大学大一解析几何真题PPT

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相交，而且与平面 2x 3y 5 0平行的直线的轨迹。
解:设动直线与二已知直线分别交于 (x0 , y0 , z0 ), (x1, y1, z1) ，
则
x0 6 y0 z0 1
(1)
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x1 y1 8 z1 4
(2)
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又动直线与平面 2x 3y 5 0 平行，所以，
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• 4. 用矢量方法证明：
• （1）三角形的正弦定理
• （2）三角形面积的海伦(Heron)公式，即 三斜求积公式：
• 2＝p(p－a)(p－b)(p－c). • 式中p＝ (a+b+c)/ 2是三角形的半周长，
为三角形的面积.
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• 5之、间求的两最直短线的距zy 离x2x1
设单叶双曲面的二垂直相交的直母线为：
w(
x a
z) c
u(1
y) b
u
(
x a
z) c
w(1
y) b
与
t(
x a
z c
)
v(1
y b
)
v(
x a
z c
)
t
(1
y b
)
将两方程化为标准式，得：
x a(u 2 w2 ) 2uw
y
z u2 w2
2uw
a(u 2 w2 )
2buw c(u 2 w2 )
(vw ut)2
(u 2v 2 w2t 2 )(a 2 c 2 ) b2 (v 2 w2 u 2t 2 ) 2(a 2 b2 c 2 )uvwt (vw ut)2
(a 2 c 2 )(w2v 2 u 2t 2 ) b2 (v 2 w2 u 2t 2 ) 2(a 2 b2 c 2 )uvwt 4b2uvwt (vw ut)2
又二直线垂直，
a2 (u 2 w2 )(v2 t 2 ) 4b2uvwt c2 (u 2 w2 )(v2 t 2 ) 0
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x2
y2
z2
a 2 (uv
wt ) 2
b2 (vw ut)2 (vw ut)2
c 2 (uv
wt ) 2
a 2 (u 2v 2 w2t 2 ) b2 (v 2 w2 u 2t 2 ) c 2 (u 2v 2 w2t 2 ) 2(a 2 b2 c 2 )uvwt
（1） （2）
当二异面直线不直交时， tg 1 从(1)(2)中消去
,u,l,m ，得：
x2
y2
百度文库z2
a2 (ctg 2
1)
a2 (1 tg 2 )
a2
1 ——单叶双曲面
此为要求的轨迹方程。
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当二异面直线直交时，则 tg 1，此时，(1)(2) 变为
(z a) u( y x) 0
(a 2 b2 c 2 )(w2v 2 u 2t 2 2uvwt) (vw ut)2
a2 b2 c2
即 x2 y2 z2 a2 b2 c2
故交点的轨迹为
x2
a
2
y2 b2
z2 c2
1
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x2 y 2 z 2 a 2 b2 c
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3、求与两直线 x 6 y z 1 与 x y 8 z 4
y z
x x
和3
6、设圆锥面的顶点在原点，且三个坐标轴的 正半轴都在其上，求圆锥面的方程
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x a(t 2 v 2 ) 2vt
y
z a(v2 t 2 )
2vt
a(v 2 t 2 ) 2bvt c(v 2 t 2 )
由此求出二直线的交点坐标为：
x a(uv wt) , y b(vw ut) , z c(uv wt)
vw ut
vw ut
vw ut
2(x0 x1) 3( y0 y1) 0
(3)
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对动直线上任一点 M (x, y, z) ，有：
x x0 y y0 z z0 x1 x0 y1 y0 z1 z0
(4)
从（1）——（4）消去 x0 , y0 , z0 , x1, y1, z1，得到：
x2 y2 4z 94
z a
1 : (z a) u( y tg x) 0
2020/4/11 2 : l(z a) m( y tg x) 0
1
二平面的交线为：
(z a) u( y tg x) 0 l(z a) m( y tg x) 0
1 2
l um(1 tg 2 ) 0
l(z a) m( y x) 0
(1)
l 0
(2)
从而当二异面直线直交时，动直线(1)的轨迹为二平面：
yx0 与 yx0
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2.试求单叶双曲面 上互相垂直的两条直2母a线交点的
轨迹方程。
解：由于过单叶双曲面上每点仅有一条 u母线和一 条v母线， 则所以它的同族直母线不能相交，
1. 已知空间两异面直线间的距离为 2a ，夹角为
2 ,过这两条直线分别作平面，并使这两平面相互
垂直，求这样两平面交线的轨迹。
解：建立坐标系：取二异面直线的公垂线作为z 轴， 公垂线的中点为原点O， x轴与二异面直线夹角相等，
则二直线方程为：
y tg x 0
z a
与
过这两直线的平面为：
y tg x 0