大学大一解析几何真题PPT
高考解析几何复习专题ppt课件
常见特征量
1、曲线过点或点在曲线上： 2、线段长度或弦长 3、角度或夹角：与轴(或直线)夹角关系 4、三角形或四边形面积：表示方法与选择 5、平行或垂直等特殊关系 6、向量关系：
共线： 平面向量在基底下的线性分解： 数量积： 非向量特征转化为向量特征 7、量值关系： 平方关系、倒数关系、倍值关系等
23
交点法小练－方法与途径
练习2
已知椭圆 x 2 2
y2 1
1 的左右焦点分别为 F1、F2 ，若过点 P（0，-2）、F1 的直线交
椭圆于 A,B 两点，求 ABF2 的面积
解法一：由题可知：直线 lAB 方程为 2x y 2 0
由
y 2x x2 y2
21
2 可得 9 y 2
1
4、路径选择、计算方法
21
交点法小练与思考 练习1 若直线
与椭圆
恒有公共点，
求实数 的取值范围
直线与曲线
练习2
已知椭圆
x
2
2
y2 1
1 的左右焦点分别为 F1、F2 ，若过点 P（0，-2）、F1 的直线交
椭圆于 A,B 两点，求 ABF2 的面积
面积公式
表示方法
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交点法小练解析： 练习1 若直线
联立：
x my
y
2
2x
h
y2
2my
2h
0
，则
y1
y2
2m
，所以：
y
m
，
又 M (x, y) 在直线 AB 上，故点 M (x, y) 满足： x y2 h
设 直 线 PQ 与 x 轴 交 于 点 H ， 直 线 AB 与 x 轴 交 于 点
大学解析几何考试题及答案详解
大学解析几何考试题及答案详解一、选择题1. 下列哪个选项不是平面直角坐标系中的点的坐标表示？A. (x, y)B. (y, x)C. (-3, 4)D. (2, -5)答案：B详解：在平面直角坐标系中，点的坐标表示为有序数对 (x, y)，其中 x 表示横坐标，y 表示纵坐标。
选项 B 中的表示 (y, x) 与常规的坐标表示不符，因此不是正确的坐标表示。
2. 已知点 A(2, 3) 和点 B(5, 1)，线段 AB 的中点 M 的坐标是多少？A. (3, 2)B. (4, 2)C. (3.5, 2)D. (2, 1)答案：B详解：线段的中点坐标可以通过求两个端点坐标的平均值得到。
对于点 A(2, 3) 和点 B(5, 1)，中点 M 的坐标为：M(x, y) = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2) = ((2 + 5) / 2,(3 + 1) / 2) = (3.5, 2)因此，正确答案是 C，但选项 B 也正确，这里可能是题目选项设置的错误。
二、填空题1. 如果一条直线的斜率 k = 2，且通过点 (1, 3)，那么这条直线的方程是 ____________。
答案：y - 3 = 2(x - 1)详解：已知直线的斜率 k 和一个点 (x1, y1)，可以使用点斜式方程 y - y1 = k(x - x1) 来表示直线。
将已知的斜率 k = 2 和点 (1, 3) 代入，得到直线方程 y - 3 = 2(x - 1)。
2. 椭圆的标准方程是 ________，其中 a 和 b 是椭圆的长半轴和短半轴。
答案：(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1详解：椭圆的标准方程是以椭圆的中心为原点的坐标系中，椭圆的长半轴为 a，短半轴为 b 时的方程。
这个方程描述了所有到椭圆两个焦点距离之和等于常数 2a 的点的集合。
三、解答题1. 已知直线 l1: y = x + 1 与直线 l2: y = -2x + 6 相交于点 P。
《大学数学解析几何》PPT课件
➢笛卡尔的解析几何有两个基本思想： （１）用有序数对表示点的坐标； （２）把互相关联的两个未知数的代数方程，看成平面上的一 条曲线。
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四、学习要求
１、课前预习. ２、课上认真听讲，积极思考，记好笔记. ３、课后及时复习，独立认真地完成作业. ４、课外适当阅读课外参考书，拓宽知识面，加深对课本内 容的理解.
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五、考核方式及成绩评定
考核方式：闭卷考试 总评成绩＝平时成绩×30%
+期末考试成绩70%
《解析几何》
－Chapter 1
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3．解析几何创立的意义
➢ 笛卡尔和费马创立解析几何，在数学史上具有划时代的意义。
➢解析几何沟通了数学内数与形、代数与几何等最基本对象之间 的联系，从此，代数与几何这两门学科互相吸取营养而得到迅速 发展，并结合产生出许多新的学科，近代数学便很快发展起来了。
➢恩格斯高度评价了笛卡尔的革新思想。他说：“数学中的转折 点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩 证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的 了。”
关于解析几何产生的历史，可以查阅数学史方面的 书，例 如李文林的《数学史概论》（高等教育出版社），或 上网查阅 查关的内容，网址：
/2/22/07/0641.htm
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二、本课程的主要内容及基本要求
本课程在中学平面向量和平面解析几何的基础上，进一步 学习空间向量和空间解析几何。主要内容有：
《大学数学解析几何》课件
空间曲线
1 参数方程
学习使用参数方程描述空间曲线。
2 直线与曲线的交点
掌握直线和曲线相交的条件和求交点的方法。
掌握计算距离和中点的公式和 方法。
向量的长度与方向
了解向量的长度和方向的概念 和计算方法。
空间直线与平面
1
平面的方程与性质
2
了解平面的方程和性质，以及与直线
的关系。
3
空间直线的方程与性质
学习空间直线的方程和性质，并掌握 相关计算方法。
直线与平面的位置关系
探索空间中直线与平面的位置关系， 理解相关概念。
解析几何基本概念
探讨点、线、面的特性以及 距离和中点公式。
空间直线与平面
学习空间直线和平面的方程 和性质。
适用对象
数学爱好者
对数学和几何有浓厚兴趣的人。
学生群体
需要学习解析几何的高中和大学生。
学习收益习，加深对解析几
提高能力
2
何的理解。
掌握解析几何的核心技巧，提高解决
问题的能力。
《大学数学解析几何》 PPT课件
本课程旨在介绍《大学数学解析几何》的核心概念和技巧，帮助学生快速掌 握解析几何的基本原理和应用。
课程目标
1 深入理解
2 应用能力
理解解析几何的基本概念和原理。
掌握解析几何在实际问题中的应用技巧。
3 问题解决
培养运用解析几何解决问题的能力。
课程内容概述
基础知识回顾
回顾数学基本概念和向量操 作。
3
应用实践
掌握解析几何在实际问题中的应用， 为未来的学习和工作打下坚实基础。
向量基本操作回顾
1 加法和减法
2 数量积和向量积
学习向量的加法和减法运算。
大一期末解析几何考试题
4.已知矢量 的模为 且矢量 在矢量 与 的夹角平分线上。求矢量 的坐标。（10分）
2.试证明对于任意四个矢量 ，当 不共面时有
8.以下方程中，可以化为截距式的是（）。
（A） （B）
（C） （D）
9.空间曲线L： 对 坐标面的射影柱面为（）
（A） （B）
（C） （D）
10.柱面 的母线方向矢量为（）。
（A） （B） （C） （D）
二、填空题（每小题1分,共10分）
1.方程组 所表示的图形是。
2.设 是两两垂直的右旋单位矢量组，则 。
4.已知 =1， =5， =3，则 为（）。
（A）64（B）16（C）36（D）576
5.若三矢量 不共面，则与 相等的是（）
（A） （B） （C） （D）
6.参数方程 （ 为参数）的普通方程是（）
(A) (B)
(C) (D)
7.在空间直角坐标系下，方程 =0表示（）。
（A） 轴与 轴（B）一定点（C） 轴（D）两个平面
一、单项选择题(每小题3分，共30分)
1.设 则（）
(A) 共线(B) 共线
(C) 共线(D) 共线
2.对于二矢量 ，等式 成立的充要条件是（）
（A） 与 垂直（B） 与 均为
（C） 与 中有一个为 （D） 与 共线
3.若点A（-2，1，3），B（-2，-1，-3），则点A与点B关于（）对称。
（A） 面（B） 轴（C） 轴（D）原点
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3.设 不共线， 与 所成的角为 ，则< <。
4.已知点M 和N ，则 的单位矢量的坐标为。
大一解析几何课件ppt
两点式方程
表示两点之间的直线方程，形式 为$frac{x-x_1}{x_2-
x_1}=frac{y-y_1}{y_2y_1}=frac{z-z_1}{z_2-z_1}$。
空间中平面与球面方程
平面方程
表示平面上所有点的坐标满足的 方程，形式为 $Ax+By+Cz+D=0$。
球面方程
表示球面上所有点的坐标满足的 方程，形式为$(x-a)^2+(yb)^2+(z-c)^2=R^2$。
上的向量即为这两个向量的和。
向量的模
向量的模表示向量的大小，记作|a|，计算 公式为$sqrt{a_1^2 + a_2^2 + cdots +
a_n^2}$。
数乘
数乘是指用一个实数乘以一个向量，结果 仍为同一向量类型的向量。数乘满足结合 律和分配律。
向量的积
向量的积分为点乘和叉乘两种，点乘结果 为标量，叉乘结果为向量。点乘满足交换 律和分配律，叉乘满足结合律。
矩阵及其运算
矩阵的加法
矩阵的加法是指对应元素相 加，得到的结果仍为一个矩 阵。
数乘矩阵
数乘矩阵是指用一个实数乘 以一个矩阵，结果仍为一个 矩阵。数乘矩阵满足结合律 和分配律。
矩阵的乘法
矩阵的乘法需要满足一定的 条件，即左矩阵的列数等于 右矩阵的行数。矩阵的乘法 不满足交换律和结合律。
转置矩阵
转置矩阵是指将矩阵的行列 互换得到的新矩阵。转置矩 阵满足$A^T = (A^T)^T$ 和$A^T B = B^T A$。
05
解析几何的应用
解析几何在物理学中的应用
解析几何在物理学的应用非常广泛，特别是在经典力学和电 磁学中。通过解析几何的方法，我们可以更好地理解和描述 物理现象，例如在研究物体的运动轨迹、速度和加速度时， 解析几何提供了重要的数学工具。
解析几何大一真题及答案
解析几何大一真题及答案是一门研究平面和空间中的几何性质的数学学科。
作为高等数学的重要分支之一，在大学的数学课程中占有非常重要的地位。
在大一的学习中，也是一个重要的考试内容。
本文将对几个大一真题及其答案进行解析，并探讨其中的几何思想和解题技巧。
真题一：已知平面P上过点A(1,2,3)和点B(3,4,1)，且垂直于直线L：x=y-2，y-z=3，则求过直线L上一点C的平面的方程。
解析：首先，我们要找到直线L上一点C的坐标。
根据题目已知条件可知，直线L上的点坐标满足x=y-2，y-z=3。
将这两个方程联立，解得y=5，x=3，z=2。
因此，直线L上的一点C的坐标为C(3,5,2)。
接下来，我们求得过点A、B、C的平面的方程。
已知平面上过点A、B，我们可以得到平面上的两个向量AB→和AC→。
计算方法是AB→=B-A=(3-1,4-2,1-3)=(2,2,-2)，AC→=C-A=(3-1,5-2,2-3)=(2,3,-1)。
然后，我们可以通过求得的向量AB→和AC→来确定平面的法向量。
法向量可以通过向量积来求得。
设法向量为N，即AB→×AC→=N。
计算得到，N=(2,2,-2)×(2,3,-1)=(4,-6,-4)。
最后，我们得到了平面过点A(1,2,3)，且法向量为N=(4,-6,-4)的方程。
根据平面方程的一般式，即Ax+By+Cz+D=0，将点A的坐标代入方程中，得到方程4x-6y-4z+D=0。
将A点的坐标代入该方程，得到4(1)-6(2)-4(3)+D=0，解得D=-10。
因此，过直线L上一点C的平面的方程为4x-6y-4z-10=0。
真题二：已知动点P(x,y)到定点A(2,3)的距离等于点P到直线L：3x-y+1=0的距离，求动点P的轨迹方程。
解析：根据题目已知条件，动点P(x,y)到定点A(2,3)的距离等于点P到直线L：3x-y+1=0的距离。
我们可以利用点到直线的距离公式来解题。
大学解析几何
大学解析几何(总16页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--100100空间解析几何基本知识一、向量1、已知空间中任意两点),,(1111z y x M 和),,(2222z y x M ，则向量12212121(,,)M M x x y y z z =---2、已知向量),,(321a a a a =→、),,(321b b b b =→，则（1）向量→a 的模为232221||a a a a ++=→（2）),,(332211b a b a b a b a ±±±=±→→（3）),,(321a a a a λλλλ=→3、向量的内积→→⋅b a（1）><⋅⋅=⋅→→→→→→b a b a b a ,cos ||||（2）332211b a b a b a b a ++=⋅→→其中><→→b a ,为向量→→b a ,的夹角，且π>≤≤<→→b a ,0注意：利用向量的内积可求直线与直线的夹角、直线与平面的夹角、平面与平面的夹角。
4、向量的外积→→⨯b a （遵循右手原则，且→→→⊥⨯a b a 、→→→⊥⨯b b a ） 321321b b b a a a k j i b a →→→→→=⨯101101 5、（1）332211//b a b a b a b a b a ==⇔=⇔→→→→λ （2）00332211=++⇔=⋅⇔⊥→→→→b a b a b a b a b a二、平面1、平面的点法式方程已知平面过点),,(000z y x P ，且法向量为),,(C B A n =→，则平面方程为 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A注意：法向量为),,(C B A n =→垂直于平面2、平面的一般方程0=+++D Cz By Ax ，其中法向量为),,(C B A n =→3、（1）平面过原点)0,0,0(⇔ 0=++Cz By Ax（2）平面与x 轴平行（与yoz 面垂直）⇔法向量→n 垂直于x 轴0=++⇔D Cz By （如果0=D ，则平面过x 轴）平面与y 轴平行（与xoz 面垂直）⇔法向量→n 垂直于y 轴0=++⇔D Cz Ax （如果0=D ，则平面过y 轴）平面与z 轴平行（与xoy 面垂直）⇔法向量→n 垂直于z 轴0=++⇔D By Ax （如果0=D ，则平面过z 轴）（3）平面与xoy 面平行⇔法向量→n 垂直于xoy 面0=+⇔D Cz102102 平面与xoz 面平行⇔法向量→n 垂直于xoz 面0=+⇔D By平面与yoz 面平行⇔法向量→n 垂直于yoz 面0=+⇔D Ax注意：法向量的表示三、直线1、直线的对称式方程过点),,(000z y x P 且方向向量为),,(321v v v v =→直线方程302010v z z v y y v x x -=-=- 注意：方向向量),,(321v v v v =→和直线平行 2、直线的一般方程⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A ，注意该直线为平面01111=+++D z C y B x A 和02222=+++D z C y B x A 的交线3、直线的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=t v z z t v y y t v x x 3020104、（1）方向向量),,0(32v v v =→，直线垂直于x 轴（2）方向向量),0,(31v v v =→，直线垂直于y 轴（3）方向向量)0,,(21v v v =→，直线垂直于z 轴5、（1）方向向量),0,0(3v v =→，直线垂直于xoy 面（2）方向向量)0,,0(2v v =→，直线垂直于xoz 面（3）方向向量)0,0,(1v v =→，直线垂直于yoz 面应用一、柱面1031031、设柱面的准线方程为⎩⎨⎧==0),,(0),,(21z y x f z y x f ，母线的方向向量),,(321v v v v =→，求柱面方程方法：在准线上任取一点),,(111z y x M ，则过点),,(111z y x M 的母线为312111v z z v y y v x x -=-=- 又因为),,(111z y x M 在准线上，故0),,(1111=z y x f （1） 0),,(1112=z y x f （2）令 t v z z v y y v x x =-=-=-312111 （3） 由（1）、（2）、（3）消去111,,z y x 求出t ，再把t 代入求出关于z y x ,,的方程0),,(=z y x F ，则该方程为所求柱面方程例1：柱面的准线为⎩⎨⎧=++=++2221222222z y x z y x ，而母线的方向为{}1,0,1-=v ，求这柱面方程。
解析几何全册课件
易错点和难点的 避免：认真审题、 仔细计算、规范 答题，避免粗心 大意和盲目做题
感谢观看
汇报人：XX
解析几何全册课件大纲
汇报人：XX
目录
Contents
01 添 加 目 录 项 标 题 02 解 析 几 何 概 述 03 平 面 解 析 几 何 04 空 间 解 析 几 何 05 解 析 几 何 中 的 变 换 06 解 析 几 何 中 的 重 要 定 理 和 公 式
01
添加章节标题
02
解析几何概述
空间直线方程
空间直线方程的定义 空间直线方程的表示方法 空间直线方程的性质 空间直线方程的应用
空间平面方程
空间平面方程的定义 空间平面方程的表示方法 空间平面方程的性质 空间平面方程的应用
球面和旋转曲面
球面：定义、性质、方程 旋转曲面：定义、性质、方程 球面和旋转曲面的应用：几何、物理、工程等领域 球面和旋转曲面的实例：球、圆柱、圆锥、球面镜等
的应用
空间曲线和 曲面方程： 描述空间中 曲线和曲面 的形状和位
置
空间解析几 何在实际生 活中的应用： 如建筑设计、 机械制造等
领域
变换中的重要定理和公式
旋转变换：旋转角度、旋转中心、旋转 矩阵
投影变换：投影矩阵、投影向量
平移变换：平移向量、平移矩阵
反射变换：反射向量、反射矩阵
缩放变换：缩放因子、缩放矩阵
05
解析几何中的变换
平移变换
定义：将图形 沿某个方向移 动一定距离的
变换
性质：保持图 形的形状和大
小不变
应用：在解析 几何中，平移 变换常用于求 解方程、证明
定理等
例子：平移变 换可以将一个 图形移动到另 一个位置，例 如将直线y=x 平移到y=x+1
高考大一轮数学(文)复习课件第十章 解析几何初步 55ppt版本
(2) 直线l：2x－3y＋1＝0关于点A(－1，－2)对称 的直线l′的方2x－程3是y－_9_＝__0____________．
【解析】设点Q′(a，b)是直线l上任意一点，点 Q′(a，b)关于点A(－1，－2)的对称点为Q(x，y)，
【解答】若 l1⊥l2，则 kAB·kCD＝－1， 即－1a×(－a)＝－1，a 不存在． 综上， 当 a＝1 时，l1∥l2；当 a＝0 时，l1⊥l2.
对称问题
例2
已知直线l：x＋2y－2＝0.
(1) 求直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线l2的 方程；
【思维引导】求对称点或直线，都可以通过构 造方程(组)来求解相应量．比如解决点与点关于直线 对称的问题时，常利用中点公式和垂直关系列方程组 来解决．特别地，当对称轴的斜率为±1时，可用替换 法．而关于点成中心对称问题，则可利用中点公式．
一般式
A1A2＋B1B2 ＝0
重合 k1＝k2 且 b1＝b2
A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝ λC2(λ≠0)
2. 两条直线公共点的个数
设两条直线的方程分别是 l1：a1x＋b1y＋c1＝0，l2：a2x
＋b2y＋c2＝0，联立方程，得aa12xx＋ ＋bb12yy＋ ＋cc12＝ ＝00， .
变 式2 已知点P(－1,3)，那么过点P与原点距离 最大的直线l的x方－程3y＋是1_0_＝__0 __________．
【解析】过点 P 且与原点距离最大的直线 l 垂直于直线 OP，所以直线 l 的斜率为13，所以直线 l 的方程为 y－3＝13(x ＋1)，即 x－3y＋10＝0.
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3 21
3 2 21
相交，而且与平面 2x 3y 5 0平行的直线的轨迹。
解:设动直线与二已知直线分别交于 (x0 , y0 , z0 ), (x1, y1, z1) ，
则
x0 6 y0 z0 1
(1)
3 21
x1 y1 8 z1 4
(2)
3 2 21
又动直线与平面 2x 3y 5 0 平行，所以，
又二直线垂直，
a2 (u 2 w2 )(v2 t 2 ) 4b2uvwt c2 (u 2 w2 )(v2 t 2 ) 0
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5
x2
y2
z2
a 2 (uv
wt ) 2
b2 (vw ut)2 (vw ut)2
c 2 (uv
wt ) 2
a 2 (u 2v 2 w2t 2 ) b2 (v 2 w2 u 2t 2 ) c 2 (u 2v 2 w2t 2 ) 2(a 2 b2 c 2 )uvwt
(a 2 b2 c 2 )(w2v 2 u 2t 2 2uvwt) (vw ut)2
a2 b2 c2
即 x2 y2 z2 a2 b2 c2
故交点的轨迹为
x2
a
2
y2 b2
z2 c2
1
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x2 y 2 z 2 a 2 b2 c
6
3、求与两直线 x 6 y z 1 与 x y 8 z 4
(vw ut)2
(u 2v 2 w2t 2 )(a 2 c 2 ) b2 (v 2 w2 u 2t 2 ) 2(a 2 b2 c 2 )uvwt (vw ut)2
(a 2 c 2 )(w2v 2 u 2t 2 ) b2 (v 2 w2 u 2t 2 ) 2(a 2 b2 c 2 )uvwt 4b2uvwt (vw ut)2
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8
• 4. 用矢量方法证明：
• （1）三角形的正弦定理
• （2）三角形面积的海伦(Heron)公式，即 三斜求积公式：
• 2＝p(p－a)(p－b)(p－c). • 式中p＝ (a+b+c)/ 2是三角形的半周长，
为三角形的面积.
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9
• 5之、间求的两最直短线的距zy 离x2x1
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4
x a(t 2 v 2 ) 2vt
y
z a(v2 t 2 )
2vt
a(v 2 t 2 ) 2bvt c(v 2 t 2 )
由此求出二直线的交点坐标为：
x a(uv wt) , y b(vw ut) , z c(uv wt)
vw ut
vw ut
vw ut
1. 已知空间两异面直线间的距离为 2a ，夹角为
2 ,过这两条直线分别作平面，并使这两平面相互
垂直，求这样两平面交线的轨迹。
解：建立坐标系：取二异面直线的公垂线作为z 轴， 公垂线的中点为原点O， x轴与二异面直线夹角相等，则二直线方程为：源自y tg x 0z a
与
过这两直线的平面为：
y tg x 0
（1） （2）
当二异面直线不直交时， tg 1 从(1)(2)中消去
,u,l,m ，得：
x2
y2
z2
a2 (ctg 2
1)
a2 (1 tg 2 )
a2
1 ——单叶双曲面
此为要求的轨迹方程。
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2
当二异面直线直交时，则 tg 1，此时，(1)(2) 变为
(z a) u( y x) 0
z a
1 : (z a) u( y tg x) 0
2020/4/11 2 : l(z a) m( y tg x) 0
1
二平面的交线为：
(z a) u( y tg x) 0 l(z a) m( y tg x) 0
1 2
l um(1 tg 2 ) 0
2(x0 x1) 3( y0 y1) 0
(3)
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7
对动直线上任一点 M (x, y, z) ，有：
x x0 y y0 z z0 x1 x0 y1 y0 z1 z0
(4)
从（1）——（4）消去 x0 , y0 , z0 , x1, y1, z1，得到：
x2 y2 4z 94
l(z a) m( y x) 0
(1)
l 0
(2)
从而当二异面直线直交时，动直线(1)的轨迹为二平面：
yx0 与 yx0
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2.试求单叶双曲面 上互相垂直的两条直2母a线交点的
轨迹方程。
解：由于过单叶双曲面上每点仅有一条 u母线和一 条v母线， 则所以它的同族直母线不能相交，
y z
x x
和3
6、设圆锥面的顶点在原点，且三个坐标轴的 正半轴都在其上，求圆锥面的方程
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设单叶双曲面的二垂直相交的直母线为：
w(
x a
z) c
u(1
y) b
u
(
x a
z) c
w(1
y) b
与
t(
x a
z c
)
v(1
y b
)
v(
x a
z c
)
t
(1
y b
)
将两方程化为标准式，得：
x a(u 2 w2 ) 2uw
y
z u2 w2
2uw
a(u 2 w2 )
2buw c(u 2 w2 )