序框图如图所示, 则该程序运行后输出的值是A.xxB.2012C.xxD.xx5.一个几何体的三视图如图所示(单位: ),则该几何体的体积为( )A. 36B. 30C.D.6. 已知函数,若,使得方程成立,则实数的取值范围为 A. B. C. D. 或7.在中,若lgsin lgcos lgsin lg 2A B C --=,则的形状是A.直角三角形B.等边三角形C.不能确定D.等腰三角形开始i =2013是否S =2013i >0 ?i=i-1(1)S S S=-+输出S 结束8.双曲线一条渐近线的倾斜角为,离心率为,当取最小值时,双曲线的实轴长为 A. B. C. D.49.已知满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+≥0242c y x y x x ,若目标函数的最小值为5,则的最大值为A.5B.8C.10D.2010.在直角梯形ABCD 中,,1,3AB AD AD DC AB ⊥===,动点在以点为圆心,且与直线相切的圆内运动,设(,)AP AD AB R αβαβ=+∈,则的取值范围是A . B. C . D .11. 如图,△与△都是边长为2的正三角形,平面⊥平面,⊥平面,,则点到平面的距离为 A . B . C . D .12. 已知函数在处取最大值,以下各式正确的序号为 ① ②③④⑤A.①④B.②④C.②⑤D.③⑤第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
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2019-2020年高三下学期三模考试数学(理)试题含答案理科数学试题第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}2,|x 5x 60U R A x ==-+≥,则U C A =A.{}|2x x >B. {}|32x x x ><或 C. {}|23x x ≤≤ D. {}|23x x << 2.设复数z 满足()25i z i -=(i 为虚数单位),则复数z 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知,a b R ∈,则"01a ≤≤且01"b ≤≤是"01"ab ≤≤的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.已知向量,a b 的夹角为60,且1,23a a b =-=,则b =A. 1B.D.25.在一次数学竞赛中,30名参赛学生的成绩(百分制)的茎叶图如图所示:若将参赛学生按成绩由高到低编为1—30号,再用系统抽样法从中抽取6人,则其中抽取的成绩在[]77,90内的学生人数为A. 2B. 3C. 4D.56.如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学中的秦九韶算法,执行该程序框图,则输出的结果S 表示的值为 A.0123a a a a +++ B. ()30123a a a a x +++C. 230123a a x a x a x +++D. 320123a x a x a x a +++ 7.已知函数()()sin 20f x x ωω=>,将()y f x =的图象向右平移个4π单位长度后,若所得图象与原图象重合,则ω的最小值等于A.2B. 4C.6D. 8 8.给出以下四个函数的大致图象:则函数()()()()ln ln ,,,x xx e f x x x g x h x xe t x x x====对应的图象序号顺序正确的是 A.②④③① B.④②③① C.③①②④ D.④①②③9.在一次抽奖活动中,8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.甲、乙、丙、丁四名顾客每人从中抽取2张,则不同的获奖情况有 A.24种 B.36种 C.60种 D.96种10.已知12,F F 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点,以原点O 为圆心,半焦距为半径的圆与椭圆相交于四个点,设位于y 轴右侧的两个交点为,B A ,若1ABF 为等边三角形,则椭圆的离心率为A.1B. 1C.D.第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共计25分.11.若存在实数x 使4x a x -+≤成立,则实数a 的取值范围是 .12.已知函数()1x xe mf x mx e -=++是定义在R 上的奇函数,则实数m = . 13.圆心在x 轴的正半轴上,半径为双曲线221169x y -=的虚半轴长,且与该双曲线的渐近线相切的圆的方程是 .14. 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积为 . 15.已知函数()2h x x ax b =++在()0,1上有两个不同的零点,记{}()()min ,m m n m n n m n ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩,则()(){}min 0,1h h 的取值范围为 .三、解答题:本大题共6小题,满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)在ABC 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且3c o s c o s 13s i n s i n cAB A B +=+ (1)求C(2)若ABC 的面积为5b =,求sin .A17.(本小题满分12分)如图,已知四棱锥P A B C D -中,底面A B C D 是直角梯形,190,//,2,2A D C ABCD A DD C ∠===平面PBC ⊥平面A B C D .(1)求证:;AC PB ⊥(2)若PB PC ==,问在侧棱PB 上是否存在一点M ,使得二面角M AD B --的余弦值为9?若存在,求出PMPB的值;若不存在,说明理由.18.(本小题满分12分)某校在高二年级实行选课走班教学,学校为学生提供了多种课程,其中数学科提供5种不同层次的课程,分别称为数学1、数学2、数学3、数学4、数学5,每个学生只能从这5种数学课10人进行分析.(1)从选出的10名学生中随机抽取3人,求这3人中至少有2人选择数学2的概率; (2)从选出的10名学生中随机抽取3人,记这3人中选择数学2的人数为X ,选择数学1的人数为Y ,设随机变量X Y ξ=-,求随机变量ξ的分布列和数学期望()E ξ.19.(本小题满分12分)下表是一个由2n 个正数组成的数表,用ij a 表示第i 行第j 个数(),,i j N ∈已知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列,每一行各数从左到右依次构成等比数列,且公比都相等.已知113161351,9,48.a a a a =+==(1)求1n a 和4n a ; (2)设()()()()4144121nn n n n n a b a n N a a +=+-∈--,求数列{}n b 的前n 项和n S .20.(本小题满分13分)在平面直角坐标系中内动点(),P x y 到圆()22:11F x y +-=的圆心F 的距离比它到直线2y =-的距离小1.(1)求动点P 的轨迹方程;(2)设点P 的轨迹为曲线E ,过点F 的直线l 的斜率为k ,直线l 交曲线E 于,A B 两点,交圆F 于C,D 两点(A,C 两点相邻).①若BF tFA =,当[]1,2T ∈时,求k 的取值范围;②过,A B 两点分别作曲线E 的切线12,l l ,两切线交于点N ,求ACN 与BDN 面积之积的最小值.21.(本小题满分14分) 已知函数()()l n1.a fx x x a Rx=-++∈ (1)讨论()f x 的单调性与极值点的个数;(2)当0a =时,关于x 的方程()()f x m m R =∈有2个不同的实数根12,x x ,证明:12 2.x x +>。
2019-2020年高三下学期第三次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案
2019-2020年高三下学期第三次模拟考试数学(理)试题Word 版含答案一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把答案涂在答题纸相应的位置){}{}{}{}{}{}{}3,1)(3)(3,2)(2)()(5,23,2,15,4,3,2,1.1D C B A B C A B A U U =⋂===则,,设集合【答案】D【KS5U 解析】{}{}1,3,4,1,3U U C B A C B =⋂=所以.2. 已知函数x x f x sin )21()(-=,则)(x f 在[0,2π]上的零点个数为A .1B .2C .3D .4【答案】B【KS5U 解析】在同一直角坐标系内画出函数1()sin 2xy y x ==和的图像,如图,由图知函数)(x f 在[0,2π]上的零点个数为2.4)(13)(10)(7)(60.3D C B A =+夹角为均为单位向量,它们的已知【答案】C 【KS5U解析】易知:11,1,2a b a b ==⋅=,所以()2222339613a b a ba b a b +=+=++⋅=,所以313a b +=。
4.设实数x ,y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤+021y x y x y ,则y x z 2-=的最小值是A .27-B .-2C .1D .25【答案】A【KS5U 解析】画出约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤+021y x y x y 的可行域,由可行域知,目标函数y x z 2-=过点13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭时取最小值,所以最小值为1372222z =--⨯=-。
5.已知三棱锥S —ABC 的三条侧棱两两垂直,且SA=2,SB=SC=4,则该三棱锥的外接球的半径为A .3B .6C .36D .9【答案】A【KS5U 解析】因为三棱锥S —ABC 的三条侧棱两两垂直,所以我们可以把三棱锥看做一个长方体的角,这个长方体对角线的长为6=,所以三棱锥外接球【答案】C 【KS5U解析】()()()2121111i i i x i i i i +===-+--+,2220332012220112013x C x C x C x C +⋯+++=()20130012233201320132013201320132013201320131111C x C x C x C x C x x i ++++⋯+-=+-=-1i =-+。
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2019-2020年高三数学三模试卷(理科)含解析一、选择题:本大题共12题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={1,2,3,5},B={2,4,6},则图中的阴影部分表示的集合为()A.{2}B.{4,6}C.{1,3,5}D.{4,6,7,8}2.=()A.1+2iB.﹣1+2iC.1﹣2iD.﹣1﹣2i3.已知数列{a n}为等差数列,若a1,a2,a3成等比数列,且a1=1,则公差d=()A.0B.1C.2D.44.设f(x)=ax2+bx+2是定义在[1+a,1]上的偶函数,则f(x)>0的解集为()A.(﹣2,2)B.∅C.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)D.(﹣1,1)5.下列有关命题的说法错误的是()A.函数f(x)=sinxcosx的最小正周期为πB.函数在区间(2,3)内有零点C.已知函数,若,则0<a<1D.在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(2,σ2)(σ>0).若ξ在(﹣∞,1)内取值的概率为0.1,则ξ在(2,3)内取值的概率为0.46.运行如图所示的程序框图,则输出s的值为()A.﹣2B.3C.4D.87.某综艺节目固定有3名男嘉宾,2名女嘉宾.现要求从中选取3人组成一个娱乐团队,要求男女嘉宾都有,则不同的组队方案共有多少种()A.9B.15C.18D.218.=()A.1B.2C.3D.9.函数(1<x<4)的图象如图所示,A为图象与x轴的交点,过点A 的直线l与函数的图象交于B,C两点,则(+)•=()A.﹣8B.﹣4C.4D.8=n,则S2016=()10.已知数列{a n}的前n和为S n,a1=1.当n≥2时,a n+2S n﹣1A.B.1006C.1007D.100811.已知椭圆具有如下性质:若椭圆的方程为=1(a>b>0),则椭圆在其上一点A (x0,y0)处的切线方程为=1,试运用该性质解决以下问题:椭圆C1:=1(a>b>0),其焦距为2,且过点.点B为C1在第一象限中的任意一点,过B 作C1的切线l,l分别与x轴和y轴的正半轴交于C,D两点,则△OCD面积的最小值为()A.B.C.D.212.已知y=f(x)是(0,+∞)上的可导函数,满足(x﹣1)[2f(x)+xf′(x)]>0(x≠1)恒成立,f(1)=2,若曲线f(x)在点(1,2)处的切线为y=g(x),且g(a)=2016,则a等于()A.﹣500.5B.﹣501.5C.﹣502.5D.﹣503.5二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分.13.设,则f(1)=.14.已知x,y满足则z=2x+y的最大值为.15.三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正(主)视图和侧(左)视图如图所示,则棱SB的长为.16.如图,四边形OABC,ODEF,OGHI是三个全等的菱形,∠COD=∠FOG=,设,已知点P在各菱形边上运动,且=x+y,x,y∈R,则x+y的最大值为.三、解答题:本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且b2+c2﹣a2=bc.(Ⅰ)求角A的大小;(Ⅱ)设函数,当f(B)取最大值时,判断△ABC的形状.18.吉林市某中学利用周末组织教职员工进行了一次冬季户外健身活动,有N人参加,现将所有参加人员按年龄情况分为[20,25),[25,30),[30,35),[35,40),[40,45),[45,50),[50,55)等七组,其频率分布直方图如图所示.已知[35,40)之间的参加者有8人.(Ⅰ)求N和[30,35)之间的参加者人数N1;(Ⅱ)已知[30,35)和[35,40)两组各有2名数学教师,现从这两个组中各选取2人担任接待工作,设两组的选择互不影响,求两组选出的人中都至少有1名数学教师的概率;(Ⅲ)组织者从[45,55)之间的参加者(其中共有4名女教师,其余全为男教师)中随机选取3名担任后勤保障工作,其中女教师的人数为ξ,求ξ的分布列和数学期望Eξ.19.如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,四边形AA1C1C是边长为4的正方形,平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5(Ⅰ)求证:AA1⊥平面ABC;(Ⅱ)求二面角C﹣A1B1﹣C1的大小;(Ⅲ)若点D是线段BC的中点,请问在线段AB1上是否存在点E,使得DE∥面AA1C1C若存在,请说明点E的位置;若不存在,请说明理由.20.已知抛物线C的方程为y2=2px(p>0),点R(1,2)在抛物线C上.(Ⅰ)求抛物线C的方程;(Ⅱ)过点Q(l,1)作直线交抛物线C于不同于R的两点A,B,若直线AR,BR分别交直线l:y=2x+2于M,N两点,求|MN|最小时直线AB的方程.21.设,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线2x+y+1=0垂直.(1)求a的值;(2)若∀x∈[1,+∞),f(x)≤m(x﹣1)恒成立,求m的范围.(3)求证:.四.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.[选修4-1:几何证明选讲]22.如图,在△ABC中,DC⊥AB于D,BE⊥AC于E,BE交DC于点F,若BF=FC=3,DF=FE=2.(1)求证:AD•AB=AE•AC;(2)求线段BC的长度.[选修4-4:坐标系与参数方程]23.在平面直角坐标系中,曲线C1的参数方程为(a>b>0,φ为参数),且曲线C1上的点M(2,)对应的参数φ=.且以O为极点,X轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆,射线θ=与曲线C2交于点D(,).(1)求曲线C1的普通方程,C2的极坐标方程;(2)若A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+)是曲线C1上的两点,求+的值.[选修4-5:不等式选讲]24.已知f(x)=2|x﹣2|+|x+1|(1)求不等式f(x)<6的解集;(2)设m,n,p为正实数,且m+n+p=f(2),求证:mn+np+pm≤3.2016年吉林省吉林市高考数学三模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={1,2,3,5},B={2,4,6},则图中的阴影部分表示的集合为()A.{2}B.{4,6}C.{1,3,5}D.{4,6,7,8}【考点】Venn图表达集合的关系及运算.【分析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为(C U A)∩B,根据集合的运算求解即可.【解答】解:全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={1,2,3,5},B={2,4,6},由韦恩图可知阴影部分表示的集合为(C U A)∩B,∵C U A={4,6,7,8},∴(C U A)∩B={4,6}.故选B.2.=()A.1+2iB.﹣1+2iC.1﹣2iD.﹣1﹣2i【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】分子分母同乘以分母的共轭复数1+i化简即可.【解答】解:化简可得====﹣1+2i故选:B3.已知数列{a n}为等差数列,若a1,a2,a3成等比数列,且a1=1,则公差d=()A.0B.1C.2D.4【考点】等比数列的性质;等差数列的通项公式.【分析】由a1,a2,a3成等比数列,且a1=1,得到a22=a1•a3,即(1+d)2=1•(1+2d),解得即可.【解答】解:由a1,a2,a3成等比数列,且a1=1,得到a22=a1•a3,∴(1+d)2=1•(1+2d),解得:d=0,故选:A.4.设f(x)=ax2+bx+2是定义在[1+a,1]上的偶函数,则f(x)>0的解集为()A.(﹣2,2)B.∅C.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)D.(﹣1,1)【考点】函数奇偶性的性质.【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称便可得出a=﹣2,而根据f(﹣x)=f(x)便可以得出2bx=0,从而得出b=0,这样便得出f(x)=﹣2x2+2,从而解不等式﹣2x2+2>0便可得出f(x)>0的解集.【解答】解:f(x)为定义在[1+a,1]上的偶函数;∴1+a=﹣1;∴a=﹣2;又f(﹣x)=f(x);即ax2﹣bx+2=ax2+bx+2;∴2bx=0;∴b=0;∴f(x)=﹣2x2+2;∴由f(x)>0得,﹣2x2+2>0;解得﹣1<x<1;∴f(x)>0的解集为(﹣1,1).故选:D.5.下列有关命题的说法错误的是()A.函数f(x)=sinxcosx的最小正周期为πB.函数在区间(2,3)内有零点C.已知函数,若,则0<a<1D.在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(2,σ2)(σ>0).若ξ在(﹣∞,1)内取值的概率为0.1,则ξ在(2,3)内取值的概率为0.4【考点】命题的真假判断与应用.【分析】A.根据三角函数的周期公式进行判断.B.根据函数零点的判断条件进行判断.C,根据对数的性质进行判断.D.根据正态分布的性质进行判断.【解答】解:A.f(x)=sinxcosx=sinx2x,则函数的周期是π,故A正确,B.函数在(0,+∞)上为增函数,则f(2)=ln2+1﹣2=ln2﹣1=ln<0,f(3)=ln3+﹣2=ln3﹣=ln3﹣ln=ln>0,即函数在区间(2,3)内有零点,故B正确,C.∵f()=log a()=log a,若,则a>1,故C错误,D.ξ服从正态分布N(2,σ2)(σ>0).若ξ在(﹣∞,1)内取值的概率为0.1,则ξ在(3,+∞)内取值的概率为0.1,则ξ在(1,3)内取值的概率为1﹣0.1﹣0.1=0.8,即ξ在(2,3)内取值的概率为0.4,故D正确故选:C.6.运行如图所示的程序框图,则输出s的值为()A.﹣2B.3C.4D.8【考点】程序框图.【分析】会根据s←s+(﹣1)n n计算s的值及判断出当n←5时跳出循环结构,即可得出答案.【解答】解:∵n←1,s←1+(﹣1)1×1;∴n←2,s←0+(﹣1)2×2;∴n←3,s←2+(﹣1)3×3;∴n←4,s←﹣1+(﹣1)4×4;∴n←5,s←3+(﹣1)5×5.当n=6时,应跳出循环程序,并输出s的值是﹣2.故选A.7.某综艺节目固定有3名男嘉宾,2名女嘉宾.现要求从中选取3人组成一个娱乐团队,要求男女嘉宾都有,则不同的组队方案共有多少种()A.9B.15C.18D.21【考点】计数原理的应用.【分析】不同的组队方案:选取3人组成一个娱乐团队,要求男女嘉宾都有,方法共有两类,一是:一男二女,另一类是:两男一女;在每一类中都用分步计数原理解答【解答】解:直接法:一男两女,有C31C22=3种,两男一女,有C32C21=6种,共计9种,间接法:任意选取C53=10种,其中都是男嘉宾有C33=1种,于是符合条件的有10﹣1=9种.故选:A.8.=()A.1B.2C.3D.【考点】定积分.【分析】根据定积分的计算法则计算即可.【解答】解:=(1﹣x)dx=(x﹣x2)|=1﹣=,故选:D .9.函数(1<x <4)的图象如图所示,A 为图象与x 轴的交点,过点A的直线l 与函数的图象交于B ,C 两点,则(+)•=( )A .﹣8B .﹣4C .4D .8【考点】平面向量数量积的运算.【分析】先确定点A (2,0)再射出点B (x 1,y 1),C (x 2,y 2),由题意可知点A 为B 、C 两点的中点,故x 1+x 2=4,y 1+y 2=0.将点B 、C 代入即可得到答案.【解答】解:由题意可知 B 、C 两点的中点为点A (2,0),设B (x 1,y 1),C (x 2,y 2),则x 1+x 2=4,y 1+y 2=0∴(+)•=((x 1,y 1)+(x 2,y 2))•(2,0)=(x 1+x 2,y 1+y 2)•(2,0)=(4,0)•(2,0)=8故选D .10.已知数列{a n }的前n 和为S n ,a 1=1.当n ≥2时,a n +2S n ﹣1=n ,则S 2016=( ) A . B .1006C .1007D .1008【考点】数列的求和.【分析】通过当n ≥2时a n +2S n ﹣1=n 与a n+1+2S n =n+1作差、整理,进而可知a 2n ﹣1=1、a 2n =0,计算即得结论.【解答】解:∵当n ≥2时,a n +2S n ﹣1=n ,∴a n+1+2S n =n+1,两式相减,得:a n+1﹣a n +2a n =1,即a n+1+a n =1,又∵a 2+2S 1=2,即a 2=0满足上式,∴a 2n ﹣1=1,a 2n =0,∵2016=2×1008,∴S 2016=1×1008=1008,故选:D .11.已知椭圆具有如下性质:若椭圆的方程为=1(a >b >0),则椭圆在其上一点A (x 0,y 0)处的切线方程为=1,试运用该性质解决以下问题:椭圆C 1:=1(a>b>0),其焦距为2,且过点.点B为C1在第一象限中的任意一点,过B作C1的切线l,l分别与x轴和y轴的正半轴交于C,D两点,则△OCD面积的最小值为()A.B.C.D.2【考点】椭圆的简单性质.【分析】依题意得:椭圆的焦点为F1(﹣1,0),F2(1,0),可得c=1,代入点,计算即可求出a,b,从而可求椭圆C1的方程;设B(x2,y2),求得椭圆C1在点B处的切线方程,分别令x=0,y=0,求得截距,由三角形的面积公式,再结合基本不等式,即可求△OCD面积的最小值.【解答】解:由题意可得2c=2,即c=1,a2﹣b2=1,代入点,可得+=1,解得a=,b=1,即有椭圆的方程为+y2=1,设B(x2,y2),则椭圆C1在点B处的切线方程为x+y2y=1令x=0,y D=,令y=0,可得x C=,所以S△OCD=••=,又点B在椭圆的第一象限上,所以x2,y2>0,+y22=1,即有==+≥2=,S△OCD≥,当且仅当=y22=,所以当B(1,)时,三角形OCD的面积的最小值为.故选:B.12.已知y=f(x)是(0,+∞)上的可导函数,满足(x﹣1)[2f(x)+xf′(x)]>0(x≠1)恒成立,f(1)=2,若曲线f(x)在点(1,2)处的切线为y=g(x),且g(a)=2016,则a等于()A.﹣500.5B.﹣501.5C.﹣502.5D.﹣503.5【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】令F(x)=x2f(x),讨论x>1,0<x<1时,F(x)的单调区间和极值点,可得F′(1)=0,即有2f(1)+f′(1)=0,由f(1)=2,可得f′(1)=﹣4,求得f(x)在(1,2)处的切线方程,再由g(a)=2016,解方程可得a的值.【解答】解:令F(x)=x2f(x),由(x﹣1)[2f(x)+xf′(x)]>0(x≠1),可得x>1时,2f(x)+xf′(x)>0即2xf(x)+x2f′(x)>0,即F(x)递增;当0<x<1时,2f(x)+xf′(x)<0即2xf(x)+x2f′(x)<0,即F(x)递减.即有x=1处为极值点,即为F′(1)=0,即有2f(1)+f′(1)=0,由f(1)=2,可得f′(1)=﹣4,曲线f(x)在点(1,2)处的切线为y﹣2=﹣4(x﹣1),即有g(x)=6﹣4x,由g(a)=2016,即有6﹣4a=2016,解得a=﹣502.5.故选:C.二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分.13.设,则f(1)=3.【考点】函数的值.【分析】利用分段函数的性质求解.【解答】解:∵,∴f(1)=f[f(7)]=f(5)=3.故答案为:3.14.已知x,y满足则z=2x+y的最大值为7.【考点】简单线性规划.【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,求最大值.【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分).由z=2x+y得y=﹣2x+z,平移直线y=﹣2x+z,由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时,直线y=﹣2x+z的截距最大,此时z最大.由,解得,即A(3,1),代入目标函数z=2x+y得z=2×3+1=6+1=7.即目标函数z=2x+y的最大值为7.故答案为:715.三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正(主)视图和侧(左)视图如图所示,则棱SB的长为4.【考点】简单空间图形的三视图.【分析】由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC,底面△ABC为等腰三角形,SC=4,△ABC 中AC=4,AC边上的高为2,进而根据勾股定理得到答案.【解答】解:由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC,且底面△ABC为等腰三角形,在△ABC中AC=4,AC边上的高为2,故BC=4,在Rt△SBC中,由SC=4,可得SB=4,故答案为:416.如图,四边形OABC,ODEF,OGHI是三个全等的菱形,∠COD=∠FOG=,设,已知点P在各菱形边上运动,且=x+y,x,y∈R,则x+y的最大值为4.【考点】向量加减混合运算及其几何意义.【分析】以O为坐标原点,GC所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,设菱形的边长为2,从而求出D,H点的坐标,这样便可得到向量、的坐标.再设P(X,Y),根据条件即可得出x+y的解析式,设x+y=z,X,Y的活动域是菱形的边上,根据线性规划的知识求出z的最大值,即求出x+y的最大值.【解答】解:如图所示,以GC所在直线为x轴,过O且垂直于GC的直线为y轴,建立如图所示坐标系,设菱形的边长为2,则:D(1,),H(﹣3,﹣);设P(X,Y),则(X,Y)=x(1,)+y(﹣3,﹣);∴;∴x+y=Y﹣X;设z=Y﹣X;∴Y=X+z,z表示在y轴上的截距;∴当截距最大时,z取到最大值;根据图形可看出,当直线经过点E(0,2)时,截距最大;∴2=0+z;解得z=4;∴x+y的最大值为4.故答案为:4.三、解答题:本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且b2+c2﹣a2=bc.(Ⅰ)求角A的大小;(Ⅱ)设函数,当f(B)取最大值时,判断△ABC的形状.【考点】余弦定理;三角函数中的恒等变换应用.【分析】(Ⅰ)由已知和余弦定理可得cosA=,可得;(Ⅱ)由题意和三角函数公式可得,由三角函数的最值可得,可判△ABC是直角三角形.【解答】解:(Ⅰ)∵在△ABC中,b2+c2﹣a2=bc,∴由余弦定理可得,∵A∈(0,π),∴;(Ⅱ)∵,∴,∴,∴,∵B∈(0,π),∴当,即时,f(B)取最大值,∴此时易知道△ABC是直角三角形.18.吉林市某中学利用周末组织教职员工进行了一次冬季户外健身活动,有N人参加,现将所有参加人员按年龄情况分为[20,25),[25,30),[30,35),[35,40),[40,45),[45,50),[50,55)等七组,其频率分布直方图如图所示.已知[35,40)之间的参加者有8人.(Ⅰ)求N和[30,35)之间的参加者人数N1;(Ⅱ)已知[30,35)和[35,40)两组各有2名数学教师,现从这两个组中各选取2人担任接待工作,设两组的选择互不影响,求两组选出的人中都至少有1名数学教师的概率;(Ⅲ)组织者从[45,55)之间的参加者(其中共有4名女教师,其余全为男教师)中随机选取3名担任后勤保障工作,其中女教师的人数为ξ,求ξ的分布列和数学期望Eξ.【考点】离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图;离散型随机变量及其分布列.【分析】(Ⅰ)设频率分布直方图中7个组的频率分别为P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7,P4=0.04×5=0.2,从而,由此能求出[30,35)之间的志愿者人数.(Ⅱ)由(Ⅰ)知[30,35)之间有40×0.3=12人,设从[30,35)之间取2人担任接待工作,其中至少有1名数学教师的事件为事件B;从[35,40)之间取2人担任接待工作其中至少有1名数学教师的事件为事件C,由此推导出女教师的数量为ξ的取值可为1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出ξ的分布列和数学期望Eξ.【解答】解:(Ⅰ)设频率分布直方图中7个组的频率分别为P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7,P4=0.04×5=0.2,所以…由题意P1+P2+P3+P4+P5+P6+P7=1,而P3=1﹣(P1+P2+P4+P5+P6+P7)=1﹣5(0.01+0.03+0.04+0.03+0.02+0.01)=0.3∴[30,35)之间的志愿者人数N1=40×P3=40×0.3=12人…(Ⅱ)由(Ⅰ)知[30,35)之间有40×0.3=12人设从[30,35)之间取2人担任接待工作,其中至少有1名数学教师的事件为事件B;从[35,40)之间取2人担任接待工作其中至少有1名数学教师的事件为事件C,因为两组的选择互不影响,为相互独立事件,所以…[45,55)之间共有5×(0.01+0.02)×40=6人,其中4名女教师,2名男教师,从中选取3人,则女教师的数量为ξ的取值可为1,2,3…所以;;…所以分布列为ξ 1 2 3Pξ的数学期望为Eξ=2,…19.如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,四边形AA1C1C是边长为4的正方形,平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5(Ⅰ)求证:AA1⊥平面ABC;(Ⅱ)求二面角C﹣A1B1﹣C1的大小;(Ⅲ)若点D是线段BC的中点,请问在线段AB1上是否存在点E,使得DE∥面AA1C1C?若存在,请说明点E的位置;若不存在,请说明理由.【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面平行的性质;直线与平面垂直的判定.【分析】(Ⅰ)根据线面线面垂直的判定定理即可证明AA1⊥平面ABC;(Ⅱ)建立坐标系求出二面角的法向量,利用向量法即可求二面角C﹣A1B1﹣C1的大小;(Ⅲ)根据线面平行的性质定理建立方程关系即可得到结论.【解答】证明:(Ⅰ)因为四边形AA1C1C是边长为4的正方形,所以AA1⊥AC,…因为平面ABC⊥平面AA1C1C且平面ABC∩平面AA1C1C=AC,…所以AA1⊥平面ABC…(Ⅱ)解:以A为坐标原点,以AC,AB,AA1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系如图所示:(图略)则A,B,C,A1,B1,C1点坐标分别为:A(0,0,0);B(0,3,0);C(4,0,0);A1(0,0,4);B1(0,3,4);C1(4,0,4)…则设平面CA1B1的法向量所以,所以…令x′=1,所以,又易知平面A1B1C1的法向量为…所以所以二面角C﹣A1B1﹣C1的大小为45°…(Ⅲ)设E(x1,y1,z1);平面AA1C1C的法向量.因为点E在线段AB1上,所以假设AE=λAB1,所以(0<λ≤1)即E(0,3λ,4λ),所以.…又因为平面AA1C1C的法向量易知.而DE∥面AA1C1C,所以,所以…所以点E是线段AB1的中点.…若采用常规方法并且准确,也给分.20.已知抛物线C的方程为y2=2px(p>0),点R(1,2)在抛物线C上.(Ⅰ)求抛物线C的方程;(Ⅱ)过点Q(l,1)作直线交抛物线C于不同于R的两点A,B,若直线AR,BR分别交直线l:y=2x+2于M,N两点,求|MN|最小时直线AB的方程.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.【分析】(Ⅰ)由点R(1,2)在抛物线C:y2=2px(p>0)上,求出p=2,由此能求出抛物线C的方程.(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2y2),设直线AB的方程为x=m(y﹣1)+1,m≠0,设直线AR 的方程为y=k1(x﹣1)+2,由已知条件推导出x M=﹣,x N=﹣,由此求出|MN|=2,再用换元法能求出|MN|的最小值及此时直线AB的方程.【解答】解:(Ⅰ)∵点R(1,2)在抛物线C:y2=2px(p>0)上,∴4=2p,解得p=2,∴抛物线C的方程为y2=4x.(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2y2),直线AB的方程为x=m(y﹣1)+1,m≠0,由,消去x,并整理,得:y2﹣4my+4(m﹣1)=0,∴y1+y2=4m,y1•y2=4(m﹣1),设直线AR的方程为y=k1(x﹣1)+2,由,解得点M的横坐标,又==,∴x M==﹣,同理点N的横坐标x N=﹣,|y2﹣y1|==4,∴|MN|=|x M﹣x N|=|﹣|=2||,=8=2,令m﹣1=t,t≠0,则m=t=1,∴|MN|=2≥,即当t=﹣2,m=﹣1时,|MN|取最小值为,此时直线AB的方程为x+y﹣2=0.21.设,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线2x+y+1=0垂直.(1)求a的值;(2)若∀x∈[1,+∞),f(x)≤m(x﹣1)恒成立,求m的范围.(3)求证:.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;导数在最大值、最小值问题中的应用.【分析】(1)求得函数f(x)的导函数,利用曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线2x+y+1=0垂直,即可求a的值;(2)先将原来的恒成立问题转化为,设,即∀x∈(1,+∞),g(x)≤0.利用导数研究g(x)在(0,+∞)上单调性,求出函数的最大值,即可求得实数m的取值范围.(3)由(2)知,当x>1时,时,成立.不妨令,得出,再分别令k=1,2,…,n.得到n 个不等式,最后累加可得.【解答】解:(1)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由题设,∴∴1+a=1,∴a=0.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2),∀x∈(1,+∞),f(x)≤m(x﹣1),即设,即∀x∈(1,+∞),g(x)≤0.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①若m≤0,g'(x)>0,g(x)≥g(1)=0,这与题设g(x)≤0矛盾.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②若m>0方程﹣mx2+x﹣m=0的判别式△=1﹣4m2当△≤0,即时,g'(x)≤0.∴g(x)在(0,+∞)上单调递减,∴g(x)≤g(1)=0,即不等式成立.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当时,方程﹣mx2+x﹣m=0,其根,,当x∈(1,x2),g'(x)>0,g(x)单调递增,g(x)>g(1)=0,与题设矛盾.综上所述,.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3)由(2)知,当x>1时,时,成立.不妨令所以,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣累加可得即﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣四.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.[选修4-1:几何证明选讲]22.如图,在△ABC中,DC⊥AB于D,BE⊥AC于E,BE交DC于点F,若BF=FC=3,DF=FE=2.(1)求证:AD•AB=AE•AC;(2)求线段BC的长度.【考点】与圆有关的比例线段;圆內接多边形的性质与判定.【分析】(1)推导出B,C,D,E四点在以BC为直径的圆上,由割线定理能证明AD•AB=AE•AC.(2)过点F作FG⊥BC于点G,推导出B,G,F,D四点共圆,F,G,C,E四点共圆,由此利用割线定理能求出BC的长.【解答】证明:(1)由已知∠BDC=∠BEC=90°,所以B,C,D,E四点在以BC为直径的圆上,由割线定理知:AD•AB=AE•AC.…解:(2)如图,过点F作FG⊥BC于点G,由已知,∠BDC=90°,又因为FG⊥BC,所以B,G,F,D四点共圆,所以由割线定理知:CG•CB=CF•CD,①…同理,F,G,C,E四点共圆,由割线定理知:BF•BE=BG•BC,②…①+②得:CG•CB+BG•BC=CF•CD+BF•BE,即BC2=CF•CD+BF•BE=3×5+3×5=30,…所以BC=.…[选修4-4:坐标系与参数方程]23.在平面直角坐标系中,曲线C1的参数方程为(a>b>0,φ为参数),且曲线C1上的点M(2,)对应的参数φ=.且以O为极点,X轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆,射线θ=与曲线C2交于点D(,).(1)求曲线C1的普通方程,C2的极坐标方程;(2)若A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+)是曲线C1上的两点,求+的值.【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程.【分析】(1)由曲线C1上的点M(2,)对应的参数φ=可得:,解得即可得到曲线C1的普通方程.设圆C2的半径为R,由于射线θ=与曲线C2交于点D (,),可得,解得即可得到圆C2的极坐标方程.(2)曲线C1的极坐标方程为:,化为,把A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+)代入曲线C1即可得出.【解答】解:(1)由曲线C1上的点M(2,)对应的参数φ=可得:,解得,∴曲线C1的普通方程为.设圆C2的半径为R,由于射线θ=与曲线C2交于点D(,).可得,解得R=1.∴圆C2的极坐标方程为ρ=2cosθ.(2)曲线C1的极坐标方程为:,化为,∵A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+)是曲线C1上的两点,∴+==+==.[选修4-5:不等式选讲]24.已知f(x)=2|x﹣2|+|x+1|(1)求不等式f(x)<6的解集;(2)设m,n,p为正实数,且m+n+p=f(2),求证:mn+np+pm≤3.【考点】绝对值三角不等式;绝对值不等式的解法.【分析】(1)利用零点分段法去掉绝对值符号,转化为不等式组,解出x的范围;(2)由基本不等式,可以解得m2+n2+p2≥mn+mp+np,将条件平方可得(m+n+p)2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9,代入m2+n2+p2≥mn+mp+np,即可证得要求证得式子.【解答】(1)解:①x≥2时,f(x)=2x﹣4+x+1=3x﹣3,由f(x)<6,∴3x﹣3<6,∴x <3,即2≤x<3,②﹣1<x<2时,f(x)=4﹣2x+x+1=5﹣x,由f(x)<6,∴5﹣x<6,∴x>﹣1,即﹣1<x<2,③x≤﹣1时,f(x)=4﹣2x﹣1﹣x=3﹣3x,由f(x)<6,∴3﹣3x<6,∴x>﹣1,可知无解,综上,不等式f(x)<6的解集为(﹣1,3);(2)证明:∵f(x)=2|x﹣2|+|x+1|,∴f(2)=3,∴m+n+p=f(2)=3,且m,n,p为正实数∴(m+n+p)2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9,∵m2+n2≥2mn,m2+p2≥2mp,n2+p2≥2np,∴m2+n2+p2≥mn+mp+np,∴(m+n+p)2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9≥3(mn+mp+np)又m,n,p为正实数,∴可以解得mn+np+pm≤3.故证毕.2016年7月21日。